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20 – Dinámica + elementos finitos
(caso lineal)
Diego Andrés Alvarez Marín
Profesor Asistente
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
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Nota
Una deducción teóricamente rigurosa de las
ecuaciones que mostraremos en este capítulo
debería hacerse utilizando el principio de
Hamilton y su particularización el principio de
D'Alembert utilizado en la mecánica Lagrangiana.
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Principio de D'Alembert
Este principio permite extender la segunda ley de
Newton sobre equilibrio estático al caso dinámico
por medio de la simple consideración que la
fuerza de inercia (que para un cuerpo de masa
constante es igual al producto de la masa por la
aceleración) es una fuerza de sentido opuesto al
sentido positivo de la aceleración.
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Ecuaciones de la elástodinámica
Las ecuaciones diferenciales de equilibrio son:
Las ecuaciones dinámicas de Cauchy-Navier son:
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Modificación del principio de los
trabajos virtuales
Utilizando el principio de D'Alembert se puede incluir las
fuerzas de inercia en el principio del trabajo virtual como
términos adicionales a las fuerzas másicas:
donde:
y ρ es la masa por unidad de volumen (densidad).
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Por lo tanto, haciendo:
y reemplazando en el PTV obtenemos (aquí por
cuestión de espacio solo consideramos las
fuerzas de inercia y las otras fuerzas másicas b):
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Matriz de masa consistente
(consistent mass matrix)
La matriz M que hemos encontrado es la llamada
matriz de masa consistente:
donde ρ es la masa por unidad de volumen (densidad).
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Matriz de masa concentrada
(lumped mass matrix)
Es un esquema que crea una matriz diagonal
empleando así menos recursos computacionales.
Existen varias formas de generar esta matriz. Un
esquema correcto debe preservar la masa total
correcta para el elemento y preservar
correctamente el centro de gravedad del mismo.
Sería deseable también preservar el primer y
segundo momento de inercia, pero esto
raramente se logra.
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Matriz de masa concentrada
(lumped mass matrix)
No existe un procedimiento único para calcular la
matriz de masa concentrada. Existen en la
literatura varios métodos para calcular dicha
matriz:
●
Método HRZ
●
Método basado en cuadraturas de Lobatto
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Método HRZ
(Hinton-Rock-Zienkiewicks)
Este método produce una matriz concentrada a
partir de la matriz consistente así:
11
12
13
¿Cuál tipo de formulación utilizar?
La matriz de masa consistente en general dará
resultados más precisos (pero no mucho más).
Algunos otros autores no afirman esto.
El cálculo con la matriz de masa concentrada es
más rápido ya que la inversa de una matriz
diagonal también es diagonal.
Si una malla es lo suficientemente refinada, los
resultados serán aproximadamente los mismos
independientemente si se usa matriz de masa
consistente o concentrada.
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La matriz de masa consistente hace una
representación más precisa de las propiedades
inerciales de la estructura y además produce
frecuencias naturales limitadas inferiormente por las
exactas. Es decir, las frecuencias naturales calculadas
siempre están por encima de los valores exactos y
utilizando un número suficiente de elementos se
pueden obtener resultados muy precisos.
La representación de masa concentrada no es tan
precisa (algunos autores no afirman esto) y puede
producir frecuencias naturales más altas o más bajas
que las exactas. Sin embargo, para problemas
grandes la representación de masa concentrada
supone un ahorro considerable en el cálculo ya que da
lugar a una matriz de masa diagonal.
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En conclusión:
No hay una respuesta definitiva a que
tipo de matriz utilizar. La matriz de
masa consistente no es
necesariamente la que brinda mejores
resultados.
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Análisis modal de sistemas no
amortiguados
17
Análisis modal de sistemas no
amortiguados
18
Análisis modal de sistemas
amortiguados
19
Ecuación de movimiento para
vibración forzada para sistemas de
múltiples grados de libertad
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Particularizaciones de la matriz de
masa consistente
Caso tridimensional:
Caso bidimensional (tensión/deformación plana):
Caso axisimétrico:
Caso barra unidimensional:
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Formulación para barras sometidas
a fuerzas axiales
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b
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Matriz de rigidez del elemento
cercha
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Matriz de masa del elemento cercha
26
27
Formulación para vigas
28
Formulación para el elemento viga
de dos nodos
Matriz de masa consistente
Matriz de masa concentrada (lumped)
Observe que la masa solo está dispuesta
en el grado de libertad translacional
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Formulación para elementos de
pórtico
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Matriz de rigidez de un elemento prismático
sometido en sus extremos a carga axial,
flexión y cortante
31
Matriz de masa
para el elemento
viga
Matriz de masa
para un elemento
bajo movimiento
axial
Y superponiendo las contribuciones:
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Matriz de
transformación
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Elemento triangular de tres nodos
t
t
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Elemento rectangular de cuatro
nodos
t
t
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Solución de la
ecuación
EXPLICAR
descomposicion modal + NIGAM
NEWMARK
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