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Nota adicional: torque y momento angular respecto del
centro de masas de un sistema de partı́culas
Cambio de sistema de referencia (repaso)
Sea S un marco de referencia inercial, en donde ubicamos un sistema de ejes coordenados
cartesianos XY Z, con origen en un punto O. Sea S 0 un segundo marco de referencia, en el que
fijamos un sistema de ejes X 0 Y 0 Z 0 , paralelos a XY Z, y con origen en un punto O0 . Supondremos
~ , no necesariamente
que el sistema de referencia S 0 se mueve respecto de S con una dada velocidad V
0
constante (es decir que S no es necesariamente un marco inercial), y que no existe movimiento
~ a la posición de O0 medida en el sistema
rotacional relativo entre los sistemas. Si denotamos con R
XY Z, se tendrá entonces
~
dR
~ .
= V
(1)
dt
Consideremos ahora el movimiento de una partı́cula, observado desde estos marcos de referencia.
Si ~r es la posición de la partı́cula en el sistema XY Z, y ~r 0 su posición en el sistema X 0 Y 0 Z 0 , se
tendrá (ver Figura 1)
~
~r = ~r 0 + R
(2)
Llamemos ahora ~v y ~v 0 a las velocidades de la partı́cula medidas en el sistema S y el sistema
S 0 , respectivamente. Considerando la relación (2) y derivando respecto del tiempo, se obtiene
inmediatamente
~
dR
~ .
= ~v 0 + V
(3)
~v = ~v 0 +
dt
Z'
Z
partícula
r
r'
R
Y'
O'
Y
O
X'
X
Fig. 1
Momento angular de un sistema de partı́culas en diferentes marcos de referencia
Consideremos ahora un sistema de partı́culas. En un marco de referencia inercial S como el
anterior, denotemos con los vectores ~ri y ~vi a las posiciones y velocidades de las partı́culas respecto
del origen O. Los vectores ~ri y ~vi son en general funciones del tiempo. El centro de masa de este
sistema de partı́culas, siempre con respecto al origen O, vendrá dado por
~rCM =
1 X
mi ~ri ,
M
(4)
i
P
donde se ha definido M = i mi , masa total del sistema. Supongamos que las partı́culas están
sometidas a la acción de fuerzas externas al sistema, y llamemos F~i,ext a la fuerza externa neta
ejercida sobre la partı́cula i. Como hemos visto, a partir de las leyes de Newton se obtiene la
relación
X
dP~total
d~vCM
F~i,ext =
= M
,
(5)
dt
dt
i
P
vi , y ~vCM es la velocidad del centro de masa (siempre en el sistema S).
donde P~total =
i mi ~
Hemos supuesto también que las masas de las partı́culas se mantienen constantes en el tiempo.
Ahora bien, sea C un segundo marco de referencia, fijo al centro de masa del sistema de
partı́culas. Elijamos el origen de coordenadas de este sistema justamente en el centro de masa.
En general, este
inercial
P ~marco no será inercial: de acuerdo con la ecuación (5), el marco C será
0
sólo cuando i Fi,ext = 0, en cuyo caso ~vCM se mantiene constante. Si llamamos ~ri y ~vi 0 a las
posiciones y velocidades de las partı́culas en el sistema C, usando las ecuaciones (2) y (3) obtenemos
~ri = ~r 0i + ~rCM ,
~vi = ~v 0i + ~vCM .
Dado que los vectores ~r 0i están referidos al CM, se tiene además
X
mi ~r 0i = 0 ,
(6)
(7)
i
y asimismo, la cantidad de movimiento total del sistema de partı́culas en el marco C es nula:
X
P~total 0 =
mi ~v 0i = 0.
(8)
i
Pasemos ahora a estudiar qué ocurre con el momento angular total del sistema en los diferentes
marcos de referencia S y C. En el sistema S, el momento angular total del sistema de partı́culas
referido al origen O está dado por
X
X
~ (O) =
~ri × p~i =
mi ~ri × ~vi .
(9)
L
i
i
Ahora bien, usando las relaciones (6) se tiene
X
~ (O) =
L
mi (~r 0i + ~rCM ) × (~v 0i + ~vCM ) .
i
2
(10)
Expandiendo el producto,
X
X
X
X
~ (O) =
L
mi ~r 0i × ~v 0i +
mi ~rCM × ~v 0i +
mi ~r 0i × ~vCM +
mi ~rCM × ~vCM . (11)
i
i
i
i
P
Sacando fuera de las sumatorias a los factores comunes a todos los términos, y usando M = i mi ,
se puede reescribir esta expresión como
X
X
X
~ (O) =
mi ~r 0i × ~v 0i + ~rCM ×
mi ~v 0i + (
mi ~r 0i ) × ~vCM + M ~rCM × ~vCM . (12)
L
i
i
i
Del lado derecho de la igualdad se tienen cuatro términos. Pero teniendo en cuenta las relaciones
(7) y (8) puede verse fácilmente que el segundo y el tercero son nulos. Por otra parte, el primer
término no es otra cosa que el momento angular total del sistema de partı́culas en el marco C,
respecto del centro de masa. Se tiene entonces
~ (O) = L
~ (CM ) + M ~rCM × ~vCM .
L
(13)
Esta relación es muy importante. Vincula el momento angular total de un sistema de partı́culas
respecto de un punto O, en un dado sistema S, con el momento angular total del mismo sistema
de partı́culas respecto del centro de masa en el sistema C.
Cambio en el tiempo del momento angular
Veamos ahora qué ocurre con el cambio del momento angular total en el tiempo para un sistema
(O)
y otro. Llamemos ~τi,ext al torque neto ejercido por fuerzas externas al sistema sobre la partı́cula i,
con respecto al origen O. De acuerdo con la definición previa de F~i,ext , se tendrá
(O)
~τi,ext = ~ri × F~i,ext .
(14)
Dado que O está fijo al sistema S (inercial), como hemos visto en clase debe cumplirse que
X
(O)
~τi,ext =
i
~ (O)
dL
.
dt
(15)
Lo que queremos averiguar es qué ocurre con el cambio del momento angular total con respecto al
centro de masa, que en general no está fijo a un sistema inercial de referencia. Para estudiar esto,
veamos primero que a partir de (6) y (14) se cumple la siguiente relación:
X
X
X
X (O)
~τi,ext =
(~r 0i + ~rCM ) × F~i,ext =
~r 0i × F~i,ext +
~rCM × F~i,ext .
(16)
i
i
i
i
Aquı́ , el primer término del lado derecho no es otra cosa que la suma de los torques externos con
respecto al centro de masa. Sacando ~rCM como factor común en el segundo término se tiene
X (CM )
X
X (O)
~τi,ext =
~τi,ext + ~rCM ×
F~i,ext ,
(17)
i
i
i
3
es decir que el torque total externo sobre el sistema con respecto a O es igual al torque total
externo sobre el sistema respecto del centro de masa, más el torque que ejercerı́a respecto de O la
fuerza externa total, si esta fuerza total estuviese ejercida sobre el centro de masa. Entendemos
por “fuerza total externa” a la suma de las fuerzas netas ejercidas por agentes externos sobre todas
las partı́culas del sistema.
~ (O) por la expresión en la ecuación
Finalmente, consideremos la ecuación (15), y reemplacemos L
(13). Se tendrá ası́
X
´
~ (CM )
d ³ ~ (CM )
dL
d
L
+ M ~rCM × ~vCM =
+ M (~rCM × ~vCM ) ,
dt
dt
dt
(O)
~τi,ext =
i
(18)
y desarrollando la derivada del producto en el último término,
X
(O)
~τi,ext =
i
~ (CM )
dL
d~rCM
d~vCM
+ M
× ~vCM + M ~rCM ×
.
dt
dt
dt
(19)
Ahora bien, como d~rCM /dt = ~vCM , en el segundo término del lado derecho se tiene ~vCM × ~vCM ,
que es igual a cero. Mientras que, usando la ecuación (5), el último término puede escribirse como
M ~rCM ×
X
d~vCM
d~vCM
= ~rCM × (M
) = ~rCM ×
F~i,ext .
dt
dt
(20)
i
De este modo la ecuación (19) puede reescribirse como
X
(O)
~τi,ext =
i
X
~ (CM )
dL
+ ~rCM ×
F~i,ext .
dt
(21)
i
A partir de las ecuaciones (17) y (21) es inmediato observar que se satisface la relación
X
(CM )
~τi,ext
=
i
~ (CM )
dL
.
dt
(22)
Este resultado es muy importante. Como puede verse, la ecuación (22) es similar a la (15), que fue
deducida en clase a partir de las leyes de Newton. Pero existe una diferencia fundamental entre
ambas ecuaciones: en la (15) los torques y el momento angular están definidos con respecto a un
punto fijo a un sistema inercial, mientras que en la (22) el punto respecto del cual se han evaluado
los torques y el momento angular es el centro de masa del sistema de partı́culas. Hemos mostrado
aquı́ que la ecuación (22) sigue siendo válida, aún cuando el centro de masa no está en reposo
respecto de un marco de referencia inercial.
Referencia: “FISICA, Vol 1: Mecánica. Edición revisada y Aumentada”. Autores M. Alonso y
E. J. Finn. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. Wilmington, E.U.A., 1986. Secciones 9.2 y 9.4.
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