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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
0401) Sistemas de Partículas
Centro de Masa de un Sistema de Dos Partículas
Hasta la fecha se ha analizado el movimiento de los
objetos modelándolos como partículas (con masa, pero
sin tamaño). Por ello, solamente se ha analizado la
traslación de las partículas de un punto a otro.
En la vida real, los objetos tienen tamaño, por lo que el
análisis del movimiento de sus distintos puntos se hace
más complejo. En la figura 1, se observa que un
malabarista le arroja una clava a otro. Se observa que,
aún cuando la clava gira de diversas formas, existe un
cierto punto de ésta que se mueve de la misma manera
que se movería una partícula sola sometida a las mismas
fuerzas externas. Ese punto se denomina centro de
masa del cuerpo. El movimiento del centro de masa se
denomina también movimiento de traslación del cuerpo.
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Tierra que su centro de masa.
Sea un sistema de dos partículas m1 y m2 que están, respectivamente, a distancias x1 y x2 del origen
O (ver figura 2). Se define el centro de masa del sistema como el punto C que está ubicado a una
distancia xcm del origen O, siendo xcm definido por:
x cm =
Figura 1) Movimiento de una clava
lanzada por un malabarista.
En general, un cuerpo con tamaño puede moverse simultáneamente en
• Traslación (el cuerpo se traslada de una posición a otra)
• Rotación (cuerpo vibrando, girando sobre sí mismo o de diversas formas)
Un cuerpo se mueve en traslación pura cuando cada punto de éste experimenta los mismos
desplazamientos que cualquier otro punto (incluyendo el centro de masa) a medida que transcurre el
tiempo. Un cuerpo se mueve en rotación pura cuando el centro de masa está en reposo y los
demás puntos del cuerpo se mueven en torno a él. Cualquier situación de traslación y rotación
combinadas se puede descomponer en una rotación pura y una traslación pura.
El concepto de centro de masa está íntimamente relacionado con el de centro de gravedad, el cual
será definido posteriormente. Para casi todos los objetos “de la vida diaria” que estén sobre la
superficie terrestre o en sus cercanías (zona donde la magnitud de la aceleración de gravedad se
considera constante), el centro de masa coincide con el centro de gravedad. En las situaciones
siguientes no existe tal coincidencia:
• Un objeto que se encuentra
en el espacio exterior entre
dos estrellas, de tal forma
que la fuerza gravitacional
total sea cero tiene centro de
masa, pero no tiene centro
de gravedad.
• Un objeto suficientemente
grande para que la gravedad
varíe de una parte a otra. Por
ejemplo, el centro de
gravedad de la Luna está
Figura 2) Centro de masa de un sistema de dos
ligeramente más cerca de la
partículas
m1x1 + m2 x 2
m1 + m2
Definiendo M = m1 + m2 como la masa total del sistema, se puede expresar la posición del centro de
masa como un promedio ponderado, donde el “peso” o factor de ponderación de cada partícula es la
fracción de la masa total que tiene cada una.
xcm =
m1x1 + m2 x 2 m1
m
= x1 + 2 x 2
M
M
M
La posición del centro de masa es independiente del marco de referencia que se use para
localizarlo. El centro de masa de un sistema de partículas depende solamente de las masas de las
partículas y de las posiciones de unas partículas con respecto a las otras.
Centro de Masa de un Sistema de Tres Partículas
Sea un sistema de tres partículas que (en general)
no están en línea recta, de masas m1, m2 y m3, y
que están ubicados, respectivamente, en las
coordenadas (x1,y1), (x2,y2) y (x3,y3) con respecto del
origen O (ver figura 3).
Se define el centro de masa del sistema como el
punto C que está ubicado en las coordenadas
(xcm,ycm) respecto del origen O, siendo xcm e ycm
definidos por:
m1x1 + m2 x 2 + m3 x 3
m1 + m2 + m3
m1y 1 + m2 y 2 + m3 y 3
=
m1 + m2 + m3
x cm =
y cm
Figura 3) Centro de masa de un sistema
de tres partículas
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Centro de Masa de un Sistema de N Partículas en el Plano
Sea un sistema de N partículas pertenecientes al mismo plano, de masas m1, m2,....., mN, y que
están ubicados, respectivamente, en las coordenadas (x1,y1), (x2,y2),......,(xN,yN) con respecto del
origen O. Se define el centro de masa del sistema como el punto C que está ubicado en las
coordenadas (xcm,ycm) respecto del origen O, siendo xcm e ycm definidos por:
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
1 N
1 N
1 N
rcm = ∑ mn x n iˆ + ∑ m n y n jˆ + ∑ mn zn kˆ
M n =1
M n =1
M n =1
N
1N
1

=  ∑ mn x n iˆ + y n ˆj + z n kˆ  = ∑ mn rn
M  n =1
 M n =1
(
)
Centro de Masa de una Distribución Continua de Masa
N
x cm =
m1x1 + m2 x2 + + mN x N
=
m1 + m2 + + mN
∑m x
n n
n =1
N
∑m
=
1 N
∑ mn x n
M n =1
=
1 N
∑ mn y n
M n=1
n
n =1
N
y cm =
m1y 1 + m2 y 2 + + mN y N
=
m1 + m2 + + mN
∑m y
n n
n =1
N
∑ mn
Un cuerpo rígido (distribución continua
de masa) se puede considerar como un
sistema de partículas de infinitesimales
de masa ∆mn muy próximas unas a
otras.
Los puntos xcm, ycm y zcm estarán dados
por
Figura 4) Centro de masa de cuerpos rígidos
n =1
Centro de Masa de un Sistema de N Partículas en el Espacio
y cm
Sea un sistema de N partículas distribuidas en el espacio tridimensional, de masas m1, m2,....., mN, y
que están ubicados, respectivamente, en las coordenadas (x1,y1,z1), (x2,y2,z2),......,(xN,yN,zN) con
respecto del origen O. Se define el centro de masa del sistema como el punto C que está ubicado en
las coordenadas (xcm,ycm,zcm) respecto del origen O, siendo xcm, ycm y zcm definidos por:
1 N
∑ mn x n
M n=1
1 N
y cm = ∑ mn y n
M n =1
1 N
zcm = ∑ mn zn
M n =1
Si se define el vector posición de cada partícula como
x cm =
rn = x n iˆ + y n ˆj + zn kˆ
Y el vector posición del centro de masa como
rcm = x cm iˆ + y cm ˆj + zcm kˆ
Entonces
1 N
∑ ∆mn x n
M n =1
1 N
= ∑ ∆mn y n
M n =1
1 N
= ∑ ∆m n zn
M n =1
x cm =
zcm
A medida que N tiende a infinito, los ∆mn tienden a cero, así que:
1 N
1
∑ ∆mn xn = M ∫ x ⋅ dm
M n =1
1 N
1
y cm = lim ∑ ∆mn y n = ∫ y ⋅ dm
N →∞ M
M
n =1
1 N
1
zcm = lim ∑ ∆mn z n = ∫ z ⋅ dm
N →∞ M
M
n =1
xcm = lim
N →∞
¡Obviamente, para calcular el centro de masa de un cuerpo rígido hay que saber integrar!
Movimiento del Centro de Masa
Consideremos el movimiento de un sistema de N partículas cuyas masas son m1, m2,....., mN, y cuya
masa total es M. Supondremos que no entra ni sale masa al sistema, por lo que M permanece
constante.
De la definición de centro de masa, se tiene que
M ⋅ rcm = m1r1 + m2 r2 + + mN rN
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Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo
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masa de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada
en el centro de masa y todas las fuerzas externas se aplicaran en ese punto.
M⋅
drcm
dr
dr
dr
= m1 1 + m2 2 + + mN N
dt
dt
dt
dt
Es decir
M ⋅ v cm = m1v 1 + m2v 2 + + mN v N
Donde v cm es la velocidad del centro de masa y v n es la velocidad de la n-ésima partícula del
sistema
Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo
M⋅
dv cm
dv
dv
dv
= m1 1 + m2 2 + + mN N
dt
dt
dt
dt
Es decir
M ⋅ acm = m1a1 + m2a2 + + m N aN = F1 + F2 + + FN
Donde acm es la aceleración del
centro de masa, an es la aceleración
de la n-ésima partícula del sistema y
Fn es la fuerza neta aplicada sobre la
n-ésima partícula.
Figura 5) Fuerzas sobre un sistema de partículas
Entre todas esas fuerzas existen
algunas fuerzas internas ejercidas por unas partículas sobre las otras. Por el Principio de Acción y
Reacción, estas fuerzas internas ocurrirán en parejas iguales y opuestas, por lo que su efecto en el
sistema total será nulo, como se muestra en la figura 5. En consecuencia, la suma de fuerzas
representa exclusivamente a la suma de fuerzas externas que obran sobre todas las partículas.
El producto de la masa total del sistema por la aceleración acm de su centro de masa es igual a la
suma vectorial de todas las fuerzas
que obran sobre el grupo de
partículas
M ⋅ acm = Fext
Este resultado se conoce como el 2º
Principio de Newton para un
sistema de partículas. Tal como se
aprecia en la figura 6, El centro de
Figura 6) Movimiento del centro de masa de un cuerpo