Download Universidad de Oriente Núcleo Bolívar Unidad de

Universidad de Oriente
Núcleo Bolívar
Unidad de Cursos Básico
Cátedra: Matemática IV
Profesor
Bachilleres
Cristian Castillo
Militza Camacho
Edni Fernández
Luis Hurtado
Ciudad Bolívar, Marzo del 2010
Principio de Arquímedes
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta
un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.
La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en la
figuras:
1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto
del fluido.
2. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma
forma y dimensiones.
Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con
el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de
separación es igual a p·dS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un
elemento de superficie.
Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas
debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta
resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa de la
porción de fluido, denominado centro de empuje.
De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto, se cumple
El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido rf por la
aceleración de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V.
Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y
dimensiones.
Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y
dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante que
hemos denominado empuje es la misma y actúa en el mismo punto, denominado centro
de empuje.
Lo que cambia es el peso del cuerpo sólido y su punto de aplicación que es el centro de
masa, que puede o no coincidir con el centro de empuje.
Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no
tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto.
En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y por
tanto, coincide el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.
OSCILACIONES VERTICALES DE UNA CAJA FLOTANDO EN UN LIQUIDO
Como una ilustración consideremos el siguiente
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Una caja cúbica de 10 pies de lado flota en agua quieta (densidad 625
Lb/pies3). Se observa que la caja oscila hacia arriba y abajo con período
4 seg. I Cuál es su peso?
Formulación matemática. La Figura 5.17 muestra el cubo en su posición de equilibrio,
indicado por ABC. La Figura 5.18 muestra el cubo muy próximo a estar del todo
sumergido en el agua. En esta posición hay una fuerza tendiendo a empujar de nuevo la
caja hacia arriba. Para determinar esta fuerza necesitamos la ley física conocida como:
Figura 5.17
Principio de Arquímedes.
Un objeto parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por
una fuerza igual al peso del fluido que desplaza.
De este principio es claro que el peso del cubo iguala al peso del agua ocupada por la
porción del cubo por debajo de la superficie en la Figura 5.17, la cual se indica por 1. La
región I necesaria para balancear el peso del cubo también se muestra en la Figura 5.18,
de la cual es evidente que hay una fuerza adicional no balanceada igual al peso del agua
que ocuparía la región sombreada en esa figura. Puesto que las dimensiones de la región
sombreada son x pies por 10 pies por 10 pies y puesto que el agua pesa 62,5 lb/
,
el peso del agua que normalmente ocuparía tal región sería 62,5x x x 10 x 10
, ó
. Esto es numéricamente la fuerza neta actuando para mover el cubo. Esto es
análogo a la fuerza restauradora del resorte vibrante. Si el peso de la caja en libras es W,
la ley de Newton da:
Donde se despeja la gravedad y nos queda:
También se tiene que:
Se sustituye y queda:
ó
Queda una ecuación diferencial del tipo homogénea
Donde:
(5)
Tomando g = 32.
Solución La solución general de (5) es
(6)
Figura 5.18
De la cual es claro que el período es
ó
Igualando esto a
, encontramos
aproximadamente. Se ve
Que la caja vibra con movimiento armónico simple.
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Un cilindro recto de 2 mts de radio esta verticalmente sumergido en agua cuya densidad
es de
de 1
si se empuja hacia abajo y se suelta tiene un periodo de oscilación
. Hallar el peso del cilindro.
Solución
Sea positiva la dirección hacia abajo. y sea (
metros el movimiento del cilindro en el
tiempo ( ).segun el principio de Arquímedes Un objeto parcial o totalmente sumergido
en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza igual al peso del fluido que
desplaza. Entonces la variación que corresponde a la fuerza de flotación es:
Por lo tanto:
(La ley del movimiento vibratorio)
Donde
es el peso del cilindro y
Verificamos que el periodo es:
Donde
es decir