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Función Afín. Aplicaciones a la Economía
ALANIZ LUISANA C.I 21.725.767
CEPEDA KHESIA C.I. 19.118.380
HERNANDEZ YENIFER C.I 19.779.950
PRIETO JOHNNEL C.I 15.683.870
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UCLA. DAC. Administración y Contaduría
November 28, 2013
Resumen
Hacemos un breve estudio de la función Afín, su de…nición, propiedades
y aplicaciones a la Economía
1
Introducción
Las ecuaciones lineales del tipo y = ax + b, son las determinantes para la
existencia de la Función Afín. Al poner en correspondencia directa los valores
de la variable independiente x con los valores de la variable dependiente y
establecemos una función dado que a cada valor de x le corresponde un
único valor de y: Es claro entonces que estas funciones tienen las mismas
propiedades que algebraicamente pertenecen a estas ecuaciones.
2
Función Afín
Como se estableció en la introducción, la relación que tienen dos variables x
y y de la forma:
y = ax + b
con a constante y a 6= 0, y b constante.
1
2.1
De…nición
A la función f : R ! R, de…nida por medio de
y = ax + b; a 2 R; a 6= 0; b 2 R
la llamamos función afín
Claramente, a debe ser un número real distinto de cero y b cualquier
número real.
El dominio y rango de esta función son
Dom(f ) = R y Rango(f ) = R
2.2
Ejemplos
1: f (x) = 2x + 7
2: f (x) = 7x
3: f (x) = x 35
2.3
Propiedades.
1. Entendiendo que y = f (x), la expresión f (x) = ax + b signi…ca que los
valores de la variable dependiente y tienen un valor inicial b y varían
proporcionalmente con respecto a los valores de la variable independiente x:
2. La grá…ca de cualquier función afín es una recta.
3. El valor a determina la pendiente de la recta y el valor b se denomina
ordenada en el origen.
4. Si a > 0 entonces la recta es creciente, es decir, inclinada hacia arriba, por otra parte si a < 0 entonces la recta es decreciente, es decir,
inclinada hacia abajo.
2.4
Grá…ca de una Función Afín.
Para obtener la grá…ca de una función afín f (x) = ax + b, comenzamos por
gra…car en el eje Y el valor numérico determinado por b; luego procedemos a
escoger cuelquier valor numérico, distinto de cero, para la variable x; con la
2
…nalidad de susutituir este valor en la función y obtener un nuevo valor para
y: Una vez gra…cados estos puntos, trazamos una recta que los una, y ésta
es la grá…ca de la función.
La grá…ca de la función f (x) = 2x+7 es una recta ascendente de pendiente
2, lo que indica que la función es creciente, además la recta corta al eje Y en
x = 0 dando como valor 7; es decir,
f (0) = 2:0 + 7 = 7
y
15
10
5
0
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
x
-5
Grá…ca de f (x) = 2x + 7
En el siguiente ejemplo vemos la función de…nida por medio de f (x) =
4 3x tiene una grá…ca que corta al eje Y en el valo y = 4 cuando x = 0;
además se observa que la fución es decreciente puesto que su pendiente es
3
3
y
5
2.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-2.5
-5
Grá…ca de la función f (x) = 4
3
3x
Aplicación a la Economía
Es frecuente encontrar problemas de mercado modelados por medio de funciones del tipo afín, uno de ellos es el estudio de la función demanda o
el caso de la función oferta. En cualquiera de estos casos las variables
involucradas son las cantidades demandadas u ofertadas, y el precio del bien
o producto considerado. Si x representa dichas cantidades y y representa el
precio de dicho producto, entonces la relación de demanda o la relación de
oferte puede quedar modelada por medio de
y = f (x) = ax + b:
Con un ejemplo entenderemos dichas situaciónes.
Supongamos que una relación de oferta establece que el precio de un
producto está …jado en 2 Bs por unidad, pero que proporcionalmente a las
cantidades ofertadas crece en 0,5 por unidad, entonces la ecuación de la oferta
queda como
y = f (x) = 2 + 0; 5x:
Similarmente, supongamos que un producto tiene como precio unitario 3 Bs
y que disminuye proporcionalmente a las cantidades demandadas en 0,25 por
4
unidad, entonces la ecuación de la demanda queda como
y = f (x) = 3
0; 25x:
Veamo sus grá…cas.
y
3.75
2.5
1.25
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
Ecuación oferta f (x) = 2 + 0; 5x
y
4
3.5
3
2.5
2
-5
-2.5
0
2.5
5
x
Ecuación demanda f (x) = 3
5
0; 25x
Es útil gra…car las dos funciones para observar un fenómeno de interés.
Usualmente dichas grá…cas se cortan en un único punto denominado punto
de equilibrio del mercado.
y
3.75
2.5
1.25
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
Como encontrar dicho punto?
Esto se hace al resolver el sistema de ecuaciones lineales
y = 3 0; 25x
y = 2 + 0; 5x
este sistema puede resolverse igualando las ecuaciones
3
0; 25x = 2 + 0; 5x
x = 4=3
x
1; 333
este valor de x será sustituidoen cualuiera de las ecuaciones
y=3
0; 25(4=3) = 8=3
2; 6667
El punto de equilibrio será el par
4 8
;
3 3
es decir, la cantidad de equilibrio es x = 4=3 y el precio de equilibrio es
y = 8=3:
6