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 Cap. 5: CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS 816
C APÍT U LO 24 Capacitancia y dieléctricos
Capacitor = dispositivo que almacena energía potencial eléctrica a y b
24.1
Dos conductores
cualesquiera
cia y dieléctricos
aislados uno del otro forman un capacitor.
Principio: ra a y b
24.1 Capacitores
y capacitancia
apacitor.
Dos separados
conductores separados por un un capacitor (figura
Dos conductores
por un aislante
(o vacío) constituyen
24.1). En la aislante mayoría de (
las
o aplicaciones
vacio) prácticas, cada conductor tiene inicialmente
a
una carga neta cero, y los electrones son transferidos de un conductor al otro; aConductor
esta
1Q
acción se le denomina cargar el capacitor. Entonces, los dos conductores tienen car•
Transfiero d
e c
arga d
e u
n gas de igual magnitud y signo contrario, y la carga neta en el capacitor en su conjunE
to permanece igual a cero.
En este capítulo
se supondrá
que éste
conductor otro = trabajo Wes
>el 0caso.
Cuando se
 o aque
dice que un capacitor tiene carga Q,
una carga Q está almacenada en el capacicontra tor, significa que el conductor
conEel potencial más elevado tiene carga 1Q y el con2Q
ductor con el potencial
más
bajo
tiene carga 2Q
(siese
supone que Q es positiva). Hay
• W = almacenaje de nergía Conductor b
que tener presente estopotencial en el análisis e
y léctrico los ejemplos que siguen.
En los diagramas de circuito, un capacitor se representa con cualquiera de estos
símbolos: ductor b
Representación en diagrama de circuitos: cción
eléctricos
S
24.1 Capacitores y cap
Dos conductores separados por un aislant
24.1). En la mayoría de las aplicaciones p
una carga neta cero, y los electrones son
acción se le denomina cargar el capacito
gas de igual magnitud y signo contrario, y
to permanece igual a cero. En este capítulo
dice que un capacitor tiene carga Q, o que
tor, significa que el conductor con el pote
ductor con el potencial más bajo tiene carg
que tener presente esto en el análisis y los
En los diagramas de circuito, un capa
símbolos:
En cada uno de estos símbolos, las líneas
conductores, y las líneas horizontales rep
otro conductor. Una manera común de car
bres a las terminales opuestas de una bate
En cada uno de estos símbolos, las líneas verticales (rectas o curvas) representan los
en los conductores, se desconecta la bate
numerosas: conductores,Aplicaciones y las líneas horizontales
representan los alambres conectados a uno y
Vab entre los conductores (es decir, el pote
otro conductor. Una
manera
común
de
cargar
un
capacitor
es
conectar
estos
dos
alam• Flashes electrónico respecto al potencial del conductor con ca
bres a las terminales opuestas de una batería. Una vez establecidas las cargas Q y 2Q
• se Láseres pulsos voltaje de la batería.
en los conductores,
desconecta d
lae batería.
Esto da una diferencia de potencial fija
El campo eléctrico en cualquier punto d
Vab entre los conductores
(es decir, el potencial
del conductor
con carga
positiva a con
• Regulador = protección contra variación de voltaje cional a la magnitud Q de carga en cada c
respecto al potencial
del
conductor
con
carga
negativa
b),
que
es
exactamente
igual
al
• Receptores de radio y televisión tencial Vab entre los conductores tambi
voltaje de la batería.
11.11.6 Potencial eléctrico: introducción
magnitud de la carga en cada conductor, t
El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los conductores es propor- cualitativa
cada
cional a la magnitud
Q de carga en cada
conductor.limita Por lo tanto,
diferencia
de
poEste fenómeno, también la elaficiencia d
e c
hips d
e c
omputadores conductor y el campo eléctrico en c
11.12.1 y 11.12.3
tencial
entre los conductores; sin embarg
tencial Vab entre
los conductores también es proporcional a Q. Si se duplica la Potencial, campo y fuerza eléctricos
potencial no cambia. Esta razón se llama c
magnitud de la carga en cada conductor, también se duplican la densidad de carga en
Definición e Capacitancia (C): cada conductor
y el campo d
eléctrico
en cada punto, al
igual que la diferencia de pose carga el capacitor conectando o a una debatería, Vab = Vbateria tencial entreCuando los conductores;
sin embargo,
la razón entre
la carga y la ldiferencia
Q
C5
(defin
potencial no cambia. Esta razón se llama capacitancia C del capacitor:
V
ab
Q
C=
(4.1) Vab
Q
La unidad del SI para la capacitancia es e
C5
(definición de capacitancia)
(24.1)
Vab
siglo XIX, Michael Faraday. De acuerdo co
C
Unidad de capacitancia = Farad [ C ] = F ⇒ 1F = 1 coulomb por volt (1 C>V):
V
La unidad del SI para la capacitancia es el farad (1 F), en honor del físico inglés del
1 F 5 1 farad 5 1 C
La c
apacitancia =
m
edida d
e l
a h
abilidad d
e u
n siglo XIX, Michael Faraday. De acuerdo con la ecuación (24.1), un farad es igual a uncapacitor a almacenar energía coulomb poreléctrica volt (1 C>V): C U I DA D O
contra coulomb
• 1 Depende de la forma y tamaño del capacitor, de los conductores y de lcia
a (que siempreCapacitancia
está en cursivas) con la abrev
F 5 1 farad 5 1 C / V 5 1 coulomb / volt
con cursivas). ❚
naturaleza de la materia aislante ONLINE
CU I DADO Capacitancia contra coulombs No confunda el símbolo C para la capacitancia (que siempre está en cursivas) con la abreviatura C de los coulombs (que nunca se escribe
con cursivas). ❚
1 Cuanto mayor es la capacitancia C de un capacitor, mayor será la magnitud Q de
la carga en el conductor de cierta diferencia de potencial dada Vab, y, por lo tanto, ma-
Cuanto mayor es la capacitancia C de
la carga en el conductor de cierta diferenc
yor será la cantidad de energía almacena
energía potencial por unidad de carga.) As
tud (capacidad) de un capacitor para alm
cío
opuestas. Este arreglo recibe el nombre de capacitor de placas
+Q
ndo la diferencia
da Q y(sección
aplicando
–Q
d
21.13
21.5) se calculó la magnitud del campo eléctrico E Diferencia
vacío;
es
decir,
se
utilizando el principio de superposición de campos eléctricos, y de de potencial 5 Vab
Placa b, área A
arados
un es-22.4) empleando la ley de Gauss. Sería una buena
Alambre
plo
22.8por
(sección
ejemplos. Se vio que E 5 s>P0, donde s es la magnitud (valor absoCapacitor separado por el vacío nductoras
paralead
superficial
de carga
en cada
placa.deEsto
es igual
a la con
magnitud
24.2
Capacitor
placas
paralelas
carga. de
ueña
enplaca
comparan cada
dividida entre el área A de la placa, o bien, s 5 Q>A,
S
b) Vista lateral del campo eléctrico E
Arreglocomo
de las placas del capacitor
carga,
campoE sea)expresa
nitud
delelcampo
as (figura 24.2b).
S
Placa a, área A
Alambre
E
Q
s
as placas es esenE5 5
manera uniforme
P0
P0 A
acitor de placas
+Q
orme y la distancia entre las placas es d, por lo que la diferencia de
–Q
)ampo
entre eléctrico
las dos placas
es
d
E Diferencia
s eléctricos, y de de potencial 5 Vab
Cuando la separación de las placas
Placa b, área A
1 Qd Alambre
es pequeña en comparación con su
. Sería una buena
Vab 5 Ed 5
tamaño, el campo eléctrico de los
P0 A
nitud (valor absobordes es despreciable.
a la magnitud de
e observa que la capacitancia C de un capacitor de placas paralelas
o bien, s 5 Q>A, Capacitor = dos placas paralelas de área A separada por distancia d, con d  A S
b) Vista lateral del campo eléctrico E

Cargados, el campo eléctrico EESes casi uniforme: Q
A
(capacitancia de un capacitor
(24.2)
σ24.3 Dentro de un micrófono condensador
C5
5 P0
E = hay un capacitor con una placa rígida y
(4.2) de placas paralelas con vacío)
Vab
d
εuna
0
placa flexible. Las dos placas se
mantienen con una diferencia de potencial
e la diferencia de
Q
• del
Densidad de directamente
carga σ =proporcional
lo depende de la geometría
capacitor; es
constante Vab. Las ondas sonoras provocan
A
placa e inversamente proporcional a su separación d. Las cantidades que la placa flexible se mueva hacia
separación de las placas
tes para un capacitor dado, y P0Cuando
es unalaconstante
universal. Así, con delante y atrás, lo que hace variar la
es
pequeña
en
comparación
C y ocasiona que la carga
Por d
efinición d
el t
rabajo, Ed
=con
Vabsu tenemos: cia C es una constante independiente
la carga
en el
o capacitancia
tamaño, eldecampo
eléctrico
de capacitor
los
fluya hacia y desde el capacitor de acuerdo
Vab
Q fle- conQla relación
ε A
e potencial entre las placas. Si una
deeslas
placas del capacitor
es
bordes
despreciable.
= Éste es
⇒C =
= 0 C 5 Q>Vab. Así, la onda
(4.3) C cambia
conforme cambia la separación d de las placas.
ecia
placas
paralelas
d ε0A
Vab se convierte
d
sonora
en un flujo de carga
eración de un micrófono condensador (figura 24.3).
que puede amplificarse y grabarse
C = constante
Para un capacitor forma digital.
ateria entre las placas, •sus propiedades
afectan d
laado capacitancia.
En en
• Cuando tiene ire ehacer
n lugar del que
vacío, volverá a tratar este asunto.
Entre tanto,
seadebe
notar
si Caire < C por 0.06% Dentro
de un micrófono
condensador
24.3
s placas contiene
a presión
atmosférica
en lugar
de vacío, la ca(24.2) aire
)de lo que predice la ecuación
hay un capacitor
con
una
placa
rígida
2
2
(24.2) en menos del
0.06%.y
C2818
C
2
una placa
flexible.[Las
dos
placas
se
C APÍT
UCLO 24
Capacitancia
y dieléctricos
Unidad a
lterna: ⇒
A
=
m
,
d
=
m,
ε
=
1F
=
1
=
1
]
[
]
[
]
0 en
2
(24.2), si A se expresa en metros cuadrados y d en metros, C está
N
⋅
m
N
⋅
m
J
mantienen
con
una
diferencia
de
potencial
2
2
des
P0 son C / N # mconstante
que. Las
se observa
que provocan
entedeproporcional
ondas sonoras
ab
, por lo V
Esta relación es útil en
24.4 Los capacitores comerciales están
haciaC
d. Las cantidades que la placa flexible se mueva
J
F
−12
2 otro 2 que
con
que la ecuación (24.2)
lo
⇒variar
1F = la
1 y ε 0 = 8.85 ×rotulados
10
ado, el valor de su capacitancia.
1 C1V
J = 1hace
1 Fcon
5 1 Del Cdelante
niversal. Así,
/ N # myl5atrás,
/ocasiona
Para estos
C que la carga
V
m capacitores, C 5 2200 mF,
Un farad es una cap
capacitancia
C
y
en el capacitor o
1000 mF y 470 mF.
fluya
hacia
y
desde
el
capacitor
de
acuerdo
muchas aplicaciones,
Cl capacitor
(energía por
unidad de carga), esto es congruente con la definición
es flecon la relación
C 5 Q>Vab. Así,
la #onda
2enorme 2
NOTA: 1
F =
c
apacitancia rad (1 mF 5 1026 F ) y
último,
lasÉste
unidades
de P0 se
C /de
N carga
m 5 1 F / m,
as
placas.
es sonora
se expresan
convierte como
en un 1flujo
de las cámaras fotográ
• C ~ micro F (10 o más µF = fuente que puede amplificarse y grabarse
gura 24.4), mientras q
de digital.
alimentación radio AM) o pico F capacitancia. En en forma
212
radio por lo común est
(10-­‐100 P0 5
F / m pF = circuitos de hacer notar que
si 8.85 3 10
Para cualquier cap
sintonización radio FM) ar de vacío, la calas
dimensiones y la se
0.06%.
formas
del conductor
metros, C está en Ej. Capacitores comerciales:
expresión de la capac
C = 2200 µF, 1000 µF y 470 µF guientes ejemplos mo
de conductores.
con la definición
/ N # m2 5 1 F / m, 2 Ejemplo 24.1
Tamaño de un capacitor de 1 F
Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 1.0 F.
Si las placas tienen una separación de 1.0 mm, ¿cuál es el área de las
placas?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Éste no es un capacitor de placas paralelas, por lo que
no es posible utilizar las relaciones desarrolladas para esa geometría
particular. En vez de ello, regresaremos a la definición fundamental de
capacitancia: la magnitud de la carga en cualquier conductor dividida
entre la diferencia de potencial de los conductores.
El campo eléctrico entre las esfera
la esfera interior; la esfera exterior
plo 22.5 vimos que la carga en una
po igual a cero dentro de la esfer
conductor exterior no contribuye a
La expresión anterior para E e
una carga puntual Q, por lo que
bién puede tomarse como la mism
puntual, V 5 Q>4pP0r. De ahí qu
(positivo) en r 5 ra con respecto
en r 5 rb es
PLANTEAR:
Emplearemos
la
ley
de Gauss para encontrar el campo
Ej. Tamaño de un capacitor eléctrico
entre
los
conductores
esféricos.
A partir de este valor se deter mina la diferencia
de
potencial
V
entre
los dos conductores; después
ab
Para C = 1F y d = 1.00mm usaremos la ecuación (24.1) para encontrar la capacitancia C 5 Q>Vab.
EJECUTAR: Con
procedimiento
22.5 (sección
⎤
Cd el⎡ mismo
F
1⋅10 −3del ejemplo
2
2
22.4),
se toma
superficie
gaussiana
una
esfera
con
radio
A = como
⋅
m
=
m
≈
1.1×
10 8rmentre
Usando la relación (4.3) ⎢
⎥
−12
ε
F
m
8.85
×
10
⎣
⎦
0
las dos esferas y que sea concéntrica con respecto a éstas. La ley de
Gauss (ecuación 22.8) establece que el flujo eléctrico a través de esta
superficie
es igual a ladcarga
total encerrada
superficie,
Esto corresponde a un cuadrado e alrededor de 1dentro
0 km de
de lalado ~ la ditercera parte vidida
entre
P
:
0
de la isla de Manhattan -­‐ no es un diseño muy práctico para un capacitor Vab 5 Va 2 Vb 5
5
1
2
1
4pP r
Q
0
a
Por último,
5 miden unos cuantos centímetros Ahora es posible fabricar capacitores dCe E
1 FdA
que de la capacitancia es
P0
lado, usando carbono activo Sen vez del vacío Q
S
S
#
S
Qenc
Por simetría, E es de magnitud constante y paralela a dA en cada
punto de esta superficie, por lo que la integral en la ley de Gauss
Ej. Capacitor esférico 24.5 Capacitor esférico.
Vab
5
Como ejemplo, si ra 5 9.5 cm y rb
Coraza interior, carga 1Q
Superficie gaussiana
ra
r
rb
Coraza exterior,
carga 2Q


  Q
Aplicando la ley de Gauss 
∫ E ⋅ dA = ε 0 donde E es // a dA y E homogeneo  
Q
1 Q
E
⋅ dA == E ( 4π r 2 ) = ⇒ E =

∫
Ejemplo 24.4 Capacitorε 0cilíndrico
4πε 0 r 2
Misma forma que para carga puntual Un conductor cilíndrico largo tiene un radio ra y densidad lineal de
carga 1l. Está rodeado por una coraza conductora cilíndrica coaxial
Por definición del con
potencial eléctrico para lineal
cargas untuales: radio interior
rb y densidad
de p
carga
2l (figura 24.6). Calcu⎛ rb − ra ⎞suponienQ de longitud
Q ⎞para este
Q capacitor,
le la capacitancia por⎛ unidad
Vab =hay
Vavacío
− Vb en
= ⎜el espacio−entre los cilindros.
=
⎟
do que
⎝ 4πε 0 ra 4πε 0 rb ⎠ 4πε 0 ⎜⎝ ra rb ⎟⎠
A
SOLUCIÓN
Q
rr
La capacitancia C =
= 4πε 0 a b = 4πε 0 mg IDENTIFICAR:
Igual
en el ejemplo
24.3, se usa la definición funVab
rb − rque
d
a
damental de capacitancia.
Donde Amg es el cuadrado de la media geométrica ra rb Similar a capacitancia de placas paralelas cuando d  r C5
3 C 5 4p 1 8.85 3 10 212
5 1.1 3 10 210 F 5 1
EVALUAR: Podemos relacionar e
un capacitor de placas paralelas. L
tre las áreas 4pra2 y 4prb2 de las
geométrica de las dos áreas, lo que
tre las esferas es d 5 rb 2 ra, por l
como C 5 P0Agm>d. Ésta es exacta
cas paralelas: C 5 P0A>d. La conc
esferas es muy pequeña en compa
comportan como placas paralelas c
PLANTEAR: Primero se encuentr
potencial Vab entre los cilindros y
cilindros; después se encuentra la
diante la ecuación (24.1). La varia
vidida entre L.
EJECUTAR: Para encontrar la dif
dros, se utiliza el resultado que se
820
C APÍT U LO 24 Capacitancia y dieléctricos
del cilindro interior a (posi
(negativo), es decir,
24.6 Un capacitor cilíndrico largo. En esta figura la densidad
de carga
Ej. Capacitor clineal
ilíndrico l se supone positiva. La magnitud de carga en
una
longitud
L de cualquier cilindro es lL.
Va
2l
1l
Esta diferencia de potencial
como en la figura 24.6) porq
más elevado que el del exteri
La carga total Q en una
ecuación (24.1), la capacitan
ra
rb
C5
L
El potencial para un cilindro infinito es: •
Q
Vab
5
λ
r
V=
ln 0 2πε 0 r
23.3).
Ahí
se
determinó
que
en
un punto
de un cilindro con carDonde r0 es el radio arbitrario donde V = 0 afuera
La capacitancia por unidad d
C
L
ga a una distancia r de su eje, el potencial debido al cilindro es
Si se sustituye P0 5 8.85 3
Para un capacitor cilíndrico, tomamos r0 = rbl el radio r0 de la superficie interior del V5
ln
C
cilindro, de manera que el cilindro exterior 2pP
tiene Vr = 0 , por lo tanto en ra 0
L
λ
r
donde r0 es el radio (arbitrario)
Vab = en ellnqueb V 5 0. En este problema, se
2πεpara
rela potencial entre los cilindros EVALUAR: Se observa que la
puede usar este mismo resultado
0
con
la lley
de Gauss, la carga en el cilindro exte- tá determinada en su totalida
La carga total porque,
de acuerdo
manera que a capacitancia: Q = λ L de
rior no contribuye al campo entre los cilindros (véase el ejemplo el caso de las placas paralela
Q
2πε L
24.3). En nuestro caso,Cse= toma=el radio0 r0 como
rb, el radio de la su- bricados de este modo, pero e
V
ln
r
r
(
)
ab
b
a
perficie interior del cilindro exterior, de manera que el cilindro con- nen un material aislante en ve
La capacitancia por uexterior
nidad destá
e longitud: ductor
en V 5 0. Entonces, el potencial en la superficie
exterior del cilindro interior
C (donde
2πε 0r 5 ra) es igual al potencial Vab
=
L ln ( rb ra )
Para ε 0 = 8.85 × 10 −12
C 55.6 pF m
=
L
ln ( rb ra )
•
•
•
F
pF
= 8.85
m
m
de televisión y conexiones d
por unidad de longitud de 69
Evalúe su comprensión de la sección 24.1
espacio entre los conductores. Si se duplica la cantida
¿qué pasa con la capacitancia? i) aumenta; ii) disminu
depende del tamaño o la forma de los conductores.
La capacitancia de los cilindros coaxiales está determinada en su totalidad por las dimensiones, tal como ocurre en el caso de las placas paralelas Los cables coaxiales comunes tienen un material aislante en vez de vacío Los capacitores
se fabrican con ciertas capacita
24.7
Algunos
dealos
capacitores
El cable típico para las ntenas de televisión y conexiones de videograbadoras disponibles
en
el
comercio.
24.7). Sin embargo, estos valores estánda
tiene una capacitancia por unidad de longitud de 6(figura
9 pF/m en una aplicación específica. Se pueden obtene
capacitores; son posibles muchas combinacione
xión en serie y la conexión en paralelo.
4 24.2 Capacitores en serie
Capacitores en serie
La figura 24.8a es un diagrama de una conexió
24.2 Capacitores en serie y en paralelo
821
la placa inferior de C1 y la placa superior de C2, en conjunto, de- 24.8 Conexión en serie de dos capacitores.
a cero porque tales placas sólo están conectadas una con otra y
a) Dos capacitores en serie
en una conexión enConexión serie, la magnitud
de la carga
todas
de capacitores en sen
erie y elas
n paralelo Capacitores en serie:
• Los capacitores tienen la misma carga Q.
a figura 24.8a, las diferencias
de potencial
los puntos
a y c, la La construcción de un entre
capacitor determina capacitancia individual: •
Sus diferencias de potencial se suman:
n representarse como • La combinación de diferentes capacitores cualquier valores, Vac p1ermite Vcb 5 Vpabroducir .
tal que requeridas por aplicaciones especificas a
Q
Q
Vac 5 V1 5 Vcb 5 V2 5
C1
C
+ +en + +paralelo Dos combinación p2 osibles en un circuito eléctrico: en serie 1Q o
– – – – C1 Vac 5 V1
2Q
1
1
Vab 5 V 5 V1 1 V2 5 Q
1
1) Combinación C1 serie
Ce2yn enserie c
Vab 5 V
24.2 Capacitores en
paralelo
821
Combinamos en serie dos capacitor con capacitancia C1 y1Q
C2 + + + + C Vcb 5 V2
2Q – – – – 2
en conjunto, de- 24.8 Conexión en serie de dos capacitores.
1
1
as una con otra V
y
5a) Dos1capacitores en serie
(24.3)
b
arga en todas las
Q
C1
C2
1
2
Capacitores en serie:
común,
losasímbolos
V1, capacitores
V2 y V setienen
utilizan
paracarga
denotar
la misma
Q. las difelos puntos
y c, • Los
•
Sus
diferencias
de
potencial
se
suman:
Vac (a través del primer capacitor), Vcb (a través del segundo caVac 1 de
Vcbcapacitores),
5 Vab.
és de toda la combinación
respectivamente.
a
equivalente Ceq de la combinación en serie se define como la
olo capacitor para el que la carga1Q
Q es
+ + la
+ +misma que para la comVac 5 V1 la combi– – otras
– C1 palabras,
diferencia de potencial es la misma.
2Q –En
tituir por un capacitor equivalente de capacitancia Ceq. Para un
c
Vab 5 V
o, como el que se ilustra
en la figura 24.8b,
Q
Ceq 5
V
(24.3)
1Q
o bien,
b
++ ++
1 2Q V– –
5
Ceq
Q
––
C2 Vcb 5 V2
(24.4)
b) El capacitor equivalente único
a
La capacitancia
equivalente es menor
que las capacitancias
La carga
individuales:
es la misma1Q
++ ++
Q
V para los
C 5
– – – – eq
V
capacitores
2Q
1
1
1
individuales.
5
1
Ceq
C1
C2
b
aciones (24.3) y (24.4)
encuentra
queen serie, la magnitud de la carga en todas las placas es la misma En usena conexión b) El
capacitor
equivalente
único
denotar las dife- 1 a 1
s del segundo ca-1 Las capacitancia
iferencias de pLaotenciales: 5 d1
ectivamente. Ceq
equivalente es menor
C1
C2
Q
Q
que las capacitancias
e define como la (4.4) La carga
Vac = V1 = y Vcb = V2 =
C
C2
individuales:
1Q
e extender
a cualquier número
de
capacitores
conectados
en
se1
que
para la comes la misma
+ ++
Q equivalente:
uiente
de+ la
capacitancia
Vrecíproco
labras,resultado
la combi-para
De elm
anera para losque C 5
– – – – eq
V
capacitores
ncia Ceq. Para un
2Q
⎛
⎞
1
1 V =1V = V + V = Q 1 + 1 (4.5) individuales.
5
1
ab
1
2
⎜
Ceq
C1
C2
1
1
1
⎝ C1 C2 ⎟⎠
5
1
1
1c
(capacitores en serie)
(24.5)
24.9 Conexión en paralelo de dos
C1
C2
C3 b
capacitores.
(24.4)
La capacitancia resultante en serie es por lo tanto: 1
V a)1 Dos 1capacitores en paralelo
apacitancia equivalente
= =
+
(4.6) de una combinación en serie es igual
íprocos de las capacitancias individuales. En una conexión
Ceq en
Q Capacitores
C1 C2 en paralelo:
equivalente siempre
es menor que cualquiera de las capacitan- • Los capacitores tienen el mismo potencial V.
onectados
en se-En una combinación en serie, la magnitud de la cartores
en serie
ncia
equivalente:
das las placas de todos los capacitores; sin embargo, las diferencias
• La carga en cada capacitor depende de su
capacitancia: Q1 5 C1V, Q2 5 C2V.
a
pacitores individuales no son las mismas a menos que sus capacitan++ ++
+ +
Q C2
Q2
C
– –
iguales. Las diferencias de potencial de los capacitores individuales Vab 5 V 1 – – – – 1
de potencial
a través
de la combinación
en serie:
e)diferencia(24.5)
24.9 total
Conexión
en paralelo
de dos
5 c
1 . ❚
capacitores.
en serie es igual
b
a) Dos capacitores en paralelo
b) El capacitor equivalente único
b recíproco de la capacitancia equivalente:
l siguiente(24.4)
resultado para el
1
1
1
1
5
1
1
1c
Ceq
C1
C2
C3
(capacitores en serie)
(24.5)
24.9 Conexión en paralelo de dos
capacitores.
Para cualquier numero de capacitores en serie: a) Dos capacitores en paralelo
N
1
en paralelo:
∑Capacitores
i=1 •C
i capacitores tienen el mismo potencial V.
Los
la capacitancia equivalente de una combinación en serie es igual
1 en
snectados
recíprocos
capacitancias individuales. En una conexión
en de
se-las(4.7) =
Ceq
ancia
equivalente siempre es menor que cualquiera de las capacitancia equivalente:
s.
• La carga en cada capacitor depende de su
capacitancia: Q1 5 C1V, Q2 5 C2V.
En una conexión en serie, la capacitancia equivalente siempre es menor que a
apacitores en serie cualquiera En una combinación
en
serie,
la
magnitud
de
la
carde las capacitancias individuales )
(24.5)
en paralelo
de dos las diferencias
en todas las placas de24.9
todosConexión
los capacitores;
sin embargo,
capacitores.
os capacitores individuales no son las mismas a menos que sus capacitan++ ++
+ +
Q C2
Q2
C
– –
sean iguales. Las diferencias
de potencial de los capacitores individuales Vab 5 V 1 – – – – 1
a)
Dos
capacitores
en
paralelo
Combinación de capacitores en paralelo nar serie
es igualde potencial
la diferencia
total a través
de la combinación
en serie: c
una
1 V3conexión
1 . ❚ en
Capacitores en paralelo:
e las capacitan-
• Los capacitores tienen el mismo potencial V.
• La carga en cada capacitor depende de su
s en paralelo capacitancia: Q1 5 C1V, Q2 5 C2V.
e muestra en la figura 24.9a
a se llama conexión en paralelo. Dos capaagnitud de la car-
b) El capacitor equivalente único
a
nectados
en paralelo entre los puntos a y b. En este caso, las placas suo, las diferencias
dos
capacitores
están conectadas mediante
alambres
conductores para
ue sus capacitan++ ++
+ +
Q
C
Q2 Entonces, en
C
5 placas
V
1 –
2 – –otra.
erficie
equipotencial,Vyab las
inferiores
– – – 1 forman
ores individuales
ninación
paralelo,
la diferencia de potencial para todos los capacitores inen serie:
misma, y es igual a Vab 5 V. Sin embargo, las cargas Q1 y Q2 no son
alelo. Dos capao, las placas suonductores para
ra. Entonces, en
capacitores inQ1 y Q2 no son
b
b
1Q
Ceq
V
+++ +++
––– –––
2Q
b
La carga es la suma de
las cargas individuales:
Q 5 Q1 1 Q2.
Capacitancia equivalente:
Ceq 5 C1 1 C2.
b) El capacitor equivalente único
En una conexión en paralelo, la diferencia de potencial para todos los capacitores a
individuales es la misma La carga es la suma de
1Q
las cargas individuales:
Las cargas i+ndividuales: ++ +++
C
Q 5 Q1 1 Q2.
eq
V
–
–
–
–
–
–
(4.8) Q1 = C1V y Q2 = C2V Capacitancia equivalente:
2Q
Ceq 5 C1 1 C2.
La carga b total es la suma de las cargas: Q = Q1 + Q2 = V ( C1 + C2 ) (4.9) Y la capacitancia equivalente en paralelo: Q
Ceq = = C1 + C2 (4.10) V
Para N capacitores en paralelo: (4.11) N
Ceq = ∑ Ci i=1
En una conexión en paralelo la capacitancia equivalente siempre es mayor que cualquier capacitancia individual 6 Capacitores en serie y en paralelo
Ejemplo 24.5
En las figuras 24.8 y 24.9, sean C1 5 6.0 mF, C2 5 3.0 mF y Vab 5
18 V. Encuentre la capacitancia equivalente, la carga y la diferencia
de potencial para cada capacitor cuando los dos capacitores se conectan a) en serie, y b) en paralelo.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Este problema usa las ideas analizadas en esta sección
acerca de las conexiones de los capacitores.
PLANTEAR: En los dos incisos, una de las variables buscadas es la capacitancia equivalente Ceq, que para la combinación en serie del inciso
a) está dada por la ecuación (24.5), y para la combinación en paralelo
del inciso b) por la ecuación (24.6). En cada inciso podemos encontrar
la carga y la diferencia de potencial utilizando la definición de capacitancia, ecuación (24.1), y las reglas descritas en la Estrategia para resolver problemas 24.1.
EJECUTAR: a) Para la capacitancia equivalente de la combinación en
serie (figura 24.8a), se aplica la ecuación (24.5) y se encuentra que
1
1
1
1
1
1
5
1
5
Ceq C1
C2
3.0 mF
6.0 mF
Ceq 5 2.0 mF
La carga Q en cada capacitor en serie es igual a la carga en el capacitor
equivalente:
Q 5 CeqV 5 1 2.0 mF 2 1 18 V 2 5 36 mC
b) Para determinar la capacitancia equivalente de la combinación
en paralelo (figura 24.9a), se utiliza la ecuación (24.6):
Ceq 5 C1 1 C2 5 6.0 mF 1 3.0 mF 5 9.0 mF
La diferencia de potencial a través de cada uno de los dos capacitores
en paralelo es la misma que aquélla a través del capacitor equivalente,
18 V. Las cargas Q1 y Q2 son directamente proporcionales a las capacitancias C1 y C2, respectivamente:
Q1 5 C1 V 5 1 6.0 mF 2 1 18 V 2 5 108 mC
Q2 5 C2 V 5 1 3.0 mF 2 1 18 V 2 5 54 mC
EVALUAR: Observe que la capacitancia equivalente Ceq para la combinación en serie del inciso a) es menor que C1 o C2, en tanto que para
la combinación en paralelo del inciso b), la capacitancia equivalente
es mayor que C1 o C2.
Resulta pertinente comparar las diferencias de potencial y las cargas en cada inciso del ejemplo. Para los dos capacitores en serie, como
en el inciso a), la carga es la misma en cualquier capacitor y la diferencia de potencial más grande ocurre a través del capacitor con la menor
capacitancia. Además, Vac 1 Vcb 5 Vab 5 18 V, como debe ser. En contraste, para los dos capacitores en paralelo, como en el inciso b), cada
capacitor tiene la misma diferencia de potencial y la mayor carga está
en el capacitor con la mayor capacitancia. ¿Puede usted demostrar que
la carga total Q1 1 Q2 en la combinación en paralelo es igual a la carga
Q 5 CeqV en el capacitor equivalente?
La diferencia de potencial a través de cada capacitor es inversamente
proporcional a su capacitancia:
Vac 5 V1 5
Vcb 5 V2 5
Q
C1
Q
C2
5
5
36 mC
6.0 mF
36 mC
3.0 mF
5 6.0 V
5 12.0 V
Ejemplo 24.6 Red de capacitores
La máquina Z (Sandia Laboratory: ttp://www.sandia.gov) utiliza un las cuales
Encuentre
la capacitancia
equivalente N
deational la combinación
que se mues- h
car
partes del arreglo que sí están en serie
o en paralelo,
tra
en
la
figura
24.10a.
combinaremos
para
encontrar
la
capacitancia
equivalente.
número grande de capacitores en paralelo para dar una capacitancia equivalente C utiliza
la ecuación
(24.5) parase analizar
las porciones
enorme energía: Selos arcos eléctricos producen SOLUCIÓNy almacenar una grande cantidad de PLANTEAR:
de la red conectadas en serie, y la ecuación (24.7) para analizar aquecuando los capacitores su nergía en que
un están
blanco, no mayor que un carrete de IDENTIFICAR:
Los
cinco capacitores d
enescargan la figura 24.10a
noe
están
co- llas
en paralelo.
9
nectados todos en serie ni en paralelo. Sin embargo, podemos identifihilo, que caliente el objetivo a T > 2 × 10 K 24.10 a) Red de capacitores entre los puntos a y b. b) Los capacitores de 12 mF y 6 mF conectados en serie en a) se sustituyen por un
capacitor
equivalente de 4 mF. c) Los capacitores en paralelo de 3 mF, 11 mF y 4 mF en b) se sustituyen por un capacitor equivalente
d) d
Por
los capacitores
de
18R
mF.
Ej. ed e último,
capacitores en serie de 18 mF y 9 mF en c) se sustituyen por un capacitor equivalente de 6 mF.
a)
b)
a
3 mF
11 mF
12 mF
c) a
a
3 mF
11 mF
4 mF
d) a
18 mF
… sustituimos estos
capacitores en serie por
un capacitor equivalente.
6 mF
9 mF
b
Sustituimos estos capacitores
en serie por un capacitor
equivalente …
6 mF
9 mF
b
… sustituimos estos
capacitores en paralelo
por un capacitor
equivalente …
9 mF
b
b
continúa
Etapas: a) Se calcula la capacitancia equivalente de los dos capacitores en serie más internos b) Se usa esta capacitancia para calcular la capacitancia equivalente de los tres capacitores en paralelo c) Se calcula la capacitancia equivalente de este último capacitor colocando lo en serie son el capacitor restante 7 Almacenamiento de energía en un capacitor La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor U es exactamente igual a la cantidad de trabajo W que se requiere para cargar lo • Cuando el capacitor se descarga se recupera en forma de trabajo realizado por las fuerzas eléctrica Para determinar U se necesita determinar el trabajo: • Sean q y v la carga y el potencial eléctrico en una etapa intermediaria del proceso de carga • Por definición v = q C y el trabajo a esta etapa es q
dW = vdq = dq (4.12) C
• El trabajo total = el trabajo para cargar el capacitor a su máxima Q Q
1 Q
Q2
(4.13) W = ∫ dW = ∫ q dq =
0
C
2C
0
Si se define la energía potencial de un capacitor sin carga como cero, entonces el trabajo W es igual a la energía potencial U del capacitor con carga Q
Por definición de la capacitancia C = ⇒ Q 2 = C 2V 2 : V
Q2 1
1
(4.14) U =W =
= CV 2 = QV 2C 2
2
C
J
• Donde las unidades [Q ] = C, [ C ] = F = , [V ] = V = ⇒ [U ] = J V
C
8 Analogía mecánica Segundo la ley de Hook para un resorte, la energía potencial almacenada por el resorte es: 1
U = kx 2 (4.15) 2
11 2
1
Q ⇒ Q → x y → k • Similar a U =
2C
C
• Como la carga eléctrica es igual a su campo eléctrico (ley de Gauss), aquí la carga juga el papel equivalente al espacio en la ley de Hook Segundo el teorema del Virial en promedio la energía de un sistema mecánico estable es igual a: U
2K = U ⇒ K = W = (4.16) 2
V
⎛V⎞
• Aquí la analogía mecánica es directa, porque U = Q ⎜ ⎟ donde es el ⎝ 2⎠
2
potencial promedio Si el capacitor es cargado a partir de una batería (fuente de potencia constante): 1
U = CV 2 (4.17) 2
• Más grande la capacitancia, más grande la energía disponible 9 Interpretación en la teoría de campo En la teoría de campo, la energía reside en el campo mismo • El trabajo para cargar un capacitor, es un trabajo contra el campo eléctrico dentro del capacitor Definimos la densidad de campo como la densidad por unidad de volumen µ 1
Como el volumen del capacitor Vol = Ad y la energía almacenada U = CV 2 por lo 2
tanto: 1
CV 2
(4.18) µ= 2
Ad
A
Usando las otras definiciones de capacitancia C = ε 0 y potencial eléctrico V = Ed d
encontramos que 1 ⎛ A⎞
1
2 2
CV 2
⎜⎝ ε 0 ⎟⎠ ⋅ E d
1
2
d
u= 2
=
= ε 0 E 2 (4.19) Ad
Ad
2
En esta definición, vemos que la noción de una carga en el espacio (Mecánica clásica de Newton) es equivalente a la noción de campo (Teoría de Campo), que es, de hecho, equivalente a la noción de trabajo, que es el resultado de las interacciones entre partículas (Mecánica analítica de Leibniz) Estos son tres maneras equivalentes como describir las interacciones entre partículas carga + espacio 
campo
(

)

Trabajo
(interacciones entre partículas)
10 rga y energía entre capacitores
ncia C1 5 8.0 mF al 24.12 Cuando se cierra el interruptor S, el capacitor con carga C1
V0 5 120 V (en la está conectado a otro capacitor sin carga C2. La parte central del
interruptor es
manija
aislante; ladcarga
sóloepuede
fluir entre tá abierto. Una vez
Ej. Transferencia de una
carga y transferencia e energía ntre capacitores las dos terminales superiores y entre las dos terminales inferiores.
a diferencia de po rto el interruptor S?
ptor S se deja abierQ0
++ ++
C2 54.0 mF está sin
V0 5 120 V
–– ––
es la diferencia de
carga en cada uno? C1 5 8.0 mF
C2 5 4.0 mF
S
rrar el interruptor S?
Antes de conectar los dos capacitores: Q0 = C1V0 = 960 µC donde C1 = 8 µF y EJECUTAR: a) La carga
Q0 en C1 es
1
V0 = 120V que nos da U = V0Q0 = 0.058J acitor con una difeQ0 5 C21 V0 5 1 8.0 mF 2 1 120 V 2 5 960 mC
de que se cierra el
Después db)
e conectar los almacenada
capacitores einicialmente
n paralelo, el en
potencial es el m
s de los dos capaciLa energía
el capacitor
esismo Veq = V pero las cargas se redistribuyo de manera que Q0 = Q1 + Q2 (la carga es conservada) palabras, los capa1
1
Uinicial 5 Q0 V0 5 1 960 3 10 26 C 2 1 120 V 2 5 0.058 J
Para determinar las cargas individuales usamos la definición de la capacitancia 2
2
Q1 = C1V y Q2 = C2V a carga y la energía
c) Cuando se cierra el interruptor, la carga positivaQQ0 se distribuye
cuaciones (24.1)Combinando y sobre las
Q1 + Q2 =deQ0ambos
= ( C1 +capacitores,
C2 )V ⇒ V = y la 0carga
= 80V
las rplacas
elaciones superiores
negativa
+ C2
el carácter de la co- 2Q se distribuye en las placas inferiores de los dosC1capacitores.
Sean
0
Esto nos da Q1 = 640 µC y Q2 = 320 µC ue los dos capacitoQ1 y Q2 las magnitudes de las cargas finales en los dos capacitores. De
utiliza otra vez la la conservación de la carga,
1
a en los capacitores
La energía potencial eléctrica final es U = VQ0 = 0.038J Q1 1 Q22 5 Q0
.
El proceso no es conservativa – hay una perdida de energía en otra forma relacionada con el movimiento de los electrones, calor + radiación infrarroja Ej. Densidad de energía Queremos almacenar 1.00J de energía potencial en un volumen de 1.00m3 en el vacío J
Esto corresponde a una densidad µ = 1.00 3 y un campo eléctrico: m
2µ
V
E=
≈ 4.75 × 10 5 ε0
m
Esto es un campo muy fuerte con una diferencia de potencial enorme 0.5 × 10 6 V Nota, como µ ∝ E 2 una aumentación por factor 10 del campo produciría una aumentación de energía por un factor 100 11 iii) con cualquiera, ya sea e
24.4 Dieléctri
24.13 Un tipo común de capacitor utiliza
láminas dieléctricas para separar los
conductores.
La mayoría de los capac
placas conductoras. Un t
metálicas como placas,
En los capacitores, se colocan un material Mylar. Estos materiales
una unidad capaz de pr
no conductor entre las placas = compacto (figura 24.13)
dieléctrico Conductor
La colocación de un
(hoja metálica)
funciones.
La primera e
Ej. Hoja de plástico = Mylar metálicas
grandes
con u
24.4 Dieléctricos
829
La segunda función e
Un sándwich de este material se enrolla de
potencial
entre las pla
un apacitor compacto 24.14 Efecto de un dieléctrico entre las
carga es constante, Qformando 5 C0V0 5 CV
y cC>C
0 5 V0>V. En este caso, la ecuaquier material aislante ex
placas paralelas de un capacitor. a) Con
la forma
2) se puede expresar de
través de él, si se somete
una
carga
dada,
la
diferencia
de
potencial
Conductor
V0 es V0. b) Con la misma carga pero con un
se llama ruptura del die
(hoja metálica)
V5
(donde
Q es unadconstante)
Dieléctrico
Tres funciones e un dieléctrico: (24.13)
dieléctrico entre las placas, la diferencia
K
campos eléctricos más in
de potencial V es menor que V0.(hoja de plástico)
trico permite que un cap
léctrico presente, la diferencia de potencial para una carga Q dada se redu a)
lo tanto, almacene cantid
actor de K.
1) Soluciona el problema de mantener las placas separadas stante dieléctrica K es un número puro. Como C siempre es mayor que C0,
La tercera función es
2) Aumenta la diferencia de potencial mVacío
áximo posible es mayor que la unidad. En la tabla 24.1 se incluyen algunos valores repremayor cuando entre sus
o Cualquier aterial aislante ycuando sujeto a un campo eléctrico intenso de K. Para el vacío, K 5 1, por definición.
Para elm
aire
a temperaturas
to se demuestra con ayu
experimenta ruptura dieléctrica – iQonización del material que permite 2Q
ordinarias, K es alrededor de 1.0006; este
valor es tan cercano
a 1 que
para
rencia de potencial entre
24.4 Dieléctricos
829
el paasaje de lvacío.
a electricidad (correspondiente a perdida de energía) ticos, un capacitor con aire es equivalente
uno con
Observe que
uno a otro. La figura 24.
agua tiene un valor de K muy grande,
por lo
general no espun
dieléctrico
o Los dieléctricos ueden tolerar más altos campos -­‐ potencial aumenta con carga, con magnitud
ico
usarlo en24.14
capacitores.
razón
es que sientre
bien
el
EfectoLa
desin un dieléctrico
lasagua pura
estecomo
caso,para
la ecuaruptura dieléctrica es
do entre las placas se ins
paralelas
de un solvente
capacitor.iónico.
a) ConCualquier ion
V0
tor deficiente, por otroplacas
lado,
es
un excelente
3)
Dieléctrico p
ermite aumentar la carga y la capacitancia parafina o poliestireno, l
una
carga
dada,
la
diferencia
de
potencial
n el agua haría que las cargas fluyeran entre las placas del capacitor, por lo
es
V
.
b)
Con
la
misma
carga
pero
con
un
minuye a un valor peque
0
e descargaría.
(24.13)
dieléctrico
las placas, la diferencia
Se coloca entre
un electrómetro que permite medir el potencial entre Electrómetro
dos placas paralela potencial vuelve a su va
(mide la
de potencial
con carga QV es
1 Valores de la constante
dieléctrica,
K, menor
a 20 °Cque V0.
las placas no han cambia
diferencia de
ga Q dada se redu–
+
potencial
entre
La capacitancia orig
a)
K
Material
K
las
placas)
dieléctrico presente es C
es mayor que C10,
Cloruro de polivinilo
3.18
Vacío
nor que V0, de donde se
b)
nos valores reprem)
1.00059
Plexiglás
3.40
mayor que C0. Cuando e
a temperaturas1.0548
y
atm)
Vidrio
5–10
Dieléctrico
2Q
léctrico, la razón de C a
rcano a 1 que para
Q
2.1
Neopreno
6.70
trica del material, K:
acío. Observe que
2.25
Germanio
16
2Q
Q
o es un dieléctrico
2.28
Glicerina
42.5
en el agua pura es
K5
3–6
Agua
80.4
V0
C
ico. Cualquier ion
3.1
Titanato de estroncio
310
l capacitor, por lo
Dieléctricos n dieléctrico real es un aislante perfecto. Por consiguiente,
siempre hay cierElectrómetro
V
Al agregar el
(midecon
la dieléctrico. En la
te de fuga entre las placas con carga de un capacitor
dieléctrico, se reduce
diferencia
4.2 se ignoró tácitamente este efecto en la obtención
de las de
expresiones para
–
la diferencia de
+
potencial
entre
K
tancias equivalentes
de capacitores conectados en serie, ecuación (24.5), y
potencial a través
las placas)
– del capacitor.
o,
+
o ecuación (24.7).
3.18 Pero si la corriente de fuga fluye un tiempo suficientego como para cambiar
b)manera sustancial las cargas con respecto a los va3.40 de
os para obtener las ecuaciones
(24.5) y (24.7),
La Dieléctrico
introducción entre ltales
as pecuaciones
lacas de upodrían
n dieléctrico o cambia las eléctrico
cargas, pero cambia la 24.15 nLíneas
de campo
cuando
5–10
er exactas.
entre las placas hay a) vacío y b) un
6.70
capacitancia de C0 =
nducida y16polarización
Q
Q
Q
a C = donde V < Vdieléctrico.
0 ⇒ C > C0 V
V0
2Q
42.5
e inserta un material dieléctrico
entre las placas de un capacitor al mismo
80.4
e la carga se mantiene
constante, la diferencia de potencial entre aquéllas dis-
a) Vacío
Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe reducirse
oun factor K. 310
mo factor. Si E0 es el valor
con vacío y E es el valor con dieléctrico, entonces 12 siempre hay cierE0
5 la
dieléctrico.EEn
K
V
(cuando Q es una constante)
Al agregar el
dieléctrico, se reduce
(24.14)
s
+
+
+
+
+
+
S
E0
2s
–
–
–
–
–
–
b) Dieléctrico
s
2si
+
+–
+
+–
+
+–
2s
–
+–
S
E –
+–
–
+–
si
Vacío
0
K siempre es mayor que la unidad. En la tabla 24.1 se incluyen algunos valores representativos de K. Para el vacío, K 5 1, por definición. Para el aire a temperaturas y
presiones ordinarias, K es alrededor de 1.0006; este valor es tan cercano a 1 que para
fines prácticos, un capacitor con aire es equivalente a uno con vacío. Observe que
aunque
el agua
tiene un valor de K muy grande, por lo general no es un dieléctrico
La constante dieléctrica muy práctico como para usarloCen capacitores.
La razón es que si bien el agua pura es
V
K=
= 0 , que es siempre > 1 (4.20) un conductor deficiente, por otro
C0 lado,
V es un excelente solvente iónico. Cualquier ion
disueltoQ en
agua haría
las
cargas fluyeran
las placas del capacitor, por lo
Cuando es celonstante, el nque
uevo potencial es igual aentre
: que éste se descargaría.
1
Q
V=
(4.21) V0 K
Tabla 24.1 Valores de la constante dieléctrica, K, a 20 °C
Material
K
Material
K
Vacío
1
Cloruro de polivinilo
3.18
Aire (a 1 atm)
1.00059
Plexiglás
3.40
Aire (a 100 atm)
1.0548
Vidrio
Teflón
2.1
Neopreno
Polietileno
2.25
Germanio
16
Benceno
2.28
Glicerina
42.5
Agua
80.4
Mica
3–6
Mylar
3.1
Titanato de estroncio
5–10
310
Carga inducida y polarización
Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo
tiempo que la carga se mantiene constante, la diferencia de potencial entre aquéllas disminuye en un factor K. Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe reducirse
en el mismo factor. Si E0 es el valor con vacío y E es el valor con dieléctrico, entonces
E0
K
(cuando Q es una constante)
Dieléctrico
6.70
Ningún dieléctrico real es un aislante perfecto. Por consiguiente, siempre hay cier ta corriente de fuga entre las placas con carga de un capacitor con dieléctrico. En la
NOTA: • Aunque agua ttácitamente
iene un K elevado, no een
s pla
ráctico usar de
lo clas
omo dieléctrico para
sección
24.2 seel ignoró
este efecto
obtención
expresiones
en c
apacitores, p
orque e
s u
na m
olécula p
olar y
p
or l
o t
anto u
n b
ueno (24.5), y
las capacitancias equivalentes de capacitores conectados en serie, ecuación
solvente iónico –(24.7).
cualquier ocasiona flujo e carga en paralelo,
ecuación
Peroión si la
corriente
de dfuga
fluye un tiempo suficiente mente largo como para cambiar de manera sustancial las cargas con respecto a los va• De hecho ninguno dieléctrico es un aislante perfecto – siempre tiene lores usados para obtener las ecuaciones (24.5) y (24.7), tales ecuaciones podrían
corriente de fuga dejar de ser exactas.
E5
b)
(24.14)
Como la magnitud del campo eléctrico es menor cuando el dieléctrico está presente,
la densidad superficial de carga (que crea el campo) también debe ser menor. La carga
superficial en las placas conductoras no cambia, pero en cada superficie del dieléctrico aparece una carga inducida de signo contrario (figura 24.15). Originalmente,
el dieléctrico era neutro y todavía lo es; las cargas superficiales inducidas surgen como resultado de la redistribución de la carga positiva y negativa dentro del material
dieléctrico. Este fenómeno se llama polarización.
La polarización se mencionó por
13 primera vez en la sección 21.2, y se sugiere al lector que vuelva a leer la explicación
de la figura 21.8. Se supondrá que la carga superficial inducida es directamente pro-
Q
24.15 Líne
entre las pla
dieléctrico.
a) Vacío
s
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
S
E
s
Para una de
o real es un aislante perfecto. Por consiguiente, siempre hay cierV
Al agregar el
entre las placas con carga de un capacitor con dieléctrico. En la
dieléctrico, se reduce
ró tácitamente este efecto en la obtención de las expresiones para
la diferencia de
uivalentes de capacitores conectados en serie, ecuación (24.5), y
potencial a través
–
n (24.7). Pero si laCarga corriente
de
fuga
fluye
un
tiempo
suficientedel capacitor.
+
inducida y polarización ra cambiar de manera
sustancial las cargas con respecto a los vabtener las ecuaciones
y (24.7),
ecuaciones
podrían
En p(24.5)
resencia de un tales
dieléctrico con Q
constante: Líneas de campo eléctrico cuando
24.15
E 1entre las placas hay a) vacío y b) un
= < 1 (4.22) E0 Kdieléctrico.
a y polarización
a) Vacío
b) Dieléctrico
n material dieléctrico
entre
las
placas
de
un
capacitor
al
mismo
Por lo tanto, la carga superficial sobre el s
2s
s
2s
e mantiene constante,
la diferencia
dedpotencial
2si
si
conductor debe isminuir entre aquéllas dis–
–
+
+
K. Por lo tanto, el campo
eléctrico entre las placas debe reducirse
–
–
+
+–
+
S
S
i E0 es el valor con La vacío
y E es
el valor consobre dieléctrico,
entonces
carga superficial el dieléctrico –
–
+
+
E
E0
–
–
+
–
+
+
neutraliza la carga sobre la superficie E0
–
–
+
+
E5
(cuando
es una constante)
(24.14)
del cQonductor K
–
–
+–
+
+
–
–
+
+
el campo eléctricoCargas es menor
cuando el dieléctrico
está presente,
Carga
superficiales = inducidas +–
–
+
+–
inducida
al de carga (que crea el•campo)
también debe
menor. La carga
El resultado de la ser
redistribución –
–
+
+
acas conductoras no cambia,
enpositiva cada superficie
del dielécde pero
carga y negativa +–
–
+
+–
rga inducida de signo contrario
24.15). Originalmente,
–
–
+
+
dentro (figura
del material utro y todavía lo es; las cargas
superficiales
inducidas
surgen
co–
+
–
–
+
+
–
–
+
+
edistribución de la carga
positiva
y
negativa
dentro
del
material
• El resultado de la polarización –
+
–
–
+
+
ómeno se llama polarización.
La
polarización
se mencionó por
del m
aterial 2si
si
s
2s
s
2s
cción 21.2, y se sugiere al lector que vuelva a leer la explicación
supondrá que la carga superficial inducida es directamente proPara una densidad de carga dada s, las cargas
tud del campo eléctrico E en el material; de hecho, éste es el cainducidas en las superficies del dieléctrico
reducen el campo eléctrico entre las placas.
ctricos comunes. (Esta proporcionalidad directa es análoga a la
En mucho dieléctrico Qinducida ∝ E análoga a la ley de Hook ( F = −kδ , donde δ es el alargamiento unitario que experimenta un material elástico) • Excepción cuando E es muy intenso (ruptura dieléctrica) o dieléctrico hecho de un material cristalino (material menos polarizable = o no elástico) σ
Para una densidad superficial dada, σ, el campo eléctrico es E0 = ε0
Con un dieléctrico el campo se cambia para 1
E = (σ − σ i ) (4.23) ε0
1
σ
Usando el hecho que E = E0 y E0 = K
ε0
σ −σi
σ
σ
1
1⎞
⎛
=
⇒ 1− i = ⇒ σ i = σ ⎜ 1− ⎟ ⎝ K⎠
ε0
Kε0
σ K
Para K  1 ⇒ σ i → σ (4.24) 14 A partir de estas relaciones se define la permitividad del dieléctrico como: (4.25) ε = K ε 0 Que simplifica la relación con el campo en dieléctrico para: σ
E = (4.26) ε
La capacitancia en presencia de un dieléctrico cambia para: A
A
C = KC0 = K ε 0 = ε (4.27) d
d
La densidad de energía en el campo eléctrico dentro del dieléctrico: 1
1
µ = Kε0E 2 = ε E 2
(4.28) 2
2
Ej. Capacitor con y sin dieléctrico Dos placas paralelas con A = 2000cm2 separadas de d =1.00cm; Se carga las placas obteniendo un potencial V0 = 3000V A
• La capacitancia es igual a C0 = ε 0  177pF d
• La carga es Q = C0V0  0.531µC V
V
• La magnitud del campo E0 = 0  3.00 × 10 5 d
m
El mismo capacitor con la misma carga y con un dieléctrico de plástico disminuye el potencial a V = 1000V Q
• La capacitancia pasa a ser más alta C =  531pF V
C V0
=  3.00 • La constante dieléctrica es K =
C0 V
C
• La permitividad del dieléctrico ε = K ε 0  2.66 × 10 −11
comparado con N ⋅ m2
F
ε 0 = 8.85 × 10 −12 m
• La carga inducida dentro del dieléctrico 1⎞ 2
⎛
Qi = Q ⎜ 1− ⎟ = Q  3.54 × 10 −7 C = 0.354 µC ⎝ K⎠ 3
V
V
• El nuevo campo E = = 1.00 × 10 5 d
m
15 Almacenamiento de energía con y sin dieléctrico En el ejemplo anterior, antes de la inserción del dieléctrico la energía potencial eléctrica estaba: 1
U 0 = C0V02  7.97 × 10 −4 J 2
La densidad de energía: 1
U
J
µ0 = ε 0 E02 = 0  0.398 3 2
Ad
m
Después de la introducción del dieléctrico la energía potencial eléctrica es 1
1
U = CV 2  2.66 × 10 −4 J  U 0 2
3
y la densidad de energía: 1
J
µ0 = ε E 2  0.133 3 2
m
• El proceso de la inserción de un dieléctrico no es conservativo ¿Donde se fue la energía? Este se va en el trabajo necesario para polarizar el dieléctrico – la polarización de un material no es un proceso conservativo 16 eléctrico suel dieléctrico
éctrico es tan
as moléculas,
movimiento,
ina.
oltajes máxiforma un arrco crea una
yectoria conqueda inuti-
material sin
e afectada de
irregularidaontrolar. Por
tricas. La ri24.2 se prees comunes.
ejemplo, una
más pequeño)
mo cercano a
les aislantes
Un campo eléctrico muy intenso ocasionó la ruptura de la rigidez del dieléctrico en un bloque de *24.5 Modelo molecular de
plexiglás El flujo de carga resultante grabó este patrón (fractal) en el bloque –
Ya se mencionó que cuando un material dieléctrico se
somete
campo eléctrico
firma de uan un
fenómeno caóticosu- 24.17 Un campo
ficientemente intenso, tiene lugar la ruptura del dieléctrico y entonces el dieléctrico ocasionó la ruptur
cuando el campo eléctrico es tan dieléctrico en un b
se convierte en conductor (figura 24.17). Esto ocurre
intenso que arranca los electrones de sus moléculas y los lanza sobre otras moléculas, El flujo de carga re
patrón en el bloqu
con lo cual se liberan aún más electrones. Esta avalancha de carga en movimiento,
que forma una chispa o descarga de arco, suele iniciarse de forma repentina.
Debido a la ruptura del dieléctrico, los capacitores siempre tienen voltajes máximos
nominales.
capacitor eses csomete
uncampo voltajeexterna excesivo
se forma
un arEl fenómeno de rCuando
uptura un
dieléctrica uando aun ioniza un material co a través
de la capa
aislante cambiando lo en de
un cdieléctrico,
onductor y lo quema o perfora. Este arco crea una
trayectoria
corto)
conductores.
Si laetrayectoria
con• Los econductora
lectrones s(un
on acircuito
rrancados de sentre
us mlos
oléculas con grande nergía ductora
permanece
después
deoléculas, haberse lextinguido
el dispositivo
quedacinuti• Se chocan con otras m
iberando mel
ás arco,
electrones = fenómeno aótico lizado
de
manera
permanente
en
su
función
de
capacitor.
• Avalancha de cargas produce chispas o arcos eléctricos (corte circuito) de La magnitud
máxima de campo eléctrico a que puede someterse un material sin
forma repentina que ocurra la ruptura se denomina rigidez dieléctrica. Esta cantidad se ve afectada de
Cuanto ste fenómeno se plaasa se forman ulas
n arco a través las
del pequeñas
material pirregularidaerforando lo manera esignificativa
por
temperatura,
impurezas,
de conducción orte cfactores
ircuito que son difíciles de controlar. Por
des•en Camino los electrodos
metálicos=y cotros
Si el sólo
camino permanece después que se ede
xtingue el arco, dieléctricas.
el capacitor esta• razón
pueden
darse cifras
aproximadas
las rigideces
Lase ri6
queda d
añado –
e
l f
enómeno e
s i
rreversible gidez dieléctrica del aire seco es alrededor de 3 3 10 V>m. En la tabla 24.2 se pre sentan valores de la rigidez dieléctrica de varios materiales aislantes comunes.
La magnitud el campo eléctrico áxima =mayores
campo d
e ruptura = rigidez dieléctrica Observe
que dtodos
los valores
sonmmucho
que
el del aire.
Por ejemplo,
una •
Sensible a
T
, i
mpurezas, i
rregularidades d
el m
aterial, e
tc. capa de policarbonato de 0.01 mm de espesor (el espesor práctico más pequeño)
• 10
Campo uptura dieléctrica
es muy aproximativo – firma un
de voltaje
un proceso complejo o a
tiene
veces dlae rrigidez
del aire y soporta
máximo
cercano
caótico (3 3 107 V>m) (1 3 1025 m) 5 300 V.
V
Para el aire seco a 1atm, la rigidez dieléctrica es  3 × 10 6 m
Tabla
24.2
Constante
dieléctrica
y
rigidez
dieléctrica
de
algunos
materiales aislantes
Ruptura del dieléctrico
Material
2.6
4.7
3 3 107
6 3 107
7 3 107
2 3 107
1 3 107
/
–
+
Evalúe su comprensión de la sección 24.4 El espacio entre las placas de un
capacitor aislado de placas paralelas
está ocupado
En ausencia
de un por un bloque de material dieléctrico
con constante dieléctrica K. campo
Las doseléctrico,
placas del capacitor tienen cargas Q y 2Q. Se extrae
el bloque dieléctrico. Si las cargas no cambian, ¿cómo
17 se modifica la energía en el capacitor
las moléculas polares
cuando se retira el material dieléctrico?
incrementa; ii) disminuye; iii) permanece igual.
se orientan i)alSe
azar.
+
+
+
–
– +
n dieléctrico,
argas superficonductores
Poliestireno
Vidrio
a) pyrex
–
ducida
Rigidez dieléctrica,
Em ( V m )
24.18 Moléculas polaresSa)2.8
sin un
Policarbonato
campo eléctrico aplicado E y3.3
b) con
Poliéster
S
Polipropileno
un campo eléctrico aplicado 2.2
E.
+
❚
Constante
dieléctrica, K
–
de un
éctrico
Se extrae
el capacitor
anece igual.
24.17 Un campo eléctrico muy intenso
ocasionó la ruptura de la rigidez del
dieléctrico en un bloque de plexiglás.
El flujo de carga resultante grabó este
patrón endel el dbloque.
Ruptura ieléctrico ❚
24.18 Moléculas
campo eléctrico ap
un campo eléctrico
a)
+
+
– +
–
+
– +
+
–
–
S
–
+
+
–
– +
+
– +
+
+
+
–
–
–
nducida
En ausencia de un
campo eléctrico,
las moléculas polares
se orientan al azar.
b)
–
conductor. Pero un a)
dieléctrico ideal no tiene cargas con liberue, ¿cómo puede surgir una carga superficial?
o, se tiene que analizar otra vez el reacomodo de la carga a nimoléculas, como las de H2O y N2O, tienen cantidades iguales
En ausencia
un de
egativas,
pero con una distribución desigual,
con de
exceso
un dieléctrico,
campo eléctrico,
ada
en un
lado de la molécula y carga negativa
en el otro. Cocargas
superfilas moléculas polares
ección
21.7, tal arreglo recibe el nombre de
dipolo eléctrico,
y
se orientan
al azar.
os conductores
olécula
polar.
Cuando
no
está
presente
un
campo
eléctrico
en
ente un campo
nuemoléculas
polares, éstas se orientan al azar (figura 24.18a). no hay camarse en
unlibercampo eléctrico, tienden a orientarse como en la
argas
con
+
studiaron
as
de un las cargas superficiales inducidas en un dieléctrico,
ctrico. Ahora veremos cómo se originan estas cargas superfieléctrico
24.18
Moléculas
polaresSa)Los
sin conductores
un
era
conductor, la
respuesta
sería sencilla.
. Seun
extrae
campo eléctrico
aplicado
b) con
E cyarga nneellibertad
capacitorde movimiento
y,olecular cuando
está
campo Modelo m
de lpresente
a iun
nducida S
un
campo
eléctrico
aplicado
E
.
rmanece
igual.
as se redistribuyen
en la superficie de manera que no hay cam❚ –
o molecular de la carga inducida
– +
– +
E
Cuando se
aplica un campo
eléctrico, las
moléculas
polares tienden
a alinearse
con él.
– +
b)
–
Propiedad eléctrica de u
n c
onductor: S
de la carga a ni–
E son libres de mover se a la superficie del conductor • Cargas eléctricas +
tidades iguales
–
• +En presencia de un Cuando
campo seeléctrico los electrones libres se redistribuye para con exceso de
producir un campo aplica
nulo un
en campo
el conductor (efecto de la caja de Faraday) en el otro. Co– +
eléctrico, las
olo eléctrico, y Moléculas polares, H O omoléculas
N2O, tiene cantidad de cargas iguales pero con distribución 2
+
polares tienden
po eléctrico en no s–imétrica (no +equilibrada) produciendo un dipolo eléctrico a alinearse
–
figura 24.18a).
• En un material hecho e moléculas polares, en ausencia de campo externa, los condél.
rse como en la
dipolos se orientan de manera aleatoria • Cuando se introduce un campo externo, los dipolos se alinean en el sentido del campo – el resultado de momentos de torsión • Efecto de temperatura, hace que la alineación nunca es perfecta Incluso una molécula que por lo general no es polar se convierte en un dipolo al colocarse en un campo eléctrico debido a que éste empuja las cargas positivas en las moléculas en la dirección del campo, y a las negativas en dirección opuesta O 24 Capacitancia y dieléctricos
+
•
Esto ocasiona una redistribución de la carga dentro d
Se la molécula = dipolos 24.19
Moléculas no polares a) sin un campo eléctrico aplicado E y b) con un campo
inducidos S
eléctrico aplicado E.
b)
a)
En ausencia de
un campo eléctrico,
las moléculas
no polares no son
dipolos eléctricos.
–
–
–
+
–
S
E
+
+
+
–
–
+
+
Un campo eléctrico
ocasiona que las
cargas positivas y
negativas de las
moléculas se
separen ligeramente,
lo que en efecto
convierte la
molécula en polar.
figura 24.18b, como resultado
de los pares de torsión de campo eléctrico descritos en
la sección 21.7.
En
virtud
de
la
agitación térmica, la alineación de las moléculas con
S
respecto a E no es perfecta.
Incluso una molécula que por lo general no es polar se convierte en un dipolo al
colocarse en un campo eléctrico debido a18 que éste empuja las cargas positivas en las
moléculas en la dirección del campo, y a las negativas en dirección opuesta. Esto ocasiona una redistribución de la carga dentro de la molécula (figura 24.19). Tales dipo-
os fuerzas.
d llamada
(21.14)
21.32 La fuerza neta sobre este dipolo
eléctrico es cero, pero hay un par de
torsión dirigido hacia la parte interna
de la página, que tiende a hacer girar
el
en elen
sentido
horario.
Pardipolo
de torsión
un dipolo
eléctrico – trabajo y energía potencial
S
gnitud del
? m.
+
S
p
S
d
E
de no conno hay tangnificados.
ento. ❚
S
S
F25 2qE
–
S
F 5 qE
1
1q
f
d sen f
2q
Cuando se coloca un dipolo en un campo eléctrico uniforme aparecen fuerzas de 

magnitudes iguales F+ = F− = qE , por lo tanto: •
La fuerza neta sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es cero Sin embargo, las dos fuerzas no actúan a lo largo de la misma línea, por lo que: • Sus pares de torsión no suman cero Sea φ el ángulo entre el campo el eléctrico y el eje del dipolo, el momento de torsión es igual a:   1
d
(4.29) τ = F × d = qE senφ 2
2
Y la suma del pare de torsión (aplicando la regla de la mano derecha) 

τ = qEd senφ = Ep senφ = p × E (4.30) 
• El pare de torsión siempre tiende a hacer que p gira para que se alinee 
con E Cuando esto se pasa, un trabajo se realiza: el trabajo realizado por el pare de torsión durante un desplazamiento infinitesimal = dW = τ dφ donde τ = − pE senφ (negativo porque el para de torsión va en el sentido que φ disminuye) En un desplazamiento finito de φ1 a φ2 el trabajo es igual a: φ2
(4.31) W = ∫ − pE senφ dφ = pE cosφ2 − pE cosφ1 φ1
Como el trabajo es el negativo del cambio de potencial, tenemos para la energía potencial  
(4.32) U (φ ) = − pE cosφ ⇒ U = − p ⋅ E •
La energía potencial  tiene su valor mínimo en la posición estable, cuando 
p es paralelo a E 19 las moléculas
no polares no son
dipolos eléctricos.
–
–
+
–
+
+
negativas de las
moléculas se
separen ligeramente,
+
lo que en efecto
–
24.20 La polarización
de unladieléctrico
convierte
S
E da lugar
en un campo eléctrico
a la
molécula
en polar.
formación de capas delgadas de cargas
ligadas en las superficies, lo que crea
carga superficiales si
figura 24.18b, como resultado de los pares de torsión dedensidades
campo de
eléctrico
descritos en
y 2si. Por claridad, se han exagerado
la sección 21.7. En virtud de la agitación térmica,
la
alineación
de
las
moléculas
con
los
tamaños
de
las
moléculas.
S
respecto
a E nopes
perfecta.
Ya sea con moléculas olares o no 2si
Incluso
una
molécula
lo general no es polar se convierte
en unsidipolo al
polares, de la redistribución dque
e la por
carga – + – positivas
+
– + en las
colocarse en un campo eléctrico debido a que éste empuja las cargas
causada pmoléculas
or el campo externo –
+
+
en la dirección del campo, y a las negativas en dirección
opuesta.
oca+
– Esto
–
(polarización) o
rigina l
a f
ormación d
e siona una redistribución de la carga dentro de la molécula (figura
dipo– +
– + 24.19).
– + Tales
una capa los
de se
carga en dipolos
cada sinducidos.
uperficie del llaman
– + – +
– +
material dieléctrico con densidad Ya sea con– moléculas
polares o no polares, la redistribución
– + causada
– +de –la +carga
E
olarizaciónSde un dieléctrico
por
el
campo
origina
la
formación
de
una
capa
de
carga
en
cada
superficie
del
mate–
–
o eléctrico E da lugar asuperficial la
±σ i +
+
– +
S
rial dieléctrico (figura 24.20). Estas capas son las cargas superficiales
descritas
en la
e capas delgadas de cargas
– + – +
– +
as superficies, lo que crea
sección 24.4; su densidad superficial de carga se denota con si. Las
cargas
no
tienen
– +
– + – +
cargas no tienen libertad para de carga superficiales sLas i
libertad
para moverse
indefinidamente
como lo harían en un conductor porque cada
–
–
+
+
– +
claridad, se han exagerado
moverse iuna
ndefinidamente porque cEn
ada está unida a una molécula.
realidad se llaman cargas ligadas para diferenciar2si
si
de las moléculas.
una está unida a una molécula = cargas si
si
colocarse en un campo eléctrico d
moléculas en la dirección del cam
siona una redistribución de la carg
los se llaman dipolos inducidos.
Ya sea con moléculas polares
por el campo origina la formación
rial dieléctrico (figura 24.20). Est
sección 24.4; su densidad superfic
libertad para moverse indefinidam
una está unida a una molécula. En
las de las cargas libres que se ag
capacitor. En el interior del mater
igual a cero. Como se ha visto, es
rización, y se dice que el material
Los cuatro incisos de la figura
dieléctrico cuando se inserta en el
gas opuestas. La figura 24.21a mu
la situación después de haber inse
comodo de las cargas. La figura 2
24.21 a) Campo eléctrico de magn
de un dieléctrico con constante dielé
campo. d) Campo resultante de mag
las de las cargas libres que se agregan y se retiran de las placas conductoras de un
permanece
d
ligadas capacitor. En el interior del material, la carga neta por unidad de volumen
igual a cero. Como se ha visto, esta redistribución de carga recibe el nombre de pola- rización,
dice quela elcmaterial
está ppolarizado.
En el interior del ymseaterial, arga neta or unidad de volumen permanece igual a Los
cuatro
incisos
de
la
figura
24.21
ilustran el comportamiento de un trozo de
cero: dieléctrico cuando se inserta en el campo entre un par de placas de capacitor con cara) El campo original; b) Situación después de haber insertado el dieléctrico, pero gas opuestas. La figura 24.21a muestra el campo original. La figura 24.21b presenta
antes de qlaue ocurra el reacomodo de las cargas; c) flechas delgadas = el campo situación después de haber insertado el dieléctrico, pero antes de que ocurra el reaadicional q
ue se de
establece l dieléctrico por scon
us flechas
cargas superficiales comodo
las cargas.en Laefigura
24.21c ilustra
delgadas
el campoinducidas adicioS
a) Sin dieléctrico
s
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
– +
– +
+
– +
– +
+
– +
– +
+
– +
– +
+
– +
– +
E (campo opuesto al original, no tan grande como para anularlo por completo, ya que las +
– +
– +
+
– +
– +
+
– +
– +
+
– +
– +
cargas en 24.21
el dieléctrico no tienen libertad ara dos
moverse en forma indefinida); d) Por s
a) Campo eléctrico
de magnitud
E0 p
entre
placas con
cargas.
b) Introducción
superficiales
y su
de un edieléctrico
constante dieléctrica
K. c) Las cargas
consiguiente, l campo con
resultante en el dieléctrico disminuyó su inducidas
magnitud campo. d) Campo resultante de magnitud E0>K.
a) Sin dieléctrico
s
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
si
d
s
S
E0
2s
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
2s
b) El dieléctrico
se acaba de insertar
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
c) Las cargas inducidas d) Campo resultante
crean campo eléctrico
s
2s
si
2si
2si
si
–
–
+
+
–
–
–
+–
+
+
+
–
–
+
+
+–
+–
+–
+–
–
–
+
+
+–
+–
+–
+–
–
–
+
+
–
+
–
–
+–
+
+
–
–
+
+
+–
+–
+–
+–
–
–
+
+
–
+
–
–
+–
+
+
–
–
+
+
+–
+–
+–
+–
2si
si
2si
si
s
2s
Campo
eléctrico
original.
Campo más débil en el
dieléctrico debido a las
cargas inducidas (ligadas).
La polarización también es la razón por la que un cuerpo con carga, como una varilla de plástico electrificada, puede ejercer una fuerza sobre un cuerpo sin carga, como un trozo de papel o una bolita de médula de saúco. 20 S
E0
2s
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
2s
b) El dieléc
se acaba de
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ley de Gauss en los dieléctricos
24.23 Ley de Gauss con un dieléctrico.
Esta figura presenta un acercamiento de la
placa izquierda del capacitor de la figura
24.15b. La superficie gaussiana es una
caja rectangular que tiene una mitad en el
conductor y la otra mitad en el dieléctrico.
sección 24.4 puede extenderse para reformular la ley de Gauss de
útil en el caso particular de los dieléctricos. La figura 24.23 es un
e la placa izquierda del capacitor y la superficie izquierda del dieléca 24.15b. Se aplicará la ley de Gauss a la caja rectangular que se
Ley de Gauss en los dieléctricos e transversal mediante la línea púrpura; el área superficial de los la izquierdo está incrustado en el conductor que
derecho es A. El lado
La por
figura es el
un acercamiento la placa zquierda del capacitor,
lo que
campo
eléctrico ende cualquier
sidel cestá
apacitor y la en
superficie ficie es igual a cero. izquierda El lado derecho
incrustado
el dieléctrico,
eléctrico tiene magnitud
E y E'del en cualquier
5d
0ieléctrico izquierda lugar de las otras
carga total encerrada, incluida la carga de la placa del capacitor y la
n la superficie del dieléctrico,
Qenc 5se (saplica 2 si )A,
por
lo que la ley
La ley de es
Gauss a la caja S
EA 5
+
+ –
•
+
Vista lateral
σ
(24.21)
P0
El área superficial de los lados +
Superficie
gaussiana
izquierda del capacitor, por lo que s
o bien,
s2s
5
el campo eiléctrico en cualquier K
sitio de esa superficie es igual a on la ecuación (24.21) se obtiene
cero sA
sA
ado d
o •bien,El lKEA
5erecho está incrustado (24.22)en EA 5
KP0
P0
el dieléctrico, donde el campo S
S
E y gausmde
agnitud (24.22) plantea que el flujo deeléctrico KE, no E,taiene través
la superficie
a figura 24.23, es igual a la carga
libre
encerrada
sA
dividida
E⊥ = 0 en cualquier lugar dentre
e las P0.
otras cuatro caras • La carga total encerrada, inclui la carga de la placa del capacitor y la carga inducida en la superficie del dieléctrico: Qenc = (σ − σ i ) A
1
2
Conductor
Vista en
perspectiva
A
Por lo que la ley de Gauss da Φ = EA =
(4.33) –σi
+ –
izquierdo y derecho A cantidades
sta ecuación no es muy esclarecedora
porque
relacionaes dos
dentro del dieléctrico y la densidad
superficial
de
carga
inducida si.
uede usar la ecuación (24.16),
desarrollada
para esta
misma
situación,
• El lado izquierdo está incrustado de simplificar la ecuación eliminando
s
.
La
ecuación
(24.16)
i
en el conductor que forma la esplaca 1
si 5 s 1 2
K
E
Conductor Dieléctrico
rectangular que se muestra en corte transversal mediante la línea púrpura 1s 2 s 2A
i
S
E50
(σ − σ ) A 21 i
ε0
A
Dieléctrico
⎛
1⎞
σ
Pero como σ i = σ ⎜ 1− ⎟ ⇒ (σ − σ i ) = y tenemos que K⎠
K
⎝
σA
σA
⇒ ( KE ) A =
Kε0
ε0
 
 
El flujo cambia de Φ0 = E ⋅ A → Φ = KE ⋅ A En general, para cualquier superficie gaussiana, la ley de Gauss en presencia de un dieléctrico de constancia dieléctrica K es:   Qenc−libre
(4.35) K
E
∫ ⋅ dA = ε 0 Ej. Capacitor esférico con dieléctrico La simetría del problema no cambia por la presencia del dieléctrico por lo que se tiene que:  
Q
2
K
E
∫ ⋅ dA = ∫ KE dA = KE ∫ dA = ( KE ) 4π r = ε 0 Φ = EA =
(4.34) (
)
Por lo tanto el campo eléctrico disminuye por un factor 1 K E=
1 1 Q
1
Q
1 Q
=
=
2
2
K 4πε 0 r
4πε r 2
4π ( K ε 0 ) r
De la misma forma la diferencia de potencial Vab disminuye del mismo factor 1 K con lo que la capacitancia C =
Q
se ve incrementada en un factor K Vab
C=
4π ( K ε 0 ) ra rb
rb − ra
22 =
4πε ra rb
rb − ra