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Transcript
Temas Selectos
de Física I
COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE SONORA
Director General
Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil
Director Académico
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
Director de Administración y Finanzas
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia
Director de Planeación
Mtro. Pedro Hernández Peña
TEMAS SELECTOS DE FÍSICA I
Módulo de Aprendizaje.
Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres
del Estado de Sonora
Todos los derechos reservados.
Tercera edición 2010. Impreso en México.
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280
Registro ISBN, en trámite.
COMISIÓN ELABORADORA:
Elaboración:
José Alejandro Álvarez Yáñez
José Puga Tovar
Revisión Disciplinaria:
Jose Manuel Fierros Quijada
Corrección de Estilo:
Antonia Sánchez Primero
Supervisión Académica:
Diana Irene Valenzuela López
Diseño de Portada:
María Jesús Jiménez Duarte
Edición:
Cynthia Deyanira Meneses Avalos
Coordinación Técnica:
Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri
Coordinación General:
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2010.
Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México
La edición consta de 1,413 ejemplares.
2
Ubicación Curricular
COMPONENTE:
GRUPO:
FORMACIÓN
PROPEDÉUTICA
FÍSICO-MATEMÁTICO
Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente Física
II, la asignatura consecuente es Temas Selectos de Física II, y se relaciona
con Cálculo Diferencial e Integral I, Dibujo I y Economía.
HORAS SEMANALES:
03
CRÉDITOS:
06
DATOS DEL ALUMNO
Nombre: ______________________________________________________
Plantel: _________________________________________________________
Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________
Domicilio: _____________________________________________________
______________________________________________________________
3
Mapa Conceptual de la Asignatura
TEMAS
SELECTOS
DE FÍSICA I
DINÁMICA
DEL
SÓLIDO
RÍGIDO
ESTÁTICA
MÁQUINAS
SIMPLES
IDEALES
REALES
DESCOMPOSICIÓ
N DE FUERZAS
FORMA
VECTORIAL
SÓLIDO
RÍGIDO
EQUILIBRIO EN
DOS
DIMENSIONES
VECTORIAL
CINÉTICA
2ª LEY DE
NEWTON
CINEMÁTICA
MOVIMIENTOS
DE
TRASLACIÓN
TRABAJO
VELOCIDAD
CONSTANTE
ENERGÍA
MECÁNICA
ACELERACIÓN
CONSTANTE
MOVIMIENTOS
DE ROTACIÓN
4
Índice
Recomendaciones para el alumno.............................................................. 7
Presentación .... ........................................................................................... 8
RIEMS ............................................................................................................. 9
UNIDAD 1. ESTÁTICA. ...................................................................... 11
1.1. Introducción y generalidades ...............................................................
1.2. Vectores .... ...........................................................................................
1.2.1. Diferencia entre vectores y escalares .........................................
1.2.2. Suma de vectores por el método analítico .................................
1.3. Equilibrio del sólido rígido en dos dimensiones ...........................
1.3.1. Definición de conceptos .............................................................
1.3.2. Condiciones generales de equilibrio ..........................................
1.3.3. Fuerzas coplanarias no paralelas ...............................................
1.3.4. Fuerzas coplanarias paralelas. ...................................................
1.4. Máquinas simples .................................................................................
1.4.1. Definición de conceptos .............................................................
1.4.2. Máquinas simples tradicionales .................................................
13
14
14
16
20
20
21
22
24
27
27
32
Sección de tareas ........................................................................................ 45
Autoevaluación . ........................................................................................... 59
Ejercicio de reforzamiento ............................................................................ 63
UNIDAD 2. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO. ........................... 67
2.1. Traslación y rotación pura ....................................................................
2.1.1. Posición angular ........................................................................
2.1.2. Desplazamiento angular ............................................................
2.1.3. Velocidad angular .....................................................................
2.1.4. Aceleración angular ..................................................................
2.2. Traslación y rotación uniformes y uniformemente aceleradas. ...........
68
69
69
71
72
74
Sección de tareas ........................................................................................ 81
Autoevaluación . ........................................................................................... 87
Ejercicio de reforzamiento ............................................................................ 91
5
Índice (continuación)
UNIDAD 3. CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO. .................................. 93
3.1. Leyes de Newton o leyes del movimiento ...........................................
3.1.1. Aplicaciones de las leyes de Newton .....................................
3.2. Fricción ...... ..........................................................................................
3.2.1. Coeficiente de fricción o de rozamiento ................................
3.2.2. Diagrama de cuerpo libre .......................................................
3.2.3. Fuerza de fricción estática .....................................................
3.2.4. Fuerza de fricción cinética ......................................................
3.2.5. Principio fundamental de la dinámica de traslación .............
3.3. Energía cinética de rotación ................................................................
3.3.1. Trabajo de un peso.................................................................
3.3.2. Ley de la conservación de la energía.....................................
3.4.Ímpetu e impulso angular. ....................................................................
3.4.1. Momento de inercia de figuras regulares ..............................
94
97
100
101
104
105
109
111
112
112
113
116
116
Sección de tareas ....................................................................................... 121
Autoevaluación . .......................................................................................... 125
Ejercicio de reforzamiento ........................................................................... 127
Bibliografía General ..................................................................................... 129
6
Recomendaciones para el alumno
El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él
se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Temas Selectos de Física I.
No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del
Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el
análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura
complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes
recomendaciones:

Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos
temáticos a revisar en clase.

Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.

Al término de cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de
medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.

Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o
reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.

Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en
cada unidad.

Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario
que aparece al final del módulo.

Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de
aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del
Colegio: www.cobachsonora.edu.mx
7
Presentación
El presente Módulo de Aprendizaje tiene un enfoque estratégico basado en la
resolución de problemas de carácter formativo, ya que relaciona la teoría con la
práctica y la actividad científico-investigadora. Trata los siguientes temas: Estática,
el cual proporciona los conceptos que serán empleados en los temas
subsecuentes; Cinemática del sólido rígido, en el que se analizan los movimientos
de los cuerpos sin considerar las causas que lo ocasionan; Cinética del sólido
rígido, en el que se analizan problemas en los cuales se consideran las causas
que provocan el movimiento, así como la energía cinética y potencial, el ímpetu y
el momento. Estos temas pretenden que el estudiante acceda a los contenidos
científicos que le posibiliten alcanzar una cultura científica, de tal manera que
valore la relación de la física con el desarrollo científico-tecnológico, en su vida
cotidiana.
8
RIEMS
Introducción
El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora, en atención a los programas de
estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido
realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros
estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a
desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución.
Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje
para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma
Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de
Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en
competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a
la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del
alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las
competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en
todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en
el primer semestre.
Competencias Genéricas
CATEGORIAS
I. Se autodetermina
y cuida de sí.
II. Se expresa y
comunica
III. Piensa crítica y
reflexivamente
IV. Aprende de
forma autónoma
V. Trabaja en forma
colaborativa
VI. Participa con
responsabilidad en
la sociedad
COMPETENCIAS GENÉRICAS
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación
de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a
partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y
relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera
crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su
comunidad, región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la
diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con
acciones responsables.
9
Competencias Disciplinares Básicas
Ciencias experimentales
1. Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en
contextos históricos y sociales específicos.
2. Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en su vida
cotidiana, asumiendo consideraciones éticas.
3. Identifica problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis
necesarias para responderlas.
4. Obtiene, registra y sistematiza la información para responder a preguntas de carácter
científico, consultando fuentes relevantes y realizando experimentos pertinentes.
5. Contrasta los resultados obtenidos en una investigación o experimento con hipótesis
previas y comunica sus conclusiones.
6. Valora las preconcepciones personales o comunes sobre diversos fenómenos naturales
a partir de evidencias científicas.
7. Explicita las nociones científicas que sustentan los procesos para la solución de
problemas cotidianos.
8. Explica el funcionamiento de maquinas de uso común a partir de nociones científicas.
9. Diseña modelos o prototipos para resolver problemas, satisfacer necesidades o
demostrar principios científicos.
10. Relaciona las expresiones simbólicas de un fenómeno de la naturaleza y los rasgos
observables a simple vista o mediante instrumentos o modelos científicos.
11. Analiza las leyes generales que rigen el funcionamiento del medio físico y valora las
acciones humanas de riesgo e impacto ambiental.
12. Decide sobre el cuidado de su salud a partir del conocimiento de su cuerpo, sus
procesos vitales y el entorno al que pertenece.
13. Relaciona los niveles de organización química, biológica, física y ecológica de los
sistemas vivos.
14. Aplica normas de seguridad en el manejo de sustancias, instrumentos y equipo en la
realización de actividades de su vida cotidiana.
Competencias docentes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
10
Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional.
Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje
significativo.
Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque
por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y
sociales amplios.
Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera
efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.
Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque
formativo.
Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.
Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e
integral de los estudiantes.
Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la
gestión institucional.
Unidad 1
Estática.
Objetivos:
El alumno:
Demostrará mediante la resolución de
problemas relacionados con la Estática,
que se ha apropiado de los conceptos
fundamentales de Fuerza, Equilibrio,
Centro de gravedad, Momento de una
fuerza, Brazo de palanca y de las
condiciones de equilibrio para sistemas
de fuerzas coplanarias concurrentes y
paralelas, así como su aplicación práctica
en la construcción de máquinas simples y
estructuras arquitectónicas; participando
con una actitud crítica metodológica de
forma individual o por equipos.
Organizador anticipado:
“Denme un punto de apoyo y moveré al
mundo”.
Temario:
1.1. Introducción y generalidades
1.2. Vectores.
¿Te has puesto a pensar alguna vez en
qué es “el equilibrio”?
¿En lo hermoso y útil que es?
1.3. Equilibrio del sólido rígido en
dos dimensiones.
1.4. Máquinas simples.
Temas Selectos de Física I
Evaluación Diagnóstica.
Por escrito da respuesta a los siguientes cuestionamientos y entrégalos a tu
profesor.
Te has preguntado alguna vez:
¿Cómo es que un esquiador equilibra su vuelo?
¿Por qué vuelan los aviones?
¿Por qué no se cae la Torre Pisa?
Las fuerzas y principios físicos que intervienen en la caída de un gato.
El equilibrio en el vuelo de un Bumerang.
El equilibrio en el baile.
El equilibrio de una plataforma sostenida por una columna, etcétera.
En general, tus curiosidades e incertidumbres acerca de los anteriores aspectos,
los podrás comprender si estudias los principios de la Física. Al final quedarás
convencido que la Física no es solamente abstracta, sino que es también
práctica y ocurre en la vida diaria.
12
Estática
1 .1 .
INTRODUCCIÓN Y
GENERALIDADES
De entrada, entenderemos la Estática como parte de la mecánica que estudia las
leyes del equilibrio.
Muchas veces nos confundimos entre lo que es Estática y lo que es Dinámica,
por eso antes de empezar con el estudio del equilibrio de cuerpos es necesario
diferenciar entre dichas ramas de la Mecánica. La Estática estudia el equilibrio de
los cuerpos; es decir, aquellos cuerpos que se encuentran tanto en reposo como
en movimiento con velocidad constante; mientras que la Dinámica estudia el
comportamiento de los cuerpos con movimientos acelerados. En ambos casos
es necesario que dos o más cuerpos interactúen entre sí.
En equipo de máximo cuatro integrantes, resuelve los cuestionamientos que se
te hacen a continuación, comenta tus opiniones con los demás compañeros y
con tu profesor.
EJERCICIO 1
1. ¿Qué entiendes por interacción?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2. Observa las interacciones de las imágenes e indica, en cada situación:
cuáles son los cuerpos que interactúan y en qué consiste la interacción.
Cuerpos que
interactúan
Interacción entre
ellos
13
Temas Selectos de Física I
En efecto; la fuerza es una magnitud Física que sirve para explicar las
interacciones entre cuerpos, las cuales pueden darse por contacto o a distancia.
EJERCICIO 2
De forma individual resuelve el siguiente ejercicio, compara tus resultados con
los de tus compañeros y enseguida preséntalos a tu profesor.
Dentro del paréntesis que aparece a la derecha de cada cuestionamiento que se
te hace escribe una C si el fenómeno físico que se te presenta es producto de la
acción de una fuerza que actúa por contacto, o una D si la fuerza actúa a
distancia.
1.- La caída de un cuerpo.
2.- El encendido de un foco cuando oprimes el interruptor.
3.- La sensación que siente tu mano cuando cierras en refrigerador.
4.- El derrape de un auto con un frenado brusco.
5.- El que una brújula te indique la ubicación del norte y el sur.
6.- El por qué se te erizan los vellos del brazo cuando pasas por la tele.
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
Los efectos de las interacciones entre los cuerpos son muchos; sin embargo,
nosotros nos vamos a centrar, inicialmente, en la capacidad que tienen las
fuerzas para producir EQUILIBRIO.
Equilibrio
Como las fuerzas son magnitudes vectoriales y su medición nos da como
resultado una cantidad también vectorial, es necesario recordar cómo se operan
matemáticamente este tipo de cantidades.
1 .2 .
VECTORES
Distancia
1.2.1. Diferencia entre magnitudes y cantidades Escalares y Vectoriales
Una magnitud Escalar es el nombre de un concepto fundamental de algunas de las
ciencias exactas o naturales. En el caso específico de la Física son ejemplos de
magnitudes escalares el tiempo, la masa, el volumen, la distancia, la rapidez,
etcétera.
Se le llama Cantidad Escalar o “MÓDULO” al resultado de medir una magnitud
escalar. Dicho resultado estará completo si se le representa a través de un número
acompañado de la unidad que se utilizó para efectuar la medición. Ejemplos:
Rapidez
14
a)
b)
c)
d)
e)
25 hr.
53 Kg.
18 lt.
122 m.
250 Km/hr
Estática
Magnitudes vectoriales. Para la Física son aquellos conceptos que además de
contar con un módulo, al ser medidos nos encontramos que al actuar sobre su
medio lo hacen con cierta dirección y sentido. Las principales magnitudes
vectoriales son el desplazamiento, la velocidad y la fuerza.
Las cantidades vectoriales también son al resultado de la medición de una
magnitud física, pero en este caso para que dicho resultado quede bien definido
además de expresar su módulo hay que indicar la dirección y sentido que tiene la
magnitud física medida.
Tiempo
Ejemplos:
1) EL DESPLAZAMIENTO: Un borrego que camina 18 metros hacia el sur de su
corral.
2) LA VELOCIDAD: Un alumno del COBACH que vive al oeste, y cerca de su
plantel, corre a una velocidad de 3 metros sobre segundo para no llegar tarde a
su primera clase; y es de Educación Física.
3) FUERZA: Para sacar un carro que cayó a una zanja, la grúa que se contrate
para sacarlo debe de jalar de él con una fuerza de 450 Newton hacia el norte.
Si relacionamos y sobreponemos los puntos cardinales con los ejes cartesianos de
la siguiente forma:
O
E
S
N
900
900
N
1800
00
O 1800
2700
00 E
2700
S
Los ejemplos anteriores se pueden expresar simbólicamente como:
1) d =18 m 270°
2) v = 3 m /s 180°
3) f = 450 n 90°
Como recordarás en el curso de Física 1, aprendiste a sumar cantidades
vectoriales gráficamente y analíticamente; a la estática le sirven particularmente
para la solución de algunos problemas los procedimientos empleados para sumar
cantidades vectoriales por el método analítico y específicamente en lo que se
refiere a la acción que un sistema de fuerzas ejerce sobre un cuerpo si queremos
que este se encuentre en equilibrio.
15
Temas Selectos de Física I
Por lo tanto, deberemos refrescar nuestra memoria, recordando los pasos a seguir
si queremos sumar fuerzas analíticamente.
1.2.2. Suma de vectores por método analítico
Si utilizamos como sistema de referencia los ejes cartesianos, podemos obtener
sobre ellos los componentes ortogonales FX y FY de una fuerza como se ilustra en la
figura.
Y
F
FY
X
FX
Cuyo módulo se obtiene mediante las funciones seno y coseno del ángulo θ, de la
siguiente forma.
Cos θ= FX
F
FX = F Cos. Θ
Sen θ= FY
F
FY = F Sen. θ
Para sumar las Fuerzas A, B y C tendríamos:
16
Estática
A continuación se suman por separado los componentes ortogonales en “X” y
“Y” de los vectores.
Y
Cy
Ry
By
Ay
X
Ax
Bx
Cx
RX
Obteniéndose de esta forma dos nuevos vectores perpendiculares entre sí,
llamados vector resultante en
“X”
Rx y vector resultante
En “Y” Ry
Con estos vectores se puede formar un triángulo rectángulo.
Y
R
θ
Rx y Ry son los catetos
del triángulo y R; llamado
vector resultante es la
hipotenusa.
Ry
X
Rx
R es el módulo o valor numérico de la suma de los vectores A, B y C. Su magnitud
se obtiene mediante el teorema de Pitágoras.
R = Rx 2 + Ry 2
Por último se calcula la abertura del ángulo θ con respecto al lado positivo del eje
“x”. Lo anterior se obtiene mediante el inverso de la función tangente; de la
siguiente forma:
Tan θ =
RY
RX
entonces ,
θ = tan-1
RY
RX
17
Temas Selectos de Física I
Como la abertura del ángulo θ con respecto al lado positivo del eje “X” nos informa
la dirección y sentido del vector resultante Rx. Hay que tomar en cuenta que se
presentan cuatro casos para determinar el valor real de dicho ángulo θ.
Para facilitar su comprensión se ilustran con figuras cada uno de esto casos. En
dichas figuras los significados de los símbolos “θc” y “θr” serán:
θc = El valor del ángulo obtenido con el uso de la calculadora al sustituir los valores
correspondientes en la formula del inverso de la función tangente.
θr = al valor real del ángulo que indica la dirección y sentido del vector resultante y
el cual es el que debe expresarse al escribir el resultado final.
NOTA: Es muy importante dibujar un croquis como los siguientes al momento de
determinar el valor real del ángulo θr.
Las figuras se obtienen mediante los signos POSITIVO o NEGATIVO de los vectores
resultantes Rx y Ry. Se presentan los siguientes cuatro casos.
Primer caso:
Tanto Rx como Ry son de signo positivo.
Y 90o
Ry (+)
En este caso el ángulo real y
el obtenido con la calculadora
son iguales.
θR = θC
Ry
θR=θC
X 0o
Rx (+)
18
Estática
Segundo caso:
Rx Es de signo negativo y Ry de signo positivo.
Para obtener el valor real del
ángulo a 180° se le resta el
valor obtenido con la
calculadora.
Y 90o
θr = 180°- θc
R
Ry (+)
(-)θC
180o
X 0o
θR
360o
Rx (-)
270o
Tercer caso:
Tanto Rx como Ry son de signo negativo.
Y 90
El valor real del ángulo se
obtiene sumándole a 180 ° el
valor obtenido con la
calculadora.
o
θr = 180° + θc
R
Ry (+)
180o
(-)θC
θR
X 0o
360o
Rx (-)
270o
19
Temas Selectos de Física I
Cuarto caso:
Rx es de signo positivo y Ry de signo negativo.
Y
90o
θr =360°- θc
Rx (+)
θR
Para obtener el valor real del
ángulo, a 360° se le resta el
valor que proporciona la
calculadora.
0o
360o X
180o
(-)θC
Ry (-)
TAREA 1
270o
R
Página 45.
1 .3 .
EQUILIBRIO DEL SÓLIDO
RÍGIDO EN DOS DIMENSIONES
1.3.1. Definición de conceptos
Idealizaciones: Los modelos o idealizaciones se utilizan en el estudio del equilibrio
con la finalidad de simplificar la aplicación de la teoría, para ello se definirán
algunas de las idealizaciones más importantes.
Partícula: Una partícula posee masa pero de tamaño poco significativo. Por
ejemplo, el tamaño de la Tierra es insignificante comparado con el tamaño de su
órbita, y por lo tanto la Tierra se puede tomar como una partícula cuando se estudia
su movimiento orbital en un modelo. Cuando un cuerpo se idealiza como una
partícula, los principios de la Mecánica se simplifican de manera importante, debido
a que la geometría del cuerpo no se tomará en cuenta en el análisis del problema.
Cuerpo Rígido: Un cuerpo rígido puede ser considerado como un conjunto
formado por un gran número de partículas que permanecen separadas entre sí por
una distancia fija antes y después de aplicar la carga. Como resultado, las
propiedades del material de que está hecho cualquier cuerpo que se suponga
rígido no se tendrá que considerar cuando se analicen las fuerzas que actúan sobre
éste. En la mayoría de los casos, las deformaciones reales que se presentan en
estructuras, máquinas, mecanismos, etcétera, son relativamente pequeñas, y la
suposición de cuerpo rígido es apropiada para efectos de análisis.
20
Estática
Fuerza Concentrada: Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga la
cual se supone que actúa en algún punto de un cuerpo. Podemos representar este
efecto por medio de una fuerza concentrada, siempre y cuando el área sobre la
cual se aplica la carga sea relativamente pequeña comparada con el tamaño del
cuerpo.
Masa punto. Al punto de concurrencia del sistema de fuerzas no paralelas se le da
el nombre de masa punto. Debido a que teóricamente se considera que todo el
peso del cuerpo sobre el que actúa el sistema se concentra en dicho punto.
Peso uniforme. Se dice que un cuerpo es de peso uniforme cuando cada unidad
de su volumen tiene el mismo peso. En este caso se considera teóricamente que
todo el peso del cuerpo se encuentra concentrado en el centro geométrico del
mismo.
Inercia. Es la propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o
movimiento si no es por la acción de una fuerza no equilibrada.
Equilibrio. Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando se encuentra
en estado de reposo o con movimiento rectilíneo uniforme. Para lo cual es
indispensable que la suma algebraica de todas las fuerzas que actúan sobre él sea
igual a cero. En este caso se dice que la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es
una fuerza equilibrada. Un cuerpo en equilibrio estático, si no está sujeto a la acción
de una fuerza no equilibrada, no tendrá aceleración de traslación o de rotación,
porque la suma de todas las fuerzas o la suma de todos los momentos que actúan
sobre él son cero.
Sin embargo, si el cuerpo se desplaza ligeramente, son posibles tres resultados:
1) El objeto regresa a su posición original, en cuyo caso se dice que está en
equilibrio estable.
2) El objeto se aparta más de su posición, en cuyo caso se dice que está en
equilibrio inestable.
3) O bien, el objeto permanece en su nueva posición, en cuyo caso se dice
que está en equilibrio neutro o indiferente
1.3.2. Condiciones Generales de Equilibrio
La suma algebraica de las componentes rectangulares ∑FX y ∑FY de todas las
fuerzas que actúen sobre un cuerpo debe ser igual a cero.
La suma algebraica de los momentos ∑ M de todas las fuerzas coplanarias que
se ejercen sobre un cuerpo debe de ser igual a cero en cualquier punto del
plano.
Existen tres clases de sistemas de fuerzas que actúan en el mismo plano. En
equipos de tres, deduce cómo se aplican estas condiciones generales de
equilibrio en cada caso.
EJERCICIO 3
Fuerzas Colineales.
Fuerzas Coplanarias Concurrentes.
Fuerzas Coplanarias, No Concurrentes y Paralelas
21
Temas Selectos de Física I
1.3.3. Fuerzas Coplanarias no paralelas
Cuando un sistema de fuerza no paralelas actúan sobre un cuerpo en el mismo
plano, éstas concurren en un punto, por lo que también se les llama fuerzas
coplanarias concurrentes.
TAREA 2
Otras herramientas matemáticas indispensables pera el estudio del equilibrio de
sistemas de fuerzas coplanarias concurrentes son: Las funciones trigonométricas
seno, coseno y tangente, el teorema de Pitágoras, las leyes de los senos y de los
cósenos y la semejanza de triángulos.
Página 47.
La solución de problemas donde intervengan tres fuerzas concurrentes se puede
efectuar de dos formas, las cuales se ilustran con el siguiente ejemplo.
Un cuerpo que tiene un peso W=100N se mantiene en equilibrio suspendido por
dos cuerdas como se muestra en la figura. Una de las cuerdas tira del cuerpo en
forma horizontal; la otra, amarrada de un gancho anclado en un techo, formando un
ángulo de 30° con la vertical. Calcular las fuerzas de tensión T1 y T2 que
experimentan las cuerdas.
Solución por el método de las componentes.
Para la solución de problemas por este método es indispensable tomar en cuenta
lo que se le conoce como:
Primera condición de equilibrio.
La suma algebraica de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo debe ser
igual a cero. Es decir:
T2X
T2Y
30o
T2
∑F=0
Esto equivale a decir que la suma algebraica de las componentes de la fuerza que
actúan sobre un cuerpo en cualquier dirección, debe cumplir con:
T1
0
a) La suma algebraica de las componentes horizontales es cero; esto es:
∑ Fx = 0
b) La suma algebraica de las componentes verticales también es cero.
∑ Fy = 0
W=100 N
Las componentes horizontales de las fuerzas que se dirijan hacia la derecha serán
positivas y hacia la izquierda negativas.
Las componentes verticales de las fuerzas que se dirijan hacia arriba serán
positivas, y hacia abajo, negativas.
Para la resolución del presente tendremos:
Sean T1 y T2 las fuerzas de tención buscadas y w = 100 N el peso.
22
Estática
El punto “O” se encuentra en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas:
Primera condición de equilibrio.
1) Las fuerzas que actúan horizontalmente (ver figura) son T1 y T2X. Entonces:
∑ Fx = 0
T2x – T1 = 0
ó sea
T2x = T1
2) Las fuerzas que actúan verticalmente (ver figura) son W y T2y. Entonces:
∑ Fy = 0
T2y – w = 0
ó sea T2y = w = 100 N
por lo tanto tenemos que:
T1 = T2x = T2y tan 300 = 100 N (0.577) = 57.5 N y
T2y = T2 Cos. 300
Despejando y sustituyendo obtenemos:
T2 =T2 y / Cos. 300. = 100 N/ 0.866 = 115 N
Solución por el método del triángulo vectorial.
En la figura el punto “O” se encuentra en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas
w, T1 y T2, por lo tanto, se puede dibujar un triángulo rectángulo cuyos catetos son
T1 y T2. Siendo w la hipotenusa del mismo.
De esta forma los valores de T1 y T2 se obtienen como sigue:
T2
30o
w
T1 = w tan 300 = 100 N ( 0.577 ) = 57.7 N. y
T2 = w / Cos. 300 = 100 N / 0.866 = 115 N
T1
Te habrás dado cuenta que este método es mucho más sencillo, pero debes tener
presente que sólo se puede utilizar en los casos en que con el sistema de fuerzas
se pueda construir un triángulo.
23
Temas Selectos de Física I
EJERCICIO 4
En equipo de máximo tres miembros, o de forma individual, resuelve el siguiente
problema y preséntale a tu profesor la solución encontrada.
1. La figura representa la forma en que se saca un automóvil de una zanja.El
extremo A de la cuerda AOB se amarra al tronco de un árbol y el B al carro.
En el punto medio O de la cuerda, con un tractor, se ejerce una fuerza F =
100 N perpendicular a la distancia AB. Calcular la tensión T en la cuerda.
Sabiendo que el ángulo AOB mide 1700.
F=100N
TAREA 3
T1
Página 49.
170o
T2
A
B
1.3.4. Fuerzas coplanarias paralelas.
Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción sean
paralelas, la Fuerza resultante FR tendrá un valor igual a la suma algebraica de
ellas con su línea de acción también paralela a las de las fuerzas. El punto de
aplicación de FR debe ser determinado con exactitud para que produzca el
mismo efecto que las fuerzas originales. En este caso el punto de aplicación y la
magnitud o módulo de la fuerza resultante FR y de la fuerza equilibrante FE son
los mismos pero tienen sentidos contrarios. Por lo que:
FR = F E
y entonces FR – FE = 0 y habrá Equilibrio.
Las fuerzas paralelas tienden a producir un movimiento de rotación o giro
alrededor de un eje del cuerpo rígido sobre el cual actúan.
Un Par. Las fuerzas paralelas son aquellas que actúan sobre un cuerpo rígido
con sus líneas de acción en forma paralela, como se ve en las figuras siguientes.
F1 =30 N
F2 =30 N
P1 =10 Kg
24
P2 =10 Kg
Estática
Cuando dos fuerzas paralelas que actúan sobre un cuerpo; son de la misma
magnitud, de sentido contrario y no son colineales, se produce el llamado par de
fuerzas en el que la resultante del sistema es igual a cero y su punto de
aplicación está en el centro de la línea que une a los puntos de aplicación de las
fuerzas componentes. No obstante que su resultante es cero, un par de fuerzas
produce siempre un movimiento de rotación, tal como sucede con el volante de
un automóvil, o como en las figuras anteriores.
Momento de una fuerza.
El momento de una fuerza M se define como la medida de la efectividad de una
fuerza para producir el giro o rotación de un cuerpo alrededor de un eje. Su
magnitud es el producto del módulo de la fuerza F por la distancia d que hay del
eje de rotación, de forma perpendicular a la línea de acción de la fuerza. A dicha
distancia se le da el nombre de brazo de palanca Bp.
M = F Bp
En la figura, d1 y d2 son los brazos de palanca de las fuerzas F1 y F2
respectivamente.
El momento de una fuerza se considera positivo (+) cuando el giro que produce
tiene sentido contrario al del movimiento de las manecillas de un reloj y negativo
(-) si tiene el mismo sentido.
o
F
o
Momento negativo
F
Momento positivo
Los momentos para las fuerzas F y P con respecto al eje de rotación de la figura
de abajo son:
MF = (-) F d y MP = (+) P x
25
Temas Selectos de Física I
EJERCICIO 5
De forma individual deduce las unidades utilizadas para medir el momento de
una fuerza en los sistemas Internacional, C.G.S. e Inglés. Comenta con tus
compañeros tus conclusiones y reporta al profesor tu resultado final.
Equilibrio de una barra o viga
Vigas
Se les da el nombre genérico de vigas a los elementos estructurales que se
utilizan para soportar cargas y fuerzas en dirección perpendicular a su eje
longitudinal. Siempre la longitud de una viga es mucho mayor que las
dimensiones de su sección transversal. En la figura se representan las vigas de
uso más común.
Viga en Cantilever
Viga en Voladizo
Viga Simplemente Apoyada
Supongamos que la viga analizada en un ejemplo anterior es de peso
despreciable y que está sujeta a una bisagra por su extremo O, el cual es el eje
de rotación. Si colocamos un peso P a una distancia x del eje y en el otro
extremo se ejerce la fuerza F. Para que esta se encuentre en equilibrio, debe de
cumplirse que:
26
Estática
Primera condición de equilibrio. La suma algebraica de todas las fuerzas que
intervienen, incluida la fuerza equilibrante FE, debe ser igual a cero.
∑F = 0 Esto es: F – P + FE = 0
Segunda condición de equilibrio. La suma algebraica de los momentos de
dichas fuerzas también debe ser cero.
∑M = 0 Esto es: - MF + MP + ME = 0
Ahora consideremos el caso en el que la fuerza F utilizada para soportar el peso
P no tenga la misma dirección de éste y que su brazo de palanca sea y, como
se ilustra en la siguiente figura.
Entonces las condiciones de equilibrio se expresarían de la siguiente forma:
TAREA 4
Primera condición de equilibrio.
∑ F = 0 O sea: F Cos. θ + FR = 0
Segunda condición de equilibrio.
∑ M = 0 O sea: - F Cos θ y + P x + FE Bp = 0
1.4.
Página 51.
MÁQUINAS SIMPLES
1.4.1. Definición de conceptos.
Máquina: Es una máquina simple, el trabajo de entrada se realiza mediante la
aplicación de una sola fuerza, y la máquina realiza el trabajo de salida a través de
otra fuerza única. Durante una operación de este tipo (Fig. 12-1), ocurren tres
procesos:
1.
2.
3.
Se suministra trabajo a la maquina.
El trabajo se realiza contra la fricción.
La maquina realiza trabajo útil o de salida.
De acuerdo con el principio de la conservación de la energía, estos procesos se
relacionan en la siguiente forma:
27
Temas Selectos de Física I
Trabajo de entrada = trabajo contra la fricción + trabajo de salida
Figura 12-1. Durante el funcionamiento de una máquina ocurren tres procesos: (1)
la entrada de cierta cantidad de trabajo, (2) la pérdida de energía al realizar trabajo
contra la fricción, (3) la salida de trabajo útil.
La cantidad de trabajo útil producido por una máquina nunca puede ser mayor que
el trabajo que se le ha suministrado. Siempre habrá alguna pérdida debido a la
fricción o la acción de otras fuerzas disipativas. Por ejemplo, cuando se introduce
aire en un neumático de bicicleta por medio de una pequeña bomba manual, se
ejerce una fuerza descendente sobre el émbolo, forzando el aire hacia el
neumático. Parte de este trabajo de entrada se pierde a causa de la fricción y esto
puede verificarse fácilmente sintiendo como se calienta el cilindro de la bomba
manual. Cuanto mas se reduzca la perdida por fricción en una maquina, tanto mas
provecho se obtendrá del esfuerzo realizado. Dicho de otro modo, la eficiencia de
una maquina se puede medir comparando su trabajo de salida con el trabajo que
se le suministro.
La eficiencia E de una maquina se define como la relación del trabajo de salida
entre el trabajo de entrada.
La eficiencia, tal como se define en la ecuación (12-1), siempre será un número
entre 0 y 1. Por costumbre se expresa este número decimal como un porcentaje
que se obtienen multiplicando por 100 la cantidad obtenida. Por ejemplo, una
28
Estática
maquina que realiza un trabajo de 40 j cuando se le suministran 80 j, tiene una
eficiencia del 50 por ciento.
Otra expresión útil para la eficiencia puede obtenerse a partir de la definición de
potencia como trabajo por unidad de tiempo. Podemos escribir:
La eficiencia en términos de potencia de entrada Pi y potencia de salida Po esta
dada por
O bien
Ejemplo:
Un motor de 60 hp enrolla un cable alrededor de un tambor. (a) si el cable eleva
una carga de 3 ton. De ladrillos hasta una altura de 12 ft en 3 s, calcule la eficiencia
del motor. (b) ¿A que velocidad se realízale trabajo contra la fricción?
Solución (a):
Primero calculamos la potencia de salida.
Ahora se encuentra la eficiencia a partir de la ecuación (12-2):
29
Temas Selectos de Física I
Solución (b):
La velocidad de la cual se realiza el trabajo contra la fricción es la diferencia entre la
potencia de entrada y la potencia de salida, o sea 16.4 hp.
Ventaja mecánica
Las maquinas simples como la palanca, el polipasto, el malacate, los engranes, el
plano inclinado, y el gato de tornillo desempeñan un papel importante en la
industria moderna.
Podemos ilustrar la operación de cualquiera de estas maquinas con la siguiente
figura.
Durante el funcionamiento de cualquier maquina simple, una fuerza de entrada Fi
actúa a través de una distancia si mientras que una fuerza de salida F0 actúa a
través de una distancia s0
Una fuerza de entrada FI actúa a través de una distancia si, realizando un trabajo
Fisi. Al mismo tiempo una fuerza de salida F0 actúa a lo largo de una distancia s0,
realizando el trabajo útil F0s0.
La ventaja mecánica real MA de una maquina se define como relación de la fuerza
de salida F0 entre la fuerza de entrada Fi.
30
Estática
Una ventaja mecánica real mayor que uno indica que la fuerza de salida en mayor
que la fuerza de entrada. Aun cuando las mayorías de las maquinas tienen valores
MA mayores que uno, esto no siempre es así. Cuando se manejas objetos
pequeños y frágiles a veces es deseables lograr que la fuerza de salida se a mas
pequeña que la fuerza de entrada.
La eficiencia de una maquina aumenta en la medida en que los efectos de la
fricción se vuelven mas pequeños. Aplicando el principio de la conservación de la
energía a la maquina simple anterior nos queda:
La maquina más eficiente que pudiera existir no tendría perdidas debido a la
fricción. Podemos representar este caso ideal estableciendo (trabajo) F = 0 en la
ecuación anterior. Por lo tanto:
Podemos representar este caso ideal estableciendo MI. Por lo tanto:
La ventaja mecánica ideal de una maquina simple es igual a la relación de la
distancia que ocurre la fuerza de entrada entre la distancia que recorre la fuerza de
salida.
La eficiencia de una maquina simple es la relación del trabajo de salida entre el
trabajo de entrada. Por consiguiente, para la maquina general de la siguiente figura:
Por último, utilizando las ecuaciones:
Y
Obtenemos:
31
Temas Selectos de Física I
Todos los conceptos anteriores se han enfocado para aplicarlos a una maquina en
general. En las siguientes secciones, los aplicaremos a maquinas especificas.
1.4.2. Máquinas simples tradicionales
El plano inclinado
La palanca
La polea
La palanca
Tal vez la maquina más antigua y la más comúnmente usada es la palanca simple.
Una palanca consiste en cualquier barra rígida apoyada en uno de sus puntos al
que se le llama fulcro. En la siguiente figura se ejemplifica el uso de una barra larga
para levantar el peso W. Podemos calcular la ventaja mecánica ideal de ese tipo de
dispositivos en dos formas. El primer método incluye el principio del equilibrio, y el
segundo utiliza el principió del trabajo, tal como se analizo en la sección previa.
Puesto que el método del equilibrio es más fácil para el caso de la palanca, lo
aplicaremos primero.
Debido a que no se incluye ningún trabajo traslacional durante la aplicación de una
palanca, la condición de equilibrio es que el momento de torsión de entrada es
igual al momento de torsión de salida:
La ventaja mecánica ideal se puede determinar a partir de
La relación F0/Fi se considera el caso ideal porque no se considera ninguna fuerza
de fricción.
Se obtiene el mismo resultado a partir de consideraciones sobre el trabajo. Observe
en la siguiente figura que la fuerza Fi se desplaza a través de un arco cuya distancia
es si mientras que la fuerza F0 se mueve a través del arco cuya distancia es S0. Sin
embargo, los dos arcos son subtendidos por el mismo ángulo 0, por lo que
podemos escribir la siguiente proporción.
Al sustituirla en la ecuación, se puede verificar el resultado obtenido partiendo de
las consideraciones sobre el equilibrio, es decir, Mi = ri/r0
32
Estática
Ejemplo:
Una barra de hierro de 3 m de largo se usa para levantar un bloque de 60 kg.la
barra se utiliza como palanca, tal como muestra la figura anterior. El fulcro está
colocado a 80 cm del bloque. ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal del sistema, y que
fuerza de entrada se requiere?
Solución:
La distancia r0= 0.8m, y la distancia ri=3m – 0.8m=2.2m.por la ventaja mecánica
ideal es
La fuerza de salida en este caso es igual al peso del bloque de 60 kg (W=mg).por
consiguiente, la fuerza de entrada requerida está dada por:
Antes de dar por terminado el tema de la palanca, donde hacerse la observación
de que cierta cantidad muy pequeña de trabajo de entrada se pierde debido a las
fuerzas de fricción. Para propósitos prácticos, la ventaja mecánica real para una
palanca simple es igual a la ventaja mecánica ideal. Otros ejemplos de la palanca
se ilustran en la figura siguiente.
33
Temas Selectos de Física I
Aplicaciones del principio de la palanca
Una limitación seria de la palanca elemental es que funciona a través de un ángulo
pequeño. Hay muchas formas c1e contrarrestar esta restricción permitiendo que el
brazo de palanca gire continuamente. Por ejemplo, la rueda y eje (o cabria), (figura
l2-5) permite la acción continua de la fuerza de entrada.
Aplicando el razonamiento descrito en la sección 12-2 para una máquina en
general, se puede demostrar que
Por lo tanto, la ventaja mecánica ideal de una cabria es el cociente del radio de la
rueda entre el radio del eje.
Otra aplicación del concepto de palanca se tiene mediante el uso de poleas. Una
polea simple, como se muestra en la figura 12-6, es tan sólo una palanca cuyo
brazo de palanca de entrada es igual a su brazo de palanca de salida. A partir del
principio de equilibrio, la fuerza de entrada igualará la fuerza de salida, y la ventaja
mecánica ideal será
La única ventaja de este tipo de dispositivo es que ofrece la posibilidad de cambiar
dirección de la fuerza de entrada.
Por otra parte, una polea móvil simple (fig. 12-7), tiene una ventaja mecánica ideal
ce 2. Observe que las dos cuerdas de soporte deben reducirse en 1 ft para elevar la
carga una distancia de 1 ft. Por lo tanto, la fuerza de entrada se mueve una
distancia de 2 ft mientras que la fuerza de salida se mueve tan sólo una distancia
de 1 ft. Al aplicar el principio del trabajo, tenemos:
De donde la ventaja mecánica ideal es:
34
Estática
Figuro 12-5
La rueda y eje (cabria)
Figuro 12-6 Una polea simple fija sirve
únicamente para cambiar de dirección
la fuerza de entrada.
Figura 12-7
Una polea simple móvil. (a) La fuerza de entrada se mueve sobre una distancia
igual al doble de la distancia que recorre la fuerza de salida. (b) El diagrama de
cuerpo libre nos muestra que 2F¡ = F0
El mismo resultado se obtiene construyendo un diagrama de cuerpo libre, como en
la figura 12-7b. En esta figura es evidente que:
O bien:
El último método se aplica generalmente a problemas que incluyen poleas móviles,
ya que esto permite asociar a MI con el número de cordones soportan la polea
móvil.
35
Temas Selectos de Física I
Ejemplo 12-3:
Calcule la ventaja mecánica ideal del polipasto que aparece en la figura 12-8.
Solución :
Primero construimos un diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura.
12-8b. En la figura observamos que:
De donde:
Observe que la polea más alta sirve únicamente para cambiar la dirección de la
fuerza de entrada. La misma MI resultaría si se aplicara hacia arriba F¡ en el punto a.
El polipasto. Este dispositivo tiene una ventaja mecánica ideal de 4, ya que cuatro
cables o “cordeles" soportan el bloque móvil.
El plano inclinado
Las máquinas que hemos estudiado hasta ahora se relacionan con la aplicación del
principio de la palanca. Una segunda máquina fundamental es el plano inclinado.
Suponga que tiene que mover una pesada carga desde el piso hasta la plataforma
de un camión sin ayuda de una grúa. Probablemente usted seleccionaría unas
cuantas tablas largas y formaría una rampa desde el piso hasta la plataforma del
camión. La experiencia le ha enseñado que se requiere menos esfuerzo si se
empuja la carga hacia arriba por una pequeña elevación, que si se sube dicha
carga directamente. Debido a que con una fuerza de entrada menor se produjo la
misma fuerza de salida, se ha obtenido una ventaja mecánica. Sin embargo, la
fuerza de entrada menor se ha logrado a expensas de recorrer una mayor distancia.
Considere el movimiento de un peso Whacia arriba del plano inclinado de la figura
12-12. El ángulo de inclinación () es tal, que el peso debe moverse a lo largo de una
distancia s para llegar a la altura h en el punto más alto del plano inclinado. Si despreciamos la fricción, el trabajo necesario para empujar el peso hacia arriba del
plano es el mismo que el trabajo requerido para levantado verticalmente.
36
Estática
Podemos expresar esta igualdad como:
Trabajo de entrada = trabajo de salida
Fis = Wh
Fig. 12-11
Cuatro tipos comunes de engranes: (a) helicoidal, (b) planetario, (c) cónico, (d) sin
fin. (El engrane recto es el que se usa con más frecuencia y se muestra en la figura
12-10.)
Fig. 2-12 El plano inclinado.
La fuerza de entrada representa el esfuerzo que se requiere para el bloque hacia
arriba, deslizándose por el plano; la fuerza de salida es igual al peso del bloque.
Donde F¡ es la fuerza de entrada y W es la fuerza de salida. La ventaja mecánica
ideal será la relación del peso entre la fuerza de entrada. Enunciando esto
simbólicamente, tenemos:
37
Temas Selectos de Física I
Ejemplo 12-5:
La caja de madera de 200 lb, que muestra la figura 12-13, debe ser levantada a
una plataforma de carga de 6 ft de altura. Se utiliza una rampa de 12 ft de largo
para deslizar la caja desde el piso hasta la plataforma. Suponga que el coeficiente
de fricción es 0.3. (a) ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal de usar la rampa?
(b) ¿Cuál es la ventaja mecánica real?
Figura 12-13
Solución (a):
La ventaja mecánica ideal, partiendo de la ecuación (12-14), es:
Este valor representa la ventaja mecánica de la rampa si no hubiera fricción.
Solución (b):
La ventaja mecánica real es el cociente del peso que se levanta entre la fuerza de
entrada requerida, tomando en cuenta la fricción. Aplicando la primera condición
para el 'equilibrio al diagrama del cuerpo libre (figura 12-13b), encontramos que la
fuerza normal N está dada por:
Por lo que la fuerza de fricción debe ser:
Sumando las fuerzas a lo largo del plano obtenemos:
Pero Wx = (200 lb)(sen 30°) = 100 lb, por lo tanto nos queda:
38
Estática
Ahora podemos calcular la ventaja mecánica real:
TAREA 5
Queda como ejercicio para usted demostrar que la eficiencia de la rampa es de 66
por ciento.
Página 53.
La rueda
La rueda es un disco con un orificio central por el que penetra un eje que le guía en
el movimiento y le sirve de sustento.
La parte operativa de la rueda es la periferia del disco, que se recubre con
materiales o terminaciones de diversos tipos con el fin de adaptarla a la utilidad
correspondiente. Algunas de las ruedas más empleadas son la que se ilustran en la
figura de la izquierda.
Composición de la rueda
La rueda es un operador dependiente. Nunca puede usarse sola y siempre ha de ir
acompañada de un eje que le guía y sirve de sustento y de un soporte o armadura
que es el operador que controla la posición del eje y sirve de sostén a todo el
conjunto.
El eje es una barra, normalmente cilíndrica,
que guía el movimiento giratorio de la
rueda.
El soporte es un operador cuya misión es
mantener al eje solidario con la máquina.
En muchas aplicaciones suele tener forma
de horquilla (patinetes, bicicletas, carros,
etcétera).
Aun cuando todas las aplicaciones que el hombre le ha encontrado a la rueda para
facilitar su trabajo son de suma importancia, en este curso le prestaremos atención
sólo a cuando se le utiliza como POLEA.
TAREA 6
Página 55.
La polea. La polea simple (llamada también garrucha) consiste simplemente en una
rueda fija (Fig. 19.2) por la que pasa una cuera, de uno de cuyos extremos cuelga
un peso, el cual se puede hacer subir [alarido con la mano del otro extremo.
39
Temas Selectos de Física I
La distancia da que recorre la mano al bajar es la misma que la do que recorre el
peso al subir, de modo que, según (19.4):
Y, por lo tanto, según (19.3) la fuerza obtenida:
Será igual a la fuerza invertida.
Fig. 19.2 La polea fija sólo invierte el sentido de la fuerza.
En la polea fija no se obtiene, pues, más beneficio que la inversión del movimiento,
ya que es más cómodo jalar de arriba hacia abajo que de abajo hacia arriba.
Otra cosa diferente ocurre en cambio en la llamada polea móvil (Fig. 19.3) en la
cual una cuerda que está sujeta por un extremo a un soporte fijo puede hacer subir
a una polea de la cual cuelga el cuerpo que se quiere manejar. El otro extremo de la
cuerda se suele hacer pasar por una polea fija con el fin de realizar el es fuerzo más
cómodamente.
Observando la figura da que recorre la mano al bajar vemos que la distancia se
tiene que repartir por igual entre las dos porciones de la cuerda que hacen subir la
polea, por lo tanto:
De donde:
40
Estática
Y con esta polea se podrá hacer subir con la mitad del esfuerzo que se haría polea
fija.
En la práctica, para aumentar más la ventaja mecánica de la polea, se suelen
emplear grupos de éstas, llamadas en general aparejos, de los cuales vamos a
presentar aquí el cuadernal y la trocla.
El cuadernal, motón, pasteca o polipasto consiste en un sistema de poleas tal
como se indica, por ejemplo, en la Fíg, 19. 4
Fig. 19.3 La polea móvil duplica el esfuerzo.
En ella se ve que la distancia da recorrida por la mano al jalar la cuerda de la
izquierda se reparte por igual entre las tres partes de la cuerda que jalan el peso de
la derecha. Tendremos entonces que:
Y, por lo tanto:
Y este mecanismo triplicará el esfuerzo que sobre el se hace.
Si en general llamamos n al número de partes de la que jalan del cuerpo que se
hace subir por medio de un polipasto, la ventaja mecánica de este será:
Y el esfuerzo se reducirá tanto más cuanto más poleas tenga el polipasto.
41
Temas Selectos de Física I
Las troclas, en cambio, están dispuestas como se indica en la Fig. 19.5, en la cual
se ve que la distancia jalada da se reparte por igual entre las dos partes de la
cuerda que hacen subir a la polea móvil A con lo cual ésta subirá la mitad de
aquella distancia. A su vez, lo que sube la polea A se reparte por igual entre las dos
ramas de la cuerda que hacen subir a la segunda polea B y ésta subirá la mitad de
la polea A. Finalmente, por la misma razón, la polea e subirá la mitad de lo que ha
subido la B y, por lo tanto, el cuerpo sube una distancia do tal que:
y, por lo tanto, la ventaja mecánica será:
Fig. 19.4 Un cuadernal que triplica el esfuerzo hecho.
42
Estática
Fig. 19.5 Un sistema de troclas.
En general, si un sistema de troclas está compuesto por n poleas móviles. Su
ventaja mecánica será:
Con lo que se ve que este aparato aumenta enormemente el esfuerzo empleado.
De acuerdo a las instrucciones que te dé tu profesor, resuelve de manera individual
o por equipos el siguiente problema y compara tus resultados con los de tus
compañeros.
EJERCICIO 7
F es la fuerza necesaria con la que hay que jalar a la cuerda de un polipasto
compuesto por dos poleas móviles y dos fijas para levantar un peso de 120 N.
Calcular la fuerza con que se debe tirar de la cuerda para elevar al peso
representado en la siguiente figura.
TAREA 7
Página 57.
43
Temas Selectos de Física I
¡Ojo! Recuerda que
debes resolver la
autoevaluación y los
ejercicios de
reforzamiento; esto te
ayudará a enriquecer los
temas vistos en clase.
44
Estática
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 1
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: De forma individual resuelve los siguientes problemas y entrégalos a tu profesor.
1. Dos, vectores A y B forman entre si un ángulo de 45°. El módulo de A vale 3 N. Calcular cuál debe ser el
módulo de B para que A - B sea perpendicular a A.
2. Sobre la cubierta de un barco, y en dirección normal al movimiento del barco, se mueve un pasajero con
velocidad de 3 m/s. Calcular la velocidad total del pasajero si la del barco es de 6 m/s.
45
Temas Selectos de Física I
3. Un pasajero recorre un tren con movimiento uniforme de velocidad V = 1,2 m/s en la dirección de
movimiento del tren. El tren recorre un tramo rectilíneo con velocidad de 6 m/s. Calcular:
a) La velocidad total del pasajero.
b) Dicha velocidad si el pasajero se moviera en sentido contrario al movimiento del tren.
c) Suma los siguientes vectores por el método analítico.
A = 75 N 1300.
B = 69 N 380.
C = 270 N 2860.
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
46
Estática
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 2
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ____________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: De manera individual da respuesta a los planteamientos que se te hacen a continuación y
entrégalos a tu profesor
1. Ilustra con imágenes y comentarios, dando dos ejemplos en cada caso, los sistemas de Fuerzas:
a) Colineales.
b) Coplanarias concurrentes.
c) Coplanarias paralelas.
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d) Explica brevemente en qué consisten:
e) as funciones seno, coseno y tangente
f) El teorema de Pitágoras.
g) La Ley de los senos.
h) La Ley de los cósenos.
i) La semejanza de triángulos.
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47
Temas Selectos de Física I
j) Investiga y explica en qué consisten, el equilibrio:
k) Estable.
l) Inestable.
m) Neutro.
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Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
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48
Estática
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 3
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ____________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: De manera individual resuelve los siguientes problemas y entrégalos a tu profesor.
1. De dos ganchos empotrados en un techo horizontal se amarran los extremos de una cuerda de 11 m de
longitud. Los ganchos se encuentran separados por una distancia de 9 m. A los 4 m del extremo izquierdo
de la cuerda se cuelga un peso de w = 100 N. Calcular las fuerzas de tensión T1 y T2 en los extremos de la
cuerda.
9
α
7
4
α
0
θ
w=100N
2. Una estructura metálica construida en forma de triángulo isósceles, esta formada por la barras AC y BC, el
tirante AB las mantiene en la posición indicada en la figura. El ángulo formado por las barras es de 700. Los
pies de las barras descansan sobre dos soportes en un plano horizontal. En el punto de unión de las barras
C se cuelga un peso de w = 120 N. Calcular la fuerza de tensión T a que está sometido el tirante y las de
compresión P1 y P2 que soportan las barras.
C
α
120 N
A
B
49
Temas Selectos de Física I
3. Se suspende un peso w = 600 N del poste BC representada en la figura utilizando para ello la barra OA de 4
m de longitud, articulada en el punto A y sostenida por la cuerda OB amarrada al poste en el punto B situado
a 3m por arriba del punto A. Calcular la fuerza de tensión T en la cuerda y la de compresión P en la barra.
B
3m
θ
O
w= 600N
4m
A
C
4. Con los datos de la figura determina el peso del cuerpo suspendido si la tensión de la cuerda diagonal es de
20 N.
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
50
Estática
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 4
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ____________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Da respuesta a los cuestionamientos que se te hacen, resuelve los problemas que se te
plantean y entrega por escrito el resultado de tu trabajo al profesor.
1. Acompañado de dibujos propios, imágenes o fotografías, por lo menos con tres ejemplos para cada caso,
explica qué son y qué utilidad tienen las vigas:
a) En Cantilever.
b) En voladizo.
c) Simplemente apoyada.
2. Determina la intensidad de la fuerza F4 según los datos de la figura.
51
Temas Selectos de Física I
3. Con los datos de la figura, determina a qué distancia del fulcro debe colocarse la fuerza F2.
4. La barra AB tiene un peso uniforme de 50 N y una longitud de 10 m. El bloque D pesa 30 N y dista 8 m de A.
La distancia entre los puntos de apoyo de la barra es de AC = 7 m .Calcule la reacción en el extremo A.
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
52
Estática
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 5
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Da respuesta a los planteamientos que se hacen y resuelve los problemas. Entrega los
resultados a tu profesor.
1. Da por lo menos cuatro ejemplos de cómo utilizamos en la vida diaria la Ley de la Palanca explicado la
ventaja de su uso.
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
2. Describe las características y principales usos que se le dan a:
a) La rueda dentada.
b) La rueda de transporte.
c) La rueda de palas.
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
3. En la figura está representada una barra rígida apoyada en P. En el extremo está colgado un cuerpo de
1[Kg] de masa. ¿Cuál debe ser la masa X del otro cuerpo, que está colgado en el otro extremo, para que el
sistema quede en equilibrio en la posición indicada en la figura? (Consideren despreciables la masa de la
barra y los rozamientos y adopte g = 10[m/s2] )
53
Temas Selectos de Física I
4. Una barra homogénea AB tiene 10[m] de longitud y 200 N de peso .A 2m del extremo A se coloca un cuerpo
Q de 100N. Suspendida por el punto O, la barra queda en equilibrio en la posición horizontal. La distancia en
metros del punto O al extremo A de la barra vale:
5. En un taller mecánico, se levanta el motor de un automóvil, cuyo peso es de 350 N, por medio de un aparejo
diferencial. Si los radios de las poleas son R = 15 cm y r = 12 cm respectivamente, ¿cuál es la magnitud de
la fuerza que equilibra ese peso?
6. El sistema de la figura está en equilibrio y los pesos de la barra y de las poleas pueden ser ignorados .La
razón entre las masas M/m es :
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
54
Estática
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 6
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: De forma individual resuelve los siguientes problemas y entrégale a tu profesor los resultados
de la manera que él te indique.
1. Se levanta un cuerpo de 200 N mediante un plano inclinado de 2,8 m de largo y 1,5 m de altura. El extremo
de la cuerda que sube el cuerpo, se adapta a un torno, cuya manivela es de 0,8 m y el radio del torno es de
0,2 m. Calcular la potencia aplicada al torno, para mantener el sistema en equilibrio.
2. En un taller mecánico, se levanta el motor de un automóvil, cuyo peso es de 350 N, por medio de un aparejo
diferencial. Si los radios de las poleas son R = 15 cm y r = 12 cm, ¿cuál es la fuerza que equilibra ese peso?
3. Los radios de un aparejo diferencial son R = 20 cm y r = 15 cm. Si se aplica una fuerza de 80 N, Calcular el
peso del cuerpo que la equilibra.
55
Temas Selectos de Física I
4. En un aparejo potencial de 4 poleas móviles, se aplica una fuerza de 30 N para mantener el sistema en
equilibrio, se desea saber cuál es el valor de la resistencia.
5. Un cuerpo es sostenido mediante un aparejo potencial de 5 poleas. Si la potencia aplicada es de 60 N, ¿cuál
es el peso del cuerpo?
6. Mediante un torno cuyo radio es de 12 cm y su manivela es de 60 cm, se levanta un balde que pesa 3.5 N,
cargado con 12 litros de agua. Calcular la fuerza de potencia aplicada.
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
56
Estática
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 7
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ____________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: El mapa conceptual que se te presenta a continuación fue elaborado por un alumno de
Secundaria y es muy hermoso; sin embargo, tiene algunos errores. DESCÚBRELOS. En hojas blancas tamaño
carta, has tu propio mapa mejorando el que se presenta y entrégalo a tu profesor.
57
Temas Selectos de Física I
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
58
Estática
Nombre _________________________________________________________
AUTOEVALUACIÓN
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno ___________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la
opción que consideres correcta.
1.
Es la fuerza que experimentamos durante toda nuestra vida y en todo momento.

Masa.

Trabajo.

Peso.
 Presión.
2.
¿En cuál de las siguientes propuestas existe alguna magnitud que no es vectorial?
Área de una superficie, Campo eléctrico.
Momento de inercia, Campo magnético
Momento angular, Fuerza
Momento de una fuerza, Campo gravitatorio.
3.
Dos bloques en posición vertical están unidos por una cuerda. Otra cuerda es amarrada al bloque superior.
La fuerza F necesaria para mantener el sistema en equilibrio vale.
8 Kgf.
12 Kgf.
6Kgf.
 2Kgf.
4.
Elige la respuesta que indique correctamente las componentes y el módulo de la fuerza representada en el
siguiente diagrama:
Componentes 3,4; módulo 5N.
Componentes 3,-4; módulo 5N.
Componentes -4,3; módulo 5N.
Componentes -4,3; módulo 25 N.
59
Temas Selectos de Física I
5.
Tres de los siguientes diagramas representan dos fuerzas actuando sobre un objeto. Los otros tres
representan sus correspondientes fuerzas resultantes. La relación por parejas correcta es:
1
2
3
4
5
6

1-4, 3-5, 2-6.

1-3, 4-5, 6-2.

6-1, 2-3, 4-5.

1-2, 3-4- 5-6.
6.
Para la fuerza F de la figura se cumple que el módulo de su momento es:
F d.
Fy d.
Fx d.
Cero.
7.
Para la siguiente figura podemos afirmar que:
El momento de las dos fuerzas con respecto al punto O es el mismo.
El módulo del momento de la fuerza F2 con respecto al punto O es F2
El módulo del momento de la fuerza F2 con respecto al punto O es igual al módulo del momento de la
fuerza F1 con respecto al punto O e igual a F1 d Cos. a = F2 d Cos. b.
 El módulo del momento de las dos fuerzas con respecto al punto O es el mismo por tener el mismo
punto.
8.
Si fueras un náufrago en una isla solitaria y necesitaras derribar un árbol ¿Qué máquina simple utilizarías?
Una rueda.
Una biela.
Una cuña.
Una motosierra.
9.
La fuerza que es necesario aplicar a una polea fija, para levantar un peso de 80 N, es de:
160 N.
30 N.
20 N.
 80 N.
60
Estática
10. La potencia que se necesita aplicar para equilibrar una resistencia de 90 N, mediante una polea móvil, es
de:
45 N.
90 N.
30 N.
 180 N.
11. Un señor emplea una caña de pescar de 2 m de longitud. Si la pieza lograda tiene un peso de 50 N. La
fuerza que tiene que aplicar para mantener en equilibrio al pescado, tomando en cuenta que el pescador
toma la caña a 1.20 m del apoyo, es de:
83.33 N.
125 N.
50.5 N.
 No es posible mantener el equilibrio.
12. El valor de la potencia aplicada a una palanca, cuyos brazos de potencia y resistencia, son
respectivamente, 120 m y 30 cm, siendo la resistencia de 80 N, es de:
120 N.
40 N.
20 N.
 30 N.
13. En una palanca interfija, una fuerza de potencia de 2 N equilibra una resistencia de 50 N. Si el brazo de la
potencia mide 2.5 m; la longitud del brazo de la resistencia es:
1 m.
5 m.
0.1m.
 125 m.
14. Un cuerpo de 200 N se levanta mediante un aparejo potencial de 3 poleas móviles. El valor de la fuerza de
potencia es:
100 N.
25 N.
66.66 N.
 50 N.
15. En el esqueleto humano aparecen multitud de palancas ¿de qué grado son?
Primer grado.
Segundo grado.
Tercer grado.
Cuarto grado.
61
Temas Selectos de Física I
16. De los siguientes inventos humanos ¿cuál puede ser considerado como "máquina"?
Puente
Sacacorchos
 Silla
 Árbol
17. Los tres bloques esquematizados en la figura tienen el mismo peso y están inicialmente en reposo unidos
por cuerdas ligeras e inelásticas. El bloque 2 se halla sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Al
dejar el sistema en libertad:
Este permanece como está.
El bloque 1 desciende.
El bloque 3 desciende.
Lo que suceda depende de la longitud de las cuerdas.
62
Estática
EJERCICIO DE
REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno ___________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: De forma individual resuelve los siguientes cuestionamientos y problemas. Entrégalos a tu
profesor para su revisión.
I. Preguntas de razonamiento.
1. ¿Puede estar un cuerpo en equilibrio cuando sobre él actúa una fuerza?
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
2. Un globo se mantiene en el aire sin ascender ni descender. ¿Está en equilibrio? ¿qué fuerzas actúan sobre
él?
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
3. Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con dos fuerzas iguales y de dirección opuesta, ¿por
qué la tensión total en la cuerda es cero?
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
4. Un caballo está enganchado a un carro. Como el carro tira del caballo hacia atrás con la misma fuerza que
éste tira del carro, ¿por qué no permanece el carro en equilibrio, independientemente de lo que jale el
caballo?
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
5. ¿Cómo se puede empujar hacia abajo el pedal de una bicicleta y lograr que la bicicleta se mueva hacia
adelante?
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
63
Temas Selectos de Física I
6. Para empujar una caja hacia arriba por una rampa, ¿es mejor empujarla horizontal o paralelamente a la
rampa?
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
7. ¿De qué depende el coeficiente de rozamiento entre dos superficies?
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
8. ¿Puede el coeficiente de rozamiento ser mayor que la unidad? En caso afirmativo dé un ejemplo; de lo
contrario, explica por qué no puede serlo.
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
II.
PROBLEMAS.
1. Un peso de 5 N cuelga de una cuerda de 1 m de longitud que se encuentra sujeta al techo. Calcular la
fuerza horizontal que se debe aplicar al peso para que éste se desvíe 30 cm de la vertical y se mantenga en
esa posición.
2. Un peso w = 5 N se encuentra suspendida como se muestra en la figura. Si el sistema está en equilibrio,
Calcular los valores para las tensiones T1 y T2 de las cuerdas. = 40º.
64
Estática
3. Determinar las tensiones T1 y T2 de las cuerdas del sistema
mostrado en la figura si el peso suspendido es w = 5.5 N. El
sistema está en equilibrio.
4. En la figura se representa a La Tierra apoyada sobre la palanca AB; en el punto A. Suponiendo que el punto
de apoyo O fuera la luna. Y si hipotéticamente Arquímedes aplicara una fuerza de potencia de 2 x 1096 N en
el punto B de la palanca, calcular cuanto tendría que medir el brazo de la potencia OB para poder mover a la
tierra.
B
Tierra
O
A
Fuerza aplicada por
Arquímedes.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
65
Temas Selectos de Física I
21. Investiga los nombres de las partes de la locomotora que están señalados con números en la figura y
escríbelos sobre la línea correspondiente.
1.__________________
2.__________________
3.__________________
4.__________________
5.__________________
6.__________________
7.__________________
8.__________________
22. En la siguiente figura se representa un mecanismo construido para soportar un peso de 900 N. Con los
datos que ésta te presenta, calcula la magnitud de la fuerza de tención T en el cable CB y la de la fuerza de
compresión P en la barra AB.
900 N
23. El sistema de la figura está en equilibrio y los pesos de la barra y de las poleas pueden ser ignorados.
Calcular la razón entre las masas M/m.
66
Unidad 2
Cinemática del
Cuerpo Rígido.
Objetivos:
El alumno:
Resolverá
problemas
prácticos
relacionados con la cinemática del
sólido rígido, aplicando los conceptos
sobre movimiento de traslación y
rotación en dos dimensiones, mediante
ejercicios de notación científica y
actividades experimentales, con una
actitud crítica y responsable.
Organizador anticipado:
La Luna es el cuerpo celeste (astro) más cercano a la Tierra. Gira
alrededor de ella a una velocidad de 3664 km/hr. Tarda 27 días con
7.716 horas en dar una vuelta alrededor de la Tierra (traslación) y es
exactamente el mismo tiempo que tarda en girar sobre su propio eje
(rotación).
Temario:
2.1. Traslación y rotación pura.
2.2. Traslación y rotación uniforme y
uniformemente acelerado.
Temas Selectos de Fìsica I
Evaluación Diagnóstica:
Anotar en el siguiente espacio lo que se entiende por cuerpo rígido, traslación y
rotación de un cuerpo.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2 .1 .
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN PURA.
No hay cuerpo que sea completamente rígido, pero podemos considerar como
ejemplo las moléculas, las viguetas de acero y los planetas, como lo
suficientemente rígidos para pensar que se tuercen, se doblan o vibran. Un
cuerpo rígido se mueve en una traslación pura, si cada partícula del cuerpo
experimenta el mismo desplazamiento que todas las demás partículas en un
intervalo de tiempo dado.
Algunos consideramos que los cuerpos tienen únicamente un movimiento
traslacional, pero hay casos como las ruedas, ejes, poleas, giroscopio y muchos
otros dispositivos mecánicos, que giran sobre su eje sin que haya movimiento
traslacional.
El movimiento de la rueda es un ejemplo de rotación pura de un cuerpo rígido,
que se define así:
Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si todos sus puntos (como en la
siguiente figura) lo hacen en una trayectoria circular. El centro de estos círculos
ha de estar en una línea recta común denominada eje de rotación.
Fig. 2.1
Bicicleta estacionaria
donde la rueda gira sobre
el eje (rotación).
68
En este tema abordaremos el movimiento rotacional puro. Nos ocuparemos sólo
de objetos rígidos en los cuales no se observa movimiento relativo de las partes
a medida que el objeto gira; se excluye, por ejemplo, un líquido dentro de un
contenedor que gira.
Cinemática del Cuerpo Rígido
2.1.1. Posición angular.
Si hemos acordado llamar movimiento al cambio de la posición con el
tiempo, será necesario establecer un criterio para determinar qué
posición ocupa un cuerpo en un instante.
En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición
angular viene dada por el ángulo θ, que hace el punto P, el centro de
la circunferencia C y el origen de ángulo O. En el instante t´ el móvil se
encontrará en la posición P´ dada por el ángulo θ´. El móvil se habrá
desplazado Δθ = θ´- θ en el intervalo de tiempo Δt = t´- t
comprendido entre t y t´.
2.1.2. Desplazamiento angular.
El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si un
punto en el disco giratorio de la figura anterior gira sobre su eje de O a P, el
desplazamiento angular se denota por el ángulo θ.
1 rev = 3600
Ninguna de estas unidades es útil para describir la rotación de los cuerpos
rígidos. Una medida mas fácil de aplicar al desplazamiento angular es el radián
(rad). Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco s es igual a la longitud
del radio R. Es más común que el radián se defina por la siguiente ecuación:
s
ecuación 2.1
R
Donde s es el arco de un círculo descrito por el ángulo θ. Puesto que el cociente
s entre R es la razón de dos distancias, el radián es una cantidad sin unidades.
El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra
considerando un arco de longitud s igual a la circunferencia de un círculo 2πR.
Dicho ángulo en radianes se obtiene de la ecuación.
2 R
R
Para saber más y enriquecer
el tema, visita el sitio
http://lefmvespertino.usach.cl
/flash/radianes_ene2006.swf
y encontrarás una
explicación sobre la
definición de radián
2 rad
69
Temas Selectos de Fìsica I
Así tenemos,
1 rev = 3600 = 2π rad
de donde observamos que
360 
2
1rad
57 .3
Ejemplo 2.11
Si la longitud del arco s es de 2 m y el radio es de 3 m, calcular el
desplazamiento θ en radianes, grados y revoluciones.
Solución
1.- Datos
s=2m
θ=3m
2.- Fórmula
3.- Sustituyendo
2m
3m
s
R
0.66 rad
4.- Convirtiendo a grados nos queda:
Fig. 2.4
Ana
Gabriela
Guevara, como cualquier
atleta, debe tomar la salida
en la prueba corta de 400 m
por su propio carril, las
corredoras
salen
desde
posiciones escalonadas. La
ecuación 2.1 nos dice que
los corredores más alejados
del centro tendrían que
recorrer una distancia mayor
en las curvas de la pista que
los carriles interiores.
(0.66rad )
57.3
1rad
37.8
5.- Como 1 rev = 3600
(37.8 )
1rev
360
0.10505 rad
Ejemplo 2.12
Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 6 m se
mueve a través de un ángulo de 400. Calcular la longitud del arco descrito por el
punto.
Solución:
Como el ángulo debe estar en radianes, primero debemos convertir los 40 0 en
radianes
(40 )
1rad
57.3
0.698 rad
La longitud del arco está dada por
s
70
R
6m(0.698rad ) 4.19rad
Cinemática del Cuerpo Rígido
La unidad radián desaparece porque representa una relación de longitud a
longitud (m/m = 1).
EJERCICIO 1
1.- Convertir:
a)
65 rev a radianes
b)
50π rad a revoluciones
c)
900 rps a rad/seg
2.- Un punto localizado en el borde de una rueda cuyo radio es de 0.5 m se
mueve en un ángulo de 370. Calcular la longitud del arco descrito por ese punto.
2.1.3. Velocidad angular
A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le
llama velocidad angular. Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo θ en
un tiempo t, su velocidad angular media está dada por:
t
ecuación 2.2
El símbolo ω, (letra griega omega), se usa para denotar la velocidad rotacional.
Aun cuando la velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto o
revoluciones por segundo, en la mayoría de los problemas físicos en necesario
utilizar radianes por segundo para adaptarse a fórmulas más convenientes.
Puesto que la velocidad de rotación en gran número de problemas técnicos se
expresa en términos de frecuencia de revoluciones, la siguiente relación será de
utilidad:
2 f ecuación 2.3
Donde ω se mide en radianes por segundo y f se mide en revoluciones por
segundo o ciclos por segundos.
Ejemplo 2.13
La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y da 40 revoluciones en 1
min.
a)
¿cuál es su velocidad?
b)
¿qué distancia lineal se desplazará?
Solución:
a) Como 1 rev = 2π radianes, entonces
f
40rev
min
1min
60seg
0.667rev / seg
sustituyendo la frecuencia en la fórmula de la velocidad angular
ω = 2πf = (2π rad)(0.667 rev/seg) = 4.188 rad/seg
b)
El desplazamiento lineal s se puede calcular a partir del desplazamiento
angular θ en radianes.
2 rad
40 rev
1rev
251 .3rad
71
Temas Selectos de Fìsica I
de la ecuación
s
R despejamos s, quedando:
s R (251.3rad )(33m) 82.93m
Es importante observar que la velocidad angular representa una velocidad
media.
EJERCICIO 2
Resuelve los siguientes problemas individualmente y comenta los resultados con
el grupo.
1.- Un motor eléctrico gira a 900 rpm. ¿Cuál es su velocidad angular? y ¿cuál es
el desplazamiento angular después de 6 s?
2.- Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como su
desplazamiento angular, si su movimiento duró 2.5 minutos.
TAREA 1
Página 81.
2.1.4. Aceleración angular
El movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de la
rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión
resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia constantemente de un
valor inicial 0 a un valor final f en un tiempo t, la aceleración angular es
constante y:
f
0
t
La letra griega
(alfa) denota la aceleración angular y las unidades típicas son
rad/seg2, rev/min2, etcétera.
Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular acelerado son las
mismas que se utilizan para el rectilíneo uniformemente acelerado con las
siguientes variantes:
1.- En lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento
angular en radianes (θ en lugar de d).
2.- La velocidad en m/seg se dará como velocidad angular en rad/seg (ω en
lugar de v).
3.- La aceleración en m/seg2 se cambiará a aceleración angular en rad/seg2 (α
en lugar de a).
72
Cinemática del Cuerpo Rígido
Tabla 2.1. Comparación de la aceleración lineal y la aceleración angular.
Aceleración lineal constante
Aceleración angular constante
d
vo
v
vo
d
vo t
v2
vo2
d
v
2
o
t
t
2
at
t
o
1 at 2
2
2ad
o
2
v prom t
t
2
o
prom
1 at 2
2
2
t
Ejemplo 2.14
Una rueda que gira a 4 rev/seg aumenta su frecuencia a 20 rev/seg en 2
segundos. Determinar el valor de su aceleración angular.
Datos
Fórmulas
2 f
fo = 4 rev/seg
o
f = 20 rev/seg
2 f
t = 2 seg
o
t
α = ¿?
Sustitución y resultado
ωo = 2π(4) = 25.12 rad/seg
ω = 2π(20) = 125.6 rad/seg
125 .6rad / seg 25 .12 rad / seg
2seg
50 .24 rad / seg 2
Ejemplo 2.15
Una rueda de la fortuna gira inicialmente con una velocidad angular de 2
rad/seg, si recibe una aceleración angular de 1.5 rad/seg2 durante 5 segundos,
calcular:
a)
Su velocidad angular a los 5 seg.
b)
Su desplazamiento angular.
c)
El número de revoluciones al término de los 5 seg.
Solución a)
Datos:
ωo = 2 rad/seg
α = 1.5 rad/seg
t = 5 seg
Fórmula:
o
2
t
Sustitución:
ω = 2 rad/seg + (1.5rad/seg2)(5seg)
ω= 9.5 rad/seg
Fig. 2.5 Rueda de la
fortuna
Solución b)
El desplazamiento angular está dado por:
o
t
1 2
t
2
Sustitución:
(2rad / seg )(5seg )
1
(1.5rad / seg 2 )(5seg ) 2
2
73
Temas Selectos de Fìsica I
10 rad 0.75 rad / seg 2 (25 seg 2 )
28 .75 rad
Solución c)
Puesto que 1 rev = 2π rad, obtenemos
(28.75rad )
1rev
2 rad
4.5757rev
EJERCICIO 3
Resuelve los siguientes problemas individualmente y comenta los resultados con
el grupo.
1.- Un engrane adquirió una velocidad angular de 2512 rad/s en 1.5 s. ¿Cuál fue
su aceleración angular?
2.- Un carrete circular de 50 cm de radio gira a 450 rev/min. Luego se detiene
por completo después de 60 revoluciones. Calcular:
a) La aceleración angular.
b) El tiempo en detenerse.
TAREA 2
Página 83.
2 .2 .
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN
UNIFORME Y UNIFORMEMENTE
ACELERADAS.
Con frecuencia se encuentran dos casos especiales de rotación:
1.- Rotación uniforme. Este caso se caracteriza por el hecho de que la
aceleración angular es cero (α = 0). La velocidad angular es por lo tanto
constante y la coordenada angular está dada por la fórmula
t.
2.- Rotación uniformemente acelerada. En este caso la aceleración angular es
constante. Las fórmulas que se utilizan para este tipo me movimiento se
mostraron en el tema anterior (tabla 2.1), haciendo hincapié que se utilizan estas
fórmulas cuando α = constante.
En el caso de la traslación, se presenta la traslación rectilínea y traslación
curvilínea, en los dos puede suceder que sea uniforme su velocidad (a = 0, α =
0), entonces v = d/t, o bien ω = θ/t respectivamente; sí el movimiento
uniformemente acelerado, en este ultimo se utilizará, las fórmulas del cuadro 2.1
de aceleración lineal constante.
Relación entre los movimientos rotacional y lineal
Cuando más lejos se encuentre una partícula del eje de rotación, mayor es su
velocidad lineal según la siguiente fórmula.
v
74
2 fR
Cinemática del Cuerpo Rígido
donde f es la frecuencia de rotación y R el radio de curvatura. Como s=θR
entonces
s
t
v
R
t
Puesto que θ/t = ω, la velocidad lineal se puede expresar como una función de
la velocidad angular.
v
R
La aceleración tangencial en términos de de un cambio en la velocidad angular
quedaría:
R
aT
o
t
aT
R
o
t
R
R
representa la aceleración angular.
No hay que confundir la aceleración tangencial (cambio de velocidad lineal) con
la aceleración centrípeta (cambio en la dirección del movimiento)
ac
v2
R
Ejemplo 2.16
Una rueda de 80 cm de radio gira sobre un eje estacionario. Si la velocidad
aumenta uniformemente desde el reposo hasta alcanzar 1900 rpm en un tiempo
de 30 s, calcular:
a)
La aceleración angular de la rueda.
b)
La aceleración tangencial de la rueda
Datos:
Fórmula
1900rpm
o
o
0
R 80cm 0.8m
t
a)
a
b)
a
30s
1920rev 0rev
60s
s
30
R 1.07
t
a
R
32 rev
s
30
1.07 rev
rev 2 rad
0.8m
s 2 1rev
recordemos que α debe estar en rad
s2
6.72
rad
0.8m
s2
5.37 m
s2
Para saber más y
enriquecer el tema, visita el
sitio
http://newton.cnice.mec.es/
4eso/mcu/mcu421.htm
75
Temas Selectos de Fìsica I
Traslación uniforme.
Para abordar este tema es necesario definir algunos conceptos como:
Trayectoria: Es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa el
móvil.
Distancia: Es la longitud de la trayectoria y se trata d una magnitud escalar.
Desplazamiento: Es una magnitud vectorial cuyo módulo es la línea recta entre la
posición final y la inicial. El vector que representa al desplazamiento tiene su
origen en la posición inicial y su extremo en la posición final.
En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como
sinónimos aunque en realidad tienen un significado diferentes. Lo mismo ocurre
con las definiciones de rapidez y velocidad en la cual se suele confundir con
frecuencia ya que rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia
recorrida con el tiempo ( r d / t ) y la velocidad es una magnitud vectorial que
relaciona un cambio de posición (desplazamiento) con el tiempo ( v
d
).
t
Para una traslación rectilínea uniforme, tenemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.17
Determinar el desplazamiento en m que realizará un ciclista al viajar hacia el sur
a una velocidad de 35 km/hr durante 1.5 minutos.
Datos
Fórmula
v = 35 km/hr al sur
v
d
t
d
vt
t = 1.5 min
d = ¿? m
Conversión de unidades
35
km 1000 m
1hr
x
x
hr
1km 3600 seg
1.5 min x
60seg
1min
9.7
m
seg
90seg
Sustitución y resultado
d
EJERCICIO 4
9.7
m
x90 seg
seg
873 m al Sur
Resuelve los siguientes problemas individualmente y comenta los resultados con
el grupo.
1.- Determinar el desplazamiento en metros de un automóvil que va a una
velocidad de 80 km/hr al Este, durante 3.5 min.
2.- Calcular el tiempo en segundos que tardará un tren en desplazarse 3 km en
línea recta hacia el Norte con una velocidad de 90 km/hr.
76
Cinemática del Cuerpo Rígido
Traslación rectilíneo uniformemente acelerado
Como la aceleración es un cambio de velocidad en un intervalo de tiempo
v vo
), entonces podemos utilizar las fórmulas de la tabla 2.1 para realizar
t
(a
los siguientes ejercicios:
Fig. 2.6 Camión de carga
Ejemplo 2.18
Un camión de carga viaja con una velocidad de 70 km/h, aplica bruscamente los
frenos y se detiene en 15 segundos pues se le atravesó una vaca a 150 m.
Calcular:
a)
b)
c)
La aceleración.
La distancia total recorrida desde que aplicó los frenos para detenerse.
¿Atropelló a la vaca?
Datos
a)
Vo = 70 km/h = 70
t = 15 s
v=0
Fórmula
a
Sustitución
v vo
t
Sustitución
v vo
t
2
1h
3600 s
d
19 .44 m / s
Resultado
0 19.44m / s
15s
a
b)
Fórmula
d
km 1000 m
h
1km
a = -1.29 m/s
Resultado
0 19 .44 m / s
15 s
2
d = 145.8 m
c) No, pero que susto se llevó.
Sí se trata de un proyectil que se lanza verticalmente o se deja caer su
aceleración será la gravedad que es de 9.8 m/s2 y su desplazamiento será
vertical (altura = h).
Ejemplo 2.19
Una piedra se deja caer desde la azotea de un edificio y tarda en llegar al suelo
4 segundos. Calcular:
a)
La altura del edificio.
b)
La velocidad con que choca con el suelo.
a)
Datos
Fórmula
v=0
h vo t
gt 2
Como vo = 0; la ecuación queda:
2
t=4s
g = - 9.8 m/s
2
h
gt 2
2
77
Temas Selectos de Fìsica I
h=?
Sustitución
h
9.8m / s 2 (4s) 2
2
9.8m / s 2 (16 s 2 )
2
156 .8m
2
78 .4m
El signo menos de la altura es porque se mide desde la azotea hasta el suelo.
Resuelve los siguientes problemas individualmente y comenta los resultados con
el grupo.
EJERCICIO 5
1.- Un camión de pasajeros arranca desde el reposo manteniendo una
aceleración constante de 0.6 m/s2. Calcular:
a) El tiempo recorrido en 0.3 Km.
b) La rapidez en ese tiempo.
2.- Un niño deja caer una pelota desde una ventana que está a 60 m de altura
sobre el suelo. Calcular:
a) El tiempo que tarda en caer
b) La velocidad con que chocará con el suelo.
En el caso de movimientos de proyectiles cuya trayectoria es parabólica como
por ejemplo el movimiento de la pelota cuando Lorena Ochoa la golpea
lanzándola al aire, cuando Guillermo Ochoa despeja el balón de fútbol desde la
portería, cuando se lanza un proyectil de un avión, etcétera, la velocidad se
tendrá que descomponer y tratarse horizontal y verticalmente con:
v0 x vo cos
velocidad horizontal
voy
vo sen
velocidad vertical
donde α es el ángulo que forma la vo con la horizontal.
Fig. 2.6 Lorena Ochoa
al golpear la pelota,
ésta sale disparada con
una trayectoria
parabólica
Fig. 2.7 Guillermo
Ochoa al despejar la
pelota, el balón sigue
una trayectoria
parabólica
Ejemplo 2.21:
Un jugador de fútbol golpea un balón con un ángulo de 37o con respecto a la
horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular:
a)
El tiempo que dura la pelota en el aire.
b)
La altura máxima alcanzada.
c)
El alcance horizontal.
a)
Datos
vo = 20m/s
Fórmulas
α = 370
vox
t
vox
v vo
g
vox
voy
vo sen
20 m / s cos 37 15 .9m / s
(20 m / s ) sen37 12 m / s
12m / s 12m / s
9.8m / s 2
24m / s
2.45s
9.8m / s 2
t
t
78
Sustitución
vo cos
Cinemática del Cuerpo Rígido
b)
h
v 2 vo2
2g
h
0 (12 m / s ) 2
2( 9.8m / s 2 )
144 m 2 / s 2
19 .6m / s 2
h = 7.34 m
c)
Sx
vxt
Sx
(15 .9m / s)( 2.45 s) 38 .95 m
Resuelve los siguientes problemas individualmente y comenta los resultados con
el grupo.
EJERCICIO 6
1.- Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad
inicial de 10 m/s y cae al suelo después de 4 segundos. Calcular:
a) La altura en que se encuentra la ventana
b) La distancia horizontal desde la base del edificio
2.- Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 400 m/s y un ángulo de
elevación de 300. Calcular:
a) El tiempo que dura en el aire.
b) La altura máxima alcanzada por el proyectil.
c) El alcance máximo.
TAREA 3
Página 85.
¡Ojo! Recuerda que
debes resolver la
autoevaluación y los
ejercicios de
reforzamiento; esto te
ayudará a enriquecer
los temas vistos en
clase.
79
Temas Selectos de Fìsica I
80
Cinemática del Cuerpo Rígido
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 1
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrega la tarea a tu profesor
1.- Encontrar la velocidad angular y lineal de un cuerpo que tiene un radio de giro de 0.2m y un periodo de
0.5 s.
2.- Un móvil con trayectoria circular recorrió 820o ¿Cuántos radianes fueron?
3.- Determinar el valor de la velocidad angular y la frecuencia de una piedra atada a un hilo si gira con un
periodo de 0.5 s.
4.- Hallar la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 500 rpm.
81
Temas Selectos de Fìsica I
5.- Un motor eléctrico gira a 900 rpm. Calcular: a) La velocidad angular, b) El desplazamiento angular
después de 5 s y c) Si en el eje del motor se encuentra una polea de 7 cm de radio, ¿cuál es la velocidad
lineal en la periferia de la polea?
6.- Cuál es la rapidez angular de: a) En el segundero, b) En el minutero y c) El horario de un reloj.
7.- Un clavadista efectúa dos vueltas y media de la plataforma de 10 m al agua de la alberca. Suponiendo
que la velocidad inicial sea cero, calcular la velocidad angular promedio de su clavado.
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
82
Cinemática del Cuerpo Rígido
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 2
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrega la tarea a tu profesor.
1.- Una cuerda gira inicialmente a 6 rev/s y después se somete a una aceleración angular constante de 4
rad/s2.
a) ¿Cuál es su velocidad angular después de 5 s?
b) ¿Cuántas revoluciones completará la rueda?
2.- Un mezclador eléctrico incrementó su velocidad angular de 20 rad/s a 120 rad/s en 0.5 s. Calcular el
valor de su:
a) Aceleración media
b) Desplazamiento angular en ese tiempo
3.- Una rueda que gira a 4 rev/s aumenta su frecuencia a 20 rev/s en 2 s. Determinar el valor de su
aceleración angular.
4.- Una banda gira con una velocidad angular inicial cuyo valor es de 15 rad/s y recibe una aceleración
angular de 5 rad/s2 durante 12 s. Calcular:
a) La velocidad angular en 12 segundos.
b) Su desplazamiento angular.
83
Temas Selectos de Fìsica I
5.- Una rueda gira a razón de 1200 r.p.m. y mediante la acción de un freno se logra detenerla después de
dar 50 vueltas. Deducir la aceleración angular de frenado y el tiempo empleado en el fenómeno.
6.- Un volante necesita 3 segundos para conseguir un giro de 234 radianes. Si su velocidad angular al cabo
de ese tiempo es de 108 rad/s, ¿cuál fue su aceleración angular, supuesta constante? ¿Y su velocidad
angular inicial?
7.- Un volante gira a razón de 60 rpm y al cabo de 5 segundos posee una velocidad angular de 37,7 rad/s.
¿Cuántas vueltas dio en ese tiempo?
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
84
Cinemática del Cuerpo Rígido
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 3
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrega la tarea a tu profesor
1.- ¿Cuál es el valor de la aceleración lineal de una partícula cuya aceleración angular es de 3 rad/s 2 y su
radio de giro es de 20 cm?
2.- Un automóvil adquiere una velocidad de 6 Km/h al norte en 6 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2?
3.- Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. Calcular:
a) La máxima altura.
b) La velocidad a los 2 s.
c) El tiempo cuando alcance 40 m de altura.
85
Temas Selectos de Fìsica I
4.- Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 800 km/h y deja caer un proyectil desde una altura
de 600 m respecto al suelo. Calcular:
a) El tiempo que tarda en caer.
b) La distancia horizontal del proyectil después de iniciar su caída.
5.- Un jugador batea una pelota con una velocidad inicial de 25 m/s y con un ángulo de 40 o sobre la
horizontal. Calcular:
a) La altura máxima alcanzada por la pelota.
b) El alcance horizontal de la pelota.
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
86
Cinemática del Cuerpo Rígido
Nombre _________________________________________________________
AUTOEVALUACIÓN
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la
opción que consideres correcta.
1. La Tierra da una revolución completa sobre su eje en 24 h. Si el radio medio de la Tierra es de 6373 km, la
velocidad lineal de un punto sobre la superficie de la Tierra es:




265.54 m/s
266.37 m/s
463.45 m/s
4425.6 m/s
2. Se caracteriza por el hecho de que la aceleración angular es cero:




Rotación Uniforme
Rotación Uniformemente acelerado
Traslación Uniforme
Traslación Uniformemente acelerado
3. Una llanta lleva una velocidad angular de 3 rad/seg y se detiene 10 seg después. Su aceleración angular es:




-300 rad/seg2
-3.3 rad/seg2
-0.3 rad/seg2
+0.3 rad/seg2
4. Un cuerpo que parte del reposo comienza a girar con aceleración uniforme dando 3600 revoluciones durante
dos minutos. ¿La aceleración angular es?
 0.3 rad/seg2
 1 rad/seg2
 rad/seg2
 2 rad/seg2
5. Un ventilador gira a 1200 rpm. La rapidez angular en un punto del aspa del ventilador es:




7539.8 rad/seg
125.6 rad/seg
40 rad/seg
20 rad/seg
87
Temas Selectos de Fìsica I
6. Un disco de acetato con 30 cm de radio da 400 rev en 8 seg. Su aceleración centrípeta en el extremo es:





50 rev/seg2
29578.8 m/seg2
94.2 m/seg2
1500 m/seg2
7. Una rueda de 80 cm de radio gira sobre un eje estacionario. Si parte del reposo hasta 1800 rpm en un
tiempo de 30 seg su aceleración tangencial es:




1 rev/seg2
1 m/seg2
5.024 m/seg2
5.024 rev/seg2
8. La celeración normal de un punto de la periferia de un volante de 1.5 m de radio es constante e igual a 15
m/seg2. Su velocidad lineal es:




150 rad/seg
75 rad/seg
3.16 rad/seg
4.74 rad/seg
9. Las revoluciones que dará una rueda que parte del reposo hasta alcanzar su velocidad de 2000 rpm en 20
seg es:




2030 rev
333 rev
33.3 rev
3.33 rev
10. Un automóvil parte del reposo y alcanza 95 km/h en 28 seg. Su desplazamiento durante ese tiempo fue de:




369.4 m
738.8 m
9576 m
2660 m
11. Un globo se está elevando con una velocidad de 2 m/s cuando se le cae una pelota. Si su altura en ese
instante es de 100 m. El tiempo en llegar al suelo es:




88
4.73 seg
9.46 seg
20.4 seg
30.4 seg
Cinemática del Cuerpo Rígido
12. Un balón sale con una velocidad de 20 m/seg y una dirección de 300 con la horizontal. Su alcance es de:




17.32 m
8.49 m
25.34 m
35.34 m
13. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?




Para mover un cuerpo hay que aplicarle una fuerza
Si un cuerpo se mueve en línea recta, no hay fuerzas actuando sobre él
Si un cuerpo se mueve en línea recta con velocidad constante, no interactúa ningún otro
Cualquier cuerpo en trayectoria curvilínea está sujeto a una fuerza neta
14. Un disco que gira a = constante, con una frecuencia de 6 Hz. ¿Cuántas revoluciones realiza y que
longitud de arco recorre un punto localizado a 10 cm del centro en 10 segundos?





15 rev y 37.7 m
60 rev y 37.7 m
37.7 rev y 15 m
37.7 rev y 60 m
89
Temas Selectos de Fìsica I
90
Cinemática del Cuerpo Rígido
EJERCICIO DE
REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas, compáralos con tus compañeros y entrégaselos a tu
profesor.
1.
a)
b)
c)
d)
Convertir:
60 revoluciones en radianes
20 radianes en revoluciones
1520 rpm a rad/seg
4 rad/seg en rpm.
2. Una rueda de 90 cm de radio gira a 500 rpm. Calcular:
a) La velocidad angular en un punto cualquiera de la misma
b) La velocidad lineal de un punto situado en su periferia.
3.
Una rueda que gira a razón de 120 rpm incrementa uniformemente su velocidad hasta 660 rpm en 6
segundos. Calcular:
a) La aceleración angular en rev/seg2 y en rad/seg2
b) La aceleración lineal en un punto situado a 90 cm del eje
c) Su desplazamiento angular durante ese tiempo
91
Temas Selectos de Fìsica I
4.
Una pelota de masa m está amarrada a un extremo de un cordel de 30 cm de longitud, y el otro extremo se
encuentra sujeto a un punto fijo P. La pelota se mueve en un círculo horizontal como se muestra en la
figura. Encontrar la rapidez de la pelota en su trayectoria circular si el cordel forma un ángulo de 30o con la
vertical.
Figura del problema 4
5. Una manguera de bomberos descarga agua con una velocidad de 25 m/seg. Sabiendo que la boquilla
se localiza a 30 m de un edificio, determínese:
a) La altura a la que puede llegar el agua
b) El ángulo correspondiente
6.
92
Una partícula de polvo cae de un ascensor que se está elevando a una velocidad de 2.5 m/seg. Si la
partícula llega al piso en 2 seg. ¿A qué altura del piso estaba el ascensor cuando la partícula empezó a
caer?
Unidad 3
Cinética del
Cuerpo Rígido
Objetivos:
El alumno:
Resolverá
ejercicios
y
problemas
relacionados con las leyes de Newton y
los movimientos de traslación y rotación
pura, mediante la aplicación experimental
de los conceptos de las leyes de Newton.
Organizador anticipado:
Temario:
3.1 Aplicación de las Leyes de Newton,
movimiento de traslación.
A menor velocidad de rotación, mayor inercia. Si
hay mayor velocidad de rotación hay menor
inercia.
3.2 Fricción.
3.3 Energía cinética de rotación.
3.4 Ímpetu e impulso angular.
Temas Selectos de Física I
3 .1.
LEYES DE NEWTON O LEYES
DEL MOVIMIENTO
1a Ley de Newton.
Inercia.
2a Ley de Newton.
Fuerza y aceleración.
3a Ley de Newton.
Acción y Reacción.
Se le llama fuerza a cualquier acción o influencia capaz de modificar el estado
de movimiento o de reposo de un cuerpo, es decir, de imprimirle una aceleración
modificando la velocidad, la dirección y/o el sentido de su movimiento.
EJERCICIO 1
Las siguientes figuras ilustran las dos formas más comunes en las que
utilizamos fuerzas para mover cuerpos, desplazándolos sobre superficies
planas.
1a Ley.
Todo cuerpo permanecerá en estado de reposo o con movimiento rectilíneo
uniforme a menos que una fuerza no equilibrada actúe sobre él. El que la fuerza
ejercida sobre un objeto sea cero no significa necesariamente que su velocidad
sea cero. Si no está sometido a ninguna fuerza no equilibrada, incluido el
rozamiento, en este caso un objeto en movimiento seguirá desplazándose a
velocidad constante.
94
Cinética del Cuerpo Rígido
2a Ley.
La aceleración a que adquiere un cuerpo cuando esta sujeto a la acción de un
sistema de fuerzas no equilibrado, es directamente proporcional a la magnitud de la
fuerza resultante Fr e inversamente proporcional a su masa m.
a = Fr/m
Para entender cómo y por qué se aceleran los objetos, hay que definir la fuerza
y la masa. La fuerza es la acción que al serle aplicada a un cuerpo permite que
éste permanezca en reposo o con movimiento. Una fuerza neta cuyo valor sea
diferente de cero ejercida sobre un objeto, lo acelerará; es decir, el cuerpo
cambiará su velocidad. La aceleración será proporcional a la magnitud de la
fuerza resultante y tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constante
de proporcionalidad es la masa m del objeto. La masa es la medida de la
cantidad de sustancia o materia de un cuerpo y es universal.
Ejemplo: Una masa de 3 kg se somete a una aceleración cuyas componentes
ortogonales son ax = 6 m/seg2 y ay = 15 m/seg2. Calar la magnitud de la fuerza
FR que produce dicha aceleración y la dirección de la misma.
Datos:
M = 3 Kg.
ax = 6 m/seg2 .
ay = 15 m/seg2.
FR = ?.
F=ma
F = 3 * (2 i + 5 j)
F = (6 i + 15 j) Newton
De acuerdo a las indicaciones de tu profesor, resuelve el siguiente problema:
EJERCICIO 2
Un lanzador tira horizontalmente hacia el frente una pelota de béisbol de 1.4 N
de peso a una velocidad de 32 m/seg acelerando uniformemente a la pelota con
su brazo durante 0.09 seg. Si la bola parte del reposo, calcular:
a) La distancia se desplaza la pelota antes de acelerarse.
b) La fuerza ejerce el lanzador sobre la pelota.
95
Temas Selectos de Física I
3a Ley.
Si un cuerpo actúa sobre otro con una fuerza de acción FA (+), éste reaccionara
contra el primer cuerpo con otra fuerza FR(-) de igual valor y dirección, pero de
sentido contrario.
FA = FR
Es decir:
FA – FR = 0
Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza (acción o reacción), este devuelve
una fuerza de igual magnitud, igual dirección y de sentido contrario (reacción o
acción).
Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja
suavemente a un niño, no sólo existe la fuerza que el adulto ejerce sobre el niño,
sino que el niño ejerce una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el adulto.
Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su aceleración será menor.
La tercera ley de Newton también implica la conservación del momento lineal, el
producto de la masa por la velocidad. En un sistema aislado, sobre el que no
actúan fuerzas externas, el momento debe ser constante. En el ejemplo del
adulto y el niño en la pista de patinaje, sus velocidades iniciales son cero, por lo
que el momento inicial del sistema es cero. Durante la interacción operan fuerzas
internas entre el adulto y el niño, pero la suma de las fuerzas externas es cero.
Por tanto, el momento del sistema tiene que seguir siendo nulo. Después de que
el adulto empuje al niño, el producto de la masa grande y la velocidad pequeña
del adulto debe ser igual al de la masa pequeña y la velocidad grande del niño.
Los momentos respectivos son iguales en magnitud pero de sentido opuesto,
por lo que su suma es cero.
Otra magnitud que se conserva es el momento angular o cinético. El momento
angular de un objeto en rotación depende de su velocidad angular, su masa y su
distancia al eje. Cuando un patinador da vueltas cada vez más rápido sobre el
hielo, prácticamente sin rozamiento, el momento angular se conserva a pesar de
que la velocidad aumenta. Al principio del giro, el patinador tiene los brazos
extendidos. Parte de la masa del patinador tiene por tanto un radio de giro
grande. Cuando el patinador baja los brazos, reduciendo su distancia del eje de
rotación, la velocidad angular debe aumentar para mantener constante el
momento angular.
Un libro colocado sobre una mesa es atraído hacia abajo por la atracción
gravitacional de la Tierra y es empujado hacia arriba por la repulsión molecular
de la mesa. Como se ve, se cumplen todas las leyes de Newton.
96
Cinética del Cuerpo Rígido
3.1.1. Aplicaciones de las leyes de Newton
Aplicación de la 2a. Ley de Newton en la solución de problemas que implican
movimiento de traslación y movimiento de rotación pura.
Cuando se aplican las leyes de Newton, sólo debe de interesar el estudio de las
fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo.
Ejemplo, si un cuerpo está en reposo sobre una mesa, las fuerzas que actúan
sobre él son: La fuerza normal n y el peso del cuerpo w, como se ilustran. La
reacción a la fuerza normal n es la fuerza ejercida por el cuerpo sobre la mesa n'.
La reacción al peso w es la fuerza ejercida por el cuerpo sobre la Tierra w'.
En otro ejemplo se tiene una caja que se jala hacia la derecha sobre una
superficie sin fricción, como se muestra en la figura de la izquierda.
En la figura de la derecha se tiene el diagrama de cuerpo libre que
representa a las fuerzas externas que actúan sobre la caja.
Cuando un objeto empuja hacia abajo sobre otro objeto con una fuerza F,
la fuerza normal n es mayor que el peso del objeto w. Esto es, n = w + F.
97
Temas Selectos de Física I
En un tercer ejemplo se tiene un cuerpo de peso w suspendido del techo por
una cuerda de masa despreciable. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son
el peso w y la fuerza ejercida por la cuerda T. Las fuerzas que actúan sobre la
cuerda son la fuerza ejercida por el peso T' y la fuerza ejercida por el techo T''.
A continuación, se hace una serie de sugerencias que te serán útiles para la
solución de problemas en los cuales intervienen las leyes de Newton.
1.
2.
3.
4.
5.
Dibuja un diagrama sencillo y claro del sistema.
Aísla el objeto cuyo movimiento se analiza y dibuja un diagrama de cuerpo
libre para el sistema de fuerzas; es decir, un diagrama que muestre todas las
fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Para sistemas que contienen
más de un objeto, dibuja diagramas de cuerpo libre independientes para
cada uno de ellos.
Establece ejes de coordenadas convenientes para cada objeto y determina
las componentes de las fuerzas sobre estos ejes. Aplica la segunda ley de
Newton, en la forma de componentes. Verifica sus dimensiones, para
asegurarte que todos los términos tengan unidades de fuerza.
Resuelve las ecuaciones planteadas recordando que estas debe se tantas
como incógnitas debas de resolver.
Verifica los resultados ya que es posible que hayas cometido errores de
cálculo.
Ejemplo.
Un bloque se desliza hacia abajo por un sin fricción que tiene una inclinación de
θ = 150. Si el bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la
pendiente es 2 metros. Calcular:
a) La magnitud de la aceleración del bloque.
b) Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente.
98
Cinética del Cuerpo Rígido
Datos:
θ = 15°
d = m.
g = 9.8 m/s2
Σ FY = 0
WY – N = 0
WY = N
como:
WY = W cos
W cos θ = N
Σ FX = m a
WX = m a
Pero:
WX = W sen
g sen = a
a = 9.8 sen 15 = 9.8 ( 0.258)
a = 2.536 m/seg2
99
Temas Selectos de Física I
3 .2.
FRICCIÓN.
Antes abordar el estudio de la fuerzas de rozamiento, es indispensable tener
presentes los siguientes conceptos.
La fuerza llamada PESO.
Cada partícula de un cuerpo es atraída por la Tierra con una fuerza igual al peso
de esa partícula. El sentido de cada una de esas fuerzas está dirigido hacia el
centro de la Tierra y se las considera paralelas entre sí. De tal manera, se
considera a la fuerza Peso del cuerpo como la resultante de todas esas fuerzas
paralelas.
El Peso de un cuerpo es la fuerza con que el cuerpo es atraído por La Tierra en
dirección a su centro. El vector Peso de un cuerpo sigue la dirección de la
vertical, y su punto de aplicación se denomina teóricamente centro de gravedad
o baricentro. En los cuerpos de forma regular y con peso uniforme su baricentro
coincide con su centro geométrico.
La fuerza normal.
Supongamos que un bloque de masa m está en reposo sobre una superficie
horizontal como se muestra en la figura, las únicas fuerzas que actúan sobre él
son su peso w = mg y la fuerza de contacto de la superficie. La fuerza ejercida
por la superficie soporta el bloque, manteniéndolo en reposo. Ya que la
aceleración del bloque es cero, y esto significa que la fuerza de contacto es la
fuerza normal N, porque tiene dirección perpendicular, o normal, a la superficie,
así en la figura N = mg a fuerza normal, reacción del plano o fuerza que ejerce
el plano sobre el bloque depende del peso del bloque, la inclinación del plano y
de otras fuerzas que se ejerzan sobre el bloque.
Si ahora, el plano está inclinado un ángulo θ, el bloque está en equilibrio en
sentido perpendicular al plano inclinado por lo que la fuerza normal N es igual a
la componente del peso perpendicular al plano, w = mg Cos θ
Por lo que en este caso el valor del vector fuerza normal N se obtiene de la
siguiente forma:
N=mg Cos θ
Es también muy importante tomar en cuenta que:
Siempre que se pretende que un cuerpo en estado de reposo se empiece a
mover o si este se mueve través de una superficie o a través de un medio
viscoso, como el aire o el agua, hay una fuerza que se opone al movimiento
debido a que el cuerpo interactúa con sus alrededores. Dicha resistencia recibe
el nombre de fuerza de fricción.
100
Cinética del Cuerpo Rígido
La Fricción se define como fuerza de rozamiento entre dos superficies en
contacto, y es la fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre la
otra, fuerza de fricción cinética, o a la fuerza que se opone al inicio del
movimiento, fuerza de fricción estática. Se genera debido a las imperfecciones,
especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas
imperfecciones hacen que la fuerza entre ambas superficies no sea
perfectamente perpendicular a éstas, sino que forma un ángulo, que
simbolizaremos con la letra griega φ para diferenciarlo de otros ángulos, con la
normal; llamado ángulo de rozamiento. Por tanto, esta fuerza resultante se
compone de la fuerza normal N, la cual es perpendicular a las superficies en
contacto y de la fuerza de rozamiento, paralela a las superficies en contacto.
Como se mencionó anteriormente existen dos tipos de fuerzas de rozamiento o
fricción, la fricción estática y la fricción cinética. La primera es una resistencia
que se debe superar para poner movimiento a un cuerpo con respecto a otro
cuando se encuentran en contacto. La segunda es una fuerza de magnitud
constante que se opone al movimiento una vez que éste ya comenzó. En
resumen, lo que diferencia a un roce con el otro es que el estático actúa cuando
el cuerpo está en reposo y el cinético cuando está en movimiento.
No se tiene una idea perfectamente clara de la diferencia entre el rozamiento
cinético y el estático, pero se tiende a pensar que el estático es mayor que el
cinético, porque al permanecer en reposo ambas superficies, pueden aparecer
enlaces iónicos, o incluso micro soldaduras entre las superficies. Este fenómeno
es tanto mayor cuanto más perfectas son las superficies. Un caso más o menos
común es el del interior del motor que por estar mucho tiempo parado diferentes
factores como la temperatura, la humedad y el polvo provocan que al
permanecer las superficies del pistón y los cilindros durante largo tiempo en
contacto y en reposo, se pueden llegar a soldar entre sí. Y un ejemplo bastante
simple de fricción cinética es la ocurrida con las llantas de un auto al frenar.
3.2.1. Coeficiente de de fricción o de rozamiento
La mayoría de las superficies, aún las que se consideran pulidas, son
extremadamente rugosas a escala microscópica.
Rozamiento por deslizamiento. (a) El cuerpo de arriba va deslizando hacia la
derecha sobre el cuerpo de abajo en este diagrama amplificado. (b) Un
diagrama más amplificado mostrando dos sitios en donde ha ocurrido
adherencia superficial. Se requiere una fuerza para separar estas soldaduras y
conservar el movimiento.
101
Temas Selectos de Física I
Cuando dos superficies son puestas están en contacto, el movimiento de una
respecto a la otra, genera fuerzas tangenciales que definimos anteriormente
como fuerzas de fricción, las cuales tienen sentido contrario a la fuerza aplicada.
La naturaleza de este tipo de fuerza esta ligada a las interacciones de las
partículas microscópicas de las dos superficies que se encuentran en contacto.
El coeficiente de fricción es una cantidad adimensional que expresa la oposición
que ofrecen dichas superficies al movimiento relativo de una con respecto a la
otra. Usualmente se representa con la letra griega μ.
El valor del coeficiente de rozamiento es característico de cada par de
materiales, y no una propiedad intrínseca de un material en especial. Depende
además de muchos factores como la temperatura, el acabado o rugosidad de
las superficies en contacto, la velocidad relativa entre las superficies, el tiempo
que las superficies duran en contacto, etcétera, por lo que su valor se determina
experimentalmente. Sin embargo, existen manuales especializados en los que se
pueden consultar un gran número de coeficientes de fricción de los materiales
mas utilizados.
Ejemplo.
Coeficiente de rozamiento de algunas sustancias:
Coeficientes de rozamiento de algunas sustancias
Materiales en contacto
Fricción estática Fricción cinética
Hielo // Hielo
0,1
0,03
Vidrio // Vidrio
0,9
0,4
Vidrio // Madera
0,2
0,25
Madera // Cuero
0,4
0,3
Madera // Piedra
0,7
0,3
Madera // Madera
0,4
0,3
Acero // Acero
0,74
0,57
Acero // Hielo
0,03
0,02
Acero // Latón
0,5
0,4
Acero // Teflón
0,04
0,04
Teflón // Teflón
0,04
0,04
Caucho // Cemento (seco)
1,0
0,8
Caucho // Cemento (húmedo)
0,3
0,25
Cobre // Hierro (fundido)
1,1
0,3
Esquí (encerado) // Nieve (0ºC) 0,1
0,05
Articulaciones humanas
0,003
0,02
Coeficientes de fricción estática y dinámica.
Usualmente se distinguen dos valores. Como se ilustra en la tabla anterior.
Coeficiente de rozamiento estático μe: se mide cuando ambas superficies en
contacto están en reposo.
102
Cinética del Cuerpo Rígido
Coeficiente de rozamiento dinámico μd: se mide cuando ambas superficies
están en movimiento relativo el uno respecto del otro, puede moverse una sola
superficie o ambas.
El coeficiente de rozamiento dinámico es, para la mayoría de los pares de
materiales, menor que el estático, cosa que puede comprobarse fácilmente.
Cuando intentamos empujar un objeto pesado comprobamos que la fuerza que
tenemos que realizar para que se comience a mover es mayor que la fuerza
necesaria para mantenerlo movimiento. Parece como si el bloque estuviera
inicialmente pegado al suelo de modo que una vez que lo despegamos se
desliza con cierta facilidad.
Cálculo de la fuerza de rozamiento
Conocido el valor del coeficiente de rozamiento aplicable a nuestro caso, la
fuerza de rozamiento FR máxima que puede ejercer una superficie sobre la otra
se expresa como el producto del coeficiente de rozamiento µ por la fuerza
normal N, perpendicular, a ambas superficies.
Leyes del rozamiento para cuerpos sólidos.
La fuerza de rozamiento es paralela a la dirección de la superficie de apoyo.
El coeficiente de rozamiento es prácticamente independiente del área de la
superficie de contacto.
El coeficiente de rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en
contacto, así como del estado en que se encuentren sus superficies.
La fuerza máxima de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza normal
que actúa entre las superficies de contacto.
Para un mismo par de cuerpos, el rozamiento es mayor un instante antes del
movimiento que cuando se está en movimiento.
En el primer caso el fenómeno recibe el nombre de fricción estática o fricción seca,
en el segundo el de fricción cinética o fricción viscosa.
Para comprender mejor la forma que actúan las fuerzas de fricción se tienen las
siguientes leyes empíricas:
La dirección de la fuerza de fricción estática Fe entre cualesquiera dos superficies
en contacto se opone a la dirección de cualquier fuerza aplicada y su valor se
puede obtener mediante:
Fe eN
En donde la constante adimensional e recibe el nombre de coeficiente de
fricción estática, y N es la magnitud de la fuerza normal.
La dirección de la fuerza de fricción cinética Fc que actúa sobre un objeto es
opuesta a la dirección de su movimiento y está dada por:
Fc = cN
En donde c es el coeficiente de fricción cinética.
103
Temas Selectos de Física I
Los valores de c y e dependen de la naturaleza y rugosidad de las superficies
y se obtienen experimentalmente, aunque c es, por lo general, menor que e.
Los valores característicos de varían de casi siempre de 0.05 hasta 1.5.
Antes de resolver problemas de aplicación de las leyes de Newton es muy
importante aprender a dibujar diagramas de cuerpo libre.
3.2.2. Diagrama de Cuerpo Libre
Con el fin de tener buenos resultados al aplicar la segunda ley de Newton a un
sistema mecánico, se debe ser capaz, primero, de saber y reconocer todas
fuerzas que actúan sobre el sistema. Es decir, debemos poder construir el
diagrama de cuerpo libre correcto.
Cuando se hace un diagrama de cuerpo libre se deben de tomar en cuenta cada
uno de los elementos que interactúan en el sistema.
A continuación, se muestran algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre,
para eso se debe saber que: F denota cierta fuerza aplicada, w = mg es el peso
o fuerza que la gravedad ejerce sobre los cuerpos, n es la fuerza normal, f es la
fuerza de fricción y T es la fuerza de tensión en la cuerda que jala al objeto.
A la izquierda se ilustran varios sistemas mecánicos y a la derecha los
diagramas de cuerpo libre correspondientes. El término rugoso significará
únicamente que la superficie tiene fricción.
104
Cinética del Cuerpo Rígido
3.2.3. Fuerza de fricción estática
Existe una fuerza de fricción entre dos objetos que no están en movimiento
relativo. Tal fuerza se llama fuerza de fricción estática. En la siguiente figura
aplicamos una fuerza F que aumenta gradualmente, pero el bloque permanece
en reposo. Como en todos estos casos la aceleración es cero, la fuerza F
aplicada es igual y opuesta a la fuerza de fricción estática Fe , ejercida por la
superficie.
La máxima fuerza de fricción estática Fe max , corresponde al instante en que el
bloque está a punto de deslizar. Los experimentos demuestran que:
Fe máx = eN.
Donde la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de fricción
estática. Por tanto, la fuerza de fricción estática varía, hasta un cierto límite para
impedir que una superficie se deslice sobre otra:
Fe máx <= e.
Ejemplo.
El objetivo de este ejemplo, es analizar el movimiento de los tres cuerpos que
forman el sistema que aparece en la figura.
Un cuerpo A cuelga de una cuerda que pasa a través de una polea de masa
despreciable y que está unida a un bloque B que puede deslizar a lo largo de un
plano horizontal. Sobre el bloque B se coloca un cuerpo C. Se supone que el
rozamiento entre el cuerpo B y el plano horizontal es despreciable. Mientras que
existe un rozamiento entre el cuerpo C y el cuerpo B.
105
Temas Selectos de Física I
Este ejemplo puede servir como experiencia simulada para medir el coeficiente
de rozamiento estático. Se va variando la masa del cuerpo A; es decir, la
aceleración del sistema, hasta observar que el cuerpo C comienza a deslizar
sobre el cuerpo B. Con los datos de las masas de los tres cuerpos calculamos la
aceleración del sistema y a partir de este dato determinamos el coeficiente de
rozamiento estático. De la siguiente forma:
En la figura, vemos el diagrama de fuerzas, a partir del cual obtenemos las
ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos en las distintas
situaciones
 Cuando el cuerpo C está en reposo sobre el cuerpo B.
Ambos tienen la misma aceleración a que la del cuerpo A
mAg-T=mA·a
T-Fr=mB·a
Fr=mC·a
Movimiento del cuerpo A
Movimiento del cuerpo B
Movimiento del cuerpo C
La fuerza de rozamiento Fr es la que hace que el cuerpo C esté ese mueva con el
cuerpo B: el cuerpo B ejerce una fuerza Fr sobre el cuerpo C dirigida hacia la
derecha. Por el Principio de Acción y Reacción el cuerpo C ejerce una fuerza
igual y de sentido contrario sobre el cuerpo B.
De estas ecuaciones obtenemos la aceleración a y la fuerza Fr de rozamiento
entre los cuerpos B y C.
 Cuando el cuerpo C va a empezar a deslizar sobre el cuerpo B
Cuando Fr=mC·a alcance el valor máximo sN o bien, smCg, el cuerpo C va a
empezar a deslizar sobre el cuerpo B.
s es el coeficiente de rozamiento
estático.
106
Cinética del Cuerpo Rígido
Incrementando la masa de A, incrementamos la aceleración, en el momento en
el que el cuerpo C va a empezar a deslizar se cumple que
a= sg
Calculamos la aceleración crítica a, a partir de los valores de las masas mA, mB y
mC en la fórmula anterior y a continuación, obtenemos el valor del coeficiente de
rozamiento estático.

Cuando el cuerpo C desliza sobre el cuerpo B
Cuando se incrementa aún más la masa de A, se incrementa la aceleración a, el
cuerpo C desliza sobre el cuerpo B, el valor de la fuerza de rozamiento
disminuye y vale ahora
Fr= kmC·g
Donde
k
es el coeficiente de rozamiento por deslizamiento.
Las aceleraciones a del cuerpo B y la aceleración a' del cuerpo C ya no son las
mismas
mAg-T=mA·a
Movimiento del cuerpo A
T-Fr=mB·a
Movimiento del cuerpo B
Fr=mC·a’
Movimiento del cuerpo C
Fr= kmC·g
Fuerza de rozamiento
Como la aceleración a de B, es mayor que la aceleración a’ de C, la aceleración
relativa de C respecto de B, es a’-a. Desde el punto de vista de un observador
situado en B, el cuerpo C se mueve hacia atrás con una aceleración |a’-a|.
107
Temas Selectos de Física I
El cuerpo C tarda en llegar al
final del cuerpo B un tiempo t,
dado por
donde x es la distancia recorrida
del cuerpo C sobre el cuerpo B.
La velocidad con respecto al Laboratorio del cuerpo C cuando abandona el
cuerpo B será
donde t es el tiempo que C está deslizando sobre B.
En el momento en el que el cuerpo C abandona el bloque B, la aceleración del
sistema formado por los bloques A y B cambia,
mAg-T=mA·a
T=mB·a

Movimiento del cuerpo
A
Movimiento del cuerpo
B
El cuerpo C abandona el cuerpo B
Ahora el cuerpo C que
tiene una velocidad inicial
vC dirigida hacia la
derecha, se mueve bajo la
sola influencia de su
peso. Describe, por tanto,
un movimiento curvilíneo
bajo
la
aceleración
constante de la gravedad,
o un tiro parabólico.
El tiempo que tarda en llegar al plano horizontal es
donde h es la altura del bloque B.
La distancia que recorre horizontalmente es
x=vCt
108
Cinética del Cuerpo Rígido

El cuerpo C desliza sobre el plano horizontal
Una vez que el
cuerpo C entra en
contacto
con
el
plano
horizontal,
sobre el cuerpo C
actúa una fuerza de
rozamiento que hace
que se pare al cabo
de un cierto tiempo.
Suponemos que la fuerza de rozamiento entre el plano horizontal y el bloque C,
es la misma que entre el bloque C y el bloque B. El cuerpo C, con una velocidad
inicial horizontal vC, se parará después de haber recorrido una distancia x, dada
por
3.2.4. Fuerza de fricción cinética
En la siguiente figura mostramos un bloque de masa m que se desliza por una
superficie horizontal con velocidad constante. Sobre el bloque actúan tres
fuerzas: el peso mg , la fuerza normal N, y la fuerza de fricción Fk entre el bloque
y la superficie. Si el bloque se desliza con velocidad constante, la fuerza aplicada
F será igual a la fuerza de fricción Fk.
Podemos ver que si duplicamos la masa m, se duplica la fuerza normal N, la
fuerza F con que tiramos del bloque se duplica y por tanto Fk se duplica. Por
tanto la fuerza de fricción cinética Fk es proporcional a la fuerza normal N.
Fk = k N
La constante de proporcionalidad
k es un número sin dimensiones que se
denomina coeficiente de fricción cinético.
FRICCIONES.
Ejemplo:
Una mujer en el aeropuerto jala su maleta de 20 kg con una rapidez constante.
La correa de la maleta forma un ángulo θ con respecto a la horizontal. La mujer
jala la correa con una fuerza de 35N. La fuerza de fricción que hay entre la
maleta y el piso es de es 20 N. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para la
maleta y calcula:
109
Temas Selectos de Física I
a) El ángulo que forma la correa con la horizontal.
b) La fuerza normal que ejerce el piso sobre la maleta.
Datos:
m = 20 Kg.
F = 35 N.
FR = 20N.
a)
θ =?
b)
N =?
a) ∑ FX = 0 (No existe aceleración por que se desplaza a velocidad constante)
FX – FR = 0
FX = FR
Como: FX = F cos θ
Tenemos que:
F cos θ = FR
35 cos θ = 20N
θ = cos-1 0.5714
θ = 55.150
b) ∑ FY = 0
N + FY – W = 0
N = W - FY
Como: FY = F sen θ
FY = 35 N sen 55.150
FY = 28.7227 N
N = W - FY N
N = m g – FY
N = 20 Kg. ( 9.8 m/s2) – 28.7227 N
N = 196 N – 28.7227 N
N = 167.27 N
110
Cinética del Cuerpo Rígido
De acuerdo con las indicaciones de tu profesor resuelve el siguiente problema.
EJERCICIO 3
Un bloque de 3 kg parte del reposo en la parte superior de un plano inclinado
que tiene una pendiente de 300. Y se desliza 2 metros hacia abajo en 1.5 seg.
Dibuja una figura que ilustre el enunciado del problema y el diagrama de cuerpo
libre correspondiente que te ayuden a calcular lo siguiente:
a) La magnitud de la aceleración del bloque.
b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano.
c) La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque.
d) La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros.
3.2.4. Principio Fundamental de la Dinámica de Traslación
El cambio de movimiento, llamado cantidad de movimiento p, que experimenta
un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él. Tiene
la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada. Actualmente a la cantidad
de movimiento también se le da el nombre de momento lineal.
La cantidad de movimiento o momento lineal p se define como el producto de la
masa m de un cuerpo en movimiento por su velocidad v.
p = mv
Al ser la masa una magnitud escalar y la velocidad una magnitud vectorial, la
cantidad de movimiento ha de ser necesariamente vectorial de dirección y
sentido iguales las del vector velocidad.
Si se modifica la velocidad de un cuerpo por la acción de una fuerza externa, ya
sea en valor, dirección y/o sentido, se modifica, y en consecuencia, su cantidad
de movimiento. Este cambio no es inmediato, sino que lleva instantes de tiempo.
Así pues podemos relacionar la variación de momento lineal con el tiempo y la
fuerza de la siguiente forma:
F = p/ t Por lo tanto. F = p-po /t-to Tomando en cuenta que. a = v/ t
De esta manera reobtiene otra forma de representar matemáticamente la 2 a Ley
de Newton, que es la expresión conocida como Ecuación de la Dinámica de
Traslación, como se estudia en cinemática.
F = ma
De esta forma podemos redefinir esta ley como:
Si sobre un cuerpo actúan una o varias fuerzas cuya resultante sea diferente de
cero, este adquiere una aceleración con un valor que es directamente
proporcional al valor de la o las fuerzas e inversamente proporcional a la masa
del cuerpo.
a = F/m
Los sistemas de fuerzas en los que esta ley no se verifica se llaman sistemas no
inerciales.
111
Temas Selectos de Física I
3 .3.
ENERGÍA CINÉTICA DE
ROTACIÓN.
Las leyes de Newton facilitan la comprensión y el análisis de muchos problemas
de mecánica. Ahora vamos a examinar otro método basado en uno de los
conceptos verdaderamente fundamentales y universales de la Física: la energía.
Hay muchas clases de energía, por ahora abordaremos principalmente la
energía cinética rotacional, que se relaciona con un cuerpo rígido en movimiento.
t=0
s
θ
r
F
t=t
F
Figura 3.x. Movimiento de
rotación
3.3.1. Trabajo de un peso
En el curso de Física I (tema 3.2) se definió el trabajo como el producto de un
desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del
desplazamiento. T F d Cos . El trabajo del peso de un cuerpo, es decir, el
que la gravedad ejerce sobre ese cuerpo, se obtiene al sustituir peso (P) por
fuerza, por lo tanto el trabajo será:
Trabajo
P h
Donde h es la altura que se desplazará el cuerpo.
Ahora consideremos el trabajo realizado en el desplazamiento rotacional bajo la
influencia de un momento de torsión resultante.
Considerando la fuerza F que actúan al borde de una polea de radio r, como se
muestra en la figura 3.4. El efecto de dicha fuerza es hacer girar la polea a través
de un ángulo
mientras el punto en el que se aplica la fuerza se mueve una
distancia “s”. La distancia del arco “s” se relaciona con un
s
mediante.
r
Así, el trabajo de la fuerza F es por definición
Trabajo
pero
El ángulo
debe
expresarse en radianes
en cualquier sistema de
unidades de modo que
el
trabajo
pueda
expresarse en Joule,
Ergios o libras-pie.
Fs
Fr
Fr es el momento de torsión debido a la fuerza, por lo tanto
Trabajo
La energía mecánica generalmente se transmite en forma de trabajo rotacional.
Cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo que
nos interesa es la rapidez con que se realiza el trabajo rotacional. Por lo tanto, la
potencia rotacional puede determinarse dividiendo ambos lados de la ecuación
por el tiempo t requerido para que el momento de torsión
lleve a cabo un
desplazamiento
.
Trabajo
Potencia
t
Puesto que
112
t
t
representa la velocidad media angular
, escribimos
Cinética del Cuerpo Rígido
Potencia
Observe la similitud entre esta relación y su análoga P
F .
Ejemplo 3.x
Calcular el trabajo para levantar verticalmente una escalera de 2.5 m de longitud
cuya masa es de 20 kg, si ésta tiene su centro de gravedad a 1.6 m del nivel
inferior y se encuentra horizontalmente
El trabajo que se realiza contra la gravedad para poner verticalmente la escalera
es igual al peso de la escalera por la distancia al centro de gravedad.
T
PhCos
Figura del ejemplo3.x
Como el ángulo es cero y P=mg, entonces:
Cos0 1 y P=(20kg)(9.8m/seg2) = 196 Nw
T
(196Nw)(1.6m) 313.6 Joules
1.
Una gata decide trasladar su camada de 6 gatitos, cada una de 200 gr de
tal manera que los lleva (uno por uno) 10 m por el piso horizontal con
rapidez constante y luego los sube a una caja situada a 3 m sobre el piso,
por una escalera. Calcular el trabajo realizado por la gata.
2.
Una lámpara de 2 kg se desprende del techo y cae sobre el piso, desde
una altura de 2.5 m. Calcular la Energía potencial y cinética antes de
soltarse. Obtener el trabajo que realiza la lámpara al caer.
EJERCICIO 4
TAREA 1
3.2.2 Ley de la conservación de la energía
Página 121.
V
m5
m
θ
r
m3
m4
m2
m1
Una partícula que se mueve en un círculo de radio R tiene una velocidad lineal
R
Si la partícula tiene una masa m tendrá una energía cinética igual a
113
Temas Selectos de Física I
1
m
2
k
1
m
2
2
2
R2
Un cuerpo rígido se puede considerar formado por muchas partículas de
diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación 0. La
energía de cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías
cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo.
1
m
2
k
2
r2
Puesto que la constante ½ y la velocidad angular w son las mismas para todas
las partículas, se puede reorganizar la ecuación anterior y obtener:
1
2
k
mr 2
2
La cantidad entre paréntesis,
mr 2 tiene el mismo valor para un cuerpo dado
independientemente de su estado de movimiento. Se define esta cantidad como
“el momento de inercia” y se representa por I:
m1 r1
m2 r2
m3 r3
...
O bien
mr 2
La unidad del SI para la I es el kilogramo- metro al cuadrado. Utilizando esta
definición, podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo en
términos de su momento de inercia y de su velocidad angular.
Nota la similitud entre los términos m para el movimiento lineal e I para el
movimiento rotacional.
La energía se define como la capacidad para realizar un trabajo. Se mide en
Joule que corresponde a 1 Nw m.
Energía cinética: el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a
una variación de su energía cinética:
c
1
m
2
c
2
Energía potencial: el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un
cuerpo es igual a la disminución de la energía potencial:
p
mgh
p
Si es la fuerza conservativa la única fuerza que actúa sobre el cuerpo podemos
decir que:
c
p
c
p
0
Si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se
conserva en todos los puntos de su trayectoria.
114
Cinética del Cuerpo Rígido
Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza para trasladar una partícula
material de un punto A a otro B o depende del camino seguido sino tan sólo de
los puntos inicial y final.
El trabajo total realizado sobre un cuerpo es igual a la suma del trabajo realizado
por las fuerzas conservativas más el trabajo realizado por las fuerzas no
conservativas.
t
c
nc
nc
c
c
p
nc
Ejemplo3.2x
En un esfuerzo por ser estrelle del espectáculo durante el intermedio, una
bastonera hace girar un bastón hecho con 4 esferas sujetas a los extremos de
varillas ligeras, a una altura inusual (fig. 3.2x). Cada varilla mide 1.0 m de largo.
Determine el momento de inercia del sistema alrededor de un eje perpendicular
a la página y que pase por el punto donde se cruzan las varillas.
Solución:
Al aplicar la ecuación
I
mr 2
m1r12
I
(0.2kg)( 0.5m) 2
I
0.25 kg m 2
I
mr 2 obtenemos
m2 r22 m3 r32 m4 r42
(0.3kg)( 0.5m) 2
(0.2kg)( 0.5m) 2
(0.3kg)( 0.5m) 2
Calcular el momento de inercia del sistema que se muestra en la figura 3.2.
Considerando que el peso de las barras que sostienen las masas es
despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de 5 rad/seg. Calcular
la Energía Cinética rotacional (Considerar que las masas están concentradas en
un punto).
Figura del ejemplo 3.2
EJERCICIO 5
115
Temas Selectos de Física I
3 .4 .
ÍMPETU E IMPULSO ANGULAR.
Como decíamos la cantidad de movimiento angular es un vector cuya magnitud es
L I y que está dirigido a lo largo del eje de rotación. Si la torca resultante
sobre el cuerpo es cero, la cantidad de movimiento angular permanece constante
tanto en magnitud como en dirección. A esta ley se le conoce como Ley de
conservación de momento angular.
De acuerdo con la ecuación fundamental del movimiento angular,
f
o
f
y
por lo tanto la segunda ley de Newton quedaría:
t
I
I
o
t
Multiplicando por t, obtenemos:
t
I
f
I
o
Impulso angular = cambio en cantidad de movimiento angular
3.4.1. Momento de inercia de figuras regulares
El momento de inercia es una magnitud cuyo valor depende de la distribución de la
masa respecto del eje considerado, por lo tanto un mismo cuerpo puede tener
infinitos momentos de inercia.
El trompo gira sobre
un eje
Si los elementos de masa de un objeto se distribuyen paralelos al eje de rotación, el
momento de inercia del objeto no cambia. Por lo tanto, la expresión I = MR2 se
puede usar con igual eficiencia para calcular el momento de inercia axial de un
anillo de bordado o de un largo tubo de drenaje. De igual modo, una puerta que
gira en sus bisagras se describe con la misma expresión de momento de inercia
que la tabulada para una varilla larga y delgada que gira alrededor de su extremo.
A continuación tenemos algunas figuras regulares con su momento de inercia
CILINDRO MACIZO
Respecto a su eje
(deducción)
116
Respecto a eje por su centro
(deducción)
Cinética del Cuerpo Rígido
CAPA CILÍNDRICA
Respecto a su eje
Respecto a eje por su centro
(deducción)
(deducción)
CILINDRO HUECO RESPECTO A SU EJE
(deducción)
VARILLA DELGADA
Respecto a eje perpendicular por centro
(deducción)
Respecto
extremo
a
eje
perpendicular
por
(deducción)
117
Temas Selectos de Física I
ESFERA
Maciza respecto a un diámetro
Corteza respecto a diámetro
(deducción)
(deducción)
DISCO
Respecto a eje perpendicular en su
centro
Respecto a un diámetro
(deducción)
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR MACIZO
Eje por su centro y perpendicular a una cara
(deducción)
118
(deducción)
Cinética del Cuerpo Rígido
PLACA PLANA RECTANGULAR
Eje por centro de masa paralelo a un
Eje por un lado
lado
(deducción)
(deducción)
Ejemplo
Una esfera uniforme de 600 g y de 8 cm de radio gira a 40 rev/seg a través del eje
que pasa por el centro. Calcular su:
a) Energía cinética rotacional
b) Cantidad de movimiento angular, y
c) Radio de giro
Solución
El momento de inercia de una esfera uniforme alrededor de un eje que pasa por su
centro se calcula con:
I
2
Mr 2
5
Sustituyendo
I
2
(0.6kg)(0.08m) 2
5
a) Como
1
I
2
Ecr
0.001536kg m
40rev / seg = 251.3 rad/seg, entonces
2
1
(0.001536kg m 2 )(251.3rad / seg ) 2
2
48.5 Joules
b) La cantidad de movimiento angular se obtiene con:
L
I
(0.001536 kg m 2 )( 251 .3rad / seg ) 0.3859 kg m 2 / seg
119
Temas Selectos de Física I
2
c) Para cualquier objeto, I Mk , donde k es el radio de giro o bien es la
distancia a la cual se debe colocar una masa puntual M, si la masa va a tener la
misma I que tiene el cuerpo real. Por lo tanto:
k
k
I
0.001536kg m
=
M
0.6kg
0.05m = 5 cm
Ejemplo
Un disco sólido rueda sobre una pista; en la parte alta de una colina su rapidez
es de 0.9 m/seg. Eliminando las fuerzas disipativas, ¿Cuál será la rapidez
cuando se encuentre a 20 cm por debajo de la cima?
En la cima, el disco posee Ect y Ecr además de la Epg relativa al punto 20 cm
abajo. En el punto final, se elimina la Epg quedando la Ect más la Ecr; por lo
tanto, con h=20cm
( Ect
Ec r ) inicial
1 2
mvi
2
1
I
2
mgh
2
i
mgh
( Ect
1 2
mv f
2
Como se trata de un disco sólido,
se obtiene
1 2
vi
2
1 2
vi
4
gh
1 2
vf
2
Ec r ) final
1
I
2
I
2
f
1 2
mr . También
2
v / r . Al sustituirse
1 2
vf
4
Si sustituimos la v0 = 0.9 m/seg y la h = 0.2 m en la fórmula anterior para
despejar vf nos quedaría:
vf
EJERCICIO 5
1.
2.
3.
1.85 m / seg
Un disco sólido de 15 kg rueda sobre una superficie horizontal a razón de 5
m/s. Calcular su Energía cinética.
Un anillo de 5 cm de radio parte del reposo y rueda hacia debajo de una colina
hasta un punto que se encuentra 2.0 m por debajo del punto inicial. Calcular la
rapidez en ese punto.
Una rueda de 5.0 kg que tiene 30 cm de radio de giro, está rodando a 420rpm.
La torca debida a la fuerza de fricción es de 0.2Nw·m. Calcular el tiempo
necesario para llevar la rueda hasta el reposo.
TAREA 2
¡Ojo! Recuerda que debes resolver la autoevaluación y los
ejercicios de reforzamiento; esto te ayudará a enriquecer los
Página 123.
120
temas vistos en clase.
Cinética del Cuerpo Rígido
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 1
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrega la tarea a tu profesor.
1.
Una saco de cemento de 50 kg se eleva hasta una altura de 30 m en 1.0 min, calcular la potencia
necesaria en Hp.
2.
Un motor de 50 Hp hace funcionar un ascensor de masa igual a 1000 kg. Calcular el tiempo
requerido para que el ascensor suba 35 m.
121
Temas Selectos de Física I
3.
Calcular el trabajo realizado al elevar un cuerpo de 10 kg hasta una altura de 5 m en 2 seg.
Expresarla en Joules y en Ergios.
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
122
Cinética del Cuerpo Rígido
Nombre ____________________________________________________________
TAREA 2
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrega la tarea a tu profesor.
1. Una cuerda enrollada en un disco de 4 kg y 20 cm de diámetro recibe una fuerza de tracción de 50 N
que la desplaza una distancia lineal de 4 m. Calcular el trabajo lineal realizado por la fuerza de 50 N y el
trabajo rotacional realizado sobre el disco.
2. Una barra delgada de 90 cm de largo tiene una masa de 5 kg. Si la barra se apoya sobre su centro y gira
con una velocidad de 20 rad/seg., calcular su cantidad de movimiento
123
Temas Selectos de Física I
3. Una varilla de 400 gr y 40 cm de longitud oscila sobre su centro y gira a 200rpm. Calcular el momento
angular.
4. Un motor de 1500 W impulsa en 6 seg una rueda cuyo momento de inercia es 3 kg·m 2. Si la rueda parte
del reposo, ¿qué rapidez angular media llegó a adquirir?
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
124
Cinética del Cuerpo Rígido
Nombre _________________________________________________________
AUTOEVALUACIÓN
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la
opción que consideres correcta.
1. Selecciona la afirmación verdadera.

Las columnas que sostienen el aula realizan mucho trabajo al sostener carga.

Un alumno que carga su mochila en el trayecto de su casa realiza trabajo.

Juan, que empuja su carro hasta el taller, realiza trabajo.

Todas las anteriores.
2. Una pelota de softbol, un balón de voleibol y uno de basketball se suelta al mismo tiempo desde la cima de
un plano inclinado. ¿Quién llega primero?

La pelota de softbol

El balón de voleibol

El balón de basketball

Llegan todos iguales
3. Una patinadora disminuye su velocidad angular al extender los brazos por:

Perder la mayor parte de su energía al hacer actuar fuerzas no conservativas.

Aumentar el rozamiento de sus patines.

Aumentar su momento de inercia.

Aumentar el rozamiento de sus brazos con el aire.
4. Un volante de masa 20 kg gira a 600 rpm alrededor de su eje. Si el radio de giro del volante es de 0.5 m, su
energía cinética de rotación es:

9869.6 J

10000 J

9354.6 J

8754.5 J
5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones dimensionales es falsa?

Momento de una fuerza: m·l2 ·t-2

Momento angular: m·l2 ·t-1

Impulso angular: m·l·t-2

Cantidad de movimiento: m·l·t-1
125
Temas Selectos de Física I
6. Es el caso de traslación, rotación y de ambos al mismo tiempo.

Un carro desplazándose, nuestro planeta y un disco, tocando en el estéreo

Un carro desplazándose, un disco, tocando en el estéreo y nuestro planeta

Nuestro planeta, un carro desplazándose y un disco, tocando en el estéreo

Un disco, tocando en el estéreo, un carro desplazándose y nuestro planeta
7. Si el calentamiento global continúa, es probable que parte del hielo de los casquetes polares de nuestro
planeta se derrita y el agua se distribuya más cerca del ecuador. Si esto sucede, la duración del día (una
revolución):

Aumentaría.

Disminuiría.

Seguiría igual.

Aumentaría en verano solamente.
8. Dos esferas, una hueca y otra sólida, giran con la misma rapidez angular alrededor de sus centros. Ambas
esferas tienen la misma masa y radio.

La esfera hueca tiene mayor energía.

La esfera sólida tiene mayor energía.

Ambas esferas tienen la misma energía.

Falta mas información.
9. Las unidades en que se expresan la energía son:

Newton y Dinas

Ergios y Dinas

Joule y Newton

Ergios y Joules
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE
 Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te
invitamos a continuar con esa dedicación.
 Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es
necesario que nuevamente repases los temas.
 Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es
insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu
profesor.
126
Consulta las
claves de
respuestas en la
página XXX.
Cinética del Cuerpo Rígido
EJERCICIO DE
REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas, compáralos con tus compañeros y entrégaselos a tu
profesor.
1. Un motor de 1600 W impulsa durante 6 seg una rueda que parte del reposo y cuyo momento de inercia es 2
kg·m2. ¿Cuál será su rapidez angular final?
2. Un disco rectificador de 8 kg tiene 50 cm de diámetro y gira a 800 rev/min. ¿Qué fuerza de frenado se
deberá aplicar tangencialmente al disco para detener su movimiento de rotación en 6 seg?
127
Temas Selectos de Física I
128
Bibliografía General

ALONSO, M. y Finn, E. Física. Volumen I: Mecánica. Addison–Wesley
Iberoamericana. 1986.
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BUECHE, Federico. Física para estudiantes de ciencia e ingeniería, Mc. Graw
Hill. México. 1978.
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CARNAP, R, La estructura lógica de la Física. Editorial Sudamérica. Buenos
Aires. 1965.
RESNICK, R. y HALLIDAY, D., Física. Tomo I, Compañía Editorial
Continental, 7a. impresión, México. 1984.
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RUSELL C. Hibbeler, Ingeniería mecánica: Estática. 7a. edición. 1996.

SERWAY, Raymond, Física. Tomo I, Mc Graw-Hill, 4a. edición, México. 1998.
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SHAMES, Irving H. Mecánica vectorial: Estática, The George Washington
University. 4a. edición, 1998.
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TIPLER, P.A. Física universitaria (2 volúmenes), Editorial Reverté, Barcelona,
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Consulta bibliográfica por internet
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sliding friction. Am. J. Phys. 13 (1945), pp. 43-44
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REIDL C. The coefficient of kinetic friction. The Physics Teacher. September
1990, pp. 402
Vínculos de internet relacionados
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http://www.fisicanet.com.
http://www.tutoria.com.
http://www.Cuerpo Conciente Pilates – Método
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http://www.es.wikipedia.org/wiki/Palanca - 25k.
http://www.ib.edu.ar/bib2007/Szklarz.pdf.
http://www.wiki.gleducar.org.ar/wiki/El cuerpo humano como sistema de
palancas.
http://apuntes.rincondelvago.com/coeficiente-de-friccion.html Pertenece a
grupos.
http://www.itc.edu.co/carreras_itc/mantenimiento/lubricacion/friccion.htm.
http://es.wikipedia.org/wiki/Fricci%C3%B3n.
http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente de rozamiento.
http://es.www.kalipedia.com.
129