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TEXTO Nº 7
SISTEMA DE
PARTÍCULAS
Conceptos Básicos
Ejercicios Resueltos
Ejercicios Propuestos
Edicta Arriagada D. Victor Peralta A
Diciembre 2008
Sede Maipú, Santiago de Chile
1
Introducción
Este material ha sido construido pensando en el estudiante de nivel técnico de
las carreras de INACAP. El objetivo principal de este trabajo es que el alumno
adquiera y desarrolle la técnica para resolver problemas diversos de la unidad de
Sistema de partículas. En lo particular pretende que el alumno logre el
aprendizaje indicado en los criterios de evaluación (referidos al cálculo de
variables) del programa de la asignatura Física Mecánica.
El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple
que permita la comprensión de los conceptos involucrados en la resolución de
problemas. Se presenta una síntesis inmediata de los conceptos fundamentales
de Sistema de partículas, seguida de ejemplos y problemas resueltos que
presentan un procedimiento de solución sistemático que va desde un nivel
elemental hasta situaciones más complejas, esto, sin saltar los pasos
algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos
incluyendo sus respectivas soluciones.
2
Sistema de Partículas
Es aquel sistema en que interactúa más de una partícula, tal como indica la
figura.
y
m2
m1
x
m3
Impulso y Cantidad de Movimiento.
El segundo principio de Newton establece que si sobre un cuerpo libre de masa


m , actúa una fuerza F , entonces el cuerpo adquiere una aceleración a
proporcional a la fuerza y en la misma dirección de la fuerza, matemáticamente
se expresa por:


F = m⋅a
Por definición, la aceleración es:
  
 ∆v v − v0
a=
=
∆t
t − t0
Reemplazando en el segundo principio de Newton se tiene:


∆v
F = m⋅
∆t
Multiplicando por ∆t resulta:
O que es lo mismo escribir:


F ⋅ ∆t = m ⋅ ∆v

 
F ⋅ t = m ⋅ (v − v0 )
3

Al producto F ⋅ ∆t recibe el nombre de Impulso de la fuerza y al producto

m ⋅ ∆v recibe el nombre de cantidad de movimiento o momentum (o momento

lineal) y se simboliza con la letra p , ambas cantidades son magnitudes
vectoriales. Según lo anterior se puede escribir:


p = m ⋅ ∆v
O simplemente:


p = m⋅v

Siendo m la masa del cuerpo y v su velocidad.
Ejemplo:
Una bola de 6 kg lleva una velocidad de 24 m/s cuando choca contra un poste y
rebota con la misma velocidad pero sentido contrario (ver figura). Si el choque
dura un tiempo promedio de 0,002 segundos, determinar la fuerza promedio que
ejerce el poste sobre la bola.
Antes de chocar

m
v0 = 30
s
Después de chocar
m

v = −30
s
4
Por impulso y cantidad de movimiento, se tiene que:

 
F ⋅ t = m ⋅ (v − v0 )
Reemplazando valores se tiene:

m
m

F ⋅ 0,02 s = 6kg ⋅  − 30 − 30 
s
s

Reuniendo términos semejantes:

m

F ⋅ 0,02 s = 6kg ⋅  − 60 
s

Multiplicando:

m
F ⋅ 0,02 s = 360kg ⋅
s
Despejando la fuerza se tiene:
m
 360kg ⋅ s
F=
0,02 s
Dividiendo:

F = 1800 N
Es decir, la fuerza que ejerce el poste contra la bola es de 1800 N
m
Recordar que N = kg ⋅ 2
s
Cantidad de movimiento total de un sistema de partículas
Sean m1, m2, …
…mn un sistema de partículas, entonces la
cantidad de movimiento lineal del sistema corresponde a la suma vectorial de la
cantidad de movimiento de cada partícula, es decir:



p = m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 + ...

... + mn ⋅ v n
5
Conservación de la cantidad de movimiento lineal
Para un sistema aislado de partículas, la cantidad de movimiento total del sistema se
mantiene constante, es decir, la cantidad de movimiento total del sistema, antes de la
interacción de las partículas, es igual a la cantidad de movimiento total después de la
interacción de las partículas, es decir se cumple que:


m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 + ...

... + mn ⋅ v n
Antes de la interacción


= m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 + ...

... + mn ⋅ v n
Después de la interacción
Observación:
Durante una interacción, las fuerzas que se generan pueden ser muy grandes,
particularmente en los choques entre cuerpos, y por lo tanto se pueden despreciar las
fuerzas exteriores y por lo tanto se puede aplicar el principio de conservación de la
cantidad de movimiento.
Ejemplo:
Un bloque de 8 kg lleva una velocidad de 30 m/s cuando choca con otro cuerpo de 3
kg que tiene una velocidad de 24 m/s, si se sabe que los cuerpos quedan unidos
después del choque, ¿Cuál será la velocidad del conjunto?
Solución:
Siempre es conveniente realizar un esquema de la situación planteada y se llamará
cuerpo 1 y cuerpo 2, esto es:
v1 = 30
m
s
v 2 = 24
8kg
m
s
3kg
x
Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento, al sistema
formado por los dos cuerpos, se puede escribir:


m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2


= m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2
Después del choque los cuerpos quedan unidos y no se sabe la velocidad común con

la que se mueven, si se llama a la velocidad común v se puede anotar:
6


m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ v + m2 ⋅ v
Factorizando por v se tiene:


m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = (m1 + m2 ) ⋅ v
Como se desea conocer la velocidad común v , se debe despejar y resulta:


m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2
=v
(m1 + m2 )
Se debe notar que la velocidad inicial del cuerpo 2 es negativa, ya que se dirige hacia
la izquierda, al reemplazar los valores numéricos resulta:
m
m
+ 3kg ⋅ 24
s
s =v
(8kg + 3kg )
8kg ⋅ 30
Realizando la operatoria matemática:
168kg ⋅
11kg
m
s =v
Dividiendo resulta el valor de la velocidad con que se mueven unidos los cuerpos.
15,273
m
=v
s
Resulto la velocidad con signo positivo, esto significa que los cuerpos unidos, se
mueven hacia la derecha con un valor en la velocidad de 15,273 m/s.
v = 15,273
8kg
m
s
3kg
x
7
Colisiones (o choques)
Cuando se tiene un choque frontal (en una dimensión) entre dos cuerpos, la ley de
conservación no es suficiente para precisar las dos velocidades finales y por lo tanto
se necesita de mayor información del fenómeno de colisión, respecto a esto se tienen
tres casos bien definidos:
a) Choque perfectamente elástico
Es aquel choque en que la energía cinética total antes del choque es igual a la
energía cinética después del choque, como también permanece constante la
cantidad de movimiento lineal, es decir:
1)
1
1
1
1
2
2
2
2
m1 ⋅ v1 0 + m2 ⋅ v 2 0 = m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2
2
2
2
2
2) m1 ⋅ v1 0 + m2 ⋅ v 2 0 = m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2
Siendo:
v1 0 = velocidad inicial del cuerpo 1
v2 0 = velocidad inicial del cuerpo 2
Durante la colisión, parte de la energía cinética se transforma en energía
potencial elástica de las moléculas que inmediatamente se vuelve a transformar
en energía cinética.
b) Choque perfectamente inelástico
Es aquel choque en que ambos cuerpos quedan unidos después del choque,
moviéndose con la misma velocidad, es decir, la velocidad final de los cuerpos
es la misma. En este tipo de colisiones solo se conserva la cantidad de
movimiento lineal.
 
v1 = v 2
Durante esta colisión, parte de la energía cinética se transforma en calor
c) Choque imperfectamente elásticos
Son aquellos choques intermedios entre los otros dos tipos de choques y se
definen por un coeficiente llamado de restitución y que se simboliza por e y se
define por:
 
v 2 − v1
e= 

v1 0 − v 2 0
8
Donde:

v1 0 = velocidad del cuerpo 1 antes del choque y

v 2 0 = velocidad del cuerpo 1 antes del choque
El coeficiente e está comprendido entre los valores 0 y 1. Vale 0 para los
choques perfectamente inelásticos y 1 para los choques perfectamente elásticos.
Ejemplo 1
Una bola de 2 kg, con velocidad de 15 m/s choca frontalmente con otra bola de 4
kg que se encontraba en reposo. Si el choque es perfectamente inelástico.
¿Cuál es la velocidad del conjunto? Despreciar el efecto de rozamiento.
Solución:
La información dada se puede representar mediante el siguiente esquema:

v1

v =?

v2 = 0
m1
m1
m2
Antes del choque
m2
Después del choque
Como el problema indica que el choque es perfectamente inelástico, significa
que los cuerpos quedan unidos después de la colisión y por lo tanto se mueven
con la misma velocidad y por conservación de la cantidad de movimiento se
tiene:





m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ v + m2 ⋅ v = (m1 + m2 ) ⋅ v

Despejando la velocidad común v se tiene:


m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 
=v
m1 + m2
Como el cuerpo 2 se encontraba en reposo antes de la colisión, la expresión
anterior queda:

m1 ⋅ v1

=v
m1 + m2
9
Reemplazando valores numéricos, se tiene:
m
2kg ⋅ 15
s = v
2kg + 4kg
30kg
m
s = v
6kg
Dividiendo resulta el valor de la velocidad común de los cuerpos, es decir:
5
m 
=v
s
Como el signo de la velocidad es positivo, significa que los cuerpos se mueven
hacia la derecha, según esquema establecido.
Ejemplo 2
Una esfera de 4 kg y con velocidad horizontal de 32 m/s choca con otra esfera
de 7 kg que se encontraba en reposo. Después del choque la esfera de 4 kg sale
formando un ángulo de 28º por encima de la horizontal con una velocidad
desconocida mientras que la esfera de 7 kg sale formando un ángulo de 40º por
debajo de la horizontal con una velocidad desconocida (ver figura). ¿Cuál es el
valor de las velocidades de las esferas después del choque? Despreciar los
efectos de
fricción.

v
1 =?
y

m
v1 = 32
s
m1 = 4kg
m1 = 4kg

v2 = 0
28º
x
40º
m2 = 7 kg
m2 = 7 kg
Antes del choque
Después del choque

v2 = ?
10
Solución:
En este caso el choque se produce en dos dimensiones, eje x y eje y. Aplicando
el principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal, en cada eje, se
puede escribir:
Eje X




m1 ⋅ v1 x + m2 ⋅ v 2 x = m1 ⋅ v1 x + m2 ⋅ v 2 x
La esfera 2 inicialmente está en reposo, por lo tanto:



m1 ⋅ v1 x + 0 = m1 ⋅ v 2 x + m2 ⋅ v 2 x
O que es lo mismo decir:



m1 ⋅ v1 = m1 ⋅ v1 cos 28º + m2 ⋅ v 2 cos 320º
Reemplazando valores numéricos para masa y velocidad, se tiene:
4kg ⋅ 32

m
= 4kg ⋅ v1 cos 28º +7 kg ⋅ v 2 cos 320º
s
Realizando las operaciones matemáticas se tiene:
128kg

m
= 3,532kg ⋅ v1 + 5,362kg ⋅ v 2 (1)
s
Eje Y:




m1 ⋅ v1Y + m2 ⋅ v 2 Y = m1 ⋅ v1Y + m2 ⋅ v 2 Y
Antes del choque no hay movimiento en el eje Y, por lo tanto las respectivas
velocidades en ese eje son cero, es decir:


0 + 0 = m1 ⋅ v1Y + m2 ⋅ v 2 Y
Escribiendo las componentes de la velocidad en el eje Y, se tiene:


0 + 0 = m1 ⋅ v1 sen28º + m2 ⋅ v 2 sen320º
Remplazando los valores correspondientes a las masas de las esferas, se tiene:
11


0 = 4kg ⋅ v1 sen28º +7 kg ⋅ v2 sen320º
Multiplicando:


0 = 1,878kg ⋅ v1 − 4,5kg ⋅ v 2
Despejando, por ejemplo la velocidad 2, se tiene:


4,5kg ⋅ v 2 = 1,878kg ⋅ v1

 1,878kg ⋅ v1
v2 =
4,5kg
Dividiendo:


v 2 = 0,417 ⋅ v1 (2)
Reemplazando ecuación (2) en ecuación (1) se tiene:
128kg

m
= 3,532kg ⋅ v1 + 5,362kg ⋅ 0,417v1
s
Multiplicando y sumando resulta:
128kg

m
= 5,768kg ⋅ v1
s

Despejando v1 se tiene:
m
s = v
1
5,768kg
128kg
Finalmente dividiendo se obtiene el valor de la velocidad después del choque, de
la esfera 1, es decir:
22,191
m 
= v1
s
Reemplazando en ecuación (2), se obtiene el valor de la velocidad de la esfera 2
después del choque, es decir:
12

m
v 2 = 0,417 ⋅ 22,191
s

m
v 2 = 9,254
s
Por lo tanto la respuesta al problema planteado es:
- Valor de la velocidad de esfera 1 = 22,191 m/s
- Valor de la velocidad de esfera 2 = 9,254 m/s
Centro de masa
Cuando se tiene un sistema de partículas, se llama centro de masa a aquel
punto del sistema donde se considera concentrada toda la masa de dicho
sistema.
Sean m1 , m2 , ... ... mn las masas de un sistema de partículas y sean
x1 , x 2 , ... ... x n , y1 , y 2 , ...
... y n sus respectivas coordenadas de posición,
entonces las coordenadas del centro de masa del sistema quedan determinadas
por:
(xCM
Donde:
m = m1 + m2 + ...
 ∑ mi ⋅ x i ∑ mi ⋅ y i
, y CM ) = 
,

m
m





... + mn (Masa total del sistema)
y
m3
mn
m2
m
y CM
m1
m..
x
m..
xCM
m..
mi
13
Ejemplo:
Determinar la posición del centro de masa de las tres partículas indicadas en la
figura:
y (m )
2kg
3
5kg
2
1
x(m )
-3
-2
-1
1
-1
-2
10kg
Solución:
La solución al problema consiste en la aplicación directa de las coordenadas del
centro de masa, indicada anteriormente, por lo tanto:
La coordenada X del centro de gravedad es:
xCM =
∑m
i
m
⋅ xi
=
5kg ⋅ 1m + 2kg ⋅ −2m + 10kg ⋅ −3m
5kg + 2kg + 10kg
Multiplicando y sumando:
xCM =
∑m
i
m
⋅ xi
=
− 29kg ⋅ m
17 kg
Dividiendo:
xCM = −1,71m
14
La coordenada Y del centro de gravedad es:
y CM =
∑m
i
⋅ yi
m
=
5kg ⋅ 2m + 2kg ⋅ 3m + 10kg ⋅ −2m
5kg + 2kg + 10kg
Multiplicando y sumando:
y CM =
∑m
i
m
⋅ yi
=
− 4kg ⋅ m
17 kg
Dividiendo:
y CM = −0,24m
Por lo tanto las coordenadas de centro de masa del sistema dado en la figura
son:
(xCM
, y CM ) = (− 1,71 , − 0,24 )[m]
Movimiento del centro de masa
Sean m1 , m2 , ...
...mn las masas de un sistema de partículas y sean
 

v1 , v 2 , ... ..., v n sus respectivas velocidades, entonces la cantidad de

movimiento p del sistema es:



p = m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 + ...

... + mn ⋅ v n

Por otra parte la cantidad de movimiento p del sistema corresponde a la
cantidad de movimiento del centro de masa, es decir:


p = m ⋅ vCM
Donde:
m = masa total del sistema ( m = m1 + m2 + ...

vCM = velocidad del centro de masa
... + mn )
15
Igualando las dos expresiones anteriores resulta:



m ⋅ vCM = m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 + ...

... + mn ⋅ v n

Despejando la velocidad v del centro de masa, se tiene:


m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 + ...

vCM =
m

... + mn ⋅ v n
Ejemplo:
Se disparan dos proyectiles en forma simultáneamente, el proyectil 1tiene una
masa de 3 kg y una velocidad de 12 m/s en la dirección positiva del eje X, y el
proyectil 2 tiene una masa de 8 kg con una velocidad de 8 m/s en la dirección
positiva del eje Y, tal como indica la figura. Determinar
a) Las coordenadas del centro de masa.
b) La velocidad de disparo del centro de masa.
y (m)

m
v1 = 8
s

m
v1 = 12
s
3 kg
8 kg
x(m)
-5
3
Solución (a): coordenadas del centro de masa
xCM =
∑m
i
⋅ xi
m
y CM =
=
3kg ⋅ −5m + 8kg ⋅ 3m 9kg ⋅ m
=
= 0,818m
3kg + 8kg
11kg
∑m
i
m
⋅ yi
=
3kg ⋅ 0 + 8kg ⋅ 0
0
=
=0
3kg + 8kg
11kg
Es decir las coordenadas del centro de masa son:
(xCM , y cm ) = (0,818 , 0)[m]
16
Solución (b): velocidad de disparo del centro de masa
Como el movimiento simultaneo es en dos dimensiones, la velocidad del centro
de masa tiene dos componentes, una en eje X y la otra en el eje Y.
La velocidad del centro de masa está determinada por:


m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 + ...

vCM =
m

... + mn ⋅ v n
Entonces:
Eje X:


m1 ⋅ v1 x + m2 ⋅ v 2 x

vCM x =
m1 + m2
Reemplazando valores para masa y velocidades del eje X:

v x CM =
m
m
+ 8kg ⋅ 0 36k ⋅
s
s = 3,273 m
=
3kg + 8kg
11kg
s
3kg ⋅ 12
Eje Y:


m1 ⋅ v1 y + m2 ⋅ v 2 y

vCM y =
m1 + m2
Reemplazando valores para masa y velocidades del eje Y:

vCM y =
m
m
64kg ⋅
s =
s = 5,818 m
11kg
3kg + 8kg
s
3kg ⋅ 0 + 8kg ⋅ 8
Es decir la velocidad del centro de masa del sistema de partículas es:

m
vCM = 3,273 iˆ + 5,818 ˆj
s
Su módulo es:

vCM =
(3,273)2 + (5,818)2
m
m
= 6,675
s
s
17
PROBLEMAS RESUELTOS – SISTEMA DE PARTÍCULAS
1. Una bola con masa 4 kg y velocidad de 1,2 m/s, choca frontalmente contra
otra de masa 5 kg moviéndose a 0,6 m/s en la misma dirección y sentido.
Encontrar (a) las velocidades después del choque (suponiendo que es elástico),
(b) el cambio en el momentum de cada bola.
Solución (a):
Se trata de un choque elástico por lo tanto se cumple que:
a)
b)




v10 + v1 = v2 0 + v2 (1)




m1v10 + m2 v2 0 = m1v1 + m2 v2 (2)
Supondremos que los cuerpos se mueven en el eje X en el mismo sentido como
muestra la figura

m
v1 = 1,2
s
m = 4kg

m
v 2 = 0,6
s
x
m2 = 5kg
18
Entonces reemplazando valores numéricos en las ecuaciones (1) y (2), se tiene:


1,2[m / s ] + v1 = 0,6[m / s ] + v2
(3)


4[kg ]⋅1,2[m/s] + 5[kg ]⋅ 0,6[m/s] = 4[kg ]⋅ v1 + 5[kg ]⋅ v2


⇒ 7,8[kg ⋅ m/s] = 4[kg ]⋅ v
1 + 5[kg ]⋅ v2 simplificando los kg, se tiene :
⇒


7,8[m/s] = 4 ⋅ v1 + 5 ⋅ v2
(4)

De la ecuación (3) despejando v1, resulta:


v1 = 0,6[m / s ] + v2 − 1,2[m / s ]


⇒ v1 = −0,6[m / s ] + v2
(5)
Reemplazando (5) en (4) se obtiene:


7,8[m / s ] = 4(− 0,6[m / s ] + v2 ) + 5 ⋅ v2
Multiplicando y reduciendo términos semejantes:


⇒ 7,8[m / s ] = −2,4[m / s ] + 4 ⋅ v 2 + 5 ⋅ v 2

⇒ 7,8[m / s ] = −2,4[m / s ] + 9 ⋅ v 2

⇒ 7,8[m / s ] + 2,4[m / s ] = 9 ⋅ v 2

⇒ 10,2[m / s ] = 9 ⋅ v 2
⇒
10,2[m / s ] 
= v2
9

⇒ 1,133[m / s ] = v2
19

Por lo tanto v 2 = 1,133[m / s ] y en el mismo sentido que antes del choque.

Ahora reemplazando en la ecuación (5), se obtiene v1 , es decir:

v1 = −0,6[m / s ] + 1,133[m / s ]

v1 = 0,533[m / s ]
En el mismo sentido que antes del choque.
Después del choque
m = 4kg

m
v 2 = 1,113
s

m
v1 = 0,533
s
x
m2 = 5kg
Solución (b):
Cambio en el momentum de la bola de 4 kg
∆P = P1 − P10
Siendo:
P1 0 = cantidad de movimiento de la bola de 4 kg, antes del choque
P1 = cantidad de movimiento de la bola de 4 kg, después del choque
Reemplazando los datos obtenidos se tiene:
⇒ ∆P = m1 ⋅ v1 − m1 ⋅ v10
⇒ ∆P = m1 ⋅ (v1 − v10 )
⇒ ∆P1 = 4[kg ]⋅ (0,533 − 1,2)[m / s ]
20
m

⇒ ∆P = −2,76kg ⋅ 
s

Por lo tanto el cambio en la cantidad de movimiento (o momentum) del cuerpo
de 4 kg es de -2,76 kg m/s.
Cambio en el momentum de la bola 5 kg
∆P = P2 − P2 0
Siendo:
P2 0 = cantidad de movimiento de la bola de 5 kg, antes del choque
P2 = cantidad de movimiento de la bola de 5 kg, después del choque
Reemplazando los datos obtenidos se tiene:
⇒ ∆P = m2 ⋅ v2 − m2 ⋅ v2 0
⇒ ∆P = m2 ⋅ (v2 − v2 0 )
⇒ ∆P = 5[kg ]⋅ (1,133 − 0,6)[m / s ]
m

⇒ ∆P = 2,67 kg ⋅ 
s

Es decir la variación en la cantidad de movimiento de la bola de 5 kg es de 2,67
kg m/s
21
2. Dos Bloques de masa m y 3m se colocan sobre una superficie horizontal sin
fricción. Un resorte ligero se une a una de ellos, y los bloques son empujados
juntos, con el resorte entre ellos. Una cuerda que los mantiene unidos se quema
y después de eso el bloque de masa 3m se mueve hacia la derecha con una
velocidad de 2 m/s. ¿Cuál es la velocidad del bloque de masa m?
Después de cortar la cuerda
Antes de cortar la cuerda
,
v2
,
v1 = ?
Cuerda
m
3m
m
3m
Solución:
Sean:
m1 = m
m2 = 3m

v1 = velocidad del cuerpo de masa

v1, = velocidad del cuerpo de masa

v 2 = velocidad del cuerpo de masa

v2, = velocidad del cuerpo de masa
m1 antes del choque
m1 después del choque
m2 antes del choque
m2 después del choque
En un comienzo los bloques se encuentran en reposo, por lo tanto ambos
cuerpos tienen velocidad inicial cero y se cumple que la cantidad de movimiento
lineal es la misma antes de cortar la cuerda, es decir:
22



m1v1 + m2 v2 = m1 + m2 v2,


0 = m1v1, + m2 v2,


como v1 = v2 = 0 se tiene que
Reemplazando valores numéricos

0 = m ⋅ v1, + 3m ⋅ 2[m / s ]

⇒ 0 = m ⋅ v1, + 6 ⋅ m[m / s ]

⇒ − m ⋅ v1, = 6m[m / s ]

⇒ v1, = −6[m / s ]
El signo negativo indica que el cuerpo después del choque se mueve hacia la
izquierda.
3. Una pelota de 0,5 kg es arrojada verticalmente hacia arriba con una velocidad
de 3 m/s. (a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento inicial de la pelota? (b) ¿Cuál
es la cantidad de movimiento en el punto mas alto? (c) ¿Qué impulso detiene la
pelota?, ¿Cuánto tiempo actuó el impulso?.
Solución (a):
Realizando una figura de la situación se tiene:
23

v =0
y

g

m
v0 = 3
s
m = 5kg
x
La cantidad de movimiento lineal o momentum de un cuerpo queda definido por
la ecuación


P = m⋅v
Como se conoce la masa y la velocidad, simplemente hay que reemplazar en la
ecuación anterior, es decir:

P = 0,5[kg ]⋅ 3[m / s ]

m

⇒ P = 1,5kg ⋅  por lo tanto
s


m

⇒ P = 1,5 kg ⋅
ĵ
s 


Solución (b):
24
En el punto mas alto, se tiene que la velocidad de la pelota es cero y como la
cantidad de movimiento se define como el producto entre la masa y la velocidad,
es que es cero, es decir:

P =0
en el punto mas alto
Solución (c):
La única fuerza que actúa en el movimiento corresponde a la fuerza de gravedad
(mg).
El tiempo que actúa el impulso se determina aplicando la segunda ley de
Newton, es decir:
∑F = m⋅a
pero a =
v − v0
t
− v0
⇒ −m ⋅ g = m ⋅
t
v
⇒ −m ⋅ g = −m ⋅ 0
t
v
⇒g = 0
t
v
⇒t = 0
g
3[m / s ]
⇒t =
9,8 m / s 2
⇒ −m ⋅ g = m ⋅
[
v − v0
∆v
=
t
t
ademas v = 0
]
Es decir, el tiempo que actúa la fuerza es de:
t = 0,31s
25
3. Según el diagrama, una esfera de 20 lb., que se mueve con una velocidad de
10 pies/s hacia abajo, choca con otra esfera de 12 lb, que se mueve, tal como se
muestra en la figura, a una velocidad de 6 2 pie/s. El coeficiente de restitución
es e =0,80. Calcular las velocidades v1 y v2 después del choque.
y
m1 = 20lb

pie
v1 = 10
s
x
45º

pie
v1 = 6 2
s
m2 = 20lb
Solución:
Sean
m1 = 20[lb ]
m2 = 12[lb ]

v1 = −10 ˆj[ pies / s ]

v2 = 6 2 ∠450 = 6 2 cos 450 iˆ + 6 2 sen450 ˆj [pie/s]

⇒ v2 = 6iˆ + 6 ˆj [pies/s]
e = 0,80 = coeficiente de restitución
 
v1, y v2, Velocidades después del choque
El coeficiente de restitución de un choque se define por:


v2, − v1,
e= 

v1 − v2
26
La idea es determinar las velocidades después del choque, por lo tanto:
 
 
e(v1 − v 2 ) = v 2, − v1,
Reemplazando valores conocidos, resulta:
[
]


0,8 − 10 ˆj − (6iˆ + 6 ˆj ) = v2, − v1,


⇒ 0,8 − 10 ˆj − 6iˆ − 6 ˆj = v2, − v1,


⇒ 0,8 − 6iˆ − 16 ˆj = v2, − v1,



despejando v2,
⇒ −4,8iˆ − 12,8 ˆj = v2, − v1,


⇒ −4,8iˆ − 12,8 ˆj + v1, = v2,
[
[
]
]


⇒ v2, = −4,8iˆ − 12,8 ˆj + v1,
(1)
Por otro lado como no actúan fuerzas exteriores al sistema, se tiene que la
cantidad de movimiento lineal permanece constante, es decir, se cumple que:




m1v1 + m2 v2 = m1v1, + m2 v2,
Reemplazando los valores conocidos resulta:
[
]


− 20[lb]⋅10 ˆj[ pie / s ] + 12[lb]⋅ 6iˆ + 6 ˆj [ pie / s ] = 20[lb]⋅ v1, + 12[lb]⋅ v 2,


⇒ −200 ˆj[lb ⋅ pie / s ] + 72iˆ[lb ⋅ pie / s ] + 72 ˆj[lb ⋅ pie / s ] = 20[lb]⋅ v1, + 12[lb]⋅ v 2, reuniendo terminos semejantes


⇒ 72iˆ[lb ⋅ pie / s ] − 128 ˆj[lb ⋅ pie / s ] = 20[lb]⋅ v1, + 12[lb]⋅ v 2, simplificando (lb), se tiene


⇒ 72iˆ[ pie / s ] − 128 ˆj [ pie / s ] = 20 ⋅ v1, + 12 ⋅ v2,
(2)
Reemplazando la ecuación (1) en (2) se obtiene:
27
[


⇒ 72iˆ[ pie / s ] − 128 ˆj[ pie / s ] = 20 ⋅ v1, + 12 ⋅ 4,8iˆ[ pie / s ] − 12,8 ˆj[ pie / s ] + v1,
Desarrollando:



72iˆ[ pie / s ] − 128 ˆj[ pie / s ] = 20 ⋅ v1, + 12 ⋅ v1, − 57,6iˆ[ pie / s ] − 153,6 ˆj[ pie / s ] despejando v1,

⇒ 72iˆ[ pie / s ] − 128 ˆj[ pie / s ] + 57,6iˆ[ pie / s ] + 153,6 ˆj[ pie / s ] = 32 ⋅ v1,

⇒ 129,6iˆ[ pie / s ] + 25,6 ˆj[ pie / s ] = 32 ⋅ v1,
⇒
129,6iˆ[ pie / s ] + 25,6 ˆj[ pie / s ]  ,
= v1
32
finalmente

⇒ 4,05iˆ[ pie / s ] + 0,8 ˆj[ pie / s ] = v1,
Es decir la velocidad del cuerpo 1 después del choque es de:

⇒ v1, = 4,05iˆ[ pies / s ] + 0,8 ˆj [ pies / s ]
,
Reemplazando v1 en la ecuación (1), se obtiene el valor de

v2, , es decir:

v2, = −4,8iˆ[ pies / s ] − 12,8 ˆj [ pies / s ] + 4,05iˆ[ pies / s ] + 0,8 ˆj [ pies / s ]
Reuniendo los términos semejantes:

⇒ v2, = 0,75iˆ[ pies / s ] − 12 ˆj [ pies / s ]
28
]
6. Un proyectil de 5 g es disparado horizontalmente sobre un bloque de madera
de 3 kg, que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. El
coeficiente dinámico de rozamiento entre el bloque y la superficie de 0,20. el
proyectil permanece empotrado en el bloque y se observa que este se desliza 25
cm. sobre la superficie. ¿Cuál era la velocidad del proyectil?
Después del
choque
Antes del
choque

v,

v2 = 0

v1 = ?
m = 0,005kg
3 kg
3 kg
0,25 m
Solución:
Sean:
m1 = 5[g ] = 0,005[kg ]
v1 = ? velocidad inicial del proyectil
m2 = 3[kg ]
v , = Velocidad comun despues del choque, (debido a que los cuerpos quedan unidos)
En este caso se trata de un choque inelástico por lo tanto se cumple que:



m1v1 + m2 v2 = ( m1 + m2 )v ,
pero

⇒ m1v1 + 0 = ( m1 + m2 )


⇒ m1v1 = ( m1 + m2 )v , despejando

v2 = 0 luego

v1
29


( m1 + m2 )v ,
⇒ v1 =
m1
(1)
Como se conocen las masas de los cuerpos, sólo basta con conocer la velocidad

v1 justo después del choque.

La velocidad del choque v1 pasa a ser la velocidad inicial que adquiere el bloque
antes de detenerse nuevamente y utilizando la segunda ley de Newton
( ∑ F = ma ) se tiene que:
y
N
f = µ⋅N
x
mg


v 2 − v ,2
− f = m2 ⋅ a pero f = µ ⋅ N y a =
2d



v 2 − v ,2
pero N = m2 ⋅ g y v = 0
⇒ − µ ⋅ N = m2 ⋅
2d

v ,2
⇒ − µ ⋅ m2 ⋅ g = − m2 ⋅
simplificando por − m 2
2d
⇒µ⋅g =


v ,2
despejando v , 2
2d

⇒ µ ⋅ g ⋅ 2d = v , 2

⇒
µ ⋅ g ⋅ 2d = v , reemplazando valores
⇒
0,2 ⋅ 9,8 m / s
(
2
)

⋅ 2 ⋅ 0,25(m ) = v ,
30

m
Por lo tanto: v , = 0,9899
s
Reemplazando este valor en la ecuación (1) se obtiene la velocidad del proyectil
justo en el instante en que impacta al bloque, es decir:

( m1 + m 2 )v ,

v1 =
m1

Reemplazando valores numéricos resulta el valor de la velocidad v1 .

[0,005(kg ) + 3(kg )]⋅ 0,9899(m / s )
⇒ v1 =
0,005(kg )

2,975(kg ⋅ m / s )
⇒ v1 =
0,005(kg )
Dividiendo se llega a la velocidad que se anda buscando:

m
v1 = 595
s
7. Una pelota es lanzada contra una pared vertical, alcanzándola en un punto
situado a 1,20 m por encima del suelo, con una velocidad horizontal de 6m/s.
Después de rebotar en la pared, la pelota toca el suelo en un punto situado 2,4
m delante de la pared. (a) ¿Cuál es el coeficiente de restitución?, (b) si la pelota
pesa 250 g, ¿Qué energía perdió en el choque contra la pared?
31
y
Antes del choque

m
v1 = 6
s

g
h = 1,20m
x
y
Después del choque

g

m
v1 = 6
s
Rebote
h = 1,20m
x = 2,40m
x
Solución:
Cálculo de la constante de restitución, por definición, se tiene que:


v2, − v1,
e= 

v1 − v2
32
Siendo:

v1 = velocidad de la pelota antes del choque

v1, = velocidad de la pelota despues del choque

v2 = velocidad de la pared

v2, = velocidad de la pared despues del choque
Como la velocidad de la pared antes y después del choque es cero (cuerpo en
reposo), se tiene:
e=

− v1,

v1

,
m
La velocidad v1 = 6 hacia la derecha y la velocidad v1 se puede calcular
s
utilizando lanzamiento de proyectil, esto es:
Movimiento horizontal:
x = x0 + v0 cos θ ⋅ t
Movimiento vertical:
y = y 0 + v0 senθ ⋅ t −
Para las ecuaciones anteriores se tiene que
cos 0º = 1 y sen0º = 0
1
g ⋅t2
2
x0 =0,
y = 0 y θ = 0 , entonces
Entonces:
x = v0 ⋅ t (1)
0 = y0 −
1
g ⋅t2
2
33
La velocidad v0 corresponde a la velocidad de la pelota después del choque, y
por lo tanto es la velocidad que hay que determinar.
Despejando v0 de la ecuación (1), se obtiene:
x
t
v0 =
Donde x es el alcance horizontal x = 2,4 m y t es el tiempo empleado en
recorrer los 2,4 metros.
Utilizando la ecuación (2) es posible determinar dicho tiempo, es decir:
1
g ⋅t2
2
1
⇒ y0 =
g ⋅t2
2
⇒ 2 y0 = g ⋅ t 2
0 = y0 −
⇒
2 y0
= t2
g
⇒
2 y0
=t
g
⇒
2 ⋅1,2(m )
=t
9,8 m / s 2
(
)
Remplazando valores, se tiene el tiempo, después del choque, en que la pelota
demora en llegar al suelo, es decir:
⇒ t = 0,49487(s )
Conocido el tiempo podemos volver a la ecuación (1) para determinar la
velocidad v0 es decir:
v0 =
x
t
⇒ v0 =
− 2,4(m )
0,49487(s )
34
m
v0 = −4,85 iˆ
s
Como se indico anteriormente v0 = v1
,
Entonces se tiene que la velocidad de la pelota después del choque es:
m
,
v1 = −4,85 iˆ
s
Por lo tanto la constante de restitución finalmente es:

− v1,
e= 
v1
e=
− ( −4,85)[m / s ]
6[m / s ]
e = 0,81
Lo cual indica que es un choque intermedio
Cálculo de la energía perdida en el instante del choque:
Energía antes del choque:
1
m ⋅ v2
2
1
⇒ U antes = 0,25(kg ) ⋅ 6 2 m 2 / s 2
2
U antes =
(
)
⇒ U antes = 4,5( J )
Energía después del choque
1
m ⋅ v,2
2
1
⇒ U despues = 0,25(kg ) ⋅ 4,8497 2 m 2 / s 2
2
U despues =
(
)
35
⇒ U despues = 2,94( J )
Por lo tanto la energía que se pierde en el instante del choque corresponde a la
diferencia entre las energías antes y después del choque, es decir:
∆U = U antes − U despues
⇒ ∆U = (4,5 − 2,94 )[J ]
⇒ ∆U = 1,56[J ]
36
PROBLEMAS PROPUESTOS – SISTEMA DE PARTÍCULAS
1. Una masa de 2 kg está separada 30 cm de una masa de 1 kg. ¿En qué
posición, en centímetros, se encuentra el centro de masa?
y
m = 2kg
m = 1kg
x
30 cm
a)
b)
c)
d)
10
15
20
25
2. La posición en metros, del centro de masa del esquema indicado en la figura
es aproximadamente:
y
m = 5kg
4
m = 2kg
-3
-1
3
x
-2
m = 3kg
37
a)
b)
c)
d)
x = 0,6 ; y = 1,4
x = −0,6 ; y = 1,4
x = −1,4 ; y = 0,6
x = 0,6 ; y = −1,4
3. Una pelota de tenis de 100 g golpea una raqueta con una velocidad de 20 m/s
y rebota con igual rapidez. Si el tiempo de la interacción entre la pelota y la
raqueta es de 0,05 s, entonces la fuerza media, en Newton, que proporciona la
pelota sobre la raqueta es aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
76
80
92
98
4. Un auto se mueve con una velocidad de 60 m/s. Un camión de masa doble se
aproxima en sentido contrario. Si ambos vehículos quedan en reposo después
del choque, ¿Cuál es el valor de la velocidad en km/h, con que se estaba
moviendo el camión?
a)
b)
c)
d)
20
26
30
49
5. Dos esferas que pesan 161 lbf y112,7 lbf tienen velocidades de 10 pie/s y 18
pie/s, respectivamente. Viajan en direcciones opuestas cuando chocan.¿Cuál es
el valor de la velocidad en pie/s del cuerpo de 16 lbf después de la colisión,
suponiendo que las direcciones son las que se muestran en la figura? (Usar
pie
g = 32,2 2 )
s

pie
v1 0 = 10
s
Antes del choque
m1 = 161lbf

pie
v 2 0 = 18
s
m2 = 112,7lbf
Después del choque

v1 = ?

v2 = ?
38
a)
b)
c)
d)
13,06
16,32
16,98
17,25
6. Para el problema anterior, el valor de la velocidad en pie/s, del cuerpo de
112,7 lbf después del choque es aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
12,25
14,94
15,56
16,44
7. Un automóvil con una masa de 4 × 10 3 lb, colisiona con una pared de concreto
a una velocidad de 60 millas/h y se detiene en 0,2 segundos. La fuerza promedio
durante la colisión, en lbf es aproximadamente:
a) − 3,8 × 10 4
b) − 4,4 × 10 4
c) − 5,1 × 10 4
d) − 5,5 × 10 4
8. Un arma de fuego de 900g dispara una bala de 10g con una velocidad de 450
m/s. ¿Cuál es la velocidad de retroceso del arma, en m/s?
a)
b)
c)
d)
10
8
7
5
9. Un martillo pesa 50lb y se mueve con una velocidad de 30 pie/s. Golpea la
cabeza de un clavo y lo hace penetrar en un bloque de madera. Si el martillo se
detiene en 1,3 × 10 −3 segundos ¿Cuál es el impulso en lb ⋅ s que se produce?
a) − 46,9
b) 3,6 × 10 3
c) 52,2 × 10 3
d) 4,2 × 10 3
39
10. ¿Cuál es el valor en lb de la fuerza promedio que se produce en el impacto?
a) 2,2 × 10 3
b) 2,6 × 10 3
c) 3,2 × 10 3
d) 3,6 × 10 3
m
) y masa m = 1 u.a.m.(unidad atómica de masa)
s
choca contra un núcleo de helio de masa m = 4 u.m.a. que se mueve a la
m
velocidad de v 2 0 = 3,25 × 10 5
(ver figura). Si la velocidad del neutrón después
s
m
de chocar es de 5 × 10 5
y se mueve en la dirección indicada. ¿Cuál es la
s
velocidad en m/s del núcleo de helio después del choque?
11. Un neutrón ( v0 = 5 × 10 5
Helio
Helio
v H 0 = 3,25 × 10 5
Neutrón
v N 0 = 5 × 10 5
m
s
m
s
37º
θ
Neutrón
v H = 5 × 10 5
a)
b)
c)
d)
m
s
Helio
2,2 × 10 3
3,0 × 10 5
3,4 × 10 3
4,2 × 10 5
40
12. ¿Cuál es la dirección θ del núcleo de helio del ejercicio nº 10
a)
b)
c)
d)
24º
31º
36º
52º
13. Un cuerpo de 200 g es mueve con una velocidad de 12 cm/s sobre una
superficie lisa horizontal y cuando experimenta un choque perfectamente
elástico con otro cuerpo de masa desconocida, inicialmente en reposo. Después
del choque la velocidad del cuerpo de 200 g es 4 cm/s, en el mismo sentido que
su velocidad inicial. ¿Cuál es la masa desconocida, en gramos?
a)
b)
c)
d)
85
100
110
122
14. Cuál es la velocidad en cm/s, del cuerpo de masa desconocida del problema
anterior?
a)
b)
c)
d)
16
18
22
25
15. Un bloque A de masa 2 kg parte del reposo desde una altura de 5 metros
como indica la figura. Colisiona de una manera perfectamente inelástica con el
bloque B de igual masa y el conjunto comprime el resorte de constante 250 N/m.
¿Cuál es la velocidad del conjunto después del choque, en m/s? no hay
rozamiento en ninguna parte de la superficie.
A
2 kg
5m
Resorte
B
2 kg
41
a)
b)
c)
d)
3
5
6
7
16. ¿Cuál fue la distancia en metros, de compresión del resorte si no hay
rozamiento en ninguna parte de la superficie? (ejercicio anterior)
a)
b)
c)
d)
0,5
0,4
0,3
0,2
m
choca con un neutrón (considerar
s
m
masas iguales) a la velocidad de 5 × 10 6 en sentido opuesto para formar un
s
deuterón. ¿Cuál es la velocidad de éste en m/s?
17. Un protón con velocidad de 8 × 10 6
a)
b)
c)
d)
1,9 × 10 6
1,8 × 10 6
1,7 × 106
1,5 × 106
18. Una bala con velocidad de 500 m/s pasa a través de la esfera de 4 kg de un
péndulo de 5 m de longitud y sale con una velocidad de 100 m/s. ¿Cuál es la
masa en kg, de la bala si el péndulo oscila en un ángulo de 90º?
a)
b)
c)
d)
0,01
0,1
0,2
0,02
L = 5m
v = 500
m
s
m = 4kg
42
19. Una esfera de 10 kg de masa, con velocidad de 8 m/s, golpea una bola de de
5 kg de masa, en reposo. Después del choque la esfera se desvía 90º respecto
de su dirección inicial, mientras que la bola se mueve ahora en un ángulo de 37º
respecto de la dirección inicial de la esfera. ¿Cuál es la velocidad en m/s, de la
esfera y de la bola después del choque?
a)
b)
c)
d)
20 y 6
24 y 8
26 y 10
30 y 12
20. Un bloque A de 9 kg está ligado a dos resortes idénticos de longitud 3
metros y de constante elástica 21,25 N/m. El bloque está en reposo sobre una
mesa rugosa y los dos resortes están sujetos a la mesa en los puntos P y Q.
Una bala de 1 kg y con una velocidad de 50 m/s golpea el bloque A y se incrusta
en él. Si con el impacto, el conjunto se mueve hacia la derecha una distancia de
4 metros, entonces el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la mesa es:
Antes del choque
P
50
m
s
P
A
9kg
A
4m
Q
a)
b)
c)
d)
Q
0,6
0,5
0,3
0,1
43
21) Tres partículas de igual masa se encuentra como indica la figura, la
velocidad en m/s, del centro de masa es aproximadamente:
10
m
s
20
30 cm
m
s
37º
30 cm
30 cm
30

a) v x

b) v x

c) v x

d) v x
m
s

= 12,44 y v y = 5,44

= 15,33 y v y = 7,33

= 18,53 y v y = 8,53

= 20,66 y v y = 9,66
Soluciones:
Pregunta a b c d
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
Pregunta a b c d
8
x
9
x
10
x
11
x
12
x
13
x
14
x
Pregunta a b c d
15
x
16
x
17
x
18
x
19
x
20
x
21
x
44
BIBLIOGRAFÍA
- Paúl E. Tippens
- Física, Conceptos y Aplicaciones
Mc Gaw Hill, Quinta Edición, 1996
- Halliday – Resnick – Krane
- Física , Vol. 1
CECSA, 4ª Edición 1999
- Raymond A. Serway
- Física, Tomo I
Mc Gaw Hill, 4ª Edición 1999
- Sears – Zemansky - Young - Freedman
- Física Universitaria, Vol. 1
Ed. Pearson, 9ª Edición 1996
- Frederick Bueche
- Fundamentos de Física, Tomo I
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