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UNIDAD III.- LEYES DE NEWTON, TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA
LEYES DE LA DINAMICA
PRIMERA LEY DE NEWTON O LEY DE LA INERCIA:
Ningún cuerpo por si solo puede modificar su estado de reposo o de
movimiento, ya que para modificarlo se requiere la manifestación de una
fuerza resultante que actué sobre el.
En esta ley, Newton afirma que un cuerpo en movimiento rectilíneo
uniforme tiende a mantenerse así indefinidamente, y lo mismo sucede
cuando un cuerpo que se encuentre en reposo trata de mantenerse
inmóvil.
Un ejemplo de la ley de la inercia se presenta al viajar en un automóvil:
cuando el conductor aplica bruscamente los frenos, tanto el como sus
acompañantes son impulsados violentamente hacia el frente, toda vez que
es el automóvil el único que recibe una fuerza para detenerse, pero como
los pasajeros no la reciben, por su inercia tratan de seguir el movimiento.
De igual manera cuando el automóvil esta parado y el conductor lo acelera
bruscamente, todo lo que esta en su interior se comporta como si hubieran
sido impulsados para atrás, por que debido a su inercia los cuerpos en
reposo tratan de conservar su posición.
La tendencia que presenta un cuerpo en reposo a permanecer inmóvil, o la
de un cuerpo en movimiento a tratar de no detenerse, recibe el nombre
de inercia. Toda la materia pose inercia y una medida cuantitativa de ella
nos lleva al concepto de masa, esta la podemos definir de las siguientes
maneras: la masa de un cuerpo es una medida de su inercia. Para
detener un cuerpo en movimiento, para moverlo si esta en reposo, o para
modificar su dirección, sentido o la magnitud de su velocidad, debemos
aplicar una fuerza. De acuerdo con lo anterior, todo cuerpo en movimiento
debería conservar ese mismo estado sin alterar su velocidad ni dirección,
pero entonces, ¿Por qué se detiene una canica puesta en movimiento? La
razón es que sobre la canica actúa una fuerza llamada fricción que se
opone a su movimiento.
Con los antecedentes anteriores podemos enunciar la primera ley de
Newton: todo cuerpo se mantiene en su estado de reposo o
movimiento rectilíneo uniforme, si la resultante de las fuerzas que
actúan sobre el es cero.
Esta es total mente valida cuando se trata de un sistema de referencia
inercial. Dicho sistema es aquel en el cual no hay aceleración, es decir, se
considera que esta en reposo, o bien, se mueve a velocidad constante. Así
pues, aquellos sistemas de referencias que se mueven con velocidad
uniforme unos respecto a los otros, reciben el nombre e inerciales.
Experimentalmente se ha determinado que todos los sistemas de
referencia inerciales son equivalentes para la medición de los fenómenos
-1-
físicos, esto quiere decir que cuando diferentes observadores se
encuentran es su respectivos sistemas de referencia inerciales, pueden
obtener diferentes valores de las magnitudes físicas medidas; sin
embargo, las leyes físicas son las mismas para todos los observadores, por
lo tanto las relaciones entre las magnitudes físicas medidas, también serán
las mismas.
Segunda ley de Newton o ley de la proporcionalidad entre fuerzas y
la aceleración:
Esta ley se refiere a los cambios en la velocidad que sufre un cuerpo
cuando recibe una fuerza. Un cambio en la velocidad de un cuerpo
efectuado en la unidad de tiempo, recibe el nombre de aceleración. Así, el
efecto de una fuerza desequilibrada sobre un cuerpo produce una
aceleración. Cuando mayor sea la magnitud de la fuerza aplicada, mayor
será la aceleración. Debemos recordar que la aceleración también significa
cambios de la dirección del objeto en movimiento, independientemente
que la magnitud de las velocidad cambie o permanezca constante; tal es el
caso cuando se hace girar un cuerpo atado al extremo de una cuerda,
pues esta aplica una fuerza al objeto y evita que salga disparado en línea
recta acelerándolo hacia el centro de la circunferencia. Podemos observar
claramente como varia la aceleración de un cuerpo al aplicarle una fuerza,
realizando la siguiente actividad:
Si a un coche de juguete le damos dos golpes diferentes, primero uno leve
y después otro mas fuerte, el resultado será una mayor aceleración del
mismo a medida que aumenta la fuerza que recibe: a α b.
Por lo tanto podemos decir que la aceleración de un cuerpo, es
directamente proporcional a la fuerza aplicada, y el cociente fuerza entre
aceleración es igual a una constante:
f1 f 2 f n
=
=
= k = cons tan te
a1 a 2 a n
El valor de la constante k representa la propiedad del cuerpo que recibe el
nombre de masa, por lo cual podemos escribir:
f
=m
a
o bien:
m=
f
a
-2-
f
es un valor constante para cada cuerpo en particular y recibe
a
el nombre de masa inercial, porque es una medida cuantitativa de la
inercia.
La masa (m) de un cuerpo, como ya señalamos representa una medida de
inercia de dicho cuerpo y su unidad fundamental en el Sistema
Internacional es el kilogramo (kg), mismo que resulta de sustituir las
unidades correspondientes de la fuerza y aceleración. Veamos:
la relación
f
N
kg m s 2
m= =
=
= kg
a m s2
m s2
En le Sistema CGS la unidad de masa es gramo (g): 1 kg =1000g.
En ingeniería aun se utilizan mucho los sistemas técnicos o gravitacionales
en los cuales la unidad de masa es la siguiente:
→
a) sistema MKS técnico:
f
kg
m= =
= utm = unidad técnica de masa.
a m s2
→
La utm se define como la masa de una fuerza de 1 kg le imprimirá una
aceleración de 1 m/s2.
→
lb
f
= slug
b) Sistema ingles técnico m = =
a pie s 2
→
El slug se define como la masa a la que una fuerza de 1 ld le imprimirá una
aceleración de 1 pie/s2.
La segunda ley de newton también relación la aceleración con la masa de
un cuerpo, pues señala claramente que una fuerza constante acelera más
a un objeto ligero que a uno pesado. Compruebe lo anterior al empujar un
carro de los que se usan en las tiendas de autoservicio y observe que al
moverlo cuando esta vació exige menor esfuerzo que cuando esta lleno.
También comprendemos la relación entre la aceleración y la masa del
cuerpo, la realizar la siguiente actividad:
A un carrito de 40 g le aplicamos una fuerza y observamos cual fue su
aceleración. Ahora le aplicamos la misma fuerza pero antes le agregamos
una masa equivalente a 40 g, de tal manera que su masa se duplique; el
a
valor de su carrito será
. Al triplicar la masa del carrito agregándole
2
a
a
, o
si
otros 40 g y al aplicarle la misma fuerza, la aceleración será
3
4
cuadruplicáramos su masa. De lo anterior concluimos que cuando la
fuerza aplicada es constante la aceleración de un cuerpo es inversamente
proporcional a su masa; en forma matemática puede escribirse como:
-3-
aα
1
m
1.2. FRICCIÓN
Siempre que se quiere desplazar un cuerpo que está en contacto con otro
se presenta una fuerza llamada
fricción
que se opone a su
deslizamiento.
La fricción es una fuerza tangencial, paralela a las superficies que
están en contacto. Existen dos clases de fuerza de fricción: estática y
dinámica o de movimiento.
La fuerza de fricción estática es la reacción que presenta un cuerpo
en reposo oponiéndose a su deslizamiento sobre otra superficie.
La fuerza de fricción dinámica tiene un valor igual a la que se
requiere aplicar para que un cuerpo se deslice a velocidad
constante sobre otro.
La fuerza de fricción estática será en cualquier situación un poco mayor
que la de fricción dinámica, ya que se requiere aplicar más fuerza para
lograr que un cuerpo inicie su movimiento, que la necesaria para que lo
conserve después a la velocidad constante.
Un experimento sencillo para estudiar las características de la fricción
consiste en colocar sobre una mesa horizontal un bloque de peso conocido,
al cual se le ata un hilo, mismo que tiene en su otro extremo un
dinamómetro.
Se jala poco a poco el dinamómetro y se observa que la fuerza aplicada
por la mano va aumentando hasta que llega un momento en que si se
incrementa un poco más, el bloque comenzará a deslizarse sobre la
superficie. Por tanto, observamos que la fuerza de fricción estática no es
constante, sino que a medida que jalamos el cuerpo aumenta. La fuerza
máxima estática (Fme) se alcanza un instante antes de que el cuerpo
inicie su deslizamiento.
Si le colocamos al bloque una pesa encima, cuyo valor sea igual al peso
del bloque, tendremos que al aumentar el peso se ejercerá sobre la mesa
una mayor acción y como reacción, el valor de la normal (N) será igual al
peso del bloque más el de la pesa. Si ahora jalamos nuevamente el
sistema bloque-pesa se observará que el dinamómetro señala una fuerza
máxima estática al doble que cuando se tenía al bloque solo. Si se triplica
el peso del bloque la normal también se triplicará y la fuerza máxima
estática registrada en el dinamómetro señalará el triple.
Por lo anterior, podemos concluir que la fuerza máxima estática (Fme)
es directamente proporcional a la fuerza normal que tiende a
-4-
mantener unidas ambas superficies debido al peso donde: Fme ac
N que escrito en forma de ecuación nos queda:
Fme = µeN
Donde:
Fme = fuerza máxima de fricción estática en newtons (N)
N = fuerza normal que tiende a mantener unidas las superficies
en contacto debido al peso en newtons (N)
µe
= constante de proporcionalidad llamada coeficiente de
fricción estático, sin unidades.
Si de la ecuación anterior despejamos µe tenemos:
Fme
µe = ______ (adimensional)
N
Por definición, el coeficiente de fricción estático es la relación entre
la fuerza máxima de fricción estática y la normal. Como se observa,
es adimensional, o sea que carece de unidades, ya que es el resultado
de dividir dos fuerzas.
Para estudiar ahora la fuerza de fricción dinámica (Fd) le quitamos las
pesas al bloque a fin de registrar la fuerza que se necesita para moverlo
con velocidad constante. Observaremos que la fuerza de fricción
dinámica actuará siempre en la misma dirección pero en sentido
contrario al movimiento del bloque, es decir, en sentido contrario a la
velocidad, provocando una aceleración negativa y consecuentemente un
frenado. Una vez iniciado el movimiento la fuerza de fricción dinámica
se mantiene constante, independientemente de que la velocidad
sea grande o pequeña. Si se aumenta el peso del bloque al doble y al
triple se observa también que la fuerza de fricción dinámica es
directamente proporcional a la normal entre las superficies, por lo que
puede escribirse:
Fd= µdN
Donde : Fd = fuerza de fricción dinámica en newtons (N)
N = fuerza normal entre las superficies debido al peso en newtons
(N)
µd = coeficiente de fricción dinámico, sin unidades
Al despejar a µd tenemos:
µd =
Fd (adimensional)
N
-5-
Por definición, el coeficiente de fricción dinámico es la relación entre
la fuerza de fricción dinámica y la fuerza normal que tiende a
mantener unidas dos superficies. Es adimensional.
Al continuar con nuestro experimento podemos cambiar la superficie por la
que se desliza el bloque, colocando una placa de vidrio, una cartulina, una
tela o una placa metálica. Observaremos que la fricción depende del grado
de rugosidad de la superficie, es decir, que en las superficies lisas la
fricción es menor.
Finalmente, apoyamos el bloque sobre una de sus caras de menor área y
comprobaremos que la fuerza de fricción es prácticamente
independiente de la superficie de deslizamiento, por tanto,
obtendremos aproximadamente los mismos valores de la fuerza de fricción
para un cuerpo que se desliza sobre una superficie plana, si es arrastrado
por cualquiera de sus caras.
Ventajas y desventajas de la fricción
La fuerza de fricción se manifiesta en nuestra vida diaria prácticamente en
todo momento, pues se presenta cuando caminamos, ya que sin la fricción
de los zapatos con el suelo nos resbalaríamos. También gracias a la
fricción es posible la escritura; sostener cualquier objeto con las manos;
lavar pisos, paredes o ropa; frenar un vehículo, pues al aplicar el freno el
roce las balatas con el tambor de los neumáticos y el roce de éstos con el
suelo permiten detenerlo si se desea; cuando llueve o cae granizo la
fricción con el aire evita que las gotas de agua o los trozos de hielo caigan
con más fuerza sobre nosotros una vez que alcanzan su velocidad límite;
pulir metales, brillantes o pedrería para joyería; los meteoritos que
penetran a nuestra atmósfera se desintegran por el calor producido al
rozar con el aire, ellos nos evita los graves riesgos a los que estaríamos
expuestos si de repente cayera sobre nosotros una gran masa proveniente
del espacio.
La fricción no siempre está ofreciéndonos ventajas, pues debido a ella se
presentan los siguientes inconvenientes: se produce un considerable
desgaste en la ropa, zapatos, neumáticos, piezas metálicas, pisos,
alfombras, paredes, etc.; una gran parte de la energía suministrada a las
máquinas se pierde con el calor no aprovechable que se produce por la
fricción.
Actualmente, el hombre ha encontrado varias formas para reducir la
fricción y para ello usa aceites, lubricantes, cojinetes de bolas o valeros,
pues el rozamiento es menor en superficies rodantes que en las
deslizantes. Asimismo, emplea superficies lisas en lugar de rugosas.
De lo anterior podemos concluir que la fricción se puede aumentar o
disminuir cuando sea conveniente.
-6-
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FRICCIÓN
1. Un instante antes de que una viga de madera de 490 N, comience a
deslizarse sobre una superficie horizontal de cemento, se aplica una
fuerza máxima de fricción estática de 392 N, como se ve en la figura.
Calcular el coeficiente de fricción estático entre la madera y el cemento.
N= 490 N
Fme = 392 N
F = 392 N
P= 490 N
Datos
Fórmula
P = N = 490 N
Fme
=
Fme = 392 N
=?
Sustitución y resultado
N
392 N
=
=
0.8
490 N
2. Para que un bloque de madera de 60 N iniciara su deslizamiento con
una velocidad constante sobre una mesa de madera, se aplico una fuerza
de 21 N.
Calcular el coeficiente de fricción dinámico entre las dos
superficies.
Datos
Fórmula
P = N = 60 N
Fd = 21 N
Fd
N
?
Sustitución y resultado
21 N
60 N
=
0.35
-7-
3. Para calcular la fuerza que se necesita aplicar a un cuerpo de 500 N
para deslizarlo horizontalmente con una velocidad constante sobre
una superficie cuyo coeficiente de fricción dinámico es de 0.4
Datos
F = ¿?
P = 500 N
Solución:
Como la fuerza que se requiere aplicar es de la misma magnitud que la
fuerza de fricción dinámica pero de sentido contrario, tenemos que:
Fd= µd x N
Donde:
Fd = 0.4 x 500 N = 200 N
2. Calcular la fuerza que se debe aplicar para deslizar al bloque de la
siguiente figura a velocidad constante, si tiene un peso de 150 N y el
coeficiente de fricción dinámico es de 0.3.
N
F= ?
20°
Fd
P = 150 N
Solución::
Diagrama de cuerpo libre:
-8-
N
F=?
Fd
Fy
20°
Fx
P = 150
N
Como se observa, la fuerza que se aplica al bloque tiene un ángulo de 20°,
respecto a la horizontal, por tal motivo su componente horizontal Fx es
la que se desplaza al bloque y tendrá un valor igual pero de sentido
opuesto a la fuerza de fricción Fd. Por otra parte, la componente vertical
de la fuerza, o sea, Fy, al actuar sobre el cuerpo con sentido hacia arriba
contribuye a levantarlo reduciendo la fuerza de fricción entre las
superficies, por lo que la fuerza normal será igual al peso del bloque
menos la componente Fy de la fuerza. Si se resuelve tenemos:
Fx = Fx – Fd = 0 . . . (1)
Fy = N + (- P) + Fy = 0 . . . (2)
De la ecuación 1 :
Fx = Fd = µd x N . . . (3)
De la ecuación 2:
N = P - Fy
. . . (4)
Sustituyendo 4 en 3:
Fx = µd (P – Fy). . . ( 5)
Como: Fx = F cos 20° = F 0.9397 . . . (6)
Fy= F sen 20° = F 0.3420 . . . (7)
Sustituyendo 6 y 7 en 5:
-9-
F
F
F
F
0.9397
0.9397
0.9397
1.0397
=
=
+
=
0.3 (150 N – F 0.3420
45 N – F 0.1
F 0.1 = 45 N
45 N
45 N
F=
= 43.28 N
1.0397
Donde la fuerza que se debe aplicar al bloque es de 43.28 N con un ángulo
de 20° respecto a la horizontal para que se desplace con una velocidad
constante.
3. Se aplica una fuerza de 40 N durante 5 segundos, sobre un bloque de
90 N para desplazarlo sobre una superficie horizontal, con un
coeficiente de fricción dinámico de 0.27
Calcular:
a) La aceleración del bloque
b) La velocidad que llevará a los 5 segundos.
c) La distancia que recorre el bloque al cabo de 5 los segundos.
N
F= 40 N
µd' = 0.27
P = 90 N
P
Datos
F = 40 N
t= 5 s
P= 90 N
Μd = 0.27
a)
a=?
- 10 -
b)
V5s
c)
d5S = ?
Solución:
a) La aceleración que recibe el cuerpo se debe a la fuerza resultante
(FR) que actúa sobre él y cuyo valor es:
FR = F – Fd
Fd = µd x N
FR =
40 N – 0.27 x 90 N
=
40 N – 24.3 N = 15.7 N
FR
a=
m
FR
=
P
g
15.7 N
=
90N
= 1.71 m/s2
9.8 m/s2
b) Como la aceleración es constante la velocidad a los 5 segundos
será:
v = at === 1.71 m/s2 x 5 s = 8.55 m/s
c) La distancia recorrida a los 5 segundos es:
d=
at
1.71 m/s2 (5 s)2
=
21
2 38 m
2
4. Una motocicleta cuyo peso es de 1800 N se mueve a una velocidad de 60 km/h.
Al aplicar los frenos se detiene a una distancia de 25 m. Calcular la fuerza de
fricción promedio que la detiene.
Datos
P = 1800 N
- 11 -
Km
Vo =
x
H
1000 m
1h
1 km
x3600 s
= 16.66 m/s
La fuerza de fricción que detiene a la motocicleta es igual a:
F = ma
P
A . . . (1)
Como m =
g
Puesto que desconocemos el valor de la aceleración, la calculamos a partir de una de las ecuaciones
usadas para la velocidad final, vista en la unidad 4, sección 9: Deducción de las ecuaciones utilizadas
en el M.R.U.V. para movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Vf2 = V02 + 2 ad
Cuando la motocicleta se detiene en Vf = 0: donde: 0 = V02 + 2 ad, despejando a la
aceleración tenemos:
V02
a = - m/s)2
2d
=-
(16.66
2 x 25
Sustituyendo en la ecuación 1:
F=
1800 N
9 8 m/s2
x -5.55 m/s2 = - 1019.39 N
Por tanto, la fuerza de fricción promedio que detiene a la motocicleta es de 1019.39
N
Se aplica una fuerza de 120 N formando un ángulo de 30º con la horizontal sobre un
bloque de 220 N, como se ve en la figura. Si el bloque adquiere una aceleración de
2 m/s2, calcular el coeficiente de fricción dinámico.
F = 120 N
30º
P = 220 N
A = 2 m/s2
- 12 -
Solución:
Diagrama de cuerpo libre:
N
F = 120 N
Fd
30º
Fy
P = 220 N
Como el bloque recibe una aceleración de 2 m/s2
es evidente que la fuerza
resultante (FR) que la provoca equivale a la diferencia entre la componente (Fx) de F
= 120 N y la fuerza de fricción dinámica (Fd), donde:
∑ Fx = FR = Fx - Fd = ma … (1)
FR
=
ma =
P
G
220 N
a=
9.8 m/s2
x 2 m/s2 = 44.90 N
El valor de las componentes del pesos son:
Px = P sen 30º = 50 N x 0.5 = 25 N
Py = P sen 30º = 50 N x 0.8660 = 43.3 N
De acuerdo con la ecuación 1 tenemos: N = Py = 43.3 N
Por tanto, la fuerza de fricción dinámica = Fd
=
µdN = 0.3 x 43.3 N = 12.99 N
Por lo que al sustituir valores en la ecuación 2 tenemos:
F + (— 25 N) + (— 12.99 N) = 0
- 13 -
F= 37.99 N (Valor de la fuerza necesaria para que el bloque ascienda con una
velocidad constante).
Nota: Si tuvo dificultad para comprender como se descompone el peso del cuerpo
en un plano inclinado, consulte al sección 4, relación entre el peso de un cuerpo y la
fuerza de gravedad y descomposición del peso de un plano inclinado.
- 14 -
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un bloque de madera de 20 N es jalado con una fuerza máxima estática de 12
N; al tratar de deslizarlo sobre una superficie horizontal de madera, ¿ Cuál es
el coeficiente de fricción estático entre las dos superficies?
Respuesta:
µe = 0.6
2. Se aplica una fuerza de 85 N sobre un cuerpo para deslizarlo a velocidad
constante sobre una superficie horizontal. Si la masa del cuerpo es de 21.7
kg, ¿Cuál es el coeficiente de fricción dinámico?
Respuesta:
µd = 0.4
3. Se requiere mover un bloque de 30N sobre una superficie horizontal a una
velocidad constante, si el coeficiente de fricción dinámico es de 0.5, determine
la fuerza que se necesita para moverlo a aceleración que adquirirá el bloque si
se le aplica el doble de la fuerza calculada.
Respuestas:
F = 15 N
A = 9.8 m/s2
4. Calcular la fuerza que se debe aplicar para deslizar un bloque de 200 N con
velocidad constante sobre una superficie con coeficiente de fricción igual a
0.4, al presentarse las siguientes situaciones:
a) Se empuja el bloque con un ángulo de 30° (figura a).
b) Se jala el bloque con un ángulo de 30° (figura b).
Figura (a)
- 15 -
F=?
30°
P = 200 N
- 16 -
Figura (b)
F=?
30°
P = 200 N
Respuestas:
a) F = 121.2 N
b) F = 75.05 N
5. Un camión de carga cuyo peso es de 98 000 N viaja a una velocidad de 70
km/h, el conductor aplica los frenos y lo detiene a una distancia de 100 m.
¿cuál es la fuerza de fricción promedio que lo detiene?
Respuesta:
F = 18 900 N
6. Sobre un bloque de 40 N se aplica una fuerza de 15 N formando un ángulo de
25° con la horizontal como se ve en la figura. Si el bloque adquiere una
aceleración de 1.5 m/s2, calcular el coeficiente de fricción dinámico.
F = 15 N
P = 40 N
25°
Respuesta:
µd = 0.22
- 17 -
7. Un bloque de 30 N se desliza sobre una tabla al existir un coeficiente de fricción
dinámico de 0.4 . Determinar la fuerza que se debe aplicar al bloque para que se
mueva con una velocidad constante cuando:
a) La tabla se encuentra sobre una superficie horizontal (figura a)
b) La tabla forma un ángulo de 20° respecto al plano horizontal (figura b)
Figura (a)
F=?
P = 30 N
Figura (b)
F =?
P = 30 N
20°
Respuestas:
a) F = 12 N
b) F = 21.53 N
- 18 -
Se aplica una fuerza de 25 N durante 4 segundos sobre un bloque de 55 N, para
desplazarlo en una superficie horizontal como un coeficiente de fricci{on dinámico de
0.3. Calcular la velocidad que adquiere el bloque a los 4 segundos y la distancia
recorrida en ese tiempo.
N
µd = 0.3
P = 55 N
F = 25 N
P
Respuestas:
V= 6.06 m/s
1.
D= 12.112 m
- 19 -
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Introducción
Todos los objetos caen debido a la gravedad , ésta , ha hecho a la tierra redonda y también ha
influido en diversos factores , pero nosotros no sabemos la definición exacta de gravedad .
Gravedad es el nombre que damos a la fuerza de atracción que se ejerce entre los objetos, ésta,
es la definición aunque nosotros no la comprendamos completamente . La gravedad afecta a
todas las cosas y también entendemos que se extiende por todo el universo . En el capítulo sub
estudio se examina el comportamiento básico de la gravedad.
La manzana que cae
La gravedad se extiende por todo el universo, según Isaac Newton , que obtuvo esta idea
cuando estaba sentado bajo un manzano . Newton entendía el concepto de inercia de Galileo,
sabía que en ausencia de fuerzas externas los objetos se conservan en movimiento o en línea
recta con rapidez constante . También sabía que todo cambio en la rapidez o dirección de un
objeto se debe a la acción de una fuerza .
Newton había estado reflexionando acerca del hecho de que la Luna no describe una
trayectoria recta , sino, gira alrededor de la Tierra y también que , un movimiento circular es
un movimiento acelerado, lo que implica la presencia de una fuerza ; esta fuerza se desconocía
.
Newton tubo la perspicacia de comprender que la fuerza que actúa entre la Tierra y la Luna es
la misma fuerza que tira de todas la manzanas y de todas las cosas a la que llamó fuerza de
gravedad.
La luna que cae
Este concepto proviene de Newton , que comparó la manzana que cae con la Luna . Se dio
cuenta que si la Luna no cayese se movería en una trayectoria recta alejándose de la Tierra . Su
idea era que la Luna caía alrededor de la Tierra . Así la Luna cae en el sentido de que , cae por
debajo de línea recta , que describiría si sobre ella no se ejerciera fuerza alguna .
Newton formuló la hipótesis de que la Luna no era sino un proyectil girando alrededor de la
tierra por acción de la gravedad . Newton comparó la bala de un cañón con la Luna ,que al ser
disparada, formaba una trayectoria parabólica y si se disparase con rapidez suficiente , la bala
se movería sobre un círculo, es decir, en órbita .
Su velocidad tangencial entre ( componente de velocidad paralela) es suficiente para
garantizar el movimiento alrededor de la tierra. Esta idea para pasar de hipótesis a teoría
científica tendría que ser probada, su prueba consistió en comprobar que la caída de la Luna
por debajo de su trayectoria recta, estaba en proporción correcta , respecto a la caída de una
manzana o de cualquier objeto que tenga superficie terrestre,.
Newton pensaba que la masa de la Luna no afectaría su caída , del mismo modo que la masa
no afecte en absoluto la aceleración de los objetos en caída libre, cerca de la superficie de la
tierra. . Se sabe que la Luna estaba sesenta veces mas lejos del centro de la tierra, que la de la
superficie que una manzana en la superficie de la Tierra , la fuerza que hace caer a las
manzanas de los árboles es la misma que mantiene la Luna en su órbita.
- 20 -
La tierra que cae
Debido a su velocidad tangencial la Tierra cae constantemente hacia el Sol sin estrellarse . Los
planetas caen continuamente hacia el sol describiendo órbitas cerradas (debido a sus
velocidades tangenciales y , si sus velocidades tangenciales se reducen a acero todos los
planetas se irían contra el Sol.
Ley de gravitacion universal de newton
Newton descubrió que la gravedad es universal, los cuerpos se atraen en la que sólo
intervienen masa y distancia.
La ley de gravitación universal de Newton dice que un objeto atrae a los demás con una fuerza
que es directamente proporcional a las masas.
La gravedad se ejerce entre dos objetos y depende de la distancia que separa sus centros de
masa.
Constante de la gravitacion universal ( g )
La proporcionalidad de esta ley, podemos expresarla con una ecuación
El valor de G nos dice que la fuerza de gravedad es una fuerza muy débil, la fuerza entre un
individuo y la Tierra , se puede medir (peso) , pero también, depende de la distancia respecto
al centro de la Tierra. Cuanto mas lejos de la Tierra es menor el peso, por ser menor la
gravedad.
Gravedad y distancia. : ley del inverso del cuadrado
Se da en casos en que el efecto de una fuente localizada se extiende de manera uniforme por
todo el espacio, la luz ,radiación, el sonido, etc.,
Cuando una cantidad varía como el inverso del cuadrado de la distancia, a su origen , decimos
que se rige por una ley del inverso cuadrado; " cuanto mayor sea la distancia a la de un objeto
,que se encuentra en el centro de la tierra ,menor será su peso , por tener poca gravedad ".
Si un cuerpo pesa 1 N , en la superficie terrestre , el peso será de 0,25 cuando se aleja dos
veces mas de la Tierra, porque la intensidad de la gravedad se reduce a un cuarto del valor que
tiene en la superficie, cuando se aleja tres veces pesa sólo un noveno de su peso en la
superficie.
Gravitacion Universal
La tierra se ha atraído a sí misma antes de solidificarse ( por ello su forma redonda) y también,
los efectos de la rotación hacen que los cuerpos sean un poco mas anchos por el Ecuador.
Los planetas y el Sol tiran unos de otros, haciendo que giren y algunos se desvíen de sus
órbitas normales, esta desviación se conoce como perturbación . (p.ej. uranio, neptuno).
- 21 -
Las perturbaciones de las estrellas dobles y las formas de las galaxias remotas, son prueba de
que la ley de gravitación es válida , mas allá del sistema solar. A distan cias mayores, la
gravitación determina el destino de todo el Universo.
La TEORIA actual mas aceptada del origen el Universo, dice que se formó a partir de una bola
de fuego hace quince a veinte mil millones de años ( big bang) . La explosión puede continuar
para siempre o puede detenerse, debido al efecto de gravitación de toda la masa.
El universo puede contraerse para volver a convertirse en una unidad, esto sería la gran
implosión ( big crunch) y después, volver a explotar , formando un nuevo Universo, (no
sabemos si la explosión del Universo es cíclica o indefinida) .
Las teorías que han afectado la ciencia y la civilización son pocas, como la teoría de la
gravedad de Newton .
Las ideas de Newton dieron comienzo a la edad de la razón o ciclo de las luces. Formulaciones
de reglas como F = G permitieron que otros fenómenos del mundo pudiesen ser descritos por
leyes simples .
Interacción gravitacional
Newton descubrió que todos los objetos del Universo se atraen. En este resumen que
corresponde al capítulo trece del título susodicho, se investiga el efecto de la gravedad en la
superficie terrestre , océano, atmósfera, agujeros negros.
Campo gravitacional
Es necesario conocer el concepto de campo magnético, que es un campo de fuerza que rodea a
un imán, éste a su vez, ejerce una fuerza a los objetos que están a su lado , siempre y cuando
sea una sustancia magnética.
Campo gravitacional de la tierra
Las líneas de campo representa el campo gravitacional que rodea a la Tierra, el campo será
intenso cuando las líneas de campo estén mas juntas y será débil cuando las líneas estén
separadas.
Un cohete es atraído por las Tierra o bien el cohete inter actúa con el campo gravitacional de
la Tierra , éstas son definiciones iguales.
Si se conoce la masa y el radio de un planeta cualquiera , se puede calcular el valor
correspondiente de la gravedad, como es en el caso de la Tierra igual a nueve coma ocho
metros por segundo al cuadrado.
Campo gravitacional en el interior de un planeta
Dentro del planeta el campo gravitacional se puede explicar mejor con un ejemplo de un túnel
que cruza de lado a lado ( norte a sur) de la Tierra. En la superficie, la aceleración será " G " ,
pero, se reduce al acercarse al centro de la tierra, esto se debe a que - al mismo tiempo - que la
Tierra ejerce una fuerza hacia abajo, la Tierra que queda arriba también ejerce una fuerza
- 22 -
sobre él , y, al llegar al centro , la aceleración es cero , porque , las fuerzas se encuentran
equilibradas arriba y abajo.
Por lo tanto, el campo gravitacional en el centro de las Tierra es igual a cero.
Peso e ingravidez
Sabemos que la gravedad es una fuerza que provoca aceleración , pero, nosotros no la
sentimos , porque estamos pegados a la tierra ( peso) .
La sensación del peso es igual a la fuerza que ejerce sobre el piso. Si el piso acelera hacia
arriba o abajo ( ascensor) , el peso puede variar. Cuando nada lo sostiene en caída libre ,
sientes que tu peso es cero, según esto , estás en condiciones de ingravidez pero, esto
solamente es una sensación , al igual que lo sienten los astronautas.
La ingravidez real sólo se daría lejos y en el espacio, apartado de otros planetas y estrellas
capaces de atraer.
El peso es igual a la fuerza que ejerce el piso ( o sobre la balanza)
La ingravidez es la ausencia de una fuerza de soporte, en el caso de los astronautas , se
encuentran sin una fuerza de soporte , por lo tanto , están en un estado de ingravidez
prolongada.
Mareas oceanicas.
Desde hace mucho tiempo se sabía que existía una relación entre las mareas y la Luna , pero
no con exactitud, Newton mostró que se deben a diferencias de atracción gravitacional de la
Luna sobre caras opuestas de la Tierra.
Esta atracción es mas intensa en la cara de la Tierra que el lado opuesto que da hacia la Luna ,.
Y esto se debe a la distancia, la cara mas cercana a la Luna presenta una fuerza mayor y una
aceleración mayor hacia la Luna, por lo tanto , la forma de la tierra es alargada.
La Luna y la Tierra experimentan una aceleración centrípeta al girar alrededor del centro de
masa común.
La Marea baja se define cuando la tierra da un cuarto de vuelta. Unas seis horas después , el
nivel del agua en el mismo lugar del océano es alrededor de un metro mas abajo que el nivel
promedio del mar. El agua que no está ahí, está debajo de los abultamientos que producen
mareas altas en algún otro lugar.
El sol también contribuye en las mareas, pero en menos de la mitad de las que produce la
Luna.
Por mas que el Sol sea ciento ochenta veces mayor que la Tierra, no produce mareas mayores
que la Luna , porque la diferencia entre la distancia de la parte del Sol que está mas cerca y la
parte que está mas alejada, es menos significativa.
- 23 -
Las mareas vivas se dan cuando el Sol , la Luna, y la tierra están alineadas (eclipse) ; pero , no
se da perfectamente, debido a que el plano de la órbita de la Luna está ligeramente inclinada
respecto de la Tierra alrededor del Sol .
Todos los meses cuando la Tierra esté entre el Sol y la Luna ( luna llena ) y cuando la Luna
esté entre el Sol y la Tierra ( luna nueva) tendremos mareas vivas.
Las mareas muertas, ocurren cuando las atracciones del Sol y de la Luna se ejercen en
direcciones perpendiculares, ( media Luna ) . En otro aspecto tenemos que, la inclinación del
eje de la Tierra, hace que las dos mareas altas diarias de un mismo lugar sean desiguales.
Mareas terrestres y atmosfericas
Las mareas terrestres se dan por las fuerzas de marea ejercidas por el Sol y la Luna, debido a
que, la corteza es delgada y flexible , sufriendo en la superficie sólida de la Tierra , un
incremento y disminución de veinticinco centímetros dos veces al día, por eso ocurren
terremotos y erupciones volcánicas.
Las mareas atmosféricas son pequeñas, debido a la reducida masa de atmósfera que tenemos.
Estas mareas, se dan en la ionósfera , las mareas que suceden ahí , alteran el campo magnético
que rodea a la Tierra ( marea magnética ) , éstas a su vez, regulan en la atmósfera baja, la
penetración de rayos cósmicos. Esta penetración de rayos a la atmósfera afecta su composición
iónica , aue a su vez produce cambios en los seres vivos.
Agujeros negros
Devienen de procesos que se llevan a cabo en las estrellas, específicamente se trata del Sol, el
mismo que de un tiempo a esta parte , es decir en cinco millones de años , se convertirá
finalmente en una "enana negra" , como consecuencia de su cesación de calor y Luz , la misma
que, tendrá una configuración de densidad comprimida , donde ni siquiera la Luz podrá
escapar, a ello se le denomina agujeros negros. Cabe agregar también que los agujeros negros
no son mas masivos que las estrellas de la que se forman .
Es posible que el campo gravitacional del los agujeros negros sea enorme , no alterándose por
la contracción el campo gravitacional de las estrellas mas cercanas.
Los agujeros negros serán una pesadilla para los astronautas del futuro, el mejor consejo que
nos da este capítulo es que no se acerquen a ellos , pues la configuración del campo
gravitacional en la vecindad de un agujero negro representa el colapso del propio espacio.
- 24 -
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Ejercicios resueltos
a. Calcular la fuerza gravitacional con la que se atraen dos personas, si una de ellas tiene una
masa de 60 kg y la otra de 70 kg, y la distancia que hay entre ellas es de 1.5 m
Datos:
F =?
Fórmula:
m1 = 60kg
F =G
m2 = 70kg
d = 1.5m
G = 6.67 × 10 −11
m1m2
d2
Nm 2
kg 2
Sustitución y resultado
F = 6.67 × 10 −11
Nm 2 60kg × 70kg
×
= 12450.66 × 10 −11 N
kg 2
(1.5m) 2
b. Calcular la fuerza con la que se atraen dos cuerpos cuyos pesos son 98N y 300N al haber
entre ellos una distancia de 50cm. Dar el resultado en unidades del SI
Datos:
F =?
Fórmula:
P = mg ∴ m =
P1 = 98 N
P2 = 300 N
d = 50cm = 0.5m
F =G
P
g
m1m2
d2
Sustitución y resultado
98kgm / s 2
= 10kg
9.8m / s 2
300kgm / s 2
m2 =
= 30.61kg
9.8m / s 2
m1 =
F = 6.67 × 10 −11
Nm 2 10kg × 30.61kg
= 8166.7 × 10 −11 N
2
2
kg
( 0 .5 m )
- 25 -
c. ¿A que distancia se encuentran dos masas cuyos valores son 4 x 10-2 kg y 9 x 10-3 kg, si la
fuerza con la que se atraen es de 9 x 10-9?
Datos:
Fórmula:
F = 9 × 10
−9
kg
m 1 = 4 × 10
−2
m 2 = 4 × 10
−3
kg
F =G
kg
d = ?
G = 6 . 67 × 10
− 11
Gm1m2
m1m2
∴d 2 =
2
F
d
Nm 2
kg 2
Sustitución y resultado
4 × 10 −2 kg × 4 × 10 −3 kg
36 × 10 −5
=G
F =G
d2
d2
Despejando d2
d2 =
Gm1m2
F
Nm 2
× 36 × 10 −5
kg 2
= 26.68 × 10 −7 m 2
9 × 10 −9 N
6.67 × 10 −11
d2 =
d 2 = 26.68 × 10 −7 m 2 = 1.63 × 10 −3 m
d. ¿Qué distancia debe haber entre un cuerpo de 600 g de masa y otro de 400 g para que se
atraigan con una fuerza de 2 x 10-5 dinas?
Datos:
F = 2 × 10 −5 dinas
m1 = 600 g
Fórmula:
m2 = 400 g
F =G
d =?
G = 6.67 × 10 −8
m1m2
Gm1m2
∴d 2 =
2
d
F
dinascm 2
g2
Sustitución y resultado
6.67 × 10 −8
d2 =
dinascm 2
× 600 g × 400 g
g2
= 800400 × 10 −3 m 2
−5
2 × 10 dinas
d 2 = 800.4cm 2 = 28.29cm
- 26 -
e. Calcular la masa de una silla si la fuerza de gravitación con que se atraen con una masa de
20 kg es de 40 x 10-11N y la distancia a la que se encuentran uno del otro es de 4m.
Datos:
Fórmula:
F = 40 × 10
− 11
N
m1 = ?
m1m2
Fd 2
F = G 2 ∴ m1 =
d
Gm2
m 2 = 400 g
d = 4m
G = 6 . 67 × 10
− 11
Nm 2
kg 2
Sustitución y resultado
m1 =
40 × 10 −11 (4m) 2
= 4.79kg
2
−11 Nm
6.67 × 10
× 20kg
kg 2
f. Determinar la fuerza gravitacional que ejercerá la tierra sobre un cuerpo cuya masa es de 1
kg al estar colocado en un punto donde el radio terrestre es de 6.336 x 106 m. la masa de la
tierra es de 5.9 x 1024 kg
Datos:
Fórmula:
F = ?
m 1 = 1 kg
m 2 = 5 . 9 × 10
24
kg
d = 6 . 336 × 10 6 m
G = 6 . 67 × 10
− 11
F =G
m1m2
d2
Nm 2
kg 2
Sustitución y resultado
F = 6.67 × 10 −11
Nm 2 1kg × 5.9 × 10 24 kg
= 9 .8 N
×
kg 2
(6.336 × 10 6 m) 2
Nota: La distancia entre el cuerpo y la tierra se tomo igual al radio de la tierra, pues se
considera al centro de esta como el punto donde se concentra su peso. En general, para
calcular la fuerza de atracción gravitacional entre los cuerpos se mide la distancia a
partir de sus centros de gravedad, es decir, del lugar donde se considera concentrado su
peso
- 27 -
Ejercicios Propuestos
1. Determine la fuerza gravitacional con la que se atraen un miniauto de 1200 kg con un
camión de carga de 4500 kg al estar separados a una distancia de 5 m
Respuesta
F = 1440.72 x 10-8N
2. Una barra metálica cuyo peso es de 800 N se acerca a otra de 1200N hasta una distancia
entre sus centros de gravedad es de 80 cm. ¿Con que fuerza se atraen?
Respuesta
F = 10.417 x 10-7N
3. ¿A que distancia se encuentran dos elefantes cuyas masa son 1.3 x 103 kg y 1.5 x 103 kg, y
se atraen con una fuerza gravitacional de 4.8 x 10-6N?
Respuesta
d=5m
4. Calcular la distancia que debe haber entre un libro de 850 g y un pisapapeles de 300 g para
que se atraigan con una fuerza de 1.9 x 10-5
Respuesta
d = 29.92
5. Determinar la masa de un cuerpo, si la fuerza gravitacional con la que se atrae con otro de
100 kg es de 60 x 10-10N y la distancia entre ellos es de 10 m
Respuesta
m = 89.9 kg
6. Determinar la fuerza gravitacional que ejercerá la luna sobre una roca cuya masa es de 1
kg al encontrarse en un puno donde el radio lunar es de 1.74 x 106 m. la masa de la luna es
de 7.25 x 1022 kg
Respuesta
F = 1.597 N
- 28 -
TRABAJO MECÁNICO
En nuestra vida diaria es muy común escuchar a alguien decir que le costó mucho trabajo
encontrar tal o cual herramienta, prenda de vestir, libro, cale o cualquier otra cosa. De igual
forma, se dice que triunfar en la vida, obtener un diploma y destacar como técnico
especializado o profesional en alguna de las ramas del conocimiento humano, requiere
esfuerzo, dedicación y trabajo constante. Pero entonces, ¿qué es trabajo? Si esta pregunta se la
hacemos a diferentes personas nos encontraremos con una gran diversidad de respuestas, pues
lo que para unos es trabajo para otros es una diversión, pasatiempo, objeto de estudio o tema
de interés. Por fortuna desde el punto de vista de la Física, el trabajo sólo tiene una
interpretación y es la siguiente:
El trabajo es una magnitud escalar producido sólo cuando una fuerza mueve un cuerpo
en su misma dirección. Su valor se calcula multiplicando la magnitud de la componente de la
fuerza localizada en la misma dirección en que se efectúa el movimiento del cuerpo, por el
desplazamiento que éste realiza.
T = F cos Θ d
o bien:
T = trabajo realizado en Nm = joule = J
F cos Θ = componente de la fuerza en la dirección del movimiento en
newtons (N)
d = desplazamiento en metros (m)
Si la fuerza que mueve el cuerpo se encuentra totalmente en la misma dirección en que se
efectúa el desplazamiento, el ángulo 0 es igual a cero y el cos 0 = cos 0º = 1, donde el trabajo
será igual a:
T = Fd
Se realiza un trabajo de un joule (1 J) cuando al aplicar una fuerza de un newton a un
cuerpo, éste se desplaza un metro. De donde:
1 J=Nm
ENERGÍA
La energía siempre ha estado estrechamente ligada con las actividades cotidianas del ser
humano, toda vez que el hombre primitivo realizaba sus tareas utilizando primero la energía de
su cuerpo. Posteriormente, aprendió a domesticar animales y a utilizar su energía para hacer
más fáciles sus actividades. Más tarde, descubrió otras fuentes de energía y aprendió a usar la
del viento para la propulsión de sus barcos de vela; así como a aprovechar la energía de las
corrientes del agua al construir en los ríos, molinos de granos.
Tipos de energía
Existen varios tipos de energía como son:
Energía calorífica
- 29 -
Se produce por la combustión de carbón, madera, petróleo, gas natural, gasolina y otros
combustibles.
Energía eléctrica
Se produce cuando a través de un material conductor se logra un movimiento o flujo de
electrones. La corriente eléctrica genera luz, calor y magnetismo
El hombre obtiene energía calorífica por medio de la combustión de la materia.
En nuestros hogares utilizamos la energía eléctrica para el funcionamiento de diversos
aparatos.
Energía química
Se produce cuando las sustancias reaccionan entre sí alterando su constitución íntima,
como es el caso de la energía obtenida en los explosivos o en las pilas eléctricas.
Energía hidráulica
Se aprovecha cuando la corriente de agua mueve un molino o la caída de agua de una
presa mueve una turbina.
- 30 -
La energía potencial del agua almacenada se
transforma en cinética y se utiliza para mover
turbinas.
Energía eólica
Es la producida por el movimiento del aire y se aprovecha en los molinos de viento o en los
aerogeneradores de alta potencia para producir electricidad.
Energía radiante
Es la energía producida por ondas electromagnéticas que se caracterizan por su
propagación en el vacío a una velocidad de 300 km/s, tal es el caso de los de radio, los
rayos gamma, rayos X, ultravioleta, infrarrojos o luminosos. La energía radiante del Sol, así
como su intensidad, las revisaremos en la unidad 11 de este libro.
La energía éolica producida por el movimiento del aire, es decir, el viento es una inestimable
fuente de energía.
Energía nuclear
Es la originada por la energía que mantiene unidas a las partículas en el núcleo de los
átomos, misma que es liberada en forma de energía calorífica y radiante cuando se produce
una reacción de fusión, caracterizada por la unión de dos núcleos ligeros, para formar uno
mayor, O bien, cuando se produce una reacción de fisión al desintegrarse el núcleo de un
elemento de peso atómico elevado, como es el caso del uranio, liberándose gran cantidad de
energía que se utiliza para calentar agua.
- 31 -
Energía mecánica
Es la que tienen los cuerpos cuando son capaces de interaccionar con el sistema del cual
forman parte, para realizar un trabajo. Se divide en energía cinética y potencial.
Definición de energía
Encontrar una definición precisa para la energía no es algo sencillo, sin embargo podemos
decir:
La energía es una propiedad que caracteriza la interacción de los componentes de un
sistema físico que tiene la capacidad de realizar un trabajo. Es importante señalar que la
energía se manifiesta de diferentes formas, sin embargo, no se crea de la nada, ya que cuando
hablamos de producir energía, en realidad nos referimos a su transformación de una energía a
otra, ya que la energía no se crea ni se destruye sólo se transforma. En conclusión: un cuerpo
tiene energía si es capaz de interaccionar con el sistema del cual forma parte, para
realizar un trabajo. La unidad de energía en el Sistema Internacional es el joule (J).
.
.
1 J = Nm = kg m/s2 m = kg m2/s2
Nota: Un sistema físico cualquiera está constituido por una combinación de cuerpos u objetos
que forman un todo homogéneo. Un sistema físico contribuye a la observación, el
estudio, la investigación y de ser posible, la manipulación de las distintas variables
involucradas en el mismo.
En virtud de la importancia que representa la energía potencial y la energía cinética en muchos
acontecimientos cotidianos, las estudiaremos en detalle a continuación.
Energía potencial gravitacional (EPG)
Cuando levantamos un cuerpo cualquiera, debemos efectuar un trabajo igual al producto e la
fuerza aplicada por la altura a la que fue desplazado. Este trabajo se convierte en energía
potencial gravitacional, llamada así pues su origen se debe a la atracción gravitacional
ejercida por la Tierra sobre el cuerpo. Así pues, debido a la atracción de la Tierra, si el cuerpo
se deja caer, será capaz de realizar un trabajo del mismo valor sobre cualquier objeto en el que
caiga, ya que puede comprimir un resorte, perforar el piso e introducir pilotes hechos de
hormigón armado en terrenos frágiles.
Como el trabajo (T) realizado para elevar un cuerpo es igual a la energía potencial
gravitacional (EPG), tenemos:
EPG = T = Ph
La fuerza requerida para elevar un cuerpo a una cierta altura es
igual a su peso, por tanto:
Un cuerpo tiene energía potencial gravitacional cuando se
encuentra a cualquier altura con respecto al suelo.
- 32 -
F = P = mg
Donde la energía potencial gravitacional es igual a:
EPG = Ph = mgh
g = 9.8 m/s2
Las unidades de EPG en el Sistema Internacional son:
EPG = kg m2/s2 = joules (J)
La energía potencial gravitacional de un cuerpo localizado a una cierta altura depende del
nivel tomado como referencia. Por ejemplo, si un bloque de madera de 2 kg. de masa, está
sobre una mesa cuya altura es de 1 m y se levanta a una altura de 0.6 m de la mesa, el bloque
tendrá una energía potencial gravitacional respecto a la mesa igual a:
EPG = mgh = 2 KG x 9.8 m/s2 x 0.6 m = 11.76 J
Pero respecto al suelo, su altura es de 1.6 m, por tanto, considerando este nivel de referencia su
energía potencial gravitacional es de:
EPG = mgh = 2 kg x 9.8 m/s2 x 1.6 m = 31.36 J
¿Puede ser la energía potencial gravitacional de valor negativo? La respuesta es sí:
Se ve un cuerpo suspendido a una cierta altura respecto al suelo, el cual se toma como nivel de
referencia, y se observa también otro cuerpo pero en un lugar por debajo del suelo. El cuerpo
elevado a una altura h del nivel de referencia tiene una energía potencial gravitacional
- 33 -
positiva, pues al regresar al suelo será capaz de realizar un trabajo equivalente a su energía
potencial gravitacional: T = EPG = mgh. Pero el cuerpo localizado a una altura h abajo del
nivel de referencia tiene una energía potencial gravitacional negativa, pues al bajar ese punto
cede energía y para subirlo de nuevo al nivel del suelo se debe realizar un trabajo considerado
negativo cuyo valor será igual a:
-T = -EPC = -mgh
Si el nivel del suelo se considera como nivel cero de energía potencial gravitacional, un
cuerpo que se localice abajo de dicho nivel tendrá una energía potencial gravitacional
negativa.
Un cuerpo exactamente colocado en el suelo, considerado como nivel de referencia, no tiene
ninguna altura y por tanto su valor de EPG será igual a cero.
Por medio de una polea fija podemos subir una cubeta con agua, colocando una pesa en el otro
extremo de la cuerda. Al bajar la pesa, se transforma su energía gravitacional en trabajo, pues
logra subir a la cubeta, así, ésta recibe energía potencial gravitacional de la pesa,
conservándose la energía si la fricción en la polea es despreciable.
- 34 -
Al ir bajando la pesa, transforma su energía potencial gravitacional en trabajo al elevar el
otro cuerpo.
Energía potencial elástica
Por el estado en que se encuentran un resorte comprimido o estirado, una liga tensa o los
muelles de espiral, como la cuerda enrollada de un reloj, tienen la capacidad de realizar
trabajo, es decir, de desplazar algún cuerpo por la acción de una fuerza. Debido a ello tienen
energía potencial elástica.
Energía cinética
Todo cuerpo en movimiento tiene energía cinética. Por ejemplo, una persona cuando camina
o corre, un avión en pleno vuelo o al momento de adquirir velocidad para su despegue, una
corriente de agua, un disco que gira, la rueda de la fortuna, un pájaro al volar, una canica al
rodar por el suelo, una manzana que cae de un árbol y, en fin, todo aquello que está en
movimiento tiene energía cinética.
Cuando se estira o comprime un cuerpo elástico adquiere energía potencial elástica.
- 35 -
Cuando un cuerpo está en movimiento tiene energía cinética.
Seguramente habrá observado cómo unos cuerpos tienen movimiento de traslación y otros
de rotación, o una combinación de ambos. Decimos que un cuerpo presenta un movimiento
de traslación cuando todas sus partes siguen una dirección constante, por ejemplo un avión en
vuelo, o una piedra cayendo al suelo desde la cima de un precipicio. Un cuerpo tiene
movimiento de rotación cuando lo lleva a cabo alrededor de una recta llamada eje de rotación,
cuyos puntos permanecen inmóviles, por ejemplo una rueda de la fortuna, un disco compacto,
un engrane o una polea fija. Hay cuerpos con movimiento de traslación y rotación, tal es el
caso de la Tierra y también el de un yoyo.
Energía cinética traslacional (ECT)
Un cuerpo suspendido a cierta altura, al ser soltado transforma su energía potencial
gravitacional en energía cinética traslacional. Por ejemplo, para construir la Torre
Latinoamericana, edificio ubicado en el centro de la ciudad de México, fué necesario rerforzar
el suelo blando de esa área, mediante pilotes, los cuales fueron introducidos o clavados por
medio de un matinete, elaborado básicamente por un gran mazo dentro de guías para
mantenerlo correctamente en la dirección del blanco u objetivo.
La energía potencial gravitacional que tiene el mazo
se utiliza para introducir pilotes en suelos blandos,
para reforzarlos y construir edificios más seguros.
Para que un cuerpo adquiera energía cinética
traslacional, es necesario realizar un trabajo sobre él. De donde:
Energía cinética traslacional (ECT) =Trabajo (T)
- 36 -
De la igualdad entre la energía cinética traslacional y el trabajo, deducimos la expresión
matemática de la primera:
ECT = T = Fd ...............................(1)
De la Segunda Ley de Newton tenemos que:
F = ma ..........................................(2)
Sustituyendo la ecuación 2 en 1 tenemos:
ECT = mad .................................. (3)
De acuerdo con lo estudiado en la unidad 4, sección 9; Deducción de las ecuaciones utilizadas
en el MRUA, recordemos que cuando un cuerpo se acelera desde el reposo, la distancia la
calculamos con la expresión:
d = 1 at2 .......................................(4)
2
Sustituyendo la ecuación 4 en 3:
ECT = ma 1 at2 = 1 m (at)2.........(5)
2
2
También sabemos que cuando un cuerpo se acelera desde el reposo, la velocidad que adquiere
al cabo de cierto tiempo es:
v = at.......................................... (6)
Si elevamos al cuadrado la ecuación 6 tenemos:
v2 = (at)2...................................... (7)
Por lo que al sustituir la ecuación 7 en 5 nos queda:
ECT = 1 mv2
2
De donde podemos concluir que la energía cinética traslacional de un cuerpo es igual a un
medio del producto de su masa por el cuadrado de la velocidad que lleva.
La unidad usada en el Sistema Internacional para la energía, la podemos encontrar
sustituyendo en la ecuación de la energía cinética traslacional la unidad de masa (kg) y la
unidad de velocidad (m/s) elevada al cuadrado:
ECT en unidades del SI es igual a: kg m2/s2 = joule = J
Energía cinética rotacional (ECR)
La energía rotacional la presentan los cuerpos cuando giran. Antes de soltar una canica, ésta
tiene una energía potencial gravitacional igual a su peso por su altura, pero al ir cayendo se va
transformando su energía potencial gravitacional en energía cinética traslacional. Pero además,
debido a que existe fricción o rozamiento entre la canica y la superficie del plano inclinado, la
- 37 -
canica empieza a girar adquiriendo también, energía cinética rotacional. Si no existiera
fricción entre la superficie y la canica, ésta no giraría y únicamente tendría energía cinética
traslacional, al deslizarse por el plano inclinado. ¿Se da cuenta de la importancia que
representa la fuerza de fricción cuando una superficie se desplaza sobre otra? ¿Qué superficie
propondría para el plano inclinado y lograr que la canica reduzca su fricción de tal manera
que se deslice únicamente y no gire?
Conservación de la energía y su degradación
Para comprender por qué la energía no se crea ni se destruye, analice el siguiente hecho: con
un tubo y un resorte se puede construir un disparador de esferas metálicas. Para comprimir el
resorte se debe realizar un trabajo, el cual se convertirá en energía potencial elástica (EPE) del
resorte. Al apuntar en dirección vertical hacia arriba y accionar el disparador, la esfera saldrá
disparada con una energía cinética traslacional (ECT) igual al trabajo desarrollado por el
resorte. Al subir la esfera, realizará un trabajo contra la fuerza de gravedad y tanto su
velocidad como su ETC disminuirán, pero al mismo tiempo su energía potencial
gravitacional (EPG) irá en aumento al elevar su altura con respecto al suelo. Cuando la esfera
logra su altura máxima, su velocidad en ese instante es cero y toda su ECT es transformada a
EPG disminuye.
No obstante, la energía mecánica total de la esfera, es decir: ET = EPG + ECT, en cualquier
instante de su trayectoria, es la misma. Esto se debe a la interacción entre la esfera y la
Tierra por la fuerza gravitacional, lo cual constituye un sistema conservativo, pues cualquier
trabajo realizado por un cuerpo en contra de la fuerza de gravedad de la Tierra se recupera
íntegramente cuando el cuerpo desciende. Por tal motivo, la fuerza de gravedad es una fuerza
conservativa.
Cuando la esfera está a punto de chocar contra el resorte como consecuencia de su caída libre,
tendrá en ese instante la misma velocidad y energía con la que fue disparada. Su energía
cinética traslacional (ECT) se transformará en trabajo al chocar con el resorte comprimiéndolo
nuevamente.
Si se repite el experimento, pero ahora la esfera en lugar de caer sobre el resorte, cae sobre la
superficie de la Tierra, la energía de la esfera se transformará en trabajo realizado al
incrustarse y hacer un hoyo en el suelo.
Finalmente, si se vuelve a disparar la esfera y al caer choca contra una superficie metálica
resistente al impacto, ¿qué sucederá con la ECT de la esfera? Al chocar, la ECT se
transformará en sonido y energía calorífica, aumentando la temperatura de la superficie
metálica y de la esfera.
Cuando la energía se convierte en calor y después ya no es posible volverla a transformar en
otra clase de energía, decimos que se ha degradado.
Con base en lo expuesto podemos concluir enunciando la Ley de la Conservación de la
Energía en los siguientes términos:
La energía existente en el Universo es una cantidad constante pues no se crea, ni se
destruye, únicamente se transforma.
- 38 -
POTENCIA MECÁNICA
La potencia mecánica se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. Se mide en
watts (W) y se dice que existe una potencia mecánica de un watts cuando se realiza un trabajo
de un joule en un segundo:
1W=J
s
Por ejemplo, mientras una persona sube por una escalera un bulto de cemento de 50 kg a un
departamento que se encuentra en reparación en el quinto piso de un edificio, otra, utilizando
una polea, sube otro bulto de 50 kg hasta el mismo piso en un menor tiempo, ¿quién realiza
mayor trabajo? Puesto que cada quien elevó un bulto de 50 kg a la misma altura el trabajo
realizado es el mismo, sólo que uno lo efectuó en menor tiempo.
El hombre siempre ha buscado realizar su trabajo en el menor tiempo posible, de ahí la
necesidad de introducir un nuevo concepto que señale claramente con qué rapidez se hace un
trabajo, este concepto recibe el nombre de potencia. Por definición: Potencia mecánica es la
rapidez con que se realiza un trabajo. Su expresión matemática es:
P=T
t
Donde: P = potencia en J/s = watts (W)
T = trabajo realizado en joules (J)
t = tiempo en que se realiza el trabajo en segundos (s)
Como se observa, la unidad usada en el Sistema Internacional para medir potencia es el watt y
significa un trabajo de un joule realizado en un segundo. (En honor al escocés James Watt,
1736-1819, famoso por la construcción de una máquina de vapor.)
No obstante, todavía se emplean las siguientes unidades prácticas: el caballo de fuerza (hp) y
el caballo de vapor (cv)
1 hp = 746 W
1 cv = 736 W
Como el trabajo es igual a:
T = Fd
y como la potencia es:
P = T = Fd
t
t
pero d = v, entonces:
t
P = Fv
- 39 -
Esta expresión permite calcular la potencia si se conoce la velocidad que adquiere el cuerpo,
misma que tendrá una dirección y un sentido igual a la de la fuerza que recibe.
Para conocer la eficiencia (η ) o rendimiento de una máquina que produce trabajo, tenemos la
expresión:
η= Trabajo producido por la máquina x 100
Trabajo suministrado a la máquina
- 40 -
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LOS QUE REALIZA TRABAJO MECANICO
1. En la siguiente figura vemos a un cuerpo cuyo peso es de 10 N y se levanta a
una altura de 1 m. ¿A cuánto equivale el trabajo realizado?.
F = 10 N
d =1m
P = 10 N
Solución:
T = Fd = 10 N x 1 m = 10 J
2. Si el mismo cuerpo es empujado ahora en forma horizontal como una fuerza
de 3 N suficiente para vencer la fuerza de fricción y desplazarlo 2 m con
velocidad constante, ¿a cuánto es igual el trabajo realizado?
F=3N
P = 10 N
d=2m
- 41 -
Solución:
T = Fd = 3 N x 2 m = 6 J
3. En la siguiente figura tenemos al mismo cuerpo anterior, pero ahora es jalado
por una fuerza de 6 N que forma unm ángulo de 30º respecto a la direcciòn del
desplazamiento. ¿Cuál será el valor del trabajo realizado si el desplazamiento
del cuerpo es de 2 m?
F= 6 N
Fy
30º
P = 10 N
Fx
d=2m
Solución:
Al observar la figura vemos que la fuerza de 6 N, puesto que está formando un
ángulo de 30º respecto al desplazamiento, debe descomponerse en sus dos
componentes rectangulares que son Fx
y Fy.
Como el cuerpo se mueve
horizontalmente, de acuerdo con la definición del trabajo sólo la componente
horizontal de la fuerza, osea Fx, es la que produce un trabajo por tanto el valor de
éste será
T = Fd cos 30º = 6N x 2 m x 0.8660 = 10.39 J
4. Si ahora le aplicamos al cuerpo anterior una fuerza de 6 N, primero con un ángulo de 20º respecto
a la dirección del desplazamiento, despues con un ángulo de 10º y finalmente con un ángulo de 00,
calcular:
a) ¿Cuál es el valor del trabajo realizado en cada caso si el desplazamiento del
cuerpo siempre es de 2 m?
b) ¿Cuál será el ángulo más apropiado para que la fuerza realice un mayor trabajo?
c) Si aplicáramos la fuerza con un ángulo de 90º respecto a la dirección en que se
efectuaron los desplazamientos, ¿cuánto valdría el trabajo?
- 42 -
Solución:
a) Cálculo del trabajo realizado cuando la fuerza forma un ángulo de 20º respecto a
la dirección del desplazamiento:
T = Fd cos 20º = 6 N x 2 m x 0.9397 = 11.28
Trabajo realizado cuando la fuerza forma un ángulo de 10º respecto a la dirección
del desplazamiento:
T = Fd cos 10º = 6 N x 2 m = 12 J
b) Como se observa, la fuerza realiza una mayor trabajo a medida que se aplica
cada vez con un ángulo menor respecto al desplazamiento del cuerpo. El mayor
trabajo se obtiene cuando la dirección en que se aplica la fuerza es la misma que
tiene el desplazamiento (A = 0º).
c) Si aplicamos la fuerza con ángulo de 90º , su dirección es perpendicular al
desplazamiento del cuerpo y, por tanto, el trabajo realizado será cero, toda vez
que cos 90º = 0.
5. Una persona cuyo peso es de 588 N sube por una escalera que tiene una longitud
de 17 metros hasta llegar a una altura de 10 m.
Calcular:
a) ¿Qué trabajo realizó?
b) Si la longitud de la escalera aumenta o varía su inclinación, ¿cambia el valor del
trabajo que es necesario realizar para alcanzar una altura de 10 m?
Solución:
a) Puesto que para poder subir, la persona debe realizar una fuerza igual a su peso
a fin de alcanzar la altura de 10 m, el trabajo sera:
Datos
T = ?
P = 588 N
D = 10 m
Sustitución y resultado
T = Fd = 588 N x 10 m = 5880 N
b) El trabajo necesario para que la persona suba a una altura de 10 m es
independiente de la longitud o de la inclinación de la escalera, pues desde el
- 43 -
punto de vista físico lo único importante es la fuerza que se efectuará
verticalmente hacia arriba y la altura que alcanzará el cuerpo.
6. Una persona levanta una pesa de 1470 N desde el suelo hasta una altura de 1.9
m.
Calcular:
a) ¿Qué trabajo realiza?
b) Si mantiene la pesa a la misma altura y camina sobre el suelo 3 m, ¿realiza
trabajo?
Solución:
a) Como la fuerza que se necesita aplicar para elevar la pesa a velocidad constante
es igual y opuesta al peso de la misma, tenemos:
Datos
P = 1470 N
D = 1.9 m
T = ?
Sustitución y resultado
T = Fd = 1470 N x 1.9 m = 2793
b) No realizar ningún trabajo, ya que éste se produce sólo cuando un cuerpo se
mueve en la misma dirección en que actúa la fuerza. Así, como el peso de la pesa
está dirigido verticalmente hacia abajo, la fuerza para sostenerlo actúa
verticalmente hacia arriba y como el desplazamiento es horizontal no existe
componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Por tanto, para
realizar trabajo se necesita levantar más la pesa.
7. Un bloque cuya masa es de 5 Kg es jalado por una fuerza de 60 N con un ángulo
de 30º, como se ve en la figura. Si el desplazamiento del bloque es de 3 m y
existe un coeficiente de ficción dinámico con el suelo de 0.3, calcular:
a) ¿Cuánto vale el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el
bloque?
b) ¿Cuál es el valor del trabajo resultante?
F = 60 N
HD = 0.3
M = 5 kg
3º
D = 3m
- 44 -
Solución
Diagrama del cuerpo libre:
Y
I
Fd
F = 60 N
Fy = F sen 30º
N
30º
P = mg
Fx = F Cos 30º
M = 5 kg
a) Como se observa, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son F y Fd debido a la
fricción P y N. Dado que el cuerpo se desplaza horizontalmente las únicas fuerzas
que producen trabajo con la componente horizontal de F o sea Fx, y la fuerza
causada por la fricción Fd, localizada en la misma dirección del desplazamiento.
Donde el trabajo realizado por la componente horizontal (Fx) de la fuerza de 60 N
es:
Tfx = Fd cos 30º = 60 N x 3 m x 0.8660 = 155.88 J.
Para calcular el trabajo realizado por la fuerza de fricción dinámica, misma que como
sabemos actúa en sentido contrario al desplazamiento del cuerpo, tenemos que:
- 45 -
Fd = md = N; pero N es igual a:
N = P - Fy = mg -- F sen 30º
= 5 Kg x 9.8 m/s2 - 60 N x 0.5
= 49 N -- 30 N = 19 N
F¿ = 0.3 x 19 N = 5.7
Trabajo realizado por Fd:
Tfd = - Fdd = -5.7 N x 3 m
= - 17.1 J
El signo del trabajo es negativo porque se realizar en sentido contrario al
desplazamiento.
b) El trabajo resultante (Tr) de las dos fuezas es :
Tr = Tfx + Tfd = 155.88 J + (-17.1 J)
= 138.78 J
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Una persona levanta una silla suyo peso es de 49 N hasta una altura de 0.75 m.
¿Qué trabajo realiza?
Respuesta:
T = 36.75 J
2. Determinar el trabajo realizado al desplazar un bloque 3 m sobre una superficie
horizontal, si se desprecia la fricción y la fuerza aplicada es de 26 N
Respuesta:
T = 75 J
3. ¿Qué peso tendrán un cuerpo si al levantarlo a una altura de 1.5 m se realiza un
trabajo de 88.2 joules?
Respuesta:
- 46 -
P = 58.8 N
4. Un ladrillo tiene una masa de 1 Kg ¿a qué distancia se levantó del suelo si se
realizó un trabajo de 19.6 J?
Respuesta:
D = 2 m
5. Una viajero levanta su petaca de 196 N hasta una altura de 0.5 m.
Calcular:
a) ¿Qué trabajo realiza?
b) Si se queda parado durante 2 minutos, sosteniendo la petaca a la misma altura,
¿cuánto vale el trabajo realizado?
c) Si camina 5 m sin variar la altura de la petaca, ¿cuánto vale el trabajo realizado?
Respuestas:
a) T = 98 J
b) T = 0
c) T = 0
6. Se aplica una fuerza en forma horizontal sobre un cuerpo cuyo peso es de 18 N
desplazándolo 6 m. Puesto que la fuerza aplicada es capaz de vencer a la fuerza
de fricción y de mover al cuerpo a velocidad constante, ¿cuánto trabajo realiza?
Respuesta:
T = 108 J
7.
a) Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 200 N que forma un ángulo de 25º
respecto a la horizontal, al desplazar 2 metros al cuerpo que se ve en la
siguiente figura.
b) Calcular el trabajo si la fuerza es paralela al desplazamiento.
c) Determinar el trabajo si la fuerza es perpendicular al desplazamiento.
F = 200 N
25º
- 47 -
3
Respuestas:
a) T = 362.52 J
b) T = 400 J
c) T = 0
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ENERGÍA Y POTENCIA MECÁNICAS
1. Calcular en joules la energía cinética que lleva una bala de 8 g si su velocidad es
de 400 m/s
Datos:
Eo = ?
M = 8 g = 0.008 kg
V = 400 m/s
Fórmula
Ec = 1 mv2
2
Sustitución y resultado
Ec = 1 0.008 kg (400 m/s) 2
= 640 kg m2/ s2 = 640 J
2. ¿Cuál es la energía cinética de una balón de f`ùt-bol si pesa 4.5 N y lleva una
velocidad de 15 m/s?
Datos
Ec = ?
P = 4.5 N
V = 15 m/s
Fórmulas
M = P
- 48 -
G
Ec = 1 mv2
2
Sustitución y resultados
M = 4.5 kg m/s2
9.8 m/s2
= 0.46 kg
Ec = 1 0.46 kg (15 m/s)2 = 51.75 J
2
3. Calcular la masa de una cuerpo cuya velocidad es de 10 m/s y su energía
cinética, es de 100 J.
Datos
M = ?
V = 10 m/s
Ec = 1000 J
Fórmula
Ec = 1 mv2
2
∴ m = 2 Ec
v2
Sustitución y resultado
M = 2 x 1000 kg m2 / s2
(10 m/s)2
= 20 Kg
4. Determinar la velocidad que lleva un cuerpo cuya masa es de 8 kg, si su energía
cinética es de 200 J.
Datos
M = 3 kg
Ec = 200 J
Fórmula
Ec = 1 mv2
2
∴ 2v Ec
=
m
- 49 -
Sustitución y resultado
2
V = 2 x 200 kgm /s
2
=
2
133.33 m / s
2
3kg
V = 11.55 m/s
5. Calcular la energía potencial de una piedra de 2.5 Kg si se eleva a una altura de 2
m.
Datos
Ep = ?
M = 2.5 Kg.
H =2m
G = 9.8 m/s2
Fórmula
Ep = mgh
Sustitución y resultado
Ep = 2.5 Kg x 9.8 m/s2 x 2 m
= 49 Kg m2/s2 = 49 J
6. ¿A qué altura se debe encontrar una silla de 5 kg para que tenga una energía
potencial de 90 J?
Datos
H = ?
M = 5 kg
Ep = 90 J
Fórmula
Ep = mgh
∴ h = Ep
mg
Sustitución y resultado
H =
90 kg m2/s2 = 1.84 m
5 kg x 9.8 m/s2
- 50 -
7. Un cuerpo de 4 kg se encuentra a una altura de 5 m
Calcular:
a) ¿Cuál es su energía potencial?
b) ¿Cuánto vale su energía cinética en el preciso instante en que el cuerpo está a
punto de chocar con el suelo, al caer libremente?
Datos
m = 4 Kg
h = 5m
a) Ep = ?
b) Ec = ?
g = 9.8 m/s2
v = √ 2 hg
Fórmulas:
a) Ep = mgh
b) Ec = 1
mv2
2
Sustitución y resultados
a) Ep = 4 Kg x 9.8 m/s2 x 5 m = 196 J
Para calcular la energía cinética primero determinamos la velocidad que llevará antes
de chocar contra el suelo: √
V = √2 gh
=
√2 x 9.8/s2 x 5 m
b) Ec = 1 mv2
2
Ec = 1 4 kg (9.9 m/s)2 = 196 J
2
Como podemos observar, los valores de energía potencia y cinética son los mismos,
pues al caer el cuerpo toda su energía potencial se transforma en energía cinética.
8. A un bloque de 3 Kg se le aplica una fuerza constantes de 20 N, formando un
ángulo de 30º respecto a la horizontal, como se ve en la figura. Si a partir del
reposo se ha desplazado 4 m, ¿Qué velocidad llevará en ese instante?
Considere nulo el rozamiento.
F = 20 N
30º
- 51 -
M = 3 KG
Datos
M = 3kg
F = 20 N, ∠ = 30º
V = ?
Solución:
Como el trabajo que realiza la fuerza es igual a la energía cinética que adquiere el
V =
=
2 x 20 kg m/s2 x 4 m x 0.86660
3 kg
46.19 m2/s2 = 6.8 m/s
=
6.8 m/s
bloque tenemos:
T = Ec
Fd = cos 30º = 1
2
∴V =
mv 2
2 Fd cos 30º
m
9. Un automóvil lleva una energía cinética de 3 x 10 5 J se detiene después de
recorrer 30 m.
Calcular la fuerza media que ha actuado para detenerlo.
Datos
Ec = 3 x 105
D = 30 m
F =?
Fórmulas
Ec = T
Ec = Fd
F = Ec
- 52 -
D
Solución:
Como la energía cinética perdida por el automóvil es igual al trabajo realizado contra
la fuerza de rozamiento, tenemos que:
Ec = T
3 x 105 J = Fd
∴F=
3 x 105 Nm = 0.1 x 105 N = 1x 104 N
30 m
10. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de 0.4 Kg con una velocidad de 30
m/s.
Calcular:
a) El valor inicial de la energía cinética y potencial.
b) Las energías cinética y potencial a 15m de altura.
c) Demuestre que la energía mecánica se conserva.
Datos:
m = 0.4 Kg
VO = 30 m/s
g = --9.8 m/s2
a) Ec = ?
Ep = ?
b) Ec15m = ?
Ep15m = ?
Formulas:
Vf = √ Vo2 + 2 gh
a) Ec = ½ mv2
Ep = mgh
b) Ec15m = ½ mv2
Ep15m = mgh
ET = Ec + Ep
Solución:
a) Ec = 1/2 mv2 1/2 0.4 Kg (30 m/s)2 = 180 J
Ep = mgh = 0.4 Kg x 9.8 m/s2 x 0 = 0
- 53 -
b) Para calcular la energía cinética cuando ha ascendido 15 m, debemos calcular la velocidad que
lleva de acuerdo con la formula de velocidad del movimiento rectilíneo uniformemente variado:
Vf = √ Vo2 + 2 gh
Vf = √ (30 m/s)2 + 2 (--9.8 m/s2 x 15 m ) = √ 606 m2 / s2 = 24.62 m/s
∴ Ec15m = ½ 0.4 Kg (24.62 m/s)2 = 121.23 J
Ep15m = mgh
= 0.4 Kg x 9.8 m/s2 x 15 m
= 58.8 J
c) Como observamos , la energía mecánica total al inicio del movimiento era igual a la
energía cinética inicial, o sea, 180 J, y al ascender 15 m ha perdido energía cinética
pero ha ganado energía potencial. La energía mecánica a los 15 m es:
ET = Ec + Ep = 121.2 J + 58.8 J = 180 J
Misma energía con la que partió.
11. Calcular la potencia de una grúa que es capaz de levantar 30 bultos de
cemento hasta una altura de 10 m en un tiempo de 2 segundos, si cada bulto
tiene una masa de 50 Kg.
Datos:
Formula:
P=¿
m = 30 x 50 Kg
P = T = Fd
t
t
= 1500 kg
h = 10 m
t=2s
Solución:
- 54 -
Para elevar los 30 bultos a velocidad constante, debe desarrollarse una fuerza igual a su peso,
donde:
F = P = mg = 1500 kg x 9.8 m/s2 14 700 N
∴ P = 14 700 N x 10 m
2s
= 73 500 W
12. Calcular el tiempo que requiere un motor de un elevador cuya potencia es de 37
500 W, para elevar una carga de 5290 N hasta una altura de 70 m.
Datos:
Fórmula:
t =?
P = Fd
P = 37 500 W
t
∴ t = Fd
p
F = 5290 N
h = 70 m
Sustitución y resultado
t = 5290 N x 70 m
Nm
37 500 s
= 9.87s
13. La potencia de un motor eléctrico es de 50 hp. ¿ a qué velocidad constante
puede elevar una carga de 9800 N ?
Datos:
P = 50 hp
Formula:
P = Fv
- 55 -
v=?
∴ v= P
F = 9800 N
F
Sustitución y resultado
50 hp x 746 W = 37 300 W
1 hp
v = 37 300 Nm/s
9800 N
- 56 -
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LEYES DE NEWTON
Problemas propuestos
g. Calcular la aceleración que produce una fuerza de 50 N a un cuerpo
cuya masa es de 5000 g. Expresar el resultado en m/s2
Datos:
a=?
F = 50 N
Fórmula:
a=
m = 200cm / s 2 = 2m / s 2
F
m
Solución y resultado
a=
50kgm / s 2
= 10m / s 2
5kg
h. Calcular la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza de 100 N le
produce una aceleración de 200 m/s2. expresar el resultado en kg.
Datos:
Fórmula:
F = 100 N
a=
m=?
a = 2000 cm / s 2 = 2 m / s 2
F
F
∴m =
m
a
Solución y resultado
m=
100kgm / s 2
= 50m / s 2
2kg
i. Determinar la fuerza que recibe un cuerpo de 30 kg, la cual le produce
una aceleración de 3 m/s2
Datos:
F =?
m = 30kg
Fórmula:
a=
a = 3m / s 2
F
∴ F = ma
m
Solución y resultado
F = 30kg × 3m / s 2 = 90kgm / s 2 = 90 N
j. Determinar el peso de un cuerpo cuya masa es de 60 kg
- 57 -
Datos:
P=?
m = 60kg
g = 9.8m / s
Fórmula:
P = mg
2
Solución y resultado
P = 60kg × 9.8m / s 2 = 588 N
k. Calcular la masa de un cuerpo cuyo peso es de 980 N
Datos:
P = 980 N
m=?
Fórmula:
P = mg ∴ m =
g = 9.8m / s 2
P
g
Solución y resultado
m=
980kgm / s 2
= 100kg
9.8m / s 2
l. Determinar la fuerza neta que debe aplicarse a un cuerpo cuyo peso es
de 400 N para que adquiera una aceleración de 2 m/s2
Datos:
F=?
P=400N
a=2m/ s
2
Fórmula:
F=
P
a
g
g =9.8m/ s2
Solución y resultado
F=
400kgm / s 2
× 2m / s 2 = 81.6kgm / s 2 = 81.6 N
2
9.8m / s
m. Calcular la aceleración que recibirá el siguiente cuerpo como resultado
de las fuerzas aplicadas
F2 = 20N
F1 = 30N
m = 2kg
- 58 -
Datos:
a =?
F1 = 30N
F2 = −20N
m = 2kg
Fórmula:
FR = F1 + F2
a=
FR
m
Solución y resultado
FR = 30 N + (−20 N ) = 10 N
10kgm / s 2
a=
= 5m / s 2
2kg
Problemas resueltos
1. Calcular la masa de un cuerpo en kilogramos, si al recibir una fuerza de
300N le produce una aceleración de 150cm/s2
Respuesta
m = 200 kg
2. Determine la aceleración en m/s2 que le produce una fuerza de 75N a
un cuerpo cuya masa es de 1500 g.
Respuesta
a = 50 m/s2
3. Calcular la fuerza que se le aplica a un cuerpo de 10 kg de masa si
adquiere una aceleración de 2.5 m/s2
Respuesta
F = 25 N
4. Hallar el peso de un cuerpo cuya masa es de 100 kg
Respuesta
P = 980 N
5. Determinar la masa de un cuerpo cuyo peso es de 1500N
Respuesta
m = 153.06 kg
6. Calcular la fuerza neta que debe aplicarse a un cuerpo cuyo peso es de
25N para que adquiera una aceleración de 3 m/s2
- 59 -
Respuesta
F = 7.65 N
7. Determinar la aceleración que recibirá el cuerpo de la figura siguiente,
como resultado de las fuerzas aplicadas
F1 = 30N
m = 3 kg
F3 = 40N
F2 = 50N
Respuesta
a = 13.3 m/s2
- 60 -