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MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE
1.
INTRODUCCIÓN
Hasta ahora se han estudiado los movimientos de cuerpos bajo la acción de fuerzas constantes. Sin
embargo, en el mundo real existen muchos casos de fuerzas variables.
El objeto de este tema es analizar el tipo de movimiento que producen algunas de estas fuerzas.
El caso más importante es el llamado movimiento armónico simple (m.a.s.) producido por una
fuerza que varía periódicamente y que en todo momento es directamente proporcional al desplazamiento.
Es el caso de un resorte elástico que sujetamos por un extremo mientras colgamos un peso por el
otro extremo. Una vez alcanzado el equilibrio en el punto de referencia O, desplazamos hacia abajo unos
centímetros el cuerpo unido al resorte hasta
alcanzar una posición A y lo dejamos en
libertad. Se observa que se mueve hacia la
posición de equilibrio, pero no se detiene en ella
sino que la sobrepasa hasta alcanzar la
posición
B,
en
donde
se
para
momentáneamente, luego vuelve hasta A, de
nuevo a la posición B, y así sucesivamente
B
repitiéndose el movimiento.
Este tipo de movimiento se llama
O
periódico porque se repite cada cierto tiempo.
Hay muchos otros movimientos periódicos,
A
como el de un péndulo simple que oscila, el de
una lámina de acero que se introduce en una
Figura 1: Ejemplo de movimiento vibratorio
ranura por un extremo y se pone a vibrar e,
incluso, dentro de la misma naturaleza, podemos distinguir muchos movimientos periódicos: los latidos del
corazón, el movimiento de la Tierra en torno al Sol, etc.
El tiempo que tarda el movimiento en repetirse se conoce como período. El período es una
magnitud física que se representa con la letra T y que se mide en segundos en el S.I. En el ejemplo del
resorte, el período sería el tiempo que tarda el cuerpo en pasar de A a B y luego volver hasta A.
Los movimientos periódicos de “ida y vuelta” a ambos lados de una posición de equilibrio reciben
el nombre de:
Oscilatorios si son relativamente lentos
Vibratorios si son rápidos.
Se supone que estos movimientos se realizan sin rozamiento.
Se llama oscilación completa o vibración completa al movimiento realizado durante un período.
Es decir, una ida y una vuelta, como se indica en la Figura. Una vibración completa también recibe el
nombre de ciclo.
La distancia entre O y A, es decir, el máximo desplazamiento que tiene lugar durante una vibración,
recibe el nombre de amplitud de la vibración. Puedes comprobar con un cronómetro que las oscilaciones
son isócronas, es decir, que el período no depende de la amplitud de las oscilaciones.
2.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Una de las fases del método científico es la formulación de hipótesis: se trata de dar respuesta a las
preguntas que sobre un fenómeno podemos plantearnos.
Ya sabes en qué consiste el movimiento vibratorio.

¿Por qué vibran los cuerpos?

¿Lo hacen con velocidad constante?

¿Lo hacen con aceleración constante?
2

¿Es una fuerza la que produce el movimiento vibratorio?
Éstas son algunas de las muchas preguntas que puedes plantearte sobre el movimiento que estamos
estudiando y a las que trataremos de responder.
Habrás observado que el movimiento vibratorio no es uniforme. En efecto: en el caso de un
péndulo simple, por ejemplo, parte del reposo en A. Acelera mientras se dirige a la posición O y frena
cuando asciende hasta la posición B en donde se para.
En el movimiento vibratorio, pues, existe una aceleración que depende del desplazamiento
experimentado por el cuerpo que vibra: acelera cuando se dirige hacia el centro y frena cuando se
desplaza desde el centro hacia los extremos.
¿Te atreves a formular una hipótesis sobre la naturaleza de la fuerza que produce esta aceleración?
¿Te parece lógica, después de lo que hemos visto, la hipótesis siguiente?
El movimiento vibratorio es producido por una fuerza periódica que depende del
desplazamiento.
Para comprobar esta afirmación utilizamos el siguiente modelo: una pequeña bola colgada de un
hilo inextensible y relativamente largo (de un metro por ejemplo) para que el ángulo  correspondiente a
pequeñas amplitudes sea muy pequeño.
El péndulo está en reposo inicialmente en O porque en dicha posición el peso de la bola y la
tensión del hilo se equilibran. En cambio en la posición A se rompe el equilibrio porque el peso origina dos
componentes: una

Fn
en la dirección del hilo que es anulada por la

tensión de éste en el instante de iniciarse el movimiento, y otra Ft
perpendicular al hilo, o tangente a la trayectoria, que no está
equilibrada y es la causante del movimiento.

De la Figura 2 se deduce el valor de esta fuerza:
Ft = -m·g· sen 
El signo menos indica que esta fuerza tiende a llevar al
péndulo a la posición de equilibrio.
Para ángulos muy pequeños se puede aplicar la siguiente
aproximación: sen   , con lo que se puede sustituir el seno por el
ángulo en radianes (arco partido por radio).
L
T
T
Teniendo en cuenta esta equivalencia la expresión de la
fuerza sería:
m g  x
Ft   m  g   
k  x
l
Donde:

x es el arco correspondiente al ángulo  y representa el
desplazamiento que en
un momento dado ha experimentado
el péndulo.

l representa la longitud del hilo.

k
mg
l
A
x
Ft
M·g
 Fn
M·g
Figura 2: Fuerzas que intervienen
en el movimiento de un péndulo
recibe el nombre de constante recuperadora.
En consecuencia, la fuerza que produce el movimiento vibratorio tiene las siguientes
características:
1.
Es periódica.
3
2.
Depende del desplazamiento.
3.
Su dirección es la misma que la del desplazamiento y su sentido siempre
hacia la posición
de equilibrio, esto se indica con un signo menos, y por ello
recibe el nombre de fuerza recuperadora.
Caso particular: Si la fuerza recuperadora es directamente proporcional al desplazamiento, el
movimiento vibratorio recibe el nombre de movimiento armónico simple.
CONCLUSIÓN
Si una. fuerza que actúa sobre una partícula varía periódicamente de manera proporcional al
desplazamiento, produce un movimiento armónico simple.


F   k  x  ux

La fuerza recuperadora se puede expresar vectorialmente utilizando un vector unitario u x , de la
misma dirección que el desplazamiento pero de sentido contrario.
Recuerda que todo vector se puede definir como el producto de su módulo por un vector unitario
que tenga la misma dirección y sentido que él, es decir:

u


v v u

es un vector unitario de módulo la unidad, de igual dirección y sentido que v .
Por tanto, podemos definir movimiento armónico simple como el movimiento periódico, sin
rozamiento, producido por una fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento
y aplicada en la misma dirección pero de sentido contrario.
donde
3.
ECUACIÓN DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
De todos los movimientos vibratorios que se dan en la naturaleza los más importantes son los
armónicos simples. Se llaman así porque se pueden expresar mediante funciones armónicas, como son el
seno y el coseno, de una sola variable.
Ya hemos visto que estos movimientos son producidos por fuerzas recuperadoras proporcionales a
los desplazamientos. Tratamos ahora de expresar este desplazamiento en función del tiempo.
Para deducir la ecuación que rige el m.a.s. empleamos la relación que existe entre él y el
movimiento circular uniforme que también es periódico.
El m.a.s. de trayectoria recta se puede considerar como la proyección sobre un diámetro de un
movimiento circular uniforme, tal como se observa en la figura.
Tomamos el punto O’ como origen del sistema de referencia. Suponemos que la partícula que
recorre la circunferencia se encuentra en el punto O. Para t = 0 su proyección será el centro de la
circunferencia O'.
Cuando la partícula sobre la circunferencia va tomando las
sucesivas posiciones 1, 2, 3,... en el diámetro se obtienen las
posiciones correspondientes 1’, 2’, 3’...
En la Figura 4 vemos que a un desplazamiento angular  =
·t, realizado en el movimiento circular en el tiempo t, corresponde un
desplazamiento x en el diámetro, tal que:
x = A·sen t
Si
proyectamos
Figura 4
sobre el diámetro vertical
el
desplazamiento
correspondiente, sería y = A·cos t. En la Figura 5 está
representado el diagrama x-t de este movimiento.
Figura 5: Gráfica x-t del m.a.s.
4
En el caso de que empecemos a medir el tiempo a partir de una posición P (se ha recorrido
previamente un ángulo ), el valor de x será:
xt = A·sen (t + )
ECUACIÓN GENERAL DEL M.A.S.
A continuación exponemos el significado físico de las magnitudes que intervienen en la ecuación
anterior:
x:
Recibe el nombre de elongación. Es la posición de la partícula vibrante en cualquier instante
referida a la posición de equilibrio. Se considera positiva hacia arriba o derecha y negativa hacia abajo o
izquierda. Si  = 0, la elongación representa el desplazamiento que ha experimentado la partícula en el
tiempo t.
A:
Amplitud. Es el valor máximo que puede tomar la elongación. Esto ocurre cuando ha
transcurrido un cuarto de período, si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula pasa por la posición
de equilibrio. Si la amplitud disminuye paulatinamente, decimos que el movimiento vibratorio es
amortiguado.
(·t + ):
Fase en cualquier instante. Su valor determina el estado de vibración o fase del
movimiento.
:
Fase inicial o corrección de fase. Su valor determina el estado de vibración para t = 0. En ese caso,
x = A sen . Si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio, resulta
 = 0. Para los cálculos posteriores supondremos  = 0.
:
Recibe el nombre de pulsación o frecuencia angular. Representa la velocidad angular
constante del movimiento hipotético que hemos proyectado.
Recordemos que

2 
T
, siendo T el período
T:.
Período. Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse. También se puede definir así:
período es el tiempo que tarda el m.a.s. en realizar una vibración completa. Esto ocurre cuando la partícula
pasa dos veces consecutivas por la misma posición y en el mismo sentido del movimiento. El período es
constante para un movimiento vibratorio determinado aunque éste sea amortiguado.
También se utiliza el término frecuencia, sobre todo para movimientos armónicos muy rápidos.
f:
Frecuencia. Es el número de vibraciones completas realizadas en un segundo. Representa la
rapidez con que tienen lugar las vibraciones. En el SI se mide en hertzios (Hz), en honor de Heinrich Hertz,
quien demostró por primera vez la existencia de las ondas de la radio,
Se mide en s-1, vibraciones/s, ciclos/s. De las definiciones de período y frecuencia de deduce: f =
1/T
4.
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DEL M.V.A.S.
Ya conoces la ecuación del movimiento armónico. Estudiamos a continuación su velocidad y su
aceleración instantáneas.

VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Recuerda que la velocidad instantánea de una partícula es la velocidad que posee dicha partícula en
cualquier instante o en cualquier punto de su trayectoria y se obtiene derivando respecto al tiempo la
ecuación del movimiento. En este caso se halla derivando la ecuación x = A·sen (·t)
v
dx
 A    cos  t  A    1  sen 2  t    A 2  A 2  sen 2  t    A 2  x 2
dt
Para llegar a esta expresión se ha tenido en cuenta que sen2·t + cos2·t = 1. Resumiendo, hay dos
expresiones para la velocidad instantánea:
5
dx
 A    cos  t
dt
v   A2  x 2
v
En la Figura 6 se ha representado la
gráfica de esta velocidad en función de t.

en función del tiempo
en función de la posición
v
CONSECUENCIAS:
1.
La velocidad del movimiento armónico es
función periódica del tiempo.
2.
Su valor depende de la posición de la
partícula. Tiene el valor máximo en el centro de la
trayectoria y se anula en los extremos.
Figura 6: Diagrama v-t del m.a.s.

ACELERACIÓN DEL
ARMÓNICO
MOVIMIENTO
La aceleración se obtiene, en general, derivando la ecuación de la velocidad. Si derivamos la
función v = A··cos·t, tenemos:
dv

  A   2  sen   t  de donde a    2  x

dt

x  A  sen   t

a

CONSECUENCIAS:
1.
La aceleración también es periódica.
2.
Su valor depende de la posición de la partícula. Es proporcional a la posición, pero de sentido
contrario a ella.
3.
La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la pulsación.
4.
Es nula en el centro y máxima en los extremos (Fig. 7).
5.
Está desfasada /2 de la velocidad.
a
El movimiento armónico, pues, es
retardado cuando la partícula vibrante se dirige
hacia los extremos, y acelerado cuando dicha
partícula se mueve hacia el centro. Teniendo en
cuenta esto, podemos dar otra definición de
movimiento armónico: es un movimiento
rectilíneo (cuya aceleración es proporcional a
la posición o elongación pero de sentido
contrario).
La aceleración y la elongación tienen
sentidos opuestos y sus módulos son
proporcionales. Esta relación sirve para
identificar un sistema que tenga m.a.s.
Figura 8: Diagrama a-t del m.a.s.
De la gráfica de la Figura 8 se deduce que la aceleración está en fase con la elongación.
6
5.
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Hemos visto que el m.a.s. se produce gracias a una fuerza recuperadora proporcional al
desplazamiento:
F k  x
Si tenemos en cuenta la ecuación de este movimiento, podemos escribir que:
F   k  A  sen   t
en donde se pone de manifiesto el carácter periódico de la fuerza recuperadora. También hemos visto que
la aceleración del m.a.s. viene dada por a   2  x .
Si aplicamos la segunda ley de la Dinámica, se obtiene otra expresión importante para la fuerza
recuperadora:


F  m  a  m   2  x   m   2  x
Utilizando esta expresión y la fórmula F = - k · x, obtenemos una relación interesante entre la
constante recuperadora y la pulsación:
 k  x   m  2  x
 k  m  2
De esta relación se obtienen otras fórmulas importantes como:

k
m
T  2  
  2   f

m
k
CONSECUENCIAS
1.
El período de las oscilaciones, cuando la fuerza es de naturaleza elástica,
masa del móvil.
2.
El período de las oscilaciones de un péndulo, cuya fuerza recuperadora es de
gravitatoria, no depende de la masa.
En efecto,
T  2  
m
l
 2  
k
g
ya que la cons tan te de un péndulo era k 
x 
6.
depende
de
la
naturaleza
mg
l
F 0,5  9,8

 1m
k 0,5   2
ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO
Una partícula que está animada de m.a.s. recibe el nombre de oscilador mecánico. Se llama así
porque posee energía mecánica: cinética y potencial.
a)
Cinética porque hay movimiento.
b)
Potencial porque el movimiento armónico se produce gracias a una fuerza
conservativa. La
energía potencial es una característica de este tipo de fuerzas.

ENERGÍA CINÉTICA
7
Si tenemos en cuenta que la energía cinética es Ec = ½·m·v2
v  A    cos  t , se deduce:
y que la velocidad vale
1
1
1
E c   m  v 2   m  A 2   2  cos2   t   k  A 2  cos2   t 
2
2
2
1
1
1
 k  A 2  (1  sen 2   t )   k  ( A 2  x 2 )  E c   k  ( A 2  x 2 )
2
2
2
Se observa que la energía cinética:
1)
Es proporcional al cuadrado de la amplitud.
2)
Depende de la posición. Tiene su valor máximo en el centro de la
3)
Es periódica.

trayectoria, cuando x = 0.
ENERGÍA POTENCIAL
La energía potencial es el trabajo que debemos hacer para deformar el resorte una distancia x
venciendo la fuerza recuperadora elástica.
La energía potencial:
x
x
0
0
E p   F  dx   k  x  dx 
1
1
 k  x 2   k  A 2  sen 2  t
2
2
1)
2)
3)
Es proporcional al cuadrado de la amplitud.
Depende de la posición. Tiene su valor máximo en los extremos.
Es periódica.

ENERGÍA MECÁNICA
Es la suma de las energías cinética y potencial:
1
1
E m  E c  E p   k  A 2  cos2   t   k  A 2  sen 2  t 
2
2
1
1
1
2
2
2
 k  A  (cos   t  sen   t )   k  A 2  E m   k  A 2
2
2
2
En el movimiento armónico la energía
mecánica permanece constante. Si no hay rozamiento,
la amplitud del movimiento permanece también
constante.
y
2
2
Ec = 1/2·k·(A -x )
Ep = 1/2·k·x2
x = -A
x=0
E m = 1/2·k·A2
En la Figura 9 se representa la variación de
la energía con la elongación. Observa cómo aumenta
la energía potencial cuando disminuye la energía
cinética y viceversa. Existen dos valores de la
elongación para los cuales ambas energías valen lo
mismo. Eso ocurre cuando las dos parábolas de la
figura se cortan.
x=A
Figura 9: Variación de la energía con la elongación