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Resolución de Problemas: Trapajo Práctico nº 4
Problema 2: En el centro de un cubo de 10cm de lado se coloca una carga
puntual Q=5mC. ¿Cuánto vale el flujo eléctrico a través de una cara? ¿Y
si la carga se ubica en un vértice del cubo?
Para calcular cuanto vale el flujo eléctrico a través de una cara del cubo, primero
se calcula el flujo eléctrico a través del cubo en su totalidad; para ello se usa la ley de
Gauss, tomando la superficie del cubo como superficie gaussiana. Debido a la simetría de
la configuración (todas las caras del cubo equidistan de la carga),
Se concluye que:
ΦEcubo : q / εo
entonces, para una cara:
ΦEcara : q / 6εo
Antes de analizar el caso de la carga en el vértice, se analiza el caso en el que la
carga está ubicada sobre una cara del cubo (Figura 1); allí se observa que la mitad de las
líneas de Campo Eléctrico no atraviesan ninguna cara del cubo, por lo tanto el flujo
eléctrico a través del cubo es la mitad del total. Si ubicamos la carga en una arista (figura
2), el flujo eléctrico es 1/4 del total. Entonces cuando ubicamos la carga en un vértice
(figura 3), se obtiene 1/8 del flujo eléctrico total.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Para calcular el flujo a través de cada cara en el caso de la carga en el
vértice, observar que sobre tres caras el flujo es nulo (se deja para el alumno
analizar cuáles son estas caras), mientras que sobre las otras tres será el
11 q
mismo y valdrá 3 8 ε sobre cada una puesto que las tres son equivalentes.
0
Problema 7: Considere una esfera de material aislante de radio a=5cm
que tiene depositada y distribuida en forma uniforme una carga Q=
1mC.
(a) Calcule la densidad de volumétrica de carga r.
(b) Encuentre y grafique el campo eléctrico y el potencial eléctrico en
todo el espacio.
a- Definición de densidad volumétrica de carga:
ρ= carga / volumen
En este caso: ρ= Q / (4/3 π a³)
(1)
b- Se emplea la Ley de Gauss para el cálculo del Campo eléctrico en todo el espacio,
considerando por separado las regiones interior (0<r<a) y exterior a la esfera
(r>a):
0 < r < a : por la simetría de la distribución de carga elegimos superficies
gaussianas esféricas y concéntricas con la distribución, ver dibujo.
a
r
S1
S2
q
Para la superficie S1: ΦE = ∫ S1EdS = εNeta
0
(2)
Por la simetría de la situación el vector E es radial y de módulo constante sobre S1,
entonces:
E ∫ S1 dS = qεNeta
(3)
0
Para calcular la carga neta encerrada en el volumen delimitado por S1, aplicamos la ec.
(1):
q Neta = ρ 43 π r 3
y teniendo en cuenta que:
2
∫ S1 dS = 4π r
Reemplazando estos resultados en la ec. (3) se obtiene: E = ρ r / 3ε 0
(4)
r > a : se aplica nuevamente la ec. (2) para la superficie S2. Tomando en cuenta las
consideraciones del caso anterior y teniendo en cuenta que la carga encerrada por S2 es la
carga total, se obtiene:
E=
1
4π
0
Q
r2
ε
Que es justamente la expresión del campo Eléctrico de una carga puntual en el origen de
coordenadas.
-
Para el cálculo del Potencial eléctrico en todo el espacio usamos la expresión
presentada en la Teoría:
r
V ( r ) = − ∫ E dr ,
(5)
∞
Expresión del trabajo por unidad de carga necesario para traer una carga de prueba desde
el infinito hasta una distancia r de la carga fuente, ubicada en el origen. Se considera nulo
el Potencial en el infinito; entonces:
r > a : teniendo en cuenta que E y dr , son vectores radiales y apuntando en el mismo
sentido:
r
r
V ( r ) = − ∫ E dr = − ∫
,
∞
r
∞
a
,
0 < r < a : V ( r ) = − ∫ E dr = − ∫ 4πε1 0
∞
1
4π
∞
0
Q
r ,2
r
dr , =
1
4π
0
Q
r
dr , − ∫ ρ r , / 3ε 0 dr , =
r, 2
Q
,
a
ε
(
ε
)
ρ
1
a2 − r 2 +
6ε 0
4π
0
Q
a
Gráfico de la variación de V con respecto a r:
Problema 11: Dos discos metálicos iguales de radio a, aislados, se cargan con
densidades superficiales de carga σ+ y σ-, y se disponen paralelamente separados
una distancia d entre ellos. (considere d << a).
(a) Determine la diferencia de potencial entre las dos placas.
(b) Defina y calcule la capacidad entre las placas.
(c) ¿Cómo cambia la capacidad cuando la carga depositada se duplica?.
(d) ¿Cuánto vale la energía almacenada en el sistema?.
aSe tiene dos elementos
metálicos separados una distancia d y
con cargas opuestas de igual valor
absoluto llamado “capacitor” o
“condensador”.
Para obtener la diferencia de potencial entre placas se empleará la expresión:
r
V ( r ) = −∫ E dr ,
∞
Considerando la placa positiva en el origen de un eje coordenado x, perpendicular a ambas
placas y cuyo sentido positivo es hacia la placa negativa, la aplicación de la ec. (1) en todo
el espacio da el siguiente potencial:
Para x ≥ d:
V(r) = 0
V (r) =
Para 0 < x < d:
V (r) =
Para x ≤ 0:
σ
( d − x)
ε0
σ
d
ε0
En esta evaluación hay que tener en cuenta que:
i)
el potencial en el infinito es nulo,
ii)
dado que la distancia entre placas es mucho menor que el radio de éstas, el
campo eléctrico entre placas es constante,
La diferencia de potencial entre placas será la diferencia de potenciales de cada placa:
∆V = V + − V − = V ( 0) − V ( d ) =
σ
d
ε0
b- Se define Capacidad eléctrica de un Condensador como: C =
q
∆V
siendo q la carga adquirida por cada placa y ΔV la diferencia de potencial entre ambas
q
placas. Usando el resultado del item anterior, y teniendo en cuenta que: σ =
se
π a2
π a2
,
d
o sea que la capacidad depende de la geometría de la configuración y del material que
ocupa el espacio entre placas (vacío en este caso), que se tiene en cuenta a través del
factor ε0. En otras palabras C no depende ni de la diferencia de potencial entre placas ni de
la carga adquirida por ellas.
obtiene:
C = ε0
c- Si se duplica la carga, la capacidad no se modifica, porque no depende de q; se deja la
demostración como tarea para el alumno.
d- Energía almacenada en el sistema: dW = dq ΔV
En el capacitor:
q = C ΔV,
ΔV= q/C
dW = dq q/C
entonces, la energía necesaria para cargar las placas con valores q y –q será
U=
(1/C) q’ dq’ = (1/C) (q²/2)
U = q²/2C
Problema 14- Un condensador de placas paralelas (vacío entre las placas) se
conecta a una batería V0, como se indica en la secuencia(1) de la figura. Si después
de un tiempo prolongado se desconecta la batería:
(a) ¿Qué diferencia de potencial entre las placas mide el voltímetro dibujado en la
secuencia (2)?. ¿Qué cantidad de carga se acumula en las placas?.
(b) Si se introduce entre placas un material aislante de constante dieléctrica k
(secuencia (3)). ¿Cuál es la lectura del voltímetro, y la cantidad de carga acumulada
en las placas en este caso?. Describa lo que ocurre en el dieléctrico. ¿Cómo
calcularía la densidad de carga inducida en el dieléctrico?.
Si ahora, a partir de la secuencia (4) se introduce el mismo material aislante entre
placas pero sin desconectar la batería
(secuencia (5)). ¿Cuál es la lectura del voltímetro, y la cantidad de carga acumulada
en este caso?.
a- como el condensador se cargó (fig. 1) hasta adquirir la misma diferencia de
potencial que la fuente, la diferencia de potencial entre placas en (2) será V0.
b- Como se vió en la Clase Teórica, si la capacidad de un condensador sin material
dieléctrico es C0, al incorporar un dieléctrico entre placas se modificará resultando
ser: C = k C0 ;
q
Como además, por definición: C=q/V se tiene que V =
siendo q la carga que
k C0
adquirió el condensador durante el proceso de carga (1), la cuál no cambió al
incorporar el dieléctrico, o sea: q=C0 V0, entonces:
V
V= 0
k
O sea que la diferencia de potencial entre placas disminuyó, y es razonable puesto
que la carga de las placas polariza el dieléctrico, y esto disminuye el campo y la
diferencia de potencial eléctrico entre placas. Esta polarización genera a su vez un
campo opuesto al primero (campo de polarización), por lo que el campo dentro
del dieléctrico resulta ser la resta del campo impuesto por las placas menos el de
polarización, entonces:
E0 − Eind =
V
d
⇒
(σ 0 − σ ind ) V0
=
ε0
kd
1
⇒ σ ind = σ 0 (1 − )
k
siendo σind y σ0 las densidades de carga inducida en la superficie del dieléctrico y
de placas, respectivamente y d la distancia entre placas.
c- Nuevamente la lectura del voltímetro será V0 puesto que las placas, ahora con
dieléctrico, estuvieron conectadas a la fuente hasta lograr la carga necesaria para
tener la diferencia de potencial de la fuente.
Al tener el dieléctrico entre placas, la fuente debe entregar más carga (q) que en el
primer caso (q0) para lograr llegar a la diferencia de potencial V0 impuesta por la
fuente; esto se debe a que el material dieléctrico polariza sus moléculas por efecto
del campo eléctrico generado por las placas y esta polarización genera a su vez un
campo opuesto al primero (campo de polarización), por lo que el campo dentro
del dieléctrico resulta ser la resta del campo impuesto por las placas menos el de
polarización.
Dado que cuando se tiene dieléctrico entre placas es C = k C0 y que además:
C = q / V0
⇒ q = k C0V0 = k q0
La carga inducida en la superficie del dieléctrico (carga de polarización) será la
diferencia entre la carga en placas, con y sin dieléctrico: