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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Introducción:
La descripción de las características dinámicas de un sistema
se expresan a través de modelos matemáticos, siendo estos
modelos, sistemas de ecuaciones diferenciales con el tiempo como
variable.
La finalidad de este capitulo es una revisión de las leyes
básicas asociadas con mecánica, electricidad, termodinámica y
fluídrica. Este conocimiento representa el primer paso para el
planteamiento de las ecuaciones diferenciales que rigen la dinámica
del sistema físico considerado.
Las ecuaciones obtenidas se limitarán tanto a los sistemas
lineales como a aquellos otros sistemas que puedan representarse
por ecuaciones lineales en sus márgenes prácticos de
funcionamiento.
Se verán también algunos componentes simples que
normalmente aparecen en los sistemas de control y cuyo
comportamiento esta regido por las leyes básicas a las cuales se
hará referencia, estableciéndose además analogías directas entre
las relaciones eléctricas, térmicas y fluídricas.
Relaciones mecánicas.
El estudio de las vibraciones es uno de los problemas más
interesantes en el estudio de la mecánica. En general se puede
decir que una vibración se produce cuando se desplaza o se separa
un sistema cualquiera de su posición de equilibrio estable y, debido
a la presencia de fuerzas recuperadoras, el sistema trata de
regresar a su posición original. Si el movimiento se mantiene debido
a las fuerzas recuperadoras, la vibración se denomina libre y si se
aplica al sistema una fuerza periódica, se llama vibración forzada.
Sistemas mecánicos de traslación.
Los sistemas mecánicos obedecen a la ley básica de que la
suma de las fuerzas debe ser cero. Esta ley, conocida como ley de
Newton, puede interpretarse como sigue: la suma de las fuerzas
aplicadas debe ser igual a la suma de las fuerzas resistentes. Las
tres cualidades que caracterizan a los elementos de un sistema de
traslación mecánica son masa, elastancia y amortiguamiento.
Se comenzará e estudio considerando un sistema
amortiguado compuesto por masa-resorte sin fricción (fig. 1)
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
El desplazamiento de la masa se considerará nulo cuando el
sistema esté en equilibrio, es decir, cuando en el resorte no existe
tensión ni compresión y, por lo tanto, no se ejerce fuerza sobre la
masa. Se adopta una convención de signos, de modo que los
desplazamientos en la dirección de la flecha, a la derecha en este
caso, se tomarán como positivos; y serán negativos aquellos que
ocurran en sentido contrario.
Es importante indicar que esta convención se aplica no
solamente al desplazamiento sino también a la fuerza, la velocidad
y la aceleración.
La segunda ley de Newton puede expresarse como:
∑ F = M .a = M .Dv = M .D
2
x (ec. 1)
La elastancia o el coeficiente elástico K, representa la fuerza
recuperadora del resorte, así si es traccionado el resorte tiende a
contraerse, mientras que si se comprime tiende a recuperar su
longitud primitiva. La fuerza recuperadora en cada extremo del
resorte es la misma y es igual al producto del coeficiente de
elasticidad K por el valor de la deformación del resorte.
El desplazamiento de cada extremo del resorte se mide a
partir de la posición original de equilibrio. Así el extremo b tiene la
posición χ b y el extremo a la posición χ a , la ecuación de fuerzas,
según la ley de Hooke y siguiendo la convención impuesta al signo
es:
f R = − K ( χ b − χ a ) (ec. 2)
Si en cambio esta fijo el extremo a, tal como lo muestra la fig.
1, la ecuación se reduce a:
f R = − Kx (ec. 3)
Es importante hacer notar que siguiendo la convención de
signos esta fuerza resulta negativa cuando la masa se desplaza en
dirección positiva (hacia la derecha) siendo esta la expresión
correcta de la fuerza para cualquier desplazamiento posible. Si x es
cero, fR es cero, esto es correcto por que el desplazamiento se tomó
como nulo en la posición que inicialmente se llamó de equilibrio. Si
en cambio x es negativo, o sea, la masa se desplaza a la izquierda,
fR es positiva. Esto resulta correcto ya que el resorte estará
comprimido y hará que la masa se mueva en dirección positiva.
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Dado que la fuerza debida al resorte es la única fuerza que
actúa sobre la masa, la ecuación diferencial sobre la masa puede
escribirse:
∂2x
M 2 = ∑ F = f R = − K .x (ec. 4)
∂t
O bien:
M .D 2 x + K .x = 0 (ec. 5)
Obviamente, el comportamiento de cualquier sistema físico es
independiente de cualquier convención de signo que se pudiera
adoptar. Si se invierte la convención se podrá observar que se llega
a la misma ecuación diferencial.
En el sistema analizado, el peso no es un factor, sin embargo
lo es en el sistema masa-resorte de la fig. 2
Fig. 1
Fig. 2
Cuando el sistema se encuentra en reposo el desplazamiento
x es nulo y el resorte debido a la acción del peso de la masa se
estira a una distancia δ, conocida como deflexión estática, siendo
este desplazamiento:
m

2
m.g
 seg  m.g
[m]
= Kg 
δ=
=
New 
K
K

m 
ec. 6
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Considérese un desplazamiento x en la dirección indicada en
la fig. 3, suponiendo x = 0; cuando la masa se encuentra en la
posición que se muestra.
El método de la flecha indica que los desplazamientos hacia
arriba se tomarán como positivos.
Fig. 3
La fig. 4 muestra el diagrama de cuerpo libre de la masa
cuando x se desplaza hacia arriba desde su posición de equilibrio,
en este caso, están actuando fuerzas, fig. 4 por un lado, el peso mg
(siendo g la aceleración de la gravedad) dirigido hacia abajo, y por
otro lado, la fuerza FR del resorte actuando hacia arriba. La fuerza
debido al resorte es igual a la constante K del resorte multiplicada
por la extensión del mismo que es (δ-x).
Fig. 4
Aplicando la ley de Newton al estudio y considerando
positivos los desplazamientos y fuerzas hacia arriba, se tiene:
∑ F = m.a = M .D
2
x = K (δ − x ) − m.g
ec. 7
Sustituyendo la expresión de δ en la ecuación anterior:
Kmg
 m.g

− x  − mg = ma =
− Kx − mg = ma
K
K

∑ F = K 
ec. 8
O bien:
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MD 2 x + Kx = 0
ec. 9
Obsérvese que al tocar como punto de referencia x = 0, la
posición de equilibrio, el peso no tuvo efecto alguno en la ecuación
diferencial, pues esta resulto ser la misma que la del sistema
anterior en la cual el peso no intervenía. De ahora en adelante se
escogerá como punto de referencia la posición de equilibrio de
manera de eliminar la acción del peso.
Otro de los elementos que normalmente intervienen en el
movimiento de traslación es el rozamiento. Este se encuentra
presente siempre que exista momento relativo entre dos cuerpos
físicos.
La fricción no siempre es un fenómeno indeseable, y muchas
veces es inducida deliberadamente para producir un efecto de
amortiguamiento sobre las masas en movimiento.
Desde el punto de vista del control automático, un sistema sin
ninguna clase de rozamiento presentaría problemas de estabilidad y
deberían introducirse en el mismo fuerzas de rozamiento para
mejorar su funcionamiento.
El rozamiento que se encuentra en los sistemas físicos
generalmente es no lineal. Además, la naturaleza de las fuerzas de
rozamiento entre dos superficies dadas depende, de factores tales
como las condiciones de la superficie, la presión entre las
superficies, su velocidad relativa y otros, resultando la expresión
matemática de esta fuerza muy compleja. Sin embargo, se
acostumbra a usar la siguiente expresión para describir la fuerza de
la fricción:
v
Ff = Fc   ± ( Fe )v =0 + C.v(t ) + C1.v 2 (t ) + C2 .v3 (t ) + ....
v
ec. 10
Y donde Fc, Fe, C, C1, C2 son constantes y la velocidad v,
lineal. El primer término del segundo miembro de la ec. 10 se llama
rozamiento de Coulomb, siendo Fc el coeficiente de rozamiento de
Coulomb. La fuerza de rozamiento de Coulomb tiene amplitud
constante respecto a las variaciones de velocidad, pero su signo
cambia al invertirse el sentido de v. la fig. 5a muestra la
representación gráfica de la relación fuerza-velocidad del
rozamiento de Coulomb.
El segundo término de la ec. 10 se define como la fuerza de
rozamiento estático, y existe solamente cuando el cuerpo está en
reposo pero tendiendo al movimiento. O sea, la fuerza de
rozamiento estático tiende a oponerse a cualquier intento de
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movimiento, fenómeno observado y experimentado en la vida
cotidiana. Por lo tanto el signo del rozamiento estático depende,
también, del sentido del movimiento o del sentido inicial de la
velocidad. La relación fuerza-velocidad del rozamiento estático se
muestra en la fig. 5b. es importante indicar que una vez iniciado el
movimiento la fricción estática desaparece, y actúan otros
rozamientos.
Los restantes términos de la ec. 10 se consideran una
aproximación en serie del rozamiento no lineal, exceptuando el
término C.v(t) los demás términos son relaciones no lineales.
Despreciando todos los términos, excepto el termino lineal, la ec. 10
se transforma en:
Ff (t ) = C.v(t ) = C.
∂x(t )
∂t
ec. 11
Este rozamiento lineal es conocido como rozamiento viscoso,
y la constante C como coeficiente de amortiguamiento viscoso. La
fig. 5c muestra la representación de la relación fuerza-velocidad del
rozamiento viscoso.
Existen mecanismos físicos que proveen una fuerza de
fricción la cual es proporcional a la velocidad. Estos elementos son
conocidos como amortiguadores viscosos.
Fig. 5: Fuerzas de rozamiento lineales y no lineales.
a) Rozamiento de Coulomb.
b) Rozamiento elástico
c) Rozamiento viscoso (lineal)
El amortiguador es un dispositivo que consiste e un pistón o
émbolo frecuentemente provisto de orificios, que se mueve en un
cilindro relleno de una sustancia viscosa, comúnmente aceite (fig.
6). Cualquier movimiento relativo entre el eje del pistón y cilindro,
encuentra una resistencia producida por la sustancia viscosa, que
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fluye a través de los orificios del pistón o alrededor de él, de un lado
a otro. Cuanto mayor sea la velocidad relativa, mayores deberán ser
la rapidez del flujo a través del pistón y la diferencia de presión a
través del pistón a fin de que haya flujo de fluido. Es esta diferencia
de presión la que produce la fuerza de rozamiento.
Fig. 6: Amortiguador viscoso
En otras palabras, al aplicarle una fuerza al eje del pistón
manteniendo fijo al cilindro, una presión se ejercerá sobre la cara
del pistón para resistir la fuerza. La diferencia (caída) de presión
entre las caras del pistón, causa un flujo q, y el pistón se mueve en
el cilindro. Considerando despreciable la masa del elemento móvil,
la segunda ley de Newton puede expresarse como:
∂ 2 x(t )
∑ F = m. ∂t = 0
F − A∆P = 0
ec. 12
ec. 13
Siendo A el área del pistón.
Si el fluido es incompresible, el caudal z debe ser igual al
desplazamiento volumétrico del pistón en el cilindro, esto es:
q = A.v(t )
ec. 14
Donde v(t) es la velocidad del pistón en el cilindro. Si la
velocidad del flujo del fluido a través de los orificios es pequeña, el
flujo pasante es laminar y el caudal es proporcional a la caída de
presión AP, esto es:
q = K . AP ec. 15
Luego, reemplazando las ec. 14 y 15 en la ec. 13 resulta:
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F = A∆P = A
q A2
=
.v(t ) = C.v(t )
K K
ec. 16
La ec. 16 demuestra que el amortiguamiento operando bajo
estas condiciones es de naturaleza viscosa, puesto que la fuerza es
proporcional a la velocidad en una constante C, siendo esta
constante el coeficiente de amortiguamiento.
El valor del coeficiente de amortiguamiento C da el grado de
amortiguamiento viscoso operado.
Normalmente, un amortiguador se representa tal como se
muestra en la fig. 7.
La ecuación que describe el comportamiento dinámico de este
dispositivo es la siguiente:
 ∂x ∂x 
Ff = C.  1 − 2 
∂t 
 ∂t
Donde
ec. 17
∂x1 ∂x2
son las velocidades del eje del pistón y del
y
∂t ∂t
cilindro respectivamente.
Fig. 7: Representación gráfica de un amortiguador
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Sistema de Palancas
Las palancas se usan para proveer relaciones entre
desplazamientos, fuerzas, velocidades y aceleraciones. La fig. 8
muestra una simple palanca, de la cual se deduce que:
Fig. 8
Por relación de triángulos:
x0
a
=
xi a + b
ec. 18
Donde x0 y xi son desplazamientos.
De igual forma se pueden relacionar también velocidades y
aceleraciones, esto es:
•
••
x0 x0 x0
a
= • = •• =
xi x
xi a + b
i
ec. 19
Es factible relacionar fuerzas. Para hallar esta relación se
planea la siguiente ecuación de movimiento respecto a la
articulación O:
∑M
fi
= Fi (a + b) − F0 a = 0 ⇒
F0 a + b
=
Fi
a
ec. 20
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Relaciones Eléctricas
Los sistemas eléctricos son esencialmente redes o circuitos
eléctricos en los cuales se encuentran 2 tipos de elementos:
pasivos y activos. Los primeros acumulan energía, que en un
momento dado puede ser devuelta a la red, en cambio que los
activos son capaces de proporcionar energía externa al sistema.
Ejemplo de los primeros son resistencias, capacidades e
inductancias y de los segundos las fuentes de tensión y corriente.
En la siguiente tabla se pueden observar los elementos más
comunes en los circuitos eléctricos, con sus representaciones
gráficas y relaciones tensión corriente.
Elementos Fuentes de
Tensión
Activos
V
Fuentes de
Corriente
i
Elementos Resistencia V = R.i
Pasivos
Ley de Ohm
i = e/Rt
Q
1
Capacitor
v=
i + 0 dt
C∫
C
Ley de Faraday
∂u
i=e
∂t
∂i
v = L.
∂t
Ly de Henry
1
i = ∫ v.dt
L
t
Inductancia
Resistencias
La diferencia de potencial (caída de voltaje) a través de un
resistor causa el flujo de corriente según la ley de ohm.
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∆E = i.R
Donde AE es la diferencia de potencial, volt, i es el flujo de
corriente, coulombs/segundos o amper y R es la resistencia del
resistor, volt segundos/coulombs = volt/amper = ohm.
Capacitores
El potencial en un capacitor eléctrico esta relacionado con la
corriente por el mismo, por la ley de Faraday:
t2
∆E = ∫ i.dt
t1
Donde (t2-t1) es el tiempo durante el cual circula la corriente i;
AE es el cambio del voltaje en el tiempo (t2-t1): C es la capacidad
en coulombs/volt o faradio. La ecuación anterior puede ser escrita
en forma operacional:
∆E =
i
CD
Donde 1/D denota ∫dt de los parámetros asociados.
Considerando que
t2
∫ i.dt = Q
[coulomb] es la cantidad de carga que
t1
fluye en el capacitor en el tiempo (t2-t1), luego C = Q/E`
Relación que se usa generalmente para definir C.
El concepto de condensadores es el de almacenar energía.
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Inductancia.
El voltaje y la corriente a través de un inductor lineal estan
relacionados de acuerdo a la ley de Henry:
∆E = L
∂i
= LDi
∂t
Donde AE es la caída de voltaje, y L es la inductancia del
inductor en [volt/segundo/amper]= henry.
El concepto de inductancia, es el elemento inercial del sistema
eléctrico que se opone al campo y almacenar energía en el campo
magnético.
El camino clásico para establecer las ecuaciones de las redes
eléctricas incluye los métodos de mallas y nodos; formulados a
partir de las leyes de Kirchhoff. ∑Vk = 0 y ∑ik = 0; que establecen
respectivamente, que la suma algebraica de las tensiones
existentes, a lo largo de un circuito cerrado es cero y que la suma
de los momentos que parten o llegan a un mismo nodo es igual a
cero.
El circuito mostrado en la fig 15 está compuesto por una
resistencia y una inductancia en serie, a las cuales se les aplica un
voltaje V. usando las expresiones que se dan en la tabla a1 y las
leyes de Kirchhoff se tiene:
e − Ri − L
∂i
=0
∂t
o bien:
L
∂i
+ Ri = e
∂t
ec. 34
Que representa la ecuación diferencial para el circuito.
El circuito que se presenta en la fig. 14b tiene la siguiente
ecuación:
t
∂i
1
L + Ri + ∫ i.dt = V
∂t
C0
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En lo que se ha supuesto que el condensador está
inicialmente descargado, es decir Q0 = 0. Esta ecuación puede
escribirse en otra forma, si se recuerda que la corriente C = dq/dt
donde q es la carga expresada en coulombs. Sustituyendo esta
relación en la ecuación anterior:
∂q q
∂ 2q
L 2 +R
+ =V
∂t C
∂t
ec. 35
Fig. 15: Circuitos eléctricos
Relaciones térmicas
La diferencia de temperatura es la que induce al flujo calórico,
realizando la transferencia de calor de la región de más alta
temperatura en la de más bajas. En todos los casos de propagación
de calor entran en juego uno, dos o tres de los procesos siguientes:
conducción, convección y radiación.
La conducción es la propagación del calor a través de la
materia, pero sin movilización en esta. La teoría cinética explica el
por qué de este fenómeno. Por efecto de la temperatura las
moléculas entran en movimiento en forma violenta y a causa de as
grandes fuerzas de enlace entre ellas, dicho movimiento se
transmite a las otras moléculas, permitiendo de esta manera la
conducción del flujo calórico.
La convección es la propagación del calor mediante el
movimiento de la masa de un fluido, ya sea líquido o gas y tiene
lugar debido a os cambios de densidad que sufre el fluido al
calentarse. Como ejemplos de convención se puede citar el tiro de
las chimeneas, la calefacción de una habitación por medio de una
estufa situada en un rincón y la circulación del agua en un
termosifón.
La radiación es el proceso de conversión de energía interna
de la materia en radiación electromagnética, de naturaleza análoga
a la de la luz y la reconversión de esta energía radiante en energía
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interna, al ser absorbida por cualquier sustancia sobre la cual incida
la radiación.
Conducción
Ignorando las pérdidas de calor en el medio circundante, el
flujo de calor desde un punto de, de un cuerpo homogéneo a otro
punto está regido por la siguiente ecuación: fig. 16
q=K
A.∆T
x
ec. 36
Fig. 16
Donde A es el área de la sección transversal del cuerpo
(asumida aquí constante), x es la longitud del camino de flujo de
calor, k es el coeficiente de transferencia de calor (conductividad
térmica) del material del cuerpo.
Para un conductor en particular K, A y x son constantes y la
ec. 36 se pde escribir como:
q = K 1 ∆T
ec. 37
Donde K1 es la conductividad térmica del cuerpo en [cal/ºC]
Conducción-Convección
Para el simple caso de la transferencia de calor, la proporción
de calor trasferido desde (o a) un cuerpo a (o desde) a un medio
circundante, o entre dos cuerpos adyacentes, es gobernado por la
siguiente relación.
q = K 2 ∆T
ec. 38
En donde K2 es el coeficiente de transferencia de calor por
conducción y convección y ∆T la diferencia de temperaturas. Fig 17
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Fig. 17
En ambos casos las ecuaciones se pueden escribir de la
siguiente forma:
∆T
=R
q
ec. 39
Donde R = 1/K es la resistencia térmica del cuerpo
considerado.
Capacitancia térmica
La capacitancia térmica es una propiedad que determina la
cantidad de calor almacenado en n cuerpo, dando como resultado
un aumento de temperatura en un cuerpo. El cambio de
temperatura de un cuerpo de masa M, cuando recibe un flujo de
calor neto Q, es igual a la proporción de aumento de su energía
interna, esto es:
q=
∂
(C.M .T ) ec. 40
∂t
En donde C es el calor específico, M la masa del cuerpo y T
es su temperatura, comúnmente C y M son constantes por lo tanto:
q = CM
∂T
∂t
ec. 41
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Despejando dT de la ec. 40, se tiene:
∂T =
1
q∂t ec. 42
CM
Integrando esta última ecuación, resulta:
T ´= T
T2
T1
1
=
CM
t2
∫ q.dt
ec. 43
t1
Donde T1 y T2 son las temperaturas del cuerpo en los
instantes de tiempo t1 y t2 respectivamente y T´ es el cambio de
temperatura experimentada por el cuerpo. El producto CM se lo
denomina capacitancia térmica.
Relaciones en fluidos bajo presión.
Los componentes fluídricos son muy usados en los sistemas
de control, donde grandes fuerzas y momentos son requeridos,
como en servomecanismos.
La característica principal de las leyes de flujo de fluidos son
esencialmente no lineales, y esto es debido a que todos los fluidos
presentan un cierto grado de compresibilidad, lo cual introduce un
efecto no lineal en la acción dinámica de los componentes
fluídricos.
Sin embargo, las acciones de muchos componentes de este
tipo pueden linealizarse para dar un aceptable modelo lineal de sus
características dinámicas. Para ello es necesario confiar el análisis
a cambios relativamente pequeños de los estados de los
componentes cerca de su condición media de trabajo. La
linealización requiere la presunción de que el fluido usado es
incompresible. Esta presunción es común con los líquidos a baja
presión y no lo es tanto a altas presiones. En cambio aire y otros
gases son altamente compresibles. Sin embargo, con sistemas de
baja presión de aire, con respuestas lentas, de los tipos usados en
procesos de control, la presunción de que el fluido es incompresible
es frecuentemente satisfactoria.
Las presunciones de que el fluido es incompresible, y
aproximaciones limitadas de las leyes de flujo de fluido, se usarán
en la mayoría de los sistemas.
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Leyes de continuidad y conservación.
Para un flujo continuo sin ramificaciones en su conducto, el
cual es constante en todos sus puntos. Esta condición se puede
expresar así:
q = A.v = cte ec 44
Considérese la figura 18
q = A1v1 = A2 v 2 = A3 v3
Fig. 18
Para el cilindro hidráulico esquematizado en la fig. 19 la
expresión del caudal de flujo de entrada resulta igual a:
q = A.v
ec. 45
Donde v es la velocidad del pistón en el cilindro y A el área
transversal del mismo. Notar que el producto A.v es la proporción
de cambio de volumen de la parte final del cilindro.
Las leyes e conjunto, para los sistemas fluídricos se derivan
de las leyes de balance de presiones y conservación de masa que
con la selección de variables P y q equivalen a:
Fig. 19
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
1º) para un sistema con ramificaciones (fig. 20), la suma
algebraica de los flujos (caudales) en cualquier nodo o unión es
nula, esto es.
∑q = 0
En la figura: ∑q = 0 = q1 – q2 – q3
Ó A1v1 – A2v2 – A3v3 = 0
Fig. 20
2º) en cualquier circuito fluídrico cerrado, la suma algebraica
de las caídas de presión a lo largo del circuito es cero.
∑∆P = 0
ec. 40
Para el circuito fluídrico de la fig. 21 esta ley se expresa como:
∆P = P1 – P0 = ∆P1 + ∆P2 + ∆P3
ec. 49
Fig. 21
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Caudales a través de restricciones.
La restricción es el elemento disipativo de energía en los
sistemas fluídricos y puede materializarse como orificios, capilares,
válvulas, tubos ventura y muchos otros dispositivos controladores ó
medidores que actúan como elementos de control.
Si el flujo a través de la restricción es laminar, luego el caudal
será proporcional a la caída de presión, esto es:
q α ∆P
ec. 50
q/∆P = K ó
∆P/q = 1/K = R
ec. 51
Donde K (una constante) es llamada conductancia de la
restricción, R (una constante) es llamada resistencia de la
restricción en unidades [seg. Kg/M]
Para el caso de un fluido particular fluyendo a través de una
restricción de geometría fija, R y K son constantes absolutas. Sin
embargo, para el caso de válvulas R y K varían con el grado de
operación. Esta característica se representa en la fig. 22.
Si el flujo a través de la restricción es turbulento, el caudal a
través de ella es proporcional a la raíz cuadrada de la caída de
presión a través de la misma.
Fig. 22
q α ∆P1/2 Î q = K ∆P1/2 ec. 52
La fig. 21 muestra una típica relación entre q y ∆P para fluidos
con turbulencias en una restricción.
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Como se aprecia, es una relación no lineal, pero puede ser
linealizada sobre rangos relativamente pequeños de variación de
presión, para dar una relación de la forma:
q´/ ∆P´ = K = 1/R ec. 53
Donde q´ es el cambio en el caudal debido al cambio de
presión ∆P´, K es la conductancia de la restricción y representa la
pendiente de la curva en el punto considerado, siendo R = 1/K la
resistencia de la restricción en dicho punto.
Fig. 23
La ec. 53 es similar a la expresión para flujo laminar (ec. 51);
excepto que cambios en q y ∆P con cambios relativos, mas que una
relación de valores absolutos de q y ∆P.
Contrariamente al caso de flujo laminar, K y R varían con la
forma de operar y caída de presión considerada, uniformes o
constantes para restricciones de geometría fija, mientras que en el
caso de restricciones variables tales como válvulas, es usual
presentar una familia de curvas q = f(∆P) para una forma de operar
determinada, tal como muestra la fig. 24:
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Fig. 24: Características típicas de válvulas
Flujo en cámaras.
Considérese un flujo de aire que ingresa a una cámara de
volumen fijo, este flujo producirá un incremento de la presión en el
interior de la cámara. Este concepto es completamente análogo a la
capacitancia eléctrica, en el cual la corriente fluyendo en el mismo
causa un incremento de potencial.
Excepto para el caso isotérmico ideal, la relación entre el flujo
de entrada y el cambio de presión para una cámara es no lineal,
debido al efecto de calentamiento durante la compresión. No
obstante, para pequeños cambios de presión alrededor de un valor
medio en la cámara, la relación es lineal.
Evidentemente el concepto de capacitancia no tiene sentido
para fluidos incompresibles dentro de una cámara fija.
Una propiedad de los fluidos compresibles es su coeficiente
de compresión, definido como el cociente de la tensión incremental
a la deformación incremental, esto es:
β=
∆P
∆V
V
ec. 54
Donde V es el volumen inicial del fluido considerado.
∆V es el cambio de volumen debido a ∆P.
Despejando de la ec. 54 ∆V y dividiendo ambos miembros de
la ecuación por ∆t resulta:
∆V v ∆P
=
β ∆t
∆t
ec. 55
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Tomando límites para β tendiendo a cero y teniendo en cuenta
que dV/dt = q resulta:
∂P =
β
V
q∂t
ec. 56
Integrando
β
t2
t2
1
P´= ∫ qdt = ∫ qdt ec. 57
V t1
C t1
Donde C = V/β es la capacitancia del fluido de volumen V.
Nivel de líquidos en tanques
El control del nivel de líquidos en tanques es un requerimiento
común. Tales tanques pueden ser considerados como una situación
especial de fluidos a presión. La fig. 25 muestra u tanque con fluido
de entrada qe. El nivel h del líquido establece un potencial que
causa un flujo qs fuera del tanque a través de la resistencia R0 de la
válvula.
Fig. 25
Por continuidad, el caudal neto del tanque resulta ser igual:
q = qi – q0 ec. 58
Para un estado de operación estable (condición de equilibrio),
la altura h es constante, y por lo tanto:
q = 0 y qi = q0. ec. 59
el flujo a través de la válvula de descarga es debido a la caída
de presión a través de ella. Usando la expresión resulta:
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
q0 =
∆P
ec. 60
R0
La presión puede relacionarse con la altura del tanque,
utilizando la siguiente expresión:
P = w.h ec 61
Donde w es el peso específico del líquido. Por lo tanto la ec.
60 se puede escribir:
q´0 = w
h´
h´
h´
=
=
R0 R0
R01
w
ec. 62
Donde R01 = R0 w es la resistencia de la válvula en unidades
compatibles expresando la presión como altura.
Si el caudal neto en el tanque q es finito, esto es la altura está
cambiando de acuerdo con la expresión de continuidad
q = Ah´− ADh = A
∂h
∂t
ec. 63
Donde A es la sección transversal del tanque y h es la
velocidad de la altura del nivel.
Por lo tanto:
∂h =
1
q∂t
A
ec. 64
Integrando:
h´=
1
qdt ec. 65
A∫
Donde h´ es el cambio en la altura debido al caudal q en el
tiempo (t2-t1), mientras que la capacitancia del tanque es
directamente el área transversal del mismo.
Elementos adicionales de fluídrica.
Se verán a continuación algunos elementos fluídricos que son
empleados comúnmente en los sistemas de control.
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Desplazamientos de válvulas. Válvulas de pistón y con
asiento.
Las figuras 26a y 26b muestran ambos tipos de válvulas.
Estas válvulas son diseñadas de modo tal que el caudal a través de
ellos cambie libremente con el grado de operación de las mismas.
La ecuación que se utiliza para determinar la rapidez de flujo a
través de la válvula hidráulica que usa un eje de válvulas, es aquella
que se usa para un orificio plano. Esto es:
q = C d Av
ec. 66
En donde q es la rapidez del flujo, A es el área del orificio, v
es la velocidad teórica en la vena contracta del chorro suponiendo
que no hay pérdida alguna, finalmente Cd es el coeficiente de
descarga, el cual es un factor de corrección sin dimensiones y que
se aplica a las pérdidas de energía. En un eje de válvula, el área A
del orificio es el producto de la anchura w del orificio por el
desplazamiento x del eje.
La velocidad v teórica, usada frecuentemente como 2 gh , se
expresa de una manera más conveniente como
2∆P
ρ
donde ∆P es
la caída de presión a través de orificio y ρ es la densidad de masa
del fluido. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación anterior,
se obtiene:
q = C d wx
2∆P
ρ
ec. 67
La ec. 67 puede simplificarse considerablemente si la caída
de presión a través de la válvula es aproximadamente constante, en
dicho caso, ya que los factores Cd, w y δ también son constantes,
la ec. 63 se convierte en:
q = K V x ec. 68
En donde x es el desplazamiento axial de la válvula desde su
presión inicial, KV es el coeficiente volumétrico de flujo en la válvula
en [cm3/min] por [cm] de operación.
En el análisis es más común usar la ec. 68 de la forma:
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
q´= K V x´ ec. 69
Donde q´ y x´ son los cambios en q y x respectivamente
desde sus posiciones iniciales de equilibrio.
Fig. 26: a) Válvula de pistón
b) válvula de asiento
La ec. 68 se aplica esencialmente para situaciones de caída
de presión constante.
Para una válvula particular, una familia de curvas q =f(x) para
varias caídas de presión como parámetro variable, desde las cuales
el valor de KV puede ser obtenido para una forma dada de
operación de ∆P y x (fig. 27)
Fig. 27
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Actuadotes de fuelle y de diafragma.
La fig. 28 y la fig. 29 ilustran estos tipos de actuadotes, los
cuales son comúnmente usados para convertir presiones en
desplazamientos o fuerzas.
Para ambas configuraciones:
1º) Si la placa final esta fija o si la tensión del resorte es
despreciable, luego un cambio en la presión interna P´ genera una
fuerza adicional en la placa extrema.
F´= P´ A
ec. 70
2º) Si la placa extrema está libre de moverse axialmente bajo
la acción de una presión interna
x´=
F´ P´ A´
=
K
K
ec. 71
Ambos tipos de actuadotes pueden exhibir efectos de
capacidad sobre los cambios de presión de entrada.
Dispositivos Flapper-Nozzle (aleta-tobera)
El dispositivo aleta-tobera (fig. 30) es muy veloz y sensitivo y
permite relacionar un desplazamiento de entrada con una presión
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
de salida. La tobera es alimentada con un fluido (comúnmente aire)
desde una fuente de presión constante.
Fig. 30
La línea de entrada incluye una restricción que provee una
resistencia R al flujo hacia la tobera. La tobera tiene una descarga
en su correspondiente línea de descarga de presión. También tiene
una descara adicional, a través de la aleta.
La aleta es una placa plana, que esta adyacente (o encima)
de la salida auxiliar y puede ser movida axialmente. Si la aleta cubre
la salida, luego el fluido puede descargar solamente a través de la
descarga principal.
Para esta condición, la presión en la tobera y en la línea de
descarga asume un determinado valor. Si la aleta es movida fuera
de la descarga auxiliar, al fluido puede escapar a través de ella y la
presión en la tobera bajará.
Cuanto más se separe la aleta de la tobera, más fácilmente
escapará el fluido de él y la presión e él bajara más.
De esta manera la presión en la tobera y en la línea de
descara principal dependerá de la posición de la aleta. Este
dispositivo es fácilmente diseñado para cumplir con la relación
lineal:
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
P0 = Kx ó
P0
=K
x
ec. 72
Donde K es la ganancia constante de la unidad. Una unidad
típica, en un controlador neumático tiene especificaciones físicas
del orden:
Ps= 20 p si, volumen de la tobera = 0.01 m3, rango de x
=0.008 in, rango lineal de P0 = 3 a 15 p si, ganancia K = 1500p si/in.
Estos dispositivos también son usados en sistemas
neumáticos de alta presión y con sistemas hidráulicos. El dispositivo
aleta-tobera es esencialmente un traductor amplificador e el cual
capta un pequeño desplazamiento como señal de entrada y genera
una relativa gran presión como señal de salida.
Técnicas de uso de analogías
La técnica usada frecuentemente para plantear las
ecuaciones diferenciales de un sistema, es reducir el mismo
mediante el uso de analogías a un circuito o red eléctrica
equivalente. Este método es muy conveniente debido a que el
análisis de los circuitos eléctricos resulta más sencillo, dado el
entrenamiento que se tiene en el tratamiento de los mismos.
Para establecer las analogías, será necesario establecer las
definiciones generales para resistencia, capacidad e inductancia,
las cuales permitirán mediante las leyes de Ohm, Faraday y Henry;
arribar a las ecuaciones del sistema a estudiar.
La resistencia es el elemento que disipa potencia y representa
la oposición a un flujo, puede definirse como el cambio de potencial
necesario para causar un flujo de corriente, esto es:
R=
∆E
q
Si no hay caída de potencial a través de un resistor, no hay
flujo que lo atraviese.
Un condensador es aquel elemento que alacena energía y
eleva su potencial a expensas de su carga. Esto es, de acuerdo a la
ley de Faraday:
t2
1
E = ∫ i.dt
C t1
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Y teniendo en cuenta que
t2
∫ i.dt = q
es la capacidad que fluye
t1
en el condensado en el tiempo (t2-t1), lego:
C´1 =
q
E
Como un ejemplo de analogía, considérese un bloque de
acero el cual tiene una capacidad térmica debido a que es capaz de
almacenar calor. Las unidades para la capacidad térmica son
BTU/ºF. La capacidad térmica es llamada comúnmente capacidad
calorífica, la cual se define como la cantidad de calor necesario para
cambiar, en un grado, la temperatura de un cierto cuerpo.
La inductancia es la oposición a la aceleración, puede
definirse como el cambio en el potencial necesario para producir un
cambio unitario en la aceleración. En un sistema eléctrico, el
potencial es el voltaje y si la corriente i ( ∂q ∂t ) se considera como la
velocidad de la carga, ∂i ∂t es la aceleración a dicha carga. Por lo
tanto según la definición general:
L=
e
∂ q
=
2
∂t
∂i
e
que de acuerdo a la ley de Faraday: ∆E = L
∂i
∂t
∂t
Analogías.
Dos componentes o sistemas serán análogos si están
descriptos por ecuaciones de equilibrio con la misma forma
matemática, es decir, por expresiones idénticas en las que
solamente cambian los nombres o símbolos de los parámetros y las
variables.
A continuación se verán algunos ejemplos, agrupados según
los cuatro tipos de parámetros, en donde se ha incluido la función
temporal y su transformada
Resistencia o Conductancia
Fricción Viscosa
1
v (t ) = f ( t )
B
1
V(S ) = F(S )
B
B = Coef. De fricción
viscosa
v,V = Velocidad
f, F = fuerza
Resistencia
1
i ( t ) = v (t )
R
1
I ( S ) = V( S )
R
R = Resistencia
i, I = Intensidad
v, V = Tensión
Resorte
1
d (t ) =
f (t )
K
1
D( S ) = F(S )
K
K = Constante elástica
d, D = Desplazamiento
f, F = Fuerza
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Capacidad
Nivel de Tanque
1
n(t ) = ∫ q(t ) dt
A
1
N (S ) =
Q( S )
As
A = Área del Tanque
n, N = Nivel
q, Q = Caudal aporte neto
Condensador
1
v(t ) = ∫ i(t ) dt
C
1
V( S ) =
I (S )
Cs
C = Capacidad
i, I = Intensidad
v, V = Tensión
Autoinducción
1
i(t ) = ∫ v(t ) dt
L
1
I ( S ) = V( S )
Ls
L = Inductancia
i, I = Intensidad
v, V = Tensión
Inertancia
Masa
∂v(t )
f (t ) = M .
∂t
F(S ) = MsV(S )
M = Masa
v,V = Velocidad
f, F = fuerza
Autoinducción
∂i(t )
v (t ) = L
∂t
V( S ) = LsI ( S )
L = Inductancia
i, I = Intensidad
v, V = Tensión
Condensador
∂v(t )
i (t ) = C
∂t
I ( S ) = CsV(S )
C = Capacidad
i, I = Intensidad
v, V = Tensión
ELEMENTO
Parámetro
Resistencia
Conductanc.
Capacidad
Inertancia
Parámetros
Variables
Fricc. Visc.
1
f
B
f = B.v
1
x = ∫ f .dt
B
∂x
f =B
∂t
v=
B = Coef. Fricc.
v = Velocidad
f = Fuerza
x = Recorrido
Resorte
Masa
Autoind.
Condensador
1
f
K
f = K .x
1
f
M
f = M .a
1
v=
f .dt
M∫
∂v
f =M
∂t
1
φ
L
φ = L.i
1
i = ∫ v.dt
L
∂i
v=L
∂t
1
q
C
q = C.v
1
v = ∫ i.dt
C
∂v
i=C
∂t
M = Masa
v = Velocidad
f = Fuerza
a = Aceleración
L = Inductancia
v = Tensión
i = Intensidad
θ = Flujo Magn.
C = Capacidad
v = Tensión
i = Intensidad
q = Carga
x=
f = K ∫ v.dt
v=
1 ∂f
K ∂t
K = Const. Elást.
v = Velocidad
f = Fuerza
x = Recorrido
a=
i=
v=
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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS
Parámetro
Tipo
Resistencia
Conductancia
Valor
R
1/R
Capacidad
C
Inertancia
L
Ecuación de Equilibrio
Temporal
Laplancia
y = R.x
1
y= x
R
1
y = ∫ x.dt
C
∂x
y=L
∂t
Y = R. X
1
Y = .X
R
1
Y=
X
Cs
Y = LsX
Transmitancia
G =Y
X
G=R
1
G=
R
1
G=
Cs
G = Ls
A continuación se presenta una tabla de analogías de
variables y parámetros, entre distintos tipodçs de sistemas físicos y
tecnológicos:
Potencial
Flujo
Eléctrico
(Voltaje)
Tensión
Intensidad
Eléctrico
(Corriente)
Intensidad
Tensión
Carga
Resistencia
Carga eléctr.
Resistencia
Flujo magn.
Conductancia
Conductancia
Capacidad
Conductancia
Capacidad
Resistencia
Inductancia
Inertancia
Inductancia
Capacidad
SISTEMA
Mecánico
Mecánico
(Traslación)
(Rotación)
Fuerza
Par (torsión)
Velocidad
Veloc.
angular
Desplazamiento
Ángulo
Chef. Fricc.
Chef. Fricc.
Viscosa
Visc.
Inverso ¨ ¨
Inverso ¨ ¨
Cons. Elástica
Cte. Elás.
Rot.
Masa
Mom. inercia
Fluidos
Térmico
Presión
Caudal
Temperatura
Flujo calorif.
Cantidad
Resistencia
Cant. Calor
Resistencia
Inverso ¨
Volumen,
área
Inercia
Conduct.
Capac. Calor.
(No tiene)
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