Download 1. Movimiento oscilatorio

FUNDACIÓN INSTITUTO A DISTANCIA
EDUARDO CABALLERO CALDERON
Espacio Académico: Física
Docente: Mónica Bibiana Velasco Borda
[email protected]
CICLO: VI
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
INICADORES DE LOGRO
1. Adquiere la noción de movimiento oscilatorio y movimiento armónico simple.
2. Aplica los conceptos de elongación, velocidad, aceleración y fuerza en el movimiento armónico simple.
1.
Movimiento oscilatorio
En la naturaleza existen algunos cuerpos que describen movimientos repetitivos con características similares, como el péndulo de un reloj, las cuerdas de una guitarra o el extremo de una regla sujeta en la orilla
de una mesa. Todos los movimientos que describen estos objetos se definen como periódicos.
La forma más simple de movimiento periódico es el movimiento oscilatorio de un objeto que cuelga atado
de un resorte. Este objeto oscila entre sus posiciones extremas, pasando por un punto que corresponde a
su posición de equilibrio, como se observa en la figura.
Definición: Un movimiento oscilatorio se produce cuando al trasladar un sistema de su posición de equilibrio, una fuerza restauradora lo obliga a desplazarse a puntos simétricos con respecto a esta posición.
Para describir un movimiento oscilatorio es necesario tener en cuenta los siguientes elementos: la oscilación,
el período, la frecuencia, la elongación y la amplitud.
La oscilación: una oscilación o ciclo se produce cuando un objeto, a partir de determinada posición,
después de ocupar todas las posibles posiciones de la trayectoria, regresa a ella. Por ejemplo, en la
figura anterior se produce un ciclo cuando el objeto describe una trayectoria AOA0 OA.
El período: es el tiempo que tarda un objeto en realizar una oscilación. Su unidad en el Sistema
Internacional (SI) es el segundo y se representa con la letra T .
La frecuencia: es el número de ciclos que realiza un objeto por segundo. La frecuencia, representada
por f , se expresa en el SI en hercios (Hz).
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En el movimiento oscilatorio, al igual que en el movimiento circular uniforme, la frecuencia y el período
se relacionan entre sí, siendo uno recíproco del otro, es decir:
f=
1
1
y T =
T
f
La elongación: es la posición que ocupa un objeto respecto de su
posición de equilibrio. En la figura se representan diferentes elongaciones: x1 , x2 y x3 .
La amplitud: la amplitud del movimiento, denotada con A, es la
mayor distancia (máxima elongación) que un objeto alcanza respecto
de su posición de equilibrio. La unidad de A en el SI es el metro. En
el ejemplo de la figura la amplitud es A = 10m.
Ejemplo:
Un bloque atado a un resorte oscila (sin fricción) entre las posiciones extremas B y B 0 indicadas en la figura. Sien 10 segundos pasa 20 veces por
el punto B, determinar:
a. El período de oscilación.
b. La frecuencia de oscilación.
c. La amplitud.
Solución:
a. Cada vez que el bloque pasa por B, completa un ciclo, por tanto, en 10 segundos realiza 20 ciclos,
es decir que un ciclo ocurre en un tiempo:
T =
b. La frecuencia es:
f=
10s
1
= s
20
2
1
1
=
= 2s−1 = 2Hz
1
T
s
2
c. El punto de equilibrio del sistema se ubica en el punto medio entre B y B 0 . Por lo tanto, la amplitud
del movimiento es A = 3cm.
2.
Movimiento armónico simple
Al comprimir una pelota antiestrés, su forma inicial se recupera a partir del instante en que se deja de
ejercer fuerza sobre ella. Todos los materiales, unos más que otros, presentan este comportamiento debido
a que el movimiento de sus partículas depende de las fuerzas intermoleculares. Cada partícula del objeto
oscila alrededor de su punto de equilibrio, alcanzando su posición extrema, que es cuando inicia el proceso
de recuperación de su estado inicial; es como si cada partícula permaneciera atada a su vecina mediante
un resorte y oscilara como cuando se comprime.
Observar la siguiente figura:
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Definición: Un movimiento armónico simple es un movimiento oscilatorio en el cual se desprecia la fricción
y la fuerza de restitución es proporcional a la elongación. Al cuerpo que describe este movimiento se le
conoce como oscilador armónico.
Como los vectores fuerza y elongación se orientan en direcciones contrarias, podemos relacionar fuerza y
elongación mediante la ley de Hooke:
F = −kx
Siendo k la constante elástica del resorte, expresada en N/m según el SI. La constante elástica del resorte
se refiere a la dureza del mismo. A mayor dureza mayor constante y, por lo tanto, mayor fuerza se debe
hacer sobre el resorte para estirarlo o comprimirlo. Como acción a esta fuerza, la magnitud de la fuerza
recuperadora mantiene la misma reacción.
Ejemplo: Un ascensor de carga tiene una masa de 150kg. Cuando transporta el máximo de carga,
350kg, comprime cuatro resortes 3cm. Considerando que los resortes actúan como uno solo, calcular:
a. La constante del resorte.
b. La longitud de la compresión del resorte cuando el ascensor no tiene carga.
Solución:
a. La fuerza (el peso) ejercida por el ascensor y la carga:
F =W
= (masc + mcar )g
W
= (150kg + 350kg)(9, 8m/s2 )
W
= 4900N
La fuerza ejercida por el ascensor y la carga es 4900N y comprimen el resorte 3, 0 · 10−2 m. Por lo
tanto, de acuerdo con la ley de Hooke, la constante del resorte es:
k =
F
x
4900N
3, 0 · 10−2 m
k = 163333, 3N/m
k =
La constante del resorte es 163333, 3N/m.
b. La fuerza ejercida sobre el resorte para el ascensor sin carga es su peso:
= (150kg)(9, 8m/s2 ) = 1470N
1470N
x =
163333, 3N/m
x = 9 · 10−3
W
Cuando el ascensor no tiene carga, el resorte se comprime 9mm.
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2.1.
La posición (elongación), velocidad y aceleración
Para encontrar la ecuación de posición de una masa con movimiento armónico simple en función del
tiempo, se emplea el círculo de referencia y un punto de referencia P sobre él. En la siguiente figura se
observa que en un instante de tiempo t, una pelota se ha desplazado angularmente, forma un ángulo θ
sobre el eje x. Al girar el punto P en el punto de referencia con velocidad angular ω, el vector OP también
gira con la misma velocidad angular, proyectando su variación de posición con respecto al tiempo.
Elongación: La posición del objeto sobre el eje x, o elongación, se puede determinar mediante la expresión:
x = A · cos θ
Como la pelota gira con velocidad angular θ, el desplazamiento se expresa como θ = ω · t. Por lo tanto, la
elongación, x, en el movimiento oscilatorio es:
x = A · cos (ω · t)
Velocidad: La proyección de la velocidad sobre el eje x se expresa como:
vx = −v · sin (ω · t)
Puesto que la velocidad tangencial y la velocidad angular se relacionan mediante la ecuación v = ω · A, la
velocidad del objeto proyectada sobre el eje x se expresa como:
vx = −ω · A · sin (ω · t)
Aceleración: La aceleración de la proyección del movimiento circular uniforme se expresa como:
a = −ω 2 · A · cos (ω · t)
a = −ω 2 · x
De acuerdo con la segunda ley de Newton, F = m · a, se puede expresar la fuerza de este movimiento
oscilatorio como:
F
= m·a
F
= m · (−ω 2 · x)
F
= −m · ω 2 · x
Ejemplos:
1. Un cuerpo describe un movimiento circular uniforme con período de 0, 1s y radio de 5cm. Determinar:
a. La velocidad angular del movimiento circular.
b. La ecuación de posición del objeto a los 0, 25 segundos después de que el objeto ha pasado por
el punto P .
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2. Para el día de la ciencia, los estudiantes del grado once construyeron un pistón que realiza un
movimiento armónico simple. La amplitud del movimiento es de 0, 8cm y su frecuencia angular de
188, 5rad/s. Si se considera el movimiento a partir de su elongación máxima positiva después de tres
segundos, calcular:
a. La velocidad del pistón.
b. La aceleración del pistón.
Solución:
1.
a. La velocidad angular del movimiento es:
ω =
ω =
2π
T
2π
= 20πrad/s
0, 1s
La velocidad angular es 20πrad/s.
b. La posición del objeto después de 0, 25 segundos es:
x = A · cos (ω · t)
x = 5cm · cos (20πrad/s · 0, 25s)
x = −5cm
El cuerpo se encuentra a −5cm de la posición de equilibrio.
2.
a. La magnitud de la velocidad al cabo de 3s es:
vx = −ω · A · sin (ω · t)
v = −188, 5rad/s · 0, 8cm · sin (188, 5rad/s · 3s)
v = −65cm/s
Al cabo de 3 segundos, la velocidad del pistón es de −65cm/s. El signo negativo significa que la
dirección es contraria a la dirección de la elongación.
b. La magnitud de la aceleración al cabo de 3s es:
a = −ω 2 · A · cos (ω · t)
a = −(188, 5rad/s)2 · 0, 8cm · cos (188, 5rad/s · 3s)
a = −25656, 7cm/s2
A los 3 segundos, el pistón alcanza una aceleración de 2256, 56m/s2 . El signo negativo es por la
dirección contraria a la dirección positiva de la elongación.
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3.
TALLER
El siguiente trabajo se entrega a mano el día 29 de Marzo 2014:
1. ¿Cuál es la frecuencia de un péndulo simple si su período es 0, 5s ?
2. Un resorte realiza 10 oscilaciones en 2s. Calcula su frecuencia en hercios y su período de oscilación
en segundos.
3. Un cuerpo experimenta un movimiento armónico simple (MAS) con un período de 2s. La amplitud
de oscilación es de 3m. Si en el instante inicial se encuentra el objeto en uno de los extremos de la
trayectoria, halla las ecuaciones para la elongación, la velocidad y la aceleración del objeto.
π 4. Un móvil realiza un movimiento armónico simple de acuerdo con la ecuación x = 2 cos
· t con
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unidades en el SI. Halla la amplitud, velocidad angular, el perÃodo y la frecuencia del MAS.
5. En la figura se ilustra una masa de 4kg ligada a un resorte de constante elástica 100N/m. El sistema
se pone a oscilar en un plano horizontal sin fricción. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular?
4.
BIBLIOGRAFÍA
1. Romero O.L, Bautista M., Hipertexto Física 2, Santillana, (2011).
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