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HIDRODINÁMICA
Roberto Laura (versión preliminar)
Caudal de una corriente.
Consideremos una corriente de agua, como la de un río, o la que corre por una cañería.
Se llama caudal Q de la corriente, al cociente entre el volumen ΔV de líquido que pasa
por una sección de área A, y el tiempo Δt que tarda en pasar:
ΔV
.
Q=
Δt
Si la velocidad con que se mueve el líquido es v, en Δt segundos recorrerá una distancia
v ⋅ Δt . El volumen de agua que ha pasado en Δt segundos ocupa el cuerpo cilíndrico de
base con área A, y altura v ⋅ Δt .
Resulta entonces:
ΔV A ⋅ v ⋅ Δt
Q=
=
= A⋅v
Δt
Δt
Relación entre la velocidad y la sección.
Si tapamos a medias la boca de una canilla, observamos que la velocidad de salida del
líquido aumenta, aunque la cantidad total de líquido que sale en un tiempo dado es
siempre la misma. Este ejemplo nos enseña que cuanto menor es la sección del
conducto, mayor es la velocidad del líquido. Pero ¿Qué relación hay entre sección y
velocidad?.
Consideremos el conducto de la figura, por el que corre un líquido. El conducto tiene un
primer tramo con una sección de área A1 , y después otro tramo con una sección de área
A2 . Supondremos que la velocidad del fluido es v1 en el primer tramo de área
transversal A1 , y v2 en el tramo de área transversal A2 .
1
En un tiempo Δt , la masa de líquido que atraviesa la sección de área A1 indicada en la
figura es
ρ1 ⋅ ΔV1 = ρ1 ⋅ A1 ⋅ v1 ⋅ Δt ,
donde ρ1 es la densidad del líquido que pasa por esa sección.
La masa de líquido, que en el mismo intervalo de tiempo Δt , atraviesa la sección de la
figura de área A2 , es
ρ 2 ⋅ ΔV2 = ρ 2 ⋅ A2 ⋅ v2 ⋅ Δt .
Si el líquido se encuentra en lo que se denomina estado estacionario, en que los
distintos puntos del mismo tiene propiedades independientes del tiempo, la masa que
pasa a través de A1 debe ser la misma que la que pasa por la sección A2 , y entonces
ρ1 ⋅ A1 ⋅ v1 ⋅ Δt = ρ 2 ⋅ A2 ⋅ v2 ⋅ Δt .
Además, teniendo en cuenta que deben aplicarse grandes fuerzas de compresión para
que se modifique solo muy poco la densidad de un líquido, es una buena aproximación
considerar que los líquidos son incompresibles, de modo que en todos sus puntos su
densidad ρ es la misma.
En consecuencia ρ1 ≅ ρ 2 , y la última ecuación implica
A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2 ,
o también
A1 v2
= .
A2 v1
Luego, las velocidades son inversamente proporcionales a las secciones (a mayor
sección menor velocidad, y a menor sección mayor velocidad). Esta importante relación
es válida para fluidos incompresibles en estado estacionario.
Indicaciones de un manómetro en una cañería.
En dos secciones distintas de una misma cañería horizontal se han colocado tubos
abiertos verticales de vidrio, como indica la figura. Estos tubos sirven como
manómetros de tubo abierto, ya que la altura del líquido en reposo será proporcional a la
presión manométrica en la cañería.
Si el líquido en la cañería no fluye, el nivel de líquido en ambos tubos verticales será el
mismo. Esto indica que las presiones en los puntos correspondientes del interior de la
cañería son las mismas. Este resultado es también una consecuencia del teorema general
de la hidrostática, que establece presiones iguales para puntos a la misma profundidad
de un fluido en reposo.
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Sin embargo, algo cambia cuando se abre la llave de paso y circula líquido por la
cañería. Ahora, en el tubo conectado a la sección mayor de la cañería la altura de líquido
es más grande que la altura de líquido en el tubo conectado a la sección menor.
Vemos entonces que en los líquidos en movimiento en una cañería no se cumple el
teorema general de la hidrostática.
El experimento muestra que la presión del líquido en movimiento es mayor donde la
velocidad es menor, y este resultado es compatible con las leyes de la dinámica. Si
imaginamos una pequeña porción de líquido viajando dentro de la cañería, sabemos que
su velocidad se debe incrementar al pasar de una zona de sección grande a otra zona de
sección pequeña. El movimiento de esta pequeña porción imaginada de fluido es
entonces acelerado, y por lo tanto tiene que haber una fuerza neta que sea responsable
de esa aceleración. La pequeña parte de líquido está sometida a presiones del resto del
líquido. Para que haya una fuerza neta en la dirección correcta la presión en la zona de
mayor sección debe ser más grande que la presión en la zona de sección menor.
La ley fundamental de la hidrodinámica: el teorema de Bernoulli.
Al analizar un líquido en reposo, encontramos que el teorema general de la hidrostática
nos daba una expresión para calcular la presión en función de la profundidad.
En el caso de un fluido en movimiento, esperamos una situación más complicada: la
r
presión es una función de la posición y también del tiempo. Si r = ( x, y, z ) designa la
posición de un punto cualquiera del fluido con sus coordenadas ortogonales, y t indica
un valor cualquiera del tiempo, tendremos que
r
p = p ( r , t ) = p ( x, y , z , t ) .
También será necesario describir de alguna forma el movimiento del fluido. Cada
r
r
pequeña porción del mismo, con vector posición r tiene una velocidad v diferente, que
además puede cambiar con el tiempo. Conviene entonces representar a las velocidades
en el fluido como un campo vectorial dependiente de la posición y del tiempo:
r r r
v = v ( r , t ) = ( v x ( x , y , z , t ), v y ( x , y , z , t ), v z ( x , y , z , t )) .
En forma general, la densidad de un fluido no es uniforme. Distintos puntos del mismo
están sometidos a diferentes presiones, y pueden tener distintas temperaturas. Además,
también podría suceder que el fluido no tenga una composición homogénea. Entonces,
debemos considerar a la densidad ρ como un campo escalar dependiente del tiempo
r
ρ = ρ ( r , t ) = ρ ( x, y , z , t ) .
No vamos a considerar el fluido en forma tan general. Vamos a ocuparnos del fluido en
el caso estacionario, en que los campos de presión, velocidad y densidad son
independientes del tiempo
r
p = p(r ) = p( x, y, z ),
r r r
v = v (r ) = (v x ( x, y, z ), v y ( x, y, z ), vz ( x, y, z )),
r
ρ = ρ (r ) = ρ ( x, y, z ).
También vamos a considerar que el fluido es un líquido homogeneo, es decir con la
misma composición en todos sus puntos. En general, los líquidos tienen una densidad
que es poco sensible a los cambios de presión o temperatura. Será una buena
aproximación en esos casos considerar que la densidad tiene un valor ρ 0 uniforme
r
ρ = ρ ( r ) = ρ ( x, y , z ) = ρ 0
El campo estacionario de velocidades puede representarse con flechas en cada punto del
espacio, que representen la dirección y sentido de la velocidad en cada punto, y en una
cierta escala el modulo de cada velocidad.
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Es costumbre también representar gráficamente el campo de velocidades mediante las
líneas de flujo, que son líneas que en cada uno de sus puntos resultan tangentes a la
velocidad. La separación entre las líneas de flujo es un indicador de la magnitud de la
velocidad: donde las líneas están más próximas la velocidad es mayor que en las zonas
donde las líneas están más separadas.
Ahora vamos a considerar una porción de líquido en movimiento, con la forma indicada
en la figura. Se trata de una especie de cilindro deformado, con sus generatrices
formadas por líneas de flujo, y sus tapas perpendiculares a las velocidades.
Sobre esta porción imaginada de fluido actúan las fuerzas que hace el resto del fluido y
la fuerza de atracción gravitatoria. Vamos a calcular el trabajo que estas fuerzas realizan
sobre el cilindro en un intervalo pequeño de tiempo Δt .
Designaremos con p1 a la presión que es ejercida sobre la tapa de área A1 , y con F1 . A
la fuerza correspondiente ( F1 = p1 ⋅ A1 ). Como la tapa se desplaza una distancia v1 ⋅ Δt ,
la fuerza realiza un trabajo
W1 = p1 ⋅ A1 ⋅ v1 ⋅ Δt .
Análogamente, si designamos con p2 a la `presión sobre la tapa de área A2 , el
correspondiente trabajo resulta
W2 = − p2 ⋅ A2 ⋅ v2 ⋅ Δt ,
donde el signo menos aparece porque la fuerza F2 es opuesta al desplazamiento de la
tapa de área A2 .
Para las presiones sobre la generatriz del cilindro, las correspondientes fuerzas son
perpendiculares a los desplazamientos, y el trabajo que realizan es cero. Sobre la
generatriz del cilindro puede además haber fuerzas que realizan trabajo. Estas son
fuerzas de rozamiento que aparecen entre distintas capas de fluido que se mueven a
velocidades diferentes. Los fluidos que presentan este tipo de fuerzas de rozamiento
interno se denominan fluidos viscosos. Nosotros analizaremos solo el caso de fluidos en
los que la viscosidad es muy pequeña, de modo que asumiremos que las fuerzas que
actúan sobre la generatriz no realizan trabajo.
El cilindro de líquido se mueve en el campo gravitatorio terrestre. Este campo realiza
entonces un trabajo, que podemos calcular como la variación de energía potencial
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cambiada de signo. Si miramos la figura, vemos que el movimiento del cilindro puede
verse como la “aparición” de un cilindro de base con área A2 y generatriz v2 ⋅ Δt ,
ubicado a una altura z2 , junto con la “desaparición” de un cilindro de base con área A1
y generatriz v1 ⋅ Δt , a una altura z1 . La variación de energía potencial resulta entonces
ΔE potencial = m2 ⋅ g ⋅ z2 − m1 ⋅ g ⋅ z1 ,
donde m2 y m1 son las masas de los pequeños cilindros que “aparecen” y
“desaparecen”, es decir que
m2 = ρ 2 ⋅ A2 ⋅ v2 ⋅ Δt ,
m1 = ρ1 ⋅ A1 ⋅ v1 ⋅ Δt .
En estas últimas expresiones, ρ1 y ρ 2 designan las densidades del fluido en las tapas
A1 y A2 .
El trabajo de las fuerzas de gravedad se puede entonces escribir de la siguiente forma:
Wgravitatorio = − ΔE potencial = m1 ⋅ g ⋅ z1 − m2 ⋅ g ⋅ z2 .
La variación de la porción de fluido analizado resulta
1
1
ΔEcinética = m2 (v2 ) 2 − m1 (v1 ) 2 .
2
2
El teorema de trabajo y energía dice que la variación de energía cinética es igual al
trabajo de todas las fuerzas aplicadas. Para el cilindro de fluido que estamos analizando
resulta
1
1
m2 (v2 ) 2 − m1 (v1 ) 2 = Wgravitatorio + W2 + W1 .
2
2
Si es válida la aproximación de fluido incompresible, entonces ρ1 = ρ 2 = ρliquido , y
además A2 ⋅ v2 = A1 ⋅ v1 , de modo que la ecuación de trabajo y energía resulta
1
1
⋅ ρlíquido ⋅ (v2 ) 2 − ⋅ ρlíquido ⋅ (v1 ) 2 = ρlíquido ⋅ g ⋅ z1 − ρlíquido ⋅ g ⋅ z2 − p2 + p1 .
2
2
Reordenando los términos de esta última ecuación se obtiene
1
1
⋅ ρlíquido ⋅ (v2 ) 2 + p2 + ρlíquido ⋅ g ⋅ z2 = ⋅ ρlíquido ⋅ (v1 ) 2 + p1 + ρlíquido ⋅ g ⋅ z1 .
2
2
Vemos que en el miembro izquierdo y en el miembro derecho de la ecuación anterior
está la misma expresión, calculada en un caso en un punto de la tapa A2 y en el otro en
un punto de la tapa A1 , del cilindro imaginario que hemos considerado. Estos puntos
pueden considerarse sobre la misma línea de flujo, y por lo demás pueden elegirse
arbitrariamente dentro del fluido.
Hemos demostrado entonces el llamado teorema de Bernoulli, que establece que la
expresión
1
⋅ ρlíquido ⋅ v 2 + p + ρlíquido ⋅ g ⋅ z
2
toma el mismo valor para todos los puntos de una misma línea de flujo.
El teorema de Bernoulli es aplicable solo en los casos en que es una buena
aproximación considerar al fluido como incompresible y no viscoso.
Viscosidad.
En la deducción anterior, hemos considerado el caso en que no son importantes las
fuerzas internas de rozamiento en el fluido. Recordemos que en la deducción de la
ecuación de Bernoulli, hicimos la suposición de que no había fuerzas tangenciales de
roce en la superficie lateral del cilindro de fluido que usamos en la demostración.
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Cuando un fluido se mueve de modo que hay capas del mismo a distintas velocidades,
aparecen fuerzas tangenciales a las líneas de flujo, que tienden a hacer uniforme el
movimiento. Cuando una capa de fluido tiene más velocidad que otra capa adyacente, la
capa más rápida recibe de la más lenta una fuerza que trata de disminuirle la velocidad,
y la fuerza de reacción que la capa más lenta recibe de la más rápida trata de hacerle
aumentar la velocidad.
Cuando un líquido se mueve por un tubo, el rozamiento de las diversas capas líquidas
entre sí y con las paredes del tubo, determina que no todos los puntos del líquido se
muevan con la misma velocidad. Esta característica de los líquidos se denomina
viscosidad. El efecto de la viscosidad en el agua es muy pequeño, mientras que la miel,
de elevada viscosidad, el efecto es importante. La viscosidad de un líquido depende de
varios factores, pero el que más influye es la temperatura. Es muy común calentar los
frascos de miel para que esta fluya con más rapidez.
En la figura hemos tratado de representar las velocidades de las distintas capas de
líquido en un canal horizontal. Hemos supuesto que el canal es muy ancho, de modo
que las paredes del mismo no ejercen influencia sobre el movimiento de la porción de
líquido representada, ubicada en la parte central del canal. La velocidad del líquido es
mayor en la superficie de contacto con el aire, y cada vez menor a medida que aumenta
la profundidad. En particular, la velocidad del líquido que está en contacto con el fondo
del canal es cero.
La fuerza de rozamiento dF que las capas superiores de líquido hacen sobre el líquido
que está debajo del elemento horizontal de superficie representado en la figura, de área
dA , será en general mayor cuanto más grande sea la variación de velocidad en la
dirección vertical z (notemos que cuando no haya variación de velocidad en sentido
vertical no hay deslizamiento entre las capas de fluido, y la fuerza debiera anularse).
En el denominado fluido newtoniano, la fuerza horizontal dF sobre el elemento de área
dA depende linealmente del gradiente vertical de velocidad
dv
dF = μ dA .
dz
El coeficiente μ se denomina coeficiente de viscosidad, o viscosidad, y es una
propiedad del líquido
Vamos ahora a analizar el comportamiento de un fluido viscoso que corre por un tubo
de radio R. Nos interesa en particular conocer la distribución de velocidades, que será
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una función de la distancia r al eje del tubo. Esta velocidad será máxima en el eje del
tubo ( r = 0 ), y cero para el líquido en contacto con la pared del tubo ( r = R ).
Esperamos una distribución de velocidades v = v(r ) como la que se representa en la
figura siguiente
Consideremos la porción de líquido que se representa en la figura siguiente, contenida
en un cilindro imaginario de radio r y largo L, cuyo eje coincide con el eje del caño.
En el extremo izquierdo del cilindro suponemos una presión p1 ,r de modo que habrá
una fuerza de modulo
r
| F1 |= p1 ⋅ π ⋅ r 2 .
Denominaremos con p2 a la presión en el extremo derecho del cilindro, de modo que la
correspondiente fuerza es
r
| F2 |= p2 ⋅ π ⋅ r 2 .
Sobre la superficie lateral del cilindro hay una fuerza de roce viscoso, que se opone al
movimiento, cuyo valor es
r
dv
dv
| Fvisc |= μ ⋅
⋅ 2π ⋅ r ⋅ L = − μ ⋅ ⋅ 2π ⋅ r ⋅ L
dr
dr
(el signo negativo aparece porque sabemos que dv / dr < 0 ).
En la condición estacionaria, las velocidades de todas las partes del fluido dentro del
cilindro imaginario son constantes, de modo que la suma de fuerzas debe anularse.
Tendremos entonces
r
r
r
| F1 |=| F2 | + | Fvisc | ,
de donde obtenemos que
dv
Δp
=−
⋅ r,
Δp ≡ p1 − p2 ,
dr
2⋅μ ⋅ L
donde Δp .es la caída de presión en el tramo de la cañería de longitud L. Esta ecuación
puede integrarse para obtener la velocidad v en función de r
Δp
v(r ) = −
⋅ r2 + C .
4⋅μ ⋅ L
La constante de integración C puede ajustarse de modo que la velocidad del líquido en
contacto con las paredes del caño sea cero ( v(r = R ) = 0 ). Se obtiene entonces
7
Δp
⋅ (R2 − r 2 ) .
4⋅μ ⋅ L
En una sección transversal A de la cañería, la velocidad no es uniforme, y entonces el
caudal se debe calcular como una integral
Q = ∫ v dA
v(r ) =
A
Aprovecharemos la simetría cilíndrica de la distribución de velocidades, y
consideraremos pequeños elementos de área en forma de anillos concéntricos de radio r
y espesor dr.
Entonces el caudal resulta
r=R
r=R
π ⋅ R4
Δp ⋅ 2π
2
2
(
)
Q = ∫ v(r ) ⋅ 2πr ⋅ dr =
R
−
r
r
⋅
dr
=
⋅ Δp
4 ⋅ μ ⋅ L r ∫= 0
8⋅ μ ⋅ L
r =0
Este resultado muestra que es necesario sostener una diferencia de presión Δp entre los
extremos del caño horizontal de longitud L, para que exista un caudal de líquido.
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