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UNIVERSIDAD DE
MONTEMORELOS
FACULTAD DE INGENIERIA Y TECNOLOGIA
PROYECTO DE CALCULO DIFERENCIAL
“COHETE DE AGUA”
MARCO TEORICO
OBJETIVO:
 Diseñar un cohete con envase plástico propulsado por agua y aire
que logre el mayor tiempo posible en el aire y de en el punto
establecido.
LOS COHETES
Los cohetes son un ingenio que funciona por desplazamiento a
reacción y se mueve en una ruta o trayectoria descubriendo curvas
del tipo elíptico, parabólico o hiperbólico.
En todos los cohetes, los gases de combustión están formados por
propelente, el cual se lleva en el interior del cohete antes de su
liberación.
El empuje de los cohetes se debe a la aceleración de los gases de
combustión.
COHETE DE AGUA
Un cohete de agua es un tipo de cohete de modelismo que se utiliza
como propelente de reacción. La cámara de presión, motor del
cohete, es generalmente una botella de plástico. El agua es lanzada
fuera por un gas de presión, normalmente aire comprimido, lo que
impulsa el cohete según la tercera ley de Newton. Esta dice que “por
cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, este realiza una fuerza igual
pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que lo produjo”.
Un cohete propulsado por agua se basa básicamente en el mismo
principio que un cohete espacial.
La fuerza que se acelera de la botella hacia arriba se ve compensada
por la fuerza generada por la “masa de reacción” siendo expulsada
hacia abajo. En este caso la “masa de reacción” es el agua y esta se
ve propulsada hacia abajo por la energía que proporciona el aire
comprimido en la botella.
Las botella de polietileno tereftalato (PET) para bebidas gaseosas, que es el material que se
utiliza generalmente para fabricar cohetes de agua, fueron empleadas por primera vez en
1974en los Estados Unidos de América y su uso aumento rápidamente a medida que se
distribuían entre los consumidores. Posiblemente, el primer material impreso acerca de la
construcción de cohetes de agua con botellas de PET apareció en la edición de agosto de
1983 de la revista estadounidense "Mother Earth New”.
TEORIA
El principio que explica la propulsión de un cohete de agua es la ley de
la conservación de la cantidad de movimiento, que es otra forma de
llamar a la 3ª ley de Newton o principio de acción-reacción. Este
principio establece que en ausencia de fuerzas externas la cantidad de
movimiento de un sistema, p, que es el producto de su masa por
su velocidad, permanece constante o lo que es lo mismo su derivada es
igual a cero:
De esta ley, con los oportunos pasos matemáticos y sustituciones, se
deriva la ecuación del cohete de Tsiolskovski:
donde es la velocidad instantánea,
por la boca,
la masa total inicial y
la velocidad de salida del fluido
la masa en cada momento.
La propulsión del cohete de agua puede esquematizarse como un
sistema en el cual se va a producir la expulsión hacia atrás de una parte
de su masa (el agua) lo que provocará un empuje que propulsará al
resto del sistema hacia delante (acción-reacción), compensándose la
cantidad de movimiento total del sistema. La energía
mecánica necesaria para la expulsión de esta fracción de masa se
almacena en el sistema como energía potencial en forma de gas a
presión. Con la expulsión esta energía se irá convirtiendo en energía
cinética, las del movimiento del agua y el cohete.
La expansión del aire comprimido se produce relativamente deprisa,
unos 0,2 s, lo que no permite un intercambio térmico, por lo que esta
expansión puede considerarse un proceso adiabático. Aplicando esta
consideración se puede derivar la fórmula que describe la fuerza teórica
que sigue el agua al ser expulsada (la ecuación de la tobera De Laval)
que será de la misma intensidad que la que empuja al cohete, quedando
así:
donde
es la fuerza de propulsión, es el radio de la boca y
diferencia de presión entre el interior y el exterior.
la
Además en su movimiento el cohete estará sometido a la fuerza de
la gravedad y a la resistencia producida por la fricción con el aire que
depende de las leyes de la fluidodinámica. La ecuación final de su
trayectoria es muy compleja y se resuelve numéricamente por medio de
varios programas de simulación disponibles en internet.
La estabilidad de vuelo del cohete estará condicionada por la posición
del centro de masas y de la posición del centro de presión aerodinámica.
El primero tiene que encontrarse siempre delante del segundo y a una
distancia que se estima empíricamente como óptima cuando ambos
están separados alrededor del doble del radio del cohete. Para
distancias inferiores el vuelo puede resultar inestable.
El centro de presión aerodinámica representa el punto en el cual se
podrían concentrar de forma equivalente todas las fuerzas que frenan
el movimiento del cohete debido a la resistencia del aire. El cálculo de
su posición es muy complejo, pero gracias al trabajo de James
Barrowman (publicado en 1966) se puede resolver usando un sistema
de ecuaciones simplificado. Un método alternativo más fácil es
encontrar el (baricentro) de una silueta de papel con la misma forma que
la proyección lateral del cohete. Este punto es muy cercano al verdadero
centro de presión aerodinámica. Además la posición del centro de
presión aerodinámica se puede ajustar en cierta medida modificando la
posición y dimensiones de los alerones.
ALTURA MAXIMA
Despreciando el roce aerodinámico y los cambios de presión, se puede
establecer de forma aproximada la altura máxima del cohete cuando se
lanza verticalmente con la siguiente expresión:
( = Altura máxima alcanzada,
= Masa inicial del agua,
= Masa
del cohete sin agua, = Presión inicial estimada dentro del cohete, =
densidad del agua, = aceleración de la gravedad)
Supuestos y aproximasimaciones de la ecuación anterior:
(1) el agua es incompresible,
(2) el flujo del chorro es uniforme e ininterrumpido,
(3) la velocidad es rectilínea,
(4) la densidad del agua es mayor que la del aire,
(5) no hay efectos debidos a la viscosidad,
(6) la velocidad de la superficie libre de agua es muy pequeña en
comparación con la de la boquilla,
(7) la presión ejercida sobre el agua permanece constante hasta que se
acaba el agua,
(8) la velocidad en la boquilla permanece constante hasta que se acaba
el agua
(9) No hay efectos viscosidad-fricción en la boquilla
METODOLOGIA
CONSTRUCCION DEL COHETE Y BASE
MATERIALES:
COHETE







2 botellas de 2lts
1 carpeta plástica
Plastilina
Cinta adhesiva
Marcador
Tijeras
Niple para gas
BASE









Madera
Cinchos
Tubo PVC
Codo PVC
Pijas
Pivote
Lazo
Argollas
Trasportador
PROCEDIMIENTO:
COHETE
1.- teniendo las 2 botellas se les hace un pequeño orificio en la parte de abajo para
unirlas con el niple.
2.- se hacen varias alitas y se le pegan con cinta adhesiva al cohete.
3.- En la punta del cohete se le pone una bola de plastilina para que tenga peso y
al momento de aterriza no zigzaguee.
BASE
1.- hacemos una base de madera que fue el prototipo después la cambiamos por
otra madera en forma de raqueta, dejando una perforación en el centro del círculo.
2.- por debajo de la base ponemos el tubo de
agarrándolo con los cinchos.
PVC
3.- se unen los dos tubos de PVC con un codo para que se pueda mover el tubo
que esta verticalmente y dar diferentes ángulos de lanzamiento.
4.- en el tubo principal se le colocan cincho donde se atorara el cohete para
dispararlo.
Y por último el despegue del proyectil
CÁLCULOS CORRESPONDIENTES
Para entender aún mejor el funcionamiento de los
cohetes propulsados Por agua/aire a presión se han
diseñado modelos matemáticos Que explican las
condiciones óptimas para un mejor desempeño de
nuestro cohete.
El trabajo que realiza el gas comprimido sobre el agua
dentro es la fuente de energía para el cohete,
necesitamos saber cómo esta energía interna del gas
se convierte en energía cinética del cohete.
A continuación se muestran algunas fórmulas
proporcionadas por el cálculo Y la física para
encontrar el volumen de agua necesario para que
nuestro cohete alcance su máxima velocidad.
Datos importantes
P: presión (pascales).
raire: 1.4
V: volumen de la botella.
2 botellas de 2L: 0.004 m3
Mo: masa de la botella.
Mo: 0.2 kg
F: fracción de la botella.
W: energía.
Lo primero que necesitamos realizar es armar un modelo matemático para
poder encontrar una ecuación que nos dé como resultado la fracción de la
botella con agua:
𝑊𝑇 = 𝑊1 + 𝑊2+. . . +𝑊𝐾
Integrando obtenemos el siguiente resultado:
∫𝑑w=∫𝑃𝑑𝑣
W=∫𝑃𝑑𝑣
𝑊=
𝑝𝑣
[(1 − 𝑓)𝑟 − (1 − 𝑓)]
1−𝑟
Después de haber encontrado la fórmula de “W” debemos de saber ¿Qué valor
de “f” me da el máximo de “w”? para realizar este cálculo debemos de derivar
la ecuación de “w”.
𝑊=
𝑝𝑣
[(1 − 𝑓)𝑟 − (1 − 𝑓)]
1−𝑟
Aplicando reglas de derivación se obtiene el siguiente resultado.
𝑑𝑊
𝑑𝑓
𝑑𝑊
𝑑𝑓
𝑃𝑉
=
1−𝑟
=
[(1 − 𝑓)𝑟 − (1 − 𝑓)]
𝑃𝑉
1−𝑟
[𝑟(1 − 𝑓)𝑟−1 (−1) − (−1)] = 0
Obteniendo el número crítico.
𝑑𝑊
=0
𝑑𝑓
Por lo tanto.
1 − 𝑟(1 − 𝑓)𝑟−1 = 0
𝑟(1 − 𝑓)𝑟−1 = 1
1
1
1
[(1 − 𝑓)𝑟−1 ]𝑟−1 = [ ]𝑟−1
𝑟
1 1
𝑓 = 1 − ( )𝑟−1
𝑟
Sustituyendo el valor de r= 1.4 (aire) obtenemos el máximo de agua.
𝑓 = 0.5687 = 57%
Debido a que el máximo de agua no es la fracción necesaria de agua para su
óptimo funcionamiento crearemos otra variable para saber realmente cual es
la cantidad de agua que necesitamos para un mejor rendimiento.
mo: masa del cohete: masa de la botella+ masa del agua= 𝑚𝑜 + ⍴. 𝑓. 𝑣
𝑃𝑉
[(1 − 𝑓)𝑟 − (1 − 𝑓)]
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
1
−
𝑟
𝑊2 =
=
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎
𝑚𝑜 + ⍴. 𝑓. 𝑣
𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒
Aplicando reglas de Derivación a ” w2”.
(𝑚𝑜 + ⍴. 𝑓. 𝑣)[𝑟(1 − 𝑓)𝑟−1 (−1) − (−1)]) − [(1 − 𝑓)𝑟 − (1 − 𝑓)]⍴𝑣
𝑑𝑊2
𝑃𝑉
=(
)[
]
𝑑𝑓
1−𝑟
(𝑚𝑜 + ⍴. 𝑓. 𝑣)2
Obteniendo número crítico
𝑑𝑊2
=0
𝑑𝑓
(𝑚𝑜 + ⍴. 𝑓. 𝑣)[ 1 − 𝑟(1 − 𝑓)𝑟−1 ] − ⍴𝑣[(1 − 𝑓)𝑟 − (1 − 𝑓)] = 0
Aplicar un método numérico.
𝑁𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒[𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑓]
Ingresando los valores de nuestras incógnitas obtenemos el siguiente
resultado.
𝑓 = 0.210969 = 21%
Para encontrar el valor aproximado de “f” se ingresa en wolframalpha y el
resultado es el siguiente.
REFERENCIAS
o http://es.wikipedia.org/wiki/Cohete_de_agua
o http://books.google.es/books?id=KFEvYPsc5IMC&pg=P
A208&dq=cohete+de+agua&hl=es&sa=X&ei=g2RzUa7O
Iou8AT_kIDYDw&ved=0CDYQ6AEwAA#v=onepage&q=co
hete%20de%20agua&f=false
o https://2mp.conae.gov.ar/descargas/Materiales%20/Coh
etes_de_Agua-Manual_del_Educador.pdf
o https://www.google.com.mx/search?q=universidad+de+
montemorelos&es_sm=93&source=lnms&tbm=isch&sa=
X&ei=XQVnUHzLtLpoAS8gYG4Dg&ved=0CAgQ_AUoAQ&biw=1366&
bih=667#q=COHETE+DE+AGUA&tbm=isch&facrc=_&im
gdii=_&imgrc=kcHONg857_WOM%253A%3BYTxE4jvDfSJiPM%3Bhttp%253A%252F
%252Fupload.wikimedia.org%252Fwikipedia%252Fcom
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Cohete_de_agua%3B598%3B740
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montemorelos&es_sm=93&source=lnms&tbm=isch&sa=
X&ei=XQVnUHzLtLpoAS8gYG4Dg&ved=0CAgQ_AUoAQ&biw=1366&
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Cohete_de_agua%3B598%3B740
o https://sites.google.com/site/timesolar/fuerza/terceraleyd
enewton
o http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_cohete
_de_Tsiolskovski