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FISICA I
Unidad N°: 6 - “Movimiento pendular”
“Las ciencias tienen las raíces amargas, pero muy dulces los frutos”
Profesor: Cazzaniga, Alejandro J. – Física I – E.T.N°: 28 - “República Francesa”
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FISICA I
Unidad N°: 6 - “Movimiento pendular”
Movimiento del péndulo
Un péndulo es un objeto cualquiera suspendido de un punto, de modo que pueda oscilar. Un ejemplo:
el péndulo de los relojes de pared.
Es muy fácil construir un péndulo y con él se pueden estudiar las propiedades que mencionaremos:
basta una piedra o una bolita atada a un hilo. Para el estudio de las propiedades tendremos en cuenta que el
hilo que sostiene a la bolita es inextensible, y no tiene peso; y en lugar de la piedra o bolita hay un
punto geométrico, pero que tiene peso, al que llamaremos punto material.
El inconveniente de este tipo de péndulo es que solo existe en nuestra imaginación, llamaremos al
mismo péndulo matemático.
En la figura a continuación se muestra una aproximación al péndulo que utilizaremos:
Elementos del movimiento pendular
Es preciso que nos pongamos de acuerdo sobre el significado exacto de las palabras que usaremos.
-
Longitud del péndulo: es la longitud del hilo. Se mide desde el punto de suspensión hasta el centro
de gravedad del cuerpo que oscila (L).
-
Oscilación: es el movimiento realizado por el péndulo desde una de sus posiciones extremas hasta
otra, y su vuelta hasta la primera posición.
-
Período: es el tiempo que emplea el péndulo en realizar una oscilación.
-
Amplitud: es el ángulo formado por la vertical con el hilo, cuando el péndulo está en una de sus
posiciones extremas ( α ).
-
Frecuencia (f): Es el número de oscilaciones en cada unidad de tiempo
f =
n°oscilaciones
.
tiempo
Relación entre frecuencia y periodo
Siendo:
T = período
f = frecuencia
Supongamos un péndulo que en 1 segundo cumple 40 oscilaciones.
En consecuencia: 40 oscilaciones se cumplen en 1 seg., por lo que 1 oscilación se cumple en T=1/40 seg.
(periodo).
Obsérvese que: el período es la inversa de la frecuencia.
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T=
1
1
y f =
f
T
¿Por qué oscila el péndulo?
Si dejamos al péndulo de manera que el hilo esté perfectamente vertical, el péndulo no oscila: el peso
de la bolita es anulado por la reacción del hilo (Fig. a). Pero si lo apartamos de esa posición de equilibrio y lo
soltamos, el péndulo oscila. ¿Por qué? Imaginémoslo en una de sus posiciones extremas y estudiemos las
fuerzas que actúan: el peso del péndulo y la reacción del hilo.
El peso sigue siendo vertical, pero la reacción del hilo es ahora oblicua. Resulta así que la reacción del
hilo sólo en parte compensa al peso.
Si descomponemos el peso en dos componentes: una P', que tenga la dirección del hilo, y la otra P",
perpendicular al hilo, se advierte que el hilo sólo puede anular a P'. Como nada se opone a P", ésta mueve al
péndulo (Fig. b). Pero sucede una cosa curiosa: consideremos al péndulo en otra posición, más cercana a la
de equilibrio, y hagamos la misma descomposición del peso. A simple vista se advierte que la componente P",
que hace mover al péndulo, es ahora menor. Y será cada vez menor cuando más se acerque el péndulo a su
posición de equilibrio (Fig. c). Más todavía: cuando el péndulo pasa por su posición de equilibrio, esa fuerza
es nula. Aquí cabe una pregunta: si cuando el péndulo está en su posición de
equilibrio la fuerza es nula, ¿cómo es que el péndulo puede pasarla y llegar al
otro lado? La respuesta es muy simple: por inercia (Fig. d).
Sigamos estudiando las fuerzas después que el péndulo ha pasado por
la posición de equilibrio. Algo llama inmediatamente la atención: la
componente del peso que estábamos estudiando reaparece después de pasar
por la posición de equilibrio... ¡pero ha cambiado de sentido! Ahora se opone
al movimiento del péndulo, y lo va frenando, hasta detenerlo cuando alcanza
su posición extrema (Fig. e).
En el instante en que el péndulo alcanza su posición extrema, su
velocidad es nula, e inmediatamente después el movimiento cambia el sentido.
Sin embargo, la fuerza alcanza ahí su valor máximo. No nos extrañemos:
cuando arrojamos una piedra hacia arriba, el peso, que es constante, la va
frenando; cuando la piedra alcanza su altura máxima, su velocidad es nula, e
inmediatamente después el movimiento se invierte.
En resumen: la fuerza que mueve a un péndulo no es constante, y
está siempre dirigida de modo tal, que tiende a llevar al péndulo hacia la
posición de equilibrio. Lo mismo la aceleración tangencial, pues tiene igual
dirección y sentido que la fuerza.
Leyes del Péndulo:
Primera Ley
El período de un péndulo es independiente de su amplitud.
Segunda Ley
El período de un péndulo es independiente de su masa.
Tercera Ley
El período de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su
longitud.
T1
L1
=
T2
L2
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= ....
Tn
Ln
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Cuarta Ley
El período de un péndulo es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad.
T
1/ g
=
T´
T"
=
1 / g´
1 / g"
= cte
Fórmula del tiempo de oscilación del péndulo:
Para poder obtener el tiempo de oscilación de un péndulo se aplica la siguiente expresión:
T = 2π
l
g
Donde:
T: tiempo de oscilación;
L: longitud de péndulo;
g: aceleración de la gravedad.
Esta fórmula equivale al período o tiempo de oscilación completa.
Aplicaciones del péndulo
El uso más importante es en los relojes: la cuerda hace marchar el
mecanismo, pero es necesario regular la velocidad, y para eso está el
péndulo.
Dándole una longitud fija, su período de oscilación es siempre el
mismo y cualquiera que sea la fuerza con que actúe la cuerda en cada
instante, el reloj no atrasa ni adelanta.
Como el calor dilata los cuerpos, resulta que el péndulo se alarga en
verano, y por lo tanto atrasa, Para evitar este fenómeno los péndulos se
construyen de material especial, aleaciones que se dilatan poco, o
combinaciones adecuadas que compensan la dilatación.
El péndulo físico
El péndulo al que nos hemos referido hasta ahora es muy particular, pues, como dijimos, sólo existe
en nuestra imaginación. Los péndulos que podemos construir no tienen una masa puntual: son los péndulos
físicos también llamados compuestos. Un cartón colgado por uno de sus puntos, de modo que pueda oscilar,
es un péndulo físico. Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera, habremos
construido un péndulo físico. Por esto, todos los péndulos que se nos presentan (columpios, péndulo de reloj,
una lámpara suspendida, la plomada) son péndulos físicos.
El problema que nos proponemos resolver ahora, es hallar la relación que vincula el período de un
péndulo físico con su peso.
La fórmula que nos permite realizar esta vinculación es:
T = 2π
I
D
Donde:
I es el momento de inercia del péndulo.
D es la cupla directriz.
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D = P.d
P es el peso.
d es la longitud del péndulo.
Como se muestra en la figura a continuación:
Péndulo de torsión y de tracción:
Péndulo de torsión
Llamamos péndulo de torsión al dispositivo formado por un alambre MN, sujeto por uno de sus
extremos —M— a un punto fijo y el otro extremo N unido a una barra AB que a su vez termina en dos
esferas.
Torsión: Fenómeno que se produce al aplicar al extremo de un cuerpo una
cupla, mientras el otro extremo está fijo. También puede producirse torsión
al aplicar simultáneamente un par de cuplas en cada uno de sus extremos.
El péndulo de torsión permite calcular el momento de una fuerza F
perpendicular al eje de torsión (alambre MN).
Factores que determinan su período o frecuencia:
Apliquemos a los extremos de la barra AB la cupla F1=F2. La barra AB
pasaría a la posición A’B’ girando un ángulo a y el alambre sufre una
determinada torsión. Liberada la barra AB de esa cupla, el alambre tiende a
volver a su posición primitiva debido a la existencia de fuerzas elásticas
recuperadoras. En estas condiciones la barra AB comienza a oscilar como un
verdadero péndulo físico.
Si deseamos detener al péndulo en el momento que forma el ángulo a será necesario aplicar una
fuerza que anule la torsión del alambre. Esta fuerza será mayor o menor según sea el punto de aplicación
respecto del centro de giro (respecto del alambre).
Puede verificarse que la intensidad de esta fuerza es la misma que hubiéramos necesitado para que
desde la posición de reposo la barra AB formara el ángulo de torsión alfa.
De lo expuesto surge que todo depende del momento de la fuerza aplicada (fuerza por distancia).
Se puede comprobar que entre el momento de la fuerza aplicada y el ángulo de torsión a
determinado, se cumple la siguiente relación:
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En el péndulo de torsión, se cumple:
El tiempo de oscilación es independiente del ángulo de amplitud.
El tiempo de oscilación se calcula mediante la expresión:(*)
(*): Para el péndulo físico es:
(Para ángulos pequeños: P.d=K)
Similar a la del péndulo físico en la cual es:
I: momento de inercia respecto al eje (hilo);
K: constante que resulta del cociente entre M y alfa.
Péndulo de tracción:
Elasticidad por tracción: Es el fenómeno producido por fuerzas que provocan el aumento de longitud de un
cuerpo.
Sea el alambre a sujeto por un extremo M, y en el otro extremo, un platillo. Si sobre éste colocamos
una pesa P, cualquiera, se provocará una fuerza que permitirá verificar un estiramiento o aumento de
longitud del alambre. El dispositivo descripto constituye un péndulo de tracción.
Repitamos el experimento variando los pesos y observaremos que a mayor fuerza (peso) se verifica
mayor estiramiento. Como es natural pensar, hay ciertos valores para la carga o fuerza F aplicada, en que los
estiramientos dejan de ser proporcionales a esas fuerzas.
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Existe entonces una tensión (fuerza aplicada) máxima para la cual se produce el estiramiento que
permite recobrar al cuerpo su longitud inicial una vez desaparecida esa tensión. Las fuerzas elásticas
recuperadoras tienden a llevar al cuerpo —alambre— a su posición o longitud primitiva.
Se produce así un movimiento oscilatorio que tiene un determinado período, que puede calcularse
mediante la expresión:
Formula similar a la estudiada inicialmente para un péndulo de longitud l.
“Sólo hay felicidad donde hay virtud y esfuerzo serio, pues la vida no es un juego”
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