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Curso l Física I
Autor l Lorenzo Iparraguirre
CAPÍTULO 10:
Movimientos orbitales
Las Leyes de la Dinámica son necesarias y suficientes para establecer todas las características
de cualquier movimiento de cualquier cuerpo, y eso incluye todo los casos de órbitas posibles.
No obstante eso, algunos aspectos de movimientos orbitales muy conocidos pueden requerir de
un manejo algebraico bastante difícil para ser establecidos directamente desde las Leyes de la
Dinámica, y por ello en este capítulo nos especializaremos en presentar y discutir los aspectos
más relevantes de estos movimientos, con el mínimo andamiaje matemático que sea posible.
También aprovecharemos para introducir algunos elementos de la teoría cuántica que son necesarios para extender estas mismas conclusiones al ámbito atómico.
10.1.- Movimiento en coordenadas polares
Además de las coordenadas cartesianas existen otras formas de ubicar la posición de puntos
en el espacio, como por ejemplo dar su distancia al origen, y los ángulos que ubican el vector
posición con respecto a direcciones elegidas de referencia. Este tipo de coordenadas suelen
denominarse “polares”, o “esféricas”.
Nos limitaremos aquí a movimientos en el plano, porque así bastará con un solo ángulo para
ubicar un punto, y será suficiente para nuestros fines.
Dirección
angular

v
vr = v cos
v
rA
A
O
A
vr
v = v sen
Dirección arbitraria
de referencia:  = 0
Fig. 10.1: Elementos de las coordenadas polares en el plano.
Como vemos en la figura 10.1, para cada punto del espacio hay dos direcciones de referencia
sobre las cuales se proyectan los vectores. Una es la dirección radial, que es la dirección en la
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cual  no varía, con sentido positivo hacia donde aumenta r. La otra es la dirección angular,
tangente a la circunferencia en la cual r no varía, con sentido positivo hacia donde aumenta .

Cualquier vector de interés, como v en la figura, se proyecta en esas direcciones para definir
sus componentes vr y v.
Velocidad angular orbital
Consideremos entonces una partícula de masa m moviéndose en el plano de la hoja. Perpendicularmente al plano del movimiento se elige arbitrariamente un eje, cuya intersección con la
hoja es el punto O, origen de las coordenadas polares.
A medida que la partícula se mueve, la ubicamos con su distancia al origen, r, y el ángulo 
con la dirección de referencia. Es claro que, como se muestra en la figura 10.2, aunque un
movimiento sea rectilíneo, si no está alineado exactamente con el origen el ángulo  irá cambiando, de manera que visto desde O, el movimiento tiene una velocidad angular  =  / t.
v

A’
v
rA

v
A’

A
A’’
A’
O

A
A
Dirección  = 0
Detalle ampliado de AA’
Fig. 10.2: Izquierda. Se ilustra cómo va variando el ángulo que forman las visuales
dirigidas desde O a un punto móvil que viaja en línea recta. Derecha: se muestra
ampliada la parte en la cual se ve que el desplazamiento AA’ proyectado sobre la
perpendicular a la visual desde O, es AA’’ = AA’ sen.
Es claro que en este caso no esperamos que la velocidad angular sea constante o que tenga una
expresión simple. No estamos tratando de simplificar algo, sino de mostrar una forma de tratar
el tema.
Un movimiento rectilíneo se complica bastante cuando es descripto en coordenadas polares,
pero el movimiento de traslación de un planeta en órbita, en cambio, se analiza naturalmente
de esta forma, de manera mucho más simple que en coordenadas cartesianas. Por ello es que,
cuando se habla del movimiento de traslación de una partícula descripto con respecto a un
centro, se suele utilizar la denominación “movimiento orbital”, aún cuando no exista órbita.
Así es que denominamos velocidad angular orbital a la que considera cómo cambia (por unidad de tiempo) el ángulo con que se ubica la partícula vista desde el punto origen o eje elegido, para distinguirla de la intrínseca, que se refiere al ángulo que giran las partículas del cuerpo con respecto a su centro de masa.
Designaremos O a esta velocidad angular con respecto al punto O, y como se ilustra en la
parte derecha de la figura 10.2, el ángulo  en radianes que barre la visual desde O para un
pequeño desplazamiento AA’ (para simplificar estamos utilizando AA’ tanto para designar el
segmento como su longitud) se puede calcular proyectando el segmento AA’ sobre la direc
ción perpendicular a r , obteniéndose:  = AA’’/ r = AA’ sen / r .
De manera que, dividiendo por t, tenemos:
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O 
v sen v 
=
r
r
(10.1)
Donde  es el ángulo que forma el vector velocidad con la dirección radial.
Vemos que la expresión (10.1) equivale a:
v
(10.1’)
r
Lo cual es natural pues indica que sólo la componente v del vector velocidad contribuye al
movimiento angular respecto de O.
O 
Si r es constante esta expresión se reduce naturalmente a la expresión habitual del movimiento
circular  = v / r , ya que entonces  = 90º. En otros casos esta expresión puede ser muy difícil de utilizar ya que  puede variar de forma complicada, aunque eso no nos interesará para
lo que deseamos estudiar. Sí es importante notar, en función precisamente de que  no es
constante, que el desplazamiento AA’ debe ser suficientemente pequeño como para que  se
pueda considerar aproximadamente constante en todo el intervalo t. En ese caso, la perpendicular a la visual OA, es la misma que a la visual OA’, y los razonamientos se entienden bien.
Por último vale aclarar que aunque hemos comenzado mostrando un movimiento rectilíneo,
todo lo que hemos dicho se aplica igualmente a movimientos lineales de cualquier forma, rectilíneos o curvilíneos. Si se inspecciona la figura 10.2, puede advertirse que una vez que el
móvil ha pasado por A y por A’, podría continuar por cualquier trayectoria, como en las
próximas figuras, y todo lo dicho seguiría siendo válido.
Cantidad de movimiento angular orbital
La cantidad de movimiento angular orbital con respecto a O, de una partícula de masa m y

velocidad v , es el momento de la cantidad de movimiento, esto es el producto del módulo de
la cantidad de movimiento lineal m v, por el brazo de palanca b:
LO = m v b
(10.2)
O
b
r


Fig. 10.3: Elementos para definir la cantidad de
movimiento angular orbital. Los ángulos  y  son
suplementarios, y son equivalentes para calcular LO,
ya que sen = sen.
v
m

NOTA:
Esta es la misma definición que ya hemos utilizado de la cantidad de movimiento angular, L =  mi i2 , aplicada al caso de una única partícula, con
respecto al punto O tomado como centro:
LO = m r2 O = m r v sen
(10.2’)
Donde r sen = r sen = b, siendo b la distancia desde el centro O hasta la recta


de acción de v (o de p que es lo mismo).
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Velocidad Areal
Si se considera un pequeño desplazamiento AA’ = v t, de la partícula, se encuentra que AA’
es la base del triángulo AA’O, cuya altura es b, de manera que, para el área de este triángulo,
tenemos
O

Area = ½ AA’ b
= ½ v b t
r
b

v
A A’
Y comparando con la expresión de LO, tenemos:
LO = 2 m
Area
t
= 2 m vareal
Donde vareal = Área / t , es la “velocidad areal”, es decir el área barrida por unidad de tiempo
por la línea desde la partícula al centro.
Vemos que, salvo un factor constante, la cantidad de movimiento angular orbital representa la
velocidad areal del movimiento.
Fuerzas centrales y conservación de la cantidad de movimiento angular
Las fuerzas atractivas hacia un punto, o repulsivas desde él, por estar alineadas sobre la recta
que pasa por dicho punto, denominado centro de fuerza, O, no pueden aplicar momento con
respecto a él, ya que su brazo de palanca resulta nulo.
En consecuencia, aplicando la Ley del Impulso para Rotaciones, MO t = LO, obtenemos que
no puede variar LO.
Es decir:
Una partícula sometida a una fuerza central, se mueve conservando la cantidad de movimiento angular orbital con respecto al centro de fuerzas.
Nótese que, eligiendo el centro de fuerzas como origen O del sistema de coordenadas, el mo

vimiento ocurrirá necesariamente en el plano definido por r y v , ya que la fuerza, siempre

alineada con r , trivialmente nunca puede tener componente fuera del plano.
Ley de las Áreas
Según lo que hemos dicho, entonces, la conservación de LO implica que se mantiene constante el producto v b, y también implica que se mantenga constante la velocidad areal.
La conservación de la cantidad de movimiento angular en términos de la velocidad areal, es la
Segunda Ley de KEPLER del movimiento planetario, conocida como la Ley de las Áreas, la
cual dice:
“El segmento que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales”
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Esta ley había sido enunciada fenomenológicamente por Johanes KEPLER (1571-1630), y luego del desarrollo de la Dinámica se entendió que representaba la conservación de la cantidad
de movimiento angular, y que era un consecuencia directa de que la fuerza actuante, la gravedad, fuese central, es decir alineada con el centro.
bA
A
S
S
vA bA = vB bB = cte
Area (AA’S) = Area(BB’S)
A
FA
bB
FB
vB
A’
vB
B B’
B
Fig. 10.4: Se ilustra de dos maneras cómo se interpreta la conservación de la cantidad de movimiento angular orbital, en un caso de fuerza central. A la izquierda se muestra, para dos lugares
de la órbita, el brazo de momento de la cantidad de movimiento lineal, y a la derecha se muestra,
para los mismos dos lugares, el área barrida en un mismo intervalo de tiempo.
10.2.- Movimiento bajo fuerzas coulombianas.
Carlos Agustín DE COULOMB (1631-1716), estudió las fuerzas electrostáticas y determinó que
su intensidad era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, al igual que en el caso
de la fuerza gravitatoria.
Salvo la diferencia esencial de que la fuerza gravitatoria depende de la masa de los cuerpos
que interactúan, y sólo puede ser atractiva, mientras que la electrostática depende de la carga
eléctrica, y puede ser atractiva (entre cargas de signo opuesto), tanto como repulsiva (entre
cargas de igual signo), ambas fuerzas son muy importantes en la naturaleza y, por ser ambas
centrales y depender de la distancia de la misma manera, dan lugar a los mismos tipos de movimiento.
Por esto es que a las fuerzas centrales cuya intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia se las denomina coulombianas, y para ciertas características de los movimientos que resultan no es necesario especificar si se habla de planetas o de electrones1.
Un detalle que valdrá para todos, satélites, electrones, o lo que sea, porque es universal, es la
conservación de la energía mecánica, ya que tanto la gravedad como la fuerza electrostática
son conservativas.
Energía potencial coulombiana
Sabiendo que la energía potencial disminuye hacia dónde apunta la fuerza, es claro que para
una fuerza central la energía potencial sólo puede ser función de la distancia al centro, r:
Ep = Ep(r)
Si además recordamos que para un desplazamiento en cualquier dirección debe valer (11.4),
ahora tenemos, para la dirección radial:
Para el caso de los electrones en el átomo hay complicaciones que corresponden a la teoría cuántica, que invalidan muchas de las conclusiones que valen para los satélites. Pero aún dentro de la teoría cuántica es posible seleccionar resultados de la teoría clásica que son válidos en el dominio atómico, como veremos oportunamente.
1
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Fr = 
Ep (r )
r
Esta nos dice que la energía potencial debe ser una función de Ep(r) tal que su derivada con
respecto a r, cambiada de signo, debe ser Fr, la cual es una función conocida simple (la fuerza
coulombiana):
Fr =
cte
r2
Concretamente, para el caso gravitatorio, si tenemos una fuerza atractiva hacia el origen, cuyo
módulo es F = G M m / r2, donde M es la masa del astro central, muy grande, m es la masa del
cuerpo en órbita cuyo movimiento estudiamos, y G es la constante de gravitación universal,


dado que el sentido de r es opuesto al de F , tendríamos:
Fr = 
K
r2
(10.3)
Donde K es una constante positiva que vale:
K = G M m = 6,67×10-11(N.m2/kg2)×M×m
(10.4)
Aplicando ahora que la derivada de r1 es r2, se puede inferir que, para este caso, la función
Ep(r) debe ser:
1
Ep =  K ×
(10.5)
r
Esta función admite que se le sume una constante arbitraria. Al no agregarle nada, estamos
eligiendo arbitrariamente que Ep  0 cuando r  , lo cual es la costumbre más difundida.
Podremos extender todo para el caso de un electrón de carga –e atraído por un núcleo de Z
protones de carga +e (e  1,6×10-19C), cambiando solamente el valor de K, que deberá ser:
K = kel Z e2  2,3×1028 (N. m2/C2) × Z
(10.6)
Donde kel es la constante de fuerza electrostática que, al igual que G para la gravedad, indica
el valor experimental de la fuerza de atracción (o repulsión) entre dos cargas de la unidad de
carga situadas a la unidad de distancia, y vale kel  9,0109 N·m2/C2.
Análisis de casos en fuerza coulombiana atractiva.
Las tres leyes de KEPLER, que fueron enunciadas por éste para el movimiento planetario, sirven en realidad para el movimiento de cualquier cuerpo en una fuerza coulombiana, cosa que
recién pudo ser demostrada por NEWTON. La segunda de estas leyes es la Ley de las Áreas que
ya hemos presentado, y excepto ella, las otras dos requieren un trabajo matemático demasiado
elaborado para estas páginas, por lo cual utilizaremos sin demostrar el contenido de la Primera
Ley, adaptado al lenguaje que nos será útil.
Es decir, utilizaremos el siguiente conocimiento sin demostración.
“Una partícula sometida a una fuerza coulombiana, describe una cónica (elipse, parábola o
hipérbola) con el centro de fuerza en uno de sus focos.”
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A partir de este dato podemos proceder al análisis utilizando nuestras herramientas habituales,
para el caso de un cuerpo o partícula de pequeña masa m, moviéndose en el campo de una
fuerza central coulombiana.
No trataremos de hacer una descripción en profundidad desde el momento inicial, sino de comenzar discutiendo los aspectos de manera más bien coloquial, para ir ganando en profundidad al avanzar.
En el análisis de un ejemplo el primer valor importante es el de la energía mecánica total. Para
comenzar elijamos un valor negativo para la energía mecánica total y representemos las energías en una gráfica en función de r. Dejaremos para más adelante el caso de ET positiva.
E (J)
ET
Ep(r)
b
r
r
Ec
K
Ep(r) =  r
Fig. 10.5: Una situación típica en una fuerza coulombiana, caracterizada por la energía total. La energía total debe ser negativa para que
la partícula esté atrapada en órbita en una región acotada.
Vemos que en r = b se intersectan la recta indicativa de ET con la gráfica de Ep(r). De la
igualdad Ep = ET podemos despejar b = K / ET = K / ET.
Ahora bien, el valor r = b señala toda una zona del espacio, una superficie esférica de radio b
centrada en el origen, en la cual Ep = ET. Todo el espacio exterior a esta superficie esférica es
“zona prohibida” para el móvil con esta energía.
La región dada por r  b es el interior de la esfera, y es la zona en la cual es posible el movimiento. La energía cinética que tendría la partícula en cualquier lugar dentro de esta esfera se
puede calcular a partir de la conservación de la energía mecánica:
Ec = ET  Ep(r) =
K
ET
r
Ahora bien, dentro de esta región el movimiento es posible de muchas maneras distintas,
siempre teniendo en cuenta que ya sabemos que ocurrirá en un plano que pasa por el centro.
Una vez elegido el plano, bastará con r y  (ángulo respecto de alguna dirección de referencia), para describir todo.
Puede haber movimiento variando solamente r (movimiento puramente radial). Puede haber
movimiento circular, con r = cte, mientras solamente varía . Y puede haber infinidad de
combinaciones variando r y  de distinta manera.
Para tener un panorama general digamos que, si la partícula estuviese en algún r < b, alejándose de manera exactamente radial, entonces se alejaría hasta r = b, en donde se detendría. La
detención sólo podría ser instantánea, porque inmediatamente la fuerza de atracción la haría
volver en línea recta aceleradamente hacia el centro.
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E
(J)
v
b
r
ET
Ep(r)
Fig. 10.6: El punto r = b es efectivamente el punto de retorno si la partícula se
aleja radialmente del centro.
Ec
Pero en general la partícula no se mueve exactamente a lo largo del radio, y entonces debe
describir una elipse. Cuando llega al punto más lejano, R = rmáx , este valor tiene que ser menor que b, porque si hubiera llegado hasta r = b, se habría detenido, y a partir de allí sólo podría caer radialmente hacia el centro.
De manera que si sigue por la elipse es porque en el punto más alejado del centro no llega a
estar en reposo, sino que se mueve perpendicularmente a la dirección radial según la curva
correspondiente, conservando así cierta cantidad de energía cinética mínima, que nunca llega
a ser nula.
Para ilustrar esto en la figura siguiente se muestran tres órbitas posibles para la misma energía.
(1)
(3)
Fig. 10.7: Tres órbitas posibles. La órbita
elíptica general es la (3), que en el caso
extremo de máxima excentricidad se
transforma en (1), y con excentricidad
cero es la circunferencia (2).
(2)
Revisemos los detalles de lo que es una elipse.
Dados dos puntos F y F’, llamados focos, la elipse es la línea que se forma con todos los puntos P tales que la suma de las distancias de cada uno a ambos focos es una constante: FP + F’P
= cte.
Esto significa que la elipse será una curva cerrada simétrica con respecto a un eje que contenga los focos, y también con respecto a un eje perpendicular al anterior que equidiste de ambos
focos. La intersección de estos ejes es el centro O de la elipse, y no es el punto en el cual se
ubica el astro central en el caso de la fuerza coulombiana (según la Primera Ley de KEPLER, el
astro central se ubica en un foco). En la figura 10.8 se muestran los elementos con la notación
usual.
a
F
b
c
P : cualquier punto de la elipse
F, F’: focos
O: centro
OF = OF’ = c
a = semi-eje mayor
b = semi-eje menor
e = c/a : excentricidad
P
c
O
F’
a
Fig. 10.8: Elementos de una elipse
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Inspeccionando un poco los elementos dados, se advierte que la excentricidad es un número
entre 0 y 1.
El caso extremo de e = 0, implica que ambos focos están confundidos en el origen, y tenemos
una circunferencia en la cual a = b = radio.
El otro caso extremo de e = 1, máxima excentricidad, achata la elipse hasta que se transforma
en un segmento de recta desde F hasta F’, con b = 0, y a = c.
centro de la elipse
ba
F
F
F’
F’
astro
astro
e casi 1
a
e << 1
Fig. 10.9: Dos casos casi extremos de excentricidad. Notar que el astro que sería el
centro de fuerza, no está en el centro de la elipse. En el caso de las órbitas de los
planetas (derecha), éstas son prácticamente circunferencias descentradas.
Veamos ahora los detalles de cada caso de movimiento.
Caso 1: Movimiento radial.
La partícula se aleja desde r  0, con Ec   (luego discutimos si es posible), hasta r = b, en
donde se detiene para volver.
(J)
r
b
r
ET
Ep(r)
Ec en un r cualquiera
Ec   cuando r  0
Fig. 10.10: Energías en el caso de movimiento radial
Claramente en este caso la partícula no tiene cantidad de movimiento angular orbital con respecto a O (en adelante omitiremos el subíndice, ya que siempre será con respecto a O), ya que
su trayectoria no tiene brazo de palanca:
Movimiento radial:
L=0
Especulemos ahora un poco acerca de lo que sucede en la zona r  0.
¿Podemos saber qué sucede exactamente en r = 0? ¿Tiene sentido esta pregunta?
No tiene sentido físico plantear que una partícula es lanzada desde (o llega a) exactamente el
origen con velocidad infinita. Hay que pensar en partir de puntos muy cercanos al origen, con
velocidades muy grandes.
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Por ejemplo pensemos en un cometa “cayendo” radialmente (o en una trayectoria próxima a
una recta radial) hacia el Sol. Este cometa vendría desde muy lejos, en un viaje de cientos o
miles de años, desde un r  b muy grande, casi infinito, en donde tenía Ec  0, Ep  0, y ET 
0.
Antes de llegar a r = 0 (centro del Sol), chocaría con su superficie. Inmediatamente antes de
chocar tendría una enorme Ec debido a la enorme disminución de Ep, que habría pasado de
Ep(b)  0, a Ep(RSol) = valor negativo muy grande (ver figura 10.11 - en valor absoluto es un
aumento, pero como aumenta negativamente, a los fines de la teoría es disminución).
(J)
RSol  0
b
ET  0
Ep  
Ecf  Ep(RSol)

r
Fig. 10.11: Un caso práctico de movimiento casi radial.
b podría ser considerado infinito en relación con el
radio del Sol. La energía cinética del cometa al llegar al
Sol podría ser considerada infinita en relación con su
energía en otras partes del trayecto, aunque no en
relación con la energía que almacena el Sol.
Al chocar toda la Ec del cometa desaparece como energía mecánica (decimos que se transforma en energía térmica - el Sol es muy grande y caliente y no se altera por ello).
Pero también podría ocurrir que el movimiento no fuese exactamente radial. El Sol es muy
pequeño, prácticamente un punto comparado con la órbita de cualquier cometa. El cometa
podría dar vuelta por detrás del Sol, muy cerca de la superficie, y visto desde lejos parecería
que vuelve prácticamente por la misma línea radial por la que se acercó, como si hubiese rebotado contra la superficie; y el proceso proseguiría periódicamente. Se podrían inventar historias de ciencia ficción con éstas y otras posibilidades.
r=b
Sol
Fig. 10.12: La trayectoria radial es un caso límite de elipse degenerada en recta, que es una elipse de excentricidad = 1.
Cualquiera que sea la historia que se invente, este cometa sería muy rápido cerca del Sol y
muy lento lejos, es decir que pasaría unos pocos meses o días en la vecindad del Sol (que es
cuando podemos avistarlo) y siglos en la parte lejana.
Caso 2: Órbita circular.
La circunferencia es un caso particular de elipse sin excentricidad. En este caso el movimiento
es circular uniforme, y todo se mantiene constante en él, no sólo ET.
Veamos relaciones que serán muy útiles. Si distinguimos con subíndice “0” a todos los valores que correspondan a este caso especial (r0, v0, Ec0, Ep0, etc.) tendremos:
K m v02
Fuerza normal: 2 
r0
r0
 simplificando r0 
K
 m v02
r0
Conservación energía: Ep0 + Ec0 = ET  Ec0 Ep0 = ET
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(10.7)
(10.8)
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En (10.7) vemos que m v02, que es el doble de Ec0, es exactamente igual a la energía potencial
cambiada de signo, o sea, ya que ésta es negativa, igual al valor absoluto de la misma: Ec0 =
½Ep0.
Introduciendo esto en (10.8), queda algo muy simple e interesante:
Ec0 =ET = ½Ep0  ET =
Pero siendo que b = K /ET, entonces:
E
r0
b
r0 = ½ b
r
ET
Ep0
K
2 r0
Fig. 10.13: El caso del movimiento circular uniforme con energía total ET. La partícula se mantiene en r0 = b/2, con Ec0 igual al valor absoluto de
ET.
Ec0
La cantidad de movimiento angular orbital para este caso vale: L0 = m v0 r0 , que como veremos enseguida, es el máximo valor que puede tener el momento angular orbital para el valor
dado ET de energía total.
Caso 3: Órbita elíptica cualquiera.
Apoyándonos ahora en lo que sabemos del movimiento circular, pensemos en la siguiente
situación.
Dado siempre el mismo valor de energía total negativo, ET, nos ubicamos en A, a la distancia
r0 necesaria para establecer una órbita circular (ya sabemos que es r0 = ½ K/ET ), y desde
allí nos proponemos lanzar la partícula con la velocidad v0 necesaria para el movimiento circular (ya sabemos que vale v0 = 2 E T m , porque la energía cinética tiene que ser igual a
ET), pero en varias direcciones diferentes, como se ilustra en la figura 10.14.
(2)
v0
v3
v2
v1
A
(3)
r = r0
r=b
(1)
Fig. 10.14: El cuerpo se lanza desde A (a distancia r0 del
origen) en varias direcciones distintas, con velocidad siem
pre de módulo v0 (v1 = v2 = v3 = v0). En la dirección radial, v1 ,
tendremos el movimiento rectilíneo 1. En la dirección per
pendicular a la radial, v 0 , tendremos un movimiento circular.
En cualquier otra dirección tendremos elipses de características básicas similares, como (2) y (3).
De la forma que hemos procedido queda claro que se obtienen órbitas diferentes, pero todas
de la misma energía total ET, ya que ésta se conserva, y en el punto inicial, A, todas comparten
el mismo valor de Ep y de Ec.
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Sin embargo todas tienen diferente momento angular orbital, ya que éste también se conserva
a lo largo de cada órbita, pero en el momento inicial todos son distintos. Efectivamente, si
aplicamos (10.2’): L = m r v sen, tendremos que:
El movimiento (1), radial, se inicia con  = 0, y por tanto L1 = 0, como ya hemos dicho.
El movimiento circular se inicia con  = 90º , y por tanto tiene L0 = m v0 r0, que es el máximo
valor posible de L para esta energía, porque sen90º = 1 = máximo valor posible del sen.
Cualquiera de los otros movimientos, con trayectorias elípticas, se inicia con sen < 1, por lo
cual L2 = m v0 r0 sen2 < L0, y L3 = m v0 r0 sen3 < L0.
Teniendo en cuenta esto, ahora inspeccionemos una órbita elíptica cualquiera, como la de la
figura 10.15.
r=b
zona en la cual
puede hallarse
la partícula
(J)
rp
ra
rp
ra
va
b
r
ET
Ecmáx
Ecmín
vp
Fig. 10.15: Aquí se muestran los elementos básicos de una órbita elíptica típica. En el diagrama
de la derecha se entiende claramente que la intersección de Ep(r) con el valor de E T ya no indica
un punto de retorno, como ocurriría en un movimiento unidimensional. La apariencia de este diagrama es engañosa porque sólo muestra una de las coordenadas del movimiento.
Vemos que la partícula no llega ni a r = 0, ni a r = b. Se mantiene orbitando entre los valores
rmáx = ra y rmín = rp. Su energía cinética no alcanza a anularse nunca, sino que disminuye hasta
un valor mínimo en el punto más alejado, y crece hasta un valor máximo en el punto más cercano al origen. En astronomía se designa apoastro al punto más alejado del astro central (afelio si es el Sol, y apogeo si es la Tierra), y periastro al más cercano (perihelio si es el Sol, y
perigeo si es la Tierra).
Ahora bien, planteamos:
Conservación energía mecánica:

K m v2

 ET
r
2
(10.9)
Conservación momento angular:

L = m vp rp = m va ra
va = vp  (rp / ra)
(10.10)
Si escribimos (10.9) para el punto más cercano y el más alejado, y recordamos que ET =
½ K/r0, queda:
2
K m vp
K
 

rp
2
2 r0
334
(10.9a)
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K m va2
K
 

ra
2
2 r0
(10.9b)
Ahora, si utilizamos (10.8), podemos eliminar va en (10.9b), luego, con (10.9a) eliminamos
también vp , obteniendo (luego de despejar – tarea para el lector):
rp + ra = 2 r0
(10.11)
Pero vemos en la figura 10.15 (o en la 10.8), que rp + ra es la longitud el eje mayor de la elipse, y según (10.11), debe valer lo mismo en todas estas órbitas posibles.
Esto nos dice claramente que:
Todas las órbitas de la misma ET,
tienen el eje mayor de la misma longitud.
Notar que en el caso particular e = 0 la órbita es una circunferencia cuyo diámetro, que mide 2
r0, también es el eje mayor, y que en el caso e = 1, ése también es el valor de b, que es el eje
mayor.
Además (10.11) también nos dice que r0 = ½ (rp + ra) = promedio entre distancia máxima y
mínima.
O sea, mirando la figura 10.14, ahora podríamos decir que cuando lanzamos el cuerpo desde
A (con la velocidad v0) oblicuamente hacia fuera (o hacia dentro) con relación a la circunferencia de radio r0, se aleja tanto hacia fuera de la circunferencia, como después se va a alejar
hacia dentro – lo que le falte para llegar a la distancia máxima, r = b, es exactamente lo que le
va a faltar luego para llegar al centro.
Las órbitas de poco momento angular tienen gran variación de distancia alrededor de r0, que
siempre es la distancia promedio, mientras que las de gran momento angular, se mantienen en
un anillo angosto cerca de la circunferencia de radio r0.
LAS LEYES DE LA DINÁMICA
Es importante recordar que siempre deberíamos ser capaces de aplicar las Leyes
de la Dinámica a cualquier situación, aunque no podamos desarrollar detalles matemáticos.
Así por ejemplo, en un punto cualquiera de una órbita elíptica debemos ser capaces de dibujar la fuerza actuante, que es un vector hacia el centro de fuerza,
encontrar sus componentes normal y tangencial, por ejemplo, y analizar el
efecto de cada una.
En cada punto de la curva tendremos una fuerza tangencial FT que determina
que la velocidad deba aumentar en la parte en que la partícula se acerca al
centro de fuerza, y disminuir cuando se aleja.
Por otra parte, la fuerza normal, FN, actúa curvando la trayectoria, la cual,
según la Ley del Impulso para la fuerza normal debería tener un radio R =
m v2/FN.
Ahora bien, no estamos en un movimiento circular, pero eso no importa: en cada instante, el arco que se recorre durante un pequeño intervalo t, se confun-
335
Curso l Física I
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de exactamente con una circunferencia del radio R debido. Este radio se denomina radio instantáneo de la curva, aunque no sea una circunferencia.
eje N
eje N
FT
v
A
recta tangente
A
eje T
RA
RA
FN
RA
F
mejor
circunferencia
tangente en A
CA
CA
Como se ilustra en la figura para un punto cualquiera A (en una elipse cualquiera), a cierta distancia sobre el eje normal habrá un punto, C A , tal que
haciendo centro en él con un compás, se podría trazar la mejor circunferencia
tangente a la trayectoria en A (hay que encontrar el punto CA correcto para
ello– puede caer dentro o fuera de la elipse- y aquí no profundizaremos más).
En la vecindad de A, la trayectoria se confunde perfectamente con un pequeño
arco de esta circunferencia, y, mientras se lo está recorriendo, se está en un
movimiento circular de radio RA. Debe cumplirse: FN = m v2/RA.
CA y RA se denominan respectivamente centro instantáneo y radio instantáneo
de la curva en la vecindad de A. No pretendemos saber encontrarlos, pero sí
saber que existen.
El caso de los electrones en el átomo
En el dominio atómico rige la Mecánica Cuántica, que tiene una estructura matemática que no
trataremos de abarcar. No obstante podemos aquí establecer un pequeño resumen de muchos
de estos resultados clásicos que sí podemos aplicar al átomo.
La teoría cuántica nos dice que no debemos cometer el error de atribuir todas las propiedades
de una partícula clásica a un electrón. Por ejemplo no debemos pensar que existe una línea
que sea la trayectoria de un electrón.
Pero sí podemos pensar en estados orbitales con cierta distribución media en el espacio, y
caracterizados por ciertos números cuánticos, que, como veremos, definen los valores posibles de algunas variables, que son las únicas susceptibles de arrojar valores definidos en una
medición. Éstas son en general todas aquellas que en la física clásica son constantes de movimiento (energía, momento angular, etc.).
A saber, para el movimiento orbital de los electrones en el átomo tenemos cuantificadas:
 ENERGÍA MECÁNICA TOTAL, En , cuantificada con el número cuántico principal, n,
 MOMENTO ANGULAR ORBITAL de módulo cuantificado con el número cuántico l,
 componente según un eje del VECTOR AXIAL correspondiente al MOMENTO ANGULAR ORBITAL, cuantificada con el número cuántico m.
Cada una de estas variables sólo puede adoptar los valores que corresponden a alguno de los
números cuánticos. Los valores intermedios no son permitidos. El cambio de un estado a otro
se entiende como un proceso brusco en el cual no se pasa de manera continua por los estados
intermedios – los cuales no existen.
336
Curso l Física I
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Veamos detalles.
Niveles de energía
El electrón puede estar en estados de energía total constante, pero que no pueden tener cualquier valor, sino sólo valores discretos dados por el número natural n, denominado número
cuántico principal.
Es decir, sólo son permitidos los valores:
E1, E2, E3, … En, … dados por:
En =
1
E1
n2
(10.12)
Donde E1 es un valor negativo (así, todos los En son negativos, como corresponde) dado por
cierta expresión que se obtiene de la teoría:
2
Z2 2 2 k el
me 4
E1 = 
  Z2  2,18  1018 J
h2
Donde:
e  1,6 × 1019 C : carga elemental (del protón y del electrón, en valor absoluto)
kel  9,0 × 109 N·m2·C2 : constante de fuerza electrostática
m  9,1 × 1031 kg : masa del electrón
h  6,6 × 1034 J.s : constante de PLANCK
Z: número atómico (número de protones en el núcleo)
En la figura 10.16 se muestran los 3 primeros niveles para el caso más simple de Z = 1, que es
el átomo de hidrógeno (recordando que Ep(r) = K/r, con K dado por (10.6): K  2,3×1028
(N. m2/C2) × Z).
(1018J)
b1
1 2
E2
b3
b2
3 4 5 6 7 8 9 10
r(Å)
E3
-1
E1 -2
-3
-4
Ep(r) = 
K
r
Fig. 10.16: Primeros niveles de energía en
el átomo de H. Con la letra b indicamos el
radio de la zona más allá de la cual sería
imposible, clásicamente, hallar la partícula
de esa energía. Cuánticamente decimos que
la probabilidad de que el electrón sea hallado más allá de b es tan baja, que prácticamente equivale a la imposibilidad.
La figura permite ver inmediatamente que, al ser valores negativos, mientras el valor absoluto
de En disminuye con n, En aumenta: si n > n’, entonces En > En’. Para n   tendríamos que
ET  0, el electrón se podría alejar infinitamente, y ya no se consideraría ligado al átomo.
Así E1 es el nivel más bajo posible, denominado nivel fundamental. No es posible, según la
teoría cuántica, un estado de menor energía para un electrón en el átomo. Eso impide que los
átomos colapsen irradiando energía mientras los electrones se precipitan hacia r = 0.
Dado que bn , el radio de la zona accesible para un electrón con energía En , es inversamente
proporcional a En , resulta de estas fórmulas una separación muy marcada entre las zonas que
pueden ocupar los estados orbitales de los electrones con distintas energías, como se ve para
los primeros niveles en la figura 10.17. En la práctica se dice que los electrones se distribuyen
en “capas” de distinta energía:
337
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 Un electrón con energía E1 (nivel fundamental), se encuentra dentro de una región de radio b1, muy próxima al núcleo. Estos electrones son los más ligados, porque para arrancarlos del átomo haría falta mayor cantidad de energía que en cualquier otro nivel (Wext
E1). Se considera que el electrón ha sido arrancado cuando ha sido llevado a un nivel con ET  0.
 Los siguientes, con energía E2 (podrían ser arrancados del átomo con Wext E2, cuatro veces menor que la energía necesaria para arrancar un electrón del nivel 1), pueden
llegar hasta el radio b2 = 4 b1. Aunque algunos de estos electrones también pueden acercarse al núcleo, la mayoría de ellos tienen demasiado momento angular y nunca entran
(o, en el lenguaje cuántico, tienen bajísimas probabilidades de hacerlo) a la zona de los
electrones de la capa inferior.
 Así sucesivamente, los de la capa n3 están 9 veces menos ligados y más lejos que los del
nivel fundamental, etc.
Momento angular orbital
El módulo de la cantidad de movimiento angular orbital está dado, para el nivel n, por el
número natural l, que va desde 0 hasta n1, según la expresión:
L=
l(l  1)
h
2
(10.13)
Donde h es la constante de PLANCK (en general se utiliza el símbolo   h 2 ), que tiene
unidades de momento angular, y se considera la unidad atómica de momento angular.
Así vemos que:
 En el nivel fundamental, n = 1, l sólo puede valer 0, Y lo mismo L. O sea que sólo hay
movimiento radial. Como en la teoría cuántica se suele interpretar que el electrón es una
onda, éstas serían ondas esféricas que oscilan entrando y saliendo radialmente. Se denominan “s”, ondas s, o estados orbitales s.
 En el nivel n = 2, l puede valer 0, y también 1. O sea que en este nivel hay estado s, sin
momento angular, pero también estados denominados “p”, con l = 1, o sea L1 = 2  .
 En el nivel 3, tenemos estados s, estados p, y también estados “d”, con l = 2, o sea con
momento angular L2 = 6 
 Etc. En cada nivel habrá estados con momento angular que va desde 0 hasta un valor
máximo dado por (10.13) con el valor l = n1, que es el máximo l para el nivel.
Repitiendo las características del caso clásico, se encuentra que los estados orbitales de poco
momento angular combinan ondas radiales (entrante-saliente), con ondas que circulan alrededor del núcleo.
Los estados de mucho momento angular se distribuyen en una capa más delgada alrededor del
radio medio de la zona (bn/2). En los estados de bajo momento angular los electrones tienen
probabilidad de ser encontrados en una capa más gruesa, pudiendo alejarse más del núcleo, y
también acercarse más al mismo.
338
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Los electrones en estado s, caso extremo, son los únicos que tienen cierta probabilidad de ser
hallados en el núcleo o muy cerca de él, y a la vez que son los que tienen probabilidad de ser
hallados más lejos, que es la mayor probabilidad (por razones similares a los cometas, que
están la mayor parte del tiempo lejos del Sol).
Tan cierto es que estos electrones llegan al núcleo, que algunos núcleos inestables pueden
ocasionalmente CAPTURAR un electrón de un estado s. Este proceso se denomina “captura
”, y sólo ocurre con determinados núcleos inestables. La masa del núcleo no se altera mucho
por esto, pero su carga eléctrica sí: disminuye en una carga elemental (un protón se transforma
en un neutrón), y el elemento se TRANSMUTA en un isótopo del elemento anterior de la Tabla Periódica con Z  Z1, y con el mismo número de masa.
Componente espacial del momento angular orbital

La componente del vector axial L respecto de alguna dirección del espacio (en general se
elige el eje z, y se lo denomina “eje de cuantificación”), está cuantificada según:
Lz = m 
(10.14)
Donde m es un número entero que va desde –l hasta l.
Es decir, para los estados s, m sólo puede valer cero. Hay un solo estado s, que es de simetría
esférica y no puede tener diferentes orientaciones en el espacio.
Para los estados p, que tienen L1 = 2  , hay tres orientaciones posibles con L1z = +  , 0 , y

  . Como el vector L es perpendicular al plano del movimiento clásico, esto en la teoría
clásica indicaría tres orientaciones posibles de este plano, y en la teoría cuántica, similarmente, tres estados orbitales con igual estructura radial y las correspondientes orientaciones diferentes de la rotación.
Y así sucesivamente, los estados d son 5 estados con L2 = 6  , y con rotaciones dadas por
L2z = 2  ,  , 0 ,   , y 2  .
El límite clásico
La constante de PLANCK es prácticamente el elemento clave de la Teoría Cuántica (Max Karl
Ernst Ludwig PLANCK, 1858-1947, la introdujo en 1900). La pequeñez de esta constante es lo
que hace que los fenómenos cuánticos pasen desapercibidos en la vida práctica, pero sean
notables a nivel atómico.
Si considerásemos cada vez más pequeña esta constante, el espaciamiento entre los valores
permitidos de cualquier variable se haría cada vez más pequeño, y ésta podría pasar de un valor permitido a otro infinitamente próximo de manera casi continua habríamos recuperado
así la física clásica. Ahora bien, si revisamos las fórmulas, encontramos que para tener valores
típicos de cualquier variable, con h muy pequeño, tendiendo a cero, deberíamos tomar números cuánticos muy grandes, tendiendo a infinito.
Y éste es el llamado límite clásico: con h que tiende a cero, esperamos que para los grandes
valores de los números cuánticos, las fórmulas cuánticas tiendan a las clásicas.
Así por ejemplo, por razones de la indeterminación que debe reinar en el dominio de la cuántica, el vector axial momento angular, de módulo Ll = l(l  1)  , no puede proyectar todo su
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módulo sobre un eje (porque eso lo ubicaría exactamente en el eje, perdiéndose el grado de
indeterminación debido). Por eso es que su máxima proyección, l  , siempre es menor
que l(l  1)  . Sin embargo, si h se pensara tendiendo a cero, con grandes valores de l podríamos compensar esta pequeñez para obtener cualquier valor de L de algún problema dado, y,
siendo que para l muy grande l(l  1)  l, el comportamiento del vector L sería clásico: podría proyectarse en todo su módulo sobre cualquier eje, es decir alinearse exactamente con él.
Otro ejemplo es el caso del máximo momento angular posible del nivel de energía n. Cuánticamente tenemos que con lmáx = n1, será Lmáx = (n  1)n  , valor que para n muy grande
tenderá a n  .
Despejando  de la fórmula de la energía obtenemos   e2 k el m 2 E1 = K m 2 E1 , con
lo cual podemos escribir el momento angular máximo en función de la energía total En , para
grandes valores de n, que resulta:
Lmáx  n K
m
m
=K
2 E1
2 En
Ahora bien, esto es exactamente lo mismo que encontramos en el tratamiento clásico si escribimos Lmáx = m v0 r0, en términos de la energía total del nivel (usando v0 = 2 E T m , y r0 =
b/2 = K/(2ET)).
Energías positivas y escape de la partícula
Hasta ahora hemos analizado casos con ET < 0. Veamos qué sucede si la energía total es positiva. En la figura siguiente podemos notar que en esta caso la partícula puede alejarse hasta el
infinito: NO ESTÁ LIGADA al centro de fuerzas. La trayectoria es una curva que según la
Primera Ley de KEPLER es una parábola (sólo si ET = 0), o una hipérbola, siempre con el centro de fuerza en un foco.
E
ET
Ec(r)
v
m
F
r
astro central
Fig. 10.17: Un caso de trayectoria hiperbólica. A la izquierda el esquema de energías correspondiente. A grandes distancias la hipérbola se transforma prácticamente en una línea recta, como lo
muestran las rectas dibujadas, denominadas asíntotas de la hipérbola.
A medida que el cuerpo se aleja del centro de fuerza va disminuyendo su energía cinética,
pero la fuerza atractiva que le va quitando esa energía también va disminuyendo. El resultado
es que muy lejos ya la Ep(r) se mantiene casi constante, y eso indica que la fuerza casi es nula
y puede ser ignorada, pero a la partícula le queda aún una cierta cantidad de energía cinética.
En la gráfica se ilustra que Ec() = ET.
340
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Podemos terminar estos ejemplos diciendo que la condición límite, que separa los casos de
partícula LIGADA al centro de fuerzas, del caso de partícula NO LIGADA, es ET = 0.
Con ET = 0 la partícula puede alejarse hasta el infinito, pero pierde toda su energía cinética en
el proceso (Ec() = 0).
Para estos casos también es posible hacer diversas consideraciones sobre la relación entre la
forma de la trayectoria y el momento angular orbital, pero no son de mucho interés por lo cual
no profundizaremos en el tema.
Velocidad de escape.
Supongamos que tenemos un cuerpo en la superficie de la Tierra (o de cualquier planeta o
astro similar), y nos preguntamos si es posible lanzarlo hacia arriba con una velocidad tal que
no retorne nunca (ignorando la resistencia del aire, así como la rotación del planeta).
Es claro que no es válida la aproximación habitual de considerar el peso constante. Hay que
considerarlo como fuerza coulombiana que se va debilitando a medida que el cuerpo se aleja.
Si pensamos que en la superficie del planeta de radio R, el cuerpo está inicialmente en reposo
a distancia R del centro de fuerza, deberemos atribuirle energía mecánica total inicial E0 igual
a la potencial, la cual a su vez tiene el valor dado por la expresión coulombiana Ep(R) =
K/R.
E
interior
R
exterior
r
Wext
E0
Ep(r) = 
E0 = 
K
r
K
R
Esta función ya no es válida
en el interior de la Tierra
Fig. 10.18: Esquema de la energía potencial coulombiana cerca de la superficie terrestre.
Vemos en la figura que un agente externo debe realizar el trabajo capaz de dar al proyectil la
energía cinética que lleve la energía mecánica total desde su valor inicial E0 hasta su valor
final 0, con lo cual se podrá alejar infinitamente.
Esto es la diferencia 0 – E0 = E0= G M m / R, de manera que la energía cinética buscada es
2
m
 v0 2  G M m
 R , y la velocidad necesaria resulta independiente de la masa del proyectil y
está dada por: v0  2GM R .
Esta velocidad se conoce con el nombre de “velocidad de escape”, y para el planeta Tierra
vale aproximadamente 11,6 km/s.
NOTA:
Es importante poder relacionar la energía potencial gravitatoria dada por
Ep = m g y, que hemos utilizado para movimientos en la superficie de la Tierra
(ahora la vamos a llamar Ep*), con ésta, de forma coulombiana, dada por
Ep(r) = –K/r.
341
Curso l Física I
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Para hacerlo comencemos notando que y, la altura con respecto a algún nivel
arbitrario, también es una coordenada radial: y = r – R, de manera que:
Ep* = m g y = m g r – m g R
Pero si recordamos que g = G M / R2, entonces:
Ep* = m G M
r
1
r
1
mGM
=K 2 K
2
R
R
R
R
Ésta es una función lineal de r, con pendiente K/R2, que vale cero en r = R (ver
Ep*(r) en la figura). Notar que K/R2 = m gsup , es el peso del cuerpo en la superficie terrestre.
Ahora bien, si calculamos la derivada de Ep(r), nos da K/r2, lo que nos muestra
que en r = R, Ep(r) vale –K/R, y tiene la misma pendiente K/R2 que Ep*.
Esto nos dice que si a Ep(r) le sumamos K/R, se va a confundir (va a ser tangente) con Ep*(r) en la cercanía de r = R; es la gráfica en línea de trazos en la figura.
E
Ep*(r)
K
R
Ep(r) +
R
K
R
r
Ep(r) = 

K
R
K
r
K
R
De manera que si quisiéramos resolver el problema del escape con la función
Ep*(r) no podríamos, porque tiene pendiente constante, o sea que indica fuerza
peso constante a cualquier distancia, lo cual no es real. Con ella, para cualquier energía total (cualquier velocidad inicial), siempre encontraríamos un r
de retorno, que nos daría el máximo alejamiento posible.
Pero si consideramos que la pendiente de la gráfica tiene que ir disminuyendo
con la distancia, entonces la gráfica se transforma en la línea de trazos, y vemos la respuesta correcta: ya no hay punto de retorno cuando la energía total
llega al valor K/R.
Dado que a las funciones Ep siempre se les puede sumar cualquier constante sin
que se alteren las conclusiones físicas, la función en línea de trazos es, en su
significado físico, totalmente equivalente a la coulombiana Ep = –K/r, como
puede verse a partir de los siguientes razonamientos, adaptados a cada una de
las funciones:
 Según la función en línea de trazos el cuerpo tiene Ep = 0, en la superficie,
y hay que darle Ec  K/R para que escape. Va a llegar infinitamente lejos,
donde va a tener K/R de potencial, y lo que le sobre de cinética.
 Según la función Ep = –K/R, el cuerpo tiene Ep =–K/R, en la superficie, y hay
que darle Ec  K/R para que escape. Va a llegar Infinitamente lejos, donde
va a tener 0 de potencial, y lo que le sobre de cinética.
342
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Escape del átomo: energía de ionización.
Si tenemos un electrón ligado a un núcleo en un estado de energía total E0 (que debe ser un
valor negativo), es elemental calcular qué energía es necesario suministrarle para arrancar este
electrón del átomo.
Tenemos que pasar de un estado de energía total ETinicial = E0 < 0, a un estado de ETfinal  0 (es
suficiente con ETfinal = 0).
E
ET
r
Fig. 10.19: Salto de energía
necesario para la ionización.
Un agente exterior debe suministrar una cantidad Wext = ET = 0 – E0 =E0 (recordar que E0
es un valor negativo).
Esta cantidad de energía se denomina energía de ionización, pues el átomo luego quedará
definitivamente separado de este electrón, transformado en un ion positivo.
En general en el proceso de ionizar un átomo de muchos electrones, se denomina energía de
ionización a la mínima energía necesaria para ello, o sea a la necesaria para quitar el electrón
menos ligado. De manera que se considera a todos los electrones ubicados en los orbitales de
más baja energía que les sea posible ocupar. Esto se denomina estado fundamental del átomo.
El electrón menos ligado será el que esté en el nivel más alto de todos, siempre en el estado
fundamental del átomo, y la energía de este nivel, en valor absoluto, es la energía de ionización.
Fuerza coulombiana repulsiva
Este es un caso de poco interés para nosotros, por lo cual le vamos a dedicar poco espacio.
Pero conceptualmente interesa saber que existe. Ocurre, por ejemplo entre cargas del mismo
signo, y corresponde a las famosas experiencias con las cuales Ernest RUTHERFORD (18711937) en 1911, exploró el átomo bombardeándolo con partículas  (de carga positiva) y encontró que éstas rebotaban como si hubiesen chocado contra algo muy masivo y extremadamente pequeño (entiéndase: mucho más pequeño que el átomo).
RUTHERFORD interpretó estos resultados diciendo que el átomo tenía un núcleo extremadamente pequeño (prácticamente un punto comparado con el resto del átomo), en el que estaba
la carga positiva, y prácticamente toda la masa. Aplicando estas mismas leyes que estamos
viendo él encontró que las partículas  no llegaban en realidad a chocarlo mecánicamente,
sino que se desviaban por la fuerte repulsión electrostática, siguiendo las correspondientes
trayectorias hiperbólicas (figura 10.20).
Y ASÍ SE DESCUBRIÓ QUE EL ÁTOMO TENÍA NÚCLEO. Y EL MUNDO NO VOLVIÓ
A SER EL MISMO.
Y aquí lo que interesa saber es que se siempre se pueden aplicar las mismas leyes básicas:
 La trayectoria debe ser una hipérbola con el centro de fuerza (repulsiva en este caso) en
un foco, porque sigue valiendo la Ley de KEPLER que hemos visto,
343
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 Se debe conservar el momento angular orbital (Ley de las Áreas), porque la fuerza es
central, y la energía total, porque es conservativa.
 La energía potencial es la misma función que en el caso atractivo, pero positiva, de manera que la fuerza apunta hacia fuera, que es hacia donde disminuye Ep(r) = +K/r.
v
E
Ep(r) = K / r

F
eje
Núcleo
ET
asíntotas
r
Fig. 10.20: Trayectoria hiperbólica de una partícula  que se acerca a un núcleo atómico y
es repelida por él. A la izquierda el esquema de energías correspondiente, el cual muestra
que hay un acercamiento máximo posible para una partícula con energía dada.
10.3.- El caso de la fuerza elástica.
En este caso tenemos una fuerza central atractiva de módulo proporcional a la distancia:
Fr = k r
La energía potencial correspondiente es (a menos de una constante cualquiera C que se le
puede sumar sin que afecte las consideraciones físicas):
Ep = ½ k r2
Por ser una fuerza central ya sabemos que el movimiento debe ocurrir en un plano, y si en ese
plano consideramos los ejes cartesianos x, y, podemos llegar a varias conclusiones importantes.
Por un lado vemos claramente que las componentes cartesianas de la fuerza pueden expresarse, cada una, como una fuerza elástica en el eje correspondiente, ambas de la misma constante


k, ya que F  k r equivale a decir (Fx ; Fy) =  k (x ; y), y esto es:
Fx =  k x ; Fy =  k y
De manera que podemos tener oscilaciones armónicas independientes en cada eje, de cualquier amplitud cada una, pero necesariamente de la misma frecuencia:
1 k

f=
=
2 2 m
La superposición de estas oscilaciones será una curva cerrada, ya que cada vez que transcurra
un período T la partícula volverá al mismo valor de x, y al mismo valor de y, es decir al mis
mo lugar r = (x;y).
Ahora bien, comencemos suponiendo el caso en el que las oscilaciones en x, de amplitud A,
están adelantadas T/4 respecto de las oscilaciones en y, cuya amplitud es B.
x(t) = A cos(t)
;
y(t) = B sen(t)
(10.15)
Si utilizamos la relación trigonométrica cos 2 (t )  sen 2 (t )  1 , escribiendo cos(t) = x/A, y
sen(t) = y/B, obtenemos:
344
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x 2 y2

1
A 2 B2
(10.16)
Pero esta es la ecuación cartesiana de una elipse de semi-ejes A y B (figura 10.21).
Ahora bien, las oscilaciones en cada eje son independientes y sabemos que cada una cumple
con:
½ k x2 + ½ m vx2 = ½ k A2 = energía total de la oscilación en x.
½ k y2 + ½ m vy2 = ½ k B2 = energía total de la oscilación en y.
Sumando estas expresiones, y teniendo en cuenta que r2 = x2 + y2, y que v2 = vx2 + vy2, obtenemos:
½ k r2 + ½ m v2 = ½ k (A2 + B2) = ET , del movimiento elíptico.
(10.17)
Denominamos b = A2  B2 , a la distancia a la cual Ep = ET, o sea ET = ½ k b2 . Ésta es la
distancia más allá de la cual es imposible encontrar la partícula con la energía total dada, y
como se deduce de (10.17) es la diagonal de un rectángulo cuyos lados son los semi-ejes mayores de la elipse.
y
E (J)
ET
B
x
A
Ecmáx
Ecmín
Ep =
k r2
2
r
B
A b
zona en la cual puede
hallarse la partícula
r=b
Fig. 10.21: Elementos de las oscilaciones elásticas.
Ahora bien el caso más general posible es el caso en que las oscilaciones en cada eje están
defasadas en cualquier fracción de período, y no sólo en T/4. No abordaremos ese caso porque
requiere un trabajo algebraico más arduo, pero anunciaremos, sin demostrarlo, que nada varía
en las conclusiones generales.
El movimiento más general posible es una elipse centrada en el origen, cuya excentricidad
(que aquí indica achatamiento de la elipse, pero no ubicación fuera de centro) puede variar
desde 0 hasta 1.
Dada una energía total ET, determinamos b = 2 ET k , o sea el valor que cumple con ET =
½ k b2, y luego podemos decir que son posibles todas las elipses cuyos semi-ejes forman un
rectángulo cuya diagonal es b.
Los casos extremos son:
 e = 0: movimiento circular de máximo momento angular orbital. Debe ser r0 = b / 2 , y
se verifica fácilmente que se cumple con la ley de fuerza normal: m v02/ r0 = k r0 , pues
ella equivale a: v0 =  r0. Esto también implica que m v02 = k r02, lo cual dividido por 2
dice que: Ec0 = Ep0 = ½ ET.
 e = 1: movimiento rectilíneo oscilatorio a lo largo de todo el diámetro de la zona de r 
b. No tiene momento angular orbital.
345
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En la práctica la situación de fuerza elástica en el dominio atómico se encuentra siempre que
hay alguna partícula que es mantenida en una posición de equilibrio por fuerzas que le aplican
los vecinos (en general en el centro de fuerzas no puede haber un agente responsable de una
fuerza como ésta, porque allí debe haber lugar para la partícula móvil, ya que es su posición
de equilibrio).
Por ejemplo un núcleo atómico es mantenido en el correspondiente sitio de la red o de la
molécula, por la nube electrónica “entrelazada” con las de los átomos vecinos.
Propuesta experimental casera
Un ejemplo aproximado de estas trayectorias se obtiene caseramente con un péndulo de hilo muy
largo, haciendo que ejecute oscilaciones de pequeña amplitud, para que el movimiento se mantenga
aproximadamente en un plano horizontal. Siendo la amplitud pequeña, tendremos que aproximadamente la fuerza neta sobre el cuerpo estará en ese plano, será hacia el centro, y proporcional a la distancia al mismo.
Entonces, dando impulsos suaves adecuados se obtienen movimientos en los cuales el hilo describe
distintos tipos de conos, mientras el cuerpo en el extremo dibuja aproximadamente elipses que pueden
variarse desde circunferencias hasta líneas diametrales.
Cuantificación
Las consideraciones cuánticas siempre intervienen en el dominio atómico planteando la cuantificación de la energía total y módulo y una componente de la cantidad de movimiento angular.
Ahora bien, la cuantificación de todos los aspectos relacionados con el momento angular orbital sólo depende de que la fuerza sea central, y es independiente de la función Ep(r), es decir
es la misma que ya hemos visto.
Lo único que en la fuerza elástica es diferente de lo que vimos en la fuerza coulombiana, es la
fórmula para los niveles permitidos de la energía.
Ahora tenemos niveles dados por el número natural n comenzando desde 0, que son:
1
k

En =  n   
2
m

(10.18)
Recordando que la frecuencia es f = 1 2  k m , a veces es importante escribir:
En = (n + ½) h f
(10.18’)
Veremos más detalles en el capítulo de Vibraciones y Rotaciones Moleculares.
10.4.- La reducción al Sistema Centro de Masa.
Ahora debemos prestar atención a un detalle que hemos pasado por alto. Los movimientos
posibles que hemos estudiado de una partícula de masa m alrededor de un hipotético centro de
fuerza que está fijo en el origen de coordenadas, corresponden a una situación ideal.
346
Curso l Física I
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En la práctica la fuerza sobre la partícula de masa m es aplicada por algún cuerpo, el cual tiene
masa M >> m, y está, según el Principio de Acción y Reacción, necesariamente sometido a la
fuerza que sobre él ejerce la partícula; y por no ser un cuerpo libre de fuerzas, no puede considerarse estrictamente en reposo en el origen de un buen sistema de referencia.
El cuerpo central también tiene que moverse!. Claro que si su masa es infinitamente grande,
tiene que moverse infinitamente poco, y tenemos la situación ideal que hemos estudiado. Ella
puede considerarse como caso límite cuando la masa del cuerpo central es suficientemente
grande – cosa que se cumple bastante bien en el Sistema Solar y en el átomo.
Pero no se cumpliría si pensamos en dos estrellas de masas parecidas, o dos átomos componentes de una molécula. En esos casos cada cuerpo debería considerarse en movimiento alrededor del centro de masa del sistema, que es el punto que podría considerarse en reposo en el
origen.
Consideremos dos partículas, de masas m1 y m2, unidas por alguna fuerza mutua de atracción.
Estas partículas pueden moverse de muy variadas maneras, combinando traslación con rotación, pero lo hacen de manera que su centro de masa se mueve con movimiento rectilíneo
uniforme.
v1
m1
F1
vCM
CM
F2
Fig. 10.22: Mientras dos partículas viajan
aplicándose fuerzas mutuas, sus trayectorias
son curvas pero el CM viaja con MRU.
v2
m2
Si a este sistema de dos partículas lo acompañamos con un sistema de coordenadas que viaje
con la misma velocidad del CM, en este sistema, denominado sistema CM, dicho punto estará
en reposo en un lugar arbitrario, que elegimos como origen. Habremos descontado así el movimiento del centro de masa, y tendremos a la vista los posibles movimientos intrínsecos de
las partículas.
La posición del CM en cualquier sistema está dado por:



m1 r1  m2 r2
rCM 
m1  m2
(10.19)
Esto significa que, en el sistema CM, en el cual el CM se elige como origen, tendremos


rCM  0 , y por lo tanto:


(10.20)
m1 r1  m2 r2  0
m 

r2   1 r1
m2
(10.20’)
Es decir que ambas partículas tienen el mismo movimiento con respecto al centro de masa, ya
 
que r1 y r2 son vectores que se mantienen opuestos sobre la misma recta, y cuyos módulos se
mantienen en una relación fija:
347
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r2(t) = (m1/m2) r1(t)
Es como si lo que hace una partícula fuera copiado exactamente por la otra del lado opuesto
del CM, con un factor de escala que es la relación entre las masas.
Ahora bien, a lo largo de este capítulo hemos considerado que 1 era la partícula móvil, y 2 era
el cuerpo fijo en el origen (lo cual se justificaba porque m2 >> m1), de modo que cuando con
siderábamos que r era la posición del cuerpo 1 con respecto al origen, también lo era con
respecto al cuerpo 2. Pero ahora este cuerpo ya no está en el origen, y debemos a precisar me
jor, de manera que definimos claramente que utilizaremos r para designar:
  
r = r1  r2

Y si eliminamos r2 de esta expresión utilizando (10.20’) se encuentra que el movimiento de la
partícula 1 con respecto a la 2 también reproduce al de la partícula 1 con respecto al CM, con

  
otro factor de escala dado por (notar que r = r1  r2 , pero r = r1 + r2):

  m  m2 
r1 ( t )
r ( t ) = r1  r2 = 1
m2
v1
m1
r1
CM
(10.21)
r
Fig. 10.23: En el sistema CM ambas partículas describen movimientos de la misma forma, opuestos
respecto del CM, con un factor de escala constante.
m2 r2
v2

Ahora vemos que al no tomar r1 con respecto al CM, como debió ser, hemos estado introduciendo (sin saberlo) un factor de escala fijo en las distancias:
m1  m 2
m
=1  1
(10.22)
m2
m2
Este factor también ha afectado a las velocidades y cantidades de movimiento, ya que, si se
 
deja transcurrir un pequeño intervalo de tiempo t, los vectores posición r1 y r2 sufren desplazamientos que también cumplen estas relaciones, las cuales luego, dividiendo por t, también
se encuentran entre las velocidades:

m 
v 2   1 v1
m2
 m  m2 
v= 1
v1
m2
;
(10.23)
Ahora bien, todo el comportamiento mecánico de los cuerpos se deduce de la Ley del Impulso
aplicada en el sistema CM. Esta ley, para el movimiento del cuerpo 1 dice:


F(r) t  m1 v1
Así la Ley está correctamente aplicada, en el sistema CM, pero dado que la fuerza que estamos considerando está dada en función de r, la distancia entre los cuerpos, y no en función de
 
r1, puede sernos cómodo escribir la Ley también en términos de r y v .


Si para ello reemplazamos v1 = m2 (m1  m2 v , tomado de (10.23), queda:
348
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
m1 m2 
F(r ) t 
v
m1  m2
(10.24)
 
Pero esto nos dice que aplicando correctamente la Ley del Impulso, los vectores r y v (que
son los que dan el movimiento del cuerpo 1 respecto del 2) evolucionarían en el tiempo como
si la fuerza estuviera actuando sobre un cuerpo de masa  , que llamaremos “masa reducida”,
dada por:
m m
= 1 2
(10.25)
m1  m 2
O sea, afectamos la masa por un factor de escala que compensa al que afecta a la velocidad, y
tenemos la masa reducida. Notemos que, si m2 >> m1, resulta   m1. Esto justifica una vez
más que la aproximación hecha a lo largo del capítulo ha sido buena.
Ejemplo desarrollado
Considere posibles vibraciones de la molécula de H35Cl, y de la de H2 (para este planteo considere las
masas en u.m.a., sin expresarlas en kg).
a) Sabiendo que las ligaduras H-Cl y H-H tienen longitudes de equilibrio 127,510-12 m, y 74,110-12 m
respectivamente, encuentre la ubicación del centro de masa de cada molécula, y haga un esquema a
escala, ubicando cada átomo en un sistema de coordenadas con el CM fijo en el origen de la respectiva molécula.
b) Encuentre la masa reducida para cada caso, e interprete el significado de cada valor obtenido. En
particular explique por qué la del sistema HCl es muy parecida a la del hidrógeno, y la otra no.
Desarrollo
a) Dado que la masa del 35Cl es 35,5 uma, es decir 35,4 veces la del H, en la molécula HCl el centro
de masa estará exactamente ese número de veces más cerca del Cl que del H, mientras que en la
molécula H2 el CM estará exactamente al medio entre ambos.
-3,6
124
x
50
100
CM
(10-12 m)
Núcleo H
Núcleo Cl
-37
37
x
Núcleo H
CM
50 (10-12 m)
Núcleo H
b) La masa reducida resulta: HCl = 0,97 u.m.a. ; HH = 0,5 u.m.a. Para la molécula de HCl, tenemos
un protón oscilando unido a un núcleo 35,4 veces más masivo. El núcleo de Cl se mantiene cercano al
centro de masa, con oscilaciones de muy pequeña amplitud: cualquier movimiento del protón es “copiado” por el Cl con amplitud 35,4 veces menor. De manera que para el protón esto es muy parecido a
estar unido a un punto fijo, por lo cual la masa reducida describe una partícula hipotética casi de la
misma masa que el protón.
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Muy distinta es la situación en la molécula de H2: cada protón está unido a otra partícula que se mueve
exactamente tanto como él. Para el resorte es como si tuviese un extremo fijo, y en el otro una partícula cuya masa fuese la mitad de la que realmente hay.
NOTA: LOS RAZONAMIENTOS FUERON CORRECTOS
Aunque las expresiones (10.24) y (10.25) son concluyentes y no es necesario
agregarles más nada, es interesante la siguiente reflexión.
Todas las deducciones hechas a lo largo del capítulo sobre las características
de los movimientos se basaron en dos cosas:
1) En que la fuerza era central.
2) En la forma de la función Ep(r).
Y esas dos cosas se mantienen si pasamos del sistema (incorrecto) en el cual el
cuerpo 2 estaba en el origen, al sistema con CM en el origen, ya que:
1) La fuerza sobre 1, directamente hacia 2, también apunta exactamente
hacia CM.
2) La forma de las funciones Ep(r) involucradas es la misma, salvo factores
constantes, que la de las funciones Ep(r1) que se obtienen sustituyendo r por
medio de la expresión (10.21).
De manera que las elipses y trayectorias varias que hemos estudiado para el
cuerpo 1 alrededor del 2, también son válidas para cada cuerpo alrededor del
CM, con el factor de escala adecuado.
 
Por último, si vamos a resolver cualquier problema en términos de r y v , debemos expresar
correctamente la energía cinética y el momento angular orbital.
 
Es decir, para aclarar: vamos a trabajar en términos de r y v , que expresan las variables del
cuerpo 1 con respecto al 2, pero no consideramos que el cuerpo 2 está fijo en el origen, porque
el que está fijo es CM.
Si considerásemos al cuerpo 2 fijo en el origen, nosotros diríamos: Ec = ½ m1 v2, y L = m1 v
r, lo cual sería incorrecto (comparar con (10.26) y (10.27)).
Nosotros decimos: Ec = ½ m1 v12 + ½ m2 v22, y LCM = m1 v1 r1 + m2 v2 r2, porque hablamos
en el sistema CM, y queremos expresar estas cosas en términos de r y v.
Entonces, para ello recurrimos a los factores de escala dados por (10.23):
m v2 m m2 v2
Ec = ½ m1 v12 + ½ m2 v22 = 1 1  2 12 1
2
2 m2
=
m1 v12  m 2  m1 


2  m 2 
1 m1 m 2 2
=
v
2 m1  m 2
= ½  v2
(10.26)
Y de la misma manera, para el momento angular orbital, LCM = m1 v1 r1 + m2 v2 r2, con los
mismos reemplazos, se obtiene:
350
Curso l Física I
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LCM =  v r =  2 r
(10.27)
Donde  es la velocidad angular:  = v1 / r1 = v2 / r2 = v / r . Estas igualdades se justifican
porque tanto la línea entre los cuerpos, como las líneas entre cualquiera de ambos cuerpos y el
CM, están alineadas y rotan todas juntas.
La conclusión práctica es muy simple:
Cuando dos cuerpos se mueven bajo la acción de fuerzas mutuas alineadas con la
recta que los une, el movimiento relativo de uno de ellos respecto del otro puede explicarse como si él tuviese la masa reducida, , y el otro estuviera fijo en el origen.
Por ahora dejaremos aquí el tema, y lo retomaremos al tratar las vibraciones y rotaciones moleculares.
Ejemplo desarrollado.
Consideremos dos cuerpos el 1 de masa m1 = 1 kg, y el 2, de masa m2 = 3 kg, unidos por medio de un
resorte de 40 cm de longitud en equilibrio, y constante elástica k = 750 N/m.
Ambos cuerpos pueden oscilar sin rozamiento sobre una pista horizontal rectilínea a lo largo del eje x.
m2
k
m1
x
a) encuentre la ubicación del centro de masa, y muestre que si se ubica el origen del eje x sobre él,
entonces la posición de equilibrio del cuerpo 1 estará en x01 = 30 cm, y la del 2 en x02 = 10 cm.
b) Muestre que si en el sistema CM el cuerpo 1 oscila 6 cm a cada lado de su posición de equilibrio, el
2 oscilará 2 cm a cada lado de su propia posición de equilibrio.
c) Calcule la fuerza que aplica el resorte a cada cuerpo cuando ambos están en el máximo apartamiento, y en la máxima proximidad. Compárelas.
d) Con los valores calculados en c), y los correspondientes apartamientos de cada cuerpo de su respectiva posición de equilibrio, muestre que es como si cada cuerpo estuviera unido al origen (y no al
otro cuerpo) por un resorte diferente. Calcule la longitud de equilibrio y la constante elástica de cada
uno.
e) Muestre que cada cuerpo oscilando independientemente en el extremo de su resorte diferente, oscilaría con la misma frecuencia que el otro, y que esa es la misma frecuencia de oscilación de un cuerpo
de masa reducida en el extremo del resorte real.
Desarrollo
a) Si el resorte está en equilibrio un cuerpo estará a 40 cm de distancia del otro. Ahora, con respecto al
cuerpo 2 ubicado a la izquierda, el CM estará en xCM = (30 + 140)/4 = 10 cm.
De manera que ubicando el origen de un nuevo eje x en el CM, tendremos el cuerpo 1 ubicado en x10
= 30 cm, y el 2 en x20 = -10 cm. Como el resorte está en equilibrio no hay fuerza sobre ninguno de los
cuerpos, y esas posiciones son las posiciones de equilibrio de cada uno en el sistema CM.
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Curso l Física I
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CM
m2
m1
-10 cm
30 cm
x=0
x20
x
x10
x10 - x20 = 40 cm
b) Si alejamos ambos cuerpos una cierta distancia y luego los soltamos a los dos simultáneamente, las
oscilaciones continuarán automáticamente manteniendo fijo el CM. Si queremos que el CM quede en
el origen, tenemos que soltar los cuerpos con el CM allí. Para ello, si inicialmente el cuerpo 1 parte de
en x1’ = 36 cm, y el 2 debe partir de x2’ = 12 cm (aplicamos siempre la relación x2 = (m1 / m2) x1).
m2
m1
CM
x=0
x10
x2’ x20
x
x1’
En estas condiciones cada cuerpo oscilará como se ha pedido.
c) Cuando los cuerpos estén en la máxima separación, 48 cm, sobre cada uno actuará una fuerza de
módulo F = k0,08 = 60 N, en sentido de atraerse.
En la máxima proximidad, 32 cm, la fuerza también será F = k0,08 = 60 N, en sentido de repelerse
mutuamente los cuerpos.
Las fuerzas son iguales y opuestas sobre ambos cuerpos en cada instante, por P. de Acción y Reacción, y también en cada cuerpo son de igual módulo y sentido opuesto en los extremos de su oscilación.
60 N
2 cm
6 cm
2 cm
60 N
x
60 N
CM
6 cm
60 N
CM
máxima separación
x
máxima proximidad
x=0
x10
x20
d) Para el cuerpo 1, cuando él se aleja 6 cm de la posición de equilibrio, o del CM, la fuerza que le
aplica el resorte es 60 N. Entonces es como si estuviera sujeto a un resorte de k1 = 60/0,06 = 1000
N/m, cuyo otro extremo estuviese fijo en el CM, es decir en el origen (y no donde realmente está: en el
otro cuerpo móvil).
Para el cuerpo 2, cuando él se aleja 2 cm de la posición de equilibrio, o del CM, la fuerza que le aplica
el resorte es 60 N. Entonces es como si estuviera sujeto a un resorte de k 2 = 60/0,02 = 3000 N/m (cuyo
otro extremo estuviese fijo en el origen).
e) Con estos dos resortes distintos el cuerpo 1 oscilaría con frecuencia dada por 1 = 1000 1 = 31,62
1/s; y para el cuerpo 2 tendríamos 2 = 3000 3 = 31,62 1/s.
Por otra parte, la frecuencia de un cuerpo de masa reducida  = 31/ (3+1) = 0,75 kg, oscilando en el
extremo del resorte original, de constante k = 750 N/m, sería la misma:  = 750 0,75 = 31,62 1/s.
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