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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TACHIRA
UNIDAD DE ADMISION
CURSO PROPEDEUTICO 2004-1
ASIGNATURA FISICA
(Dinámica – Parte III)
Prof. Juan Retamal G.
e-mail [email protected]
San Cristóbal, Abril 2004
SEPTIMA SEMANA
Cantidad de Movimiento lineal e Impulso
Centro de masa
Posición, Velocidad y Aceleración del centro de masa
Conservación de la cantidad de movimiento lineal.
Cantidad de Movimiento Lineal
Así como se hace referencia a una cierta cantidad de lápices, cantidad de agua, cantidad
de personas y en general cantidad de objetos, también se puede hablar de cantidad de
movimiento que poseen los objetos.
Cuando observamos una avenida en un día festivo, es intuitivo observar que existe
menos cantidad de movimiento en sus calzadas y aceras, que si observamos la misma
avenida en un día normal de trabajo.
De esta manera intuitiva también podemos darnos cuenta que es más fácil detener el
movimiento de un carro pequeño que el de un vehículo grande cuando se mueven por la
calle a la misma velocidad, o cuando dos vehículo iguales se mueven a distintas
velocidades, se puede intuir que será más fácil detener al que se mueve mas lento.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL O MOMENTUM LINEAL
A partir de estas observaciones se puede inferir que la cantidad de movimiento de los
objetos es proporcional a la velocidad de ellos y a su masa.
Definición: Se entiende por cantidad de movimiento lineal o momentum lineal de una
partícula al producto escalar de la velocidad lineal por la masa de la partícula,
matemáticamente se expresa por:


p  mv
ec. 1

donde v es la velocidad y m es la masa de la partícula, considerada constante a lo largo
de este curso.
Nota: la cantidad de movimiento es un vector paralelo al vector velocidad.
Sí la partícula se está moviendo en el espacio la cantidad de movimiento tendrá
componentes px, py, pz siendo estas:

p x  mvx iˆ

p y  mvy ˆj

p z  mvz kˆ


p  ( px , p y , pz )
MOMENTUM LINEAL – IMPULSO
Si se piensa en la segunda ley de movimiento se puede esperar que para cambiar la
cantidad de movimiento de un objeto, es necesario que algún agente externo interactúe
con el objeto, ya que sería la única forma de acelerar al objeto y así cambiar su estado de
movimiento.
Sí la fuerza neta que actúa sobre el objeto es constante, la segunda ley de movimiento se
puede expresar como:


v
F m
t
ec. 2
Expresión que justifica matemáticamente la discusión anterior.
Sí la ec. 2 se escribe como:
izquierdo, de tal manera que:


F t  mv
 
I  F t
permite definir el impulso a partir del lado
ec. 3
y el lado derecho de la expresión se puede escribir como:
la ec. 3 queda dada por:


I  p
ec. 4


mv  p de tal manera que
MOMENTUM LINEAL – SEGUNDA LEY DE NEWTON
Finalmente combinando las ec. 2 y 4, la segunda ley de movimiento queda:
 p
F
t
ec. 5
Esta expresión indica que cualquier cambio en la cantidad de movimiento lineal de un
cuerpo es debida a una fuerza, que obviamente debe ser realizada por un objeto externo
al cuerpo.
Observación: Si la fuerza externa sobre el objeto es nula, la cantidad de movimiento
inicial es igual a la cantidad de movimiento final. Esta observación es la definición de
sistema cerrado.
CONSERVACION DEL MOMENTUM LINEAL
Considere un sistema formado por dos partículas que pueden interactuar entre sí, pero
que no lo pueden hacer con su medio ambiente, es decir un sistema cerrado de dos
partículas.
En tales condiciones las únicas fuerzas que se
pueden dar son de tipo interno, como se
muestra en la figura 1.
El par de fuerzas F12 y F21 son un par de acción
y reacción, ya que son ejercidas entre las
partículas y respecto del sistema son fuerzas
internas del mismo sistema.



F12  F21  0
Esto indica que cualquier acción de la partícula 1
sobre la partícula 2, es contrarestada por la
partícula 2 sobre la partícula 1.
m2


p2  m2v2
figura 1

F21


p1  m1v1

F12
m1
CONSERVACION DEL MOMENTUM LINEAL
Por otra parte se puede la expresar que la cantidad de movimiento total del sistema (Ps),
será la suma de las cantidades de movimiento de cada partícula, por lo que:
  
PS  p1  p2
aplicando la ec. 5 al sistema se obtiene:

 P 
F  S 0
t

 
PS  0
ec. 6a
Finalmente se puede llegar a la conclusión que si las fuerzas son internas cualquier cambio
en la cantidad de movimiento de las partículas, será también interno, por lo que la
Cantidad de Movimiento Total del Sistema permanecerá CONSTANTE.
Es decir la cantidad de movimiento total de un sistema aislado, e siempre igual a la
cantidad de movimiento inicial del sistema. Este enunciado se conoce como el Teorema
de Conservación del Momentum Lineal.
Matemáticamente se puede expresar como:




p1i  p2i  pif  p2 f
ec. 6b
APLICACIONES DE LA CONSERVACION DEL MOMENTUM LINEAL
Un ejemplo de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema, es un rebote
de dos objetos elásticos cuando choca uno contra el otro, figura 2.
Antes del rebote los carros tienen
cantidades de movimiento:



p1i  p2i  P
Figura 2.
Después del rebote los carros tienen
cantidades de movimiento:



p1 f  p2 f  P
Otro ejemplo de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema, es una
explosión, en dos objetos que salen moviéndose en sentidos contrarios, figura 3.
Antes de la explosión los carros no
tienen cantidad de movimiento:



p1i  p2i  0
Figura 3.
Después de la explosión los carros
tienen cantidades de movimiento

iguales y 
opuestas

p1 f  p2 f  0
CHOQUES O COLISIONES
Una de las aplicaciones más importantes de la cantidad de movimiento es el tema de los
choques. Cuando colisionan dos o mas objetos estos lo pueden hacer de tres maneras
claramente distinguibles entre sí, ellas son: los choques inelásticos, los choques
perfectamente inelásticos y los choques elásticos.
Para el estudio de estas colisiones se considerará que el objeto 1 tiene masa m1 y
cantidad de movimiento p1i; y el objeto 2 tiene masa m2 y cantidad de movimiento p2i
Choques perfectamente inelásticos: se identifican porque después de la colisión los
objetos quedan unidos y moviéndose con la misma velocidad.
m1v1i  m2v2i  (m1 m2 )v
Figura 4
En estos choques se conserva la cantidad de movimiento pero no la energía cinética,
puesto que parte de ella se ha transformado en la deformación permanente de los
cuerpos.
CHOQUES O COLISIONES
Choques inelásticos: se identifican porque después de la colisión los objetos quedan
moviéndose con velocidades diferentes a la que tenían inicialmente.
m1v1i  m2 v2i m1 v1 f  m2 v2 f
ec. 6
(v1i  v2i )e  (v1 f  v2 f )
ec. 7
Donde e es el coeficiente de choque y
Figura 5
0  e 1
Choques elásticos: se identifican porque las velocidades relativas de los cuerpos antes
del choque son igual a la velocidad relativa negativa después del choque.
m1v1i  m2 v2i m1 v1 f  m2 v2 f
v1i  v2i  (v1 f  v2 f )
Figura 6
Observación: en los choques elásticos se conserva la energía cinética del sistema
CENTRO DE MASA
En este apartado se estudiará el movimiento global de un sistema de partículas, para ello
se definirá lo que se conoce como Centro de Masa del Sistema.
Definición: En todo cuerpo rígido o sistema de partículas existe un punto que se mueve
como si toda la masa estuviera concentrada en él, a este punto se le llama Centro de
Masa (CM) del cuerpo rígido o del sistema de partículas.
Si sobre el sistema de partículas de masa total M actúa una fuerza neta externa F, el CM
estará sometido a una aceleración a dada por la segunda ley de Newton.
Al considerar un conjunto formado por dos
partículas de masas m1 y m2 diferentes el
centro de masa de ellas, será un punto
situado sobre la recta que las une, estando
más cerca de la partícula de mayor masa.
(figura 7).
De esta manera la posición del centro de
masa xCM se puede considerar como la
posición promedio ponderada de las masas,
es decir:
Y
m2
m1
x1
xCM 
m1 x1  m2 x2
m1  m2
xCM
ec. 8a
x2
X
CENTRO DE MASA
Sí el movimiento del sistema de partículas
 se realiza en el espacio, la posición del centro
de masa estará descrita por un vector rCM  ( xCM , yCM , zCM ) , donde:



m1r1  m2 r2
rCM 
m1  m2


P  Mvc
Similarmente, la
 velocidad del CM estará descrita
por un vector vCM  (v xc , v yc , v zc ) , donde:

vCM


m1v1  m2 v2

m1  m2


p2  m2v2
ec. 8b
m2


p1  m1v1
CM
ec. 9
Nótese que el numerador de la ec. 9. es la suma
de las cantidades de movimiento de las dos
partículas que forman el sistema; y el
denominador es la masa total del sistema. Por lo
que esta expresión se puede escribir como:
m1

vCM

P

M


 MvCM  P
ec. 10
CENTRO DE MASA

Finalmente, la aceleración del CM estará descrita por un vector aCM  (a xc , a yc , a zc )
donde:



m1a1  m2 a2
aCM 
m1  m2
ec. 11
Nótese que el numerador de la ec. 11. es la suma de las fuerzas externas que actúan
sobre el sistema; y el denominador es la masa total del sistema. Por lo que esta expresión
se puede escribir como:

aCM

F
 ext
M


 MaCM  Fext
ec. 10
la ec. 10 es la Segunda Ley de Newton para un sistema de partículas
Nota: sí la fuerza externa es nula, la cantidad de movimiento del sistema se conserva.
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