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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor Rodrigo Vergara R
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor Rodrigo Vergara R
0204) Fuerzas de Roce
Existen dos tipos de roce:
• Roce estático, asociado a un cuerpo en reposo (figura 3a)
• Roce dinámico o cinético, asociado a un cuerpo en movimiento (figura 3b)
A) Roce por contacto
(a)
Figura 1) Rugosidad en superficies de contacto que causan la existencia de
fuerzas de roce
Se denomina roce o fricción a aquella fuerza que aparece
en la superficie de contacto de dos cuerpos diferentes en
movimiento relativo. Siempre que la superficie de un
cuerpo se desliza sobre la de otro, cada cuerpo ejerce una
fuerza de roce sobre el otro, siendo dichas fuerzas
paralelas a la superficie y constituyendo ambas un par
acción reacción.
Figura 2) La fuerza de roce se
opone al movimiento.
Se debe en gran medida a las irregularidades de las
superficies que entran en contacto, como las que se
aprecian en la figura 1. Su intensidad depende del tipo de
fs = 0
(a)
•
Ventajas del roce
Permite que los autos avancen,
que las personas caminen y que
los clavos cumplan su función,
entre otras cosas.
(b)
Figura 3) (a) Fuerza de roce estática; (b) Fuerza
de roce dinámica o cinética
•
•
•
Desventajas del roce
Pérdidas de energía en los mecanismos
Menor eficiencia de las máquinas. Un
porcentaje no despreciable de la potencia de los
motores se usan para vencerlo.
Desgaste de los cuerpos que permanecen en
contacto (ruedas, ejes, cojinetes, etc)
fs = F '
La fuerza de roce estática fs es una fuerza que aparece cada vez que un cuerpo tiende a deslizarse
sobre una superficie y se opone al posible deslizamiento. Podemos caracterizarla en tres
situaciones:
•
•
•
En la siguiente tabla se muestran las
ventajas y las desventajas de la existencia
de roce.
(c)
Figura 4) Fuerza de roce estática. (a) Reposo; (b) Equlibrio estático; (c)
Movimiento inminente
materiales en contacto y de la intensidad con
que una superficie comprime a la otra.
Por definición, el roce se opone al
movimiento, por lo que la fuerza de roce
tendrá sentido opuesto a éste, tal como se
aprecia en la figura 2.
(b)
En la situacion de reposo (figura 4a), no
hay ninguna fuerza que intente provocar
deslizamiento, por lo que fs = 0.
En la situación de equilibrio estático
(figura 4b), la fuerza F’ aplicada sobre el
cuerpo no es suficiente para provocar su
deslizamiento, debido a que la fuerza de
fricción se encarga que mantener el
equilibrio estático. De ahí que fs = F’.
En la situación de movimiento inminente
Figura 5) Fuerza de roce cinética
(figura 4c), el cuerpo está “a punto” de
deslizarse. En este punto, la fuerza fs alcanza un umbral dado por fs = f smáx = µ s ⋅ N ,
donde:
o fsmax es la mínima
fuerza que se requiere
para que el cuerpo
inicie su movimiento
o N es la fuerza normal
del cuerpo.
o µs (µe) es el
coeficiente de roce
estático. Es una
constante
adimensional
que
Figura 6) Regiones estática y dinámica
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depende de las superficies en contacto. En general, 0 ≤ µs < 1
La fuerza de roce cinética o dinámica fk es aquella que se presenta cuando el cuerpo está en
movimiento (ver figura 5). Es de valor constante y está dada por f k = µ k ⋅ N , donde:
•
•
N es la fuerza normal del cuerpo.
µk (µc) es el coeficiente de roce cinético. Es una constante adimensional que depende de
las superficies en contacto. En general, 0 ≤ µk ≤ µe < 1
En la figura 6 se muestra la relación entre la fuerza de roce y la fuerza aplicada al cuerpo. Para F <
fsmax, el cuerpo está en la región estática, y
la fuerza de roce es estática. Para F ≥ fsmax
el cuerpo está en la región cinética, y la
(a)
fuerza de roce es cinética.
El roce por deslizamiento se rige por las
siguientes leyes:
• Ley Nº1) Los coeficientes de roce
dependen de la naturaleza de las
sustancias en contacto. No es el
mismo coeficiente si se trata de
hierro sobre hierro, madera sobre
madera o madera sobre hierro (ver
figura 7a)
• Ley Nº2) Los coeficientes de roce
dependen
del
grado
de
pulimentación o rugosidad de las
superficies, es decir, si son lisas o
rugosas (ver figura 7b)
(b)
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B) Las fuerzas de roce viscosa y de arrastre
Las fuerzas de roce viscosa y de arrastre son aquellas fuerzas de roce provocadas por la
interacción de un cuerpo en un medio líquido o gaseoso. Ejemplos de estos fenómeno son:
• Roce sobre un cuerpo sumergido en agua o aceite
• Roce sobre un cuerpo en caída vertical en la atmósfera
En la figura 9 se muestra un cuerpo de masa m
cayendo a gran altura desde el reposo. En la
situación inicial (figura 9a), a velocidad inicial del
cuerpo es cero. La fuerza de frenado es cero y el
cuerpo cae efectivamente en caída libre. Pero a
medida que aumenta la velocidad, aumenta la
fuerza de frenado D, disminuyendo la aceleración
neta del cuerpo (figura 9b). Finalmente, en el
momento en que la fuerza de frenado D se iguala
al peso, el cuerpo adquiere una velocidad terminal
vT (figura 9c).
•
•
m
m
mg
mg
(a)
(b)
(c)
(d)
Fuerzaa de roce viscosa) Asume que la fuerza
de arrastre D es directamente proporcional a la velocidad del objeto, esto es:
Ley Nº3) Las fuerzas de roce son
independientes de las áreas de las
superficies en contacto (ver figura
7c)
Ley Nº4) La fuerza de roce cinética
es
independiente
de
las
velocidades de los cuerpos en
contacto (ver figura 7d)
Ley Nº5) Las fuerzas de roce son
siempre opuestas al deslizamiento
y tangentes a las superficies en
contacto (ver figura 8)
m
mg
(c)
Figura 9) Movimiento vertical con fricción de aire.
(a) Situación de inicio; (b) Situación transiente; (c)
Situación terminal.
D(v ) = −b ⋅ v [1]
Donde v es la velocidad instantánea del cuerpo, y b es un coeficiente de roce viscoso, que depende
de las propiedades del cuerpo (tamaño y forma) y de las propiedades del aire, especialmente su
densidad. Este modelo es válido para objetos que caen lentamente en el aire, y para objetos muy
peqiueños, como partículas de polvo. El signo menos de [1] indica que la fuerza de arrastre se
opone al aumento de velocidad.
Aplicando la 2º Ley de Newton al cuerpo de masa m
m ⋅ g − b ⋅v = m ⋅ a ⇒ a = g −
b
⋅ v [2]
m
donde a es la aceleración neta del cuerpo. Expresando a = dv/dt
dv
b
= g − ⋅v ⇒
dt
m
Figura 8) Ley Nº05 del roce por deslizamiento
D
En general, la magnitud de la fuerza de frenado
puede depender de la velocidad de formas muy
complejas. Para efectos de este curso, se van a
considerar dos modelos:
Figura 7) Leyes del roce por deslizamiento. (a) Ley Nº1;
(b) Ley Nº2; (c) Ley Nº3; (d) Ley Nº4; (e) Ley Nº5.
•
D
dv
dv
b
= dt ⇒
= dt [3]
b
mg
m
g − ⋅v
−v
m
b
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Integrando ambos lados de [2], suponiendo caída libre, es decir v(0) = 0 y sabiendo que
dv
∫ k − v = −ln(k − v )
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desplazan a grandes velocidades. El signo menos de [7] indica que la fuerza de arrastre se opone al
aumento de velocidad.
 mg

v
t
−v 
t

dv
b
b
b
 mg

b
∫0 mg = ∫0 m dt ⇒ − ln b − v  = m ⋅ t 0 ⇒ ln mg  = − m ⋅ t
0
−v


b
 b 
mg
−v
b
b
− ⋅t
mg
mg − m ⋅t
⇒ b
=e m ⇒
−v =
⋅e
[4]
mg
b
b
b
b
b
− ⋅t 
− ⋅t 

mg 
m 
m 

⇒ v = v (t ) =
1
−
e
=
v
1
−
e
T


b 



Aplicando la 2º Ley de Newton al cuerpo de masa m
v
donde vT = mg/b es la velocidad terminal del cuerpo
m ⋅ g −α ⋅v 2 = m ⋅ a ⇒ a = g −
dv
α
= g − ⋅v 2 ⇒
dt
m
y
v (t )=
t
dy
⇒ dy = v ( t ) ⋅ dt ⇒ ∫ dy = ∫ v ( t ) ⋅ dt
dt
0
0
t
b
b
− ⋅t 
− ⋅t 
mg 
mg 
mg  m - mb t m 
m
m
1 − e
 ⋅ dt =
1 − e
 ⋅ dt =
 t + e −  [6]
∫
b 
b 0
b 
b
b


0
t
⇒ y = y ( t ) =∫
=

mg  m  - mb t
 t +  e − 1  
b 
b

Fuerza de roce de arrastre) Asume que la fuerza de arrastre D es directamente proporcional al
cuadrado de velocidad del objeto, esto es:
D(v ) = −α ⋅ v 2 [7]
Donde v es la velocidad instantánea del cuerpo, y α es una constante de proporcionalidad que
depende de las propiedades del cuerpo (tamaño y forma) y de las propiedades del aire,
especialmente su densidad. Este modelo es válido para objetos de mayor dimensión que se
dv
g−
α
m
= dt ⇒
⋅v 2
dv
α
= dt [9]
mg
m
−v2
α
Integrando ambos lados de [9], suponiendo caída libre, es decir v(0) = 0, y sabiendo que
du
1
a+u
∫ a 2 − u 2 = 2a ⋅ ln a − u  :
v
 mg


+v 
t
v
t
dv
α
1
α
α


∫0 mg 2 = ∫0 m dt ⇒ mg ln mg  = m ⋅ t 0 [10]
−v

2⋅
−v 
α
α
 α
0
b
b
b
b
− ⋅t  
− ⋅t
d
d  mg 
mg
 b  − ⋅t mg b − m ⋅t
v ( t )  = 
⋅ ( − 1) ⋅  −  ⋅ e m =
⋅ ⋅e
= g⋅e m
1 − e m   =

dt
dt  b 
b
b m
 m
 
[5]
Por integración, y suponiendo y(0) = 0 se puede hallar la función de posición del cuerpo y(t)
respectivamente
⋅ v 2 [8]
donde a es la aceleración neta del cuerpo. . Expresando a = dv/dt
Derivando el resultado anterior, se obtiene la función de aceleración del cuerpo a(t)
a (t ) =
α
m
Si v T =
mg
α
es la velocidad terminal del cuerpo
v
t
v
v +v 
1
1   vT + v 
α
 − ln T
 = ⋅ t ⇒
ln T
ln
2 ⋅ vT  vT − v  0 m 0
2 ⋅ vT   vT − v 
 vT
 α
  = ⋅ t
 m
2 ⋅vT ⋅α
2 ⋅v T ⋅α
⋅t
⋅t
 v + v  2 ⋅ vT ⋅α
v +v
 =
⇒ ln T
⋅t ⇒ T
= e m ⇒ v T + v = e m (v T − v )
v
v
m
v
v
−
−
T
 T

2 ⋅v T ⋅α
2 ⋅vT ⋅α
⋅t
⋅t
 2 ⋅vT ⋅α ⋅t

 2⋅vT ⋅α ⋅t
 [11]
⇒ v T + v = v T ⋅ e m − v ⋅ e m ⇒ v ⋅  e m + 1  = v T ⋅  e m − 1 




 2⋅vmT ⋅α ⋅t

e
−1 
⇒ v = v (t ) = v T ⋅  2 ⋅v ⋅α
 = vT
T
 e m ⋅t + 1 




2


⋅ 1 − 2⋅v ⋅α

T
⋅t

e m +1

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En [11], se observa que t → ∞ ⇒ e
2 ⋅vT ⋅α
⋅t
m
2
+1 → ∞ ⇒
e
vT =
mg
α
2 ⋅vT ⋅α
⋅t
m
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→ 0 ⇒ v ( t ) → vT . Así,
+1
Gráfico fuerza v/s desplazamiento
corresponde efectivamente a la velocidad terminal del cuerpo.

2 ⋅vT ⋅α
 2 ⋅ 2 ⋅ vT ⋅ α ⋅ e m ⋅t



2
m
  = vT ⋅ ( −1) ⋅  −
⋅ 1 − 2⋅vT ⋅α

2
2 ⋅vT ⋅α
⋅t



⋅t



m
 e m +1 
e
+
1






mg
4⋅
⋅ α 2⋅vT ⋅α ⋅t
2 ⋅vT ⋅α
α
⋅t
⋅e m
e m
m
=
=
4
⋅
g
⋅
2
2
 2⋅vmT ⋅α ⋅t

 2⋅vmT ⋅α ⋅t

e
+
1
e
1
+








2
T
2 ⋅vT ⋅α
⋅t
m
4 ⋅ v ⋅α
⋅e
m
=
2
 2⋅vmT ⋅α ⋅t

e
+
1











•
•
t →0 ⇒e
t →∞⇒e
2 ⋅vT ⋅α
⋅t
m
→1 ⇒
e

e

→∞⇒
2 ⋅vT ⋅α
⋅t
m
2 ⋅vT ⋅α
⋅t
m
e

+1

→
2
2 ⋅vT ⋅α
⋅t
m
2
 2⋅vmT ⋅α ⋅t

+1 
e


A
x1
x2
x
Figura 11) Gráfico de fuerza v/s
desplazamiento
[12]
A partir de 12, se pueden hacer las siguientes observaciones
2 ⋅vT ⋅α
⋅t
m
F
En la figura 11 se muestra un gráfico de fuerza en
función del desplazamiento. Un caso típico en el cual
se usan estos gráficos es el de la fuerza interna de un
resorte. Posteriormente en este curso veremos que el
producto de la fuerza por el desplazamiento es
igual al trabajo mecánico. De eso, podemos deducir
que el área bajo la curva del gráfico F v/s x entre x1 y
x2 para un cuerpo en movimiento es igual al trabajo
mecánico entregado por F sobre el cuerpo entre los
instantes en que sus posiciones son x1 y x2.
Derivando [11], se obtiene la aceleración del cuerpo a(t).

d
d
a ( t ) = v ( t )  = vT
dt
dt 

v1 y v2.
1
⇒ a (t ) → g
4
→ 0 ⇒ a (t ) → 0
C) Interpretación de gráficos de fuerza
F
Gráfico fuerza v/s tiempo
(a)
Fmáx
En la figura 12 se muestra un gráfico de fuerza en
función del tiempo. Un caso típico en el cual se usan
estos gráficos es el de las fuerzas impulsivas, que
son aquellas de gran magnitud y que se aplican en
un período de tiempo muy corto (por ejemplo, la
fuerza de un martillo que golpea sobre un clavo). Sea
A el área bajo la curva de F v/s t entre los instantes t1
y t2. En la figura 12b se muestra un gráfico de
aceleración v/s tiempo, que resulta de dividir el
gráfico de la figura 12a por la masa m del cuerpo al
cual es aplicada la fuerza. Luego, todos los
parámetros quedan divididos por m, entre ellos el
A
área bajo la curva, dada por A' =
. De la
m
cinemática, sabemos que el área bajo la curva del
gráfico a v/s t para un móvil entre los instantes t1 y t2
es igual al cambio de velocidades v2 – v1 entre tales
instantes. Así.
A
t1
a= F
Fm á x
m
t
t2
m
A' =
(b)
A
m
t1
t2
t
Figura 12) (a) Gráfico de fuerza v/s
tiempo; (b) Gráfico de aceleración v/s
tiempo
Gráfico fuerza v/s velocidad
En la figura 10 se muestra un gráfico de fuerza en función de la
velocidad. Un caso típico en el cual se usan estos gráficos es el de
las fuerzas viscosa y de arrastre vistas en la sección precedente.
Posteriormente en este curso veremos que el producto de la
fuerza por la velocidad es igual a la potencia. De eso, podemos
deducir que el área bajo la curva del gráfico F v/s v entre v1 y v2
para un cuerpo en movimiento es igual a la potencia entregada por
F sobre el cuerpo entre los instantes que éste viaja con velocidades
A' =
Figura 10) Gráfico de fuerza v/s
velocidad
A
= v 2 - v1 ⇒ A = m ⋅ ( v 2 - v1 )
m
Luego, el área bajo la curva del gráfico F v/s t para un móvil entre los instantes t1 y t2 es igual al
producto de la masa m por el cambio de velocidades v2 – v1 entre tales instantes. Posteriormente en
el curso, veremos que la cantidad física m·v es conocida como moméntum lineal, y que el área bajo
la curva del gráfico F v/s t es denominada impulso, que tiene las mismas dimensiones que el
moméntum lineal.