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Apuntes de la asignatura
Área de Mecánica de Fluidos
Universidad de Jaén
2 de diciembre del 2008
Índice
Índice
i
1 Introducción
1.1 Sólidos, lı́quidos y gases . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hipótesis de medio continuo: partı́cula fluida . .
1.3 Densidad, velocidad y energı́a interna . . . . . .
1.4 Equilibrio termodinámico local . . . . . . . . . .
1.5 Variables y relaciones termodinámicas de interés
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2 Fluidostatica
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Concepto de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Presión en un punto: Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Resultante de las fuerzas de presión sobre una partı́cula fluida . . . .
2.4 Resultante de las fuerzas másicas sobre una partı́cula fluida . . . . . . . . . .
2.4.1 Sistemas de referencia inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Sistemas de referencia no inerciales: Fuerzas de inercia . . . . . . . .
2.5 Equilibrio de una partı́cula fluida en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Ecuación general de la fluidostática . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Isobaras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Fluidostática de lı́quidos: Aplicaciones a la medida de presión . . . . . . . .
2.6.1 El barómetro de mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 El manómetro en U abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 El manómetro diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Presión absoluta, manométrica y de vacı́o . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Fluidostática de gases: atmósfera estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Atmósfera isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Atmósfera estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Fuerzas sobre superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Fuerzas sobre superficies curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos y en flotación: El Principio de Arquı́medes
2.10 Estabilidad de flotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE
3 Cinemática
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Descripciones Euleriana y Lagrangiana . . . . .
3.2 Movimiento uniforme y estacionario; puntos de remanso
3.3 Trayectorias y sendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Lı́neas, superficies y volúmenes fluidos . . . . . . . . .
3.5 Lı́neas, superficies y tubos de corriente . . . . . . . . . .
3.6 Lı́neas de traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Análisis de volúmenes de control
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Leyes de la mecánica aplicadas a volúmenes fluidos . . . . . .
4.2.1 El principio de conservación de la masa . . . . . . . .
4.2.2 La segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 El primer principio de la termodinámica . . . . . . . .
4.3 Volúmenes fluidos y volúmenes de control . . . . . . . . . . .
4.4 Flujo convectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Ecuación de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Gasto másico y caudal . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Aproximación unidimensional a los términos de flujo .
4.7 Ecuación de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . . . .
4.7.2 Tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3 Ecuación de la cantidad de movimiento . . . . . . . .
4.7.4 Aproximación unidimensional a los términos de flujo
movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.5 Fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas . .
4.7.6 Un primer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.7 La ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Ecuación del momento cinético . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Ecuación de la energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Aproximación unidimensional . . . . . . . . . . . . .
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de cantidad de
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5 Análisis diferencial del flujo
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ecuación de continuidad en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Ecuación de cantidad de movimiento en forma diferencial . . . . . . . . . . . .
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62
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Referencias
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Capı́tulo 1
Introducción
1.1 Sólidos, lı́quidos y gases
A nivel macroscópico, la principal diferencia entre sólidos y fluidos estriba en su capacidad
para deformarse. Los sólidos se deforman poco. Ante la aplicación de una fuerza exterior pequeña, el sólido responde con una deformación pequeña. Tal comportamiento es debido a que
los sólidos presentan una resistencia a la deformación que es proporcional a la magnitud de
dicha deformación. Los fluidos, por el contrario, se deforman con facilidad cuando se les aplica
una fuerza de manera adecuada. La fuerza de resistencia que presentan ante una deformación
resulta no ser proporcional a la deformación, sino a la velocidad a la que se produce ésta. Esta
facilidad para deformarse queda patente en la capacidad de los fluidos para adaptarse a la forma
del contenedor que los limita.
La diferencia entre lı́quidos y gases es menos fundamental. Por una parte, la densidad de los
lı́quidos es tı́picamente mucho mayor que la de los gases, lo que influye de manera determinante
en la magnitud de la fuerza necesaria para producir una aceleración dada. Por otra parte, la
diferencia más importante entre las propiedades mecánicas de ambos estados fluidos radica en
su compresibilidad. Por ejemplo, la variación de densidad que se produce al someter al fluido a
una variación de presión dada es mucho menor en el caso de los lı́quidos que en el caso de los
gases, lo cual puede expresarse mediante la desigualdad
∂ρ
∂ρ
≪
,
(1.1)
∂p T,l
∂p T,g
donde ρ, p y T representan la densidad, presión y temperatura, respectivamente. Para convencernos de lo anterior, basta considerar un globo que contiene aire y uno que contiene agua. La
experiencia nos dice que presionando con las manos convenientemente el primero es posible
reducir su volumen, aumentando de esta manera la densidad en el interior, mientras que el volumen del globo lleno de agua permanece prácticamente constante independientemente de la
presión que ejerzamos. De hecho, se necesita aumentar la presión hasta 106 atmósferas para reducir el volumen del agua a la mitad. De manera similar, si sometemos a un fluido a variaciones
de temperatura, la variación de densidad resultante en el caso de que el fluido sea un lı́quido es
despreciable comparada con la que observarı́amos si el fluido fuese un gas. En vista de su baja
compresibilidad, para una inmensa mayorı́a de aplicaciones resulta una aproximación adecuada
el suponer que la densidad del lı́quido es constante (hipótesis de lı́quido perfecto).
Todas las propiedades macroscópicas vistas anteriormente son resultado de la distinta estructura microscópica que presentan sólidos, lı́quidos y gases. Para entenderlo, hay que tener
1.1. SÓLIDOS, LÍQUIDOS Y GASES
en cuenta que la fuerza que se ejerce entre dos moléculas es función de la distancia entre sus
centros, d, de acuerdo a la ley esquematizada en el gráfico de la figura 1.1. Cuando dicha distanF
d
REPULSION
do
d
ATRACCION
Figura 1.1: Representación esquemática de la fuerza que se ejerce entre dos moléculas como
función de la distancia entre sus centros.
cia se hace muy pequeña, las moléculas tienden a repelerse, mientras que para valores grandes
de d aparece una fuerza de atracción que disminuye con la distancia. Existe un valor crı́tico de
la distancia d = do para el que la fuerza cambia de signo. Esta distancia, que corresponde a
una posición de equilibrio estable para el sistema de dos moléculas considerado, suele tener un
valor en torno a 3 × 10−10 m.
Conocidos los valores medios de la densidad de una sustancia, ρ, y de su masa molecular,
W , es fácil calcular la distancia media, d, entre los centros de las moléculas
1/3
peso 1 molécula
W
W/NA
≡
⇒ d=
(1.2)
ρ=
d3
volumen ocupado por 1 molécula
ρNA
donde NA = 6,023 × 1023 moléculas/mol es el número de Avogadro. El cálculo revela que para
el caso de gases a presión y temperatura ambiente d ≃ 10do (por ejemplo, para el aire se tiene
ρ ≃ 1,2 kg/m3 , W ≃ 29 · 10−3 kg/mol, por lo que obtenemos d ≃ 3,4 × 10−9 m), mientras las
moléculas de sólidos y lı́quidos están mucho más proximas, a distancias d ≃ do (por ejemplo,
para el agua o el hielo se tiene ρ ≃ 103 kg/m3, W ≃ 18 · 10−3 kg/mol, por lo que obtenemos
d ≃ 3,1 × 10−10 m). Las moléculas de los gases, por tanto, experimentan fuerzas de atracción
muy débiles en su movimiento, de forma que en primera aproximación podemos suponer que se
mueven libremente, interaccionando únicamente a través de las colisiones que sufren entre ellas.
Esta estructura explica la alta compresibilidad de los gases (sus moléculas pueden acercarse
más, aumentando la densidad del medio, con relativa facilidad), ası́ como su capacidad para
deformarse y su tendencia a ocupar todo el espacio disponible. En el caso de sólidos y lı́quidos,
por el contrario, las fuerzas entre las moléculas son muy importantes. La fuerza de repulsión
evita que las moléculas puedan estar más proximas de lo que están, lo cual explica la baja
compresibilidad de lı́quidos y sólidos. Su distinta capacidad de deformación se debe a que, a
pesar de su proximidad, las moléculas de los lı́quidos se desplazan unas respecto a otras con
relativa facilidad, mientras que la posición relativa de las moléculas de los sólidos permanece
fija. Cabe mencionar que, a veces, no resulta fácil categorizar a una sustancia como sólido
o lı́quido. Por ejemplo, si dejamos reposar pintura durante un tiempo suficientemente largo
acabará comportandose como un sólido elástico, caracterı́stica que perderá cuando la agitamos
2
1.2. HIPÓTESIS DE MEDIO CONTINUO: PARTÍCULA FLUIDA
violentamente. En todo caso, la inmensa mayorı́a de los fluidos que aparecen en los problemas
ingenieriles, tales como agua o aire, responden perfectamente a la caracterización como gases
o lı́quidos expuesta en los párrafos anteriores.
1.2 Hipótesis de medio continuo: partı́cula fluida
Hay dos caracterı́sticas que complican el análisis del movimiento fluido. Por un lado, la materia en los fluidos está distribuida de una manera discreta. Hemos visto ya como las moléculas de los gases están separadas por grandes espacios vacı́os. Incluso para los lı́quidos, cuyas
moléculas están empaquetadas a una corta distancia, la distribución de la masa es también discreta, al encontrarse esta concentrada en los núcleos de los átomos. Por otro lado, resulta inútil
intentar estudiar la dinámica de un fluido a partir del estudio de la dinámica de cada uno de
sus componentes a nivel microscópico. Por ejemplo, en una primera aproximación al estudio
de los gases monoatómicos, parecerı́a adecuado aplicar las leyes de conservación de la cantidad
de movimiento a cada una de las moléculas que forman el gas. Como el movimiento de cada
molécula influye en las demás a través de los choques que se producen entre ellas, la resolución
del problema conllevarı́a la integración de un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas
que podrı́an en principio resolverse para determinar la evolución de la posición de cada una de
las moléculas con el tiempo (y su velocidad por derivación directa). Este análisis, aparentemente sencillo, resulta imposible de llevar a la práctica debido al gran número de moléculas que
componen el fluido (1016 en un mm3 de aire y muchas más en un mm3 de agua). Incluso aunque
tal cálculo fuera posible, no parece razonable que el ingeniero necesite conocer, por ejemplo,
la posición y velocidad de cada una de las moléculas de agua que circulan por el interior de
una bomba para determinar la relación entre la potencia de ésta y el caudal. Claramente, estas
consideraciones nos llevan a tomar un punto de vista distinto en el análisis de los movimientos
fluidos.
En cursos anteriores hemos estudiado sistemas que presentaban propiedades uniformes que
se describı́an con pocos grados de libertad. Por ejemplo, en el estudio de la evolución de un
gas que se encuentra en el interior de un contenedor, la termodinámica hacı́a uso de la densidad
definida como la masa total del gas dividida por el volumen total del contenedor. En mecánica
describı́amos el movimiento del sólido rı́gido con dos únicos vectores: el vector velocidad y
el vector velocidad angular. En los fluidos, sin embargo, la experiencia nos dice que las cosas
no son tan sencillas. Ası́, gracias a las partı́culas de polvo suspendidas en el aire, todos hemos observado el movimiento que se origina por flotabilidad debido al calentamiento desigual
de nuestro dormitorio. Claramente, un solo vector velocidad no es suficiente para describir el
campo fluido que se establece: el fluido sube y baja de manera desordenada, de forma que se
observan variaciones espaciales y temporales de velocidad. La longitud que hay que recorrer
en un campo fluido para ver variaciones apreciables de las distintas variables fluidas es lo que
denominamos longitud macroscópica caracterı́stica de dicho campo fluido, L. Por ejemplo, para
el movimiento en nuestra habitación, es suficiente recorrer con la vista una distancia de 10 cm
para ver variaciones apreciables de la velocidad (partı́culas de polvo subiendo y bajando). Lo
que si parece claro en relación con dicho problema fluido, sin embargo, es que para describir
el campo de velocidades con bastante fiabilidad bastarı́a dar la velocidad en puntos separados
1 cm (1 mm si quisieramos ser muy precisos). Uno se pregunta si es posible entonces estudiar
el campo fluido dividiendolo en pequeñas parcelas, llamadas partı́culas fluidas, con respecto a
las cuales definiriamos los conceptos de velocidad, densidad, etc. Cada partı́cula fluida estarı́a
3
1.2. HIPÓTESIS DE MEDIO CONTINUO: PARTÍCULA FLUIDA
centrada en una posición x̄, y su tamaño deberı́a ser más pequeño que la longitud macroscópica caracterı́stica de nuestro campo fluido, de manera que el conocimiento de las propiedades
de cada partı́cula fluida en un cierto instante fuera suficiente para una descripción precisa del
campo fluido (velocidad, densidad, etc) en función de la posición, x̄, y del tiempo, t. El suponer
que podemos describir las variables fluidas como función continua de x̄ y de t es lo que se
denomina hipótesis del medio continuo, que es utilizada también en el estudio de la elasticidad
y resistencia de materiales.
Como ejemplo ilustrativo, nos concentramos inicialmente en el concepto de densidad de un
gas. Siguiendo la definición que nos es familiar de cursos anteriores, parece razonable calcular
la densidad
de una partı́cula
P
P fluida de volumen δV centrada en una posición x̄ de acuerdo a
ρ =
mi /δV , donde
mi es la masa de todas las moléculas situadas en el interior de la
partı́cula fluida considerada. Para que la descripción que proponemos tenga sentido, el valor de
ρ debe ser independiente de δV , de manera que en un instante determinado t podamos asignar a
la posición x̄ un valor unı́voco
P de ρ(x̄, t). El rango de δV en que esto es posible se hace patente
al representar el valor de mi /δV como función del tamaño de la partı́cula fluida (δV )1/3 , tal
y como se ve en la figura 1.2.
δV2
ρ
δV1
x
( δV1 ) 1/3 ( δV ) 1/3
2
L
( δV ) 1/3
Figura 1.2: Concepto de partı́cula fluida.
Cuando el tamaño de la partı́cula fluida es muy pequeño (mucho menor que la distancia media entre moléculas d), es muy probable que ésta no contenga en su interior ninguna molécula,
con lo que, de acuerdo a la definición dada más arriba, la densidad resulta ser nula. Al aumentar su tamaño, este alcanzará un valor crı́tico (δV1 )1/3 para el cual encontrarı́amos por primera
vez una molécula en el interior de la partı́cula fluida, con lo que la densidad tomarı́a un valor
finito. Para tamaños mayores, la densidad se verı́a de nuevo reducida hasta que el volumen considerado alcanzara un valor δV2 para el que existirı́a una segunda molécula en el interior de la
partı́cula fluida, dando lugar a un nuevo salto en el valor de la densidad. Estas discontinuidades,
que están intimamente relacionadas con el caracter discreto de los fluidos comentado anteriormente, se harı́an progresivamente más pequeñas al ir aumentando δV , haciéndose inapreciables
cuando el tamaño de la partı́cula fluida (δV )1/3 considerada sea mucho mayor que la distancia media entre moléculas d. En otras palabras,
cuando la partı́cula fluida contiene un número
P
3
de moléculas δV /d ≫ 1 el cociente
mi /δV se hace independiente de δV . Esta independencia se mantiene siempre y cuando (δV )1/3 sea mucho menor que el tamaño macroscópico
caracterı́stico del campo fluido, L. Cuando (δV )1/3 se hace comparable a L la partı́cula fluida
comienza a “engullir” parcelas de fluido con propiedades distintas, con lo que la densidad co4
1.3. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERGÍA INTERNA
mienza a variar. Por ejemplo, para estudiar el campo de densidad en las inmediaciones de un
radiador, el utilizar una partı́cula fluida con un tamaño comparable al mismo radiador llevarı́a
consigo el tener en el interior de dicha partı́cula porciones de fluido con temperatura (y por tanto
densidad) diferente.
La figura 1.2 revela por lo tanto que para ser capaces de definir unı́vocamente las variables
fluidomecánicas en un punto a través del concepto de partı́cula fluida es necesario que el tamaño
macroscópico caracterı́stico del campo fluido que estudiemos sea mucho mayor que la distancia
media entre sus moléculas, esto es
d
≪ 1.
(1.3)
L
Recordando que d ≃ 3,4 × 10−9 m para el aire en condiciones normales, es fácil adivinar que
la condición (1.3) se cumple para la inmensa mayorı́a de los movimientos fluidos de interés
ingenieril, para los que la descripción del campo fluido como un medio continuo resulta adecuada. Entre los pocos ejemplos excepcionales que no cumplen la condición anterior, podemos
mencionar el campo fluido que encontramos en los alrededores de los vehı́culos espaciales en
las altas capas de la atmósfera, donde el gas está tan enrarecido, que la distancia media entre
moléculas deja de ser pequeña en comparación con el tamaño del vehı́culo.
1.3 Densidad, velocidad y energı́a interna
A partir del concepto de partı́cula fluida (centrada en la posición x̄ en el instante t) definimos
densidad como
P
mi
,
(1.4)
ρ(x̄, t) = lı́m
δV →0 δV
donde al tomar el lı́mite se entiende que (δV )1/3 ≫ d, de forma que evitamos el caracter discreto
del fluido asociado a su estructura microscópica. De manera análoga, definimos la velocidad
del fluido como el valor medio de la velocidad de todas las moléculas que se encuentran en δV
(velocidad del centro de gravedad de la partı́cula fluida):
P
mi v̄i
.
(1.5)
v̄ = lı́m P
δV →0
mi
P
P
La energı́a por unidad de masa que existe en el interior de δV viene dada por Ei / mi ,
donde Ei = mi |v̄i |2 /2+Evi +Eri +· · · representa la energı́a de cada molécula (energı́a cinética
de traslación mi |v̄i |2 /2, energı́a de vibración, Evi , rotación, Eri , etc). Es costumbre separar de
la energı́a por unidad de masa la contribución debida al movimiento medio de traslación de las
moleculas, de forma que podemos escribir (se deja como ejercicio el demostrarlo)
P
Ei
lı́m P
= e + |v̄|2 /2,
(1.6)
δV →0
mi
donde
e = lı́m
δV →0
P
mi |v̄i − v̄|2 /2 + Evi + Eri + · · ·
P
mi
(1.7)
es la llamada energı́a interna, que incluye en particular la energı́a cinética asociada al movimiento de agitación de las moléculas respecto al movimiento medio. Tal y como veremos, para
lı́quidos y gases existe una estrecha relación entre la temperatura y la energı́a interna.
5
1.4. EQUILIBRIO TERMODINÁMICO LOCAL
1.4 Equilibrio termodinámico local
La termodinámica clásica trata sistemas que están en equilibrio térmico y mecánico, para
los que todas las propiedades termodinámicas de la materia son uniformes en el espacio y en
el tiempo. Cuando por ejemplo estudiamos mediante la leyes de la termodinámica clásica la
evolución de un cierto sistema, lo que suponemos es que dicha evolución es tan lenta que es
como si el sistema estuviera en equilibrio en cada instante. Entre otros resultados de utilidad,
la termodinámica establece que podemos caracterizar el estado de un sistema de composición
homogénea con solo dar dos variables de estado independientes, estando todas las demás ligadas
a estas dos a través de las llamadas ecuaciones de estado.
La mecánica de fluidos, sin embargo, estudia sistemas que no están en equilibrio y cuyas
propiedades presentan variaciones espaciales y temporales. Estrictamente hablando, los resultados de la termodinámica clásica no serı́an por tanto aplicables al estudio de la mecánica de
fluidos. Afortunadamente, los resultados correspondientes a estados de equilibrio son aproximadamente válidos para la inmensa mayorı́a de los estados de no-equilibrio que analizamos en
mecánica de fluidos. Un observador moviéndose con la velocidad local puede describir el estado
del fluido mediante las variables de la termodinámica, cuyas interrelaciones están determinadas
por las mismas ecuaciones de estado que se aplican a estados de equilibrio.
Mediante la Teorı́a Cinética, esta hipótesis de equilibrio termodinámico local encuentra
justificación teórica rigurosa para el caso de los gases, mientras que para el caso de lı́quidos la
justificación proviene de la amplia evidencia experimental que se tiene al respecto. Las moléculas de un gas intercambian cantidad de movimiento y energı́a a través de las colisiones con sus
vecinas, ajustando su estado de esa manera al estado de agitación térmica que existe localmente.
Las colisiones entre moléculas constituyen por tanto el mecanismo a través del cual el gas alcanza el equilibrio termodinámico. Siempre y cuando la distancia entre choques λ, también llamada
recorrido libre medio, sea mucho más pequeña que la longitud caracterı́stica macroscópica L,
cada molécula sufrirá un número muy elevado de choques antes de alcanzar regiones donde las
propiedades macroscópicas cambian apreciablemente. En todo momento es como si el fluido se
encontrara en cada punto muy cerca del equilibrio termodinámico correspondiente a los valores
locales de densidad y energı́a interna.
El criterio que se debe satisfacer para que un gas se encuentre en equilibrio termodinámico
local es por tanto
λ
≪1
(1.8)
L
donde λ/L es el llamado número de Knudsen. Para que se produzca un choque, el volumen
barrido por una cierta molécula en su movimiento (≃ d2o λ) debe ser igual al volúmen de gas que
le corresponde a cada molécula (d3 ), lo que nos permite escribir λ/d ≃ (d/do )2 (por ejemplo,
en condiciones normales se obtiene λ ≃ 4 × 10−7 m)1 . Cabe hacer notar que el criterio dado en
la Ec. (1.8) es más restrictivo que el correspondiente a la hipótesis del medio continuo (1.3).
1
Si el gas está evolucionando con un tiempo caracterı́stico de variación de las propiedades fluidas macroscópicas T , razonamientos similares a los expuestos más arriba nos llevan a concluir que la condición que se habrı́a de
cumplir para que existiera equilibrio termodinámico local en todo instante es T ≫ τ , donde τ es el tiempo medio
entre colisiones de las moléculas (τ = 10−9 s para aire en condiciones normales de presión y temperatura).
6
1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODINÁMICAS DE INTERÉS
1.5 Variables y relaciones termodinámicas de interés
La hipótesis del equilibrio termodinámico local nos va a permitir por tanto describir el estado
del fluido dando su velocidad v̄(x̄, t) y dos variables termodinámicas cualquiera. La definición
de densidad y energı́a interna está dada más arriba en las Ecs. (1.5) y (1.7). Las demás variables
termodinámicas quedan automáticamente definidas a través de las ecuaciones de estado correspondientes. Por ejemplo, existe una ecuación de estado s = s(e, ρ) (o e = e[s, ρ]) que determina
la entropı́a. Puesto que
de = T ds − pd(1/ρ)
(1.9)
obtenemos la temperatura y la presión a partir de
∂e
T =
∂s ρ
y
p=−
∂e
∂ρ−1
(1.10)
.
(1.11)
s
De manera análoga, se define entalpı́a a partir de los conceptos anteriores como h = e + p/ρ.
En lugar de continuar resumiendo conceptos generales de termodinámica, pasamos ahora a
describir algunas de las ecuaciones de estado que nos serán de más utilidad en el análisis de los
problemas fluidotérmicos, particularizando nuestro tratamiento a dos estados fluidos idealizados
que cubren la inmensa mayorı́a de las aplicaciones de interés, esto es, lı́quidos perfectos y gases
perfectos.
Lı́quidos perfectos
Un lı́quido perfecto cumple que su densidad y su calor especı́fico, c, son constantes, de
manera que podemos escribir
ρ = ρo
(1.12)
y
e = cT + eo ,
(1.13)
donde eo es la energı́a interna correspondiente al cero absoluto de temperatura. A partir de la
definición de entalpı́a obtenemos
h = cT + eo + p/ρo ,
(1.14)
mientras que por integración de (1.9) determinamos la entropı́a en la forma
s = c ln(T ) + so .
(1.15)
Muchos lı́quidos se comportan como perfectos en intervalos razonablemente grandes de presión
y temperatura. Por ejemplo, el agua puede suponerse un lı́quido perfecto de densidad ρo = 103
kg/m3 y calor especı́fico c = 4180 J/(kg · K).
Gases perfectos
Un gas perfecto tiene una ecuación de estado de la forma
p/ρ = Rg T,
7
(1.16)
1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODINÁMICAS DE INTERÉS
donde la constante Rg = Ro /W se determina a partir de la constante universal de los gases,
Ro = 8,314 J/(mol · K), y del peso molecular medio del gas, W . La energı́a interna, entalpı́a y
entropı́a se determinan a partir de
e = cv T + eo ,
h = cp T + eo ,
s = cv ln(p/ργ ) + so ,
(1.17)
(1.18)
(1.19)
donde cv y cp = cv + Rg son, respectivamente, los calores especı́ficos a volumen y presión
constante, y γ = cp /cv . El comportamiento del aire se aproxima mucho al de un gas perfecto
con Rg = 287 J/(kg · K) y cv = 717 J/(kg · K). La ecuación (1.16) deja de ser válida a altas
presiones, siendo reemplazada por ecuaciones de estado más complejas (ecuación de Van der
Waals). Por otra parte, los calores especı́ficos cv y cp son en realidad función de la temperatura, lo que se hace patente cuando la temperatura aumenta lo suficiente (a las temperaturas
tı́picamente alcanzadas en los procesos de combustión, por ejemplo).
8
Capı́tulo 2
Fluidostatica
2.1 Introducción
En este tema abordamos el estudio de fluidos que están en equilibrio mecánico en un cierto
sistema de referencia, dejando a un lado el efecto de la tensión superficial. Tras presentar la
ecuación general de la fluidostática, se estudia la distribución de presiones en fluidos en reposo,
y en movimiento como sólido rı́gido, en presencia de la gravedad, y se determina la distribución
de presiones en la atmósfera estándar como un problema clásico de fluidostática de gases. En
el caso particular del equilibrio de lı́quidos se estudian las fuerzas sobre superficies sumergidas
planas y curvas. Como resultado relevante se deriva el principio de Arquı́medes, que permite
calcular fácilmente las fuerzas y momentos que ejerce un lı́quido sobre un cuerpo sumergido.
2.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie
Las fuerzas que actúan en un fluido (o en un sólido) se pueden clasificar en dos tipos: fuerzas
de largo alcance (también denominadas fuerzas de volumen o fuerzas másicas) y fuerzas de
corto alcance (también denominadas fuerzas de superficie).
Las fuerzas de largo alcance, que incluyen en particular la gravedad y las fuerzas de inercia,
son fuerzas que decrecen lentamente con la distancia (su distancia caracterı́stica de decaimiento
es mucho mayor que la distancia media entre moléculas, d), y su radio de acción es comparable
al tamaño caracterı́stico del campo fluido L. Dichas fuerzas son capaces de penetrar en el interior del campo fluido y actuar sobre todos los elementos de su interior. Su magnitud es constante
en el interior de cada elemento fluido y por tanto son proporcionales a la masa (o volumen) del
mismo. Por este motivo, también se conocen como fuerzas de volumen o fuerzas másicas.
Las fuerzas de corto alcance, que tienen un origen molecular directo, decrecen muy rápidamente con la distancia y son sólo apreciables a distancias del orden de la separación media entre
moléculas d. Puesto que las fuerzas de corto alcance decaen en una distancia comparable a d, su
resultante sobre una partı́cula fluida de tamaño δV (δV 1/3 ≫ d) es proporcional a la superficie
(y no al volumen) de dicha partı́cula fluida. Por este motivo, también se conocen como fuerzas
de superficie. Como se indica en la figura 2.1, la fuerza que se ejerce a través de un elemento
de superficie de área dA y orientación n̄ que separa dos elementos fluidos puede escribirse por
tanto en la forma
f¯n (n̄, x̄, t)dA,
(2.1)
donde la fuerza por unidad de superficie (o esfuerzo) f¯n es función de la orientación n̄, además
2.3. CONCEPTO DE PRESIÓN
n̄
dA
6
*9
x̄
f¯n (n̄, x̄, t)dA
Figura 2.1: Fuerza superficial que se ejerce a través de un elemento de superficie de área dA y orien-
tación n̄. Por convenio, f¯n representa el esfuerzo que ejerce el fluido situado en el lado hacia donde
está dirigido n̄ sobre el fluido situado en el lado contrario.
de la posición x̄ y del tiempo t. En la notación que se sigue tradicionalmente, f¯n es el esfuerzo
que ejerce el fluido situado en el lado hacia donde está dirigido n̄ sobre el fluido situado en el
lado contrario.
2.3 Concepto de presión
Un fluido que está en reposo (v̄ = 0) respecto a algún sistema de referencia no puede soportar esfuerzos cortantes, o de cizalladura. En consecuencia, el esfuerzo sobre cualquier plano de
un fluido en reposo es siempre perpendicular a dicho plano. A continuación demostraremos que
todos los esfuerzos normales que actúan sobre un punto de un fluido en reposo son, de hecho,
idénticos. A este valor único del esfuerzo normal sobre cualquier plano que pasa por un punto
de un fluido en reposo se le denomina presión.
2.3.1 Presión en un punto: Principio de Pascal
En la figura 2.2 se muestra un pequeño elemento de un sistema fluido en reposo de aristas ∆x, ∆z, ∆s y anchura ∆y perpendicular al papel. Supongamos que los esfuerzos normales sobre cada superficie son constantes, por ser las superficies muy pequeñas, aunque en
principio podrı́an ser distintos entre sı́. Denominemos px , pz y pn a los esfuerzos normales
en las superficies ∆z, ∆x y ∆s, respectivamente. Si el elemento fluido está en reposo, la
resultante de las fuerzas en las direcciones x y z, incluyendo el peso del volumen de fluido
dW = ρg 21 ∆x∆y∆z k̄, debe ser nula:
X
Fx = px ∆y∆z − pn ∆y∆s sin θ = 0
(2.2)
X
1
Fz = pz ∆y∆x − pn ∆y∆s cos θ − ρg ∆y∆x∆z = 0
(2.3)
2
Utilizando en estas ecuaciones las relaciones geométricas
sin θ =
∆z
,
∆s
cos θ =
∆x
,
∆s
(2.4)
finalmente se puede escribir
px = pn ,
1
pz = pn + ρg∆z.
2
10
(2.5)
2.3. CONCEPTO DE PRESIÓN
pn
z
6
∆y
θ
∆s
px
θ
∆z
dW
-
x
∆x
pz
Figura 2.2: Equilibrio de una pequeña cuña de fluido en reposo
En consecuencia, del hecho de que un fluido en reposo no puede soportar esfuerzos tangenciales
se deduce que en un fluido en reposo:
• No hay variación de presión en la dirección horizontal
• La variación de presión en la dirección vertical depende de la densidad, la gravedad y la
diferencia de alturas.
Imaginemos ahora que reducimos el tamaño del elemento manteniendo su forma (es decir,
sin modificar el ángulo θ) hasta convertirlo en un punto tomando el lı́mite ∆z → 0. En ese caso
las ecuaciones (2.5) adoptan la forma simplificada:
px = pz = pn ≡ p,
(2.6)
de donde se extrae una nueva conclusión:
• En un fluido en reposo, la presión que actúa sobre cualquier plano que corta una partı́cula
fluida es independiente de la orientación de dicho plano.
2.3.2 Resultante de las fuerzas de presión sobre una partı́cula fluida
Como hemos visto en el apartado anterior, la presión en un punto de un fluido en reposo
no depende de la orientación. Esto implica, como veremos a continuación, que la presión no
produce fuerza resultante sobre una partı́cula fluida, a menos que existan variaciones espaciales
de presión.
En la figura 2.3 se representa un elemento fluido de tamaño infinitesimal ∆x∆y∆z. Supongamos que el fluido está sometido a una distribución de presión
p = p(x, y, z)
(2.7)
que varı́a espacialmente de forma arbitraria. Podemos calcular la fuerza resultante que ejerce esta distribución de presión sobre las superficies que encierran el elemento fluido. Ası́, la presión
11
2.3. CONCEPTO DE PRESIÓN
z
∆y
6
y
p(x, t)
p(x + ∆x, t)
∆z
-
x
∆x
Figura 2.3: Fuerza resultante según x sobre un elemento fluido debida a las variaciones espaciales de
presión.
que actúa sobre la cara izquierda del elemento fluido ejerce una fuerza p(x, y, z)∆y∆z en dirección x mientras que la que actúa sobre la cara derecha ejerce una fuerza p(x + ∆x, y, z)∆y∆z
en dirección −x. En las direcciones y y z ocurre exactamente lo mismo. Utilizando entonces el
desarrollo en serie de Taylor para escribir
p(x + ∆x, y, z) = p(x, y, z) +
∂p
∆x
∂x
se obtienen las tres componentes de la resultante de las fuerzas de presión
∂p
∂p
Fp,x = p ∆y∆z − p +
∆x ∆y∆z = − ∆x∆y∆z
∂x
∂x
∂p
∂p
∆y ∆x∆z = − ∆x∆y∆z
Fp,y = p ∆x∆z − p +
∂y
∂y
∂p
∂p
Fp,z = p∆x∆y − p + ∆z ∆x∆y = − ∆x∆y∆z
∂z
∂z
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
es decir
F̄p = Fp,x ī + Fp,y j̄ + Fp,z k̄ = −∇p ∆x∆y∆z
(2.12)
donde
∂p
∂p
∂p
ī +
j̄ + k̄
(2.13)
∂x
∂y
∂z
representa el vector gradiente de presión.
Sin más que dividir ahora por el volumen del elemento fluido, ∆x∆y∆z, se obtiene la
resultante de las fuerzas de presión por unidad de volumen
∇p =
f¯p = −∇p
(2.14)
que viene dada por el gradiente de presión cambiado de signo. Como puede observarse, no es la
presión sino las variaciones espaciales de presión las que originan una fuerza sobre el elemento
fluido. Esto permite concluir que en ausencia de variaciones espaciales de presión la fuerza neta
será nula.
Para que el fluido esté en reposo, la resultante de las fuerzas de presión sobre cada elemento fluido debe estar en equilibrio con la resultante de las fuerzas másicas, que discutimos a
continuación.
12
2.4. RESULTANTE DE LAS FUERZAS MÁSICAS SOBRE UNA PARTÍCULA FLUIDA
2.4 Resultante de las fuerzas másicas sobre una partı́cula fluida
Además de las fuerzas superficiales, la partı́cula fluida estará sometida en general a fuerzas
de volumen, debidas por ejemplo al campo gravitatorio o a las fuerzas de inercia en el caso de
sistemas de referencia no inerciales. Las fuerzas de volumen de origen electromagnético tienen
interés en ciertas aplicaciones especı́ficas pero, por sencillez, no las incluiremos en nuestro
estudio.
La resultante de las fuerzas másicas que actúan sobre la partı́cula fluida de la figura 2.3, de
volumen ∆x∆y∆z, puede expresarse como
F̄m = ρf¯m (x, y, z)∆x∆y∆z,
(2.15)
donde ahora ρf¯m es la magnitud de la fuerza por unidad de volumen, y f¯m representa por tanto
la fuerza másica por unidad de masa (con dimensiones de aceleración).
Para escribir (2.15) hemos despreciado la variación de las fuerzas de largo alcance en el
interior de la partı́cula fluida, lo que siempre es posible puesto que la distancia caracterı́stica
de decaimiento de f¯m es mucho mayor que d (por ejemplo, para observar un decaimiento apreciable de la gravedad terrestre ḡ hemos de separarnos de la superficie de la tierra una distancia
comparable a su radio R ≃ 6400 km).
2.4.1 Sistemas de referencia inerciales
Si el fluido está en reposo respecto a un sistema de referencia inercial y suponemos que existe un campo gravitatorio con aceleración ḡ, la única fuerza de volumen que sufrirá la partı́cula
fluida representada en la figura 2.3, de masa m = ρ∆x∆y∆z, será su peso
F̄g = mḡ = ρḡ∆x∆y∆z
(2.16)
o, alternativamente, en términos de fuerza por unidad de masa
f¯m = ḡ.
(2.17)
En problemas de fluidostática tomaremos por convenio el eje z en la dirección vertical hacia
arriba, lo que permite escribir ḡ = −g k̄, siendo g = 9,81 m/s2 la aceleración de la gravedad en
la superficie terrestre.
2.4.2 Sistemas de referencia no inerciales: Fuerzas de inercia
Si el fluido está en reposo respecto a un sistema de referencia no inercial que gira con
velocidad angular Ω̄ y cuyo origen sufre una aceleración lineal ā0 , como se indica en la figura
2.4, a la fuerza de la gravedad habrá que sumarle las fuerzas de inercia asociadas al movimiento
no uniforme del sistema de referencia
d
Ω̄
∧ x̄ ,
(2.18)
f¯m = ḡ − āo + Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄) +
dt
donde
x̄ = xī + y j̄ + z k̄
13
(2.19)
2.5. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA FLUIDA EN REPOSO
Ω̄
z
z′
>
∆x∆y∆z
x̄
K
6
1 y
0
0′
- y′
j
ā0
x
x′
Figura 2.4: Elemento fluido ∆x∆y∆z en reposo en un sistema de referencia no inercial (x, y, z) que
gira con velocidad angular Ω̄ y sufre una aceleración ā0 del origen respecto a la referencia inercial (x′ ,
y ′ , z ′ ).
representa el vector de posición relativo al sistema de referencia no inercial. Si miramos el
segundo miembro de la ecuación (2.18) comprobamos que āo es la aceleración de arrastre,
Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄) es la aceleración centrı́peta, y dΩ̄/dt ∧ x̄ la aceleración debida a variaciones
temporales de la velocidad angular. Obsérvese que la aceleración de Coriolis −2Ω̄ ∧ v̄ queda
excluida de las fuerzas de inercia por ser nula la velocidad relativa del fluido, v̄ = dx̄/dt = 0,
en el sistema de referencia considerado.
Algunas de las fuerzas másicas que aparecen en (2.18) son conservativas, esto es, derivan
de un potencial U tal que f¯m = −∇U. Ası́, podemos escribir
ḡ − āo − Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄) = −∇[−ḡ · x̄ + āo · x̄ − (Ω̄ ∧ x̄) · (Ω̄ ∧ x̄)/2].
(2.20)
Sin embargo, se puede demostrar que el término correspondiente a la aceleración debida a
variaciones de la velocidad angular no deriva de un potencial, algo que, como veremos más
abajo, tiene importantes implicaciones en fluidostática de lı́quidos.
2.5 Equilibrio de una partı́cula fluida en reposo
2.5.1 Ecuación general de la fluidostática
La ecuación general de la fluidostática se obtiene de la condición de equilibrio estático de
un elemento fluido infinitesimal. Como hemos visto más arriba, sobre una partı́cula fluida en
reposo actúan dos tipos de fuerzas: las fuerzas de superficie y las fuerzas másicas, entre las que
se encuentran la fuerza de gravedad y las fuerzas de inercia (si elegimos un sistema de referencia
no inercial para describir matemáticamente nuestro problema). En el equilibrio, la resultante de
estas fuerzas sobre el elemento fluido de la figura 2.3 debe ser nula, es decir
F̄p + F̄m = −∇p ∆x∆y∆z + ρf¯m ∆x∆y∆z = 0
(2.21)
Dividiendo la ecuación anterior por el volumen del elemento fluido se obtiene la ecuación
general de la fluidostática
− ∇p + ρf¯m = 0
(2.22)
14
2.5. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA FLUIDA EN REPOSO
Tomando el rotacional de la ecuación (2.22) y teniendo en cuenta que ∇ ∧ (∇p) = 0 en
todo el campo fluido sea cual sea el campo de presión,1 se obtiene la siguiente condición de
compatibilidad para el vector de fuerzas másicas
∇ ∧ (ρf¯m ) = 0
(2.23)
que debe cumplirse siempre si queremos que el fluido esté en reposo. Si las fuerzas másicas no
satisfacen esta condición, no es posible que el fluido permanezca en reposo. En particular, es
fácil comprobar que la condición (2.23) se verifica idénticamente en los siguientes casos:
• Fuerza gravitatoria f¯m = −g k̄ con ρ = ρ(z).
• Fuerza de inercia f¯m = −ā0 debida a la traslación del origen del sistema de referencia.
• Fuerza de inercia f¯m = −Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄) debida a la rotación del sistema de referencia.
También es fácil comprobar que, en el caso de lı́quidos (ρ = cte), la fuerza de inercia ρ dΩ̄/dt∧x̄
debida a la aceleración angular del sistema de referencia no cumple la relación de compatibilidad y, por tanto, no es compatible con el reposo del fluido.
En resumen, teniendo en cuenta la forma del vector de fuerzas másicas f¯m dada por las
ecuaciones (2.17) y (2.18), e ignorando en esta última el término debido a la aceleración angular
del sistema de referencia, la ecuación (2.22) toma la forma
−∇p + ρḡ = 0
−∇p + ρ [ḡ − āo − Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄)] = 0
sistema de referencia inercial
sistema de referencia no inercial
(2.24)
(2.25)
2.5.2 Isobaras
Dado que el gradiente de presión ∇p es, por definición de gradiente de una función escalar,
perpendicular en todos los puntos a las superficies de presión constante, o isobaras, y teniendo
en cuenta que la Ec. (2.22) muestra que ∇p tiene la dirección del vector fuerzas másicas f¯m , podemos concluir que las isobaras son superficies perpendiculares en todo punto al vector fuerzas
másicas f¯m . A continuación se obtienen las isobaras en varios ejemplos de interés práctico.
Lı́quido en reposo sometido a la acción de la gravedad En primer lugar consideraremos
un lı́quido que permanece en reposo sometido a la acción de la gravedad como única fuerza
másica. En este caso, en cualquier punto del fluido la resultante de las fuerzas másicas viene
dada por f¯m = −g k̄. Por estar alineada con la gravedad, la normal a las superficies de presión
constante será vertical en todos los puntos del fluido, luego las isobaras son planos horizontales.
Este razonamiento cualitativo se puede formalizar matemáticamente utilizando la ecuación
general de la fluidostática (2.22). Por ser la resultante de las fuerzas másicas nula en las direcciones x e y tenemos
∂p
∂p
=
= 0 → p = p(z)
(2.26)
∂x
∂y
1
Resulta sencillo comprobar este resultado utilizando un sistema de coordenadas cartesiano rectangular
ī
∂
∇ ∧ (∇p) = ∂x
∂p
∂x
j̄
∂
∂y
∂p
∂y
k̄ ∂ ∂p
∂ ∂p
∂ ∂p
∂ ∂p
∂ ∂p
∂ ∂p
∂ =
−
ī
+
−
j̄
+
−
k̄ = 0
∂z ∂y ∂z
∂z ∂y
∂z ∂x ∂x ∂z
∂x ∂y ∂y ∂x
∂p ∂z
donde la última relación es consecuencia de la igualdad de las derivadas cruzadas de la presión.
15
2.5. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA FLUIDA EN REPOSO
luego la presión es sólo función de la coordenada vertical, z. En esta dirección, la condición de
equilibrio toma la forma
∂p
−
− ρg = 0
(2.27)
∂z
cuya integración proporciona
p + ρgz = cte
(2.28)
Ası́ pues, las isobaras p = cte se reducen en este caso a superficies z = cte, esto es, planos
horizontales, como habı́amos anticipado con el razonamiento cualitativo.
Lı́quido en reposo sometido a la acción de la gravedad y una aceleración lineal uniforme
Consideraremos el mismo caso del apartado anterior, pero suponiendo ahora que el lı́quido se
encuentra en reposo respecto a un sistema de referencia no inercial que sufre una aceleración
lineal a0 ī constante según x. Para estudiar el equilibrio del lı́quido en dicho sistema de referencia es preciso añadir una fuerza de inercia constante −ρa0 ī al vector de fuerzas másicas, que
ahora tiene la forma f¯m = −g k̄ − a0 ī. Este vector es constante en todo el espacio, por lo que
concluimos que las isobaras son planos perpendiculares al mismo, al igual que sucedı́a en el
caso anterior.
En efecto, integrando la ecuación general de la fluidostática
−
∂p
=0
∂y
∂p
− ρa0 = 0
∂x
∂p
− − ρg = 0
∂z
−
→
p = p(x, z)
(2.29)
→
p + ρa0 x = C1 (z) + cte
(2.30)
→
p + ρgz = C2 (x) + cte
(2.31)
de donde se obtiene
p + ρ(gz + a0 x) = cte
(2.32)
Por tanto, las isobaras p = cte son en este caso planos, dados por la ecuación implı́cita gz +
a0 x = cte, que están inclinados un ángulo α = arctg(a0 /g) respecto a la horizontal.
Lı́quido contenido en un recipiente cilı́ndrico cerrado que gira con velocidad angular constante y sometido a la acción de la gravedad En este caso consideramos el recipiente cilindrico cerrado de la Fig. 2.5. Supondremos que el recipiente, de radio R, está parcialmente lleno
de lı́quido hasta una altura H0 , estando el resto del volumen ocupado por un gas. Se trata de
estudiar la distribución de presiones que aparece en presencia de la gravedad cuando el depósito
se pone a girar alrededor de su eje de simetrı́a con velocidad angular constante Ω.
Para la descripción del problema conviene utilizar un sistema de referencia no inercial girando con el depósito, respecto al cual los fluidos se encuentran en reposo. Elegimos arbitrariamente el origen del sistema de referencia en el punto de la entrefase agua-aire situado en el eje
de giro, con el eje z orientado en la dirección de la vertical local, de manera que Ω̄ = Ωk̄. Conviene observar que la posición del origen del sistema de referencia es, en principio, desconocida
y deberá obtenerse como parte de la solución del problema.
16
2.5. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA FLUIDA EN REPOSO
Ω̄ = Ωk̄
6
gas
T0
ḡ
?
-
6
6
z
F (r)
?
6
6
H0
0
H
lı́quido
?
?
?
f¯m
?
-
−g k̄
r
Ω2 rēr
s
f¯m
?U
f¯m
(b)
(a)
Figura 2.5: Recipiente cilı́ndrico parcialmente lleno de un lı́quido de densidad ρ, con el resto del volumen ocupado por un gas ideal: (a) en reposo; (b) girando con velocidad Ω̄ = Ωk̄ alrededor del eje del
cilindro.
En dicho sistema de referencia, la resultante de las fuerzas másicas f¯m incluye tanto la
gravedad −g k̄ como la fuerza centrı́fuga de inercia
ī j̄ k̄ − Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄) = −Ωk̄ ∧ 0 0 Ω = −Ωk̄ ∧ (−Ωy ī + Ωxj̄)
x y z ī
j̄
k̄
= 0
0 −Ω = Ω2 (xī + y j̄) = Ω2 rēr (2.33)
−Ωy Ωx z donde r es la distancia del punto considerado al eje de giro y ēr es el versor unitario en dirección
radial, como se indica en la Fig. 2.5.
La Ec. (2.33) muestra que la fuerza centrı́fuga tiene dirección radial y crece linealmente con
la distancia r al eje de giro. Ası́ pues, la resultante de las fuerzas másicas en un punto genérico
del lı́quido depende ahora de la posición del punto considerado. Por ejemplo, a lo largo del
eje de giro, r = 0, el término de fuerza centrı́fuga se anula y el vector de fuerzas másicas se
reduce a la aceleración de la gravedad, luego las isobaras son localmente horizontales. Por el
contrario, si consideramos puntos a distancias crecientes del eje, la fuerza centrı́fuga aumenta
con r y con ella cambia la fuerza másica neta aplicada sobre cada punto, tanto en dirección
como en módulo.
Podemos anticipar, por tanto, que las isobaras serán superficies de revolución que formarán
un ángulo creciente con la horizontal a medida que nos alejemos del eje de giro, y con pendiente
17
2.5. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA FLUIDA EN REPOSO
nula en el propio eje. En efecto, si integramos la ecuación fundamental de la fluidostática
∂p
+ ρΩ2 x = 0
∂x
∂p
+ ρΩ2 y = 0
−
∂y
∂p
− − ρg = 0
∂z
−
obtenemos
→
→
→
ρΩ2 x2
= C1 (y, z) + cte
2
ρΩ2 y 2
p−
= C2 (x, z) + cte
2
p−
p + ρgz = C3 (x, y) + cte
Ω2 r 2
= cte
p + ρ gz −
2
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
donde r = (x2 + y 2)1/2 es la distancia al eje del cilindro. Por tanto, las isobaras p = cte son, en
este caso, paraboloides de revolución de la forma z − Ω2 r 2 /(2g) = cte.
Para evaluar el valor de la constante de integración que aparece en (2.37) particularizamos
el lado izquierdo de la ecuación en el origen del sistema de referencia, lo que permite escribir
para la fase lı́quida
Ω2 r 2
,
(2.38)
p = p0 − ρ gz −
2
donde p0 es precisamente la presión en el origen, en principio desconocida.
Para poder integrar el campo de presiones en la fase gaseosa se requiere información adicional de la ley de temperaturas. Por ejemplo, si suponemos que la temperatura del aire es constante e igual a T0 podemos integrar la ecuación fundamental de la fluidostática con densidad
ρg = p/(Rg T0 ) variable para obtener2
(gz − Ω2 r 2 /2)
(2.39)
p = p0 exp −
Rg T0
A lo largo de la superficie de separación entre los dos fluidos, zs = F (r), la presión ha de
ser igual en el lı́quido y el gas, con lo que se debe verificar
Ω2 r 2
Ω2 r 2
g
F (r) −
= p0 − ρg F (r) −
(2.40)
p0 exp −
Rg T0
2g
2g
relación que sólo puede satisfacerse si F (r) = Ω2 r 2 /(2g), que representa la forma de la entrefase lı́quido-gas. Tal y como puede verse, la forma de ficha entrefase resulta ser independiente
de los valores de ρ, T0 , p0 y Rg .
Finalmente, conocida la forma de la entrefase lı́quido-gas estamos en disposición de calcular
la posición del origen del sistema de referencia, cuya elevación H sobre el fondo del depósito se
puede calcular imponiendo la conservación del volumen de lı́quido entre la condición de reposo
(a) y la condición de giro (b) indicadas en la Fig. 2.5
Z R
2
2
πR H0 = πR H +
2πrF (r)dr
(2.41)
0
Obsérvese que la relación 2.39 puede ser linealizada para valores de ξ = (gz − Ω2 r2 /2)/(Rg T0 ) mucho
menores que la unidad
2
p = p0 exp ξ = p0 (1 + ξ + . . . ) = p0 + ρ0 (gz − Ω2 r2 /2) + . . .
lo que es equivalente a considerar el aire como incompresible. En particular, para gz − Ω2 r2 /2 ≪ Rg T0 la
aproximación de presión constante resulta suficientemente buena.
18
2.6. FLUIDOSTÁTICA DE LÍQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESIÓN
vacı́o
p2 , z2
6
h
?
p1 , z 1
z
pa
6
Hg
Figura 2.6: Representación esquemática de un barómetro de mercurio.
La solución del problema queda ası́ completamente determinada excepto por el nivel de presión
p0 en el origen, que solo podrı́a determinarse dando el valor de la presión en algún punto.
2.6 Fluidostática de lı́quidos: Aplicaciones a la medida de
presión
2.6.1 El barómetro de mercurio
La aplicación práctica más sencilla de la ecuación general de la hidrostática es el barómetro
de mercurio, un instrumento que sirve para medir la presión atmosférica. Se puede construir un
barómetro llenando con mercurio un tubo cerrado por uno de sus extremos, dándole la vuelta
y sumergiendo el extremo abierto en un recipiente lleno de mercurio, como se indica en la
Fig. 2.6. Esto produce un vacı́o en la parte superior del tubo, dado que la presión de vapor del
mercurio a la temperatura ambiente es muy pequeña (pvap,Hg = 0,16 Pa a 20 o C). Al estar la
superficie superior del mercurio a presión nula, la presión atmosférica fuerza a la columna de
mercurio a elevarse hasta una altura h ≃ 760 mm, de modo que el peso de la columna de lı́quido
compensa exactamente el efecto de la presión atmosférica.
La ecuación general de la fluidostatica aplicada al mercurio toma la forma
p + ρHg gz = C ≡ p2 + ρHg gz2 = pvap,Hg + ρHg gh
(2.42)
donde ρHg = 13545 kg/m3 es la densidad del mercurio, g = 9,81 m/s2 la aceleración de la
gravedad, y la constante de integración se ha evaluado en la superficie libre dentro del tubo
(punto 2), donde p2 = pvap,Hg es la presión de vapor del mercurio y z2 = h la altura de la
columna de lı́quido. Particularizando ahora el lado izquierdo de (2.42) en la superficie libre del
recipiente (punto 1) se obtiene una expresión explı́cita para la presión atmosférica
p1 + ρHg gz1 = pvap,Hg + ρHg gh
→
pa ≃ ρHg gh ≃ 101300 Pa = 1 atm
(2.43)
donde hemos sustituido p1 = pa , z1 = 0 y hemos despreciado la contribución de la presión de
vapor del mercurio, por ser mucho menor que pa .
19
2.6. FLUIDOSTÁTICA DE LÍQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESIÓN
En los barómetros se utiliza el mercurio por ser el lı́quido común más denso que existe; un
barómetro de agua requerirı́a una columna de altura
hagua ≃
pa
ρagua g
= 10,3 m
(2.44)
En 1643 el fı́sico y matemático italiano Evangelista Torricelli descubrió el principio del
barómetro, por el que pasó a la posteridad, demostrando ası́ la existencia de la presión atmosférica. Este principio fue confirmado posteriormente por Pascal, realizando mediciones a
distintas alturas.
2.6.2 El manómetro en U abierto
Un manómetro es un instrumento de medición que sirve para medir la presión de un fluido
contenido en un recipiente cerrado. Los manómetros basados en columna lı́quida emplean un
lı́quido manométrico, generalmente mercurio, que llena parcialmente un tubo en forma de U
como se observa en la Fig. 2.7. Cuando uno de los extremos se conecta a una cámara presurizada, el mercurio se eleva en el tubo abierto hasta que se alcanza el equilibrio. La diferencia h
entre los dos niveles de mercurio es una medida de la presión manométrica: la diferencia entre
la presión absoluta en la cámara y la presión atmosférica en el extremo abierto.
La ecuación general de la fluidostática aplicada al fluido contenido en la cámara, A, y al
fluido manométrico, B, toma la forma
p + ρA gz = CA ≡ p1 + ρA gz1
p + ρB gz = CB ≡ pa + ρB gz2
(2.45)
(2.46)
donde la constante de integración del fluido B se ha evaluado en la superficie libre del tubo
abierto a la atmósfera, donde p = p2 ≡ pa y z = z2 , y la constante del fluido A se ha evaluado
en la entrefase A-B, donde p = p1 (desconocida) y z = z1 . Particularizando (2.46) en el punto
1 obtenemos la presión en la entrefase
p1 = pa + ρB g(z2 − z1 ) = pa + ρB gh
(2.47)
y utilizando este valor en (2.45) podemos determinar finalmente la presión en el interior de la
cámara
p0 = pa + ρB gh + ρA g(z1 − z0 )
(2.48)
Conviene hacer notar que en una entrefase plana entre dos fluidos en reposo el equilibrio de
fuerzas aplicado a un elemento diferencial de la entrefase implica que las presiones a ambos
lados de la misma deben ser iguales. Por este motivo hemos podido evaluar p1 utilizando (2.46)
y a continuación utilizar este valor en (2.45).
La Ec. (2.48) admite una simplificación importante cuando el fluido A se trata de un gas. Es
este caso la densidad del fluido A es muy pequeña comparada con la del fluido B, ρA ≪ ρB , y
siempre que z1 − z0 sea comparable a h podremos despreciar el término ρA g(z1 − z0 ) debido
a la diferencia de alturas entre el punto 1 y el depósito. En este caso, la presión en el depósito
vendrá dada por
p0 ≃ p1 = pa + ρB gh (A es un gas)
(2.49)
20
2.6. FLUIDOSTÁTICA DE LÍQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESIÓN
pa
p2 , z 2
6
h
p0 , z 0
0
A
?
p1 , z 1
z
B
6
Figura 2.7: Representación esquemática de un manómetro en U abierto.
-
I
II
dispositivo
de flujo
p2 , z 2
A
A
6
h
?
p1 , z 1
z
-
B
6
Figura 2.8: Representación esquemática de un manómetro en U diferencial.
2.6.3 El manómetro diferencial
El manómetro diferencial es un instrumento de medición que permite medir la diferencia
de presión entre dos puntos I y II aguas arriba y aguas abajo de un dispositivo de flujo situado
en un conducto por el que fluye un cierto fluido de trabajo, al que llamaremos fluido A. Dicho
dispositivo de flujo puede ser de cualquier tipo: un filtro, una válvula, un estrechamiento, un
difusor, un codo, una bomba, u otros. Al igual que el manómetro en U abierto, el manómetro
diferencial emplea un lı́quido manométrico, al que llamaremos fluido B, que llena parcialmente
un tubo en forma de U. Como ilustra la Fig. 2.8, uno de los extremos del tubo se conecta a
la sección I aguas arriba del dispositivo de flujo y el otro a la sección II aguas abajo. Como
consecuencia de la diferencia de presión entre I y II, el fluido manométrico se eleva en el tubo
de la derecha hasta que se alcanza el equilibrio. En el equilibrio, la diferencia h entre los niveles
de mercurio en las dos ramas del manómetro es una medida de la diferencia de presión entre
ambos puntos.
21
2.6. FLUIDOSTÁTICA DE LÍQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESIÓN
La ecuación general de la fluidostática aplicada al fluido A en reposo contenido en las ramas
izquierda y derecha del manómetro toma la forma
p + ρA gz = CA1 ≡ p1 + ρA gz1
p + ρA gz = CA2 ≡ p2 + ρA gz2
(A rama izquierda)
(A rama derecha)
(2.50)
(2.51)
(B)
(2.52)
mientras que para el fluido manométrico tenemos
p + ρB gz = CB ≡ p2 + ρB gz2
donde las constantes se han evaluado en las entrefases A-B izquierda, Ec. (2.50), y derecha,
Ecs. (2.51) y (2.52). Restando ahora la Ec. (2.50) particularizada en I de la Ec. (2.51) particularizada en II
pI +ρA gzI = p1 + ρA gz1
− pII +ρA gzII = p2 + ρA gz2
↓
(pI + ρA gzI ) − (pII + ρA gzII ) = (p1 − p2 ) + ρA g(z1 − z2 )
(2.53)
y utilizando la Ec. (2.52) particularizada en 1 para expresar la diferencia de presiones p1 − p2
en la forma
p1 − p2 = ρB g(z2 − z1 )
(2.54)
se obtiene finalmente
(pI + ρA gzI ) − (pII + ρA gzII ) = (ρB − ρA )g(z2 − z1 ) = (ρB − ρA )gh
(2.55)
ecuación que liga las presiones y alturas en las secciones I y II aguas arriba y aguas abajo
del dispositivo de flujo con la diferencia de densidad entre el fluido manométrico y el fluido de
trabajo, ρB −ρA , y la diferencia h entre los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro.
Obsérvese que, de acuerdo con la Ec. (2.55), la sensibilidad del manómetro será tanto mayor
cuanto menor sea la diferencia ρB − ρA entre la densidad del fluido manométrico y el fluido de
trabajo.
La ecuación anterior puede simplificarse aún más en dos casos de interés práctico. Si el
conducto es horizontal tenemos zI = zII y la Ec. (2.55) se reduce a
pI − pII = (ρB − ρA )gh (conducto horizontal)
(2.56)
mientras que si el fluido de trabajo es un gas podemos despreciar todos los términos que contengan la densidad del gas por ser ρA ≪ ρB y escribir directamente
pI − pII ≃ ρB gh (A es un gas)
(2.57)
Nótese que en este último caso la posible diferencia de altura entre los puntos I y II deja de
afectar al resultado, pues va multiplicada por ρA g y su efecto resulta por tanto despreciable.
22
2.7. FLUIDOSTÁTICA DE GASES: ATMÓSFERA ESTÁNDAR
2.6.4 Presión absoluta, manométrica y de vacı́o
La medida de la presión en un fluido puede hacerse relativa a un nivel de presión nula, en
cuyo caso se denomina presión absoluta, o relativa a la presión atmosférica local, como ocurre
si se utiliza el manómetro abierto, y se habla en este segundo caso de presión manométrica, si
la presión local es mayor que la atmosférica, o de presión de vacı́o, si la presión local es menor
que la atmosférica. Es decir,
presión absoluta
p
presión manométrica p′ = pman = p − pa
presión de vacı́o
pvac = pa − p
cuando p > pa
cuando p < pa
Insistimos en que la presión manométrica y de vacı́o están referidas a la presión atmosférica
local, que no tiene por que coincidir con la presión atmosférica a nivel del mar en condiciones
estandard (1 atm = 101300 Pa). Por ejemplo, si una medida de presión se realiza en un lugar
y momento en que la presión atmosférica es de pa = 90000 Pa (porque, por ejemplo, estamos
a cierta altura sobre el nivel del mar, o la medida se realiza en un dı́a de bajas presiones) y se
obtiene una medida de p = 120000 Pa, la presión manométrica será en este caso de pman =
p − pa = 30000 Pa.
2.7 Fluidostática de gases: Distribución de presiones en la
atmósfera estándar
La ecuación general de la fluidostática (2.22) aplicada a un gas perfecto en reposo en un
sistema de referencia inercial toma la forma
− ∇p + ρḡ = −∇p +
p
ḡ = 0,
Rg T
(2.58)
donde se ha utilizado la ecuación de estado de los gases perfectos (p = ρRg T ) para tener en
cuenta las variaciones de densidad debidas a los cambios de presión o temperatura. Por ser la
gravedad ḡ = −g k̄ la única fuerza másica, podemos escribir
∂p
∂p
=
=0
∂x
∂y
o bien
→
p = p(z)
→
dp
g
+
dz = 0,
p
Rg T
−
dp
p
−
g = 0,
dz Rg T
(2.59)
(2.60)
ecuación que relaciona la variaciones de presión, p, con las variaciones de altura, z, en un
gas perfecto sometido a la acción de la gravedad. En la ecuación anterior, la aceleración de la
gravedad g y la constante del gas Rg toman valores fijos, mientras que la temperatura podrı́a,
en principio, variar con la altura. Ası́ pues, antes de integrar la Ec. (2.60) es preciso especificar
la ley T = T (z).
23
2.7. FLUIDOSTÁTICA DE GASES: ATMÓSFERA ESTÁNDAR
2.7.1 Atmósfera isoterma
Si suponemos que la temperatura es constante, T = T0 , como ocurre, por ejemplo, en la
atmósfera terrestre cerca de la superficie, podemos integrar la Ec. (2.60)
Z
Z
dp
g
+
dz = 0,
(2.61)
p
Rg T0
para obtener
ln p +
g
z = cte.
Rg T0
(2.62)
Particularizando esta ecuación en z = 0, donde supondremos conocido el valor de la presión,
p = p0 , obtenemos el valor de la constante (cte = ln p0 ) que, sustituida en (2.62), proporciona
la ley para la presión en función de la altura en un gas isotermo
g
p = p0 exp −
z .
(2.63)
Rg T0
Como puede verse, en un gas isotermo la presión cae exponencialmente con la altura, con una
distancia caracterı́stica de decaimiento ∆z ∼ Rg T0 /g ≈ 8,4 km para T0 = 288K.
2.7.2 Atmósfera estándar
Aunque cerca de la superficie terrestre la aproximación de atmósfera isoterma resulta apropiada, para determinar correctamente la distribución de presión atmosférica hay que tener en
cuenta que la temperatura atmosférica disminuye linealmente desde la superficie hasta una altura de aproximadamente 11000 m (troposfera), se mantiene constante entre los 11000 y los
20000 m (estratosfera), y vuelve a aumentar por encima de los 20000 m. Matemáticamente, la
ley que expresa la variación de la temperatura con la altura se puede escribir en la forma
(
T0 − Bz
0 < z < 11000 m,
T =
(2.64)
T1
11000 < z < 20000 m,
donde T0 es la temperatura a nivel del mar (z = 0), B es el gradiente térmico en la troposfera, i.e.
la velocidad a la que decae la temperatura con la altura, y T1 es la temperatura de la estratosfera.
Los valores de T0 y B varı́an ligeramente de un dı́a a otro y de un lugar a otro, pero existe
un acuerdo internacional por el que se definen los valores estándar: T0 = 288,16 K y B =
0,00650 K/m ≡ 6,5 K/km, lo que conduce al valor T1 = 288,16 − 6,5 · 11 = 216,66 K ≡
−56,5o C. En la Fig. 2.9(a) se representa la variación de temperatura con la altura en dicha
atmósfera estándar.
Introduciendo esta expresión para la variación de la temperatura con la altura en la Ec. (2.60)
resulta
Z
Z
dp
g
dz
=−
(2.65)
p
Rg
T0 − Bz
que se puede integrar fácilmente para dar
ln p −
g
ln(T0 − Bz) = cte
Rg B
24
(2.66)
2.7. FLUIDOSTÁTICA DE GASES: ATMÓSFERA ESTÁNDAR
20
18
16
14
z (km)
12
10
39%
8
6
4
69%
2
84%
94%
0
0
0.2
0.4
0.6
p (atm)
0.8
1 −60
−40
−20
T (ºC)
0
20 0
0.5
1
ρ (kg/m3)
1.5
Figura 2.9: Distribución de (a) temperatura, (b) presión y (c) densidad en la atmósfera estándar. Lı́nea
roja: troposfera (0 < z < 11 km), lı́nea azul: estratosfera (11 < z < 20 km).
El valor de la constante de integración se puede obtener particularizando esta expresión a nivel
del mar, z = 0, donde la presión atmosférica, p = pa , es conocida. De este modo tenemos
cte = ln pa −
g
ln T0
Rg B
(2.67)
Finalmente, sustituyendo este valor en (2.66) obtenemos la distribución de presiones en la
atmósfera estándar
g
Bz Rg B
p = pa 1 −
0 < z < 11000 m
(2.68a)
T0
donde z representa la altura sobre el nivel del mar. Por encima de los 11000 m se debe utilizar
la Ec. (2.63) escrita en la forma
p = pa
|
B · 11000
1−
T
{z 0
p11 km
R gB
g
}
g
exp −
(z − 11000)
Rg T1
11000 < z < 20000 m (2.68b)
Las Figs. 2.9(b) y (c) ilustran, respectivamente, la variación de la presión con la altura y la
correspondiente variación en la densidad del aire con la altura en la atmósfera estándar, esta
última calculada utilizando las leyes (2.64) y (2.68) junto con la ley de los gases ideales, ρ =
p/(Rg T ).
En la Fig. 2.9(c) se indica el valor de la densidad del aire a cuatro alturas distintas elegidas
con fines puramente ilustrativos. La primera lı́nea corresponde a la altura media de Madrid (650
m), la segunda representa la altura del puerto de Navacerrada (1780 m), la tercera la altura
25
2.8. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
ḡ
pa
?
6
z
n̄
n̄
h
6
6
?
A
?
F̄l→fondo = −
F̄l→fondo = −pfondo An̄
= −(pa + ρgh)Ak̄
R
p(x̄)n̄dA
Figura 2.10: Fuerza ejercida sobre el fondo de un depósito por el lı́quido contenido en el mismo cuando
el fondo está horizontal (izquierda) e inclinado (derecha). Cuando la superficie sobre la que queremos
calcular la fuerza no es horizontal, la presión varı́a de unos puntos a otros y la fuerza se determina
mediante una integral extendida a toda la superficie.
del Teide (3718), y la cuarta la del Everest (8848 m). Se observa que la densidad atmosférica
disminuye apreciablemente con la altura, de modo que en el techo del mundo la densidad del
aire es un 39 % de la densidad atmosférica a nivel del mar. A dicha altura un volumen de aire
dado contiene tan sólo un 39 % del oxı́geno que contendrı́a a nivel del mar, lo que puede llegar
a provocar la muerte por asfixia en pocas horas.
2.8 Cálculo de fuerzas y momentos sobre superficies
sumergidas
2.8.1 Fuerzas sobre superficies planas
El diseño de estructuras de contención requiere el cálculo de las fuerzas hidrostáticas sobre
las superficies sólidas en contacto con el fluido. Estas fuerzas están relacionadas con el efecto
del peso del fluido sobre las superficies que lo contienen. Por ejemplo, el lı́quido contenido en el
depósito de la izquierda de la Fig. 2.10, con una base plana y horizontal de área A, ejercerá una
fuerza vertical hacia abajo en el fondo del depósito igual a F̄l→fondo = −(pa + ρgh)Ak̄, donde
pa es la presión atmosférica, ρ es la densidad del lı́quido y h la altura de agua. Si el depósito
se inclina y el fondo deja de estar horizontal, como ocurre en el depósito de la derecha, se
requerirán cálculos adicionales para determinar las componentes de la fuerza.
En particular, si consideramos un lı́quido de densidad constante sometido a la acción de la
gravedad, la Ec. (2.28) nos dice que la presión sobre cualquier superficie sumergida varı́a linealmente con la profundidad. El cálculo de la resultante de las fuerzas de presión sobre superficies
planas exige, por tanto, la integración de una función lineal. Como veremos a continuación, la
complejidad de este tipo de integrales es mı́nima cuando la forma geométrica de la superficie
es sencilla, y se reduce al cálculo de la posición del centro de gravedad de la superficie cuando
la forma de esta es más compleja.
26
2.8. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
Fuerzas y momentos sobre una placa plana rectangular vertical Con fines ilustrativos,
comenzaremos por calcular la fuerza ejercida por un lı́quido en reposo sobre una placa plana
rectangular, de altura h y anchura b perpendicular al papel, en posición vertical como muestra
la Fig. 2.11. Tomando el origen de z en la base de la placa, la distribución de presiones puede
escribirse en la forma
p + ρgz = p0 + ρgh ≡ cte
→
p(z) = p0 + ρg(h − z)
(2.69)
donde p0 representa la presión en el punto más alto de la placa (z = h). Como se indicó más
arriba, la presión crece linealmente con la profundidad desde este valor hasta su valor máximo
(p0 + ρgh) en la base de la placa (z = 0). El campo de presiones sobre la placa resulta ası́ de la
superposición de una distribución de presión constante, p0 , a la que llamaremos distribución I,
y una distribución de presión triangular, ρg(h − z), a la que llamaremos distribución II.
La fuerza ejercida por el lı́quido sobre el lado derecho de la placa, F̄ = F ī, vendrá dada por
la suma de las resultantes de presión de las distribuciones I y II,
Z
Z h
F =
p(z)dA =
[p0 + ρg(h − z)]b dz
A
0
Z h
Z h
(2.70)
=
p0 b dz +
ρg(h − z)b dz
0
0
ρgh
hb = FI + FII
= p0 hb +
2
mientras que el momento respecto a la base de la placa (punto 0) se puede expresar en la forma
Z
Z h
Z h
M0 =
p(z)zdA =
p0 z b dz +
ρg(h − z)zb dz
A
0
0
2
h
2 h
hz
z3
z
(2.71)
b + ρg
−
b
= p0
2 0
2
3 0
h2
h3
h
h
= p0 b + ρg b = FI + FII
2
6
2
3
donde el momento se toma positivo en sentido horario (M̄0 = M0 ēy ).
Una vez calculada la resultante y el momento de las fuerzas de presión resulta sencillo calcular la posición zCP del centro de presiones, definido como el punto de acción de la resultante de
las fuerzas de presión. Para ello basta imponer que el momento M0 debe ser igual al momento
zCP F de la resultante F respecto al punto 0, es decir
M0 = zCP F
→
zCP =
p0 hb h2 +
p0 hb +
ρgh
hb h3
2
ρgh
hb
2
=
1
2
ρgh 1
2p0 3
+ ρgh
2p0
+
1
h=
1
2
+ Λ 13
h
1+Λ
(2.72)
donde se observa que zCP /h depende sólo del parámetro Λ = ρgh/(2p0 ), que representa el
cociente entre la presión media de la distribución lineal, ρgh/2, y la presión media de la distribución uniforme, p0 , siendo
lı́m zCP =
Λ→0
h
,
2
lı́m zCP =
Λ→∞
h
,
3
(2.73)
De acuerdo con la definición dada en (2.72), las Ecs. (2.70) y (2.71) muestran que la reI
sultante de la distribución uniforme actúa en el punto medio de la placa, zCP
= h/2, mientras
27
2.8. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
-
6
-
h
p(z)
-
-
F
-
0
-
zCP
z
6
-
p0
-
6
-
n̄ dA = bdz
-
-
ρgh
-
n̄ -
?
-
?
-
dA
n̄ -
FI
6
-
h/2
-
?
-
p0
x
dA
FII
6
h/3
?
ρgh
Figura 2.11: Distribución de presión sobre una placa plana rectangular en posición vertical, de altura h
y anchura b en la dirección perpendicular al dibujo. Tal y como se ha representado, la distribución general
se puede descomponer en una distribución de presión uniforme (I) y una distribución de presión lineal
(II), cuyas resultantes, FI = p0 hb y FII = (ρgh/2)hb, actuan en el centro de la placa y a un tercio de
la altura de la misma, respectivamente.
II
que la resultante de la distribución lineal actúa a un tercio de la altura de la placa, zCP
= h/3.
Esto permite explicar el significado fı́sico de los lı́mites Λ → 0 y Λ → ∞: cuando Λ → 0
(ρgh ≪ p0 ) las variaciones de presión debidas a la distribución lineal son despreciables frente a
la presión uniforme p0 y la distribución de presiones puede aproximarse por el valor constante
p0 , cuya resultante actúa en el punto medio de la placa. Lo contrario ocurre cuando Λ → ∞
(ρgh ≫ p0 ) en cuyo caso podemos despreciar la presión uniforme p0 frente a las variaciones de
presión debidas a la distribución lineal, cuya resultante actúa en este caso en el punto h/3.
Nótese que para un fluido dado (ρ) y una compuerta de geometrı́a dada (h) el valor de Λ sólo
puede cambiar debido a las variaciones de la presión p0 en el punto superior de la compuerta. De
este modo, para una compuerta situada en la pared de un depósito, al aumentar el nivel de lı́quido
en el depósito aumentará el valor de p0 y por tanto disminuirá el valor de Λ, desplazandose el
centro de presiones de la compuerta hacia arriba, sin llegar nunca a superar el punto medio de
la placa.
Se deja como ejercicio al alumno demostrar que para una placa rectangular inclinada un
ángulo 0 ≤ θ ≤ π/2 respecto a la horizontal (θ = 0: placa horizontal, θ = π/2: placa vertical)
los resultados anteriores se mantienen sin más que cambiar g por g sen θ.
Fuerzas y momentos sobre una placa plana sumergida de forma arbitraria En este apartado vamos a generalizar los resultados para fuerzas sobre placas planas al caso más general
posible. La Fig. 2.12 muestra una placa plana de forma arbitraria sumergida completamente en
un lı́quido. La placa forma un ángulo θ con la horizontal, de forma que su profundidad varı́a de
un punto a otro. Si h es la profundidad de un elemento diferencial de área dA de la placa, según
la ecuación general de la fluidostática la presión sobre dicho elemento será p = pa + ρgh.
Para deducir expresiones que tengan en cuenta la forma de la placa, tomemos un sistema de
coordenadas x, y sobre el plano de la placa con origen en el centro de gravedad de la placa, o
centroide,3 y una coordenada muda ξ que mide la distancia por debajo de la superficie libre sobre
el plano de la placa. La fuerza hidrostática total sobre la cara superior de la placa será entonces
Z
Z
Z
F =
p dA = (pa + ρgh) dA = pa A + ρg h dA
(2.74)
A
3
A
A
La posición del centroide de una superficie plana de área A se define como x̄CG =
28
1
A
R
A
x̄dA
2.8. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
La integral que queda por determinar se calcula teniendo en cuenta que, según la Figura 2.12,
h = ξ sin θ y, por definición, la distancia del centroide a la superficie es tal que
Z
1
ξCG =
ξdA
(2.75)
A
Por tanto, como θ es constante sobre la placa, la Ec. (2.74) queda
Z
F = pa A + ρg sin θ ξ dA = pa A + ρg sin θ ξCG A
(2.76)
Finalmente, recordando que ξCG sin θ = hCG es la profundidad del centroide de la placa, tendremos
F = pa A + ρg hCG A = pCG A
(2.77)
En resumen, la fuerza sobre una cara de cualquier superficie plana sumergida en un fluido de
densidad uniforme es igual a la presión que hay en el centro de gravedad de dicha cara por el
área de la misma, independientemente de la forma de la placa o del ángulo de inclinación θ.
Debido al incremento de la presión con la profundidad, el punto de actuación de la fuerza
resultante F no se encuentra en el centroide, sino más abajo, hacia la zona de presiones más
elevadas. Su lı́nea de acción pasará por el centro de presiones CP de la placa, como se indica
en la Figura 2.12. Para hallar las coordenadas (xCP , yCP ) sumamos los momentos de todas las
fuerzas elementales p dA respecto al centro de gravedad e igualamos al momento de la resultante
F . Para calcular yCP , haremos
Z
Z
Z
F yCP = yp dA = y (pa A + ρg sin θ ξ) dA = ρg sin θ y ξdA
(2.78)
R
donde el término pa ydA se anula por definición de centro de gravedad. Introduciendo ξ =
ξCG − y, obtenemos
Z
Z
2
F yCP = ρg sin θ ξCG ydA − y dA = −ρg sin θIxx
(2.79)
R
R
donde de nuevo y dA = 0 e Ixx = y 2dA es el momento de inercia del área de la placa
respecto a su eje central x, calculado en el plano de la placa. Sustituyendo F por su valor,
resulta
Ixx
(2.80)
yCP = −ρg sin θ
pCG A
El signo negativo de la Ec. (2.80) muestra que yCP está por debajo del centro de gravedad,
a una profundidad mayor y, contrariamente a F , sı́ depende del ángulo de inclinación θ. Si
ponemos la placa a profundidades mayores, yCP se acerca al centro de gravedad, ya que todos
los factores de la Ec. (2.80) permanecen constantes, excepto pCG que aumenta.
La determinación de xCP es completamente análoga y proporciona
xCP = −ρg sin θ
Ixy
pCG A
(2.81)
R
donde ahora Ixy = xy dA es el producto de inercia de la placa, calculado en el plano de la
placa con respecto a ejes que pasan por el centro de gravedad. Nótese que si Ixy = 0, lo que
29
2.8. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
Superficie libre
p = pa
T
h (x, y)
Fuerza
resultante
F = pCG A
hCG
[=
Vista lateral
h
sin T
y
CG
dA = dx dy
x
CP
Vista en planta
Figura 2.12: Superficie plana de forma arbitraria sumergida en un lı́quido en reposo, indicando la posición del centro de gravedad, CG, de la superficie, o centroide, y del centro de presiones, CP, definido
como el punto de actuación de la resultante de las fuerzas de presión (el punto respecto al cual la distribución de presiones da momento nulo). En general, el centro de gravedad y el centro de presiones no
coinciden, salvo que la superficie sea horizontal, en cuyo caso la resultante de fuerzas de presión actúa
precisamente en el centro de gravedad de la superficie.
suele implicar simetrı́a de la placa respecto al eje y, tenemos xCP = 0 y el centro de presiones
está inmediatamente debajo del centroide, sobre el eje y.
En muchos casos la presión ambiente pa se desprecia porque actúa en ambos lados de la
placa. Por ejemplo, cuando el otro lado de la placa es la cara interior del casco de un barco o la
cara seca de una compuerta o presa. En este caso pCG = ρghCG y el centro de presiones resulta
independiente de la densidad del fluido:
F = ρg hCG A,
yCP = −
Ixx sin θ
,
hCG A
xCP = −
Ixy sin θ
hCG A
(2.82)
2.8.2 Fuerzas sobre superficies curvas
La resultante de las fuerzas de presión sobre una superficie curva arbitraria como la de la
Fig. ?? viene dada por la integral extendida a la superficie de las fuerzas elementales sobre cada
elemento de área
Z
Z
F̄ f→s =
p(−n̄) dA = − p n̄ dA
(2.83)
A
A
30
2.9. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y EN FLOTACIÓN: EL PRINCIPIO
DE ARQUÍMEDES
donde n̄ es el vector normal unitario perpendicular a la superficie, que, de acuerdo con la notación habitual, apunta hacia el lı́quido si queremos calcular la fuerza del lı́quido sobre el sólido.
En general, el cálculo de esta integral es complicado. Las fuerzas elementales de presión, por
actuar perpendicularmente a la superficie en cada punto, varı́an en dirección a lo largo de esta,
lo que se traduce en que, además de la propia presión, el vector normal n̄ también varı́a. No
obstante, si la superficie tiene una forma geométrica simple (p.ej., un cilindro, un paraboloide, una sección de esfera, etc.) el cálculo de la integral (2.83) puede abordarse sin demasiados
problemas.
Veremos a continuación que existe, sin embargo, una forma más sencilla de determinar la
resultante de las fuerzas de presión sobre dicha superficie curva, estableciendo el equilibrio de
la columna vertical de fluido situada encima de la superficie. La Figura ?? muestra el diagrama
de cuerpo libre de la columna de fluido contenida en la proyección vertical hacia arriba de la
superficie curva. Para estudiar el equilibrio de fuerzas sobre el fluido definimos las fuerzas que
actúan sobre él. Ası́, H̄s→f y V̄s→f son las fuerzas ejercidas por la superficie sobre la columna de
fluido, iguales a las que ejerce el fluido sobre la superficie pero de sentido contrario, H̄ f→s =
−H̄ s→f , V̄ f→s = −V̄ s→f . Se muestran también las fuerzas debidas al peso y a la presión que
actúa sobre las paredes verticales. La columna de fluido debe estar en equilibrio estático. En
la parte superior de la columna, bcde, las componentes horizontales F1 se equilibran y son
irrelevantes en la discusión. En la parte inferior, la región irregular de fluido abc próxima a
la superficie curva, el equilibrio de fuerzas muestra que la componente horizontal H̄ s→f , que
ejerce la superficie sobre el fluido, ha de ser igual a la fuerza FH que actúa en la pared vertical
izquierda. Esta última puede calcularse con las expresiones conocidas para superficies planas,
según se ve en la Ec. (2.77), aplicadas a la proyección sobre un plano vertical de la superficie
curva considerada. La siguiente regla general simplifica el análisis:
• La componente horizontal de la fuerza ejercida sobre una superficie curva es igual a la
fuerza ejercida sobre el área plana formada por la proyección de aquélla sobre un plano
vertical normal a dicha componente.
Si existen dos componentes horizontales, ambas pueden calcularse utilizando el procedimiento
anterior. La suma de las fuerzas verticales muestra que
FV = W1 + W2 + Waire
(2.84)
Podemos resumir esto de la siguiente forma:
• La componente vertical de las fuerzas de presión que actúan sobre una superficie curva es
igual en magnitud y dirección al peso de la columna de fluido, lı́quido y aire atmosférico
que hay encima de dicha superficie.
Por tanto, el cálculo de FV es poco más que encontrar el centroide de gravedad de la columna
de fluido; quizás una pequeña integración si la región inferior abc de la Figura ?? tiene una forma
particularmente compleja.
2.9 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos y en flotación: El Principio de Arquı́medes
El módulo de la fuerza que actúa sobre una superficie sumergida en un fluido uniforme sólo
depende del valor de la presión en los puntos de la superficie y de su forma. Por tanto, las
31
2.9. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y EN FLOTACIÓN: EL PRINCIPIO
DE ARQUÍMEDES
pa
ḡ
6
?
F̄ l→CD
n̄AB
h
6
6
? A
B
C
D
?
n̄CD
?
F̄ l→AB
L
L
z
6
-
-
Figura 2.13: La fuerza que ejerce el lı́quido sobre las superficies planas AB y CD es igual en módulo
pero de sentido contrario.
pa
ḡ
?
F̄ l→CD
n̄AB
A
C
dA
B
dA
D
n̄CD
z
6
F̄ l→AB
Figura 2.14: La fuerza que ejerce el lı́quido sobre las superficies curvas AB y CD también es igual en
módulo pero de sentido contrario.
32
2.9. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y EN FLOTACIÓN: EL PRINCIPIO
DE ARQUÍMEDES
fuerzas sobre dos superficies idénticas situadas a la misma profundidad en el seno de un fluido
uniforme serán idénticas en módulo, aunque pueden tener sentidos opuestos si la orientación de
las superficies respecto al fluido es distinta. Por ejemplo, en la Fig. 2.13 se representa un contenedor lleno de lı́quido en el que hay dos superficies planas horizontales, AB y CD, situadas a la
misma profundidad y con áreas iguales, A = Lb, donde b representa la anchura del recipiente en
el plano perpendicular al papel. Por ser AB y CD superficies horizontales, en todos sus puntos
la presión es la misma, pAB = pCD ≡ pa + ρgh. De este modo, la fuerza sobre la superficie AB
viene dada por
F̄1→AB = −n̄AB (pa + ρgh)Lb,
(2.85)
mientras que la fuerza sobre la superficie CD es
F̄1→CD = −n̄CD (pa + ρgh)Lb.
(2.86)
Dado que los vectores unitarios normales a las superficie tienen sentidos contrarios, n̄AB =
−n̄CD , tenemos
F̄1→AB = −F̄1→CD ,
(2.87)
es decir, las dos fuerzas son idénticas en módulo y dirección, pero de sentido contrario. Este
resultado es consecuencia directa del hecho de que en un fluido en reposo la presión en un
punto no depende de la orientación. Ası́ el fluido contenido en el volumen de la figura ?? ejerce
la misma fuerza “hacia abajo” sobre la superficie AB que “hacia arriba” sobre la superficie CD.
Del mismo modo, las fuerzas sobre las superficies curvas AB y CD de la Fig. ??, situadas a
la misma profundidad en el seno de un lı́quido y tienen la misma forma, son iguales en módulo
y dirección, pero de sentido contrario. La fuerza sobre la superficie AB se puede calcular como
la integral sobre la superficie de la fuerza que se ejerce sobre el diferencial de área dA:
Z B
F̄1→AB = −
n̄AB p(z)dA,
A
La fuerza sobre CD se calcula de forma equivalente como:
Z D
F̄1→CD = −
n̄CD p(z)dA.
C
Al recorrer las superficies AB y CD estaremos sumando las fuerzas sobre diferenciales de
superficie idénticos situados a la misma altura z en el lı́quido, y por tanto soportando la misma
presión p(z). La única diferencia entre las dos integrales vendrá dada por el sentido opuesto
de los vectores normales a los elementos diferenciales de superficie. Independientemente de la
forma concreta de estas integrales tendremos
F̄1→AB = −F̄1→CD
(2.88)
De nuevo, en el caso de superficies curvas las fuerzas ejercidas por el fluido sobre dos superficies iguales situadas a la misma profundidad son idénticas en módulo y dirección, y si las dos
superficies tienen orientaciones opuestas respecto al fluido, las fuerzas tienen sentidos opuestos.
Este resultado permite calcular fuerzas sobre superficies curvas en un fluido usando el equilibrio de una columna de fluido aún cuando no exista una columna de fluido directamente sobre
la superficie. Para ello podemos establecer el equilibrio en una columna de fluido “imaginaria”
situada sobre una superficie idéntica y a la misma profundidad en el fluido.
33
2.9. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y EN FLOTACIÓN: EL PRINCIPIO
DE ARQUÍMEDES
z
6
pa
W̄1
F̄ l→s
1
2
W̄2
6
?
Σ1
?
Σ2
ḡ
?
Figura 2.15: Volúmenes fluidos utilizados en la demostración del principio de arquı́medes.
Los mismos principios que empleamos para calcular las fuerzas hidrostáticas sobre superficies pueden aplicarse al cálculo de la resultante sobre un cuerpo completamente sumergido o
un cuerpo flotante. Se deducen entonces las dos leyes de flotación enunciadas por Arquı́medes
en el siglo III a.C.:
1. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación vertical igual al
peso del fluido que desaloja.
2. Un cuerpo que flota desaloja su propio peso en el fluido en que flota.
Estas dos leyes se deducen fácilmente observando la Figura ??. En la Figura ?? a vemos que
el cuerpo está limitado por una superficie superior curvada 1 y otra inferior, también curvada,
2. La Ec. (2.84) nos indica que el cuerpo experimenta un empuje vertical de
FF = FV (2) − FV (1) = (peso del fluido sobre 2) - (peso del fluido sobre 1)
= peso del fluido desplazado por el cuerpo
(2.89)
Alternativamente, en la Figura ?? podemos sumar las fuerzas verticales elementales que
actúan sobre el cuerpo
FF =
Z
cuerpo
(p2 − p1 ) dAH = −ρg
Z
(z2 − z1 ) dAH = ρg (volumen cuerpo)
(2.90)
Ambos resultados son la expresión matemática de la primera ley de Arquı́medes expuesta
anteriormente.
La Ec. (2.90) supone que el fluido tiene un peso especı́fico ρg uniforme. La lı́nea de acción
de la fuerza de flotación pasa por el centro de volumen del cuerpo, que coincide con el centro
de gravedad si el cuerpo tiene densidad uniforme. Este punto en el que actúa FF se denomina
centro de flotación, designado con F o CF en la figuras. Es evidente que el punto F no tiene
por qué coincidir con el centro de gravedad del cuerpo, que puede tener densidad variable.
34
2.10. ESTABILIDAD DE FLOTACIÓN
La Ec. (2.90) se puede generalizar para el caso de fluidos estratificados (FE) sumando las
contribuciones de cada capa de densidad ρi desalojada por el cuerpo
X
FF (F E) =
ρg (volumen desplazado)i
(2.91)
i
Cada capa desalojada tendrı́a su propio centro de volumen y habrı́a que sumar los momentos
de las distintas fuerzas para encontrar el centro de flotación del cuerpo.
Como los lı́quidos son relativamente pesados, somos conscientes de sus fuerzas de flotación,
pero los gases también ejercen fuerzas análogas en los cuerpos sumergidos en ellos.
Por ejemplo, los seres humanos tienen un peso especı́fico medio de aproximadamente 60
lbf/ft3. El peso de una persona es de unas 180 lbf y su volumen, por tanto, de 3,0 ft3. Sin
embargo, al hacer esto estamos despreciando la flotación producida por el aire ambiente. En
condiciones normales, el peso especı́fico del aire es de 0,0763 lbf/ft3 y, por tanto, la fuerza
de flotación es aproximadamente 0,23 lbf. Si se midiera en el vacı́o, el peso de una persona
aumentarı́a en 0,23 lbf. En el caso de globos y dirigibles, la fuerza de flotación no sólo no
es despreciable, sino que es el factor dominante en el diseño. Muchos otros fenómenos, como
la convección natural del calor y la mezcla vertical en los océanos, dependen de fuerzas de
flotación que, pese a ser muy pequeñas, juegan un papel decisivo.
Los cuerpos que flotan son un caso especial, ya que sólo una parte está sumergida, permaneciendo el resto por encima de la superficie libre. La Figura ?? ilustra este caso, apareciendo
sombreado el volumen desplazado. En este caso, la Ec. (2.90) se modifica ligeramente y queda
FF = ρg (volumen desplazado) = (peso del cuerpo)
(2.92)
La fuerza de flotación no sólo equilibra el peso, sino que debe estar aplicada en la misma lı́nea vertical, ya que en equilibrio estático no puede haber momentos. La Ec. (2.92) es el
equivalente matemático de la segunda ley de Arquı́medes, citada anteriormente.
En ocasiones, un cuerpo puede tener el peso y el volumen adecuados para que su peso
especı́fico sea igual al del fluido. En estos casos, el cuerpo tendrá flotabilidad neutra y permanecerá en el punto en el que se le sumerja. En visualización se utilizan a veces partı́culas pequeñas
con flotabilidad neutra, y cierto tipo de boya, el flotador Swallow [2], se utiliza para seguir las
corrientes oceánicas. Un submarino puede adquirir flotabilidad negativa, neutra o positiva al
bombear agua hacia dentro o hacia fuera de los tanques de lastre.
2.10 Estabilidad de flotación
Un cuerpo que flota, como el de la Figura ??, puede encontrarse en una posición de equilibrio inestable. En este caso, el cuerpo volcará a la primera oportunidad, como un lápiz que
está apoyado sobre su punta y se desplaza ligeramente de la vertical. La más mı́nima perturbación le llevará a buscar otra posición de equilibrio estable. Los ingenieros deben cuidar los
diseños para impedir la inestabilidad de la flotación. La única forma de asegurar que una posición de equilibrio es estable consiste en perturbar ligéramente la posición de equilibrio del
cuerpo y comprobar si aparece un momento restaurador que lo lleve a su posición de equilibrio original. Si esto ocurre, la posición es estable; en caso contrario, es instable. Este tipo
de cálculos, para cuerpos flotantes arbitrarios, constituyen un arte especı́fico de los ingenieros
navales.
35
2.10. ESTABILIDAD DE FLOTACIÓN
La determinación de la estabilidad de cuerpos en flotación con formas irregulares es difı́cil
incluso para los expertos. Estos cuerpos pueden tener dos o más posiciones estables. Por ejemplo, un barco puede flotar en su posición normal o invertido. Incluso las formas simples, como
un cubo de densidad uniforme, presentan numerosas orientaciones de flotación estables, que
pueden ser no simétricas; ası́, los cilindros circulares homogéneos pueden flotar con el eje de
simetrı́a inclinado con respecto a la vertical.
La inestabilidad de flotación es común en la naturaleza. Los peces nadan generalmente manteniendo su plano de simetrı́a en posición vertical. Cuando mueren, esta posición es inestable
por lo que acaban flotando con su plano de simetrı́a horizontal. Los icebergs gigantes pueden
girar sobre sı́ mismos al cambiar sus condiciones de estabilidad cuando se derrite parcialmente
la parte sumergida. Este espectacular fenómeno se ha presenciado en muy pocas ocasiones.
Un ejemplo de cuerpos flotantes de forma irregular son los icebergs. Estas masas de hielo,
formadas por agua dulce congelada procedente de los glaciares, tienen una densidad media es
de unos 900 kg/m3 . De esta forma, cuando un iceberg está flotando sobre el agua del mar, cuya
densidad media es de 1025 kg/m3, aproximadamente una fracción 900/1025 = 87.8 % de su
volumen queda sumergida.
36
Capı́tulo 3
Cinemática
3.1 Introducción
3.1.1 Descripciones Euleriana y Lagrangiana
Para describir el campo de velocidades en un fluido, es posible adoptar dos puntos de vista diferentes, que corresponden a las descripciones Euleriana y Lagrangiana. En la primera,
se describe el campo de velocidades, v̄(x̄, t), en función de la posición x̄ y del tiempo t. En
otras palabras, es como si en cada instante se diera la distribución espacial de la velocidad (y
de todas las demás variables fluidomecánicas de interés) en todo el interior del campo fluido.
Este punto de vista es análogo al que se utiliza, por ejemplo, en la descripción de los campos
electromagnéticos.
Una forma alternativa de especificar la velocidad, que corresponde a la descripción Lagrangiana, consiste en estudiar el movimiento de cada una de las partı́culas fluidas, cuya trayectoria
x̄ = x̄T (x̄0 , t)
(3.1)
es función de la posición que ocupa en el instante inicial, x̄0 , y del tiempo. La velocidad y la
aceleración en esta descripción se obtienen por derivación de las trayectorias de las partı́culas
fluidas de acuerdo a v̄ = ∂ x̄T /∂t y ā = ∂ 2 x̄T /∂t2 . Esta aproximación, que resulta apropiada
en mecánica para el estudio de la dinámica del punto, da lugar en mecánica de fluidos a una
formulación compleja de las leyes de conservación. Por lo tanto, aun cuando la descripción
Lagrangiana puede resultar útil en el análisis de algunos problemas particulares, en lo que sigue
utilizaremos la descripción Euleriana, que resulta más acorde con el estudio de los medios
continuos.
3.2 Movimiento uniforme y estacionario; puntos de
remanso
Decimos que un movimiento fluido es uniforme cuando no existen variaciones espaciales
de las variables fluidas. Ası́, un campo de velocidad es uniforme si v̄ = v̄(t). De manera similar,
decimos que un movimiento fluido es estacionario cuando no existen variaciones temporales
de las variables fluidas. Diremos, por ejemplo, que el campo de velocidad es estacionario si
v̄ = v̄(x̄). En ocasiones, la estacionariedad de un movimiento depende del sistema de referencia
37
3.3. TRAYECTORIAS Y SENDAS
que se considere. Por ejemplo, para estudiar el flujo alrededor de un cuerpo en movimiento,
que es claramente no estacionario en ejes fijos al laboratorio, conviene adoptar un sistema de
referencia viajando con el cuerpo, en el que el problema resulta ser estacionario.
Un punto de remanso se define como un punto en que la velocidad es nula. Por lo tanto,
dado el campo de velocidades v̄ = v̄(x̄, t), los puntos de remanso han de satisfacer la ecuación
v̄(x̄, t) = 0.
(3.2)
Claramente, los puntos de remanso dependen del sistema de referencia elegido.
3.3 Trayectorias y sendas
En su movimiento, una partı́cula fluida inicialmente situada en x̄ = x̄0 va variando su
posición, que resulta ser por tanto función del tiempo, tal y como se expresa en la Ec. 3.1.
Conocido el campo de velocidades v̄(x̄, t), esta ley de movimiento de la partı́cula fluida, o
trayectoria, se obtiene por integración de
dx̄
= v̄(x̄, t)
dt
(3.3)
con condiciones iniciales x̄ = x̄0 en t = t0 . Si desarrollamos esta ecuación vectorial obtenemos
las tres ecuaciones
dx
dy
dz
= u(x̄, t),
= v(x̄, t),
= w(x̄, t)
(3.4)
dt
dt
dt
que deben integrarse con condiciones iniciales x = x0 , y = y0 y z = z0 . La solución del
problema serı́a de la forma dada en la Ec. 3.1, que para el caso de coordenadas cartesianas
rectangulares queda
x = xT (x0 , y0 , z0 , t)
y = yT (x0 , y0 , z0 , t)
z = zT (x0 , y0 , z0 , t)
(3.5)
La trayectoria contiene la información referente al camino o senda que recorre cada partı́cula fluida, ası́ como la rapidez con la que lo recorre. Las ecuaciones que describen la senda se
pueden obtener a partir de la Ec. 3.1 sin más que eliminar el tiempo.
3.4 Lı́neas, superficies y volúmenes fluidos
Siempre y cuando el campo de velocidad sea continuo, las partı́culas fluidas que se encuentran en el instante inicial a lo largo de una lı́nea seguirán formando una lı́nea en su movimiento posterior. La ecuación para la evolución de esta lı́nea fluida se obtiene particularizando la
ecuación para las trayectorias dada en Ec. 3.1 a aquellas partı́culas fluidas que se encuentran en
t = t0 a lo largo de la lı́nea inicial.
Análogamente, las partı́culas fluidas que se encuentran inicialmente en una superficie continúan en su movimiento formando una superficie (superficie fluida) . Si la superficie fluida
está inicialmente cerrada, se mantendrá cerrada en su evolución posterior. Al fluido limitado por
dicha superficie fluida cerrada se le denomina volumen fluido, un concepto que nos será útil en
la aplicación de los principios de conservación que gobiernan el movimiento fluido.
38
3.5. LÍNEAS, SUPERFICIES Y TUBOS DE CORRIENTE
3.5 Lı́neas, superficies y tubos de corriente
Para un instante dado, se denominan lı́neas de corriente a aquellas lı́neas que son tangentes
en cada uno de sus puntos al vector velocidad local. La condición de tangencia nos permite
escribir las ecuaciones que determinan dichas lı́neas de corriente
dx
dy
dz
=
=
u(x, y, z, t)
v(x, y, z, t)
w(x, y, z, t)
(3.6)
Al elegir las dos constantes asociadas a la integración de las dos ecuaciones diferenciales anteriores estamos identificando una lı́nea de corriente de entre la doble infinitud que existe para
un instante determinado. Por ejemplo, uno podrı́a en un problema dado identificar una lı́nea de
corriente dando la posición (x0 , y0 ) del punto donde corta al plano horizontal. Notese que de la
definición de lı́nea de corriente se desprende que sus puntos de intersección son necesariamente
puntos de remanso (que pasarı́a si dos lı́neas de corriente se cortaran en un punto de velocidad
no nula?).
Es importante recalcar que mientras las trayectorias contienen información de la evolución
temporal del flujo, las lı́neas de corriente son representaciones instantáneas del flujo: al calcular la trayectoria determinamos la evolución temporal de la posición de una partı́cula fluida,
mientras que las lı́neas de corriente se definen para un instante determinado, y son en principio
diferentes al considerar dos instantes distintos.
En relación con las lı́neas de corriente, existen otros dos conceptos que conviene definir. A
la superficie formada por todas las lı́neas de corriente que se apoyan en una lı́nea arbitraria se le
denomina superficie de corriente. Si la lı́nea elegida es cerrada, la superficie formada será un
tubo de corriente.
3.6 Lı́neas de traza
Las lı́neas de traza se definen como las sendas de las partı́culas fluidas que en el pasado pasaron por un mismo punto. Imaginemos un flujo en el que se inyectan pequeñas burbujas siempre
en el mismo punto y que estas burbujas siguen exactamente la trayectoria de las partı́culas fluidas y van dejando una marca, una traza, allı́ por donde pasan. Las lı́neas formadas por estas
marcas serı́an las lı́neas de traza.
De lo visto anteriormente, queda claro que las lı́neas de corriente, lı́neas de traza y las
sendas no coinciden en general. Existe, sin embargo, un caso particular en el que si lo hacen. Si
el movimiento fluido es estacionario, v̄ = v̄(x̄), entonces las lı́neas de corriente, sendas y lı́neas
de traza coinciden. Véase, por ejemplo, la Fig. 3.1.
39
3.6. LÍNEAS DE TRAZA
(a)
(b)
Figura 3.1: Flujo estacionario alrededor de un perfil aerodinámico: (a) a bajos ángulos de ataque
el flujo es estacionario y las lı́neas de traza, visualizadas experimentalmente mediante fluido
coloreado introducido aguas arriba, coinciden con las sendas y las lı́neas de corriente; (b) a altos
ángulos de ataque la corriente se desprende y el flujo se hace no estacionario (especialmente en
la estela), en estas condiciones las lı́neas de corriente y las sendas no coinciden con las lı́neas
de traza.
40
Capı́tulo 4
Análisis de volúmenes de control
4.1 Introducción
Las ecuaciones de conservación de la mecánica de fluidos se derivan al aplicar los principios de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energı́a a volúmenes fluidos y
transformarlos mediante la aplicación del teorema de transporte de Reynolds en ecuaciones
sobre volúmenes de control. Para posibilitar la derivación anterior, vemos primero cómo se escriben las leyes de la mecánica en un volumen fluido, y pasamos a estudiar el concepto de flujo
convectivo, ası́ como la derivación temporal de integrales extendidas a volúmenes fluidos y a
volúmenes de control. Seguidamente, derivamos el teorema de transporte de Reynolds y de él
la ecuación de conservación de la masa o ecuación de continuidad, la ecuación de conservación
de la cantidad de movimiento, la ecuación de conservación del momento cinético y la ecuación
de conservación de la energı́a en forma integral para volúmenes de control.
4.2 Leyes de la mecánica aplicadas a volúmenes fluidos
Las leyes de la mecánica se obtienen al aplicar los principios de conservación de la masa,
cantidad de movimiento y energı́a a un sistema cerrado, esto es, a un sistema que contiene siempre la misma materia. La elección de un sistema cerrado, que es trivial en mecánica de sólidos,
es un poco más delicada en un fluido en movimiento. Debe ser un volumen que que contenga
siempre las mismas partı́culas fluidas, y las siga en su movimiento, esto es, un volumen fluido.
Supongamos un volumen fluido Vf (t), conteniendo un fluido de densidad ρ = ρ(x̄, t), moviéndose con velocidad v̄ = v̄(x̄, t) y con energı́a por unidad de masa e(x̄, t)+v 2 (x̄, t)/2. Nótese
que tanto la posición como la forma y el tamaño del volumen fluido pueden ser variables en el
tiempo, de ahı́ que hayamos escrito Vf (t).
Aplicados a este sistema, los principios de conservación de la mecánica toman la forma que
se indica a continuación.
4.2.1 El principio de conservación de la masa
La masa de un sistema cerrado se debe conservar. Dado que la masa total contenida en un
volumen fluido se obtiene integrando la densidad ρ a todo el volumen como
Z
M=
ρdV
(4.1)
Vf (t)
41
4.3. VOLÚMENES FLUIDOS Y VOLÚMENES DE CONTROL
el principio de conservación de la masa en un volumen fluido se escribe
"Z
#
dM
d
=
ρdV = 0
dt
dt Vf (t)
(4.2)
4.2.2 La segunda ley de Newton
De acuerdo con la segunda ley de Newton, la variación temporal de la cantidad movimiento
de un sistema cerrado es igual a la resultante de las fuerzas exteriores sobre el sistema. Dado que
la cantidad de movimiento en un volumen fluido se obtiene a partir de
R la cantidad de movimiento
de un elemento fluido ρv̄dV integrada a todo el volumen fluido, Vf (t) ρv̄dV , el principio de
conservación de la cantidad de movimiento en un volumen fluido se escribe
"Z
#
X
d
ρv̄dV =
F̄ext
(4.3)
dt Vf (t)
Una forma alternativa de la segunda ley de Newton se expresa en función del momento
cinético: la variación temporal del momento cinético respecto a un punto de un sistema cerrado
es igual al momento de las fuerzas exteriores respecto al mismo punto. En un volumen fluido:
"Z
#
X
d
ρr̄ ∧ v̄dV =
M̄ext
(4.4)
dt Vf (t)
Donde r̄ es la distancia al punto respecto al que se calcula el momento cinético. Si en el sistema
de referencia elegido ese punto es x¯0 , entonces r̄ = x̄ − x¯0 .
4.2.3 El primer principio de la termodinámica
El primer principio de la termodinámica establece que la variación temporal en la energı́a
total de un sistema cerrado es debida al trabajo de las fuerzas exteriores sobre el sistema y al
calor aportado al sistema desde el exterior. Como la energı́a contenida en un volumen
R fluido
se obtiene integrando la energı́a de los distintos elementos fluidos que lo componen, Vf ρ(e +
v 2 /2)dV , el primer principio de la termodinámica en un volumen fluido se escribe
"Z
#
d
ρ(e + v 2 /2)dV = Ẇext + Q̇
(4.5)
dt Vf (t)
donde Q̇ representa el calor aportado al sistema por unidad de tiempo Q̇ = dQ/dt y Ẇext =
dW ext /dt el trabajo realizado por las fuerzas exteriores por unidad de tiempo, o potencia aportada por las fuerzas exteriores.
4.3 Volúmenes fluidos y volúmenes de control
Como hemos visto, las leyes de la mecánica aplicadas a volúmenes fluidos se obtienen
directamente al aplicar los principios de conservación de la masa, cantidad de movimiento y
energı́a a un volumen fluido. Pero elegir, describir y controlar un volumen fluido, que contenga
42
4.4. FLUJO CONVECTIVO
siempre las mismas partı́culas fluidas y por tanto las siga en su movimiento puede resultar
muy complicado (recordemos que el seguimiento lagrangiano de las partı́culas fluidas en su
movimiento resultaba complejo).
Por otro lado, la información que precisa un ingeniero a la hora de diseñar un sistema fluido no es tanto la información lagrangiana, que indicarı́a cómo se mueve un volumen fluido,
qué fuerzas actúan sobre él, y qué cambios de energı́a conlleva este movimiento, sino cuánto
fluido pasa por una cierta región del sistema, qué fuerza hace sobre las partes sólidas del sistema
y cuánta energı́a proporciona el mecanismo o es precisa para hacerlo funcionar.
Por tanto, para estudiar la dinámica de sistemas fluidos, es más conveniente transformar las
leyes obtenidas sobre volúmenes fluidos en leyes que se puedan aplicar a un volumen cualquiera, fijo o móvil a nuestra conveniencia, que contenga las partes del sistema sobre las que nos
interesa obtener información. Este tipo de volumen se denomina volumen de control. Veremos
en las próximas secciones que para escribir las leyes de la mecánica en un volumen de control
tendremos que aplicar una transformación matemática entre la variación temporal de integrales
extendidas a volúmenes fluidos y la variación temporal de integrales extendidas a volúmenes
de control. Esta transformación, que se conoce como el teorema del transporte de Reynolds,
permite transformar las ecuaciones de conservación sobre un volumen fluido de la sección 4.2
en ecuaciones escritas para un volumen de control.
4.4 Flujo convectivo
El objetivo de este apartado es el de aprender a calcular el flujo convectivo de una magnitud
fluida, esto es, la cantidad de magnitud fluida que cruza una superficie en la unidad de tiempo
debido al movimiento medio del fluido. En lo que sigue, φ(x̄, t) representa la cantidad de una
cierta magnitud fluida extensiva que existe por unidad de volumen. Ası́, φ = 1 representa el
volumen por unidad de volumen, φ = ρ representa la masa por unidad de volumen, φ = ρv̄ es
la cantidad de movimiento por unidad de volumen y φ = ρ(e+v 2 /2) es la energı́a por unidad de
volumen. Estas magnitudes intensivas se pueden utilizar para evaluar la cantidad de magnitud
fluida total que existe en el interior de un cierto volumen. Por ejemplo, la cantidad
R de cantidad
de movimiento contenida en un cierto instante en el interior de V viene dada por V ρv̄dV .
Consideramos la superficie fija Σo de la figura adjunta. Al desplazarse, el fluido cruza la
superficie anterior, transportando en su movimiento masa, cantidad de movimiento y energı́a.
v dt
n
dσ
Figura 4.1: Flujo convectivo.
43
Σo
4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
El volumen de fluido que cruza en el tiempo dt a través del elemento diferencial de superficie
dA y orientación n̄, es el que está contenido en el paralelepı́pedo de área dA y arista v̄dt de la
figura. La cantidad de magnitud fluida que cruza dicho elemento de superficie puede calcularse
a partir del volumen del paralelepı́pedo v̄ · n̄dAdt para dar φv̄ · n̄dAdt, por lo que el flujo
convectivo total (magnitud fluida que cruza Σo en la unidad de tiempo) vendrı́a dado por
Z
φv̄ · n̄dA.
(4.6)
Σo
A los vectores v̄, ρv̄ y ρ(e + v 2 /2)v̄ se les denomina vector flujo volumétrico, vector flujo
másico y vector flujo de energı́a. Sus proyecciones en una dirección dada del espacio n̄ determinan, respectivamente, la cantidad de volumen, masa y energı́a que cruza en la unidad de tiempo
la unidad de superficie contenida en el plano perpendicular a n̄. De manera análoga, ρv̄v̄ es el
llamado tensor flujo de cantidad de movimiento, y el vector ρv̄v̄ · n̄ es la cantidad de cantidad
de movimiento que cruza en la unidad de tiempo la unidad de superficie contenida en el plano
perpendicular a n̄.
Si la superficie Σo es cerrada (y φv̄ es continuo), entonces podemos hacer aplicación del
teorema de Gauss para reescribir el flujo convectivo en la forma
Z
Z
φv̄ · n̄dA =
∇ · (φv̄)dV,
(4.7)
Σo
Vo
donde Vo es el volumen encerrado por la superficie Σo . Haciendo aplicación de la ecuación
anterior a un volumen infinitesimal, podemos concluir que, por ejemplo, ∇ · (ρv̄) representa
la cantidad de masa que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo debido al
movimiento del fluido a través de sus paredes. De la misma manera, ∇ · v̄ es la cantidad de
volumen que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo.
Para finalizar, cabe añadir que, para extender la noción de flujo convectivo a una superficie
movil Σc (t) cuyos puntos se desplazan con velocidad v̄c (x̄c , t), basta rehacer el razonamiento
basado en la figura 4.1, reemplazando, claro está, la velocidad del fluido v̄ por la velocidad
relativa a la superficie v̄ − v̄c . La ecuación (4.6) se verı́a por tanto modificada para dar
Z
φ(v̄ − v̄c ) · n̄dA.
(4.8)
Σc (t)
4.5 Teorema del transporte de Reynolds
Estudiamos ahora la variación con el tiempo
"Z
#
d
φ(x̄, t) dV
dt Vf (t)
(4.9)
de la cantidad de una cierta magnitud fluida contenida en un volumen fluido Vf (t) que está limitado por la superficie Σf (t). Podemos adelantar que va a aparecer una contribución asociada
a la no-estacionariedad del campo fluido, φ(x̄, t), ası́ como una contribución asociada al desplazamiento del volumen fluido, Vf (t). Para verlo, estudiamos la evolución entre los instantes t y
t + dt del volumen fluido que esquematiza en la figura 4.2.
44
4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
v dt
Σ(t)
dσ
Σ(t + dt)
Figura 4.2: Evolución infinitesimal de un volumen fluido.
La derivada temporal (4.9) se puede escribir en la forma
R
R
"Z
#
φ(x̄, t + dt)dV − Vf (t) φ(x̄, t)dV
d
Vf (t+dt)
φ(x̄, t) dV = lı́m
.
dt→0
dt Vf (t)
dt
(4.10)
El lı́mite de la ecuación (4.10) se puede descomponer en las dos contribuciones siguientes.
R
R
[φ(x̄, t + dt) − φ(x̄, t)] dV
φ(x̄, t + dt)dV
V (t+dt)−Vf (t)
Vf (t)
lı́m
+ lı́m f
.
(4.11)
dt→0
dt→0
dt
dt
Para evaluar la primera de ellas hacemos uso del desarrollo φ(x̄, t + dt) − φ(x̄, t) = (∂φ/∂t)dt,
con lo que obtenemos
R
Z
[φ(x̄, t + dt) − φ(x̄, t)] dV
∂φ(x̄, t)
Vf (t)
=
dV.
(4.12)
lı́m
dt→0
dt
∂t
Vf (t)
Por otra parte, la segunda integral no es más que la integral de φ(x̄, t) extendida a la diferencia
de regiones ocupadas por Vf (t+ dt) y Vf (t), la cual puede evaluarse a partir del flujo convectivo
que ha atravesado la superficie Σf (t) en el intervalo de tiempo dt, de forma que
R
R
φ(x̄, t + dt)dV
φv̄ · n̄dAdt Z
Vf (t+dt)−Vf (t)
Σf (t)
lı́m
= lı́m
=
φv̄ · n̄dA.
(4.13)
dt→0
dt→0
dt
dt
Σf (t)
Finalmente, podemos escribir
"Z
# Z
Z
d
∂φ(x̄, t)
φ(x̄, t) dV =
dV +
φ(x̄, t) v̄(x̄, t) · n̄ dA.
dt Vf (t)
∂t
Vf (t)
Σf (t)
(4.14)
Los dos términos de (4.14) reflejan, tal y como anteriormente mencionamos, que la cantidad de
magnitud fluida que hay contenida en un volumen fluido varı́a debido a la no estacionariedad
del campo fluido y también debido al movimiento del volumen fluido.
La resolución de un problema fluido determinado involucra en general el estudio del fluido
contenido en una cierta región del espacio, que puede ser fija o variar con el tiempo dependiendo del problema. A dicha región del espacio Vc (t) la denominamos en lo que sigue volumen de
45
4.6. ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD
control, que estará en general limitado por una superficie Σc (t) cuyos puntos se mueven con
velocidad v̄c (x̄c , t). Puesto que los principios de conservación de la mecánica de fluidos se aplican a volúmenes fluidos, conviene relacionar la variación temporal de la cantidad de magnitud
fluida que hay contenida en un volumen de control, con la variación temporal que tiene lugar
en un volumen fluido que ocupa en el instante considerado el mismo lugar en el espacio. Para
el volumen de control Vc (t), el mismo razonamiento que nos ha llevado a derivar (4.14) nos
permite escribir
Z
Z
Z
∂φ(x̄, t)
d
φ(x̄, t) dV =
dV +
φ(x̄, t) v̄c (x̄, t) · n̄ dA.
(4.15)
dt Vc (t)
∂t
Vc (t)
Σc (t)
Teniendo en cuenta que hemos elegido que el volumen de control Vc (t) y su superficie lı́mite
Σc (t) coincidan en el instante considerado con Vf (t) y Σf (t), los dominios de integración de las
integrales que aparecen en (4.14) y (4.15) coinciden, con lo que al sustraer dichas ecuaciones
obtenemos la expresión del teorema de transporte de Reynolds
"Z
#
Z
Z
d
d
φ(x̄, t) dV =
φ(x̄, t) dV +
φ(x̄, t) (v̄ − v̄c ) · n̄ dA.
(4.16)
dt Vf (t)
dt Vc (t)
Σc (t)
Esta ecuación, que nos será útil en la derivación de las ecuaciones de conservación, indica que la
variación temporal de una magnitud fluida (masa, cantidad de movimiento, energı́a, etc) ligada
a un volumen fluido es igual a la suma de la variación temporal en un volumen de control que
coincide en el instante considerado con el volumen fluido más el flujo convectivo a través de la
superficie lı́mite de dicho volumen de control (ver Ec. (4.8)).
4.6 Ecuación de la continuidad
La masa contenida en un volumen fluido no varı́a con el tiempo, como indica la ecuación de
conservación de la masa (Ecuación (4.2)). Sustituyendo esta ecuación en (4.16) expresamos su
equivalente para un volumen de control
"Z
#
Z
Z
d
d
ρdV =
ρdV +
ρ(v̄ − v¯c ) · n̄dA = 0.
(4.17)
dt Vf (t)
dt Vc (t)
Σc (t)
La lectura de la ecuación anterior refleja lo que es obvio desde un punto de vista fı́sico, esto es,
el incremento por unidad de tiempo de la cantidad de masa que hay contenida en un volumen
de control es igualRa la cantidad de masa que entra por unidad de tiempo a través de la pared de
dicho volumen − Σc (t) ρ(v̄ − v¯c ) · n̄dA.
El balance másico anterior admite formas simplificadas cuando el volumen de control elegido es fijo en el espacio
Z
Z
∂ρ
dV +
ρv̄ · n̄dA = 0,
(4.18)
Vo ∂t
Σo
y también cuando el fluido es incompresible
Z
v̄ · n̄dA = 0.
Σc (t)
46
(4.19)
4.6. ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD
4.6.1 Gasto másico y caudal
Definimos el flujo másico o gasto másico ṁΣ a través de una superficie Σ como el valor
absoluto del flujo convectivo de masa a través de ella:
Z
ṁΣ = ρ(v̄ − v¯c ) · n̄dA
(4.20)
Σ
y el caudal o flujo volumétrico QΣ como el valor absoluto del flujo de volumen a través de la
superficie:
Z
QΣ = (v̄ − v¯c ) · n̄dA
(4.21)
Σ
4.6.2 Aproximación unidimensional a los términos de flujo
En muchos casos se pueden considerar la densidad y la velocidad en las entradas y salidas
de un volumen de control como uniformes, se dice entonces que las entradas y salidas son
unidimensionales. En estos casos el flujo de masa a través de una superficie de entrada de área
Ae , perpendicular a la dirección del movimiento donde la velocidad es v̄e , la densidad ρe (y que
suponemos para simplificar que está fija respecto a nuestro sistema de referencia: v¯c = 0) es
Z
Z
ρv̄e · n̄dA = ρe (−ve )
dA = −ρe ve Ae
(4.22)
Σe
Σe
donde v̄e · n̄ = −ve puesto que la normal n̄ está dirigida hacia fuera de la superficie de entrada
y la velocidad tiene el sentido opuesto, hacia dentro.
El flujo de masa a través de una superficie de salida de área As perpendicular al movimiento
donde la velocidad es v̄s y la densidad ρs (y que de nuevo suponemos fija respecto a nuestro
sistema de referencia v¯c = 0):
Z
Z
ρv̄s · n̄dA = ρs vs
dA = ρs vs As
(4.23)
Σs
Σs
donde v̄s · n̄ = vs puesto que ahora la normal n̄ y la velocidad tienen el mismo sentido, hacia
fuera del volumen de control.
Por tanto el gasto másico y el caudal en una entrada unidimensional con densidad ρe ,
velocidad ve , y área Ae se pueden escribir como:
ṁe = ρe ve Ae ,
Qe = ve Ae ,
(4.24)
mientras que el gasto másico y caudal en una salida unidimensional donde la densidad es ρs ,
la velocidad es vs y el área es As son:
ṁs = ρs vs As ,
Qs = vs As ,
(4.25)
En un sistema con una sola entrada y una sola salida unidimensionales la ecuación de continuidad se escribe
Z
d
ρdV − ṁe + ṁs = 0,
(4.26)
dt Vo
es decir, la variación de masa en el interior del volumen de control es igual a la diferencia entre
el flujo másico que sale del volumen de control y el flujo másico que entra.
47
4.7. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Si el flujo es estacionario, entonces la masa en el interior del volumen de control no varı́a y
la ecuación de continuidad es
ṁe = ṁs ,
(4.27)
esto es, el flujo másico que entra al volumen de control es igual al flujo másico que sale del
volumen de control.
Si, además, el fluido es incompresible, la densidad no varı́a y la ecuación de continuidad es
Qe = Qs ,
(4.28)
es decir, el flujo volúmetrico o caudal que entra al volumen de control es igual al flujo volumétrico o caudal que sale.
4.7 Ecuación de la cantidad de movimiento
4.7.1 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie
Recordemos que las fuerzas que actúan en un fluido se pueden clasificar en dos tipos distintos: fuerzas de largo alcance (también denominadas fuerzas de volumen o fuerzas másicas) y
fuerzas de corto alcance (también denominadas fuerzas de superficie). Las primeras, que incluyen en particular la gravedad y las fuerzas de inercia, son fuerzas que decrecen lentamente con
la distancia (su distancia caracterı́stica de decaimiento es mucho mayor que la distancia media entre moléculas, d), y su radio de acción es comparable al tamaño caracterı́stico del campo
fluido L.
Si la fuerza másica que actúa sobre una partı́cula fluida de volumen dV es ρf¯m (x̄, t)dV la
fuerza sobre un volumen fluido será la resultante de integrar estas fuerzas sobre el volumen Vf :
Z
ρf¯m (x̄, t)dV.
(4.29)
Vf
Del mismo modo si la la fuerza que se ejerce sobre un elemento de superficie de área dA y
orientación n̄ es f¯n (n̄, x̄, t)dA, entonces la resultante de las fuerzas de superficie será la integral
sobre la superficie:
Z
f¯n (n̄, x̄, t)dA.
(4.30)
Σc
4.7.2 Tensor de esfuerzos
El esfuerzo o fuerza por unidad de superficie sobre una superficie con orientación n̄ se define
como:
f¯n = τ̄¯ · n̄,
(4.31)
donde

τ11 τ12 τ13
τ̄¯ =  τ21 τ22 τ23 
τ31 τ32 τ33

(4.32)
es el denominado tensor de esfuerzos. La Ec. (4.31) indica que el esfuerzo por unidad de superficie en la dirección n̄ se puede expresar en función de las nueve componentes del tensor τ̄¯,
que son en principio función de la posición e instante considerados. En realidad, el resultado
48
4.7. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
admite una simplificación mayor, puesto que el tensor de esfuerzos resulta ser simétrico, con lo
que sólo tiene seis componentes diferentes.
Si el fluido está en reposo en un cierto sistema de referencia, las fuerzas de superficie actúan
siempre en la dirección normal, y su magnitud no depende de la dirección, pudiendo en general
expresarse como
f¯n = −pn̄,
para un fluido en reposo
(4.33)
El tensor de esfuerzos superficiales asociado se reduce a
τ̄¯ = −p¯Ī,
para un fluido en reposo
(4.34)
donde ¯Ī representa el tensor identidad.
Cuando el fluido está en movimiento, además de las fuerzas de presión, aparecen fuerzas de
superficie adicionales que se denominan fuerzas de viscosidad, que se expresan con la ayuda de
un tensor de esfuerzos viscosos τ̄¯′ tal que
τ̄¯ = −p¯Ī + τ̄¯′ .
donde τ̄¯′ es de nuevo un tensor de 9 componentes:
 ′

′
′
τ11 τ12
τ13
′
′
′ 
τ̄¯′ =  τ21
τ22
τ23
′
′
′
τ31 τ32 τ33
(4.35)
(4.36)
que de nuevo resulta ser simétrico, por lo que solo tiene 6 componentes diferentes. La relación
entre los esfuerzos viscosos y las diferentes variables fluidas puede ser en principio complicada.
En el caso de los fluidos incompresibles y newtonianos, que incluyen la mayorı́a de los lı́quidos de interés ingenieril, se observa experimentalmente que existe una proporcionalidad entre
los esfuerzos viscosos τij′ y las velocidades de deformación, que puede expresarse en la forma
∂ui ∂uj
′
+
(4.37)
τij = µ
∂xj
∂xi
siendo µ la viscosidad del fluido. Tal y como puede verse, los esfuerzos viscosos son función
de las velocidades de deformación, que aparecen explı́citamente en (4.37), ası́ como del estado
termodinámico local a través del coeficientes de viscosidad µ. Además del coeficiente de viscosidad µ, juega un papel relevante en mecánica de fluidos el llamado coeficiente de viscosidad
cinemática (o difusividad viscosa) definido a partir de ν = µ/ρ. Los valores caracterı́sticos de
ν para el agua a presión atmosférica son ν = 1,14 × 10−6 m2 /s a T = 288 K, y ν = 0,31 × 10−6
m2 /s a T = 368 K.
La existencia de equilibrio termodinámico local nos permite estudiar la dependencia de la
viscosidad con el estado termodinámico en función de dos variables termodinámicas independientes cualquiera, por ejemplo p y T . Tanto la teorı́a cinética en el caso de gases, como la
evidencia experimental que existe tanto para lı́quidos como para gases, muestran que la dependencia con la presión de los coeficientes de viscosidad es despreciable. En cuanto a la dependencia con la temperatura, la viscosidad de los gases aumenta con T , mientras que la viscosidad
de los lı́quidos disminuye, un comportamiento que se explica debido al distinto origen de las
fuerzas superficiales en uno y otro caso. Ası́, las fuerzas superficiales en el caso de los gases
tienen su origen en el transporte de la cantidad de movimiento asociado a la agitación térmica,
49
4.7. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
que es mayor cuanto mayor sea la temperatura. Por otra parte, en el caso de lı́quidos las fuerzas
entre moléculas próximas, que son función de la distancia entre ellas, contribuyen de manera importante a las fuerzas de viscosidad que aparecen. Al aumentar la temperatura aumenta
(ligeramente) la distancia entre las moléculas del lı́quido, con lo que la viscosidad disminuye.
Tanto en gases como en lı́quidos, siempre que la temperatura no varı́e mucho, resulta una aproximación razonable el suponer que la viscosidad permanece constante, una simplificación que
adoptaremos a menudo en el desarrollo del curso.
4.7.3 Ecuación de la cantidad de movimiento
Una vez descritas las fuerzas de volumen y superficie que actúan sobre un volumen fluido
podemos reescribir la segunda ley de Newton (Ecuación (4.3)) como:
"Z
# Z
Z
d
ρv̄dV =
τ̄¯ · n̄dA +
ρf¯m dV.
(4.38)
dt Vf (t)
Σf (t)
Vf (t)
Desarrollando el tensor de esfuerzos τ̄¯ de acuerdo a (4.35), y utilizando el teorema de Reynolds
dado en (4.16), podemos reescribir la ecuación anterior para un volumen de control Vc (t) en la
forma
Z
Z
Z
Z
Z
d
′
ρv̄dV +
ρv̄(v̄ − v̄c ) · n̄dA = −
pn̄dA +
τ̄¯ · n̄dA +
ρf¯m dV.
dt Vc (t)
Σc (t)
Σc (t)
Σc (t)
Vc (t)
(4.39)
La ecuación anterior expresa matemáticamente cómo el incremento por unidad de tiempo de
la cantidad de movimiento que hay en el volumen de control es igual a la suma del flujo convectivo
de cantidad de movimiento que entra en el volumen de control
a través de sus paredes
R
R
− Σc (t) ρv̄(v̄ − v̄c ) · n̄dA, la resultante de las fuerzas de presión − Σc (t) pn̄dA, la resultante de
R
R
las fuerzas de viscosidad Σc (t) τ̄¯′ · n̄dA y la resultante de las fuerzas másicas Vc (t) ρf¯m dV .
Particularizando la Ec. (4.39) a un volumen de control fijo se obtiene
Z
Z
Z
Z
Z
∂ρv̄
′
dV +
ρv̄v̄ · n̄dA = −
pn̄dA +
τ̄¯ · n̄dA +
ρf¯m dV.
(4.40)
∂t
Vo
Σo
Σo
Σo
Vo
Es conveniente recalcar que se trata de una ecuación vectorial, es decir, que da lugar a tres
ecuaciones, una para cada componente de la cantidad de movimiento.
4.7.4 Aproximación unidimensional a los términos de flujo de cantidad de
movimiento
En un sistema con una sola entrada y una sola salida unidimensionales donde la velocidad
de entrada es v̄e y la de salida es v̄s la ecuación de cantidad de movimiento (4.39) se puede
escribir
Z
X
d
ρv̄dV − ṁe v̄e + ṁs v̄s =
Fext ,
(4.41)
dt Vo
Si el flujo es estacionario, entonces
ṁe v̄e + ṁs v̄s =
50
X
Fext ,
(4.42)
4.7. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
y usando la ecuación de continuidad, que indica que el flujo másico es constante
ṁe = ṁs = ṁ,
se tiene
ṁ (v̄s − v̄e ) =
X
(4.43)
Fext ,
(4.44)
es decir, la diferencia entre el flujo de cantidad de movimiento que sale y el flujo que entra en
el volumen de control viene dada por las fuerzas exteriores que actúan sobre él.
4.7.5 Fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas
La resultante F̄ de las fuerzas de presión y viscosidad que se ejerce sobre una superficie Σ
de normal n̄ dirigida hacia el fluido es:
Z
Z
F̄ = − pn̄dA + τ̄¯′ · n̄dA.
(4.45)
Σ
Σ
De manera similar, el momento M̄ respecto a un punto x̄o de las fuerzas de presión y viscosidad
sobre una superficie Σ se obtiene a partir de
Z
Z
M̄ = − (x̄ − x̄o ) ∧ pn̄dA + (x̄ − x̄o ) ∧ τ̄¯′ · n̄dA.
(4.46)
Σ
Σ
Estas ecuaciones se pueden utilizar, en particular, para determinar la fuerza que ejerce el fluido
sobre un sólido que se encuentra inmerso en él. La superficie Σ coincide en este caso con la
superficie del sólido, con la normal n̄ dirigida hacia el fluido.
4.7.6 Un primer ejemplo
Considere el movimiento de un lı́quido que circula por el interior de un conducto que presenta una contracción, tal y como se indica en la figura adjunta.
U1
Σl
n
p1
z
A1
n
n
U2
r
A2
Σ1
n
Σl
p2 n
Σ2
n
Figura 4.3: Flujo en una contracción.
Para resolver el problema definimos un volumen de control, que tiene que ser cerrado y contener exclusivamente fluido en su interior. En este caso, el volumen de control que utilizaremos
en el análisis está limitado aguas arriba y aguas abajo por las secciones de entrada y salida a la
contracción, que denominaremos Σ1 y Σ2 . Por otra parte, la superficie lateral del volumen de
51
4.7. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
control Σl , la haremos coincidir con la pared del conducto, tal y como se indica en la figura.
En este volumen de control fijo (v̄c = 0) el problema resulta ser estacionario, por lo que las
Ecs. (4.17) y (4.39) se reducen a
Z
v̄ · n̄dA = 0
(4.47)
Σo
Z
Z
Z
ρv̄(v̄ · n̄)dA = −
pn̄dA +
τ̄¯′ · n̄dA.
(4.48)
Σo
Σo
Σo
Por simplificar la presentación, se han ignorado en este caso los efectos de las fuerzas gravitatorias que, tal y como se comentó anteriormente, podrı́an incorporarse fácilmente sustituyendo
la presión por la presión motriz o reducida p + ρU.
La primera ecuación indica que el caudal de lı́quido que sale del volumen de control debe
ser nulo. El flujo volumétrico es nulo en Σl , donde la velocidad es nula (debido a la condición
de adherencia que discutiremos más adelante). Para poder evaluar el flujo volumétrico en las
secciones de entrada y salida tenemos que conocer la distribución de velocidad. En este caso,
supondremos que dicha distribución es uniforme e igual a v̄ = U1 ēz y v̄ = U2 ēz , respectivamente, donde ēz es el vector unitario en la dirección axial z. En la pared, la velocidad es nula,
por lo que debemos permitir la existencia de una región delgada próxima a la pared donde los
perfiles uniformes que suponemos dejan de ser válidos.
Para evaluar el flujo volumétrico tenemos que tener en cuenta que el sentido del vector
unitario normal a la superficie del volumen de control, n̄, es siempre hacia el exterior, por lo
que n̄ = −ēz en Σ1 y n̄ = ēz en Σ2 . Al evaluar el flujo volumétrico que abandona el volumen
de control a través de Σ1 obtenemos
Z
Z
v̄ · n̄dA = −U1
dA = −U1 A1 ,
(4.49)
Σ1
Σ1
que
R resulta ser negativo porque el lı́quido entra en el volumen de control. De forma análoga,
v̄ · n̄dA = U2 A2 , por lo que finalmente obtenemos
Σ2
U1 A1 = U2 A2
(4.50)
como resultado de aplicar la ecuación de conservación de masa (4.47).
Procedemos de manera análoga a evaluar los distintos términos de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (4.48). El flujo de cantidad de movimiento es nulo en la
superficie lateral Σl ,Ra través de la que no pasa fluido (v̄
en las superficies
R · n̄ = 0), mientras que
2
2
Σ1 y Σ2 obtenemos Σ1 ρv̄(v̄ · n̄)dA = −ρU1 A1 ēz y Σ2 ρv̄(v̄ · n̄)dA = ρU2 A2 ēz .
Pasamos ahora a evaluar la resultante de las fuerzas de superficie. Puesto que la velocidad es
uniforme en las secciones de entrada y salida a la contracción, las velocidades de deformación y,
por tanto, los esfuerzos viscosos, resultan ser idénticamente nulos, por lo que la resultante de las
fuerzas
de superficie actuando
R
R en Σ1 y Σ2 se debe exclusivamente a la presión, que proporciona
− Σ1 pn̄dA = p1 A1 ēz y − Σ2 pn̄dA = p2 A2 ēz , donde p1 y p2 son los valores de la presión a
la entrada y salida de la contracción (que suponemos uniformes). No es posible, sin embargo,
evaluar directamente la resultante de las fuerzas de superficie en Σl , puesto que desconocemos
la distribución de presión y de esfuerzos viscosos en dicha superficie.
Con la información obtenida podemos escribir (4.48) en la forma
Z
Z
2
2
(ρU2 A2 − ρU1 A1 )ēz = (p1 A1 − p2 A2 )ēz −
pn̄dA +
τ̄¯′ · n̄dA,
(4.51)
Σl
52
Σl
4.7. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
indicando que el flujo de cantidad de movimiento de la vena fluida se modifica debido a la
acción de las fuerzas de presión actuando en las secciones de entrada y salida y a la fuerza de
superficie actuando en Σl .
Σe
n
pa
n
n
Σi
n
n
pa
n
Σe
n
Figura 4.4: Superficie para el cálculo de la fuerza sobre la contracción.
Es interesante hacer aparecer de manera explı́cita en el resultado anterior el valor de la
fuerza que ejerce el lı́quido sobre el conducto, F̄L→C . Para el cálculo de ésta, siguiendo el
procedimiento indicado anteriormente, consideramos la superficie Σi , que cubre en interior del
conducto, para dar
Z
Z
F̄L→C = −
τ̄¯′ · n̄dA,
pn̄dA +
Σi
(4.52)
Σi
donde el vector unitario n̄ está dirigido hacia el exterior del conducto (esto es, hacia el interior del lı́quido). Comparando ahora el resultado obtenido con las integrales que aparecen a la
derecha en la Ec. (4.51), donde el vector n̄ está definido con sentido contrario, obtenemos
F̄L→C = (p1 + ρU12 )A1 ēz − (p2 + ρU22 )A2 ēz ,
(4.53)
que permite determinar la fuerza que ejerce el lı́quido sobre la contracción a partir de los valores
de U1 , U2 , p1 y p2 .
Cabe mencionar que, para calcular la fuerza total que se ejerce sobre el conducto F̄C , a
la fuerza que hace el lı́quido habrı́a que añadirle aquella que ejerce el aire situado alrededor.
Para calcularla, consideramos ahora la superficie Σe que cubre el exterior del conducto. Si el
aire en el exterior está en reposo, los esfuerzos viscosos resultan ser nulos, por lo que el valor
de la fuerza que ejerce el aire sobre el conducto se reduce a la acción del campo de presiones
(uniforme)
Z
F̄A→C = −
pa n̄dA.
(4.54)
Σe
Para evaluar la integral, conviene descomponer la superficie de integración Σe de acuerdo al
esquema de la figura 4.5.
Figura 4.5: Descomposición utilizada para el cálculo de la integral (4.54).
53
4.7. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Ası́, consideramos la superficie cerrada que se genera al añadir a Σe las dos caras situadas
en las secciones de entrada y salida. De esa forma, el cálculo de F̄A→C se puede realizar considerando primero la resultante de pa actuando en la superficie cerrada, y sustrayendo al resultado
las integrales extendidas a las dos caras Σ1 y Σ2 que hemos añadido. Es fácil demostrar, por
aplicación del teorema de Gauss, que la resultante de un campo de presión uniforme actuando
sobre una superficie cerrada es idénticamente nula, por lo que al final se tiene
Z
Z
F̄A→C = − −
pa n̄dA −
pa n̄dA = pa (A2 − A1 )ēz
(4.55)
Σ1
Σ2
Sustituyendo esta expresión en la Ec. (4.53) con F̄C = F̄L→C + F̄A→C obtenemos
F̄C = [(p1 − pa ) + ρU12 ]A1 ēz − [(p2 − pa ) + ρU22 ]A2 ēz .
(4.56)
Tal y como puede verse, para tener en cuenta la presencia de la atmósfera en el cálculo de la
fuerza sobre el conducto, basta sustituir el valor absoluto de la presión en la entrada y la salida
de la contracción por sus valores manométricos (la diferencia de presión con el ambiente).
4.7.7 La ecuación de Bernoulli
El estudio del flujo sin fricción a través de un tubo de corriente infinitesimal, como el que
se muestra en la Fig. 4.6, proporciona una relación muy utilizada entre la presión, la velocidad
y la altura, que se denomina ecuación de Bernoulli. Esta ecuación, muy ligada a la ecuación
de la energı́a para flujo estacionario, fue formulada inicialmente por Daniel Bernoulli en 1738,
aunque la deducción completa se debe a Leonhard Euler, en 1755. Aunque la ecuación de
Bernoulli es muy famosa y tiene numerosas aplicaciones, es muy importante recordar siempre
cuales son las hipótesis que conducen a ella, que restringen de un modo importante los casos en
los que es aplicable. Fundamentalmente, para emplear correctamente la ecuación de Bernoulli
hay que limitar su aplicación a regiones del flujo en las que la fricción sea despreciable. En
esta sección (y, en más detalle, cuando hablemos de la ecuación de la energı́a) se discutirán las
condiciones adecuadas para el uso de la ecuación de Bernoulli.
La Fig. 4.6 representa un volumen de control que coincide con un tubo de corriente infinitesimal de área variable A(s) y longitud ds, donde s representa la distancia medida a lo largo de la
lı́nea de corriente. Las propiedades ρ(s, t), U(s, t), p(s, t) pueden variar con s y con el tiempo
t, pero se consideran uniformes sobre la sección transversal A, que tomaremos lo suficientemente pequeña para hacer de ésta una buena aproximación. El tubo de corriente está inclinado
un ángulo arbitrario θ respecto a la horizontal, de forma que la variación de altura entre las
secciones de entrada y salida es dz = ds sen θ. La figura muestra una fricción inevitable en las
paredes del tubo de corriente que aquı́ vamos a despreciar, lo que constituye la hipótesis más
restrictiva del análisis que se presenta a continuación.
La ecuación de conservación de la masa1
Z
Z
∂ρ
dV +
ρ(v̄ · n̄)dA = 0
(4.57)
Vc (t) ∂t
Σc (t)
1
En la Eq. (4.57) hemos utilizado el teorema del transporte de Reynolds para escribir
Z
Z
Z
d
∂ρ
ρdV =
dV +
ρ(v̄c · n̄)dA
dt Vc (t)
Vc (t) ∂t
Σc (t)
54
4.7. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
ρ + dρ
U + dU
A + dA
ḡ
?
p + dp
n̄
6
τ̄¯′ = 0
Tubo de
corriente
dz
ēs
?dW
A
θ
?
ds
Horizontal
n̄
ρ, U , p
Figura 4.6: Volumen de control utilizado para derivar la ecuación de Bernoulli.
puede escribirse para el volumen de control infinitesimal δV en la forma
∂ρ
δV + dṁ = 0
∂t
(4.58)
donde dṁ = ṁsal − ṁent es el flujo másico neto que sale del volumen de control, que viene
dado por la diferencia entre el flujo másico que sale por la sección de salida y el flujo másico
que entra por la sección de entrada. El flujo convectivo a través de la superficie lateral del
volumen de control es nulo por tratarse de una superficie de corriente, es decir, una superficie
tangente en todos sus puntos al vector velocidad. En este tipo de superficies el vector velocidad
es perpendicular al vector unitario normal en todos los puntos, luego v̄ · n̄ = 0.
A continuación escribimos la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento y la
proyectamos en la dirección de la corriente, tomando la componente paralela al vector velocidad,2 v̄ = U ēs ,
Z
Vc (t)
∂(ρv̄)
dV +
∂t
Z
Σc (t)
ρv̄(v̄ · n̄)dA
Z
Z
=−
pn̄dA +
Σc (t)
¯′
τ̄ · n̄dA +
Σc (t)
Z
Vc (t)
ρḡdV
· ēs (4.59)
Para el volumen de control infinitesimal de la Fig. 4.6, despreciando el término de esfuerzos
2
Para esto basta multiplicar escalarmente la ecuación de cantidad de movimiento por el vector unitario ēs en la
dirección del vector velocidad.
55
4.7. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
viscosos, esta ecuación adopta la forma simplificada
∂(ρU)
δV + d(ṁU) = −(∇p · ēs ) δV + ρ(ḡ · ēs ) δV
∂t
(4.60)
donde d(ṁU) = (ṁU)sal − (ṁU)ent es el flujo convectivo neto de cantidad de movimiento
que sale del volumen de control. Para escribir la ecuación anterior hemos tenido en cuenta que
la resultante de las fuerzas de presión por unidad de volumen es igual al gradiente de presión
cambiado de signo,3 luego para el volumen de control infinitesimal δV la resultante de las
fuerzas de presión puede escribirse en la forma
Z
−
pn̄dA = −∇p δV
(4.61)
Σc (t)
Desarrollando ahora las derivadas del lado izquierdo de la Eq. (4.60) y proyectando los vectores
∇p y ḡ según la dirección de la corriente tenemos
dU
∂ρ
∂p
ρ δV + U δV + Udṁ +ṁdU = −
+ ρg sen θ δV
(4.62)
dt
∂s
}
| ∂t {z
0
donde los términos indicados con la llave se cancelan en virtud de la Eq. (4.58) de continuidad.
Sustituyendo para terminar δV ≈ Ads y ṁ = ρUA y dividiendo la ecuación resultante por ρA
resulta
∂U
1 ∂p
ds + UdU = −
+ g sen θ ds
(4.63)
∂t
ρ ∂s
que, reuniendo todo en el primer miembro y teniendo en cuenta la relación dz = ds sen θ,
conduce a la ecuación diferencial
2
U
1 ∂p
∂U
ds + d
+
ds + gdz = 0
(4.64)
∂t
2
ρ ∂s
que es la ecuación de Bernoulli para flujo no estacionario sin fricción a lo largo de una lı́nea de
corriente.
Esta ecuación puede integrarse entre dos puntos cualesquiera 1 y 2 a lo largo de una lı́nea
de corriente para dar
Z 2
Z 2
∂U
dp
ds +
+ (U22 − U12 ) + g(z2 − z1 ) = 0
(4.65)
∂t
ρ
1
1
donde si quisiéramos evaluar las dos integrales restantes deberı́amos estimar los efectos no
estacionarios ∂U/∂t y dar la ley de variación de la densidad con la presión.
Si consideramos el caso de flujo estacionario (∂/∂t = 0) e incompresible (ρ = cte) obtenemos finalmente la ecuación de Bernoulli
p2 − p1
+ (U22 − U12 ) + g(z2 − z1 ) = 0
(4.66)
ρ
para el flujo (I) estacionario (II) sin fricción (III) de un fluido incompresible (IV) a lo largo de
una lı́nea de corriente. Esta ecuación también se puede escribir en la forma
p2 U22
p1 U12
+
+ gz1 =
+
+ gz2
ρ
2
ρ
2
3
→
p U2
+
+ gz ≡ cte
ρ
2
Si no se recuerda este resultado, quizás serı́a conveniente repasar el capı́tulo de fluidostática.
56
(4.67)
4.8. ECUACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO
que permite concluir que en este tipo de flujos la combinación p/ρ+U 2 /2+gz permanece constante a lo largo de las lı́neas de corriente. Nótese que la constante que aparece en la Eq. (4.67)
no tiene por que ser la misma para todas las lı́neas de corriente, es decir, puede variar de una
lı́nea de corriente a otra(!).
Es interesante observar que la ecuación de Bernoulli no es más que una generalización de
la ecuación general de la fluidostática para fluidos con densidad constante que se mueven de un
modo estacionario sin efectos de viscosidad. En efecto, la ecuación general de la fluidostática
se recupera sin más que hacer U = 0 en (4.67).
4.8 Ecuación del momento cinético
La ecuación de conservación del momento cinético para un volumen de control arbitrario
Vc (t) se obtiene sustituyendo la expresión del principio de conservación del momento cinético
en un volumen fluido (4.4) en el teorema de transporte de Reynolds (4.16) como
Z
Z
X
d
ρ(x̄ − x̄o ) ∧ v̄dV +
ρ[(x̄ − x̄o ) ∧ v̄][(v̄ − v̄c ) · n̄]dA =
M̄ext (4.68)
dt Vc (t)
Σc (t)
Las fuerzas exteriores sobre la unidad de volumen o superficie son las fuerzas de volumen y de
superficie f¯m y f¯n presentadas en la sección 4.7.1, podemos escribir su momento respecto a un
punto O en x̄o como la integral del momento de la fuerza que actúa sobre la unidad de volumen
o de superficie (x̄ − x̄o )∧ f¯m y (x̄ − x̄o )∧ f¯n . Escribiendo estas integrales en la expresión (4.68)
se tiene
Z
Z
d
ρ(x̄ − x̄o ) ∧ v̄dV
+
ρ[(x̄ − x̄o ) ∧ v̄][(v̄ − v̄c ) · n̄]dA =
dt Vc (t)
Σc (t)
(4.69)
Z
Z
Z
−
(x̄ − x̄o ) ∧ (pn̄)dA +
(x̄ − x̄o ) ∧ (τ̄¯′ · n̄)dA +
ρ(x̄ − x̄o ) ∧ f¯m dV.
Σc (t)
Σc (t)
Vc (t)
Es decir, la variación del momento cinético en un volumen de control viene dada por el flujo
convectivo de momento cinético que entra a través de la superficie de control
Z
−
ρ[(x̄ − x̄o ) ∧ v̄][(v̄ − v̄c ) · n̄]dA
Σc (t)
más el momento angular de las fuerzas exteriores que actúan sobre el volumen y la superficie
de control. De nuevo se trata de una ecuación vectorial.
4.9 Ecuación de la energı́a
Utilizando la ecuación de conservación de la energı́a en un volumen fluido (4.5) y el teorema
de transporte de Reynolds (4.16) podemos escribir la ecuación de conservación de la energı́a en
un volumen de control arbitrario Vc (t) como
Z
Z
d
2
ρ(e + |v̄| /2)dV +
ρ(e + |v̄|2 /2)(v̄ − v̄c ) · n̄dA = Ẇext + Q̇
(4.70)
dt Vc (t)
Σc (t)
57
4.9. ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
donde Ẇext es el trabajo por unidad de tiempo (esto es, potencia) realizado por las fuerzas
exteriores (fuerzas másicas y fuerzas de superficie) y Q̇ la aportación de calor por unidad de
tiempo (por conducción a través de la superficie Σc (t), y por radiación y reacción quı́mica en
el interior del volumen fluido). En general, esta última cantidad puede expresarse en función
de las variables termodinámicas y de la composición, tal y como se estudia en asignaturas más
avanzadas de combustión y de transmisión de calor.
Alternativamente, se puede escribir la ecuación (4.70) en función del trabajo por unidad
de tiempo que realiza el fluido sobre el exterior Ẇ = −Ẇext . El signo asociado al trabajo
por unidad de tiempo muestra que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores (Ẇext > 0)
contribuye a aumentar la energı́a de sistema, mientras que el trabajo que el sistema realiza
sobre el entorno (Ẇ = −Ẇext > 0) contribuye a reducirla.
Las fuerzas exteriores que actúan sobre un volumen de control son las fuerzas másicas y de
superficie (presión y esfuerzos viscosos) descritas en la sección 4.7.1. El trabajo que realizan
por unidad de tiempo sobre el fluido se puede entonces descomponer en trabajo de las fuerzas
de presión Wp , trabajo de las fuerzas de fricción o viscosas Wv y trabajo de las fuerzas másicas
Wm
Ẇext = Ẇp + Ẇv + Ẇm
(4.71)
La potencia o trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas que actúan sobre una partı́cula
fluida de volumen dV y superficie dA se puede obtener como el producto de la fuerza por la
velocidad de la partı́cula, f¯n · v̄dA para las fuerzas de superficie y ρf¯m · v̄dV para las fuerzas
másicas. Integrando la expresión de la potencia a un volumen o superficie de control se tendrá la
potencia de las fuerzas de volumen o superficie. Ası́, el ritmo de aportación de trabajo o potencia
de las fuerzas másicas que actúan sobre un volumen de control es
Z
Ẇm =
ρf¯m · v̄dV,
(4.72)
Vc (t)
y se puede demostrar que si las fuerzas másicas derivan de un potencial estacionario U como
f¯m = −∇U, esta aportación de trabajo resulta en un aumento por unidad de tiempo −U en la
energı́a potencial.
En concreto, si las únicas fuerzas másicas son las fuerzas gravitatorias f¯m = ḡ = −∇(−ḡ · x̄) =
−∇(gz) podemos sustituir el trabajo que realizan por un término adicional en la ecuación de la
energı́a representando la variación en el volumen de control y el flujo a través de su superficie
de una energı́a potencial por unidad de masa (−gz). Es decir, el trabajo por unidad de tiempo
de las fuerzas gravitatorias sobre un volumen de control se puede sustituir por su efecto sobre
la energı́a potencial
Z
Z
d
ρ(−gz)dV +
ρ(−gz)(v̄ − v̄c ) · n̄dA
(4.73)
Ẇm =
dt Vc (t)
Σc (t)
El trabajo realizado por unidad de tiempo o potencia aportada por las fuerzas de presión
sobre la superficie de control Σc (t) es
Z
Ẇp = −
pv̄ · n̄dA
(4.74)
Σc (t)
y el trabajo de los esfuerzos viscosos
Ẇv =
Z
v̄ · (τ̄¯′ · n̄) dA
Σc (t)
58
(4.75)
4.9. ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
Analicemos esta última expresión en varios tipos de superficies.
• En superficies sólidas fijas v̄ = 0, y por tanto el trabajo de los esfuerzos viscosos es nulo.
• En entradas y salidas con velocidad uniforme (es decir, unidimensionales) τ̄¯′ = 0, y es de
nuevo nulo.
• A lo largo de las superficies de corriente es, en principio, diferente de cero.
• En superficies sólidas móviles, donde ~v no se anule, es también diferente de cero.
Estas últimas superficies corresponden a las superficies móviles de máquinas (álabes de
bombas o ventiladores, pistones,...) que interaccionan con el fluido. El trabajo que realizan sobre
el sistema fluido por unidad de tiempo, el trabajo motor Ẇmotor suele ser un requerimiento de
diseño o dato del problema o uno de los resultados buscados. Por esta razón es común separar el
trabajo motor, o trabajo de las superficies móviles del trabajo realizado por las fuerzas viscosas
y la presión en el resto de superficies y escribir
Ẇext = Ẇp + Ẇv + Ẇmotor + Ẇm
(4.76)
La ecuación general de conservación de la energı́a en un volumen fluido se puede escribir
directamente utilizando las expresiones integrales del trabajo por unidad de tiempo realizado
por las fuerzas externas (4.72), (4.74), (4.75) en la ecuación (4.70)
Z
Z
d
2
ρ(e + |v̄| /2)dV +
ρ(e + |v̄|2 /2)(v̄ − v̄c ) · n̄dA =
dt Vc (t)
Σc (t)
Z
Z
Z
′
−
pv̄ · n̄dA +
v̄ · (τ̄¯ · n̄) dA +
ρf¯m · v̄dV + Q̇
Σc (t)
Σc (t)
(4.77)
Vc (t)
Particularizando a un caso en el que actúen únicamente fuerzas de volumen de tipo gravitatorio se obtiene usando (4.73) y agrupando en Ẇmotor los efectos del trabajo (de presión y
de fuerzas viscosas) de las superficies sólidas móviles y en Ẇv los efectos viscosos sobre otras
superficies (que, como hemos visto, son sólo diferentes de cero en superficies de corriente):
d
dt
Z
Vc (t)
2
ρ(e + |v̄| /2)dV +
Z
2
Z
ρ(e + |v̄| /2)(v̄ − v̄c ) · n̄dA = −
pv̄ · n̄dA
Σc (t)
Z
Z
d
+ Ẇmotor + Ẇv −
ρgzdV −
ρgz(v̄ − v̄c ) · n̄dA + Q̇ (4.78)
dt Vc (t)
Σc (t)
Σc (t)
Los dos términos de la derecha dependientes de gz representan cambios en la energı́a potencial gravitatoria, y pueden incluirse como un término más de la variación de energı́a en el lado
izquierdo. Del mismo modo el término correspondiente a las fuerzas de presión puede incluirse
en el término de flujo convectivo. De esta forma se tiene finalmente
d
dt
Z
Vc (t)
2
ρ(e + |v̄| /2 + gz)dV +
Z
p
ρ(e + |v̄|2 /2 + gz + )(v̄ − v̄c ) · n̄dA
ρ
Σc (t)
= Ẇmotor + Ẇv + Q̇ (4.79)
59
4.9. ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
Recordando la definición de entalpı́a en función de la energı́a interna, presión y densidad
h=e+
p
ρ
(4.80)
tenemos finalmente una ecuación para la conservación de la energı́a en un volumen de control,
si las fuerzas de volumen son de tipo gravitatorio
Z
Z
d
2
ρ(e + |v̄| /2 + gz)dV +
ρ(h + |v̄|2 /2 + gz)(v̄ − v̄c ) · n̄dA
dt Vc (t)
Σc (t)
= Ẇmotor + Ẇv + Q̇ (4.81)
Es conveniente señalar en este punto que podemos escribir la ecuación (4.81) de forma
equivalente utilizando el trabajo que realiza el fluido sobre las superficies móviles (máquinas)
del sistema Wf luido→motor = −Ẇmotor como
d
dt
Z
2
ρ(e + |v̄| /2 + gz)dV +
Vc (t)
Z
ρ(h + |v̄|2 /2 + gz)(v̄ − v̄c ) · n̄dA
Σc (t)
= −Ẇfluido→motor + Ẇv + Q̇ (4.82)
Para poder aplicar esta ecuación a un sistema concreto necesitaremos conocer la expresión
de la energı́a interna por unidad de masa e y la entalpı́a por unidad de masa h en función de
las otra variables termodinámicas. Recordemos del capı́tulo 1 que en lı́quidos perfectos y gases
perfectos la energı́a interna y entalpı́a son función de la temperatura:
• En lı́quidos perfectos
e = cT + eo ,
p
h = cT + + eo
ρ
(4.84)
p/ρ = Rg T,
e = cv T + eo ,
h = cp T + eo
(4.85)
(4.86)
(4.87)
(4.83)
• En gases perfectos
4.9.1 Aproximación unidimensional
En un sistema con una entrada y una salida con propiedades uniformes (entrada/salida unidimensionales) la ecuación (4.81) se puede escribir
Z
d
2
ρ(e + |v̄| /2 + gz)dV
Ẇmotor + Ẇv + Q̇ =
dt Vc (t)
+ ṁ(h + |v̄|2 /2 + gz) s − ṁ(h + |v̄|2 /2 + gz) e (4.88)
donde [ṁ(h + |v̄|2 /2 + gz)]e,s son los flujos convectivos de energı́a a través de las superficies
de entrada (e) y salida (s).
60
4.9. ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
Si además el flujo es estacionario entonces se tiene
Ẇmotor + Ẇv + Q̇ = ṁ(h + v 2 /2 + gz) s − ṁ(h + v 2 /2 + gz) e
(4.89)
Utilizando la expresión de la ecuación de continuidad para un flujo estacionario en un volumen
de control unidimensional, se obtiene que los flujos másicos de entrada y salida son iguales
ṁe = ṁs = ṁ
(4.90)
Finalmente, la expresión unidimensional para la conservación de energı́a en un flujo estacionario, donde sólo actúan fuerzas de volumen de tipo gravitatorio es
Q̇
Ẇmotor Ẇv
+
+
= h + v 2 /2 + gz s − h + v 2 /2 + gz e
ṁ
ṁ
ṁ
61
(4.91)
Capı́tulo 5
Análisis diferencial del flujo
5.1 Introducción
En este capı́tulo veremos una forma alternativa de las ecuaciones de conservación de la
mecánica de fluidos, su forma diferencial, que se obtiene mediante transformaciones sencillas
de las ecuaciones de conservación en forma integral aplicadas a un volumen de control fijo.
5.2 Ecuación de continuidad en forma diferencial
La ecuación de continuidad escrita en un volumen de control (4.17) admite formas simplificadas cuando el volumen de control elegido es fijo en el espacio
Z
Z
d
ρdV +
ρv̄ · n̄dσ = 0.
(5.1)
dt Vo
Σo
Mediante el uso del teorema de Gauss (ver Ec. 4.7) y teniendo en cuenta que Vo es un
volumen de control fijo, podemos reescribir 5.1 en la forma
Z ∂ρ
+ ∇ · (ρv̄) dV = 0.
(5.2)
Vo ∂t
Para que la ecuación anterior se cumpla independientemente del volumen de control Vo elegido,
se debe de satisfacer en todos los puntos del espacio la identidad
∂ρ
+ ∇ · (ρv̄) = 0,
∂t
(5.3)
ecuación que constituye la forma diferencial del principio de conservación de la masa. Una
manera equivalente de escribir esta relación es
1 Dρ
= −∇ · v̄,
ρ Dt
donde
Dφ
Dt
(5.4)
es el operador derivada sustancial
Dφ
∂φ
=
+ v̄ · ∇φ,
Dt
∂t
62
(5.5)
5.3. ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN FORMA DIFERENCIAL
que expresa la variación temporal de una magnitud escalar intensiva φ siguiendo al fluido. El
primer término es simplemente la variación temporal local de la variable que estamos estudiando. El segundo término es la derivada convectiva, que recoge las variaciones de φ debidas al
movimiento del fluido. La propiedad φ de una partı́cula fluida varı́a de hecho por dos causas:
la no estacionareidad del campo fluido que puede resultar en una derivada temporal no nula
( ∂φ
6= 0) y el desplazamiento de la partı́cula a zonas del campo fluido donde la propiedad φ
∂t
es diferente por existir una derivada espacial no nula de φ (∇(φ) 6= 0). Encontraremos esta
expresión del operador derivada sustancial en la derivación de todas las formas diferenciales de
las ecuaciones de conservación.
En el caso de un fluido incompresible la ecuación diferencial de continuidad (5.3) se reduce
a
∇ · v̄ = 0.
(5.6)
Por último, cabe señalar que la ecuación de continuidad correspondiente al movimiento estacionario de gases es
∇ · (ρv̄) = 0,
(5.7)
esto es, la masa que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo es nula.
5.3 Ecuación de cantidad de movimiento en forma diferencial
Particularizando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en un volumen
de control (4.39) a un volumen de control fijo se obtiene
Z
Z
Z
Z
Z
∂ρv̄
′
dV +
ρv̄v̄ · n̄dσ = −
pn̄dσ +
τ̄¯ · n̄dσ +
ρf¯m dV.
(5.8)
∂t
Σo
Σo
Σo
Vo
Vo
Al igual que hicimos anteriormente al derivar la ecuación 5.3, para derivar la ecuación de
la cantidad de movimiento en forma diferencial transformamos a través del teorema de Gauss
las integrales de superficie que aparecen en 5.8 en integrales de volumen. Igualando entonces a
cero el integrando de la integral de volumen resultante obtenemos
∂
(ρv̄) + ∇ · (ρv̄v̄) = −∇p + ∇ · τ̄¯′ + ρf¯m .
(5.9)
∂t
Utilizando ahora la ecuación de continuidad (5.3) e introduciendo la derivada sustancial del
vector velocidad o aceleración convectiva como
Dv̄
∂v̄
=
+ v̄ · (∇v̄) ,
(5.10)
Dt
∂t
la ecuación diferencial de cantidad de movimiento puede reescribirse en la forma
Dv̄
∂v̄
ρ
=ρ
+ ~v · ∇(v̄) = −∇p + ∇ · τ̄¯′ + ρf¯m ,
(5.11)
Dt
∂t
que es la expresión de la segunda ley de Newton sobre una partı́cula fluida.
Una forma alternativa de esta ecuación se obtiene reescribiendo el término ~v · ∇(v̄)
∂v̄
2
+ ∇(|v̄| /2) − v̄ ∧ (∇ ∧ v̄) = −∇p + ∇ · τ̄¯′ + ρf¯m ,
(5.12)
ρ
∂t
63
Bibliografı́a básica
[1] F. M. White, Mecánica de Fluidos, McGraw-Hill, 5a ed, 2004.
64
Bibliografı́a complementaria
[1] A. L. Sánchez, Procesos Fluidotérmicos. Apuntes de la asignatura, Área de Mecánica de
Fluidos, UC3M, 2005.
[2] A. Crespo, Mecánica de Fluidos, Thomson Paraninfo, 2006.
[3] B. R. Munson, D. F. Young, T. H. Okiishi, Fundamentos de Mecánica de Fluidos,
Addison-Wesley Iberoamericana, 2002.
[4] Y. A. Çengel, J. M. Cimbala, Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones,
McGraw-Hill, 2006. (Contiene material multimedia de interés.)
[5] E. J. Shaughnessy, Jr., I. M. Katz, J. P. Schaffer, Introduction to Fluid Mechanics, Oxford
University Press, 2005. (Contiene material multimedia de interés.)
[6] R. W. Fox, A. T. McDonald, P. J. Pritchard, Introduction to Fluid Mechanics, John Wiley
& Sons, 2004.
[7] J. H. Spurk, Fluid mechanics: problems and solutions, Springer, 1997. (Aunque el libro
corresponde a un curso más avanzado, algunos problemas pueden ser útilies para esta
asignatura.)
[8] D. J. Tritton, Physical Fluid Dynamics, Oxford University Press, 2a ed, 1988.
65

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