Download movimiento armonico simple

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Ess un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al
desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
rozami
Un ejemplo de este movimiento
o se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera
alrededor de toda la longitud de una circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre
cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada vez que el
punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular
desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a
velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.
Elementos:
1. Oscilación o vibración: movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella
pasando por las posiciones intermedias.
2. Elongación: desplazamiento
splazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier
posición en un instante dado.
3. Amplitud: máxima elongación, es decir, desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio.
4. Periodo: tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se representa con la
letra "t".
5. Frecuencia: número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de
d tiempo.
6. Posición de equilibrio: posición en la cual no actúa ninguna fuerza sobre
obre la partícula oscilante.
Relación entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme
El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyección"
"proyección" (sombra que
proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme (M.C.U.)
(M.C.U.) de radio igual
a la amplitud A y velocidad angular ω, sobre el diámetro
di metro vertical de la circunferencia que recorre.
Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple
Fórmulas:
x = A . cos . w . t
x = elongación
r = A = radio
t = tiempo
w = velocidad angular
Vx = - V . sen Ø
V=w.r
h=w.t
w . t = V = Vector representativo de la velocidad lineal.
Vx = proyección de "Y" sobre el eje "X"
h = ángulo
Vx = -2 . F . A . sen (2 . )
Vx = + w " A2 - x2
Ax = - w2 . A . cos. w . t
Ax = - Ac . cos Ø
Ac = proyección de aceleración sobre el eje horizontal
Ac = w2 . x
Ac = aceleración centrípeta
t = 2 " mk
T = periodo
Péndulo simple
Se llama de esta forma porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo largo de longitud
l, que cumple las siguientes condiciones:
•
•
•
el hilo es inextensible
su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo
el ángulo de desplazamiento 0 debe ser pequeño
Como funciona: con un hilo inextensible, su masa es despreciada comparada con la masa del cuerpo, el
ángulo de desplazamiento debe ser pequeño.
Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una
oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen
sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuáles no:
Considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que se está
recorriendo, se puede poner
Período de un Péndulo
Período: Es el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para determinar el período se
utiliza la siguiente expresión T/ N° de Osc. (Tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones).
El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen 2 péndulos
iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que el otro, en
ambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es el mismo.
El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto significa
que el periodo de un péndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud
de ese péndulo.
Leyes del péndulo
Ley de las masas:
Suspendamos de un soporte (por ejemplo: del dintel de una puerta) tres hilos de coser de igual longitud
y en sus extremos atemos sendos objetos de masas y sustancias diferentes. Por ejemplo: una piedra, un
trozo de hierro y un corcho. Sacarlos del reposo simultáneamente. Verificaremos que todos tardan el
mismo tiempo en cumplir las oscilaciones, es decir, que todos “van y vienen” simultáneamente. Esto nos
permite enunciar la ley de las masas:
LEY DE MASAS: Las tres masas de la figura son distintas entre sí, pero el periodo (T) de
oscilación es el mismo. (T1=T2=T3)
Los tiempos de oscilación de varios péndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su
naturaleza, o también El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de su masa y de su
naturaleza.
Ley del Isócrono: Dispongamos dos de los péndulos empleados en el experimento anterior.
Separémoslos de sus posiciones de equilibrio, de tal modo que los ángulos de amplitud sean distintos
(pero no mayores de 6 o 7 grados).
Dejémoslos libres: comienzan a oscilar, y notaremos que, también en este caso, los péndulos “van y
vienen” al mismo tiempo. De esto surge la llamada Ley del isocronismo (iguales tiempos):
Para pequeños ángulos de amplitud, los tiempos de oscilación de dos péndulos de igual longitud son
independientes de las amplitudes, o también: El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de
la amplitud (o sea, las oscilaciones de pequeña amplitud son isócronas).
La comprobación de esta ley exige que los péndulos tengan la misma longitud para determinar que en
efecto los péndulos son isócronos*, bastará verificar que pasan simultáneamente por la posición de
equilibrio. Se llegara notar que las amplitudes de algunos de ellos disminuyen más que las de otros, pero
observaremos que aquella situación —el isocronismo— subsiste.
Si disponemos de un buen cronometro, podemos aun mejorar los resultados de esta experimentación.
Procedemos a tomar los tiempos empleados por cada uno, para 10 o 100 oscilaciones. Dividiendo esos
tiempos por el número de oscilaciones obtendremos el de una sola (en casos de mucha precisión se
llegan a establecer tiempos para 1.000, lo que reduce el error por cada oscilación De este modo puede
verificarse que en realidad se cumple la ley (*) isócronos tiempos iguales.
Ley de las longitudes:
Suspendamos ahora tres péndulos cuyas longitudes sean:
Péndulo A = (10cm) 1 dm.
Péndulo B = (40 cm) 4 dm.
Péndulo C = (90 cm) = 9 dm.
Procedamos a sacarlos del reposo en el siguiente orden:
1) El de 1 dm y el de 4dm.
2) El de 1 dm y el de 9dm.
Se observa entonces que:
a) El de menor longitud va más ligero que el otro, o sea: “a menor longitud menor tiempo de oscilación y
a mayor longitud mayor tiempo de oscilación”.
b) Mientras el de 4 dm. cumple una oscilación, el de 1 dm. cumple dos oscilaciones.
c) Mientras el de 9 dm. cumple una oscilación, el de 1 dm. cumple tres oscilaciones.
Esta circunstancia ha permitido establecer la siguiente ley de las longitudes:
Los tiempos de oscilación (T) de dos péndulos de distinta longitud (en el mismo lugar de la Tierra), son
directamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes.
En símbolos:
T1 y T2: tiempos de oscilación;
l1 y l2 : longitudes.
Para nuestro caso es:
T1= 1 oscilación y l1= 1dm
T2 = 2 oscilaciones y l2 =4 dm.
Luego:
Ahora para:
T1=1 oscilación y l1=1
T3=3 oscilaciones y l3=9 luego:
O sea: 1/3=1/3
Ley de las aceleraciones de las gravedades: Al estudiar el fenómeno de la oscilación dejamos aclarado
que la acción gravitatoria tiende a hacer parar el péndulo, pues esa es la posición más cercana a la
Tierra. Significa esto, en principio, que la aceleración de la gravedad ejerce una acción primordial que
evidentemente debe modificar el tiempo de oscilación del péndulo.
Si tenemos presente que la aceleración de la gravedad varía con la latitud del lugar, resultará que los
tiempos de oscilación han de sufrir variaciones según el lugar de la Tierra.
En efecto, al experimentar con un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra (gravedad distinta) se
pudo comprobar que la acción de la aceleración de la gravedad modifica el tiempo de oscilación del
péndulo.
Por ejemplo: si en Buenos Aires el tiempo de oscilación es T1, y la gravedad g1, en Río de Janeiro el
tiempo de oscilación es T2 y la gravedad g2, se verifica la siguiente proporcionalidad:
Repitiendo los experimentos para lugares de distinta latitud (por tanto, distinta gravedad) se puede
verificar proporcionalidad semejante. De lo cual surge el siguiente enunciado de la Ley de las
aceleraciones de la gravedad:
Los tiempos de oscilación de un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra son inversamente
proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de la gravedad.
Fórmula del tiempo de oscilación del péndulo:
Para poder obtener el tiempo de oscilación de un péndulo se aplica la siguiente expresión:
Esta fórmula condensa en sí las cuatro leyes del péndulo. En efecto, observamos:
1) En esa expresión no figura la masa m del péndulo, por lo que “el tiempo de oscilación es
independiente de la masa”.
2) Como tampoco figura el ángulo de amplitud, “el tiempo de oscilación es independiente de la
amplitud”.
3) La 3ra. y 4ta. leyes están incluidas en el factor:
Es decir: "los tiempos de oscilación son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las
longitudes e inversamente proporcionales a la de las aceleraciones de las gravedades”.
Péndulo que bate el segundo:
De la expresión:
(tiempo de oscilación simple) resulta que el tiempo de oscilación depende de la longitud y de la
aceleración de la gravedad.
Si en determinado lugar (g: conocida) deseamos construir un péndulo cuyo tiempo de oscilación sea un
segundo, tendremos que modificar su longitud.
Ello se logra aplicando la expresión:
Luego:
y:
De este modo para t=1 seg. se logra un péndulo que “bate el segundo”. Por ello decimos:
“Péndulo que bate el segundo es aquel que cumple una oscilación simple en un segundo”.
Para el lugar cuya aceleración de la gravedad es normal (g=9,806) la longitud del péndulo que bate el
segundo es 0,9936 m, mientras que para el que cumple una oscilación doble en un segundo será l=
24,84 cm.
Cristian Huygens: Matemático y astrónomo holandéss (1629-1695). Fue un verdadero
genio de su siglo. Inventa el reloj de pèndulo, y luego, el resorte espiral, para los de
bolsillo. Enunciò la teoría ondulatoria de la luz, esbozó’ lo que hoy llamamos teorema
de las fuerzas vivas; haciendo girar una esfera de arcilla, dedujo que la Tierra no podía
ser esférica.
Aplicaciones de péndulo simple:
Metrónomo: La creación de este dispositivo nació de la necesidad de contar
con un instrumento que pudiera definir con precisión la velocidad de ejecución
de una pieza musical. Antes de su invención, era habitual que los compositores
usaran como velocidad de referencia el pulso medio humano, que en estado
de reposo equivale aproximadamente a 80 pulsaciones por minuto. En la
actualidad este es usado por los estudiantes de música con el fin de respetar
un tiempo estándar. Antiguamente, para establecer los tiempos en una
composición se usaban palabras en italiano que indican el tiempo como
"allegro", "vivace", andante" o "presto", pero esta práctica se ha abandonado en favor de valores más
precisos para el ritmo de la ejecución.
Péndulo de Foucault: Es producto de una casualidad. Cuando en 1848, León Foucault trabajaba en su
taller intentando acoplar una pesada barra metálica a un torno, mientras era sostenida mediante un
cable de acero, Foucault reparó en una curiosa propiedad. El conjunto del cable más la barra formaba un
péndulo, que oscilaba en un plano vertical el cual permanecía invariable (aparentemente invariable en
intervalos de tiempo de unos minutos). Foucault observó que este plano se mantenía incluso rotando el
sistema de sustentación del cable, lo que marcaba una diferencia entre el sistema tierra y el sistema que
giraba con el sistema de sustentación: para el primero se conservaba el plano de oscilación del péndulo
y para el segundo, no.
La experiencia parecía indicar que el plano de oscilación sólo se conservaría para sistemas de referencia
inerciales, lo cual predecía que, dado que la tierra también gira (lentamente), podría detectarse el
cambio del plano de oscilación de un péndulo respecto a la tierra, si se proveen las condiciones
necesarias de observación.
Foucault construyó sucesivamente dos péndulos: uno de dos metros en su taller y posteriormente uno
de once metros en el Observatorio de París, observando una rotación en sentido horario del plano de
oscilación. Entonces, se le encargó la construcción de algo más espectacular para la Exposición Universal
de París. Foucault montó un péndulo de 67 metros en el Panteón de París (también conocido como
Iglesia de Santa Genoveva). Usó una bala de cañón de 28 Kg a la que soldó una fina punta metálica.
Suspendió el péndulo de la cúpula y esparció una capa de arena en el suelo, para que la punta marcara
la posición del péndulo de una manera trazable. Protegió con una barandilla circular una zona de unos
cinco metros de diámetro en la que llevar a cabo las oscilaciones, y puso en marcha una serie de
demostraciones públicas. En ellas, el péndulo era separado de la posición inferior y retenido mediante
una cuerda, que le impedía caer. Al comienzo de la demostración, se prendía la cuerda, que cuando se
había quemado lo suficiente se rompía, iniciando la oscilación del péndulo. Al cabo de unos minutos, se
podía percibir el progresivo regruesamiento de la traza de la punta del péndulo sobre la arena. Pasadas
horas, la anchura del sector circular era de unas decenas de grados.
El experimento de Foucault permitió demostrar el movimiento rotatorio de la tierra. Un péndulo cuyo
punto de sujeción le permite oscilar libremente en cualquier dirección es usado para repetir el
experimento que el físico francés Foucault realizó por primera vez en público en París en 1851.
El péndulo consiste en una masa sostenida por un cable, que se mantiene en movimiento. Al estar bajo
estas condiciones, el plano de oscilación gira lentamente respecto a una línea trazada en la tierra, aun
cuando la tensión del alambre que soporta a la masa y fuerza gravitacional sobre ella, se encuentran en
un plano vertical.
1.- Movimiento del plano pendular (en el sentido de las agujas del reloj).
2.- Desplazamiento del plano de oscilación debido a la rotación de la Tierra.
3-. Movimiento de rotación de la Tierra (en el sentido contrario a las agujas del reloj).
El periodo de oscilación es menor en los polos, en donde giraría una vuelta completa cada 24 horas,
mientras que en el ecuador el plano de oscilación no experimentaría ningún sentido de rotación
Tomado de:
http://www.portalplanetasedna.com.ar/pendulo.htm