Download Control´Optimo de Temperatura en un Invernadero de Jitomate

Control Óptimo de Temperatura en un Invernadero de Jitomate
∗
Iván Noé PÉREZ RAMÍREZ∗a 1
José E. Moisés GUTIÉRREZ ARIAS∗b
J. Eladio FLORES MENA∗c
Ma. Montserrat MORÍN CASTILLO∗d
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, 14 Sur Avenida San Claudio, Ciudad Universitaria, C.P. 72570,
Tel. (222) 229-55-00 ext. 7405. Puebla, Pue., México
†
‡
Irineo L. LÓPEZ CRUZ†e
Universidad Autónoma Chapingo, 56235 Texcoco de Mora, Estado de México, México
Rocı́o ALBA FLORES‡f
Georgia Southern University, 1332 Southern Dr, Statesboro, 30458. Tel. (912) 478-5103. Georgia, U.S.A.
RESUMEN
El presente trabajo considera el modelo matemático
que incluye los parámetros principales que simulan el
crecimiento y desarrollo del jitomate. El propósito de
aplicar la teorı́a del control óptimo tiene como objetivo el mejoramiento del desempeño y la calidad del
cultivo, controlando la temperatura y optimizando el
consumo de combustible, logrando ası́ un incremento
en el margen de ganancias del productor.
Primero se establece el problema general y después, a
partir del principio del máximo, se crea un programa
de cómputo capaz de resolver dicho problema general
de una manera numérica. Además del modelo matemático del sistema, se requiere de la especificación
de las restricciones fı́sicas, ası́ como de la definición de
un funcional de desempeño. Obteniendo con esto una
forma para el control que resuelve el problema general.
Palabras Claves: Control óptimo; Temperatura; Modelo matemático del jitomate; Principio del máximo;
Funcional de desempeño.
1.
INTRODUCCIÓN
Un invernadero es una instalación empleada para cultivar plantas en la que se pueden obtener condiciones
climáticas distintas a aquellas en el exterior y favorecer
el crecimiento de las plantas. Su propósito principal es
proteger el proceso de desarrollo de las semillas y los
cultivos de las especies más vulnerables.
Básicamente, atrapa parte de la radiación solar que
calienta el ambiente al interior y previene que la temperatura descienda de manera abrupta. La presencia
de cristales u otro tipo de aislamiento desvı́a el movimiento del calor acumulado hacia el exterior mediante
convección y obstruye la fuga de radiación infrarroja.
El planteamiento del problema referente a la obtención de un control óptimo no admite fácilmente una
solución analı́tica, dada la complejidad y no linealidad
de los modelos normalmente empleados.
Sin embargo, utilizando algunas simplificaciones, el
problema general puede reformularse y ası́ obtener
soluciones analı́ticas que resulten en un problema de
control subóptimo.
Esta aproximación ha sido aplicada por Seginer et. al.
(1998), Ioslovich et al. (1996), entre otros. Métodos
numéricos para resolver el problema general ó para la
solución de subproblemas se han puesto en práctica
en la mayorı́a de los casos.
A pesar de los resultados obtenidos en control óptimo
de clima de invernaderos, algunos de los retos que
aún esperan ser resueltos son: el desarrollo de modelos adecuados de cultivo, el desarrollo de modelos
de clima de invernadero, la solución al problema de
optimización dinámico multivariacional, la solución al
control óptimo de lazo cerrado y su implementación en
tiempo real, ası́ como una solución al control óptimo
multimodal.
Uno de los principales objetivos de este trabajo es contribuir a la solución de algunos de estos retos mencionados, particularmente al problema de control óptimo
de lazo cerrado y su implementación en tiempo real.
El cultivo del jitomate fue elegido debido a su importancia comercialmente hablando. Actualmente el uso
de invernaderos para la producción de cultivos se da
principalmente debido a la gran ventaja que estos ofrecen, proveyendo la posibilidad de producir distintos tipos de cultivos a lo largo del año sin tomar en cuenta
las condiciones climáticas de la región.
Otro factor a favor del uso de este tipo de estructuras
es lograr una mayor producción del cultivo por metro
cuadrado. Esto es de gran importancia para el
1 a)[email protected]; b)[email protected]; c )[email protected]; d)[email protected];
e)[email protected]; f)[email protected]
agrónomo, ya que un mayor volumen de producción
se traduce en mayores ganancias. Si a esto se suma
la posibilidad de colocar el producto en el mercado
durante todo el año, se puede asumir que el uso de
invernaderos es una buena inversión. Teniendo el control sobre la temperatura del invernadero, se puede
obtener una ventaja extra sobre la producción anual
del cultivo. Además, logrando un control óptimo se
busca maximizar la capacidad de producción de frutos
en la planta al tiempo que se minimiza el gasto de
combustible en el sistema de calefacción.
Se parte del modelo matemático del cultivo, teniendo en cuenta variables tales como el peso seco de la
planta, la radiación solar, disponibilidad de nutrientes, concentración de CO2 , ventilación etc.
A continuación, se propone un funcional de desempeño y empleando el cálculo variacional se halla una
expresión para el sistema de ecuaciones adjunto y una
función para el Hamiltoniano, a partir de lo cual se
obtendrá una expresión de control óptimo, alcanzando ası́ el objetivo de maximización de la producción
y obtención de una forma para el control. Para esta
finalidad se utilizará la programación en Matlab.
2.
ECUACIONES DINÁMICAS DEL
CULTIVO
Este modelo describe el desarrollo de la biomasa de
hojas y frutos a partir del brote de frutos. Tiene tres
estados principales: biomasa no estructural (nutrientes WB ), biomasa de las hojas (WL ) y biomasa del
fruto (WF ), como se muestra en la figura 1. Una cuarta ecuación que describe el estado de desarrollo de la
planta se introduce para completar el modelo.
Nutrientes
Denotando al total de nutrientes en las hojas como
WB , expresado como peso seco por unidad de área, se
tiene la Ec. (1) de balance:
(1 + θV ) dem
dWB
=P − h{·}
GL + (1 + θF ) Gdem
F
dt
z
RL
− h{·}
+ RF
kg[dw]m−2 [gh]s−1
z
Si no existen suficientes nutrientes, el crecimiento se
detiene, pero la respiración de mantenimiento se asume que ocurre de cualquier manera. El balance de masa para la biomasa del follaje de hojas por unidad de
área, WL , está dado por la Ec. (2):
dWL
=h{·}Gdem
− (1 − h{·}) RL
L
dt
− HL
kg[dw]m−2 [gh]s−1
(2)
El término HL es un término formal que expresa el
hecho de que las hojas se marchitan de vez en cuando.
Similarmente, para los frutos, se tiene la Ec. (3) de
balance de masa:
dWF
=h{·}Gdem
− (1 − h{·}) RF
F
dt
− HF
kg[dw]m−2 [gh]s−1
(3)
Etapa de Desarrollo General del Cultivo
La etapa de desarrollo es una variable de estado artificial que mide en cierta forma la historia de la temperatura transcurrida desde el momento del brote.
La base para la fórmula se tomó como una aproximación mediante un análisis detallado del crecimiento
individual de los frutos. Está modelada como una variable de estado adicional, de acuerdo con la expresión
empı́rica de la Ec. (4) [1]:
dD
=cd1 + cd2 ln
dt
− kH
3.
T
− cd4 (eD )
cd3
−1
s
(4)
MODELO INTEGRADO
Dando valores numéricos (tomados de [1]) a los
parámetros del modelo matemático (ver tabla 1) se
obtienen las siguientes expresiones para el conjunto
de ecuaciones 1 a 4 y formar el vector de ecuaciones
f (x(t), u(t), t):
Nutrientes
dWB
=0,317 × 10−6
dt
(1)
Biomasa de Hojas y Frutos
El crecimiento de las hojas es igual a la cantidad de
nutrientes convertidos en biomasa estructural de hojas
en el follaje y está dado por h{·}Gdem
L . El modelo no
incorpora un estado extra para tallo y raı́ces, pero
por el factor z se asume que cada incremento en las
hojas irá acompañado de un incremento proporcional
en tallo y raı́ces.
T −20
− [ 10,62 × 10−6 e−273,18(T −19)
1,6 10
T −25 + 4,75 × 10−7 2 10 ]WL (t)
T −20
− [ 4,58 × 10−6 1,6 10
T −25 + 1,16 × 10−7 2 10 ]WF (t)
(5)
Biomasa de Hojas
T −20
dWL
=[ 5,26 × 10−6 e−273,18(T −19)
1,6 10
dt
T
]WL (t)
− 1,02 × 10−7 + 1,18 × 10−7 ∗ ln
20
(6)
P
h{·}
z
θV
θF
Gdem
L
Gdem
F
RL
RF
HL
HF
cdn
T
eD
kH
Nomenclatura
Tasa global de fotosı́ntesis
Variable de disponibilidad de nutrientes
Modelo de las partes vegetales
Cantidad de nutrientes requeridos por unidad de partes estructurales vegetales
Cantidad de nutrientes requeridos por unidad de partes estructurales de fruto
Demanda de crecimiento de hojas por unidad de área
Demanda de crecimiento de frutos por unidad de área
Requerimiento de respiración de las hojas
Requerimiento de respiración de los frutos
Tasa de deshoje
Tasa de cosecha del fruto
Parámetros deducidos de modelos empı́ricos
Temperatura interior del invernadero
Etapa de desarrollo de la cosecha medida a partir del brote de frutos
Tasa de cosecha
Tabla 1: Constantes calculadas
Figura 1: Modelo matemático del jitomate. Las lı́neas sólidas representan el flujo de masa de carbono, las lı́neas
punteadas representan el flujo de información.
Biomasa de Frutos
Modelo Matemático
T −20
dWF
=[ 3,819 × 10−6 1,6 10
dt
T
− 3,48 × 10−7 + 4,04 × 10−7 ∗ ln
]WF (t)
20
Etapa de Desarrollo
de la Cosecha
dD
=
dt
2,19 × 10−7 −
2,47 × 10−7 ∗ ln
T
20
(7)
(8)
4. FORMULACIÓN GENERAL DEL
PROBLEMA DE CONTROL ÓPTIMO
Un problema de optimización dinámica (control óptimo), requiere de lo siguiente para poder ser resuelto.
[4]
Un modelo matemático del proceso
Si x1 (t), . . . , xn (t) son las variables en el tiempo t de
estado del proceso, y u1 (t), . . . , um (t) las entradas de
control del proceso en el tiempo t, entonces el sistema
puede ser descrito por n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

x˙1 (t) = f1 (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), u1 (t), u2 (t), . . . , um (t), t)




x˙2 (t) = f2 (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), u1 (t), u2 (t), . . . , um (t), t)
..


.

x˙n (t) = fn (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), u1 (t), u2 (t), . . . , um (t), t)
Ası́ la Ec. (9) de estados será:
ẋ = f (x(t), u(t), t)
(9)
Las restricciones fı́sicas
Restricciones Fı́sicas
Un funcional de desempeño
Usualmente tanto las entradas de control como las restricciones fı́sicas presentan:
- Una historia de los controles que satisfacen las restricciones durante el intervalo de tiempo [t0 , tf ], llamado
control admisible.
- Una trayectoria de los estados que satisfacen.
5.
SIMULACIÓN Y RESULTADOS
De vuelta al establecimiento del problema de control
óptimo, se propone el funcional de desempeño de la
EC. (13):
1
J =−
2
Funcional de Desempeño
Ztf xT (t)Ax(t) + uT (t)N u(t)
dt
(13)
t0
Se requiere de un criterio para evaluar el desempeño
del sistema. Normalmente se define por la Ec. (10):
J = φ x(tf ), tf +
donde:
Ztf
L (x(t), u(t), t) dt
Donde t0 y tf son el tiempo inicial y final respectivamente, φ y L funciones escalares. El tiempo tf puede
estar establecido ó libre. Comenzando por el estado
inicial x(t0 ) = x0 y aplicando la señal de control u(t)
para t ∈ [t0 , tf ] se puede lograr que el sistema siga una
cierta trayectoria de estado.
Si x(t0 ) se especifica, entonces δx(t0 ) = 0. Para una
solución estacionaria, se necesita que δJ = 0 para una
variación arbitraria δu(t). Esto ocurre únicamente si
la Ec. (11) se cumple:
∂L
∂f
∂H
=
+ ΨT
=0
∂u
∂u
∂u
T
0
0
1
0

0
0
,N = 1
0
1
i
h
−6
Ψ1 (t) −
+ 0,317 × 10
−7
4,75 × 10
2
T −25
10
!
+
−7
1,16 × 10
2
T −25
10
!
+
−6
+ [ 5,26 × 10
Donde u(t) está determinado a partir de la condición
estacionaria. Las condiciones de frontera para estas
ecuaciones diferenciales están separadas, esto significa
que algunas están definidas para t = t0 y otras para t = tf . Por lo que x(t0 ) y Ψ(tf ) son conocidas.[2] [3]
Solución al problema de control óptimo
Una vez que se ha establecido lo que se necesita hacer
para lograr resolver el problema de control óptimo, se
propone el siguiente diagrama de flujo (figura 2) que
describe el comportamiento del programa a cargo de
su resolución. Se programará utilizando Matlab.
−6
]WL (t)Ψ1 (t) − [ 4,58 × 10
−273,18(T −19)
e
1,6
T
−7
−7
1,02 × 10
+ 1,18 × 10
∗ ln
20
!
T −20
−6
+ [ 3,819 × 10
1,6 10
!
T
−7
−7
3,48 × 10
+ 4,04 × 10
∗ ln
20
!
"
−7
2,19 × 10
−
1,6
1,6
T −20
10
T −20
10
!
!
]WF (t)Ψ1 (t)
−
+
(12)
1 2
2
2
2
WL (t) + WF (t) + D (t) + T
2
−273,18(T −19)
−6
e
[ 10,62 × 10
H (x(t), u(t), Ψ(t), t)) = −
(11)
Ası́ entonces, para hallar la función vector de control u(t) que produce un valor estacionario para el
funcional de desempeño J, sistema de ecuaciones diferenciales dado en la Ec. (12) debe ser resuelto:
Ψ̇(t) = − ∂H
∂x
0
1
0
0
La Ec. (13) es el punto de partida para formar la función Hamiltoniana (ver Ec. (14)):
−
Sobre t0 ≤ t ≤ tf . Esta ecuación se denomina la condición estacionaria.
Las ecuaciones para Ψ̇T , ΨT (tf ) ası́ como la ecuación
11 son las ecuaciones de Euler-Lagrange del cálculo
variacional.
ẋ(t) = f (x(t), u(t), t)
0
0
A=
0
0
(10)
t0
(

T −20
10
!
]WL (t)Ψ2 (t)
]WF (t)Ψ3 (t)
T
−7
2,47 × 10
∗ ln
20
!#
Ψ4 (t)
(14)
A partir del Hamiltoniano, se puede comenzar a formar el sistema de ecuaciones de los estados adjuntos:
Ψ˙1 (t) = 0
(15)
Ψ˙2 (t) = WL (t)
T −20
+ [ 10,62 × 10−6 e−273,18(T −19)
1,6 10
T −25 + 4,75 × 10−7 2 10 ]Ψ1 (t)
T −20
− [ 5,26 × 10−6 e−273,18(T −19)
1,6 10
T
− 1,02 × 10−7 + 1,18 × 10−7 ∗ ln
]Ψ2 (t)
20
(16)
Ψ˙3 (t) = WF (t)
T −20
+ [ 4,58 × 10−6 1,6 10
+
T −25 1,16 × 10−7 2 10 ]Ψ1 (t)
T −20
− [ 3,819 × 10−6 1,6 10
T
− 3,48 × 10−7 + 4,04 × 10−7 ∗ ln
]Ψ3 (t)
20
Ψ˙4 (t) = D(t)
(17)
(18)
Figura 2: Diagrama de flujo del programa encargado de obtener la forma del control.
La Ec. (14) y el conjunto de ecuaciones conformado
por 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17, y 18 son las partes principales
en el programa de Matlab para calcular la forma del
control de temperatura. Este programa se ejecutó para
una simulación de un perı́odo de cultivo de seis meses.
Las formas de este control obtenidas durante el primer
y último mes se muestran a continuación en la figura
3, mientras que los valores de la forma del control a
través del semestre, T (◦ C), se observan en la tabla
2. El cambio de valor de 19.1 T (◦ C) hasta 20 T (◦
C) ocurre durante el dı́a 12 (pasó de 19.3, 19.6 y 19.7
◦
C hasta 20 ◦ C ) a lo largo de este dı́a.
Al aplicar esta forma del control como entrada al sistema de ecuaciones del modelo del cultivo, se obtiene
la gráfica mostrada a continuación en la figura 4 para
cada uno de los estados del modelo.
Los valores iniciales ası́ como los valores finales al aplicar dicho control obtenido para todos los estados en el
modelo del cultivo se muestran en la tabla 3.
6.
CONCLUSIONES
Al resolver el problema del control óptimo aplicado al
control de temperatura en un invernadero de jitomate,
y basándose en el principio del máximo, se logró obtener una forma de control para el modelo matemático
del jitomate. Aplicando esta forma obtenida como entrada a la simulación de dicho modelo se observa que
las variables de interés WF y WB , se comportaron de
la manera esperada. Es decir, el peso seco de los frutos
producidos fue en aumento al tiempo que los nutrientes se decrementaron al ser consumidos.
7.
REFERENCIAS
[1] Van Straten, Gerrit. “Optimal Control of Greenhouse Cultivation”. CRC Press. 2011.
[2] López Cruz, Irineo L. “Control Óptimo del Clima del Invernadero: Avances y Retos”. Universidad
Autónoma Chapingo.
[3] López Cruz, Irineo L. “Introducción a la Teorı́a de
Control Óptimo”. Universidad Autónoma Chapingo.
2005.
[4] Seginer, Ido et al. “Optimal Temperature Setpoints
for Greenhouse Lettuce”. Department of Agricultural
Engineering, Technion, Haifa 32000, Israel. 1991.
(a) Mes 1
(b) Mes 6
Figura 3: Forma del control.
Entrada
T (◦ C)
Mes 1
19.1
Mes 2
20
Mes 3
20
Mes 4
20
Mes 5
20
Mes 6
20
Tabla 2: Valores de la forma del control.
Estado
WB (t)
WL (t)
WF (t)
D(t)
Inicial
4
100
50
1
Final
-1.0269×1022
11.3756
7.6462×1021
4.1788
Tabla 3: Valores iniciales y finales de cada estado al aplicar el control.
Figura 4: Comportamiento de los estados al aplicarse el control obtenido.