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12.- Momento angular.
Fuerzas centrales.
§12.1. Momento de una fuerza (297); §12.2. Momento angular (298); §12.3. Impulsión
angular (300); §12.4. Conservación del momento angular de una partícula (301);
§12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas (302); §12.6. Descripción del
movimiento de la partícula en coordenadas polares planas (303); §12.7. Movimiento
producido por una fuerza central (306); §12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva
(311); §12.9. Análisis de diagramas de energía (312); §12.10. Fuerza central inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia (315); §12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler
(320); §12.12. Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford (322); §12.13. Sección
eficaz de dispersión (324); Problemas (326)
En las lecciones anteriores hemos definido magnitudes físicas tales como la
cantidad de movimiento y la energía y hemos establecido, bajo ciertas condiciones,
los principios de conservación correspondientes para una sola partícula. En esta
lección vamos a definir una nueva magnitud física, el momento angular, y
estableceremos el correspondiente principio de conservación. Veremos que el
momento angular, al igual que la cantidad de movimiento y la energía es una
herramienta eficaz para la resolución de numerosos problemas que se plantean en la
Física. Con el principio de conservación del momento angular completaremos la terna
de principios de conservación que constituyen la clave y el fundamento de la
Mecánica. Es más, estos tres principios de conservación pueden ser considerados
como las piedras angulares de la Física actual, siendo válidos en general en todas las
teorías físicas.
Como culminación de estas lecciones dedicadas a la Dinámica de la Partícula,
abordaremos la resolución de un problema clásico: el del movimiento de una
partícula bajo la acción de una fuerza central. Nos serviremos de este problema para
ilustrar la forma en que los principios de conservación de la energía y del momento
angular nos permiten resolver un problema dinámico concreto.
§12.1. Momento de una fuerza.- Consideremos una fuerza F que actúa sobre
una partícula localizada en un punto P del espacio y un punto O fijo en un cierto
referencial inercial. Utilizaremos nuestra definición previa del momento de un vector
con respecto a un punto (Lección 2) para definir ahora el momento de la fuerza F
con respecto al punto O como el producto vectorial del vector de posición de la
partícula con respecto al punto O (esto es, r = OP) por el vector F; o sea que,
designando por M a dicho momento, tenemos
Física Universitaria
297
298
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
M
[12.1]
r×F
de modo que el momento M resulta ser un vector perpendicular, en cada instante y
conforme se mueve la partícula, al plano determinado por el punto O y la línea de
acción o recta directriz de la fuerza F (Figura 12.1), su sentido es el determinado por
la regla de la mano derecha o del tornillo para el producto vectorial y su módulo
vendrá dado por
M
r F sen θ
F bF
[12.2]
donde bF representa la
distancia del punto O a la recta
directriz del vector F y es
llamado brazo de la fuerza con
respecto al punto O.
La definición anterior presupone
que la fuerza F tenga carácter de
vector deslizante, asunto sobre el que
no insistiremos ahora pero que trataremos en profundidad cuando estudiemos
las propiedades de las fuerzas
aplicadas a un sólido rígido.
Figura 12.1
Obsérvese que el momento
de una fuerza tiene las dimensiones que corresponden al producto de una fuerza por una longitud (ML2T-2) que son
las mismas que las del trabajo. Sin embargo el momento de una fuerza y el trabajo
realizado por una fuerza son dos magnitudes físicas de significado muy diferente.
Repárese, por lo pronto, en que el momento1 es una magnitud vectorial en tanto que
el trabajo lo es escalar. Las unidades de momento en los sistemas cgs y mks (SI) son
el centímetro dina (cm dyn) y el metro newton (m N), respectivamente, que no
reciben nombres especiales2.
§12.2. Momento angular.- El momento angular o cinético3 con respecto a un
punto arbitrario O (fijo en un cierto referencial) de una partícula de masa m y
velocidad v (en ese mismo referencial), o sea de cantidad de movimiento p = mv, se
define como el producto vectorial
L
r × mv
r×p
[12.3]
1
El momento de una fuerza recibe también el nombre de momento dinámico o el de momento,
simplemente. En este texto preferiremos esta última denominación, siempre que no haya posibilidad
de confusión.
2
En el sistema técnico, la unidad de momento es el metro kilogramo (m kg), que tampoco
recibe nombre especial. Recordemos que la unidad de trabajo en este sistema es el kilogramo metro
(kg m), que recibe el nombre de kilográmetro (kgm).
3
Las dos denominaciones son aceptables, aunque en este texto utilizaremos sólo la primera.
§12.2.- Momento angular.
299
donde r es el vector posición
de la partícula con respecto al
punto O (r = OP). De acuerdo
con la definición anterior, el
momento angular de una partícula con respecto a un punto
dado es el momento de la
cantidad de movimiento de la
partícula con respecto a dicho
punto (Figura 12.2). El momento
angular es un vector perpendiFigura 12.2
cular al plano definido por el
punto arbitrario (O) elegido
como origen de momentos y la recta directriz de la cantidad de movimiento de la
partícula, su sentido es el determinado por la regla de la mano derecha o del tornillo
para el producto vectorial y su módulo es
L
r p sen θ
p bp
[12.4]
donde bp es el llamado brazo de la cantidad de movimiento con respecto al punto O
elegido y representa la distancia de dicho punto a la recta directriz del vector p.
La definición dada para el momento angular presupone que la cantidad de movimiento de una
partícula tenga el carácter de vector deslizante.
El momento angular, así como el momento de una fuerza, tiene todas las
propiedades correspondientes al momento de un vector deslizante, tal como las
estudiábamos en la lección correspondiente. Por ello no insistiremos ahora en esas
propiedades; únicamente recordaremos que podemos definir el momento de un vector
con respecto a un eje como la proyección sobre el eje del momento de dicho vector
con respecto a un punto cualquiera del eje y dejaremos al cuidado del alumno el
definir el momento de una fuerza y el momento angular de una partícula con respecto
a un eje.
Las unidades en que se mide el momento angular en los sistemas cgs y mks (SI)
son el g cm2/s y el kg m2/s, respectivamente, que no reciben nombres especiales.
En general, el momento
angular4 de una partícula
cambia en módulo y en dirección conforme ésta se mueve.
Sin embargo, si la trayectoria
de la partícula está contenida
en un plano y elegimos como
centro u origen de momentos
un punto O contenido en dicho
Figura 12.3
plano (Figura 12.3), la dirección
del momento angular permane-
4
Aunque siempre es necesario especificar cual es el origen de momentos elegido, cuando no
haya posibilidad de confusión omitiremos dicha mención.
300
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
cerá constante, es decir, perpendicular al plano de la trayectoria, por estar contenidos
en él tanto r como p. En estas condiciones, teniendo en cuenta que v = ω × r y
ω r = 0, se sigue que
L
mr × v
mr × (ω × r )
o sea
L
m r 2ω
m(ω r )
m r 2ω
mr 2 ω
[12.5]
[12.6]
de modo que, en este caso, el momento angular es un vector que tiene la misma
dirección que el vector velocidad angular.
§12.3. Impulsión angular.- Con el objeto de indagar acerca del significado
físico del momento angular de una partícula, estudiaremos como varía L en el
transcurso del tiempo. Para ello, calcularemos la derivada del momento angular con
respecto al tiempo;
dL
dt
d
(r × p )
dt
dr
×p
dt
r×
dp
dt
v×p
r×F
r×F
[12.7]
puesto que F = dp/dt. El primer término del segundo miembro de la expresión
anterior es nulo, ya que v es paralelo a p. El segundo término, r × F, es el momento
con respecto al centro u origen de momentos O, arbitrariamente elegido, de la fuerza
que actúa sobre la partícula. De este modo, hemos establecido una relación
importante entre el momento angular de la partícula y el momento de la fuerza que
actúa sobre ella; i.e.,
M
dL
dt
[12.8]
Así, podemos enunciar:
La rapidez de cambio del momento angular de una partícula es igual al
momento de la fuerza que actúa sobre ella.
Debemos resaltar que la ecuación [12.8] sólo es correcta cuando tanto L como M
se evalúan con respecto a un mismo centro u origen de momentos que puede ser
elegido arbitrariamente y que deberá
estar fijo en un cierto referencial.
La ecuación [12.8], que como veremos más adelante es fundamental para la
discusión del movimiento de rotación,
guarda una gran semejanza formal con la
que relaciona la rapidez de cambio de la
cantidad de movimiento de una partícula
con la fuerza que actúa sobre ella, esto
es, con F = dp/dt; con la cantidad de
movimiento p reemplazada por el momento angular L y la fuerza F por su
Figura 12.4
momento M.
301
§12.3.- Impulsión angular.
De la ec. [12.8] se desprende que el cambio dL en el momento angular de la
partícula durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt es igual al producto del
momento aplicado por el intervalo de tiempo (infinitesimal) durante el cual actúa,
M dt
[12.9]
dL
de modo que dicho cambio dL es paralelo al momento aplicado M. El cambio total
en el momento angular durante un intervalo de tiempo Δt = tB - tA vendrá dado por
Λ
tB
⌠ M dt
⌡t
A
LB
⌠ dL
⌡L
LB
LA
ΔL
[12.10]
A
de modo que aun cuando el primer miembro de [12.9] sólo pueda ser integrado en
condiciones muy concretas (cuando conozcamos M en función del tiempo), la integral
del segundo miembro conduce siempre a un resultado sencillo; i.e.,
Λ
ΔL
[12.11]
El primer miembro de [12.10] se denomina impulsión del momento o impulsión
angular y la ecuación anterior expresa el siguiente resultado importante:
La impulsión del momento de la fuerza que actúa sobre una partícula es
igual a la variación del momento angular de la partícula.
Este es el enunciado del teorema del momento angular, que se aplica fundamentalmente a las fuerzas impulsivas, como las que aparecen en las colisiones y
percusiones, es decir en aquellos casos en los que no conocemos la dependencia con
el tiempo de la fuerza (y por ende del momento) aplicada a la partícula. El
significado del teorema anterior guarda una gran semejanza formal con el teorema
de la cantidad de movimiento. La impulsión del momento es una magnitud vectorial
(sus unidades son las mismas que las del momento angular) y mide, en cierto modo,
la efectividad del momento de la fuerza para producir cambios en el momento
angular (o sea, en el estado de rotación).
§12.4. Conservación del momento angular de una partícula.- Si el
momento aplicado a una partícula es cero, o sea si M = r × F = 0, tendremos que
dL/dt = 0, de modo que el momento angular de la partícula permanecerá constante
en el transcurso del tiempo.
El momento angular de una partícula es
constante en ausencia de momento dinámico.
Esta es una forma de enunciar la ley de conservación del momento angular de una partícula.
Naturalmente, el momento será nulo si la fuerza
aplicada (o la resultante de las fuerzas aplicadas) es
nula; esto es, cuando se trata de una partícula libre.
Sabemos que el movimiento de una partícula libre es
rectilíneo y uniforme (Figura 12.5); esto es, v = cte, o
sea, p = cte. El módulo del momento angular de la
Figura 12.5
302
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
partícula libre con respecto a un punto fijo en un referencial inercial es
L
mr × v
m r v sen θ
mvb
[12.12]
donde b = r sen θ. Al ser constantes todos los factores involucrados, el momento
angular de la partícula libre también será constante.
§12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas.- La condición
de que el momento sea nulo también se satisface si F es paralela a r; en otras
palabras, si la recta directriz de la fuerza pasa siempre por el punto O elegido como
centro u origen de momentos. Una categoría especial de este tipo de fuerzas está
constituida por las llamadas fuerzas centrales; entonces, el punto O recibe el nombre
de centro de fuerza. Por ello podemos establecer que
cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central, su
momento angular con respecto al centro de fuerzas es una constante del
movimiento, y viceversa.
Este resultado es muy importante en razón de que muchas fuerzas de la
Naturaleza tienen carácter central. Así, por ejemplo, la Tierra se mueve en torno al
Sol bajo la acción de una fuerza central (la fuerza gravitatoria) cuya línea de acción
pasa siempre por el centro del Sol; en consecuencia, será constante el momento
angular de la Tierra con respecto al Sol. Una situación análoga se presenta en el
movimiento del electrón del átomo de Hidrógeno; en este caso, la interacción es
esencialmente electrostática y la fuerza que actúa sobre el electrón está dirigida
siempre hacia el núcleo; en consecuencia, el momento angular del electrón con
respecto al núcleo será constante.
El movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central tiene
características muy importantes. Como ya hemos visto, el momento angular de la
partícula con respecto al centro de fuerzas es constante. El que sea L = cte significa,
debido a su carácter vectorial, que lo será en módulo, dirección y sentido. La
constancia de la dirección del momento angular significa que la trayectoria de la
partícula estará confinada en un plano perpendicular a la dirección del momento
angular. En consecuencia, podemos enunciar:
La trayectoria de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza
central se encuentra en un plano que contiene al centro de fuerzas.
Este enunciado es de interés histórico en relación con el movimiento planetario
y se le conoce como Primera Ley de Kepler. En general, la trayectoria plana podrá
ser cerrada o abierta; en principio, dichas trayectorias podrán ser muy variadas. En
el caso de que la fuerza central sea inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia de la partícula al centro de fuerzas, esto es, F ∝ 1/r2, entonces esas
trayectorias u órbitas serán secciones cónicas (circunferencias, elipses, parábolas e
hipérbolas), como veremos más adelante.
Cuando la partícula experimenta un desplazamiento infinitesimal, dr, bajo la
acción de una fuerza central, su vector de posición (radio vector) barre un área dS
(sombreada en la Figura 12.6). En virtud de la interpretación geométrica del producto
vectorial podemos escribir
303
§12.5.- Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas.
dS
1
r × dr
2
[12.13]
donde dS es el vector elemento de superficie, que tiene la misma dirección que el
momento angular L. Entonces, el área barrida por unidad de tiempo, o velocidad
areolar es
dS
dt
1
dr
r×
2
dt
1
r×v
2
[12.14]
siendo v la velocidad de la
partícula y, como L = mr × v,
se sigue que
dS
dt
L
2m
[12.15]
que es la expresión de la
velocidad areolar en función
Figura 12.6
del momento angular. Como el
momento angular es una constante del movimiento, también lo será la velocidad areolar, de modo que tenemos el
siguiente resultado importante:
En el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales el radio vector de la
partícula barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto es, el área barrida por
unidad de tiempo (velocidad areolar) es constante.
Este enunciado, que como vemos tiene validez general para el movimiento bajo
la acción de fuerzas centrales, tiene también interés histórico en relación con el
movimiento planetario; en ese contexto se le conoce como Segunda Ley de Kepler.
Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, el cual ocupa uno de los
focos de dichas elipses. Con objeto de que se conserve el momento angular del planeta con
respecto al Sol (que ocupa la posición del centro de fuerzas) aquél deberá moverse más
rápidamente en el punto de máxima
aproximación (perihelio) que en aquel otro
de máximo distanciamiento (afelio) al Sol.
En tales puntos, llamados absidales, el radio
vector r es perpendicular a la velocidad v,
de modo que el módulo del momento
angular en ellos es L = mrv cumpliéndose
que
Figura 12.7
rp vp
ra va
[12.16]
§12.6. Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares
planas.- Para facilitar el análisis del movimiento de una partícula deberemos servirnos de
un sistema de coordenadas que sea apropiado a las características generales de dicho
304
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
movimiento. Puesto que nos proponemos estudiar el movimiento de la partícula bajo la
acción de una fuerza central, i.e., de una fuerza cuya recta directriz pasa siempre por un
punto fijo O (centro de fuerzas) y cuyo módulo es función únicamente de la distancia de
la partícula a dicho punto, resultará muy conveniente la adopción de un sistema de
coordenadas polares planas con origen en el centro de fuerzas. De ese modo, la fuerza
central quedará expresada en la forma
F
F(r) e r
[12.17]
siendo er el versor en la dirección del
vector de posición r, esto es
r
r er
[12.18]
y donde F(r) es una función que
representa el módulo de la fuerza,
que será una atracción (dirigida hacia
el centro de fuerzas) si es F(r) < 0 o
una repulsión (desde el centro de
Figura 12.8
fuerzas) si es F(r) > 0.
En coordenadas polares planas,
la posición de la partícula en el plano del movimiento queda determinada por la
coordenada radial r (distancia al punto O tomado como origen) y por la coordenada
angular θ (ángulo que forma el vector r con una dirección o eje polar preestablecido). Los
versores correspondientes son el er y el eθ. El versor er está dirigido desde el origen a la
posición que ocupa la partícula. El versor eθ es perpendicular al anterior y marca la
dirección de crecimiento del ángulo polar (θ). Tomando el eje cartesiano x como eje polar,
las fórmulas de transformación de las coordenadas cartesianas de la partícula y de los
versores cartesianos a polares son5:
r
x2
⎧ er
⎨ e
⎩ θ
y2
θ
arctg
y
x
cos θ i sen θ j
sen θ i cos θ j
[12.19]
[12.20]
Para expresar la velocidad de la partícula en coordenadas polares planas calcularemos
la derivada del vector de posición, dado por [12.18], con respecto al tiempo; se obtiene:
v
dr
dt
d
(r e r)
dt
dr
e
dt r
r
de r
[12.21]
dt
A partir de [12.20], por derivación y posterior sustitución, tenemos
5
Dejamos al cuidado del alumno la demostración de estas relaciones y la obtención de las
relaciones de transformación inversas.
§12.6.- Descripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas.
⎧ de r
⎪
dt
⎪
⎨
⎪ deθ
⎪
⎩ dt
sen θ i
(
cos θ i
(
cos θ j )
dθ
dt
305
θ̇ eθ
dθ
sen θ j )
dt
[12.22]
θ̇ e r
de modo que la velocidad de la partícula es
v
ṙ e r
r θ̇ eθ
[12.23]
v
vr e r
vθ eθ
[12.24]
que puede escribirse como
con
vr
ṙ
r θ̇
vθ
[12.25]
La componente vr = vr er es paralela al vector r y recibe el nombre de velocidad
radial6, en razón a que representa el cambio que experimenta la distancia r de la partícula
al punto O por unidad de tiempo. La componente vθ = vθ eθ es un vector perpendicular
a r y está asociada al cambio que
experimenta la dirección del
vector posición r de la partícula,
por unidad de tiempo, conforme
ésta se mueve; recibe el nombre
de velocidad transversal. En el
movimiento circular, con centro
en O, no hay velocidad radial
(vr = 0) ya que r permanece
constante, de modo que dr/dt =
Figura 12.9
0, y la velocidad es enteramente
transversal.
Utilizando las componentes radial y transversal de la velocidad podemos escribir para
un movimiento plano cualquiera
L
mr × v
mr × (v r
vθ )
[12.26]
mr × vθ
ya que vr es paralelo a r. Además, teniendo en cuenta que r = rer y que vθ = rθ̇eθ, la
expresión anterior también puede escribirse como
L
mr e r × r θ̇ eθ
mr 2θ̇ (e r × eθ )
mr 2θ̇ k
mr 2 ω
[12.27]
que es la misma expresión que obtuvimos en [12.6].
6
No debemos confundir vr = dr/dt (velocidad radial) con ds/dt (celeridad o módulo de la
velocidad) ya que, en general, será dr/dt ≠ ds/dt. Recuérdese que dr = ds y que, en general,
d r = dr ≠ ds.
306
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Ahora derivaremos ambos miembros de [12.23] para obtener la expresión de la
aceleración en coordenadas polares planas:
a
dv
dt
r̈ e r
ṙ
de r
dt
ṙ θ̇ eθ
r θ̈ eθ
r θ̇
deθ
[12.28]
dt
y sustituyendo [12.22] en [12.28] resulta
a
2
r θ̇ ) e r
( r̈
( r θ̈
2 ṙ θ̇ ) eθ
[12.29]
que puede escribirse como
a
ar e r
[12.30]
a θ eθ
siendo ar y aθ las componentes radial y transversal de la aceleración dadas por
ar
r̈
r θ̇
2
aθ
r θ̈
2 ṙ θ̇
[12.31]
El término r̈ procede del movimiento en la dirección radial r; el término -rθ̇2 = -vθ2/r se
denomina aceleración centrípeta y procede del movimiento en la dirección de θ. En el
movimiento circular, referido al centro de la circunferencia, es r = cte, de modo que ṙ =
r̈ = 0, resultando que ar = -rθ̇2 = -vθ2/r (aceleración centrípeta) y aθ = rθ̈ = rα
(aceleración tangencial).
En coordenadas polares, la segunda ley del movimiento de Newton, desdoblada en las
componentes radial y transversal, se escribe en la forma
Fr
m ( r̈
2
r θ̇ )
Fθ
m ( r θ̈
2 ṙ θ̇ )
[12.32]
y proporciona el punto de partida para resolver el problema del movimiento de la partícula
en el plano, referido a un origen de coordenadas polares.
§12.7. Movimiento producido por una fuerza central.- El estudio del movimiento
de los cuerpos bajo la acción de fuerzas centrales constituye una de las áreas más ricas e
interesantes de la Mecánica. El análisis de tales movimientos ha representado en dos
ocasiones de la historia de la Física grandes avances en el conocimiento y comprensión de
las leyes fundamentales de la Naturaleza: una vez a escala macroscópica, a través de la
explicación del movimiento planetario, que condujo a la formulación de lo que hoy
llamamos Mecánica Clásica o Newtoniana; y otra vez a escala subatómica, a través de los
estudios de RUTHERFORD (1871-1937) sobre la dispersión de partículas alfa por los núcleos
atómicos, lo que permitió crear una nueva imagen del átomo.
La situación que vamos a estudiar en este artículo se presenta frecuentemente en la
interacción entre dos partículas; la fuerza que actúa entre ellas está dirigida a lo largo de
la recta que las une y depende solamente de la distancia que las separa. Entonces, si
convenimos en tomar como origen O una de las partículas, la fuerza que actúa sobre la otra
viene dada por [12.17]. Ejemplos de fuerzas centrales atractivas son las fuerzas gravitatorias
ejercida por el Sol sobre los planetas o la fuerza electrostática entre un electrón y el núcleo
del átomo a que pertenece. La fuerza que ejerce el núcleo atómico sobre una partícula alfa
es una fuerza central repulsiva. En muchos casos importantes, el módulo de la fuerza
§12.7.- Movimiento producido por una fuerza central.
307
central, F(r), es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a las dos
partículas. En otros casos, como en ciertos problemas referentes a la estructura e
interacciones entre núcleos, átomos complejos y moléculas, se presentan otras formas
funcionales para F(r).
En §12.5 hemos estudiado algunas características generales del movimiento de la
partícula bajo la acción de una fuerza central. Vimos que, en esas condiciones, la
trayectoria de la partícula es plana y que su velocidad areolar es constante. Ahora nos
proponemos dar más detalles acerca de ese movimiento, estableciendo los métodos
generales para determinarlo.
Inicialmente, al menos, asumiremos que el cuerpo responsable de la fuerza que actúa
sobre nuestra partícula en movimiento es suficientemente másico como para que pueda ser
considerado como un centro de fuerzas fijo y que se encuentra en el origen del referencial
en el que analizaremos el movimiento. De este modo idealizamos el problema general, el
de la interacción mutua (tercera ley de Newton) entre dos partículas, reduciéndolo al del
movimiento de una partícula en un campo de fuerzas al cual es sensible. En una lección
posterior veremos que, con una pequeña modificación, puede hacerse que la solución que
ahora obtendremos sea exacta para el problema general de interacción mutua entre dos
partículas de masas similares; entonces ambas partículas estarán en movimiento y no
podemos considerar a una de ellas como un centro de fuerzas fijo.
Cuando la partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central hay dos magnitudes
físicas que se conservan durante el movimiento; esto es, dos constantes del movimiento.
Una, de carácter vectorial, es el momento angular de la partícula con respecto al centro de
fuerzas; la otra, de carácter escalar, es la energía total.
El momento angular de la partícula con respecto al centro de fuerza permanece
constante en dirección (perpendicular al plano de la trayectoria) y su módulo viene dado
por
L
m r 2 θ̇
[12.33]
Puesto que toda fuerza central, de la forma F(r)er, es conservativa, y la energía
asociada con ella es función tan sólo de la distancia a la que se encuentra la partícula del
centro de fuerzas, la conservación de la energía total de la partícula (cinética + potencial)
se expresa en la forma
1
E
2
mv2
[12.34]
Ep(r)
Cuando usamos coordenadas polares planas (r,θ), el cuadrado del módulo de la
velocidad de la partícula puede expresarse en la forma
2
v2
vr
2
vθ
2
[12.35]
Ep(r)
[12.36]
r 2 θ̇
ṙ 2
de modo que la energía total se puede escribir como
E
1
2
m ṙ 2
1
2
m r 2 θ̇
2
donde sustituiremos θ̇, obtenida de [12.33], para escribir la ec. dif. del movimiento radial;
i.e., una ec. dif. en la que no intervenga la coordenada angular θ:
308
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
1
E
2
m ṙ 2
L2
2mr 2
Ep(r)
Ep(r)
⎞
L2 ⎟
⎟
2mr 2 ⎠
[12.37]
de donde despejaremos ṙ para obtener
⎛
2 ⎜
E
m ⎜⎝
ṙ
[12.38]
Supongamos que r = r0 para t = 0; entonces, la integración de la ecuación diferencial
anterior, desde el estado inicial hasta el correspondiente al tiempo genérico t, conduce a
t
m ⌠r
2 ⌡r
dr
[12.39]
0
E
Ep(r)
L2
2mr 2
que expresa t en función de la coordenada radial r de la partícula y de las constantes del
movimiento E y L y de r0. En principio, la solución anterior puede invertirse para obtener
r como función de t y de las constantes, i.e., r(t), obteniéndose así la solución de nuestro
problema dinámico en lo que concierne al movimiento radial.
Una vez obtenida la expresión r = r(t) se puede obtener fácilmente la θ = θ(t)
correspondiente al movimiento angular. Para ello, basta despejar θ̇ de la expresión [12.33];
θ̇
L
mr 2
[12.40]
y proceder a una nueva integración, introduciendo en [12.40] la r(t) obtenida anteriormente;
de esa forma, se obtiene
θ
θ0
t
L
⌠
dt
⌡0 mr 2(t)
[12.41]
Así obtenemos θ en función del tiempo; esto es θ(t). De esta forma queda completamente
resuelto nuestro problema dinámico, una vez que hemos podido expresar los movimientos
radiales y angulares en función del tiempo. En las expresiones de dichos movimientos
intervienen cuatro constantes: E, L, r0 y θ0. Estas constantes no son las únicas que cabe
considerar; igualmente pudiéramos haber tomado r0, θ0, ṙ0 y θ̇0, pero siempre E y L
quedan determinadas por ese conjunto. Normalmente resulta más natural y conveniente
tomar el conjunto de cuatro constantes que contienen la energía y el momento angular.
En muchas ocasiones, la integral [12.39] resulta demasiado engorrosa de calcular y, en
el caso de que podamos efectuarla, es difícil despejar r(t) en la ecuación resultante.
Generalmente resulta más fácil hallar la ecuación de la trayectoria, i.e., la relación existente
entre r y θ (ecuación polar), que determinar las ecuaciones paramétricas del movimiento
de la partícula, i.e., r(t) y θ(t). En ocasiones, puede que lo que nos interese realmente sea
la ecuación de la trayectoria r(θ). A fin de determinarla, escribiremos
309
§12.7.- Movimiento producido por una fuerza central.
dθ
dr
θ̇
ṙ
dθ/dt
dr/dt
[12.42]
de modo que sustituyendo las expresiones de ṙ y θ̇, dadas por [12.38] y [12.40], en la
expresión [12.42], resulta
dθ
dr
L
mr
⎛
2 ⎜
E
m ⎜⎝
2
⎞
L2 ⎟
⎟
2mr 2 ⎠
Ep(r)
[12.43]
y separando las variables r y θ e integrando se obtiene
θ(r)
L
θ0
2m
r
dr
⌠
⌡r
r
2
E
[12.44]
L2
2mr 2
0
Ep(r)
i.e., la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares.
Recíprocamente, si conocemos la ecuación de la trayectoria, de modo que podamos
calcular dθ/dr (o dr/dθ), la ecuación [12.43] nos permitirá calcular Ep(r);
Ep(r)
E
L2
2mr 2
⎡
⎢1
⎢
⎣
1
r2
⎤
⎛ dr ⎞2⎥
⎜ ⎟⎥
⎝ dθ ⎠ ⎦
[12.45]
y, a partir de ella, la fuerza, F(r) = - grad Ep.
Hemos resuelto el problema, en su aspecto formal, combinando las ecuaciones [12.33]
y [12.34] que expresan la conservación del momento angular y de la energía, ilustrando la
forma en que los principios de conservación nos permiten abordar la resolución de los
problemas dinámicos. Naturalmente, también podemos abordar el problema a partir de las
leyes del movimiento de Newton. Para ello tomaremos coordenadas polares planas (r,θ)
en el plano del movimiento y con origen en el centro de fuerzas. Puesto que la fuerza es
central, tenemos que Fr = F(r) y Fθ = 0, de modo que las ecuaciones del movimiento en
las direcciones r y θ son, según [12.32],
m r̈
m r 2 θ̇
2
F(r)
m r θ̈
2 m ṙ θ̇
0
[12.46]
Multiplicando por r la segunda ecuación de [12.46] tendremos
m ( r 2 θ̈
2 r ṙ θ̇ )
d
( m r 2 θ̇ )
dt
dL
dt
0
[12.47]
de modo que esa ecuación expresa simplemente la conservación del momento angular
respecto al centro de fuerzas y, una vez integrada, puede escribirse como
310
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
L
m r 2 θ̇
⇒
cte
L
mr 2
θ̇
[12.48]
donde L es una constante que deberá ser evaluada a partir de las condiciones iniciales.
Sustituyendo el resultado [12.48b] en [12.46a] tendremos la ecuación diferencial del
movimiento radial
m r̈
L2
mr 3
[12.49]
F(r)
que puede escribirse de una forma más conveniente, para ciertas aplicaciones, si hacemos
el siguiente cambio de variable
u
1
r
⇒
1
u
r
[12.50]
En efecto, derivado dos veces sucesivas la expr. [12.50b], y teniendo en cuenta [12.48a],
tendremos
ṙ
r̈
dr
dt
d ⎛ dr ⎞
⎜ ⎟
dt ⎝ dt ⎠
1 du
u 2 dt
L d ⎛ du ⎞
⎜ ⎟
m dt ⎝ dθ ⎠
1 du dθ
u 2 dθ dt
r 2 θ̇
L d2u dθ
m dθ2 dt
du
dθ
L d2u
θ̇
m dθ2
L du
m dθ
[12.51]
L 2 d2u
m 2r 2 dθ2
de modo que, sustituyendo [12.51] en [12.49], ésta se transforma en
⎡
L 2 ⎢ d2 ⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
⎢
mr 2 ⎣ dθ2 ⎝ r ⎠
⎤
1 ⎥
r ⎥⎦
F(r)
[12.52]
que es la ecuación diferencial de la órbita7 si se conoce la ley de fuerzas F(r).
Recíprocamente, la ecuación [12.52] nos permitirá determinar la ley de fuerzas F(r) si
conocemos la ecuación de la órbita r = r(θ).
Obsérvese que la ecuación [12.52] carece de sentido si L = 0; pero entonces, teniendo en cuenta
[12.48], se ve que θ = cte y la trayectoria es una recta que pasa por el centro de fuerzas.
Ejemplo I.- Determinar la fuerza central bajo la cual una partícula se mueve en una órbita elíptica con
el centro de fuerzas en unos de los focos de la órbita. Estas son las órbitas que describen los planetas
alrededor del Sol (Primera Ley de Kepler).
Comenzamos expresando la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares planas referidas a uno
de los focos de la elipse (vide página 318); i.e.,
7
También podemos llegar a la expresión [12.52] a partir de [12.45], sin más que desarrollar
dEp(r)
F(r)
, como el lector comprobará fácilmente.
dr
§12.7.- Movimiento producido por una fuerza central.
r
1
α
cos θ
1
r
⇒
1
α
α
311
cos θ
de modo que
d ⎛1⎞
⎜ ⎟
dθ ⎝ r ⎠
α
sen θ
d2 ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
dθ2 ⎝ r ⎠
α
cos θ
Entonces, sustituyendo estos valores en la ec. dif. de la
órbita [12.52] se obtiene
F(r)
L2 ⎛
⎜
mr 2 ⎝
α
cos θ
1
α
⎞
cos θ ⎟
α
⎠
Figura 12.10
L2
α mr 2
K
r2
Así pues, se trata de una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de
la partícula al centro de fuerzas. Esta es, en esencia, la ley de la gravitación universal descubierta por
Newton a partir del conocimiento de las órbitas planetarias.
§12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva.- Aunque el problema haya
quedado formalmente resuelto, las integrales [12.39], [12.41] y [12.44] o la ecuación diferencial
[12.52] suelen ser muy poco manejables en la práctica. No obstante, podemos obtener
bastante información cualitativa sobre el movimiento de la partícula en base sólo de las
ecuaciones de conservación, aun cuando sea difícil obtener soluciones explícitas. Para ello
es conveniente reducir el problema a otro unidimensional equivalente.
En la ecuación del movimiento radial [12.37], que no es más que la expresión de la
conservación de la energía, aparecen tan sólo r y su derivada temporal ṙ, así como las
constantes del movimiento E y L. Esta ecuación se parece mucho a la ec. dif. para el
movimiento rectilíneo de una partícula bajo la acción de una fuerza conservativa (vide
§11.2), con velocidad dr/dt, si suponemos que, en lo que al movimiento radial se refiere,
la partícula dispone de una energía potencial efectiva
L2
2mr 2
Ep(r)
Ep(r)
[12.53]
de modo que la ecuación [12.37] puede escribirse en la forma
E
1
2
m ṙ 2
Ep(r)
[12.54]
donde la cantidad Ep′(r) desempeña el papel de una energía potencial equivalente en el
problema unidimensional radial. El término adicional L2/2mr2 tiene en cuenta, en lo que al
movimiento radial se refiere, que el vector de posición r está cambiando no sólo en
magnitud sino también en dirección en el transcurso del movimiento. Evidentemente, sus
dimensiones son las de una energía, y recibe el nombre de energía potencial centrífuga
porque la "fuerza" asociada con él, utilizando la expresión del gradiente en coordenadas
polares, es
312
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Fcf
⎛
∂ ⎜ L2
∂r ⎜⎝ 2mr 2
⎞
⎟
⎟
⎠
L2
mr 3
mrθ̇
2
[12.55]
que, siendo positiva, apunta hacia afuera y que es idéntica a la fuerza centrífuga mrω2 en
un referencial que girase con una velocidad angular ω igual al valor instantáneo de dθ/dt.
Por supuesto que no actúa ninguna fuerza centrífuga sobre la partícula, excepto la que
pueda deberse a la energía potencial real Ep(r), en el caso de que la fuerza actuante sea
repulsiva. La fuerza centrífuga Fcf = L2/mr3 no es una fuerza real; es una fuerza ficticia o
de inercia, que describe la tendencia de la partícula a moverse en línea recta en lugar de
hacerlo en una trayectoria curvilínea. Podemos comprender mejor el papel que juega esta
fuerza centrífuga si observamos que la ecuación [12.49] puede escribirse en la forma
mr̈
F(r)
L2
mr 3
[12.56]
ecuación que tiene exactamente la misma forma que la correspondiente al movimiento de
una partícula bajo la "acción" de una fuerza real F(r) más una fuerza centrífuga L2/mr3.
Como ya sabemos, la fuerza centrífuga no es realmente una fuerza sino una parte del
producto masa × aceleración, traspuesta al segundo miembro de la ecuación del
movimiento.
Las mismas consideraciones podemos hacer para la energía potencial centrífuga, que
no es sino una parte de la energía cinética de la partícula: la porción correspondiente al
movimiento transversal con respecto a la dirección instantánea de vector posición r; i.e.,
½mvθ2 = ½mr2θ̇2. La circunstancia de que esta porción de la energía cinética pueda
expresarse como función exclusiva de la posición radial, (esto es, L2/2mr2) nos permite
tratar el problema del movimiento radial como un problema unidimensional, independiente
del movimiento rotacional (transversal).
§12.9. Análisis de diagramas de energía.- Podemos descubrir las propiedades
generales del movimiento de la partícula en un campo de fuerza centrales mediante el
estudio de las curvas de energía potencial efectiva, en estrecha analogía a como hicimos
en §11.3 para el movimiento rectilíneo de la partícula bajo la acción de una fuerza
conservativa. Sin embargo, a pesar de la analogía, existen dos diferencias notables entre la
utilización del método de las curvas de energía potencial en el problema del movimiento
unidimensional y su aplicación al problema bidimensional que es objeto de nuestro estudio,
aun cuando dicho problema lo hayamos reducido a un problema unidimensional
equivalente (en la dirección radial) con la introducción del concepto de energía potencial
efectiva.
En primer lugar, debemos observar que la energía E determina por sí sola el carácter
del movimiento rectilíneo producido por una fuerza conservativa. En cambio, en el
movimiento bidimensional producido por una fuerza central habrá que especificar también
el momento angular L de la partícula; i.e., el carácter del movimiento depende tanto de la
energía E como del momento angular L. Esto resulta evidente en el diagrama o representación gráfica de la energía potencial efectiva en función de la distancia radial, ya que
resultan distintas curvas para distintos valores del momento angular (Figura 12.11). Así pues,
tendremos una familia de curvas de energía potencial efectiva, correspondientes a distintos
§12.9.- Análisis de diagramas de energía.
313
valores de L. En cada problema
específico deberemos conocer el
valor de L (que es una constante del
movimiento determinada por las
condiciones iniciales), o discutir lo
que sucederá para diversos valores
del momento angular.
Un segundo aspecto a tener en
cuenta es que no debemos
preocuparnos exclusivamente de
analizar el movimiento radial de la
partícula (a través del método de la
Figura 12.11
energía potencial efectiva), sino que
también debemos preocuparnos del
movimiento alrededor del centro de
fuerzas. Ambos movimientos tienen lugar simultáneamente y el movimiento real
(bidimensional) es la superposición de ambos. La rotación del vector de posición r no es
uniforme, salvo en el caso de que la trayectoria sea circular, ya que la velocidad angular
viene dada por
θ̇
L
mr 2
[12.57]
de modo que θ̇ disminuye cuando aumenta la distancia radial r.
Consideremos ahora un diagrama de energía típico, tal como el que mostramos en la
Figura 12.12. La energía total Ep(r) corresponde a una fuerza central que es atractiva para
cualquier valor de r; i.e., -dEp/dr es siempre negativa y Ep(r) es una función creciente
Figura 12.12
314
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
(Ep(r)→0 cuando r→∞), como se indica en la curva inferior de trazos. La curva superior de
trazos representa la energía potencial centrífuga L2/2mr2 para un valor dado del momento
angular L; este término centrífugo es muy pequeño a grandes distancias pero aumenta
rápidamente para pequeñas distancias. La curva continua representa la energía potencial
efectiva Ep′(r) = L2/2mr2 + Ep(r). En muchos casos de interés físico la energía potencial
centrífuga predomina sobre la energía potencial Ep(r) para pequeños valores de r, en tanto
que predomina esta última para grandes valores de r; en estas condiciones, la energía
potencial efectiva Ep′(r) presentará un valor mínimo relativo, como se muestra en la
Figura 12.12, para r = r0. Para ello será suficiente que el potencial atractivo
1) disminuya con más lentitud que 1/r2 cuando r → ∞;
2) tienda a infinito más despacio que 1/r2 cuando r → 0.
Obviamente, si el potencial es atractivo, la energía potencial efectiva presentará siempre
algún mínimo relativo.
Utilizando el diagrama de energías anterior podemos
obtener información cualitativa sobre el movimiento de la
partícula. Supongamos que la energía total de la partícula sea Ea
> 0, como se indica en la Figura 12.12. Está claro que ra será la
máxima aproximación de la partícula al centro de fuerzas; de
otro modo, si fuese r < ra , Ep′(r) sería mayor que Ea y la
energía cinética radial [½mṙ2 = Ea - Ep′(r)] debería ser negativa,
lo que representaría una velocidad radial imaginaria. Por otra
Figura 12.13
parte, no existe límite superior para r, por lo que se tratará de
una órbita abierta e ilimitada. Una partícula que proceda del
infinito rebotará en la barrera centrífuga y regresará de nuevo
al infinito (Figura 12.13). La diferencia entre Ea y Ep′ es ½mṙ2, o sea proporcional al cuadrado
de la velocidad radial, anulándose en el punto de retorno r1. Por otra parte, la distancia
entre Ea y Ep en el diagrama es la energía cinética Ek = ½mv2, de modo que la distancia
entre las curvas Ep′ y Ep representa el término centrífugo ½mr2θ̇2. Así pues, estas curvas
proporcionan el módulo de la velocidad así como sus componentes radial y transversal.
Basta con esta información para tener una idea aproximada de la forma de la órbita.
Para una energía E = 0 se obtiene una descripción análoga a la anterior. Pero si la
energía total de la partícula es negativa, tal como
E = Eb, la situación es muy diferente. Además del
límite inferior r1 existe un límite superior r2 que no
puede ser sobrepasado con energía cinética radial
positiva; el movimiento estará limitado a una
superficie anular definida por las circunferencias de
radios r1 (mínima distancia) y r2 (máxima distancia)
que corresponden a los puntos de retorno, también
llamados puntos absidales. Se trata por lo tanto, de
una órbita limitada, aunque no necesariamente
cerrada, como se ilustra en la Figura 12.14. El
movimiento radial será periódico, con periodo Tr,
pero este periodo radial no será, en general, el
Figura 12.14
mismo que el periodo de revolución Tθ, por lo que
315
§12.9.- Análisis de diagramas de energía.
la órbita puede no ser cerrada, aunque esté limitada a una región finita del espacio. Si
ambos periodos son conmensurables (esto es, si su cociente puede expresarse como el
cociente de dos números enteros) la partícula se encontrará al cabo de un cierto tiempo
(igual al mínimo común múltiplo de Tr y Tθ) en la misma posición (y con la misma
velocidad) en que se encontraba inicialmente y la órbita será cerrada. Obsérvese, además,
que la órbita, sea cerrada o abierta, será tangente a las circunferencias absidales en los
puntos de contacto, ya que en dichos puntos (absidales) se anula la velocidad radial, pero
no así la transversal, dado que el momento angular debe permanecer constante.
Si la energía es E0, precisamente en el mínimo de la curva de energía potencial
efectiva Ep′, los dos puntos de retorno coincidirán en r0; la órbita será una circunferencia
de radio r0. Puesto que, para una órbita circular, es r = cte, o sea ṙ = r̈ = 0, se sigue que
la condición [12.56] para una tal órbita es
mr̈
F(r)
L2
mr 3
[12.58]
0
o sea que la fuerza aplicada F(r) debe equilibrar a la fuerza centrífuga L2/mr3.
Si, por algún mecanismo, una partícula que tiene una energía igual a Eb puede
absorber suficiente energía para saltar a un nivel de energía positiva, la partícula se alejará
del centro de fuerzas; esto es, la partícula se "disociará" del centro de fuerzas. La energía
mínima que tiene que absorber para disociarse del centro de fuerzas es, evidentemente
Eb y recibe el nombre de energía de disociación o de enlace. Recíprocamente, si una
partícula tiene una energía igual a Ea y, por alguna causa, pierde energía hasta el nivel Eb,
la partícula será "capturada" por el centro de fuerzas, en el sentido de que permanecerá en
una órbita limitada alrededor de dicho centro. Estas situaciones se presentan, por ejemplo,
en los procesos de ionización de los átomos. Obsérvese que los estados ligados (órbitas
limitadas) corresponden a energías negativas de la partícula.
§12.10. Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia.- La ley de proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia es la más
importante de todas las referentes a fuerzas de tipo central; por ello merece que le
dediquemos un estudio detallado. La ley de la fuerza y la energía potencial asociada se
escriben en la forma
F
K
er
r2
Ep(r)
K
r
[12.59]
donde el nivel cero para la energía potencial se ha escogido a una distancia infinita del
centro de fuerzas (i.e., Ep(r) → 0 cuando r → ∞) a fin de evitar un término adicional
constante en la expresión de Ep(r). Un ejemplo de este tipo de fuerzas lo constituye la
interacción gravitatoria entre dos masas, m1 y m2, separadas por una distancia r; entonces
K
G m1 m2
G
6.67 × 10
11
N m 2/kg 2
[12.60]
siendo K negativa, puesto que la fuerza es atractiva. Otro ejemplo importante lo constituye
la fuerza electrostática entre dos cargas eléctricas, q1 y q2, separadas por una distancia r;
316
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
K
q1q2
4π
8.854 × 10
0
12
C 2/N m 2
[12.61]
0
donde la carga eléctrica se mide en
coulombs (C). En este caso, la fuerza
será repulsiva o atractiva según que q1
y q2 sean del mismo o de distinto
signo.
Comenzaremos determinando la
naturaleza de las órbitas correspondientes a la ley de fuerzas inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia. Para ello, hemos representado en la Figura 12.15 la energía
potencial efectiva
Figura 12.15
Ep
L2
2mr 2
K
r
[12.62]
correspondiente a diversos valores de K y de L.
Para una fuerza repulsiva (K > 0), sólo son posibles energías totales E positivas y sólo
serán posibles las órbitas ilimitadas; i.e., la partícula viene desde el infinito hasta el punto
absidal y regresa de nuevo al infinito. En ausencia de fuerza (K = 0) la situación es
análoga a la anterior, si bien el punto absidal estará más próximo al centro de fuerzas, para
un mismo valor del momento angular L; la trayectoria será, obviamente, una recta. Si la
fuerza es atractiva (K < 0) con L ≠ 0, el movimiento será ilimitado si E > 0, pero en este
caso el punto absidal se halla más próximo del centro de fuerzas que para K > 0. Las
órbitas serán como se muestra en la Figura 12.16, donde los segmentos rectilíneos de trazo
discontinuo representan el radio vector en el pericentro (punto de la órbita de máxima
aproximación al centro de fuerzas).
Para una fuerza atractiva (K < 0) y
< E < 0, la órbita está limitada por
dos puntos absidales: el pericentro y el apocentro
(punto de la órbita más alejado del centro de
fuerzas). Para K < 0, con L ≠ 0 y E = -mK2/2L2, la
órbita es una circunferencia de radio r0 = -L2/mK
(demuéstrese). Por último, si K < 0 con L = 0, el
problema se reduce al movimiento unidimensional
sobre una recta que pasa por el centro de fuerzas.
Figura 12.16
Disponemos de diversos métodos para obtener
la ecuación de la órbita, siendo el más sencillo la
sustitución de [12.59] en la ecuación diferencial de la órbita [12.52]; se obtiene
d2 ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
dθ2 ⎝ r ⎠
1
r
mK
L2
[12.63]
317
§12.10.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
1
r
Haciendo el cambio de variable w
mK
, la ecuación anterior se convierte en
L2
d2w
dθ2
cuya solución inmediata es
w
w
A cos(θ
0
[12.64]
θ0 )
[12.65]
siendo A y θ0 las dos constantes de integración. Deshaciendo el cambio de variable
obtenemos la ecuación de la órbita r(θ):
1
r
mK
L2
A cos(θ
θ0 )
[12.66]
que puede escribirse en la forma
r
con
L2
mK
α
1
α
cos(θ
[12.67]
θ0 )
αA
L2
A
mK
[12.68]
que es la ecuación general de una sección cónica (hipérbola, parábola, elipse o
circunferencia) con un foco en el origen, en la que:
La constante θ0 determina la orientación de la órbita en el plano (en lo que
sigue tomaremos θ0 = 0, sin perder generalidad en nuestro razonamiento).
La magnitud es la excentricidad de la cónica y determina su tipo, como se
muestra en el Cuadro 12.1.
La cantidad 2α recibe el nombre de latus rectum (ascensión recta) de la órbita;
corresponde al valor de r para θ = π/2 y su significado se comprenderá
inmediatamente al inspeccionar la forma de los diversos tipos de cónicas (vide
página 318).
Cuadro 12.1.- Clasificación de las cónicas.
si
>1
es una hipérbola
si
=1
es una parábola
si 0<
si
<1
=0
es una elipse
es una circunferencia
318
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
SECCIONES CÓNICAS.- Ecuación general:
r
α
1
con 2α = ascensión recta;
cos θ
= excentricidad
ELIPSE: Lugar geométrico de los puntos del plano
cuya suma de distancias (2a) a dos puntos fijos
(F,F′), llamados focos, es constante.
r + r′ = 2a; a2 = b2 + c2; c = a;
α = a(1- 2) = b2/a
<1
b a 1 2
α/ 1 2
rmín= a - c = a(1- ) = α/(1+ );
rmáx= a + c = a(1+ ) = α/(1- )
rmáx rmín
rmáx rmín
a
Figura 12.17
rmáx rmín
2
HIPÉRBOLA: Lugar geométrico de los puntos del
plano cuya diferencia de distancias (2a) a dos
puntos fijos (F,F′), llamados focos, es constante.
r′- r = 2a; a2 = c2 - b2; c = a;
α = a ( 2-1) = b2/a;
cosφ
b
a
2
>1
1
1
r+mín= c - a = a( -1) = α/( +1);
r-mín= c + a = a( +1) = α/( -1)
rmáx= ∞
Figura 12.18
PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo F (foco) y de
una recta DD′ fija (directriz).
r = d;
=1
rmáx = ∞
rmín = α/2;
Figura 12.19
§12.10.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
319
Deseamos ahora relacionar los parámetros y α de la órbita con las constantes del
movimiento E y L; esto es, con la energía total y el momento angular. El parámetro α ya
quedó expresado en función del momento angular por [12.68a]; obsérvese que α es negativo
(sin significado físico) para una fuerza central repulsiva (K > 0). Por otra parte, como en
los puntos absidales (pericentro y apocentro) la energía cinética radial es nula, podemos
escribir
L2
E
2mr
L2
K
rmín
2
mín
2mr
2
máx
K
rmáx
[12.69]
y sustituyendo en esta ecuación las expresiones de rmín y de α, dadas por
α
rmín
L2
mK
α
1
[12.70]
(vide página 318) se obtiene, después de algunas operaciones,
E
mK 2
(
2L 2
2
→
1)
2
1
2EL 2
mK 2
[12.71]
Tabla 12.1.- Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
órbita
excentricidad
energía
mK 2
(
2L 2
hipérbola
>1
E
parábola
=1
E=0
elipse
circunferencia
0<
<1
Emín < E
=0
E
Emín
2
1) > 0
mK 2
(
2L 2
2
1) <0
mK 2
2L 2
Podemos ahora clasificar las órbitas de acuerdo con la energía total E de la partícula
en movimiento, como se muestra en la Tabla 12.1. Estos resultados concuerdan con los
obtenidos en nuestra discusión cualitativa previa. Cuando la fuerza es atractiva (K < 0), la
órbita será una hipérbola (rama +), parábola, elipse o circunferencia según sea
E > 0, E = 0, Emín < E < 0 ó E = Emín. Cuando la fuerza es repulsiva (K>0) habrá de ser
E>0, y la órbita sólo puede ser una hipérbola (rama -).
En el caso de órbitas elípticas e hiperbólicas, el semieje mayor viene dado por
a
α
1
2
K
2E
[12.72]
320
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
que, como vemos, depende tan sólo de la energía total de la partícula y no de su momento
angular, resultado de gran importancia en la teoría del modelo atómico de Bohr. En
cambio, en el caso de órbitas elípticas, el semieje menor
α
b
1
L
[12.73]
2
2m E
depende de las dos constantes del movimiento (E,L).
§12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler.- Tras una laborioso análisis de las
numerosas y precisas mediciones astronómicas realizadas por el gran astrónomo danés
Tycho BRAHE (1546-1601), el que fue su discípulo y asistente, el astrónomo alemán
Johannes KEPLER8, enunció las leyes del movimiento planetario. Estas leyes empíricas,
conocidas como leyes de Kepler, son una descripción cinemática del movimiento de los
planetas en el sistema solar y sirvieron de base a Isaac NEWTON (1642-1727) para la
descripción dinámica del movimiento planetario y para el descubrimiento de la ley de la
fuerza responsable de dicho movimiento, esto es, la ley de la Gravitación Universal. Kepler
enunció las tres leyes, esencialmente, en la forma siguiente:
(1) Los planetas describen órbitas elípticas, en las que el Sol se encuentra en uno
de sus focos.
(2) El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol (radio vector)
barre áreas iguales en tiempo iguales; i.e., la velocidad areolar es constante.
(3) Los cuadrados de los periodos de revolución de los diversos planetas alrededor
del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.
La segunda ley de Kepler (constancia de la velocidad areolar) es, como ya vimos en
§12.5, un teorema general referente al movimiento bajo la acción de fuerzas centrales.
Como acabamos de demostrar en el artículo anterior, la primera ley de Kepler se refiere
exclusivamente a fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia. A
continuación vamos a deducir la tercera ley de Kepler.
Con el objetivo de calcular el periodo de revolución en una órbita elíptica, es
conveniente escribir la ec. [12.15], referente a la velocidad areolar, en la forma
dt
8
2m
dS
L
[12.74]
Johannes KEPLER (1571-1630). Astrónomo alemán. Había de ser teólogo, pero estudió
también Filosofía, Matemáticas y Astronomía. Fue profesor de Matemáticas y de Moral (1594-98)
y (1612-26). Fue ayudante de Tycho BRAHE en Praga (1600-01) y, al morir éste (1601), pasó a ser
matemático y primer astrónomo del emperador. Bajo la influencia de Coopérnico y de las ideas
pitagóricas, realizó sus primeros avances acerca de la armonía del sistema planetario. Recalculó
las tablas planetarias de Brahe y, al investigar el movimiento de Marte, encontró sus dos primeras
leyes (1609). Además, estudió la teoría de las lentes y los principios del anteojo astronómico.
321
§12.11.- Órbitas elípticas: Leyes de Kepler.
Ahora, integrado la ecuación anterior para un periodo completo, durante el cual el radio
vector barre toda la superficie de la elipse, se tiene
T
T
2m ⌠S
dS
L ⌡0
⌠ dt
⌡0
2m
S
L
[12.75]
y teniendo en cuenta que el área de la elipse es S = πab, donde a y b son los semiejes
mayor y menor, respectivamente, y elevando al cuadrado la expresión [12.75], resulta que
4π 2m 2a 2b 2
L2
T2
[12.76]
Los semiejes mayor y menor de la elipse vienen dados por
a
α
1
1
2
2
1
L2
mK
b
a 1
2
[12.77]
La expresión [12.77a] nos permite despejar L2
L2
a (1
2
[12.78]
)m K
Entonces, sustituyendo [12.77b] y [12.78] en [12.76] se obtiene
T2
4π 2m 3
a
K
[12.79]
La constante K, en la ley de la fuerza gravitatoria, viene dada por [12.60], de modo que
T2
4π 2 3
a
GM
[12.80]
donde M representa la masa del Sol. El coeficiente de a3 es una constante para todos los
planetas del sistema solar, de acuerdo con la tercera ley de Kepler. La ecuación [12.80]
permite "pesar" el Sol, si se conoce el valor de G y si conocemos el semieje mayor y el
periodo de revolución de cualquier órbita planetaria.
Es interesante comprobar [12.80] para el caso de una órbita circular; puede hacerse fácilmente
porque en dicho tipo de órbita la aceleración del planeta es exclusivamente centrípeta, ya que el módulo
de la velocidad permanece constante, lo que nos permite escribir
G
Mm
r2
mrω2
→
ω2 r3
GM
[12.81]
que es la misma ec. [12.80].
Debemos destacar que la tercera ley de Kepler, al igual que la primera, es válida
solamente para fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia; la segunda
ley de Kepler es menos restrictiva.
En este artículo y en el anterior hemos demostrado las leyes de Kepler a partir de las
leyes del movimiento de Newton y de la ley de Gravitación Universal; esto es, hemos
supuesto conocida la ley de la fuerza. El problema inverso, esto es, deducir la ley de la
fuerza a partir de las leyes de Kepler (vide Ejemplo I) es de mayor importancia histórica,
pues así fue como dedujo Newton la ley de la gravitación.
322
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
Es de esperar que el movimiento de los planetas se aparte ligeramente del previsto por las leyes de
Kepler, ya que el problema que hemos resuelto en los artículos anteriores corresponde a una idealización
simplificada del problema físico real. En primer lugar, hemos supuesto que el Sol, como objeto más
másico del sistema solar, permanece fijo, definiendo así un centro de fuerzas estacionario; de hecho, el
Sol deberá tener algún tipo de movimiento como resultado de las fuerzas con que es atraído por los
planetas que se mueven a su alrededor. Este efecto es realmente muy pequeño y puede corregirse por los
métodos que introduciremos en una lección posterior (El problema de dos cuerpos). En segundo lugar,
sobre un planeta dado actúan también los otros planetas, además del Sol. Como las masas de los planetas,
incluso la de los más pesados, representan una pequeñísima proporción de la del Sol (la masa del planeta
Júpiter, el mayor de todos, es 1042 veces menor que la del Sol), la acción de los demás planetas sobre
uno dado representará tan sólo pequeñas desviaciones, aunque medibles, de las órbitas planetarias respecto
a las predichas por las leyes de Kepler. De hecho, los planetas Neptuno (ADAMS y LEVERRIER, 1846) y
Plutón (LOWEL, 1930) se descubrieron como resultado de sus efectos sobre las órbitas de los demás
planetas.
§12.12. Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford.- Aunque desde un
punto de vista histórico el interés de las fuerzas centrales surgió con el estudio de las
órbitas planetarias, no hay razón alguna para considerarlas ligadas exclusivamente a ese
tipo de problemas; ya hemos mencionado el caso de las órbitas de Bohr. Otro problema
interesante susceptible de estudiarse por los métodos desarrollados en esta lección es el de
la dipersión de partículas en un campo de fuerzas centrales. En particular, es de especial
interés histórico la dispersión de partículas cargadas (v.g., partículas α) por los núcleos
atómicos, ya que fueron las experiencias de este tipo las que hicieron posible el
descubrimiento del núcleo atómico y la estimación de sus dimensiones, hacia 1910, por
RUTHERFORD (1871-1937) y sus colaboradores GEIGER y MARSDEN.
Supongamos una partícula ligera, de carga ze, lanzada desde un punto lejano
contra otra partícula mucho más pesada, de carga Ze. La partícula pesada
permanecerá prácticamente estacionaria, pero la partícula ligera seguirá una
trayectoria hiperbólica, de acuerdo con los resultados de los artículos anteriores. Si
la fuerza es atractiva (las dos cargas son de distinto signo) la partícula pesada (el
centro de fuerzas) quedará en el foco interior de la hipérbola (rama positiva); si la
fuerza es repulsiva (las dos cargas son del mismo signo) la partícula pesada quedará
en el foco exterior de la hipérbola (rama negativa). Esencialmente el problema es el
mismo en los dos casos; sin embargo, nosotros centraremos nuestra atención en el
caso de que la fuerza sea repulsiva; esto es,
F
K
r2
con
K
Zze 2
>0
4π 0
[12.82]
En las colisiones entre partículas atómicas, la región en la que se desvía la
partícula ligera incidente, pasando de una asíntota a otra, es tan pequeña (del orden
de 10-10 m) que no puede medirse directamente la distancia de máxima aproximación
(pericentro). Lo que si puede medirse es el ángulo de dispersión Θ definido por las
direcciones del movimiento de la partícula incidente antes y después de la interacción
con la partícula pesada. El ángulo φ que forman las asíntotas de la hipérbola con el eje
polar viene dado por
cos φ
1
[12.83]
§12.12.- Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford.
323
y puesto que
Θ
π
2φ
π
2
⇒ φ
Θ
2
[12.84]
será
1
ctg φ
2
tg
1
Θ
2
[12.85]
de modo que sustituyendo en [12.85] la expresión de la excentricidad [12.71], se tiene
tg
Θ
2
mK 2
2EL 2
[12.86]
Figura 12.20
Supongamos que la partícula incidente
tuviese una velocidad inicial v0 cuya recta
directriz pasase a una distancia s del centro de fuerzas; dicha distancia s recibe el
nombre de parámetro de impacto. El momento angular y la energía total de la
partícula, esto es, las dos constantes de su movimiento, vendrán dadas por
E
1
2
2
m v0
L
m v0 s
s 2mE
[12.87]
que sustituidas en [12.86] nos permiten calcular el ángulo de dispersión mediante la
expresión
tg
Θ
2
K
2E s
[12.88]
en la que podemos sustituir el valor de K, dado por [12.82b], para obtener finalmente
el ángulo de dispersión de Rutherford
tg
Θ
2
Zz e2
8π 0 E s
Zz e2
4π
2
0
[12.89]
mv0 s
en función del parámetro de impacto s de la partícula incidente. Se ve que el ángulo
de dispersión será tanto mayor cuanto menor sea el parámetro de impacto.
En un experimento típico de dispersión, un haz de partículas cargadas (por ejemplo, partículas
alfa, con z = 2) monoenergéticas atraviesa una lámina delgada (v.g., de oro, con Z = 79). La
expresión anterior nos permite conocer (vide §12.13) la proporción de partículas del haz que serán
desviadas con un ángulo de dispersión comprendido entre Θ y Θ + dΘ; todas aquellas cuyos
parámetros de impacto estén comprendidos entre s y s + ds, como se ilustra en la Figura 12.21. A
la inversa, si conocemos la distribución experimental de los ángulos de dispersión, podemos conocer
la de los parámetros de impacto correspondientes y a través de ellos hacer una estimación del
"tamaño del centro de dispersión". Este fue, en grandes líneas, el razonamiento de Rutherford para
explicar la dispersión "de gran ángulo" de partículas alfa por los átomos y que le llevó a formular
la teoría nuclear del átomo, en contraposición al modelo atómico de Thomson que imaginaba el
átomo formado por electrones negativos en el seno de una masa de carga positiva extendida a todo
el volumen del átomo.
324
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
§12.13. Sección eficaz de dispersión.- En los experimentos típicos de
dispersión, un haz homogéneo de partículas monoenergéticas incide sobre un centro
de dispersión. Para caracterizar el haz especificaremos la energía E de las partículas
y la intensidad I del haz, definida como el número de partículas que por unidad de
tiempo atraviesan la unidad de superficie de una sección recta del haz. Puesto que
las diferentes partículas del haz presentan diferentes parámetros de impacto, serán
dispersadas bajo distintos ángulos Θ. En el caso de partículas atómicas o subatómicas, el parámetro de impacto s no es directamente medible, por lo que deberemos
eliminarlo de la expresión [12.88]; en su lugar, haremos aparecer en ella la distribución
experimental de los ángulos de dispersión, i.e., la fracción de partículas dispersadas
en función del ángulo de dispersión Θ.
Sea dN el número de partículas dispersadas por unidad de tiempo bajo ángulos
comprendidos entre Θ y Θ+dΘ, como se
ilustra en la Figura 12.21. El cociente
dσ
dN
I
[12.90]
se denomina sección eficaz de dispersión y
tiene dimensiones de una superficie, como
el lector comprobará fácilmente. Cabe
imaginarla como el área efectiva que rodea al centro dispersor por la que debe pasar
la partícula incidente para ser dispersada un ángulo comprendido en el intervalo (Θ,
Θ+dΘ). En el S.I. de unidades se mide en m2; en la Física Atómica y Nuclear se
utiliza corrientemente un submúltiplo de esta unidad, que recibe el nombre de barn
(b), que equivale a 10-28 m2. La sección eficaz de dispersión queda completamente
determinada por la "forma" del campo de dispersión y constituye la característica más
importante del proceso de dispersión.
Supondremos que la dependencia entre el ángulo de dispersión (Θ) y el
parámetro de impacto (s) sea biunívoca; así será si la función Θ=Θ(s) es monótona
decreciente, tal como ocurre con la expresada en [12.89]. En estas condiciones, tan
sólo se dispersan en el intervalo angular (Θ, Θ+dΘ) aquellas partículas del haz cuyos
parámetros de impacto están comprendidos en el intervalo (s, s+ds), como se ilustra
en la Figura 12.21. El número de estas partículas es igual al producto de la intensidad
del haz por el área de la corona circular de radio s y espesor ds; i.e.,
Figura 12.21
dN
(2π s ds) I
⇒
dσ
2π s ds
[12.91]
Encontraremos la relación existente entre la sección eficaz de dispersión y el
ángulo de dispersión escribiendo la expresión anterior en la forma
dσ
⎛ ds(Θ) ⎞
2π s(Θ) ⎜
⎟ dΘ
⎝ dΘ ⎠
[12.92]
325
§12.13.- Sección eficaz de dispersión.
donde hemos añadido el signo negativo para tener en cuenta que ds/dΘ es
habitualmente negativa, ya que un incremento ds del parámetro de impacto
corresponde a una disminución dΘ del ángulo de dispersión.
Frecuentemente, dσ se refiere al elemento de
ángulo sólido dΩ, en lugar de al elemento de ángulo
plano dΘ. El ángulo sólido dΩ definido por dos
conos de ángulos en el vértice Θ y Θ+dΘ vale
dΩ
[12.93]
2π senΘ dΘ
por lo que de [12.92] se sigue
σ(Θ)
dσ
dΩ
s(Θ) ds
sen Θ dΘ
Figura 12.22
[12.94]
donde σ(Θ) recibe el nombre de sección eficaz diferencial de dispersión.
En la Física Atómica y Nuclear tiene gran importancia el concepto de sección
eficaz total de dispersión, σt, definido como
π
2π ⌠ σ(Θ) sen Θ dΘ
⌡0
⌠ σ(Ω) dΩ
⌡4π
σt
[12.95]
que representa, obviamente, el área efectiva asociada al centro dispersor para
dispersar las partículas incidentes un ángulo cualquiera.
Uno de los problemas más importantes en los que podemos utilizar las expresiones anteriores
es el de la dispersión de partículas cargadas en un campo coulombiano, definido por la expr.
[12.82]. Entonces, tal como hemos visto en §12.12, podemos obtener la relación existente entre el
parámetro de impacto (s) y el ángulo de dispersión (Θ); i.e., [12.88], que escribiremos en la forma
K
2E
s
1
Θ
tg
2
κ
Θ
tg
2
con κ
K
2E
[12.96]
de la que se sigue por derivación
ds
dΘ
κ
2 sen2
Θ
2
[12.97]
que sustituimos en [12.94] para obtener
σ(Θ)
o sea
σ(Θ)
κ
κ
Θ
Θ
tg senΘ 2 sen2
2
2
K2
Θ
sen 4
2
(4 E)2
1
4
κ2
4 sen4
Θ
2
2
⎛
2 ⎞
⎜ Z z e ⎟ sen 4 Θ
⎜ 8π E ⎟
2
0
⎠
⎝
[12.98]
[12.99]
que es la célebre sección eficaz de Rutherford para la dispersión, deducida originariamente por éste
para la dispersión de partículas alfa por los núcleos atómicos. Obsérvese que σ(Θ) no depende del
signo de K; i.e., las distribuciones de ángulos de dispersión tienen la misma forma para fuerzas
atractivas y repulsivas. También debemos destacar que la Mecánica Cuántica, en el caso no
326
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
relativista, llega a un resultado completamente idéntico a éste, lo que cabe considerar como una
afortunada circunstancia, ya que, de no haber sido así, se hubiera retrasado notablemente el
desarrollo de la Física Nuclear.
Si intentamos calcular la sección eficaz total para la dispersión coulombiana, sustituyendo en
[12.95] la expr. [12.99], encontraremos que el resultado es infinito. La razón física de ello es fácil
de comprender, ya que el campo coulombiano es un ejemplo de "fuerzas de largo alcance"; i.e., sus
efectos se extienden hasta el infinito. Así, incluso las partículas del haz que incidan sobre el centro
dispersor con un parámetro de impacto muy grande serán difundidas un pequeño ángulo, por lo que
contribuirán a la sección eficaz total.
Evidentemente, el valor infinito de la sección eficaz total σt no es exclusivo del campo
coulombiano; se presentará siempre que el campo dispersor sea distinto de cero para cualquier
distancia, por grande que ésta sea. Sólo si el campo difusor se anula a partir de cierta distancia, la
sección eficaz total de dispersión será finita. En el caso del campo coulombiano de un núcleo
atómico, tal discontinuidad se produce como consecuencia del apantallamiento de la carga nuclear
producida por la presencia de los electrones atómicos.
Problemas
12.1.- En el instante t = 0, un cuerpo de 2 kg
de masa se encuentra en el punto r = 5i m y
tiene una velocidad v = 3j m/s. Sobre el
cuerpo actúa una fuerza constante F = 4i N.
a) Expresar la cantidad de movimiento y el
momento angular del cuerpo en función del
tiempo. b) Calcular el momento de la fuerza y
compararlo con la derivada temporal del
momento angular.
12.2.- Una partícula de masa unidad se mueve
bajo la acción de una fuerza F = 6ti + 12t2j,
donde t es el tiempo. En el instante inicial
(t=0) la partícula se encuentra en reposo en el
origen de coordenadas. a) Expresar en función
del tiempo el momento angular de la partícula
y el momento de la fuerza con respecto al
origen de coordenadas. b) Comprobar que M =
dL/dt.
12.3.- El movimiento de una partícula de masa
m está definido, en función del tiempo, por r =
a cos ωti + b sen ωtj donde a, b y ω son
constantes. a) Calcular, con respecto al origen
de coordenadas, el momento angular de la
partícula y el momento de la fuerza que actúa
sobre ella. b) Interpretar físicamente los
resultados anteriores.
12.4.- Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de
20 g de masa, está unido a un extremo de una
cuerda ligera
y flexible que
pasa a través
de un orificio
practicado en
un tablero
horizontal
liso, como se
Prob. 12.4
muestra en la
f i g u r a .
Sujetamos el
extremos inferior de la cuerda y hacemos que
se mueva el cuerpo en una trayectoria circular
de 40 cm de radio, con una velocidad angular
de 2 rad/s. a) Calcular la velocidad lineal del
cuerpo, su momento angular y su energía
cinética y la fuerza con que debemos tirar
hacia abajo para que el movimiento sea
posible. b) A continuación, vamos aumentando
la tensión de la cuerda hasta que el radio de la
trayectoria se reduce a 10 cm. Repetir los
cálculos del apartado anterior. ¿Qué magnitudes físicas han permanecido constantes?
c) Calcular el trabajo que hemos realizado al
tirar de la cuerda y compararlo con el cambio
que ha experimentado la energía cinética.
12.5.- Probar que el campo de fuerzas F =
F(r)er es conservativo, demostrando por cálculo directo que la integral ∫ABF dr a lo largo de
Problemas
una trayectoria cualquiera, entre los puntos A
y B, depende sólo de las distancias radiales de
dichos puntos al centro de fuerzas.
12.6.- Una partícula se mueve con celeridad
constante a lo largo de la parábola de ecuación
θ
r cos2
k , donde k es una constante.
2
a) Dibujar la trayectoria, determinar la posición del foco de la parábola y calcular los
valores del pericentro y del latus rectum.
b) Hallar las componentes radiales y transversales de la velocidad y de la aceleración de la
partícula. c) Determínense las componentes
intrínsecas (tangencial y normal) de la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria
en función de θ.
12.7.- Espirales. Encontrar la ley de fuerza
para el campo de fuerzas centrales en el que
una partícula se está moviendo sobre cada una
de las trayectorias espirales que se indican a
continuación, siendo k y α constantes. a) r =
k/θ. b) r = k/θ2. c) r = kθ (espiral de Arquímedes) d) r = kθ2 e) r = k exp(αθ) (espiral
logarítmica).
12.8.- Una partícula se mueve en un campo de
fuerzas centrales definido por F∝rn. a) Encontrar las expresiones de los valores medios
de sus energías cinética y potencial en función
de la energía total E. ¿Son aplicables estas
expresiones para cualquier valor de E? b) Aplicar los resultados anteriores para el caso de
una fuerza central inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas. Analizar y discutir los resultados.
12.9.- La trayectoria de una partícula que se
mueve bajo la acción de un campo de fuerzas
centrales (con centro en el origen de coordenadas) es la hipérbola equilátera xy = ½k2.
a) Determinar la ley de la fuerza central que
produce ese movimiento. b) Expresar la
celeridad de la partícula en función de su
velocidad en el pericentro (v0) y de su distancia radial al origen de coordenadas. c) Encontrar la expresión de la energía potencial efectiva y analizar el diagrama correspondiente.
12.10.- Las ecuaciones paramétricas polares
que describen el movimiento plano de una
partícula de masa m en un campo de fuerzas
vienen dadas por: r = k·φ(t) y θ = φ(t),
siendo k = cte y φ(t) una función del tiempo
tal que φ(0) =0. Además, se sabe que la
velocidad transversal de la partícula es igual a
la inversa de su distancia al origen de coordenadas. a) Demostrar que el movimiento es
central. b) Determinar la función φ(t). c) Encontrar la ecuación polar, r =r(θ), de la
327
trayectoria y dibujarla. d) Hallar la ley de la
fuerza, F = F(r), que actúa sobre la partícula.
e) Obtener las expresiones de la energías
potencial y potencial efectiva y analizar, en
función de ellas, el movimiento de la partícula.
12.11.- El comandante de una nave espacial,
que ha apagado los motores y que se encuentra
e n
l a s
proximidades
de una extraña nube de
gas, observa
que su nave
está describiendo una
trayectoria
circular que
penetra a
Prob. 12.11
través de la
nube, como
se ilustra en
la figura. También se percata de que el momento angular de la nave con respecto al
centro de la nube permanece constante durante
el movimiento. Determinar la ley de la fuerza
atractiva que está actuando sobre la nave.
12.12.- Una partícula de masa m se mueve
bajo la acción de una fuerza F = -Kr3er, con
K>0. a) Obtener la expresión de la energía
potencial de la partícula. b) Dibujar el diagrama correspondiente a la energía potencial
efectiva. c) ¿Para qué energía y momento
angular será la trayectoria una circunferencia
de radio R y con centro en el origen?
12.13.- a) Estudiar por el método de la energía
potencial efectiva los tipos de movimiento
posibles correspondientes a una fuerza central
atractiva inversamente proporcional a la cuarta
potencia de la distancia radial al centro de
fuerzas y determinar la energía y el momento
angular correspondientes a una órbita circular.
¿Es estable esa órbita? b) Ídem para una
fuerza central atractiva directamente proporcional a la distancia radial. ¿Puede Vd. pensar
algún modelo físico que corresponda a una
fuerza de este tipo.
12.14.- a) Estudiar por el método de la energía
potencial efectiva los tipos de movimiento
posibles correspondientes a una fuerza central
atractiva inversamente proporcional al cubo de
la distancia radial al centro de fuerzas. b) Determinar los intervalos de energías y de momentos angulares para cada tipo de órbitas.
c) Resolver la ec. diferencial de la órbita para
cada tipo de movimiento.
328
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
12.15.- Una partícula se mueve en una órbita
elíptica, de eje mayor 2a y excentricidad , de
modo que el radio vector desde el centro de la
órbita barre áreas iguales en tiempos iguales.
a) Demostrar que la ecuación de la elipse en
coordenadas polares referidas al centro de la
órbita es
r2
2
a 2 (1
)
2
1
cos2θ
b) Demostrar que la fuerza que actúa sobre la
partícula es central y expresarla en función de
la masa m de la partícula y del periodo T de
revolución.
12.16.- Átomo de Bohr. En el modelo de
Niels BOHR (1885-1962) del átomo de hidrógeno, un electrón de masa m se mueve en una
órbita circular alrededor de un protón estacionario, bajo la acción de la fuerza central de
Coulomb
F
1
4π
0
e2
r2
donde e representa la carga eléctrica del
electrón y 0 es la permitividad del vacío
(constante). a) Obténgase una expresión de la
velocidad del electrón en función del radio de
la órbita. b) Expresar el momento angular
orbital del electrón en función del radio de la
órbita. c) Expresar las energías potencial,
cinética y total del electrón en función de r. La
energía total resulta negativa ¿por qué?
d) Introducir el postulado de Bohr de que el
momento angular en una órbita circular ha de
ser un múltiplo entero de la cantidad h/2π,
donde h es la constante de Planck (h =
6.626×10-34 J s), para obtener las expresiones
de los radios y energías totales permitidas para
el electrón. e) Calcular el radio y la energía
del electrón permitidas para el estado fundamental (el de menor energía) del átomo de
hidrógeno. ¿Cuánto valdrá la energía de
ionización?
12.17.- Sonda
espacial. Dos
satélites artificiales, de masas M1 y
M2, están unidos
mediante una
sonda de longitud
L, como se indica
en la figura. Los
satélites describen
órbitas circulares
Prob. 12.17
de radios R1 y R2=R1+L. a) Determinar el
periodo orbital (común) de los satélites.
b) Determinar la tensión de la sonda. c) Evaluar los resultados anteriores para el caso de
un astronauta (70 kg) unido al Skylab
(50 000 kg, 6 800 km) mediante una sonda de
10 m de longitud. d) Calcular la tensión de la
sonda para el caso de dos satélites idénticos
con M1 = M2 = 50 000 kg, R1 = 6 800 km y L
= 1.0 km.
12.18.- Órbita geoestacionaria. Supóngase
que se desea establecer en el espacio una base
interplanetaria que se mueva en una órbita
circular en el plano ecuatorial de la Tierra y a
una altura tal que permanezca siempre sobre el
mismo punto. ¿Cuál deberá ser el radio de esa
órbita?
12.19.- Un satélite describe una órbita circular
ecuatorial, en el mismo sentido de rotación de
la Tierra, a una altura de 800 km sobre su
superficie. ¿Durante cuanto tiempo permanecerá visible (sobre el horizonte) desde un lugar
cualquiera de la Tierra?
12.20.- Fricción atmosférica. Un satélite de
4 000 kg describe una órbita circular de
7 000 km de radio alrededor de la Tierra. a) Al
cabo de algún tiempo como consecuencia de la
fricción atmosférica, la órbita se reduce a otra
circular de 6 600 km. Calcular los cambios que
experimentan la velocidad, la velocidad
angular, el periodo de revolución y las
energías cinética, potencial y total. b) Suponiendo que la resistencia del aire sobre el
satélite representa una fuerza promedio de 2 N,
calcular el momento de dicha fuerza y estimar
el tiempo necesario para la mencionada
reducción del radio orbital. c) Hacer una
estimación del número de vueltas que ejecuta
el satélite durante ese tiempo.
12.21.- Imaginemos que fuese posible construir
una torre muy alta (629 km, puestos a
imaginar) en el Polo Norte y que desde el
punto más alto de ella disparásemos "horizontalmente" un proyectil. a) Discutir el movimiento subsiguiente de dicho proyectil en
función de la velocidad v0 que le suministremos en el instante del disparo y estudiar la
naturaleza de las órbitas, especificando los
valores de v0 que corresponden a las transiciones de unos tipos a otros. ¿Influye la rotación terrestre en los resultados anteriores?
b) Ídem si construyésemos la torre en el
Ecuador terrestre.
12.22.- En el Problema 12.21, calcular la
velocidad inicial mínima que hay que dar al
proyectil para que no caiga sobre la superficie
Problemas
terrestre; esto es, para ponerlo realmente en
órbita.
12.23.- Desde un gran satélite en órbita circular, situado a una altura de 629 km sobre la
superficie terrestre, se dispara un pequeño
proyectil con una velocidad v0 respecto del
satélite, en dirección tangencial al movimiento
de éste y en el sentido de su movimiento.
Discutir el movimiento subsiguiente del proyectil en función del valor de v0, analizando la
naturaleza de las posibles órbitas del mismo y
especificando los valores de v0 que corresponden a las transiciones de unos tipos de órbitas
a otros.
12.24.- Se pone en órbita un satélite artificial
llevándolo a una distancia sobre la superficie
terrestre igual al radio de la Tierra y proporcionándole una velocidad "horizontal" inicial
igual a 1.10 veces la requerida para una órbita
circular a esa distancia. a) ¿De qué tipo de
órbita se tratará? b) Calcular los parámetros
(semiejes, excentricidad, perigeo, apogeo,
velocidades ...) de esa órbita. c) Repetir los
dos apartados anteriores para el caso de que la
velocidad inicial sea 0.90 veces la requerida
para la órbita circular.
12.25.- Demostrar que la ecuación general de
una cónica, en coordenadas polares planas
referidas a uno de sus focos y a sus ejes,
puede escribirse en la forma
r
1 ±
±
rmin
1
cosθ
donde el doble signo ± se refiere a las ramas
positiva y negativa, respectivamente, en el
caso de que la cónica sea una hipérbola.
12.26.- Excentricidad de la órbita terrestre.
A finales de Diciembre el disco solar se ve
bajo un ángulo de 32’36" y a finales de Junio
subtiende un ángulo de 31’31". Con estos
datos, calcular la excentricidad de la órbita
terrestre.
12.27.- Una partícula se mueve en una órbita
elíptica bajo la acción de una fuerza central
inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia. Sea n el cociente entre las
velocidades angulares máxima y mínima en la
órbita (n>1); demostrar que la excentricidad de
la órbita viene dada por
n
1
n
1
329
12.28.- Sputnik III. La distancia máxima a la
superficie terrestre a la que se movía el satélite
Sputnik III fue 1880 km y la mínima 230 km.
Calcular: a) los semiejes y la excentricidad de
su órbita; b) el periodo de revolución del
satélite; c) las velocidades en el apogeo y en el
perigeo.
12.29.- Explorer III. El satélite Explorer III
tuvo una órbita elíptica con un perigeo de
175 km sobre la superficie terrestre y una
velocidad de 29 620 km/h en su perigeo.
Determinar: a) la excentricidad de su órbita,
b) su semieje mayor, c) su periodo de revolución y d) su velocidad y altura en el apogeo.
12.30.- Se dispara un proyectil desde un punto
de la superficie terrestre con una velocidad
absoluta inicial v0 que forma un ángulo φ con
la horizontal del lugar de lanzamiento. Despreciar la resistencia del aire y expresar los
resultados en función de la masa y el radio de
la Tierra (M y R), de la constante de Gravitación G y de las condiciones iniciales φ y
v0.a) Calcular excentricidad de la trayectoria
del proyectil. b) Determinar la altura máxima
sobre la superficie terrestre que alcanza el
proyectil antes de caer de nuevo. c) APLICACIÓN NUMÉRICA: v0=3600 km/h y φ=45°.
12.31.- Una partícula de masa m interacciona
gravitatoriamente con otra partícula de masa
M, siendo M
m. Inicialmente, cuando es
muy grande la distancia de separación entre
ambas partículas, la partícula de masa m se
mueve con una velocidad v0 y con un parámetro de impacto s respecto de la partícula M,
que permanece estacionaria en todo el proceso.
a) Calcular la distancia de máxima aproximación entre ambas partículas. b) Determinar
el ángulo que forman las direcciones iniciales
y finales de la partícula incidente. c) ¿Qué tipo
de trayectoria sigue la partícula incidente?
¿Existe algún valor de v0 al que corresponda
una trayectoria cerrada?
12.32.- Masa del Sol. Conocidos los semiejes
mayores de las órbitas de la Tierra y de la
Luna, 149.6×106 km y 384.0×103 m, respectivamente y los correspondientes periodos de
revolución, 1 año y 27.32 días, calcular la
masa del Sol en unidades de la masa de la
Tierra.
12.33.- Lunas de Marte. Los semiejes mayores de las dos Lunas del planeta Marte, Phobos
y Deimos, miden 9.408×10 3 km y
23.457×103 km, respectivamente. El periodo de
revolución orbital de Phobos es de 4.65 horas.
Con esos datos se deben calcular la masa del
330
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.
planeta Marte y el periodo de revolución de
Deimos.
Prob. 12.34
12.34.- Transferencia de órbita. Un satélite
artificial tripulado (S), provisto de un motor
cohete, se encuentra en una órbita circular de
7000 km alrededor de la Tierra y desea acoplarse a una estación espacial (E) que se
encuentra en otra órbita circular, de 10 000 km
de radio, coplanaria con la del satélite. Para
conseguir su objetivo, el astronauta enciende
su motor cohete durante un breve intervalo de
tiempo, a fin de incrementar su velocidad y
alcanzar la estación espacial en el punto A,
diametralmente opuesto al de ignición de
motores. Obviamente, el astronauta también
pretende aproximarse a la estación espacial
tangencialmente a la órbita de ésta. a) ¿Cuál
deberá ser la velocidad del satélite después del
corto periodo de funcionamiento del motor
cohete? b) ¿Con qué velocidad llegará al punto
A de acoplamiento? c) ¿Qué deberá hacer para
acoplarse con la estación espacial? d) Calcular
el valor del ángulo θ que forman los radiovectores de la estación espacial y del satélite
en el instante en que éste enciende el motor
cohete.
12.35.- Un planeta describe una órbita elíptica,
de excentricidad 2/2 y un periodo de π años.
Calcular el tiempo que invierte el planeta para
moverse desde el extremo del latus rectum al
extremo del eje menor de su órbita.
12.36.- Se observa un cometa a una distancia
de 108 km del Sol y acercándose hacia él con
una velocidad de 60 km/s en una dirección que
forma un ángulo de 45° con el radio-vector.
a) Calcular la excentricidad y la ascensión
recta de la órbita del cometa. b) ¿Qué tipo de
órbita es? c) Calcular la distancia de máxima
aproximación del cometa al Sol.
12.37.- a) Calcular el tiempo durante el que
permanecerá en el interior de la órbita terrestre
(supuesta circular, de radio R) un cometa que
describa una trayectoria parabólica en el plano
de la eclíptica. b) Calcular el tiempo máximo
de permanencia.
12.38.- Chatarra espacial. Un satélite artificial se encuentra en una órbita circular de
radio 2R alrededor de la Tierra, siendo R el
radio de la Tierra. Un trozo de chatarra espacial, cuya masa es el 5% de la del satélite, se
encuentra describiendo la misma órbita pero en
sentido contrario. Se produce una colisión
frontal entre el satélite y la chatarra y, como
consecuencia de ella, el satélite, con la chatarra incrustada, cambia de órbita. a) ¿De qué
tipo será la nueva órbita? b) Calcular los
parámetros de la nueva órbita (excentricidad,
semiejes, perigeo, apogeo, ...) c) ¿Caerá el
satélite sobre la superficie terrestre?
12.39.- Precesión de la órbita. a) Discutir el
movimiento de una partícula en un campo de
fuerzas centrales atractivas de magnitud inversamente proporcional al cuadrado de la distancia para el caso en que se superponga una
fuerza atractiva cuya magnitud sea inversamente proporcional al cubo de la distancia de
la partícula al centro de fuerzas; esto es,
k
r2
F(r)
λ
r3
siendo k y λ constantes positivas. Considerar
los casos L2>mλ, L2=mλ y L2<mλ. b) Demostrar que las trayectorias limitadas de la
partícula son elipses con precesión y determinar la velocidad de precesión.
12.40.- Experimento de Rutherford. En el
experimento de Rutherford de dispersión de
partículas α al atravesar una delgada lámina
de oro (Z=79) se utilizaron partículas α
procedentes del Polonio que son emitidas con
una velocidad del orden de 2×107 m/s. Calcular el valor límite del parámetro de impacto
para que se produzca una dispersión Θ>6°. (La
masa de la partícula α es 6.646×10-27 kg.)
12.41.- a) Determinar la sección eficaz diferencial en la dispersión de partículas por una
esfera perfectamente rígida, lisa y fija, de radio
R; i.e., un potencial de fuerza central tal que
Ep(r)
⎧ 0
⎨
⎩ ∞
si r > R
si r < R
b) Obtener la sección eficaz total.
12.42.- Un potencial de fuerza central que
encontramos frecuentemente en la Física
Problemas
Nuclear es el llamado pozo rectangular,
definido por
⎧
⎨
⎩
Ep(r)
0
U0
si r > R
si r ≤ R
a) Demostrar que la sección eficaz diferencial
de dispersión está dada por
σ (Θ)
Θ ⎞⎛
Θ⎞
⎛
1⎟⎜n cos ⎟
⎜n cos
n2R2 ⎝
2
2⎠
⎠⎝
2
Θ ⎛ 2
Θ
⎞
4 cos
n 2 n cos
1⎟
⎜
2 ⎝
2
⎠
con
n
1
2U0
2
mv0
b) Obtener la sección eficaz total de dispersión.
12.43.- a) Analizar la dispersión producida por
una fuerza central repulsiva inversamente
proporcional al cubo de la distancia (i.e., F =
k/r3, con k>0). b) Demostrar que la sección
eficaz diferencial de dispersión es
σ (Θ)
π 2k
(π Θ)
2
2E Θ (2π Θ)2 sen Θ
donde E es la energía de la partícula.
331
332
Lec. 12.- Momento angular. Fuerzas centrales.