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Teorema del seno.
En todo triángulo se cumple que la
medida de cada lado es
proporcional al seno del ángulo
opuesto
Demostración del teorema:
Considere la altura del vértice C,
observe que el triángulo ABC
queda dividido en dos triángulos
rectángulos. (AHC y HBC)
despejamos h en cada igualdad
igualamos ambas expresiones
Razonando de forma análoga se puede demostrar que también se cumple para todos
los lados. Por lo tanto:
Aplicaciones:
Problema 1)
Un caminante se encuentra a 1000m de un cerro, como se muestra en la figura. Halla la
distancia entre el mismo cerro y la cabaña de la figura.
En primer lugar debemos completar nuestra
figura de análisis con todos los datos que
conocemos y lo que deseamos conocer.
Observa la figura, verás que conocemos todos los ángulos y un
lado del triángulo, esto permite aplicar el teorema del seno. Lo
haremos de la siguiente manera.
Despejamos
y obtenemos que:
Por lo tanto la distancia entre el cerro y la cabaña es 1130.5m
Problema 2)
Un edificio proyecta una sombra sobre el suelo producto de la luz del sol, cuando sus rayos
forman un ángulo de 40° con el piso. Luego de unas horas la sombra es 20m más larga, como
se muestra en la figura. Halla la altura del edificio.
En la siguiente figura podemos observar que implícitamente
el problema nos da a conocer todos los ángulos de los
triángulos en los que se puede descomponer la figura.
Por ángulos complementarios o suplementarios se puede
deducir todos los ángulos.
También podemos considerar los lados a y b que nos serán
de gran utilidad para encontrar la altura deseada.
Es importante tener en cuenta que el edificio es
perpendicular al piso, por lo tanto el ángulo es de 90°
Si consideramos el triángulo:
Podemos hallar tanto a como b, aplicando el teorema
del seno.
Conociendo el valor de a o el valor de b se puede trabajar en cada uno de los siguientes
triángulos y hallar el valor de h.
Si consideramos el siguiente triángulo, que además es rectángulo, podemos utilizar el valor de
a hallado para encontrar el valor de h.
Por otro lado si consideramos este otro triángulo, que también es rectángulo, podemos utilizar
el valor de b hallado para encontrar el valor de h.
Se puede observar que, sin importar el camino elegido, se obtiene el mismo resultado.
Problema 3)
Un automóvil se dirige por una carretera en dirección a una colina. Para poder observar la cima
de la colina, el conductor debe inclinar la cabeza levantando la mirada un ángulo de 8° con la
horizontal. Luego de recorrer 1000m, se detiene y para poder observar la cima debe ahora
inclinar la mirada un ángulo de 13°. Halla la altura de la colina.
(Solución a cargo del lector, como guía brindaremos la figura que ilustra dicho problema)
Teorema del coseno.
En todo triángulo se cumple que el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos, menos el doble del producto de sus módulos y el coseno del ángulo
comprendido entre ellos.
Un observador se encentra a 55m de la entrada y a 67m de la salida de un túnel rectilíneo,
como se observa en la figura. Halla la longitud de dicho túnel.
Ejercicios:
Ejercicio 1)
Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al
otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una
distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos
A y B.
Ejercicio 2)
Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Adrián y Luis hay 28 metros, y entre Luis y
Carlos, 15 metros. El ángulo formado en la esquina de Carlos es de 20º. Calcula la distancia
entre Adrián y Carlos.
Ejercicio 3)
Los lados de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30
centímetros de base, calcula la longitud de sus lados restantes.
Ejercicio 4)
En una competencia de natación dos amigos parten lanzándose al agua desde una balsa al
mismo tiempo; el primero nada a una velocidad promedio de 6 km/h y el segundo a 5 km/h.
Comienzan a alejarse entre sí con un ángulo de 35º; después de media hora de competencia, el
segundo sufre un calambre. ¿Qué distancia deberá recorrer el otro nadador para ir en su
ayuda?
¿Qué ángulo tendrá la nueva dirección para ir en su rescate?
Ejercicio 5)
Una torre inclinada 10° respecto de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto
ubicado a 15m de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25°, halla la
longitud del cable y la altura de la torre.
Ejercicio 6)
Un árbol está situado en la orilla de un río. El extremo superior del árbol, desde un cierto
punto (ubicado en la otra margen del río), determina un ángulo de elevación de 17°. Si a 25m
de dicho punto y en dirección al árbol, el ángulo es de 35°, ¿cuál es la altura del mismo?
Ejercicio 7)
En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 60m, 75m, y 50m. ¿Qué ángulos se
forman en las esquinas de la misma?