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465 Resumen RESUMEN La ley de la gravitación de Newton dice que dos cuerpos cualesquiera con masas m1 y m2, separadas por una distancia r, se atraen con fuerzas inversamente proporcionales a r 2. Tales fuerzas forman un par acción-reacción y obedecen la tercera ley de Newton. Si dos o más cuerpos ejercen fuerzas gravitacionales sobre un cuerpo dado, la fuerza gravitacional total que actúa sobre ese cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por los otros cuerpos. (Véanse ejemplos 12.1 al 12.3.) El peso w de un cuerpo es la fuerza gravitacional total ejercida sobre él por todos los demás cuerpos del universo. Cerca de la superficie de la Tierra (masa mT y radio RT), ésto es en esencia igual a la fuerza gravitacional de la Tierra sola. (Véase ejemplo 12.4.) Fg 5 Gm1m2 r 2 r GmTm GmT La energía potencial gravitacional U de dos masas m y mT separadas por una distancia r es inversamente proporcional a r. La energía potencial nunca es positiva; es cero sólo cuando los dos cuerpos están infinitamente distantes uno del otro. (Véase ejemplo 12.5.) Fg (1 sobre 2) Fg (1 sobre 2) Fg (2 sobre 1) (12.4) RT2 (aceleración debida a la gravedad en la superficie terrestre) g5 r Fg (2 sobre 1) r (12.3) RT2 (peso en la superficie de la Tierra) w 5 Fg 5 m1 (12.1) U52 GmTm r Tierra, masa mT w (N) 700 600 500 400 300 200 100 0 r ⫽ RT ⫽ 6.38 ⫻ 106 m Astronauta, masa m w ⫽ peso del astronauta ⫽ Gm Tm/r 2 r ⫽ distancia del astronauta al centro de la Tierra r (⫻ 106 m) 5 10 15 20 25 30 r ⫺ RT (⫻ 10 6 m) 0 5 10 15 20 25 Distancia sobre la superficie terrestre (12.9) Tierra, masa m T Astronauta, masa m •U siempre es negativa •U se vuelve menos negativa al aumentar la distancia radial r U O r RT Gm Tm RT Si un satélite se mueve en una órbita circular, la atracción gravitacional de la Tierra proporciona la aceleración centrípeta. (Véase ejemplo 12.6.) v5 GmT (rapidez en órbita circular) (12.12) Å r 2pr r 2pr3/2 T5 5 2pr 5 v Å GmT "GmT (periodo en órbita circular) r v r v r r Fg m r a r r a Fg mT (12.14) RT r Fg r a r v y Las tres leyes de Kepler describen características de las órbitas elípticas de los planetas alrededor del Sol o de satélites alrededor de un planeta. (Véanse ejemplos 12.7 al 12.9.) m2 P Afelio Perihelio S S O ea a ea a x 466 c a p í t u l o 12 | Gravitación La interacción gravitacional de cualquier distribución esféricamente simétrica de masa, en puntos afuera de la distribución, es la misma que sería si toda la masa estuviera concentrada en el centro. (Véase ejemplo 12.10.) m1 m1 R1 Fg Dos masas esféricamente simétricas m1 y m2 Fg r Fg r Fg R2 m2 m2 Si una distribución esférica de masa sin rotación, con masa total M, tiene un radio menor que su radio de Schwarzschild, RS, se clasifica como agujero negro. La interacción gravitacional impide que cualquier cosa, incluida la luz, escape de una esfera con radio RS. (Véase ejemplo 12.11.) 2GM (12.32) c2 (radio de Schwarzschild) RS 5 RS Términos clave agujero negro, 462 constante gravitacional, 437 eje semimayor, 452 energía potencial gravitacional, 445 excentricidad, 452 Notas del lector horizonte de eventos, 462 ley de la gravitación, 437 órbita abierta, 448 órbita cerrada, 448 peso aparente, 460 peso verdadero, 459 radio de Schwarzschild, 462 rapidez de escape, 446 Dos partículas con masa m1 y m2