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B.- MATERIALES ELÉCTRICOS
3.9.- El vector polarización eléctrica.En el capítulo I, parágrafo 1.31, hemos visto la definición de dipolo eléctrico.
En el 1.32 se calculó la cupla que actúa sobre un dipolo colocado en un campo
eléctrico, y vimos que los dieléctricos pueden tener o no dipolo permanente.
Introduciremos un nuevo vector que denominaremos polarización eléctrica,
con el fin de disponer de una mejor descripción del comportamiento de los materiales
frente a la acción de un campo eléctrico. Inicialmente supondremos un trozo de
material no cargado. En ese caso la suma de todas las cargas eléctricas será nula. Pero
podría suceder que el material estuviese eléctricamente polarizado, es decir, que la
suma de los momentos de todos los dipolos que están presentes no sea nula.
Supondremos entonces que en un volumen  del material se cumple que:
q
i
i
=0
i
0

p
i

q L
i
i

=p
i
Aquí hemos usado las definiciones vistas en los párrafos
mencionados arriba.

Vamos a definir ahora el vector polarización eléctrica P . Para ello en un material
dado tomamos un pequeño volumen  en el cual suponemos que existe un número
de dipolos n por unidad de volumen. Tendremos entonces n dipolos en ese
volumen. Los dipolos que los suponemos muy pequeños, son discretos pues
provienen de átomos o moléculas polarizadas y tienen cada uno un momento dipolar

pi . Al considerar esta definición, supondremos que dentro del volumen  hay un

momento dipolar p e que será la suma vectorial de todos esos dipolos que se
encuentran dentro del volumen , es decir:
n 


pe   pi
i 1
Definiremos entonces al vector polarización eléctrica como:

P = lim
0
y las unidades del vector polarización serán:
III B 1

pe

(3.18)

Cm C
[P] = 3  2
m
m
Es importante destacar que el vector polarización está dirigido desde la carga
negativa hacia la carga positiva, tal como se vio en la definición de dipolo eléctrico
(parágrafo 1.31). Además estas cargas están siempre ligadas (cargas de polarización),
debido a que pertenecen a los dipolos. Debemos remarcar que el vector polarización
sólo existe dentro de los dieléctricos. La carga que se suministra a un cuerpo,
mediante cualquiera de los métodos vistos, es carga libre, o no ligada. En la figura
3.10 se grafica esta diferencia entre una y otra. Obsérvese además que las unidades de

este vector son las mismas que las del vector D .
Fig. 3.10
3.10.- Relación entre los vectores campo eléctrico, inducción eléctrica y
polarización eléctrica.En la figura 3.11a se presenta el gráfico del vector campo eléctrico entre dos
placas de un capacitor de caras planas. Hemos elegido esta geometría por razones de
simplicidad en la explicación que sigue. Dicho vector lo llamaremos de ahora en más

E ext con el fin de distinguir claramente que es el que existe sin material entre las
placas. También vemos que ese campo está en el vacío, y que se cumple:


D   0 E ext
En la figura 3.11 b en cambio, se describe un material dieléctrico  colocado
en el mismo campo eléctrico de la figura anterior. Ahora vemos que el material se ha
polarizado. Las cargas inducidas en dicho material se han dibujado en la figura. Se
observa que la carga inducida es de signo contrario a la carga libre que existe en cada
una de las caras del capacitor. Si consideramos la capa negativa del dieléctrico, a la
izquierda de la figura, el vector polarización en módulo será:
III B 2
P
pe pe q l q


  pol
  l  l 
suponiendo que los dipolos están todos ordenados, que ocupan la superficie  del
dieléctrico, igual a la de la armadura del capacitor, que tienen entre la carga positiva y
la negativa una distancia l, y que además p e es la suma vectorial de todos los pi ,
momento de cada uno de los dipolos orientados.
Estas cargas inducidas constituyen cargas ligadas o de polarización, y su
densidad superficial pol es menor que la de la carga
libre libre que es la que se encuentra en la armadura
del capacitor. A partir del teorema de Gauss que
vimos en el párrafo 1.35, es fácil ver que:
D = libre
A su vez la carga ligada genera su propio
campo eléctrico, que llamamos E int , cumpliéndose
que:
Fig. 3.11 a
 

E  Eext  Eint
En la figura 3.11 b están dibujados a escala, de
modo que se puede verificar la ecuación anterior
gráficamente. En este material además se cumple que:


DE
Por otra parte, dentro del diélectrico en
cuestión, ahora existe el vector polarización, el cual
será tanto mayor cuanto mayor sea el campo eléctrico.
En este curso proponemos una relación lineal entre el
Fig. 3.11 b
vector campo eléctrico y el vector polarización. Esta
relación, sin embargo, no es general. Existen materiales donde es mucho más
complicada. Tal es el caso de los materiales que se utilizan en optoelectrónica, como
los moduladores electroópticos. Con estas consideraciones, nos restringimos al caso
más sencillo donde:


P  0e E
III B 3
(3.19)
expresión en la que introducimos  e ,
susceptibilidad dieléctrica del material.
Este nuevo parámetro describe el
comportamiento del material frente a la
acción del campo eléctrico, y nos informa
sobre la cantidad de carga que se puede
llegar a inducir en el dieléctrico. No tiene
unidades, con lo que resulta más práctico.
Por otra parte será siempre mayor que
uno, ya que la constante dieléctrica del
vacío es el menor valor conocido.
Fig. 3.11 c
La relación entre los tres vectores
dentro del dieléctrico, que es lo que
deseamos encontrar, la hallaremos
teniendo en cuenta
que el campo eléctrico

resultante es E tal como hemos visto.
Para encontrar esta relación, de la figura 3.11c vemos que en las proximidades
de la armadura izquierda la carga resultante será la diferencia entre la carga libre en la
armadura propiamente dicha y la carga ligada, inducida en el dieléctrico. Por ello, en
términos de densidades superficiales de carga podremos escribir, suponiendo las
mismas superficies para ambas:
neta = libre - pol
Ahora bien, la densidad superficial de carga de polarización en el dieléctrico
es en realidad igual al módulo del vector polarización. Por ello podremos escribir:
neta = libre - P
Por otra parte, la densidad superficial de carga libre es como dijimos más
arriba, igual al módulo del vector inducción libre = D . Por otra parte, la densidad
superficial de carga neta neta  0E , que resulta de pensar que dicha carga neta es
como si solo tuviéramos vacío, ya que es la diferencia entre la carga libre en la
armadura y la carga de polarización en el dieléctrico. Queda entonces:
D  0 E  P
y tomando vectores:

 
D  0 E  P
Haciendo los reemplazos correspondientes:
III B 4
(3.20)

E  0E  0e E
resultando:
   0 (1  e )
(3.21)
De estas relaciones se obtiene:
e 
D   0 E libre   neta  pol  pol



0E
 neta
 0 E  neta
que nos informa de que la susceptibilidad es la relación de carga inducida al campo
eléctrico neto en el material. Además, recordando que
 = r0 :
r 
pol
libre  pol
1
que muestra que la constante dieléctrica relativa es
tanto mayor cuanto mayor es la densidad superficial
de carga inducida o de polarización.
Si en la expresión (3.20) multiplicamos ambos
1
miembros por E queda:
2
Fig.3.12 a
1   1 2 1 
ED  0 E  EP
2
2
2
donde se ve que el primer miembro es la densidad de energía almacenada en el
capacitor (según se puede ver en la expresión (3.6)), y que es igual a la suma de la

densidad de energía almacenada en el vacío con el campo neto E , más la densidad de
energía almacenada en el dieléctrico.

En la fig. 3.12a se representa el hecho de que el vector P es nulo en el vacío,
  
pues en él no existen dipolos. En la fig. 3.12b se representan los vectores E, D y P ,
III B 5
así como el potencial V en un capacitor de caras
planas, donde ahora hemos colocado en el centro y
entre las armaduras, un dieléctrico de permitividad

 y de longitud a < d. Se observa que D permanece
constante dado que se cumple la condición de

contorno dada en la expresión (1.49). El campo E es
menor en el interior del dieléctrico por la presencia
del campo de los dipolos que es de sentido opuesto,

y además el vector polarización P existe sólo donde
está .
3.11.- Los electretos.Se denomina así a los materiales que pueden
quedar eléctricamente polarizados luego de estar en
presencia de un campo eléctrico muy intenso.
Pueden prepararse electretos sometiendo capas
delgadas de ceras, plásticos, cerámicas y otras
sustancias orgánicas e inorgánicas a campos del
orden de 106 V/m. Estas sustancias pueden quedar
polarizadas por semanas (inclusive años),
dependiendo esto de la temperatura y el tratamiento
mecánico al que fueron sometidas. Tienen muchas
aplicaciones tecnológicas tales como detectores de
radiación, micrófonos y otros.
Fig. 3.12 b
En la figura
3.13 se encuentran
representadas
las
líneas
del
vector
campo eléctrico, el
vector desplazamiento
y
el
vector
polarización eléctrico
para una barra de un
material como el
descripto, que ha sido
sometida a un campo
eléctrico intenso.
Fig. 3.13
III B 6
Como se puede apreciar la carga es de polarización, por lo tanto no es carga
libre. De ahí que las líneas de D se las dibuje como cerradas
tal como lo indica el

teorema de Gauss si  = 0. En cambio las líneas de E se originan en las cargas
positivas y concluyen en las negativas, pues, como ya se dijo, las fuentes del campo

eléctrico son las cargas libres y las de polarización. El vector P va del negativo al
positivo de acuerdo a su definición.
Se debe destacar que si un electreto se lo corta en dos, se obtienen dos nuevos
electretos. (El comportamiento es semejante a una barra imanada, como se verá en el
capítulo IV).
3.12.- Generalización de la primera ley de Kirchoff: ecuación de la continuidad.En el capítulo II, vimos la primera ley de Kirchoff (2.22):
N
i
j
= 0
j=1
En la figura 3.14, hemos dibujado un nudo, al cual entran y salen corrientes,
rodeado de una superficie cerrada , que es atravesada por los conductores. Ello nos
permite escribir ahora la primera ley de Kirchoff así:


 J d 
= 0
(3.22)

la cual, aplicando el teorema de Gauss se
transforma en:


div J d = 0
Fig. 3.14

Como el volumen  es arbitrario, se obtiene:


div J =  J =0
(3.23)
Supongamos que ahora deseamos estudiar lo que sucede cuando un conductor
está conectado a un capacitor, que está en proceso de descarga por ejemplo, es decir
está circulando corriente por el conductor. En la figura 3.15, mostramos el gráfico de
esta situación, y además a una de las placas, la hemos rodeado por dos superficies:
una 1, que es atravesada por el conductor, y de la cual solo se toma en cuenta la
sección del conductor por donde realmente pasa la corriente, siendo nulo el flujo a
través del resto de la superficie pues no pasa corriente, y otra 2 , que está del lado del
dieléctrico, constituyendo ambas una superficie cerrada .
III B 7
Suponiendo que el capacitor estaba
inicialmente cargado, y que ahora se lo conecta de
modo que la corriente de descarga se produce a
través de una resistencia como se ve en la fig 3.15,
podremos escribir para dicha corriente:
i = -
Fig. 3.15
dq
dt
en la cual reemplazamos la corriente i por la
expresión (3.22), y a la carga q por el teorema de
Gauss de la electrostática (1.39). Nos queda
entonces:
 
d  
J

d

=
D  d

dt 
1
Si ahora agregamos en el primer término la superficie 2 , como ella no es
atravesada por la corriente i, nada cambiará, ya que no hay flujo pasante. Ello
transformará a la superficie del primer miembro en una superficie cerrada. Además en
el segundo miembro, introducimos d/dt, dentro de la integral. Queda entonces:
 
d  
J

d

=

 dt (D  d)
En el segundo miembro tenemos la derivada temporal de un producto escalar,
dentro de la integral. Debemos señalar que las superficies que se han dibujado en la
figura 3.15 no varían con el tiempo. Es decir que el problema tiene una geometría que
no cambia. Ello hace que el vector inducción sólo dependa del tiempo, por lo cual la
derivada total, la reemplazaremos por una derivada parcial:

 
D 
 J  d = - t  d

 D

 ( J  t )  d = 0
la cual si le aplicamos el teorema de Gauss, queda:

 D
 div (J + t ) d = 0

III B 8
(3.24)
A partir de ahora designaremos a:



J , vector densidad de corriente de conducción, y

D
, vector densidad de corriente de desplazamiento.
t
El primero da cuenta de la densidad de corriente que circula por los conductores,
y el segundo la que circula por los dieléctricos. Estas definiciones y el desarrollo se
deben a Maxwell. Obsérvese además, que la densidad de corriente de desplazamiento
implica una variación temporal para el vector inducción eléctrica. No es el caso de la
densidad de corriente de conducción. En los problemas se evaluarán ambas corrientes
en casos típicos. Se observará que en los dieléctricos, la densidad de corriente de
conducción es muy baja, y que en los conductores la densidad de corriente de
desplazamiento también es muy baja. De la (3.24), para que el segundo miembro sea
cero, teniendo en cuenta que  es arbitrario, se debe cumplir que:
 

div J + (div D) = 0
t
y reemplazando por (1.42) que es la primera ecuación de Maxwell, queda finalmente:
 
div J +
= 0
t
(3.25)
que se conoce con el nombre de ecuación de la continuidad.
3.13.- Tiempo de redistribución de la carga libre.-

Reemplacemos en la (3.25) el vector J mediante la ley de Ohm puntual (2.7):
 
div (E) +
= 0
t
y usando (1.42) reemplacemos el primer término:



=0

t
cuya solución es:
( t ) = (0) e
donde:
III B 9
-
t
T
(3.26)
T=


(3.27)
se denomina el tiempo de redistribución de la
carga eléctrica. (Ver figura 3.16). El significado
es el siguiente: supongamos que mediante una
barra de vidrio frotada, se deposita en un punto
de una esfera de cobre una determinada carga: T
nos dará el tiempo que tarda la carga en reducirse
a un 37 % de su valor inicial. Se invita al lector a
calcular la constante de tiempo en el cobre.
Encontrará que su valor es  10-19 s. Es decir que
es muy breve. En cambio en el cuarzo fundido,
Fig. 3.16
excelente aislante, es del orden de 50 días, y en la
mica del orden de 10 horas. Esto explica por qué
cuando se frota una barra de vidrio, las cargas no se van por la mano y, en cambio,
una barra de material conductor no retiene las cargas al ser frotada.
Este concepto tiene una aplicación muy interesante: las fotocopiadoras. En
efecto, la idea sobre la cual se basa su funcionamiento es que el tiempo de
recombinación de la carga, en un semiconductor como el selenio, es controlable
mediante la intensidad de la luz que incide sobre él.
El tiempo de recombinación del selenio en
oscuridad es del orden de 50 s. Cuando se lo expone a
la luz, la conductividad aumenta rápidamente, y por lo
tanto el tiempo de recombinación disminuye también
notoriamente. Quiere decir que al incidir mucha luz, el
selenio se descarga más rápidamente. Cuando incide
poca o ninguna luz, se descarga menos, o no se
descarga. Se busca que la descarga se produzca sobre
un conductor que esté muy próximo al selenio, y
conectado a tierra. Ello se logra haciendo que el
Fig. 3.17a
selenio adopte una forma de placa plana y muy
delgada, que se evapora sobre otra placa metálica de
aluminio, tal como se puede ver en la fig. 3.17a. El espesor del selenio es de unos 20
a 100 micrómetros.
Otra característica del selenio es que el aumento de conductividad en función
del aumento de la luz incidente es local. Esto significa que la conductividad aumenta
en el punto que ha sido iluminado. En los puntos no iluminados en cambio no
aumenta. En definitiva la conductividad del selenio es función de la intensidad de la
luz que llega a la placa. Además los puntos iluminados pueden ser muy pequeños.
Veamos ahora los principios de funcionamiento de la fotocopiadora:
III B 10
1) La placa de selenio y aluminio, que está montada sobre un rodillo, se carga
por inducción al pasar por las proximidades de una rejilla conductora que está a unos
7000 V (fig.3.17b).
2) Una lámpara de alta intensidad que
emite luz blanca, ilumina el original a fotocopiar.
(fig.3.17c). Este original tiene partes blancas y
partes negras, con diferentes tonos de grises.
Cuando refleja la luz, las partes blancas reflejarán
más y las partes oscuras, menos. Se puede decir
que la luz reflejada por el original lleva la
información sobre lo que se desea copiar.
Fig. 3.17 b
3) La luz reflejada, incide sobre la placa
de selenio cargada. Donde incide más luz, se
descargará más y donde incide menos luz, se
descargará menos. Recuérdese lo dicho
anteriormente sobre la posibilidad de la luz de
descargar la placa de selenio. En ella quedará
«copiada» la información original, pero en
cargas distribuidas en su superficie.
Fig. 3.17 c
4) El toner es un polvo negro que tiene un portador al cual es posible cargarlo
electrostáticamente con cargas opuestas a las que tiene el selenio. Al ir pasando la
placa cargada, (fig.3.17d), el toner va siendo atraído, y queda así la placa de selenio
impregnada, de tal manera que se reproduce el documento sobre su superficie y
constituye una imagen del mismo. Es decir que sobre el selenio está el documento a
reproducirse, pero en forma de polvo negro depositado y fijado electrostáticamente.
5) Ese toner ahora debe ser depositado sobre la hoja de papel sobre la cual
finalmente aparecerá la fotocopia. El papel se carga electrostáticamente, con carga
opuesta a la que tiene la placa de selenio y, de esta forma, atraerá las partículas de
toner que tienen, además del pigmento negro portador, una resina que se funde con
temperatura fijando el toner al papel (fig 3.17e). Se ha obtenido una fotocopia del
original.
III B 11
Fig. 3.17 d
Fig. 3.17 e
3.14.-El circuito serie RC. Carga y descarga de un capacitor.Sea el circuito de la figura 3.18 a. Supongamos que la llave se conecta al
punto 1. El capacitor C está inicialmente descargado. Ni bien se conecta la llave al
punto 1, la corriente en la resistencia es: I0 = V0/R. A medida que el capacitor se va
cargando, su diferencia de potencial entre bornes crece, la diferencia de potencial
entre los bornes de la resistencia R decrece, correspondiendo a un decrecimiento de la
corriente i.
Sea q la carga entre bornes del capacitor C, e i
la corriente de carga que va del punto a hacia el punto
c, y es:
i
dq
dt
Además:
Vab  iR
y
Vbc 
q
C
Fig. 3.18 a
Por lo tanto
Vac  Vab  Vbc  iR 
o sea:
i
V0
q

R RC
III B 12
q
C
Supondremos que V0 = Vac, o sea despreciamos la resistencia interna de la
batería. Además, en t = 0 es q = 0  i = V0/R =I0 , y en t   es i = 0  q = V0C
= Qf
La ecuación diferencial para q es:
dq V0
q
dq
dt




dt
R RC
V0 C  q RC
cuya integral es:
 ln V0 C  q  
t
 cte
RC
Como en t = 0 es q = 0, resulta:
 ln V0 C  0  0  cte
ln V0 C  q   ln V0 C  
t
RC

q  t
q
 
ln 1 
1 
 e  t / RC
V
C
RC
V
C
0
0


y como V0C = Qf , la solución es:
y siendo i 
q  Qf 1  e t / RC 
(3.28)
i  I 0e  t / RC
(3.29)
dq
dt
Las curvas de la figura 3.18 b muestran las soluciones encontradas para i y q.
III B 13
Fig. 3.18 b
Supongamos ahora que conectamos la llave en el punto 2 después que el
capacitor se ha cargado. Para alcanzar la carga Qf necesita un tiempo teóricamente
infinito. En la práctica se estima, según el problema, en 5RC o 10RC. Ahora Vac = 0
0 = Vab + Vbc
El sentido de la corriente ahora se invierte y va de c hacia a, resultando:
i
q
RC
La carga inicial es la carga final del proceso de carga anteriormente descripto,
es decir Qf. En t = 0 es:
Q0= Qf e I0 =
Q 0 V0
.

RC R
La ecuación diferencial para q es ahora:
dq
q

dt
RC
y su solución:
q  Q0 e t / RC
Para i es:
di
i

dt RC
III B 14
(3.30)
y su solución:
i  I0 e  t / RC
(3.31)
Se observa que la expresión de i es idéntica al caso anterior, y en cambio q no
lo es. (Ver figura 3.18c). Al producto RC = c se lo denomina constante de tiempo del
circuito. La potencia instantánea del circuito es:
iV ac  i 2 R  iq / C  iV 0
donde i2R es la potencia disipada en el resistor, y iq/C la almacenada en el capacitor.
Fig. 3.18 c
La energía total, al cargarse el capacitor con la carga Qf que entrega la batería
es QfV0. La energía almacenada en el capacitor es QfV0/2. Es decir, que la mitad de la
energía entregada por la batería se almacena en el capacitor y la otra mitad se disipa
en el resistor. Este punto fue analizado en el párrafo 3.4.
Para dar una mayor ilustración sobre el comportamiento de las diferentes
variables en este tipo de circuito, en la fig. 3.18d se presentan los gráficos de Vbc, que
es la caída en el capacitor y de Vab , que es la caída en la resistencia. La suma de
ambos en todo instante debe dar la tensión Vo suministrada por la pila. También se
muestra la variación de la corriente i en el circuito, pudiéndose observar como
invierte su sentido cuando la llave está en el punto 2, es decir cuando la fuente de
tensión está desconectada.
III B 15
3.18 d
III B 16