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Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Vibraciones. Movimiento vibratorio Oscilaciones En el caso de un gallo que meta su cabeza en un recipiente de vidrio vacío y cante de manera que por ello se rompa el recipiente, habría que pagar el costo total. EL TALMUD En este capítulo volvemos al campo de la Dinámica, concretamente al estudio de las vibraciones y ondas. Estos dos términos nos son familiares. La palabra vibración nos trae a la mente el punteado de una cuerda de guitarra, el aleteo de un colibrí o la vibración casi silenciosa del áncora de un reloj. Análogamente, la palabra onda nos hace pensar en las olas del mar o las ondulaciones en la superficie de un estanque. A pesar de lo familiares que nos resultan estos términos, su importancia es nimia frente al hecho de que la mayor parte de nuestro contacto con el mundo que nos rodea -todo lo que vemos y oímos- nos llega a través de las vibraciones y ondas causantes de la visión y el sonido. Comenzaremos nuestro estudio de las vibraciones y ondas con lo que constituye su fundamento: las oscilaciones. Son múltiples los ejemplos de oscilaciones que conocemos: Las barquitas se mueven arriba y abajo, los péndulos de los relojes oscilan a derecha e izquierda y las cuerdas y lengüetas de los instrumentos musicales vibran. Otros ejemplos menos familiares son las oscilaciones de las moléculas del aire en una onda sonora y las oscilaciones de corrientes eléctricas en circuitos de radios o televisores. La característica más destacada del movimiento oscilatorio es que éste se repite. El tiempo que dura cada repetición se denomina período. La oscilación se produce cuando perturbamos un sistema que está en una posición de equilibrio estable. En los movimientos oscilatorios o vibratorios, una partícula realiza un movimiento de vaivén con una cierta amplitud en torno a una posición de equilibrio. La causa de que el objeto vibre es la aplicación de una fuerza. MOVIMIENTO ARMÓNICO Entre los movimientos oscilatorios periódicos, el más importante y al mismo tiempo el más habitual es el llamado movimiento armónico simple. Ecuación del movimiento armónico simple De todos los movimientos vibratorios que se dan en la naturaleza los más importantes son los armónicos simples. Se llaman así porque se pueden expresar mediante funciones armónicas, como son el seno y el coseno, de una sola variable. x(t)=A sen wt ó x(t)=A cos wt Nosotros utilizaremos la expresión: x(t)=A sen wt x: Recibe el nombre de elongación. Es la posición de la partícula vibrante en cualquier instante referida a la posición de equilibrio. Se considera positiva hacia arriba o derecha y negativa hacia abajo o izquierda. la elongación representa el desplazamiento que ha experimentado la partícula en el tiempo t. Página 1 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal A: Amplitud. Es el valor máximo que puede tomar la elongación. Esto ocurre cuando ha transcurrido un cuarto de período, si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio. Si la amplitud disminuye paulatinamente, decimos que el movimiento vibratorio es amortiguado. T: Período. Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse. También se puede definir así: Período es el tiempo que tarda el m.a.s. en realizar una vibración completa. Esto ocurre cuando la partícula pasa dos veces consecutivas por la misma posición y en el mismo sentido del movimiento. El período es constante para un movimiento vibratorio determinado aunque éste sea amortiguado. f: Frecuencia. Es el número de vibraciones completas realizadas en un segundo. Representa la rapidez con que tienen lugar las vibraciones. En el SI se mide en hertzios (Hz), en honor de Heinrich Hertz, quien demostró por primera vez la existencia de las ondas de la radio. Se mide en s-1, vibraciones/s, ciclos/s. De las definiciones de período y frecuencia se deduce: f = 1/T. w: velocidad angular: es la variación del ángulo descrito por unidad de tiempo. En sentido estricto w d . En el caso que nos ocupa, ya que se trata de movimientos circulares uniformes, la w es dt constante. Se mide en radianes por segundo rad/s. Su relación con la frecuencia f es: w (rad/s)= 2πf y, por tanto, su relación con el periodo: w (rad/s)= 2π/T Para visualizar la ecuación del m.a.s. se puede considerar como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre el diámetro de la circunferencia. Tomamos el punto O' como origen de! sistema de referencia. Suponemos que la partícula que recorre la circunferencia se encuentra en el punto O. Para t = O su proyección será el centro de la circunferencia O'. Cuando la partícula sobre la circunferencia va tomando las sucesivas posiciones 1,2,3,...en el diámetro se obtienen las posiciones correspondientes 1', 2', 3',... Si observas la Figura 1. comprobarás que cuando se ha recorrido un cuarto de vuelta, el tiempo transcurrido ha sido un cuarto de período, y el movimiento vibratorio ha recorrido un radio, que es el valor máximo del desplazamiento. Cuando hemos recorrido la circunferencia completa, el tiempo circular uniforme transcurrido es de un período y en el diámetro se ha realizado una vibración completa. A partir de ese instante, los dos movimientos se repiten. Figura 1. El m.a.s. se obtiene proyectando un movimiento En la figura 2 vemos que a un desplazamiento angular θ = wt, realizado en el movimiento circular en el tiempo t, corresponde un desplazamiento x en el diámetro, tal que: x = A sen wt Página 2 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Si proyectamos sobre el diámetro vertical el desplazamiento correspondiente, sería x = A cos wt. En la Figura 3 está representado el diagrama x-t de este movimiento. En el caso de que empecemos a medir el tiempo a partir de la posición P (se ha recorrido previamente un ángulo φ ) (Fig. 4), el valor de x será: Figura 2 x = A sen (wt + φ) Ecuación general del m.a.s. (wt + φ): Fase en cualquier instante. Su valor determina el estado de vibración o fase del movimiento. Figura 3 φ: Fase inicial o corrección de fase. Su valor determina el estado de vibración para t =0. En ese caso, x = A senθ. Si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio, resulta φ = 0. Para los cálculos posteriores supondremos φ = 0. Figura 4 Velocidad y aceleración del m.a.s. Ya conoces la ecuación del movimiento armónico. Estudiamos a continuación su velocidad y su aceleración instantáneas; Velocidad del movimiento armónico simple Recuerda que la velocidad instantánea de una partícula es la velocidad que posee dicha partícula en cualquier instante o en cualquier punto de su trayectoria y se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación del movimiento. En este caso se halla derivando la ecuación x = A sen wt. v dx / dt Aw cos wt Aw 1 sen 2 wt w A2 A2sen 2 wt w A2 x 2 Para llegar a esta expresión se ha tenido en cuenta que sen 2 wt cos2 wt 1; cos 2 wt 1 sen 2 wt; cos wt 1 sen 2 wt. Resumiendo, hay dos expresiones para la velocidad instantánea: v = Aw cos wt v w A2 x 2 en función del tiempo en función de la posición Página 3 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal En la Figura 5 se ha representado la gráfica de esta velocidad en función de t. Figura 5. velocidad en función del tiempo en un movimiento vibratorio Consecuencias: 1. La velocidad del movimiento armónico es función periódica del tiempo. 2. Su valor depende de la posición de la partícula. Tiene el valor máximo en el centro de la trayectoria y se anula en los extremos. Aceleración del movimiento armónico Recuerda que la aceleración se obtiene, en general, derivando la ecuación de la velocidad. Si derivamos la función v = Aw cos wt a = dv/dt = -Aw2 sen wt x = A sen wt de donde a= -w2x Consecuencias: 1. La aceleración también es periódica. 2. Su valor depende de la posición de la partícula. Es proporcional a la posición, pero de sentido contrario a ella. 3. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la velocidad angular. 4. Es nula en el centro y máxima en los extremos. 5. Está desfasada θ/2 de la velocidad. El movimiento armónico, pues, es retardado cuando la partícula vibrante se dirige hacia los extremos, y acelerado cuando dicha partícula se mueve hacia el centro. Teniendo en cuenta esto, podemos dar otra definición de movimiento armónico: es un movimiento rectilíneo cuya aceleración es proporcional a la posición o elongación pero de sentido contrario. La aceleración y la elongación tienen sentidos opuestos y sus módulos son proporcionales. Esta relación sirve para identificar un sistema que tenga m.a.s. De la gráfica de la Figura 6 se deduce que la aceleración está en fase con la elongación. Página 4 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Consecuencias: 1. La aceleración también es periódica. 2. Su valor depende de la posición de la partícula. Es proporcional a la posición, pero de sentido contrario a ella. 3. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la velocidad angular. 4. Es nula en el centro y máxima en los extremos. 5. Está desfasada θ/2 de la velocidad. El movimiento armónico, pues, es retardado cuando la partícula vibrante se dirige hacia los extremos, y acelerado cuando dicha partícula se mueve hacia el centro. Teniendo en cuenta esto, podemos dar otra definición de movimiento armónico: es un movimiento rectilíneo cuya aceleración es proporcional a la posición o elongación pero de sentido contrario. La aceleración y la elongación tienen sentidos opuestos y sus módulos son proporcionales. Esta relación sirve para identificar un sistema que tenga m.a.s. De la gráfica de la Figura 6 se deduce que la aceleración está en fase con la elongación. Figura 6. aceleración en función del tiempo en un movimiento vibratorio. Resumen: ecuaciones del m.a.s y cinemática del movimiento x = A sen wt x = A sen (wt + φ) v = Aw cos wt v w A2 x 2 a = -Aw2 sen wt a= -w2x V=0 -A V=0 x=0 x =-A V = - Aw x=A A V = Aw a = Aw2 a= 0 a = - Aw2 Página 5 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Dinámica del movimiento armónico simple 1er caso: movimiento de un resorte Hasta ahora, nuestro estudio del MAS se ha limitado a sus características cinemáticas. En este apartado estudiaremos la dinámica y la energía del MAS, aplicadas a un ejemplo concreto de oscilador armónico (sistema animado de MAS debido a la acción de una fuerza recuperadora). A partir de la ecuación de la aceleración del MAS podemos calcular la fuerza que debe actuar sobre un cuerpo o partícula de masa m a fin de que oscile con dicho movimiento. Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica y sustituyendo en ella el valor de la aceleración del MAS, tenemos: F=ma a = -w2 x F = -m w2 x Como m y w no varían, aparece una constante K (K= mw2), en el caso de los muelles, denominada constante elástica o recuperadora: F = -Kx Esta expresión indica que en el MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesta a él. Es decir, se dirige siempre hacia el punto de equilibrio O, punto en el que se anula. Conocemos esta fuerza porque aparece cuando deformamos un cuerpo elástico, por ejemplo, un resorte, o cuando sacamos a la masa de un péndulo de su posición de equilibrio. La constante K es siempre positiva y, cuanto mayor sea, mayor será la fuerza que atrae al móvil hacia la posición O de equilibrio. La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a éste. A partir de las expresiones anteriores podemos obtener las relaciones que ligan la velocidad angular y el período de este movimiento con la masa m y la constante K. mw 2 = K; Y puesto que T = 2π/w, recuperadora: w = K/m podemos calcular el período de un movimiento producido por una fuerza w=2 f; f = w 1 ; f= 2 2 K / m : T 2 m / K El período de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de su constante recuperadora y de su masa, pero no depende de la amplitud del movimiento. Página 6 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Al aplicar una fuerza Fex en la dirección del eje X, el cuerpo se desplaza de la posición de equilibrio Al cesar la Fex, el resorte comienza a comprimirse, ya que ejerce una fuerza recuperadora F opuesta al desplazamiento. Ésta tiende siempre a llevar al cuerpo a la posición de equilibrio y produce en él una aceleración a. Una vez sobrepasada la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora cambia de sentido, aunque el cuerpo continúa desplazándose hacia la izquierda. F= ma F= -Kxi m.a = -Kxi a =- K xi m Página 7 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal DINÁMICA DEL MOVIMIENTO DE UN MUELLE DESDE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO x=0 x=A F = - mAw2 A V=0 a = - Aw2 V = - Aw a = 0; F = 0 x= - A F = mAw2 -A V=0 a = + Aw2 V = Aw a= 0 F=0 Fíjate que la aceleración, y por lo tanto la fuerza, dependen del desplazamiento pero de signo contrario. En el caso de muelles que se encuentren situados verticalmente, es muy fácil determinar la constante del muelle: Al colgar sobre él una masa m, se calcula el alargamiento producido Δ y y puesto que F = - K y, la constante del muelle K, será igual a la fuerza ejercida por el muelle -mg dividido por el desplazamiento: -mg = - K Δ y; K= mg/ Δ y Esta ecuación es muy utilizada para calcular constantes K de los muelles. Página 8 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Δy -mg mg 2º caso: movimiento de un péndulo simple Un ejemplo bien conocido de movimiento oscilatorio es el del péndulo. El movimiento de un péndulo será armónico simple tan sólo si la amplitud del movimiento es pequeña. En la figura 8 se ha representado un péndulo simple, el cual consiste en un hilo de longitud L y una lenteja de masa m. Las fuerzas que se ejercen sobre la lenteja son su peso y la tensión del hilo. Cuando éste forma un ángulo θ con la vertical, el peso tendrá una componente mg cos θ dirigida a lo largo del hilo y otra mg sen θ perpendicular a él. θ L x = L sen θ T x mg senθ mg cosθ mg Figura 8 Página 9 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Péndulo simple. Las fuerzas que se ejercen sobre la lenteja son su peso mg y la tensión T. La fuerza perpendicular a la cuerda es: -mg sen θ = - mg (x/L), ya que x = L sen θ En el caso de desplazamientos pequeños, el movimiento del péndulo es armónico simple Si el ángulo θ es pequeño, la componente perpendicular al hilo estará dirigida aproximadamente en el sentido negativo de la dirección x. La ley de Newton para el movimiento a lo largo del eje x nos da entonces Fx= max= -mg sen θ En la figura vemos que sen θ = x/L. La aceleración, será por tanto ax = -g sen θ = -g x/L = - (g/L) x Vemos que en el caso de ángulos pequeños, la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario. El movimiento será, por tanto, armónico simple. Como hemos visto anteriormente: a = - w2 x tenemos, por tanto, que: w2 = g/L La frecuencia: (2 π f)2 = g/L; f 1/ 2 g / L El período del movimiento será, pues, T 1/ f 2p L / g Esto es coherente con la observación experimental de que al aumentar la longitud del péndulo aumenta su período. Observemos que éste no depende de la masa. Ello se debe a que la fuerza recuperadora es proporcional a la masa. La aceleración, a = F/m, será por tanto independiente de la masa. Notemos también que la frecuencia y el período son independientes de la amplitud de vibración, lo que es una característica general del movimiento armónico simple. Página 10 Movimiento vibratorio RESUMEN DE EQUILIBRIO Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal DINÁMICA DEL MOVIMIENTO DE UN PÉNDULO DESDE SU POSICIÓN DE x máx > 0 v=0 a máx < 0; a = a = - w2 x x máx < 0 v=0 a máx > 0 a = w2 x F - mg senθ F mg senθ x =0 V = Aw; V = - Aw a = 0; F = 0 ¿Qué pasa con la energía en los Movimientos Armónicos? Como ya sabemos, para cualquier campo de fuerzas se cumple que: W = ΔEc; W = Ecf - Eci Es decir, el trabajo se invierte en incrementar la energía cinética. Por otro lado, para campos de fuerza conservativos, sabemos que el trabajo es igual a la menos variación de una función que depende del punto en el que se encuentre el sistema y no de la trayectoria. A esta función, propia de campos de fuerzas conservativas se la denomina energía potencial. Dicho de otra manera: W = -ΔEp; W = Epi - Epf Bien. Situémonos ahora en un campo de fuerzas conservativo (campo gravitatorio, campo electrostático, campo de fuerzas de un muelle, etc..). Está claro que el trabajo realizado por dichas fuerzas ha de ser: W = ΔEc ó W = -ΔEp y ambos trabajos han de ser los mismos, es decir: Que puesto de otra manera: ΔEc = -ΔEp Ecf - Eci = Epi - Epf Eci + Epi = Ecf + Epf Es decir, la energía mecánica se conserva, o se mantiene constante en todos los puntos del proceso. 1er caso: movimiento de un resorte Página 11 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Consideremos el caso de un resorte u oscilador mecánico. Inicialmente se encuentra en una situación de equilibrio (x = 0). No actúa ninguna fuerza sobre el bloque de masa m (P1). Seguidamente, se estira hasta un punto x = A mediante una fuerza externa (P2). El muelle responderá a esta fuerza con otra de sentido contrario y valor F = - Kx. Si se suelta el bloque, por efecto de la fuerza pasará por diferentes posiciones hasta alcanzar la antigua posición de equilibrio (P 3). Seguirá avanzando hasta alcanzar una posición simétrica a P2, en x = -A; la posición de máxima compresión (P4). Situación inicial de equilibrio Centro de coordenadas x=0 m F = - Kx x=A Ec = 0 Ep = A V=0 a = - Aw2 Ec = 1/2mv2 Ep = 0 V = - Aw Ec = 0 Ep = -A x= - A F = Aw2 V=0 a = + Aw2 Ec = 1/2mv2 Ep = 0 V = Aw a= 0 F=0 Fíjate que la aceleración, y por lo tanto la fuerza, dependen del desplazamiento pero de signo contrario. Energía cinética La energía cinética de la masa m debida al movimiento es : Ec = 1/2 mv2 Esta energía está en función de la masa del objeto y del cuadrado de la velocidad. Página 12 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Hay otra forma de expresar la energía cinética de un oscilador mecánico. Demuestra que la energía cinética Ec = 1/2 mv2 puede expresarse también como 1/2 K (A2 - x2). Energía potencial elástica Si la fuerza ejercida por un muelle obedece a la ley de Hooke: F(x) = -Kx, siendo x la deformación del muelle, sabemos que el trabajo realizado por las fuerzas del muelle entre dos puntos A y B es: WA-B =-Kx dx = 1/2 Kx2 = 1/2 K (x22 - x12) Fíjate que el trabajo realizado por las fuerzas elásticas depende exclusivamente de los puntos x 2 y x1 ¿qué quiere decir esto? Ahora determinaremos la energía potencial elástica. Sabemos que WA-B = -ΔEp, es decir: EpB - EpA = - WA-B Si queremos determinar la energía potencial en un punto tendremos que establecer un sistema se referencia (x = 0) en el cual su energía potencia sea cero EpA = 0. Así: EpB - EpA = - WA-B = - -Kx dx = K x dx = 1/2 K x2 0 Ep = 1/2 K x2 Tomando como referencia la figura de la página anterior analiza los puntos dónde presenta máxima energía cinética y mínima energía potencial, y viceversa. Si tenemos presente el principio de conservación de la energía mecánica, en todo momento, la suma de la energía cinética y potencial se ha de mantener constante Eci + Epi = Ecf + Epf a medida que la masa disminuye su energía potencial debe ir aumentando su energía cinética. Como puedes comprobar, la máxima Ep la tiene en los extremos, cuando x = A. Progresivamente, va disminuyendo x y, por tanto, su energía potencia, a la vez que incrementa su energía cinética; que será máxima cuando x = 0. De nuevo, hacia la izquierda del eje de coordenadas, comienza a disminuir la energía cinética y a aumentar la potencial. El proceso se repite indefinidamente a lo largo del movimiento vibratorio. Determina el valor de la suma de la energía cinética y potencial en cualquier instante del movimiento: resultado (Em= 1/2 KA2) Ejercicio 1: Se conecta a un resorte de constante elástica K=5,0 N/m un cuerpo de 200 g de masa que puede oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Estirando el resorte se desplaza el cuerpo 5 cm desde la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. Calcula: a) El período del movimiento. b) las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. c) los valores máximos de la velocidad y de la aceleración. d) la fuerza recuperadora cuando x = 0,05 m. Ejercicio 2: Un cuerpo de 0,68 Kg se fija al extremo libre de un resorte de constante recuperadora K = 43,79 N/m. Colocamos el sistema sobre un plano horizontal y estiramos el cuerpo hasta 10 cm de la posición de equilibrio y lo soltamos proporcionando un movimiento armónico. Calcula: a) la velocidad máxima y la aceleración máxima del cuerpo b) la velocidad, la aceleración, la energía cinética y la energía potencial del cuerpo cuando x = 5 cm. Página 13 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Ejercicio 3. Una masa de 2 kg cuelga de un resorte cuya constante elástica es k = 200 N/rn y puede oscilar libremente sin rozamiento. Desplazamos la masa 10 cm de su posición de equilibrio y la soltamos para que empiece a oscilar. Calcula: a) La ecuación del movimiento de la masa. b) El período del movimiento. c) La velocidad y la aceleración máximas. d) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra 5 cm por encima de la posición de equilibrio, la aceleración de la masa en ese instante. Ejercicio 4. De un muelle situado verticalmente se ha colgado un bloque de 5 kg, produciendo un alargamiento de 18 cm. Más tarde el bloque se estira 7,5 cm más y se suelta. Con estos datos calcula: a) La constante elástica del muelle. b) La amplitud del movimiento. c) El período del movimiento. d) La energía potencial elástica del muelle en el instante en que se deja el bloque en libertad. Ejercicio 5. Una masa de 1 kg cuelga de un resorte. Si añadimos a la masa anterior otra de 500 g, el resorte se alarga 2 cm. Al retirar la segunda masa, la primera empieza a oscilar. ¿Con qué frecuencia lo hará? Ejercicio 6. Un cuerpo de masa m está unido a un resorte horizontal de constante recuperadora K. que oscila con MAS sobre una superficie horizontal sin rozamiento. a) Determina el valor de su aceleración si: x = 0, x = A, x = - A. b) Di para qué valores de x la aceleración es máxima. Ejercicio 7. Un cuerpo unido a un resorte horizontal oscila con movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Si se duplica la masa del cuerpo, ¿cómo variarán la frecuencia, la frecuencia angular (w), el período, la velocidad máxima y la aceleración máxima? Ejercicio 8. Un cuerpo de 200 g se sujeta al extremo libre de un resorte de constante recuperadora K= 25 N/m y se le hace oscilar verticalmente. Calcula: a) la amplitud del movimiento, b) b) el período. Sol.: a) 0,08 m; b) 0,56 s Ejercicio 9. Cierto resorte tiene sujeto un cuerpo de 2,0 kg en su extremo libre y se requiere una fuerza de 8,0 N para mantenerlo a 20 cm del punto de equilibrio. Si el cuerpo realiza un MAS al soltarlo, halla: a) la constante recuperadora del resorte, b) b) el período de su oscilación. Sol.: a) 40 N/rn: b) 1,4 s Ejercicio 10. Calcula la constante recuperadora de un resorte sabiendo que, si se cuelga un cuerpo de 50 g del extremo libre del resorte y se le hace oscilar verticalmente, el período vale 1,5s. Sol.: 0,88 N/m Ejercicio 11. Un cuerpo de 2 kg colocado en el extremo de un muelle de constante recuperadora 65 N/rn se estira 0,3 m desde su posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. a) ¿Cuánto vale la energía potencial inicial del cuerpo? b) ¿Qué velocidad máxima alcanzará éste? Sol.: a)2,92J; b) ±1,7 m/s Ejercicio 12. Un bloque de acero de 1 ,5 kg, sujeto a un resorte de constante K = 1,5 N/rn, efectúa un MAS. Si su máxima rapidez es de ±3 m/s, calcula: a) la energía del bloque parado, b) la amplitud del movimiento, c) la aceleración máxima. Sol.: a) 6,75 J; b) 3 m; c) ±3 m/s Página 14 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal Ejercicio 13. Disponemos de un muelle que se alarga 5 cm cuando se cuelga de él una masa de 1,0 kg. Colocamos este muelle unido a una masa de 500 g sobre una rnesa horizontal sin rozamiento. La rnasa se separa 3 cm de su posición de equilibrio y se deja vibrar sobre el eje horizontal. Calcula: a) La constante de recuperación del resorte. b) La energía potencial en el punto de máxima deformación. c) La energía potencial y la cinética cuando x = 2 cm. d) La velocidad en este punto. Sol.:a)196 N/m,; b)0,088 J; c)Ep = 0,039 J, Ec = 0,049 J; d) 0,443 m/s 2er caso: movimiento de un péndulo En el caso de un péndulo tenemos una situación similar al caso de un muelle. En este proceso, es la fuerza gravitatoria la encargada de provocar la oscilación armónica entre los puntos 1, 2, 3, 2, 1... Como hemos visto con anterioridad, si colocamos la masa m en la posición 1, actúa una fuerza -mgsenθ que hace que el objeto, con velocidad inicial cero, sea acelerado hasta conseguir una velocidad máxima en 2. A partir de este punto la masa sufre una deceleración que la hace detener en el punto 3. En una consideración energética, sobre el péndulo actúa la fuerza de la gravedad (fuerza conservativa) por lo que la energía mecánica se conservará a lo largo de su movimiento. θ L L L cosθ Ec =0 Ep = mgh 1 3 h =(L -L cosθ) Ec =0 Ep = mgh 2 SR Ec =0 Ep = mgh = mgL(1-cosθ) Tomaremos un sistema de referencia de energías potenciales, al igual que hicimos con el muelle. En este caso, consideraremos el origen de energías potenciales o sistema de referencia, en el punto más bajo de la trayectoria del péndulo -punto 2-. De esta manera tendremos que en el punto 1 y 3 la energía potencial gravitatoria que posee la masa del péndulo es : Ep = mgh, considerando h como la altura alcanzada por la masa desde el sistema de referencia. Al separar la masa m del péndulo un pequeño ángulo θ, adquiere una altura h respecto de la posición de equilibrio. Esta altura h tiene un valor h = L(1-cos θ), tal como se puede apreciar en la figura. Su energía Página 15 Movimiento vibratorio Departamento de Física y Química IES Ramón y Cajal potencial gravitatoria es Ep = mgh = mg L(1-cos θ). En este punto de máxima altura, su energía cinética es cero. Al tratarse de un campo de fuerzas conservativo, y teniendo presente el principio de conservación de la energía mecánica, en todo momento, la suma de la energía cinética y potencial se ha de mantener constante: Eci + Epi = Ecf + Epf En el punto 1, su energía mecánica es la suma de la Ec + Ep = 0 + mg L(1-cos θ). Esta energía se mantiene constante en todo el movimiento. Así, a medida que desciende en la oscilación, aumenta la energía cinética y disminuye la potencia, manteniendo constante la energía mecánica. En el punto más bajo, su energía mecánica será: Ec + Ep = ½ mv2 + 0; Por lo tanto, aplicando el principio de conservación: mg L(1-cos θ) = ½ mv2; ecuación que nos permite determinar la velocidad en el punto más bajo: v 2L(1 cos ) Cuando comienza de nuevo la ascensión de la masa del péndulo, disminuye progresivamente la Ec y aumenta la potencial, hasta llegar a su valor máximo Ep = mg L(1-cos θ) con Ec =0 Esta ecuación de conservación Eci + Epi = Ecf + Epf nos permite calcular la energía cinética y potencial en cualquier instante. Ejercicio. Un péndulo consta de un un hilo de longitud L = 1m al que se encuentra unida una masa m = 10 g. Se saca a dicha masa de su posición de equilibrio y se coloca en un punto a 5 cm de altura. Determina: a) la velocidad que posee la masa cuando ha descendido 3 cm. b) la velocidad en el punto más bajo de la trayectoria. c) energía mecánica en un punto a 1 cm de la posición más baja de la trayectoria d) fuerza que actúa sobre la masa en el punto de la cuestión a) Página 16