Download cap4partA v7 def

CAPÍTULO IV
CAMPO MAGNÉTICO
A.- DEFINICIÓN DE LOS VECTORES INTENSIDAD DE CAMPO
MAGNÉTICO E INDUCCIÓN MAGNÉTICA
4.1.- Introducción.Tal como se dijo al comenzar el capítulo 1, el efecto de atracción de las
piedras de imán sobre el hierro fue descripto por Tales de Mileto (siglo VII AC).
También se comentó que se cree que los chinos, hacia el año 400 AC ya conocían el
efecto de que una piedra de ese tipo tallada en forma de aguja y suspendida en su
punto medio, se orientaba en una dirección privilegiada. Es decir que en ese entonces
sabían ya usar la brújula. Hacia 1200 la usaban los navegantes chinos y tiempo
después se la conoció en Europa.
También Gilbert, hacia el año 1600 estudió estos fenómenos y estableció que
la Tierra se comportaba como un gran imán. Por ello logró explicar el hecho de que la
aguja magnética siempre se orientaba en una dirección, aproximadamente hacia el
polo norte geográfico, y de allí surgió la denominación de polo norte al extremo que
apunta hacia esa dirección, llamándose el otro, el polo sur. Estos efectos mecánicos a
distancia, muestran la existencia de otro tipo de interacción, diferente a la de las
fuerzas gravitatorias y a la de las fuerzas electrostáticas.
El año 1820, fue decisivo para el conocimiento del magnetismo. En efecto, el
descubrimiento por parte de Oersted, de que una corriente eléctrica que pasaba por un
conductor, era capaz de mover una aguja magnética colocada en sus proximidades,
mostró que además de las piedras imanadas, o magnetitas, había una nueva fuente de
fenómenos magnéticos: las corrientes eléctricas. Esto ya lo tuvimos que mencionar en
el capítulo II cuando se explicó el funcionamiento de los instrumentos eléctricos.
Hoy en día se sabe que el movimiento de las cargas eléctricas genera campo
magnético. Resulta interesante ver que cuando las cargas están en reposo, generan
campo eléctrico solamente. En cambio, ni bien se las pone en movimiento por efecto
de una fuente de tensión por ejemplo, también generan campo magnético.
Ahora bien, como el movimiento es relativo entre los sistemas de referencia
inerciales, un experimento puramente electrostático en un sistema, puede
transformarse en un experimento electromagnético en otro sistema. Estos problemas
fueron los que dieron origen a la Teoría de la Relatividad. El primer trabajo que
Einstein publicó sobre este tema se denominó: “Sobre la electrodinámica de los
IV A 1
cuerpos en movimiento”. Este tema es motivo de estudio en cursos posteriores de
Física Moderna.
Además está demostrado que cuando las cargas eléctricas en movimiento son
aceleradas, producen una emisión de radiación electromagnética. A modo de
resumen, en la tabla 4.1 hacemos un cuadro de lo antedicho.
Carga eléctrica
En reposo
Con velocidad
Con aceleración
Tabla 4.1
Campo eléctrico
Existe
Existe
Existe campo de
radiación
Campo magnético
No existe
Existe
Existe campo de
radiación
4.2.- Fenómenos magnéticos. El campo magnético.a) Estudiaremos las propiedades de la barra imanada. Si en sus proximidades
se tiran limaduras de hierro pequeñas, se verá que éstas son atraídas por los extremos
del imán, que llamaremos polos, y que además forman una distribución como se
observa en la figura 4.1a.
b) Cuando se la suspende del punto medio, y se la
deja oscilar, la barrita imanada se dirige al norte
geográfico, y como dijimos, ese extremo toma el nombre
de polo norte, y el opuesto, polo sur.
Fig. 4.1 a
c) Si disponemos de dos barras imanadas iguales,
podremos observar experimentalmente que cuando se
acercan los dos polos norte, o bien los dos polos sur,
siempre se repelen. En cambio, cuando se acercan un
polo norte y otro sur, se atraen. Por ello se afirma que polos de distinto nombre se
atraen y del mismo nombre se repelen.
d) Cuando un imán se parte en dos, se forman otros dos imanes. Si esta misma
operación se repitiera varias veces, se observaría que se tendrían un polo norte y un
polo sur en cada trozo de imán.
e) La razón por la que una barrita en forma de aguja se orienta siempre hacia
el norte geográfico, es que la Tierra posee un gran campo magnético. Esta propiedad
es utilizada como método de orientación. Los instrumentos que se utilizan con este
fin se denominan brújulas.
f) Existen dos tipos de ángulos que se pueden medir con una brújula en cada punto de
la superficie terrestre: el ángulo de declinación y el de inclinación. En el primer caso,
IV A 2
la aguja magnética de la brújula gira sobre un eje vertical, y en el segundo caso sobre
un eje horizontal. El ángulo de declinación es el que forma el meridiano geográfico
del lugar, con el meridiano magnético. El ángulo de inclinación en cambio, es el que
forma la aguja moviéndose en un plano vertical, con la dirección horizontal. Estas
determinaciones se hacen con instrumentos muy precisos y compensando los posibles
efectos de materiales ferrosos que puedan estar en sus proximidades.
g) El campo magnético terrestre tiene dos componentes, una permanente y la
otra variable. En realidad ambas varían, pero la primera lo hace muy lentamente,
mientras que la segunda lo hace rápidamente, teniendo a su vez variaciones diurnas y
otras anormales, llamadas tormentas o perturbaciones magnéticas.
h) El magnetismo permanente se presenta naturalmente en materiales tales
como la magnetita, ya mencionada, o bien se puede obtener artificialmente,
sometiendo a hierros a diferentes métodos que le permiten adquirir dicha
imantanción.
i) El magnetismo inducido (figura 4.1.b), se
logra cuando pequeños trozos de hierro son
sometidos a la acción de un imán: se forman
pequeños imanes, que lo son mientras actúa el
imán inductor. Cuando éste deja de actuar, los
otros pierden su carácter de imanes. Es decir que
se pueden observar fenómenos ponderomotrices y
fenómenos de inducción magnéticos. En toda
región del espacio donde se verifican estos
fenómenos se dice que existe un campo magnético.
j) Hoy en día se sabe que las fuentes del
campo magnético son:

los imanes permanentes,

las corrientes eléctricas y

los campos eléctricos que varían con el tiempo.
Fig. 4.1 b
Este último caso, se verá más adelante, cuando se estudie la ley de Ampère.
4.3.- La ley de Biot y Savart.-El vector intensidad de campo magnético.Tal como dijimos al comienzo, en 1820 Oersted descubrió que una corriente
eléctrica que circula por un conductor es capaz de desviar una aguja magnética
cuando se la aproxima al conductor. Ello significa que la corriente eléctrica genera un
IV A 3
campo magnético. En septiembre del mismo año, Arago, físico de origen francés,
atraído por las experiencias de Oersted, lo fue a visitar con el fin de interiorizarse de
las mismas. Poco tiempo después, volvió a Francia, y relató todo lo que había visto,
en la Academie de Sciences de París. Esto excitó a varios de los investigadores
franceses que estaban presentes, entre ellos Ampère, Biot y Savart. El siguiente
descubrimiento, correspondió a Ampère, quién una semana después, describió
algunas experiencias sobre los campos magnéticos generados por corrientes eléctricas
y, en particular, sobre las fuerzas magnéticas que existen entre los conductores
cuando por ellos circula corriente (este tema será desarrollado en el capítulo VI).
Poco tiempo después, Ampère establecía la ley que lleva su nombre y que veremos en
próximos párrafos.
Jean B. Biot y Félix Savart, después de escuchar la exposición de Arago sobre
la experiencia de Oersted, volvieron a su laboratorio a estudiar estos fenómenos. Y
fue así como el 30 de octubre de 1820, ambos anunciaron más experimentos que los
condujeron a escribir la ley que describiremos a continuación y que lleva el nombre
de ambos.
Utilizaremos la llamada ley de Biot y Savart, para introducir el vector campo

magnético H . Supongamos entonces que tenemos un circuito filiforme C, como el
que se muestra en la figura 4.2a, recorrido por una corriente i. A partir de ahora a este
tipo de corriente, que circula por los conductores, la llamaremos corriente “libre”.
(Más adelante veremos otra que llamaremos “ligada”). Supongamos que
consideramos un pequeño trozo de

conductor d l . En un punto P cualquiera,

que se encuentra a una distancia r del
conductor, existe un campo magnético que
supondremos originado por la corriente que
circula por el conductor, y que

denominaremos dH .
La ley diferencial de Biot y Savart,
nos da la expresión del d H generado en
dicho punto P por un pequeño trozo i d l

del conductor, que está a una distancia r , y
que se expresa así:

 1 id l r
dH
4 r 3
Fig. 4.2 a
(4.1)
y en el caso en que se tome el vector para r:

 1 id l r
dH
4 r 2
IV A 4
(4.2)
En la fig. 4.2b se puede ver el sentido de cada uno de los vectores. En particular el

vector dH es saliente. Su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha
de Ampère que se muestra en la fig. 4.2c.
(Atención los zurdos!). En ella se puede
ver que la corriente sigue al pulgar de la
mano derecha y los otros dedos dan el

sentido de las líneas de dH . Aplicándola a
la fig 4.2a y a la 4.2b se obtienen los
sentidos indicados.
Si se toma todo el conductor del
circuito C, la expresión de la ley de Biot y
Savart quedará así:

1
H
4

 
id l r
r2
Fig. 4.2 b
(4.3)

Esta ley permite definir el vector intensidad de campo magnético H .
También puede ser escrita en función del
vector densidad de corriente eléctrica, observando

que se puede hacer el reemplazo: i d l  J d . La
(4.3) queda:
 

1 J r
H
d
4  r 2
(4.4)
Si ahora se refiere esta ecuación a un
sistema de coordenadas cartesianas, como se
observa en la fig. 4.2d, la ley de Biot y Savart
diferencial se la puede escribir así:

 1 i d l x r  r0 
dH 
  3
4
r  r0
Fig. 4.2 c
(4.2’)
y la ecuación integral:

 1 i d l x r  r0 
H    3
4
r  r0
IV A 5
(4.3’)
Se puede observar
fácilmente que las unidades
del vector campo magnético
son:

A
[H] 
m
Esta ley, al igual que
la ley de Coulomb, depende
de la inversa del cuadrado de
la distancia. También es
interesante notar que la ley
diferencial de Biot y Savart
no se puede verificar
experimentalmente. Sí en
cambio es posible hacerlo
con la expresión integral.
Fig. 4.2 d
4.4.- Líneas de fuerza.-
Cuando la aguja se desplaza en el campo magnético generado por un polo
norte, como el de la figura 4.4, siempre tiende a colocarse de modo que su polo norte
apunte en la dirección del vector intensidad de campo magnético.
Se puede así

recorrer una curva tal que en cada punto sea tangente al vector H . Estas líneas, así
recorridas, se denominan líneas de fuerza.
Pueden ser visualizadas mediante los espectros magnéticos. Éstos se logran
colocando, por ejemplo, los polos de un imán en forma de herradura sobre una placa
de acrílico. Sobre ésta a su vez se desparraman limaduras de hierro pequeñas. Se
observará, que las limaduras se orientan de modo de trazar líneas. Estas son las líneas
de fuerza. En efecto, cada limadura actúa como un pequeño imán inducido o dipolo,
que se coloca según las líneas del campo magnético.
4.5.- El dipolo magnético permanente.Un polo norte y un polo sur separados por una distancia l constituyen un
dipolo magnético permanente. Un ejemplo es la aguja magnética o brújula.
IV A 6

Definimos el momento del dipolo como m .
En la figura 4.3 se ilustra este vector. Más
adelante, se definirá otro momento de dipolo
magnético, basado en la corriente eléctrica.
También las unidades de esta expresión se verán
más adelante.
Fig. 4.3
Si el dipolo magnético, constituido por la

aguja magnética, cuyo momento  m definimos
en el párrafo anterior, es colocado en un campo magnético actúa una cupla sobre él,
cuyo momento es:



Tm =  m  H
(4.5)

donde H es el vector intensidad de campo magnético.
En la figura 4.4, se
han representado estos
vectores. Ésta es la situación
que se produce cuando una
aguja magnética está bajo la
acción del campo magnético
terrestre. De las unidades
de la expresión (4.5) se
pueden obtener las unidades
del
momento
dipolar
permanente, pues es:
Fig. 4.4

[Tm ]
J

 
 [ m ]
[H] A
m
4.6.- El vector inducción magnética.Una característica básica del campo magnético es la existencia del dipolo
magnético. El monopolo magnético no ha sido encontrado hasta la fecha, si bien el
físico Paul Dirac en su teoría cuántica lo ha predicho. Pero hasta hoy la búsqueda
experimental de los mismos ha sido infructuosa. En el caso de que se hallaran, lo cual
significaría un importante descubrimiento científico, la teoría de Maxwell debería ser
generalizada.
La existencia del dipolo magnético debe ser descripta mediante la
introducción de un nuevo vector, que se llamará inducción magnética B . Además en
IV A 7
las teorías de la inducción electromagnética, dicho vector también es indispensable
para una descripción del campo magnético. Es un símil del vector desplazamiento
eléctrico D .

El vector campo magnético H en cambio, es un vector que se reserva para
describir los fenómenos vinculados a las fuerzas de origen magnético, y tiene en
cuenta que las fuentes del
campo son los polos
magnéticos norte y los
sumideros
los
polos
magnéticos sur, tal como
sucede en el caso del
campo eléctrico con las
cargas eléctricas positivas
y negativas. Además es
independiente del medio
en el cual se crea.
Fig. 4.5
En una barrita
imanada,
podríamos

H
entonces trazar
las
líneas
del
vector
campo
magnético
y las del vector inducción

magnética B , a modo de ilustración (figura 4.5). Resultará ser un caso muy similar al

de las líneas del vector campo eléctrico E y el vector desplazamiento eléctrico D
respectivamente, como se vió en los electretos (figura 3.13).
4.7.- Flujo del vector inducción magnética.Definimos como el flujo del vector inducción magnética a:
 
B = B
(4.6)
Esta expresión
vale cuando el vector inducción magnética es constante en toda

la superficie . Para ello, lasuperficie debe ser suficientemente pequeña. Cuando no
se cumple esto, es decir, si B varía según los puntos de la superficie  que atraviesa,
será:
 
 B =  B  d
(4.7)

La unidad del flujo del vector inducción es: [ B ] = weber = Wb y, por lo
tanto, la unidad del vector inducción magnética es:

[ B] = weber/m2 = Wb/m2 = tesla = T
IV A 8
Existe una unidad proveniente de otro sistema que no es el usado aquí, pero
que aún aparece en muchos manuales y publicaciones técnicas, y que se denomina
gauss (G). La relación entre el tesla y el gauss es 1 T = 104 G. A modo de ejemplo
diremos que el campo magnético terrestre tiene aproximadamente 0,5 G; un imán
pequeño unos 100 G, y un electroimán puede tener unos 10.000 G.
4.8.- Propiedad fundamental del flujo del vector inducción.No hay fuentes ni sumideros del vector

B , pues tal como quedó demostrado
experimentalmente, cada vez que se parte un
imán en dos con la intención de separar los dos
polos, solo se logra tener dos imanes con sus
respectivos polos norte y sur. Como se dijo,
ello proviene del hecho de que se acepta que en
el campo magnético no hay monopolos, sino
dipolos magnéticos. Esto quiere decir que las
líneas del vector inducción magnética son
líneas cerradas (figura 4.6). No comienzan ni
terminan en “cargas magnéticas”. Lo mismo
sucede con los campos de inducción magnética
provenientes de las corrientes eléctricas
Esto
 no sucedía con el vector inducción
Fig. 4.6
eléctrica D que tenía como fuentes las cargas
eléctricas positivas, y como
sumideros las cargas eléctricas negativas. (Solo en los

electretos las líneas de D son cerradas, debido a que las cargas son ligadas, es decir
son dipolos eléctricos). Esto nos lleva a escribir la propiedad fundamental del flujo
del vector inducción así:

 B  d
= 0
(4.8)

la cual, si le aplicamos el Teorema de Gauss se transforma en:

 div B d
= 0
(4.9)

expresión que constituye la llamada ley de Gauss del magnetismo, y también es una
ecuación integral de Maxwell. De ella se desprende que, como el volumen  es
arbitrario, se cumple que:


div B  B = 0
IV A 9
(4.10)
expresión que constituye otra ecuación diferencial de Maxwell, la cual se agrega a la
(1.42) que era la ley de Gauss de la Electrostática.
El significado físico de esta ecuación (4.10) es el siguiente: en un punto del
espacio no hay ni fuentes ni sumideros de vector inducción magnética, es decir no
existe el monopolo magnético. Desde el punto de vista experimental, no es posible
realizar una experiencia en un punto del espacio, y por ello la (4.10) constituye un
nuevo postulado. Hasta el momento tenemos dos ecuaciones diferenciales de
Maxwell, la (1.42) y la (4.10), y dos ecuaciones integrales de Maxwell, la (1.41) y la
(4.9).
4.9.- Líneas de inducción.Supongamos una región del espacio en la cual hay un campo magnético. Si
partimos de un punto 1 dado, y hacemos un pequeño desplazamiento (tendiendo a
cero), en la dirección del vector inducción en ese punto, y luego, al llegar al punto 2,
muy próximo, volvemos a hacer un nuevo desplazamiento también tendiendo a cero,
en la dirección del vector inducción en ese punto, estaremos describiendo una línea
de inducción.
Se denomina entonces línea de inducción a la curva que es tangente al vector
inducción magnética en todos sus puntos. Estas líneas de acuerdo a lo visto en el
párrafo 4.6 serán siempre cerradas, debido a que, como se ha dicho, no existen ni
fuentes ni sumideros del vector inducción magnética, es decir, existen solo dipolos
magnéticos.
4.10.- Relación entre los vectores inducción e intensidad magnética.Para materiales lineales, homogéneos e isótropos, que son la mayoría de los
sólidos, líquidos y gases se cumple que:


B = H
(4.7)
donde  se denomina la permeabilidad magnética del medio material. Existen medios
magnéticos
que son anisótropos (cristales, plasma) en los cuales
las componentes de



B y H están relacionadas linealmente para cada valor de H por una matriz o tensor
de permeabilidad magnética. Si, en cambio, el material es inhomogéneo,  será
función de la posición. Son casos complicados que escapan al alcance de este curso.
Para los medios isotrópicos desde el punto de vista de la aplicación de un
campo magnético de módulo H, que son la mayoría de los medios materiales usados
en la práctica,  es un escalar, y los vectores involucrados en la (4.7) tienen la misma
dirección.
IV A 10
Pero hay otros materiales donde la curva adopta una forma más complicada,
llamada ciclo de histéresis. Su descripción se verá más adelante. A veces la
permeabilidad no puede ser representada por un simple escalar, y en la relación (4.7),
para materiales anisotrópicos debe ser dado por una matriz de 3 x 3.
El valor de la permeabilidad magnética en el vacío es
0 = 400 . 10 -9 H/m = 400 . nH/m
donde H es la abreviatura del símbolo que representa al henry, unidad que veremos en
el próximo capítulo, pero que ahora damos para que el lector retenga el valor y la
unidad más usada en la técnica desde el primer momento. (No confundir la unidad H
(henry), con el módulo del vector intensidad de campo magnético H).
Según el valor de  respecto de 0, los materiales se clasifican de la siguiente
forma:
  < 0 : se denominan diamagnéticos;
  > 0 : se denominan paramagnéticos y
  >> 0 : se denominan ferromagnéticos.
En este último caso, además es  = (H), es decir que  depende de los
valores que H adopta en el material.
Se puede definir la permeabilidad magnética relativa, (como lo hicimos con la
permitividad dieléctrica relativa):
r =

= Km .
0
En la tabla 4.2 se dan valores de la permeabilidad magnética relativa para
diferentes sustancias. Los valores de los materiales diamagnéticos y paramagnéticos
están muy próximos a 1. Los ferromagnéticos se apartan notoriamente de ese valor.
Se debe destacar que los materiales conductores y dieléctricos, en general tienen un
valor de la permeabilidad muy cercano al del vacío, y para todos los fines prácticos se
usa este valor.
IV A 11
Tabla 4.2
Sustancia
Bismuto
Diamagnéticas
Mercurio
Oro
Cobre
Hidrógeno
Germanio
Silicio
Grafito
Aluminio
Paramagnéticas
Paladio
Oxígeno
Tungsteno
Fe2O3
Y2O3
Cobalto
Ferromagnéticas
Níquel
Hierro común
(0,2% impurezas)
Hierro puro
(0,05% impurezas)
Supermalloy
r
0,99983
0, 999968
0,999964
0.999991
0,99998
0,999992
0,999997
0,99988
1,000021
1,00082
1,000002
1,000068
1,0014
1,0000005
250
600
6000
2 x 105
1x106
4.11.- Ley de Ampère.Ya hemos comentado que cuando Arago describió las experiencias de Oersted
en la Academie de Sciences de París, también estaba presente el gran físico Louis
Ampére. También, al igual que Biot y Savart, trabajó en las semanas posteriores
intensamente, y fue el autor de la ley que describiremos a continuación, y que en
cierta forma se complementa con la ley de Biot y Savart.
Sea la figura 4.7a, en la cual hay un conductor que transporta una corriente
eléctrica i. Perpendicularmente a él, hemos dibujado un plano, que podríamos
materializarlo por ejemplo con acrílico. Si sobre él se espolvorean limaduras de
hierro, se observará que se disponen formando círculos concéntricos alrededor del
conductor. Se ha establecido sin lugar a dudas un campo magnético, en el cual cada
limadura se convierte en una pequeña aguja magnética inducida.
IV A 12
La expresión de la ley de Ampère, es:


 H d l  i
(4.8)
C
donde el camino cerrado de
integración está alrededor del
conductor. Obsérvese que si el
conductor no queda encerrado, la
integral será nula. Habrá por cierto
campo magnético, pues ha sido
generado por el conductor, pero la
integral será nula. Si el camino de
integración pasara por una parte del
conductor,
involucrando
una
Fig. 4.7 a
superficie menor que su sección,
entonces deberá tomarse la porción de corriente que queda encerrada por el camino
de integración. Es fácil ver que los caminos radiales no contribuyen en la integral.
Las líneas de campo magnético tendrán un sentido tal que responden a la regla
del tirabuzón. También para que resulte fácil recordarlo, se puede usar como se dijo
en el párrafo 4.3 la regla de la mano derecha de Ampère. (Ver fig. 4.2d). En la fig
4.7b se muestran las líneas correspondientes a una corriente que sale del papel Isale y a
otra que entra Ientra.
Fig. 4.7 b
Supongamos ahora que en lugar de atravesar por el plano una sola corriente i,
pasan varias, unas hacia arriba, y otras hacia abajo, como se ha dibujado en la figura
4.7c.
IV A 13
La ley de Ampère se escribe ahora
así:
  N
H
 d l  i j
C
(4.9)
j1
Las corrientes deben sumarse
algebraicamente con un signo que denote el
sentido de cruce. Tal como se ve en la fig
4.7c, las corrientes i1 e i3 serán positivas, las
i2 e i4 negativas, y la corriente i5 no integrará
la suma por hallarse fuera del camino de
Fig. 4.7 c
integración C.
Es muy importante notar que la ley de Ampère, al igual que la ley de Biot y
Savart es válida para las corrientes libres, es decir para las corrientes que circulan por
conductores.
Si en la expresiones (4.8) y (4.9) multiplicamos ambos miembros por 0, es
decir la permeabilidad magnética del vacío, obtenemos
una expresión de la ley de

Ampère en términos del vector inducción magnética B .
Si usamos la expresión (2.3), para la densidad de corriente eléctrica,
suponiendo ahora que por la superficie de integración  pasan todas las corrientes,
podremos escribir:
   
H
 d l  Jd
C
(4.10)

que es una nueva versión de la ley de Ampère.
4.12.- Generalización de la ley de Ampère. La densidad de corriente de
desplazamiento.En la expresión (3.24), vimos que en los dieléctricos que se encuentran en los
capacitores, existe una densidad de corriente de desplazamiento. Siguiendo a
Maxwell, diremos que ésta generará también campo magnético, alrededor del
dieléctrico (figura 4.8).
IV A 14
Pero se debe tener en cuenta que habrá
campo magnético en el proceso de carga o
descarga del capacitor, es decir mientras exista
la densidad de corriente de desplazamiento.
Por ello, escribiremos otra versión de la
ley de Ampère más general, de la siguiente
forma:
Fig. 4.8

 
 D 
C Hd l  (J  t )d
(4.11)
es decir que ambas densidades de corriente generan campo magnético. Si a la (4.11)
le aplicamos el teorema de Stokes, queda:

 
 D 
 rot Hd =  (J + t )d
(4.12)
que constituye la versión más completa de la ley de Ampère, que es a su vez una
ecuación integral de Maxwell. Tenemos entonces 3 ecuaciones integrales de
Maxwell: La (1.41), la (4.9) y la (4.12).
Esta ecuación significa que una densidad de corriente de conducción, y/o una
densidad de corriente de desplazamiento generan un vector intensidad de campo
magnético rotacional. Esto último quiere decir que será posible extraer energía de un
sistema en el cual se verifique la presencia de ambas densidades de corrientes. Esta
ecuación de Maxwell se suma a las dos ya vistas, con lo cual tenemos tres ecuaciones
integrales de Maxwell.
Si en la (4.12) ponemos ambos miembros bajo el mismo signo integral, el
segundo miembro será cero. Para que esto se cumpla para cualquier superficie 
arbitraria, deberá cumplirse que:


  D
rot H   H  J 
t
(4.13)
que constituye otra nueva ecuación diferencial de Maxwell, y por lo tanto no
verificable experimentalmente, tal como ya se ha dicho para las anteriores. Ahora ya
tenemos también tres ecuaciones diferenciales de Maxwell: la (1.42), la (4.10) y la
(4.13).
IV A 15
El sentido físico de la (4.13) se explica diciendo que si en un punto del
espacio, existe una densidad de corriente de conducción y/o una densidad de corriente
de desplazamiento, entonces habrá un vector intensidad de campo magnético que será
rotacional. Esto último quiere decir que será posible obtener de alguna manera
energía del sistema.
Resumiendo, las tres ecuaciones diferenciales de Maxwell son:


div D   D  
(1.42)


div B   B  0
(4.10)


  D
rot H   H  J 
........................................(4.13)
t
Es posible verificar, haciendo uso de la expresión (4.7) que las unidades de la
permeabilidad magnética resultan ser:
[] 
Wb H

Am m
de donde se deduce que el henry es H = Wb/A.
Finalmente es muy importante destacar que en los problemas se verá un
ejemplo interesante sobre la utilización de las leyes de Biot y Savart y de Ampère. Se
trata del conductor recto, que puede ser de longitud indefinida o de longitud definida.
Mediante la ley de Ampère se lo puede resolver cuando es recto e indefinido. En
cambio, si el conductor es recto pero de longitud definida, se debe utilizar la ley de
Biot y Savart. El resultado obtenido con ésta última comprende al que se obtiene con
la ley de Ampère. Es muy importante ver este caso porque aclara mucho la utilidad de
ambas leyes para resolver problemas técnicos.
Hay otros casos, como el solenoide recto e indefinido (Ampère) y recto y
definido (Biot y Savart). En este último se obtiene una solución que comprende a la
del caso recto e indefinido, cuando se toman los límites adecuados.
4.13.- Condiciones de contorno para los vectores intensidad e inducción
magnética.Supongamos dos medios, 1 y 2, en contacto entre sí, sin ninguna corriente que
circule en la superficie de separación. Se desea
calcular la condición de contorno para

el vector intensidad de campo magnético H .
IV A 16
Para ello aplicaremos la ley de
Ampère, tomando un camino de circulación
abcda, tal como se ve en la figura 4.9, de lados
x y y Supondremos que a y se lo hace
tender a cero. De esa forma, sólo se tendrán
 en
cuenta las componentes tangenciales de H .
Resulta entonces que:

 
Hd l 
C
i
N
j
Fig. 4.9
j 1
H t1 x - H t2 x = 0
Ht1 =Ht2
(4.19)
que es la condición de contorno para el vector intensidad de campo magnético.

Para calcular la condición de contorno del vector inducción magnética B
utilizaremos la propiedad fundamental del flujo de dicho vector:
 
B
  d = 0

y la aplicaremos al cilindro que se muestra en la figura 4.9, de sección  y de altura
y, trazado en la superficie de separación
entre los dos medios 1 y 2. Si hacemos
tender y a cero, se tendrá:
B n1  - B n2  = 0
B n1 =B n2
Fig. 4.10
(4.20)
que es la condición de contorno para el
vector inducción magnética. Como se
observa, estas condiciones resultan
similares a las obtenidas en el caso de los
vectores intensidad de campo e inducción
eléctricos, que vimos en el párrafo 1.39.
IV A 17
4.14.- Los potenciales magnéticos escalar y vectorial.Introduciremos aquí los potenciales magnéticos con el fin de dar al lector un
panorama más completo de la teoría expuesta. Sin embargo la utilización de los
mismos para resolver problemas y su practicidad quedarán para cursos posteriores.
a) El potencial escalar magnético Vm.
En el campo eléctrico quedó establecido que si no existen fem, es posible
escribir:
 
E  dl  0
(1.16)

E  V
(1.22)

C
y que además:
En el caso del campo magnético, cuando no queda ninguna corriente
encerrada en la expresión de la ley de Ampère (4.8), ésta queda escrita como:

 
H  dl  0
(4.21)
C

En estas condiciones, H puede ser obtenido a partir de una función escalar
Vm que denominaremos el potencial escalar magnetostático o magnético, a través de
una relación similar a la (1.22):

H   Vm   gra d Vm
(4.22)
que por otra parte no podrá contradecir a la ecuación de Maxwell (4.13), es decir


rot H   rot gra d Vm  J  0
(4.23)

porque el rotor del gradiente de cualquier escalar es cero. Por ello el vector J deberá
ser cero, es decir que el potencial escalar Vm existirá donde no haya corriente
eléctrica.
Por otra parte, en el espacio libre el potencial escalar satisface la ecuación de
Laplace:


divB 0 divH  0
IV A 18
0 div   gra d Vm   0
resulta que:

2 Vm  0 con J = 0
(4.24)
 
es decir que Vm satisface la ecuación de Laplace cuando J  0 . Es del mismo tipo que
la (1.46), para el potencial electrostático.
El potencial magnético puede ser útil para resolver problemas en los que hay
geometrías en las cuales los conductores con corriente ocupan una fracción
relativamente pequeña de la región de interés. También se lo puede aplicar a
problemas de magnetos permanentes.
Las dimensiones de Vm son ampères.

b) El potencial vectorial magnético A .
A partir de la ecuación:

div B 0


es posible expresar B como el rotor de algún otro vector, en este caso A , puesto

que div rot A = 0,


B rot A
(4.25)

donde A se denomina potencial vectorial magnético. La unidad de este vector es
Wb/m.

Para que A quede completamente definido debemos especificar su rotor y su
divergencia. Por lo tanto la ecuación (4.25) no es suficiente, pues nos falta especificar
la divergencia. Veamos cómo podemos hacer para elegirla.

En la ecuación (4.13), no tomaremos la variación temporal del vector D , es
decir el segundo término del segundo miembro, debido a que estamos estudiando
campos que no varían con el tiempo. Por ello, tomemos la expresión:
 
rot H  J
y multipliquemos por la permeabilidad magnética del vacío 0:


rot B 0J
IV A 19

y reemplazando B por la (4.25):


rot rot A  0 J
y utilizando una relación del análisis vectorial, al primer miembro se lo reemplaza
por:



rot rot A  gra d div A   2 A
resultando:



gra d div A2 A0 J
Para
que esta relación sea más simple, especificamos ahora la divergencia del

vector A de la manera que resulta más conveniente, es decir:

div A  0
(4.26)


2 A   0 J
(4.27)
Finalmente quedará:

que es una ecuación de Poisson para A . Es del mismo tipo que la (1.45) para el
potencial electrostático.
Este potencial es extremadamente útil en la resolución de problemas
relacionados con el estudio de la radiación proveniente de antenas, en las pérdidas por
radiación de las líneas de transmisión, guías de onda y hornos de microondas, para
citar los ejemplos más interesantes. Sin embargo todo ello queda fuera del alcance de
este curso, por lo cual nos detendremos aquí.
IV A 20