Download Trigonometría - Universidad Del Caribe

Trigonometría
Dr. Víctor Manuel Romero Medina
Universidad del Caribe
Cancún, Quintana Roo, junio de 2011
2
Contenido
1 Funciones circulares
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La circunferencia unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Circunferencia unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Localizar puntos en el círculo unitario. . . . . . . . . . . . . . .
1.4 De…niciones de las funciones circulares coseno, seno y tangente . .
1.4.1 Funcion coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Función tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Funciones cosecante, secante y cotangente . . . . . . . . . .
1.5 Signo de las funciones circulares en cada uno de los cuatro cuadrantes.
1.6 Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Valores de las funciones circulares
2.1 Valores de las funciones circulares para los números reales 0; 2 ; ; 32 ; 2 . . . . . . . . . . . . .
2.2 Valores de las funciones circulares para los arcos 4 ; 3 y sus múltiplos. . . . . . . . . . . . . .
2.3 Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
17
20
3 Grá…cas de las funciones seno y coseno
3.1 Variación de las funciones al variar el ángulo.
3.2 Construcción de la grá…ca y = sin . . . . . .
3.2.1 Propiedades de la función seno . . . .
3.3 Construcción de la grá…ca y = cos . . . . . .
3.3.1 Propiedades de la función coseno . . .
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4 Identidades trigonométricas
4.1 Procedimiento para la veri…cación de identidades .
4.2 Identidades fundamentales. . . . . . . . . . . . . .
4.3 Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . .
4.4 Otras identidades trigonométricas . . . . . . . . . .
4.5 Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . .
4.6 Funciones circulares del doble de un número real .
4.7 Funciones circulares de la mitad de un número real
4.8 Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . .
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39
5 Aplicación de las funciones circulares a la
5.1 Teorema de los senos. . . . . . . . . . . .
5.2 Resolución de triángulos rectángulos. . . .
5.3 Reactivos de autoevaluación: . . . . . . .
5.4 Ley de los cosenos . . . . . . . . . . . . .
5.5 Solución de triángulos oblicuángulos . . .
5.6 Ejercicios de Autoevaluación . . . . . . .
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resolución
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3
de
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triángulos.
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CONTENIDO
6 Bibliografía
6.1 Libros de texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Medios electrónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CONTENIDO
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c [2011] por Víctor Manuel Romero Medina
Todos los Derechos Reservados
Plan de trabajo
Tema
1) Funciones circulares
2) Valores de las funciones circulares
3) Grá…cas de las funciones seno y coseno
4) Identidades trigonométricas
5) Aplicaciones de las funciones circulares a la resolución de triángulos
HORAS TOTALES
hrs.
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CONTENIDO
Capítulo 1
Funciones circulares
1.1
Introducción
La trigonometría surgió hace más de 4000 años inventada por los antiguos griegos, egipcios y babilonios
debido a la necesidad que tenían de medir ángulos y lados de triángulos. La palabra trigonometría se
deriva de los vocablos griegos trigonón (
! o ) y metrón ( " o ) que signi…can triángulo y medida,
respectivamente. Los egipcios establecieron que los ángulos se midieran en grados, minutos y segundos, tal
y como los medimos actualmente. Posteriormente, en Grecia, Ptolomeo (2000 AC) utilizó la trigonometría
para realizar mediciones astronómicas. Es importante recordar que en esos años, los pueblos establecieron
reglas fundamentales para dividir sus tierras equitativamente, dando surgimiento a la geometría (del griego
geos ( "o ) - tierra y metron ( " o ) - medida); y con la ayuda de la trigonometría mejoraron sus métodos
para medir los terrenos de forma precisa.
Desde entonces hasta hoy en día, la trigonometría ha tenido muchas aplicaciones y ha sido una herramienta
muy útil en ingeniería. a continuación nombraremos algunas de dichas aplicaciones:
a) Fases de la Luna. Las fases de la Luna se pueden describir usando el ángulo de fase ( ).
b) Movimiento de un brazo robot.
c) Cálculos metorológicos. Por ejemplo, para medir la altura h de una capa de nubes se puede dirigir un
proyector de luz directamente hacia arriba desde el suelo.
d) Tsunamis. Las olas de un Tsunami pueden medir más de 100 m de altura y viajar a grandes velocidades.
Estas olas se pueden representar por medio de expresiones trigonométricas de la forma y = a cos bt.
e) Presión en el tímpano. Si un diapasón se toca ligeramente y luego se sostiene a cierta distancia del
tímpano, la presión en el exterior del tímpano en el tiempo t se puede representar con la expresión
p (t) = A sin !t, donde A y ! son constantes positivas.
f) Diferenciación visual. El ojo humano pyuede distinguir entre dos puntos distantes P y Q siempre que
el ángulo de resolución no sea demasiado pequeño. de hecho, para una persona con visión normal,
este ángulo es alrededor de 0:0005 rad.
7
8
1.2
CAPÍTULO 1. FUNCIONES CIRCULARES
a) Fases de la Luna.
b) Brazo robótico.
c) Cálculos meteorológicos.
d) Ondas de Tsunamis.
e) Presión en el tímpano.
f) Diferenciación visual.
La circunferencia unitaria.
Durante esta sesión se estudiarán las seis funciones trigonométricas básicas, las cuales tienen muchas aplicaciones en diferentes ramas de la ciencia y la ingeniería. Estas funciones circulares son funciones de números
reales sobre números reales. Para su estudio es importante recordar la fórmula para la distancia entre dos
puntos y la ecuación de la circunferencia unitaria con centro en el origen.
1.2.1
Distancia entre dos puntos
Si tenemos dos puntos en el plano, A (x1 ; y1 ) y B (x2 ; y2 ), y queremos saber la distancia entre ellos, trazamos
segmentos de recta paralelos a los ejes x y y, y que pasen por los puntos A y B, quedando un triángulo
1.2. LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA.
9
rectángulo como el de la Fig. 1.1.
Figura 1.1. Distancia entre dos puntos.
Este triángulo rectángulo tiene catetos AD y BD e hipotenusa AB, así que podemos usar el Teorema de
Pitágoras para encontrar la distancia AB, que es la que nos interesa. Encontremos primero las distancias AD
y BD que son los catetos del triángulo rectángulo. Puesto que B y D tienen la misma abscisa, la distancia
de B a D será:
q
BD =
2
(y2
y1 )
;
y puesto que A y D tienen la misma ordenada, la distancia de A a D será:
q
AD = (x2
2
x1 )
:
Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo de la …gura obtenemos:
2
2
(AB) = (AD) + (BD)
2
;
que por sustitución, resulta:
2
2
2
(AB) = (x2 x1 ) + (y2 y1 )
q
2
2
) AB = (x2 x1 ) + (y2 y1 )
Ejemplo 1.1. Encontrar la distancia entre los puntos A (5; 2) y B ( 4; 7).
Solución:
q
q
2
2
2
2
AB =
(x2 x1 ) + (y2 y1 ) = ( 4 5) + (7 ( 2))
q
q
p
p
2
2
2
2
=
( 4 5) + (7 + 2) = ( 9) + (9) = 81 + 81 = 162
p
) AB = 9 2
1.2.2
Circunferencia unitaria
En principio, recordemos la de…nición de la circunferencia:
La circunfereneia es el conjunto de puntos del plano que están a una misma distancia (el radio)
de un punto …jo Ilamado centro.
La circunferencia que nos interesa es aquella cuyo radio tiene magnitod igual a uno, y es conocida como
circunferencia unitaria; por conveniencia, el centro de esta circunferencia lo consideramos en el origen de
los ejes coordenados.
10
CAPÍTULO 1. FUNCIONES CIRCULARES
Para obtener la ecuación de la circunferencia unitaria debemos usar la fórmula de distancia entre dos
puntos. Tomemos el centro como el punto O (0; 0) y el radio como 1 (ver Fig. 1.2).
Figura 1.2. Circunferencia unitaria.
Entonces, la condición que debe satisfacer cualquier punto P (x; y) que pertenezca a la circunferencia es
OP = 1, pero como
q
2
2
OP = (x 0) + (y 0)
por la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos que:
q
2
2
(x 0) + (y 0) = 1
;
simpli…cando obtenemos:
x2 + y 2 = 1
que es la ecuación de la circunferencia unitaria con centro en el origen. Si usamos la notación de conjuntos, el
conjunto C = (x; y) j x2 + y 2 = 1 representa la circunferencia unitaria con centro en el origen del sistema
de coordenadas.
1.3
Funciones circulares
Las funciones circulares son aquellas que relacionan las coordenadas (x; y) de cualquier punto sobre la periferia
de un círculo con su radio r. Consideremos la circunferencia unitaria con centro en el origen O del sistema
de coordenadas rectangulares y un punto P que puede desplazarse sobre la circunferencia, iniciando su
desplazamiento en el punto A (1; 0). En cada desplazamiento el punto P describe un arco de circunferencia,
cada uno de estos arcos tiene una longitud , ( 2 R), como se puede ver en la Fig. 1.3:
Figura 1.3. Arco de Circunferencia,
.
1.4. DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES COSENO, SENO Y TANGENTE
11
La longitud de una circunferencia está dada por la expresión C = 2 r, donde r es la medida del radio
correspondiente; esta expresión nos permite determinar la longitud de la circunferencia unitaria sustituyendo
en ella a r por 1. Siendo 2 unidades la longitud de la circunferencia unitaria, un arco de longitud j j > 2
( > 2 ó < 2 ) se genera cuando P , después de recorrer las 2 unidades de la circunferencia, continúa
su movimiento hasta completar las unidades en el único punto terminal correspondiente a .
Cada arco ( ) en la circunferencia unitaria tiene un punto terminal que designaremos por P ( ), ( que se
lee: P de alfa).
Figura 1.4. Punto terminal P .
1.3.1
Localizar puntos en el círculo unitario.
El número es un número irracional y no tiene representación decimal exacta; en aplicaciones prácticas se
acostumbra representarlo por alguna aproximación racional, es decir por un número racional próximo a ;
como por ejemplo: 3:1416, 22
7 ; etc:
Debe quedarnos claro que la única manera de representar exactamente este número, es mediante
el símbolo ; cualquiera otra representación numérica del mismo es sólo una aproximación.
1.4
De…niciones de las funciones circulares coseno, seno y tangente
1.4.1
Funcion coseno.
Con cada 2 R, está asociado un punto terminal P ( ) en la circunferencia unitaria; cada punto terminal
está de…nido por un único par ordenado con componentes reales (x; y). Si a cada se le asocia la única
x (abscisa) del punto terminal del arco correspondiente, se genera una función llamada Coseno (cos), que
tiene como dominio al conjunto de los números reales y como codominio al conjunto de las x de los puntos
en la circunferencia unitaria.
Figura 1.5. Valor de la funcion coseno.
De…nición:
12
CAPÍTULO 1. FUNCIONES CIRCULARES
Si P ( ) = (x; y) es un punto de la circunferencia unitaria, entonces
x = cos ;
2 R;
1
cos ( )
1
es la ecuación que de…ne a la. función coseno.
Para un círculo de radio diferente de 1, la función coseno se de…ne como la razón del cateto adyacente
(x) a la hipotenusa (r), con lo que podemos escribir esta función como
x
cos = :
r
1.4.2
Función seno
Si ahora, a cada se le asocia con la y (ordenada) del punto terminal, obtenemos la función llamada Seno
(sen, sin) cuyo dominio es también el conjunto de los números reales (R) y su codominio está constituido por
las y (ordenadas) de los puntos en la circunferencia unitaria.
De…nición:
Si P ( ) = (x; y) es un punto de la circunferencia unitaria, entonces
y = sin ;
2 R;
1
sin
1
es la ecuación que de…ne a la función seno.
Para un círculo de radio diferente de 1, la función seno se de…ne como la razón del cateto opuesto (y) a
la hipotenusa (r), con lo que podemos escribir esta función como
y
sin =
r
.
1.4.3
Función tangente
De…nición:
Si P ( ) = (x; y) , es un punto de la circunferencia unitaria, entonces
y
tan = ; x 6= 0
x
es la ecuación que de…ne a la función tangente.
Como para todo P ( ) en la circunferencia unitaria, x = cos , y = sin , la ecuación que de…ne a la
función tangente puede escribirse también como:
sin
tan =
cos
1.4.4
Funciones cosecante, secante y cotangente
Otras tres funciones circulares llamadas cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot), son de…nidas en
seguida y al igual que las tres primeras, estas de…niciones están dadas en términos de las coordenadas del
punto terminal P ( ).
1
csc = ; y 6= 0
y
1
sec = ; x 6= 0
x
x
cot = ; y 6= 0
y
Es muy importante recordar que estas son las
mente; es decir:
1
csc =
sin
1
sec =
cos
1
cot =
tan
funciones recíprocas a sin; cos;y tan, respectiva;
sin
6= 0
;
cos
6= 0 :
;
tan
6= 0
1.5. SIGNO DE LAS FUNCIONES CIRCULARES EN CADA UNO DE LOS CUATRO CUADRANTES.13
1.5
Signo de las funciones circulares en cada uno de los cuatro
cuadrantes.
Debido a la ubicación del punto P ( ) sobre la circunferencia unitaria, este se encontrará en cualquiera de
los cuatro cuadrantes del plano de coordenadas, por lo que su signo dependerá del signo de las coordenadas
(x; y) del punto en cada cuadrante. A continuación se presenta una tabla resumida en la que se presenta el
signo que le corresponde a cada una de las funciones circulares según el cuadrante en que se encuentre el
punto P ( ).
x
Cuadrante sin = y cos = x tan = ; x 6= 0
y
I
+
+
+
II
+
III
+
IV
+
1.6
Reactivos de autoevaluación
1. Resolver los siguientes ejercicios.
a) Encontrar la distancia entre los puntos ( 4; 5) y (3; 7).
b) Encontrar las longitudes de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son A( 4; 5), B(0; 10),
C(4; 1) y D(1; 7).
e) Encontrar las abscisas de los puntos cuya ordenada es 4 y cuya distancia al origen es 10.
f ) Considérese una circunferencia con centro en el origen y radio igual a 1. ¿Por cuál de los siguientes
puntos pasa?
!
p !
p
1
1
3
1
2 3
1
1
p ; p
p ; p
(1; 0) ;
:
;
;
;
;
;p
2 2
2
2
2
2
2
6
2. Localizar aproximadamente los siguientes puntos en la circunferencia unitaria:
a)
P
b)
3. Haciendo
P
3
6
e)
P
f)
P
7
3
21
4
= 3:1416, localizar aproximadamente en la circunferencia unitaria los siguientes puntos:
i)
j)
P (7)
P ( 15)
m)
n)
P ( 4)
P (27)
4. Ubique aproximadamente cada uno de los siguientes puntos en la circunferencia unitaria y determine
los signos de sus funciones circulares.
a)
b)
P (0:5)
P (3:27)
e)
f)
P ( 6:33)
P (17:32)
5. En la tabla siguiente, llene los huecos con el signo correspondiente a cada función.
Función
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
5
6
11
6
4
3
6
14
CAPÍTULO 1. FUNCIONES CIRCULARES
Capítulo 2
Valores de las funciones circulares
2.1
Valores de las funciones circulares para los números reales
0; 2 ; ; 32 ; 2 .
Para cada número real se corresponde un par de coordenadas (x; y) asociadas al punto terminal del arco
que parte del punto A (1; 0) en la circunferencia unitaria (Ver Fig. 2.1).
Figura 2.1. Coordenadas del punto
terminal del arco de circunferencia
unitaria.
Entonces, las coordenadas x e y son los valores funcionales del número real , donde cos = x y sin = y.
A continuación se calcularán los valores de las funciones circulares de arcos cuadrantales. Este nombre
lo reciben por encontrarse el punto terminal en la frontera de 2 cuadrantes (es decir, coincide con uno de los
ejes coordenados).(Ver …gura 2.2).
Figura 2.2. Primer cuadrantal del circulo
unitario.
15
16
CAPÍTULO 2. VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES
En la Fig. 2.2, se toma en cuenta que la longitud de la circunferencia unitaria es igual a 2 ; entonces,
cuando la longitud del arco es = 2 su punto terminal asociado es P (0; 1). En la Fig. 2.3 se localizan los
puntos terminales cuando = 0; ; 23 y 2 .
Figura 2.3. Cuadrantales del circulo unitario.
Estos valores se resumen en la siguiente tabla:
0
2
3
2
2
P (x; y)
(1; 0)
(0; 1)
( 1; 0)
cos
1
sin
0
0
1
1
(0; 1)
0
(1; 0)
1
0
1
0
Ejemplo 2.1. Encontrar el valor exacto de tan .
Solución: Primeramente establecemos las coordenadas del punto terminal en la circunferencia unitaria
correspondiente a una longitud del arco de unidades como se muestra en la Fig. 2.4.
Figura 2.4. Ejemplo 2.1.
2.2. VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES PARA LOS ARCOS
4; 3
Y SUS MÚLTIPLOS. 17
Ahora utilizamos la identidad trigonométrica:
tan
Calculamos el valor pedido para
=
sin
cos
= :
tan
=
=
sin
cos
0
=0
1
por lo tanto
tan = 0
3
Ejemplo 2.2. Encontrar el valor exacto de sec
.
2
Solución: Ubicamos el punto terminal en la circunferencia unitaria correspondiente al arco
coordenadas respectivas (ver Fig. 2.5).
3
2
con sus
Figura 2.5. Ejemplo 2.2.
Usamos la identidad trigonométrica:
sec
=
3
2
=
1
cos
Sustituimos valores:
sec
=
1
3
cos
2
1
0
Este resultado es una forma inde…nida en R ya que no se permite la división por cero, por lo que decimos
que:
3
sec
NO EXISTE
2
2.2
Valores de las funciones circulares para los arcos
múltiplos.
4; 3
y sus
En general, cualquier arco de la circunferencia unitaria puede obtenerse como un múltiplo del número , y
a partir de ello, podemos establecer cuáles son sus coordenadas cartesianas. A continuación describiremos
brevemente la determinación de las coordenadas para el arco correspondiente a 4 , y para los demás arcos se
darán por conocidos. Para el estudiante interesado se pueden estudiar estos procedimientos en la bibliografía
recomendada.
Se traza una circunferencia unitaria y se localiza el punto terminal P 4 . (Ver Fig. 2.6).
18
CAPÍTULO 2. VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES
Figura 2.6. Coordenadas del punto
terminal 4 .
Trazamos segmentos de recta perpendiculares a ambos ejes, pasando por el punto P
este caso un cuadrado como el de la Fig. 2.7.
4
, resultando para
Figura 2.7. Coordenadas del punto
terminal 4 .
Trazamos una diagonal como en la Fig. 2.8, formando un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales
(z), por corresponder a los lados del cuadrado.
Figura 2.8. Coordenadas del punto
terminal 4 .
Aplicando el Teorema de Pitágoras y despejando z obtenemos su valor:
z2 + z2 = 1
=)
2z 2 = 1
=)
z2 =
1
2
2.2. VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES PARA LOS ARCOS
z=
r
1
1
=p
2
2
)z=
4; 3
Y SUS MÚLTIPLOS. 19
p
2
2
De esta forma, ya tenemos determinadas las coordenadas del punto P
puede ver en la Fig. 2.9.
4
que son
p
2
2
2 ; 2
p
, como se
Figura 2.9. Coordenadas del punto
terminal 4 .
Para el arco de longitud
3
, sus coordenadas son P
p
3
1
2; 2
:
, como se muestran en la Fig. 2.10.
Figura 2.10. Coordenadas del punto
terminal 3 .
Ejemplo 2.3. Encontrar el valor exacto de sin 34 .
Solución: Se establecen primero las coordenadas del punto terminal en la circunferencia unitaria asociado
3
unidades como se muestra en la Fig. 2.11.
al arco de longitud
4
Figura 2.11. Ejemplo 2.3.
20
CAPÍTULO 2. VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES
por tanto,
p
2
3
sin
=
4
2
5
Ejemplo 2.4. Encontrar el valor exacto de tan
.
4
Solución: En la Fig. 2.12, se muestran las coordenadas correspondientes al punto terminal en la circun5
ferencia unitaria, asociado al arco
.
4
Figura 2.12. Ejemplo 2.4.
y usando la identidad trigonométrica respectiva, se tiene:
5
tan
4
sin
=
=
=
5
4
cos 54
p
2
p2
2
2
1
por tanto,
tan
2.3
5
4
=1
Reactivos de autoevaluación
En los ejercicios 1 al 6 se recomienda hacer la grá…ca de la circunferencia unitaria con las coordenadas del
punto terminal respectivo. Encontrar el valor exacto de:
1:
3:
5:
3
2
tan
2
csc
2
cot
En los problemas 17 al 37 encontrar el valor
siguientes condiciones:
2
17:
tan = ;
3
5
18:
sec = ;
4
7
19:
cos =
;
10
20:
cot = 2;
2:
4:
6:
3
2
sin 2
3
sec
2
cos
de las cinco funciones circulares que faltan si se conocen las
P ( ) en el tercer cuadrante.
P ( ) en el segundo cuadrante.
P ( ) en el primer cuadrante.
sin negativo.
Capítulo 3
Grá…cas de las funciones seno y coseno
3.1
Variación de las funciones al variar el ángulo.
La variación de las funciones seno y coseno puede ser en sentido positivo o en sentido negativo. La tabla
siguiente muestra la variación en sentido positivo:
Cuadrante
I
II
III
IV
sin
de 0 a 1
de
de 1 a 0
2
a
2
3
de a
2
3
de
a2
2
de 0 a
de
Figura 3.1. Valores de
2 , si
1
1a0
La tabla nos muestra los valores del seno y coseno cuando
valores mayores que 2 , si se toma positivo (ver Fig. 3.1),
ó menores que
cos
de 0 a
de 1 a 0
de 0 a
de
1a0
de 0 a 1
varía de 0 a 2 , sin embargo
>2 .
se toma en sentido negativo (ver Fig. 3.2).
21
1
puede tomar
22
CAPÍTULO 3. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO
Figura 3.2. Valores de
Los valores de seno y coseno, varían entre
3.2
<
1 y 1 para toda
2 .
2 R:
Construcción de la grá…ca y = sin
Tomando lo anterior como punto de partida y con ayuda de la circunferencia unitaria se construye la gra…ca
de y = sin , como sigue:
1. En un sistema de coordenadas rectangulares, se marcan sobre el eje x los valores de
se dibuja una circunferencia unitaria con su centro sobre el eje horizontal.
y sobre el eje y
2. Se marcan en la circunferencia unitraria los puntos terminales (de forma creciente) para diferentes
longitudes de arco, como pro ejemplo: P (0); P ( 2 ); P ( ); P ( 32 ) y P (2 ), y sobre el eje horizontal
gra…camos 0; 2 ; ; 32 y 2 . (Ver Fig. 3.3).
3. La distancia del origen de los ejes a cada uno de estos puntos, es igual a la longitud de su arco
correspondiente en la circunferencia unitaria.
Figura 3.3.
4. Si la ordenada de cada punto que hemos marcado sobre la circunferencia unitaria representa el valor
de sin , entonces trazamos por cada uno de estos puntos rectas paralelas al eje horizontal y por cada
uno de los puntos que gra…camos con anterioridad, sobre el eje horizontal trazamos rectas paralelas al
3.2. CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA Y = SIN
23
eje vertical, como se muestra en la Fig. 3.4.
Figura 3.4.
5. Los puntos donde se intersectan las dos rectas paralelas a los ejes, son puntos que pertenecen a la curva
y = sin ; sin embargo, necesitamos algunos otros valores para , estos valores pueden ser: 4 ; 34 ; 54 y
7
4 , junto con los valores de la Fig. 3.4, obtendremos la Fig. 3.5:
6. Se puede ver que para un arco cualquiera sobre la circunferencia unitaria, tenemos el punto correspondiente ( ; sin ) que pertenece también a la grá…ca de la función seno.
7. Por último, unimos todos los puntos anteriores por medio de una línea curva y la grá…ca resultante será
la de y = sin (Fig.3.6).
La curva la podemos continuar inde…nidamente hacia la derecha o hacia la izquierda. Si l 0 sustituimos
en la ecuación y = sin el valor de y encontramos el valor correspondiente para y, uniendo después todos
los puntos así encontrados por medio de la linea curva.
Figura 3.5.
Figura 3.6. Gra…ca de la funcion y = sin .
24
CAPÍTULO 3. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO
3.2.1
Propiedades de la función seno
De la gra…ca de y = sin podemos visualizar fácilmente las siguientes propiedades para la función seno:
1. La función es periódica, con período igual a 2 :
2. En el primer cuadrante la función crece de 0 a 1 y en el cuarto cuadrante crece de
3. En el segundo y tercer cuadrante la función decrece de 1 a 0 y de 0 a
1 a 0:
1, respectivamente.
4. La función es positiva en el primer y segundo cuadrantes, y negativa en el tercer y cuarto cuadrantes.
5. La función intersecta el eje horizontal en múltiplos enteros de
números enteros).
3.3
; sin n
= 0; n 2 Z (el conjunto de
Construcción de la grá…ca y = cos
Para contruir la grá…ca de y = cos usaremos el método de tabulación.
En un sistema de coordenadas rectangulares, se gra…can los valores de (dominio) en el eje horizontal y
los valores de cos (codominio) en el eje vertical. Posteriormente se dibuja la grá…ca de y = cos
A continuación se muestran algunos de los valores tabulados:
0
cos
cos
p6
3
2
1
7
6
p
3
2
1
4
1
p
2
5
4
1
p
2
3
1
2
2
0
4
3
1
2
2
3
1
2
3
2
0
3
4
1
p
2
5
3
1
2
5
6
p
3
2
7
4
1
p
2
11
p6
3
2
1
2
1
Gra…camos todos estos puntos en nuestro sistema de coordenadas, uniéndolos después por medio de una
curva continua resultando la grá…ca de la Fig. 3.7:
Figura 3.7. Gra…ca de la funcion y = cos .
Se observa que gra…cando algunos puntos a la derecha de 2 ó a la izquierda de 0 (líneas punteadas), se
puede deducir que la curva se prolonga inde…nidamente en ambos sentidos.
3.3.1
Propiedades de la función coseno
De la gra…ca de x = cos podemos visualizar fácilmente las siguientes propiedades para la función coseno:
1. La función decrece entre 0 y :
2. La función crece entre
y2 :
3.3. CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA Y = COS
3. La función es periódica, siendo su período igual a 2 :
4. La función es positiva en los cuadrantes I y IV , y negativa en los cuadrantes II y III.
5. El valor de cos varía entre
1 y 1 para
2 R.
25
26
CAPÍTULO 3. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO
Capítulo 4
Identidades trigonométricas
4.1
Procedimiento para la veri…cación de identidades
La veri…cación de identidades suele intentarse por alguno de los siguientes caminos:
1. Reducir el miembro más complicado al más simple.
2. Trabajar con ambos miembros simultáneamente hasta llegar en ambos a la misma experesión.
3. Usando algún arti…cio como multiplicar (o dividir) ambos miembros de una fracción por la misma
expresión.
4.2
Identidades fundamentales.
El objetivo de esta sesión es que el estudiante recuerde, y en su caso, se familiarice con las funciones circulares
y sus combinaciones mediante la veri…cación de identidades que contienen dichas funciones. Para lograr esta
veri…cación, nos basamos en ocho identidades consideradas como fundamentales y que son las siguientes:
a) Pitagóricas
2
sin
+ cos
tan2
+1
1 + cot2
2
b) de cocientes
sin
tan
cos
1
sec2
c) de reciprocos
cos
sin
cot
csc2
sin csc
1
cos sec
1
tan cot
1
Para la formulación de las identidades pitagóricas, partamos de:
sin2
+ cos2
=1
dividase esta ecuación por cos2 : lo que resulta en:
sin2
cos2
sin
cos
+
2
+
) tan2
cos2
cos2
cos
cos
1
cos2
2
+ 1 = sec2
lo que nos da como resultado la segunda ecuación pitagórica.
27
1
cos
2
28
CAPÍTULO 4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Si ahora dividimos la primera identidad pitagórica por sin2
decir,
sin2
sin2
cos2
sin2
2
cos
+
sin
sin
sin
tan
cot
2
2
= csc2
A continuación se presentan algunos ejemplos que muestran algunos caminos para veri…car identidades.
Ejemplo 4.1. Expresar las seis funciones circulares de en términos de cos .
Solución. Tomando la primera identidad pitagórica y despejando cos , tenemos
p
sin2 + cos2 = 1 =) sin2 = 1 cos2
) sin =
1 cos2
= f (cos ) : Dividiendo la identidad anterior por cos , tenemos
p
p
sin
1 cos2
1 cos2
=
) tan =
cos
cos
cos
= f (cos ) : Tomando el inverso de la identidad anterior
1
tan
sec
1
sin2
1
sin
+
) 1 + cot2
obtenemos la tercer identidad pitagórica; es
p
=
1
1
cos
) cot
cos2
= f (cos ) : Tomando el inverso del cos
=
p
cos
1 cos2
(segunda identidad de recíprocos).
sec
=
1
cos
csc = f (cos ) : Tomando el inverso de sin
sin
=
p
1
cos2
=)
1
sin
p
=
1
1
cos2
) csc
=
p
1
1
cos2
Ejemplo 4.2. Veri…car la identidad
1
1 + sin
+
1
1
sin
= 2 sec2
transformando el primer miembro de la misma hasta hacerlo igual al segundo.
Solución. Tomando el primer miembro de la igualdad, realizamos la suma de las fracciones y reduciendo
términos, obtenemos la solución:
1
1 + sin
+
)
1
1
sin
1
1 + sin
Por lo que la identidad queda veri…cada.
1 sin + 1 + sin
(1 + sin ) (1 sin )
2
=
1 sin2
2
=
cos2
1
= 2 2
cos
=
+
1
1
sin
= 2 sec2
4.3. REACTIVOS DE AUTOEVALUACIÓN
4.3
29
Reactivos de autoevaluación
Usando las identidades fundamentales expresar cada una de las siguientes funciones en términos de únicamente
sin .
1
cos2
2:
tan2
3:
cot2
2
4:
csc
5:
sec
6:
sec2
Reducir las siguinetes expresiones a términos de una sola función:
cot
+ tan
cos
cot cos
tan2
7:
8:
cos
6= 0
tan
6= 0
Veri…car las siguientes identidades:
9:
11:
13:
4.4
cos2
sin2
1
2 sin2
sin cos
sin
(cot cos
1 + cos
1 cos
2
1 + cot
sec2
cot2
cot + csc
+ sec
0
sin
cot
csc
10:
1 + cos
sec + 1
cos
2
csc2
csc
csc cot
2
1 + cos
sin
12:
14:
csc )
Otras identidades trigonométricas
Además de las identidades presentadas en la sección previa, se tienen otras identidades que tienen aplicación
común en ingeniería y en ramas de la matemática tales como cálculo diferencial e integral y ecuaciones diferenciales. Estas identidades tienen sus demostraciones particulares que no serán presentadas en este documento,
pero que pueden ser consultadas en la bibliografía recomendada para profundizar en su conocimiento. A
continuación se describen dichas identidades.
Coseno de la suma de dos números:
cos ( + ) = cos cos
sin sin
Coseno de la diferencia de dos números:
) cos (
) = cos cos
+ sin sin
Seno de la suma de dos números:
sin ( + )
sin cos
+ cos sin
sin cos
cos sin
Seno de la diferencia de dos números:
sin (
)
Tangente de la suma de dos números:
tan ( + )
tan + tan
1 tan tan
Tangente de la diferencia de dos números:
tan (
)=
tan
tan
1 + tan tan
p
Ejemplo 5.1. Si = 2 y = 3, determinar cos (
) y cos ( + ).
Solución. Sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos las soluciones:
cos (
)
p
=
cos 2
=
cos (2) cos
3
p
p
3 + sin (2) sin 3
30
CAPÍTULO 4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
y
cos ( + )
p
=
cos 2 +
=
cos (2) cos
3
p
3
sin (2) sin
p
3
Ejemplo 5.2. Si = 2 y = 5, determinar cos (
) y cos ( + ).
Solución. Sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos las soluciones:
cos (
)
=
cos
=
cos
=
cos
=
cos
=
cos
=
cos
( 5)
2
cos ( 5) + sin
2
cos (5)
2
sin
2
sin ( 5)
sin (5)
2
y
cos ( + )
4.5
+ ( 5)
2
cos ( 5)
2
sin
cos (5) + sin
2
2
2
sin ( 5)
sin (5)
Reactivos de autoevaluación
1. Determinar el valor de los ejercicios siguientes
a)
b)
c)
sin
+
f)
3
6
11
7
cos
+
6
4
5
tan
+
6
6
g)
h)
2. Encuentre el valor exacto de seno, coseno y tangente de
4.6
11
12
sin
6
7
cos
6
tan
2
haciendo
3
2
4
3
3
2
=
2
3
y
Funciones circulares del doble de un número real
Seno del doble de un número real:
sin 2
2 sin cos
Coseno del doble de un número real:
cos 2
cos 2
cos 2
cos2
1
cos2
sin2
2 sin2
1 + cos2
Tangente del doble de un número real:
tan 2
1
2 tan
tan2
=
4.
4.7. FUNCIONES CIRCULARES DE LA MITAD DE UN NÚMERO REAL
4.7
31
Funciones circulares de la mitad de un número real
Seno de la mitad de un número real:
sin
o también, haciendo
=
r
2
r
2
sin
1
1
cos
2
cos 2
2
Coseno de la mitad de un número real:
cos
o también, haciendo
=
2
2
) cos
r
1 + cos
2
r
1 + cos 2
2
Tangente de la mitad de un número real:
sin
tan
4.8
2
cos
2
sin
1 + cos
2
Reactivos de autoevaluación
1. Si sin
2. Si cos
=
=
4
5
y P ( ) está en el segundo cuadrante, determine el valor exacto de las siguientes funciones:
3
5
a)
sin 2
c)
tan 2
e)
cos
b)
cos 2
d)
sin
f)
tan
2
2
2
y P ( ) está en el tercer cuadrante, determine el valor exacto de las siguientes funciones:
a)
sin 2
c)
tan 2
e)
cos
b)
cos 2
d)
sin
f)
tan
2
2
2
32
CAPÍTULO 4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Capítulo 5
Aplicación de las funciones circulares
a la resolución de triángulos.
5.1
Teorema de los senos.
Para poder estudiar el teorema de los senos, imaginemos un tríangulo formado por los puntos ABC, Por
conveniencia, tenemos que los lados son a, b y c, y que los ángulos opuestos a cada lado son ,
y ,
respectivamente (ver Fig. 5.1).
Figura 5.1. De…nicion de lados y angulos para la resolucion de triangulos.
Ahora dibujemos un triángulo en un sistema de coordenadas cartesianas (o rectangulares), de manera que
el ángulo esté en posición normal (ver Fig. 5.2).
Figura 5.2. Triangulo general con el lado b paralelo al eje x.
Como ya hemos estudiado el circulo unitario, podemos deducir las coordenadas del vértice B: (c cos ,
c sin ).
En este caso, tenemos que la altura del triangulo (h) es c sin . Recordemos ahora que el área de un
triángulo esta dado por:
1
A = (base)(altura)
2
Si sustituimos la altura y sabiendo que la base es b:
A=
1
(b)(c sin )
2
33
(5.1)
34CAPÍTULO 5. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES CIRCULARES A LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.
Esto, en otras palabras se puede traducir como: El área de un trángulo esta dado por la mitad del
producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman. Ahora, si repetimos el método anterior pero
para terminos de a y b y el ángulo que forman ( ), obtendremos:
A=
1
(a)(b)(sin )
2
(5.2)
Y para términos de a y c y el águlo que forman ( ):
A=
1
(a)(c)(sin )
2
(5.3)
Ya que estas tres fórmula llegan al mismo resultado, podemos asegurar que las tres son iguales. Entonces,
si igualamos las expresiones (5.1) y (5.3) se tiene que:
1
1
(b)(c)(sin ) = (a)(c)(sin )
2
2
1
Ya que todos los términos son factores y que y c son terminos que se encuentran en ambos miembros
2
de la ecuación, al despejarse se eliminan y queda:
(b)(sin ) = (a)(sin )
Y despejando de nuevo podemos obtener:
b
sin
=
a
sin
(5.4)
Si aplicamos el mismo procedimiento para las expresiones (5.2) y (5.3) se tiene:
1
1
b
c
(a)(b)(sin ) = (a)(c)(sin ) !
=
2
2
sin B
sin
Las expresiones obtenidas anteriormente conforman lo que conocemos como el teorema de los senos:
a
sin
5.2
=
b
c
=
sin B
sin
(5.5)
Resolución de triángulos rectángulos.
Figura 5.3. Triangulo rectangulo.
Considerando los mismos pasos que realizamos con las Figs. 5.1 y 5.2, si hacemos lo mismo con la Fig.
5.3 obtendremos:
a
b
c
=
=
sin
sin B
1
5.2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
ya que
35
= 90 y el sin 90 = 1. Por lo que, despejando, podemos decir que:
sin
Como
+
+
= 180 y
= 90 ;
+
cos
=
a
; sin
c
=
= 90 ó
= 90
=
cos(90
)
=
cos 90 cos
) cos
b
c
(5.6)
, asi que
+ sin 90 sin
= sin
dado eso, entonces:
cos
=
b
c
=
a
;
b
(5.7)
Ahora, de (5.6) y (5.7) obtenemos:
tan
=
sin
cos
=
a
c
b
c
cos
6= 0
(5.8)
De acuerdo con (5.6), (5.7) y (5.8), y la Fig. 5.3, podemos a…rmar que en todo triangulo ABC, y con
= 90 , que:
cateto opuesto a
hipotenusa
sin =
sec =
hipotenusa
cateto adyacente a
hipotenusa
cateto adyacente a
csc =
cos =
hipotenusa
cateto opuesto a
cateto adyacente a
cateto opuesto a
cot =
tan =
cateto adyacente a
cateto opuesto a
NOTA: Hay que tener en cuenta que estas expresiones sólo son válidas para triángulos rectángulos.
Ejemplo 5.1. Resuelva el triangulo rectángulo ABC si c = 8, = 50 .
Solución: Tracemos el triangulo ABC y encerremos los datos en circulos, como se muestra en la Fig.
5.4.
Figura 5.4. Ejemplo 5.1.
Puesto que + = 90 , entonces = 40 . Ahora buscamos una función trigonométrica que relacione
los elementos ya conocidos y c, y el elemento no conocido a:
sin
=
a
c
Si despejamos a:
c sin
=a
Sustituyendo los valores:
)
a = 8 sin 50
= 6:128
Ya que tenemos esto, ahora buscamos otra función trigonométrica que relacione , c y b:
cos
=
b
c
36CAPÍTULO 5. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES CIRCULARES A LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.
Haciendo el mismo procedimiento que hicimos anteriormente obtenemos:
cos
=
b
) b = c cos
c
) b = 5:1424
= 8 cos 50
De manera que hemos resuelto el triángulo:
a = 6:128; b = 5:1424;
= 40
Ejemplo 5.2. Un camino tiene una pendiente de 10 , ¿Cuánto asciende el camino por cada kilómetro?
Figura 5.5. Ejemplo 5.2.
Solución: Por observación, podemos deducir que:
sin 10 =
x
1000
Depejando x obtenemos:
x = 1000(sin 10 ) = 1000(0:1736)
) x = 173:6 m
Entonces, la respuesta es 173:6 metros por kilómetro.
5.3
Reactivos de autoevaluación:
1. En los problemas del (a) al (c), determinar los lados y ángulos no conocidos, para los cuales se tiene en
cada caso = 90 .
a) a = 48:62; b = 37:64
b) c = 84:725;
= 41 420
c) a = 240;
= 35 200
2. Una escalera de 15 metros está recargada en una casa de manera que forma un ángulo de 70
horizontal. ¿A qué altura está el extremo superior de la escalera?
con la
3. Un parque rectangular mide 30 por 270 metros. Determinar la longitud de la diagonal y el ángulo que
forma con el lado mayor.
4. Una antena de televisión está sostenida por tres tirantes de acero sujetas a anclas a 70 metros de la base
e igualmente espaciadas alrededor de la antena. Encuentre el ángulo que forma cada tirante con el piso
y la longitud del mismo si sus anclas están respectivamente a 70, 100 y 125 metros de altura sobre el
suelo.
5. Sabiendo que el ángulo de elevación o el ángulo de depresión de un objeto desde un punto de vista de un
observador, es el ángulo en el plano vertical del objeto que forman la horizontal y la visual al objeto
(ver Fig. 5.6), encuentre la altura de un árbol si un observador está a 25 metros de su base y el ángulo
de elevación es de 30 .
5.4.
LEY DE LOS COSENOS
37
Figura 5.6. Ejercicio de autoevaluacion 5.
5.4
Ley de los cosenos
Cuando se conocen dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, el triángulo no puede
resolverse por el Teorema de los senos.
Supongamos que se conocen b; c y , si colocamos el triángulo ABC en un sistema de coordenadas
cartesianas de manera que el ángulo esté en posición normal y AC coincida con el sentido positivo del eje
X, entonces las coordenadas de B son ( c cos ,c sin ) (ver Fig. 10.1).
Figura 5.1: Figura 5.1. Coordenadas del punto B .
Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos encontramos BC, luego:
a2
=
2
2
BC = (c cos
= b +c
2
0)2
2bc cos
+ b2 + c2 sin2
2
2
= c2 cos2
2
b) + (c sin
sin
+ cos
) a2 = b2 + c2
2bc cos
2bc cos
Esta última expresión se conoce con el nombre de Teorema de los Cosenos.
Cuando se conocen a; c; y , se puede escribir el Teorema de los Cosenos como :
b2 = a2 + c2
2ac cos
y si conocemos a; b y , el teorema se puede escribir como:
c2 = a2 + b2
5.5
2ab cos
Solución de triángulos oblicuángulos
Triángulo oblicuángulo es aquél que no tiene ningún ángulo recto. En un triángulo oblicuángulo los 3 ángulos
son menores de 90 , o uno de ellos es mayor de 90 y menor de 180 . Para obtener las longitudes de los
lados y los ángulos interiores al triángulo aplicamos los Teoremas de los Senos y de los Cosenos.
38CAPÍTULO 5. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES CIRCULARES A LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.
Ejemplo 10.1. Resolver el triángulo ABC dados:
Solución. Obtenemos con
= 180
( + ) = 180
)
= 25 ;
= 50 ; c = 57.
(25 + 50 ) = 180
75
= 105
Conocido , podemos aplicar el Teorema de los Senos para encontrar a y b, como sigue:
a
c
=
sin
sin
de donde
c sin
sin
a=
=
Asimismo:
57 sin 25
sin 105
b
sin
=
) a = 24:94
c
sin
de donde:
57 sin 50
c sin
) b = 45:22
=
sin
sin 105
Ejemplo 10.2. Resolver el triángulo ABC, dados a = 130, b = 220, = 28 .
Solución. Utilizar el Teorema de los Cosenos para encontrar c, como sigue:
b=
c2
= a2 + b2
2ab cos
c
2
2
=
(130) + (220)2
c
2
=
16900 + 48400
c2
=
2(130)(220) cos 28
50504:60
14795:3976
p
c =
14795:3976
) c = 121:64
Ahora utilizaremos el Teorema de los Senos para encontrar :
sin
a
sin
sin
sin
c
130 sin 28
a sin
=
=
c
121:64
= 0:50175
=
)
= 30 70
Así que
= 180
( + ) = 180
)
30 70
= 121 530
Ejemplo 10.3. Resolver el triángulo ABC si a = 16, b = 26, c = 34.
Solución. Este ejemplo se resuelve aplicando el Teorema de los Cosenos, como sigue:
2
a2 = (16) = 256
b2 = (26)2 = 676
c2 = (34)2 = 1156
cos
=
cos
=
cos
=
2ab = 832
2ac = 1088
2bc = 1768
b2 + c2 a2
= 0:8914 =)
2bc
2
2
2
a +c
b
= 0:2353 =)
2bc
a2 + c2 c2
= 0:2692 =)
2bc
+ + = 180 30
= 27
= 47 260
= 105 370
5.6. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
5.6
39
Ejercicios de Autoevaluación
1. En los problemas de la a) a la j) resuelva los Triángulos ABC dados:
a)
b)
c)
d)
e)
= 58 300
= 82
= 46
a=6
b = 25
= 80
= 56 400
= 120 100
b=9
c = 18
a = 140
c = 45
b = 87:17
= 45
= 60
2 Determinar las longitudes de los lados de un paralelogramo si la diagonal mayor mide 70 metros y forma
con los lados, ángulos de 16 y 28 , respectivamente.
3 Se va a construir un túnel a través de una montaña desde A hasta B:Un punto visible desde A y B se
encuentra a 390 metros de A y 560 metros de B:¿Cuál es la longitud del túnel si el ángulo ACB es de
35 ?
4 Un poste que se aparta a 10 de la vertical hacia la región donde está el sol, proyecta una sombra de 30
metros de longitud, cuando el ángulo de elevación del sol es de 40 . Encuentre la longitud del poste.
40CAPÍTULO 5. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES CIRCULARES A LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.
Capítulo 6
Bibliografía
6.1
Libros de texto
1. Swokowsky, E. W & Cole, J. A., (2008), Álgebra y trigonometría con geometría analítica, México:.
Cengage Learning.
2. Sobel, M. A., Norbert, L. Palmas, O., (1998), Precálculo, México: Prentice Hall.
6.2
Medios electrónicos
1. http://…lemon.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/angulos/index.htm. Este sitio contiene
medios interactivos uqe permiten visualizar de mejor forma los conceptos trigonométricos.
2. http://mathworld.wolfram.com/Trigonometry.html. Este sitio presenta un resumen de las identidades
trigonométricas y ligas a otros sitios relacionados de interés. Este sitio pertenece a la empresa Wolfram,
desarrolladorra del programa Mathematica, el más avanzado en cuastiones matemáticdas.
41