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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Sesión 3 JCMG - 2013 169 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Regulación de la Transcripción Génica JCMG - 2013 170 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Contenido 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Introducción. Conceptos básicos de biologı́a celular. Redes transcripcionales. Regulación de la expresión génica. Modelado matemático (esquema basado en represión). Esquema basado en activación. Comentarios finales. JCMG - 2013 171 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN 3.1 Introducción Los sistemas biológicos en el nivel celular ofrecen un terreno extraordinario para la teorı́a de control, tanto por su complejidad funcional como por su rol inspirador en el desarrollo de soluciones tecnológicas a problemáticas sociales urgentes. La biologı́a sintética se orienta a la redefinición de la vida en términos tecnológicos. La extraordinaria complejidad de los sistemas vivientes ofrece un gran desafı́o a su comprensión y al desarrollo de tecnologı́as basadas en su rediseño. La complejidad de la vida exige la puesta punto de esquemas de modelado matemático y computacional no necesariamente basadas en el enfoque mecanicista. JCMG - 2013 172 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Los organismos vivientes están sometidos a regulación y esto, la comprensión de le lógica reguladora, abre posibilidades de intervención para la teorı́a de control. A nivel celular se manifiestan sistemas complejos que involucran la interacción de diversos subsistemas a través de lazos de regulación con base en retroalimentación. N OTA 28 Es importante mecionar que la tecnologı́a artificial palidece de manera espectacular ante la tecnologı́a natural, producto de la evolución natural, que ha moldeado la vida en la tierra durante los últimos 4000 millones de años. JCMG - 2013 173 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN JCMG - 2013 174 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN El estudio de la regulación como guı́a El estudio de los esquemas de regulación biológicos permite comprender las pautas seguidas por el proceso evolutivo natural para dotar a los seres vivos de: R OBUSTEZ : Tolerancia a perturbaciones externas (influencia del medio ambiente) e internas (mutaciones genéticas). P LASTICIDAD : Adaptación del comportamiento a los requerimientos del medio ambiente con base en el aprendizaje codificado en la estructura. E VOLVABILIDAD : Capacidad de evolucionar, esto es de innovar en aspectos estructurales y comportamentales benéficos para la sobrevivencia. JCMG - 2013 175 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Semejanzas entre los sistemas artificiales y los naturales A nivel estructural los sistemas evolucionados y los sistemas diseñados poseen caracterı́sticas semejantes (modularidad, regulación por retroalimentación, tolerancia a fallas, . . . ). Reiterando: la tecnologı́a natural inspira la creación de tecnologı́a artificial (biologı́a sintética). JCMG - 2013 176 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO R EVOLUCIONES TECNOL ÓGICAS DEL PASADO: Se pueden identificar las revoluciones tecnológicas que han dado forma al mundo moderno (desde la perspectiva occidental): (1600-1740) Revolución financiera y agrı́cola. (1780-1840) Revolución industrial. (1880-1920) Revolución técnica (segunda revolución industrial). (1940-1970) Revolución cientı́fico-técnica. (1985-2000) Revolución de la información y las telecomunicaciones. JCMG - 2013 177 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO R EVOLUCI ÓN TECNOL ÓGICA EN CURSO: Innovaciones dominantes: Nanotecnologı́as. Fuentes de energı́a (sustentables) alternativas a los combustibles fósiles. Biologı́a sintética. Medicina personalizada. Tecnologı́as de nuevos materiales. Cómputo embebido a escala microscópica (partı́culas inteligentes). Redes sociales. Robótica de servicios (asistencia a personas de la tercera edad, mantenimiento del entorno hogareño,. . . ). Manufactura aditiva (impresión 3D). Tecnologı́as basadas en cómputo cuántico. Etcétera. JCMG - 2013 178 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN N OTA 29 El material expuesto a continuación, a menos que se especifique algo diferente, se basa principalmente en el libro “An Introduction to Systems Biology - Design Principles of Biological Circuits”(2007) por Uri Alon (Weizmann Institute of Science, Rehovot, Israel), Editorial Chapman & Hall/CRC. JCMG - 2013 179 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Flecha de la Complejidad Múltiples niveles de organización de la materia viva. JCMG - 2013 180 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN ¿Qué estudiar en biologı́a? La célula es el átomo biológico (todos los seres vivos, eucariontes y procariontes, están hechos de células). La célula es la mı́nima entidad biológica autosostenible. La célula puede ser vista desde la perspectiva propia de la ingenierı́a como una máquina que interactúa con su entorno a través de flujos de información que toman la forma de reacciones quı́micas. N OTA 30 En biologı́a se prioriza la comprensión de la fenomenologı́a relativa a la maquinaria bioquı́mica celular. JCMG - 2013 181 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO H ERENCIA Y E VOLUCI ÓN: Todos los seres vivos son descendientes de un antepasado común, por lo que están construidos por los mismos componentes quı́micos. Están sometidos a la presión selectiva de la evolución natural y transmiten su estructura a sus descendientes por medio de la misma maquinaria genética. Richard Dawkins (etólogo keniano de origen inglés nacido en 1941) considera que los seres vivos somos fundamentalmente máquinas utilizadas por los genes (entidades informacionales) para asegurar su sobrevivencia (lo cual es motivo de un debate que no tiene visos de terminar). JCMG - 2013 182 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Dos enfoques complementarios: Bioinformática: Centrada en el estudio de las moléculas informacionales de la vida (ADN y ARN), abocándose a la comprensión de la estructura de sus componentes y de sus interrelaciones con la maquinaria biomolecular (por medio de elucidación de la lógica informacional subyacente -enfoque computacional). A este enfoque también se le denomina la ciencia biológica de las bases de datos. Sistemas dinámicos: Comprensión de los comportamientos que emergen de los flujos de información involucrados (enfoque maquinı́stico); centrado en la comprensión de la dinámica de las redes bioquı́micas celulares (formadas por biomoléculas que se entienden como sistemas dinámicos per se -enfoque matemático-). JCMG - 2013 183 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO L A BIOLOG ÍA POSGEN ÓMICA: El enfoque bioinformático, resultante de la evolución de las técnicas computacionales en las que se ha basado la secuenciación del ADN, domina hasta fecha la investigación biológica. Se suele denominar a la biologı́a basada en la bioinformática como biologı́a posgenómica en referencia al Proyecto del Genoma Humano desarrollado entre 1990 y el año 2003 realizado esencialmente por los Estados Unidos, Inglaterra, Cánada y Nueva Zelandia y que tuvo un costo de alrededor de 3000 millones de dólares. JCMG - 2013 184 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN 3.2 Conceptos básicos de biologı́a celular. Las células están hechas de proteı́nas Cada célula está formada por miles de proteı́nas que interactúan entre sı́ y cada una de ellas es una máquina molecular de talla nanométrica que lleva a cabo una función especı́fica con precisión exquisita. N OTA 31 Se suele decir que la vida es un asunto de proteı́nas y que los seres vivos somos un saco lleno de proteı́nas disueltas en agua. Cada proteı́na está formada por una cadena lineal de aminoácidos. Hay 20 aminoácidos diferentes y cada uno de ellos está formado básicamente por arreglos de átomos de carbono, hidrógeno, oxı́geno y nitrógeno. JCMG - 2013 185 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Cada célula produce sus propias proteı́nas La célula posee una maquinaria bioquı́mica para la producción de sus proteı́nas. Esta maquinaria involucra dos moléculas informacionales: el ácido desoxirribonucleico (ADN) (que codifica la secuencia de aminoácidos) y el ácido ribonucleico (ARN), que participa en el proceso de lectura de la información almacenada en el ADN. N OTA 32 El fragmento de ADN correspondiente a una proteı́na dada recibe el nombre de gen (el conjunto de los distintos genes que posee un organismo es el genoma y a su estudio es a lo que se dedica la genómica). JCMG - 2013 186 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Cuando una proteı́na está siendo producida por la célula se dice que el gen correspondiente está siendo expresado. El conjunto de las distintas proteı́nas presentes en un organismo es el proteoma y al campo de la biologı́a que estudia al proteoma desde las perspectiva bioinformática se le denomina proteómica. C OMENTARIO G ENOMA H UMANO: El ser humano posee un genoma almacenado en 23 pares de cromosomas y está formado por alrededor de 23000 genes distintos (3 mil millones de pares base; doble cadena de la forma ATGCCTAT. . . ), que corresponden a más o menos el 1.5 % del ADN (el resto concierne fundamentalmente la maquinaria reguladora, e.g. fragmentos que se transcriben en ARN no codificante). JCMG - 2013 187 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO N ÚMERO DE C ÉLULAS EN EL CUERPO HUMANO: Se estima que el número de células en el cuerpo humano (que corresponde a una cantidad dinámica) es de alrededor de 1014, esto es cien millones de millones células (tan sólo el cerebro cuenta con alrededor de cien mil millones de neuronas, todas ellas descendientes de una célula única (el blastocito resultante de la fertilización de un óvulo por un espermatozoide). A esta cantidad colosal hay que agregar los cientos de miles de millones de bacterias que conviven con las células del cuerpo humano, el cual constituye de hecho un sistema ecológico de complejidad asombrosa. JCMG - 2013 188 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN La expresión génica es un proceso regulado La producción por parte de la célula de una proteı́na dada es un proceso sometido a regulación. En el proceso de regulación interviene la interacción de la célula con su entorno. N OTA 33 La interacción de la célula con su entorno está mediada a través de una clase especializada de proteı́nas: LOS FACTORES DE TRANSCRIPCIÓN, codificados en el genoma. JCMG - 2013 189 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO E L PROBLEMA C ÓGNITIVO DE LA C ÉLULA: La célula vive en un ambiente complejo y puede sentir muchas señales diferentes, incluyendo parámetros fı́sicos tales como la temperatura y la presión osmótica, moléculas de señalización provenientes de otras células, nutrientes benéficos y quı́micos dañinos. La célula monitorea también su estado interno al evaluar niveles de metabolitos clave, ası́ como daños internos (e.g. daños en el ADN, la membrana o en proteı́nas). La célula responde a todas estas señales produciendo proteı́nas que actúan en función de los requerimientos fijados por el monitoreo (siempre bajo las restricciones impuestas por el entorno, e.g. las restricciones termodinámicas). Los diversos estados ambientales son representados por la célula por medio de los factores de transcripción, que fungen ası́ como sı́mbolos. JCMG - 2013 190 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN 3.3 Redes transcripcionales. La interrelación entre la maquinaria quı́mica responsable de la expresión génica y el entorno interno y externo de la célula es mediada por los factores de transcripciones. Los factores de transcripción se asocian en redes que plantean requerimientos de expresión génica en respuesta a señales provenientes del entorno. La estructura de las redes de transcripción codifica las pautas de regulación de la expresión génica y es el resultado del proceso evolutivo, formando parte fundamental del fenotipo del organismo. JCMG - 2013 191 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Señal 1 Señal 2 Señal 3 ... Señal 4 Señal N Entorno Factores de transcripción X1 X2 X3 ... Xm Genes Gen 1 Gen 2 Gen 3 Gen 4 Gen 5 ... Gen k Mapeo entre señales del entorno, factores de transcripción dentro de la célula y los genes que ellos regulan. JCMG - 2013 192 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Dogma Central de la Biologı́a ADN general ARN especial proteína Dogma Central de la Biologı́a. JCMG - 2013 193 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Transcripción: La información almacenada en el fragmento de ADN que codifica a una proteı́na particular (esto es el gen) toma la forma de una secuencia de nucleótidos (Adenina, Guanina, Timina y Citosina). El gen está escrito utilizando un alfabeto de 4 letras (A, G, T, C). La lectura es realizada por la molécula ARN polimerasa, la cual transfiere la información a moléculas de ARNm (en el ARN mensajero se cambia la timina por uracil). Traducción: La molécula de ARN mensajero es procesada por un ribosoma, que ensambla los aminoácidos para fabricar la proteı́na codificada. Pos-Traducción: La proteı́na es sometida a un proceso de modificación de su estructura tridimensional (proceso de doblado), de la cual depende en gran medida su funcionalidad. JCMG - 2013 194 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO L OS PIONEROS: Los franceses François Jacob y Jacques Monod descubrieron los mecanismos básicos de la regulación de la expresión génica (elucidando la dinámica de la transcripción, utilizando técnicas de análisis genético) trabajando con el operón lac en E. coli a fines de los años 1950’s y principios de los años 1960’s, por lo cual recibieron junto con André M. Lwoff el Premio Nobel de Fisiologı́a o Medicina en 1965. Un operón es un conjunto de genes que se expresan de manera simultánea en respuesta a una señal del entorno e incluye los genes responsables de la regulación. JCMG - 2013 195 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN 3.4 Regulación de la expresión génica El esquema básico Cada gen es usualmente precedido por una región de ADN reguladora llamada promotor. El promotor contiene un sitio especı́fico (una secuencia de ADN) que puede amarrarse a la ARN polimerasa, enzima que sintetiza la molécula de ARNm que codifica la secuencia del gen (proceso de transcripción). La molécula de ARNm es traducida y la proteı́na es construida. JCMG - 2013 196 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Promotor ADN Gen Y ARN polimerasa Y ARNm Traducción Trascripción Gen Y Esquema básico. JCMG - 2013 197 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO O PTIMIZACI ÓN ENERG ÉTICA: La célula no produce lo que no necesita. Esto se debe a a que la célula minimiza su consumo energético. La selección natural ha promovido la sobrevivencia de organismos (sistemas termodinámicos abiertos) que ahorran energı́a. La expresión génica es un proceso costoso en términos energéticos y su regulación forma parte de las estrategias de minimización del consumo energético. JCMG - 2013 198 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Esquema basado en un activador Un activador X es una factor de transcripción que incrementa la tasa de transcripción de ARNm cuando este se amarra al promotor. El activador cambia en forma rápida entre sus formas activa e inactiva. En su forma activa tiene una gran afinidad a uno o más sitios especı́ficos en el promotor. N OTA 34 La señal SX incrementa la probabilidad de que X esté en su forma activa X ⇤, que se amarra a un sitio especı́fico del promotor del gen Y incrementando la transcripción y con ello la producción de la proteı́na correspondiente. JCMG - 2013 199 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN X Y X Ac)vador Gen Y Si)o de amarre de X Y SX X Y Y Y X * Trascripción incrementada X * Gen Y Ac)vador amarrado Esquema basado en un activador. JCMG - 2013 200 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Esquema basado en un represor Un represor es un factor de transcripción que disminuye la tasa de transcripción de ARNm cuando se amarra al promotor. La señal SX incrementa la probabilidad de que X esté en su forma activa X ⇤. X ⇤ se amarra a un sitio especı́fico del promotor del gen Y para disminuir la transcripción y con ello la producción de la proteı́na correspondiente. JCMG - 2013 201 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN X Y SX X * X No trascripción X * Gen Y Represor amarrado Y X Y Y Y Represor no amarrado Gen Y Esquema basado en un represor. JCMG - 2013 202 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO L AS ESCALAS DE TIEMPO: Las señales de entrada cambian las actividades de los factores de transcripción en una escala de tiempo inferior a un segundo. El amarre de un factor de transcripción a su sitio en el ADN frecuentemente alcanza su estado de equilibrio en un tiempo en el orden de los segundos. La transcripción y la traducción puede tomar varios minutos. La acumulación de la proteı́na expresada puede tomar varios minutos e incluso horas. JCMG - 2013 203 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Escherichia coli (el organismo más estudiado por el ser humano). JCMG - 2013 204 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Red transcripcional en E. coli (http://regulondb.ccg.unam.mx/menu/tools/transcritional regulation network/images/NetWorkTFGene.jpeg). JCMG - 2013 205 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Ejemplo 5 En E. coli: El amarre de una molécula pequeña (una señal) a un factor de transcripción cambia su actividad en alrededor de un milisegundo. El amarre del factor de transcripción a su sitio en el ADN toma alrededor de 1 segundo. La transcripción y la traducción se llevan más o menos 5 minutos. El cambio en el orden del 50 % en la concentración de la proteı́na expresada se lleva alrededor de 1 hora. JCMG - 2013 206 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN 3.5 Modelado matemático (esquema basado en represión) C OMENTARIO S UPOSICIONES: Para facilitar el proceso de modelado matemático se supondrá lo siguiente: Concentraciones elevadas de las biomoléculas involucradas (eliminación de la dependencia de lo estocástico). Equilibrio térmico (eliminación de la dependencia de lo espacial). Estas suposiciones permiten aplicar la ley de acción de masas, que lleva a la utilización de ecuaciones diferenciales (positivas) de parámetros concentrados no lineales en el proceso de modelado. JCMG - 2013 207 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Amarre de un represor a un promotor El represor X reconoce y se amarra a un sitio especı́fico D del ADN en un promotor. Como resultado X y D forman un complejo molecular [XD]. La transcripción ocurre sólo cuando D está libre. En consecuencia: D + [XD] = DT , donde DT denota la concentración total del sitio. N OTA 35 La notación A + B significa: como resultado del encuentro entre la molécula A y la molécula B se forma el complejo molecular A + B. JCMG - 2013 208 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN El represor X y su sitio D se difunden en la célula y ocasionalmente entran en colisión formando un complejo [XD]. X y D colisionan y se amarran a una tasa kon. La formación del complejo es proporcional a la tasa de colisiones y está dada por el producto de las concentraciones de X y D: tasa de formación del complejo = konXD. JCMG - 2013 209 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN El complejo [XD] se disocia a una tasa ko f f . La tasa de cambio de [XD] basada en los procesos de colisión y disociación está entonces descrita por medio de: d [XD] = konXD dt ko f f [XD] . kon describe cuántas colisiones ocurren por segundo por proteı́na a una concentración dada de D, por lo que tiene unidades de 1/tiempo/concentración. N OTA 36 kon es frecuentemente limitada por la tasa de colisiones de una molécula en difusión golpeando a un blanco del tamaño de la proteı́na, por lo que tiene valor limitado de alrededor de kon ⇠ 108 109M 1sec 1, independientemente de los detalles de la reacción. JCMG - 2013 210 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN La tasa de disociación ko f f tiene unidades de 1/tiempo y puede variar en muchos ordenes de magnitud para diferentes reacciones, ya que está determinada por la fortaleza de los amarres quı́micos que unen a X y a D. En estado estacionario: Kd [XD] = XD, donde Kd = ko f f /kon es la constante de disociación. De esta ecuación y de D + [XD] = DT : D 1 = , X DT 1 + K d que se puede considerar como la probabilidad de que el sitio D esté libre, promediado sobre muchos eventos de amarre y desamarre. JCMG - 2013 211 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Especificidad de la dinámica Cuando D está libre la ARN polimerasa se puede amarrar al promotor y transcribir entonces el gen correspondiente. La tasa de transcripción (número de moléculas ARNm producidas por segundo) a partir de un sitio libre está dada por la máxima tasa de transcripción b . b depende de la secuencia de ADN y de la posición del sitio de amarre de la ARN polimerasa en el promotor y de otros factores. JCMG - 2013 212 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN b puede ser calibrada por selección evolutiva (por ejemplo por medio de mutaciones que cambian la secuencia del sitio de amarre de la ARN polimerasa). En diferentes genes b toma valores en un rango de entre 10 4 y 1 ARNm/sec. JCMG - 2013 213 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN La tasa de producción del promotor, denominada la actividad del promotor, está dada por: ✓ ◆ D b actividad del promotor = b = . X DT 1+ K d N OTA 37 Cuando X = Kd la transcripción se reduce al 50 %. El valor de X necesario para obtener el 50 % del valor máximo de represión es denominado el coeficiente de represión. La represión eficiente requiere de suficiente represor para que D esté casi siempre ocupado con represor. Esto ocurre cuando X/Kd 1. JCMG - 2013 214 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Inhibición de la represión Al estar amarrado el represor al promotor se inhibe la transcripción. Para encender el gene una señal debe desamarrar a X del ADN. El caso más simple es aquel en el que una molécula pequeña es el inductor. N OTA 38 El inductor se amarra directamente a la proteı́na X y causa que esta tome una conformación molecular que ocasiona que ya no se amarre a D con gran afinidad. La afinidad de X a su sitio en el ADN se ve reducida por un factor de 10 a 100. El inductor libera al promotor y permite la transcripción del gen. JCMG - 2013 215 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Amarre de una proteı́na represora a un inductor: ecuación de MichaelisMenten La proteı́na represora X está diseñada para amarrarse a una molécula inductora pequeña SX , la cual puede condiderarse como su señal de entrada. Las dos colisionan y foman el complejo [XSX ]. El represor se encuentra entonces en dos formas: libre, esto es X, y amarrado, esto es [XSX ]. JCMG - 2013 216 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN En consecuencia la concentración total XT de la proteı́na represora está dada por: XT = X + [XSX ] . X y SX colisionan para formar [XSX ] a una tasa kon y el complejo [XSX ] se disocia a una tasa ko f f . Entonces: d [XSX ] = konXSX dt ko f f [XSX ] . N OTA 39 Como puede verse SX actúa como una entrada de control. JCMG - 2013 217 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN En estado estacionario: KX [XSX ] = XSX , donde KX es la constante de disosiación. Utilizando XT = X + [XSX ] se llega a: [XSX ] = XT SX , SX + KX conocida como ecuación de Michaelis-Menten. N OTA 40 [XSX ] se satura para valores elevados de SX . Tiene un regimen donde [XSX ] se incrementa linealmente con SX cuando SX ⌧ KX . La fracción de proteı́na amarrada alcanza 50 % cuando SX = KX . JCMG - 2013 218 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Con respecto a SX : Concentraciones por debajo de KX no son detectadas. Concentraciones muy por encima de KX saturan el represor. El regimen saturado (SX ⌧ KX ) es conocido como de orden cero porque [XSX ] ⇠ SX 0 y el regimen lineal (SX ⌧ KX ) es conocido como de primer or1. den dado que [XSX ] ⇠ SX JCMG - 2013 219 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN N OTA 41 Dado que X está activo, en el sentido de que puede amarrarse al promotor para bloquear a D, lo denotamos como: X⇤ y como X ⇤ = XT [XSX ] [XSX ] = XT SX , SX + KX y: entonces: X ⇤ = XT [XSX ] = XT XT SX XT = , SX + KX 1 + SX K X que corresponde a la concentración de X no amarrado a SX y que decrece conforme aumenta el nivel del inductor SX . JCMG - 2013 220 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Cooperatividad del amarre del inductor y ecuación de Hill La mayorı́a de los factores de transcripción están formados por varias subnunidades repetidas. Cada una de estas subunidades se puede amarrar a moléculas del inductor. Si se supone que n moléculas de SX se pueden amarrar a X, entonces: [nSX X] + Xo = XT , donde [nSX ] denota el complejo formado por X amarrado a n moléculas de SX y Xo denota la concentración de X no amarrado. JCMG - 2013 221 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN De esta manera la tasa de colisiones entre X con n moléculas de SX está dada por: n, tasa de colisiones = konXoSX con kon denotando la tasa de formación de complejos [nSX X]. En lo que respecta a la disociación: tasa de disociación = ko f f [nSX X] , donde ko f f denota la tasa de disociación y corresponde a la fortaleza de los amarres quı́micos entre SX y sus sitios de amarre en X. De lo anterior: d [nSX X] n = konXoSX dt ko f f [nSX X] . N OTA 42 Esta ecuación alcanza su equilibrio en milisegundos para inductores tı́picos. JCMG - 2013 222 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN En estado estacionario: n =k konXoSX o f f [nSX X] y de [nSX X] + Xo = XT : ✓ ko f f kon ◆ [nSX X] = (XT n. [nSX X]) SX Resolviendo para la fracción de X amarrado y definiendo KNn = ko f f /kon se obtiene la ecuación de Hill: n SX [nSX X] = n n. XT KX + SX JCMG - 2013 223 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN N OTA 43 La ecuación precedente puede interpretarse como la probabilidad de que el sitio esté amarrado promediado sobre muchos eventos de amarre y desamarre de SX . El parámetro n es conocido como coeficiente de Hill. Cuando n = 1 la ecuación de Hill coincide con la ecuación de Michaelis-Menten (ambas ecuaciones alcanzan la mitad del amarre máximo cuando SX = KX ). Las reacciones para las cuales n > 1 son denominadas reacciones cooperativas. Note que la fracción de represor no amarrado está dada por: X⇤ 1 ⇣ ⌘n . = XT 1 + SX K X JCMG - 2013 224 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN La función de entrada de un gen regulado por un represor Combinando el amarre del inductor al represor, esto es X ⇤ = ⇣XT ⌘n y el amarre S 1+ KX X del represor al ADN, esto es actividad del promotor = b , se tiene la función de 1+ KX d entrada del gen regulado por represión f (SX ) = bX ⇤ , esto es: 1+ K d f (SX ) = b 1+ , X ✓ ✓T ◆n ◆ S Kd 1+ KX X que mapea la concentración del inductor SX en la concentración de ARNm. JCMG - 2013 225 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO L A DEPENDENCIA DELOS PAR ÁMETROS: Al analizar la función de entrada de un gen regulado por un represor observamos que esta depende de un conjunto importante de parámetros: b , XT , Kd , KX y n. Este conjunto de parámetros es especı́fico al gen considerado. La determinación de los valores de los parámetros requiere su caracterización experimental, lo cual constituye una tarea de ninguna manera simple. Tomando en cuenta la enorme cantidad de genes activos en una célula la problemática experimental planteada es uno de los grandes desafı́os de la ciencia y tecnologı́a contemporáneas. JCMG - 2013 226 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN N OTA 44 Como puede verse de la ecuación precedente, si SX = 0 (esto es si no hay inductor) se tiene la tasa de transcripción de escurrimiento: f (SX = 0) = b 1 + XKT d , que es denominada la actividad basal del promotor. La función de entrada alcanza la mitad de su valor máximo para una concentración del inductor SX = S1/2 correspondiente a (cuando XT Kd ): S1/2 ⇠ ✓ XT Kd ◆1 n KX . Esta concentración suele ser significativamente más elevada que KX . JCMG - 2013 227 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN 3.6 Esquema basado en activación Siguiendo el mismo razonamiento que se aplicó anteriormente se tiene que la función de entrada de un gen regulado por activación está dada por: con: JCMG - 2013 b X⇤ f (SX ) = Kd + X ⇤ n X S T X ⇤ = [XSX ] = n X n . KX + SX 228 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO E L ESTADO ESTACIONARIO: La comprensión de numerosos fenómenos biológicos, tales como el de la regulación génica, se basa en el análisis en estado estacionario. Esto se debe al hecho de que hasta muy recientemente ha resultado muy difı́cil estudiar la dinámica bioquı́mica celular en régimen transitorio, debido a las limitaciones de las técnicas experimentales. Esta situación está en proceso de cambiar entre otras razones debido al desarrollo de técnicas novedosas tales como la microfluı́dica, que permiten monitorear la dinámica celular en escalas de tiempo cortas. JCMG - 2013 229 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN 3.7 Comentarios finales Simplificaciones Como ha posido verse en el tratamiento expuesto en esta sesión, la comprensión de un fenómeno tal como la regulación génica (para lo cual únicamente se trató lo referente a la función de entrada de un gen regulado ya sea por represión o por activación), requiere numerosas simplificaciones. Una de las simplificaciones más significativas es la que considera que la célula es un sistema bien agitado que se encuentra en equilibrio térmico y que el número de moléculas involucradas es elevado, lo cual permite minimizar la importancia de la dinámica estocástica y la influencia de las restricciones espaciales. JCMG - 2013 230 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Los exitos de la técnica de modelado La metodologı́a de modelado expuesta ha sido exitosa en la elucidación de importantes fenómenos biológicos, al ser utilizada para la prueba de hipótesis. Los desafı́os actuales En la actualidad se trabaja en el desarrollo de técnicas de modelado para abordar el estudio de redes de transcripción, para elucidar la naturaleza de funciones de múltiples entradas. N OTA 45 Se han producido avances importantes en torno al proceso evolutivo de selección de esquemas de regulación. JCMG - 2013 231 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Ejercicio 21 ¿Porqué la teorı́a de Lamarck es rechazada por el Dogma Central de la biologı́a? Ejercicio 22 En el esquema de regulación basada en represión demuestre que efectivamente: ✓ ◆1 XT n S1/2 ⇠ KX , Kd cuando XT Kd . Ejercicio 23 Demuestre que en el esquema de regulación basado en activación: S1/2 ⇠ JCMG - 2013 ✓ Kd XT ◆1 n KX . 232 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Ejercicio 24 En términos del escurrimiento (producción de ARNm en ausencia de regulación), ¿cuál es la diferencia principal entre los dos esquemas de regulación tratados (represión y activación)? Ejercicio 25 Con respecto al esquema de regulación de la expresión génica basado en represión, ¿conoce algún sistema artificial que trabaje bajo el mismo esquema? Si este es el caso describalo. Ejercicio 26 Investigue lo relativo al operon lac en E. coli y explique cómo opera en términos de lo aquı́ expuesto. JCMG - 2013 233 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Ejercicio 27 ¿Qué forma gráfica sigue la función de entrada de un gen regulado por represión en el caso cooperativo? Ejercicio 28 Si fuera necesario eliminar la suposición de que el sistema está bien agitado, ¿cómo abordarı́a el proceso de modelado? Ejercicio 29 ¿Cómo abordarı́a el proceso de modelado si los agentes involucrados se presentan en concentraciones muy bajas? Ejercicio 30 ¿Existen similitudes entre la regulación transcripciones y fenómenos tales como la regulación de adicciones? JCMG - 2013 234 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Modelos Sociales JCMG - 2013 235 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Hormigas soldado africanas del genero Dorylus construyendo un tunel para proteger a las trabajadoras. JCMG - 2013 236 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Contenido A. B. C. D. Introducción. Complejidad y Emergencia. Modelado Basado en Agentes. ¿Hacia un tratamiento matemático? N OTA 46 Esta exposición está basada en el libro “Complex Adaptive Systems” (2007) de John H. Miller y Scott E. Page. Editorial: Princeton University Press. JCMG - 2013 237 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN A. Introducción Lo ya visto Se han privilegiado descripciones matemáticas de sistemas dinámicos basadas en el empleo de ecuaciones que llevan a tratamientos analı́ticos. Las descripciones matemáticas expuestas han sido obtenidas a partir de los principios básicos que rigen las dinámicas consideradas. En términos de la complejidad de los sistemas tratados esta ha sido muy baja. N OTA 47 En los sistemas descritos participan muy pocos agentes, esto es entidades informacionales que al asociarse a través de flujos de información dan lugar a las dinámicas descritas. JCMG - 2013 238 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Algunas definiciones Definición S ISTEMA SOCIAL: Sistema formado por al menos 2 sistemas personales que interactúan al actuar su rol. Definición AGENTE SOCIAL: Sistema personal perteneciente a un sistema social. C OMENTARIO E JEMPLOS DE SISTEMAS SOCIALES: Los sistemas sociales incluyen entre sus elementos a colectividades humanas reales o virtuales (sistemas económicos, clubes deportivos, Facebook, partidos polı́ticos, estados-naciones, . . . ), comunidades de bonobos, colonias de insectos eusociales, enjambres de robots fı́sicos o informáticos, entre otros. JCMG - 2013 239 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Mundos sociales complicados y mundos sociales complejos Tanto los mundos complicados como los complejos están formados por grandes cantidades de elementos. Son difı́ciles de navegar y de entender. En un mundo complicado cada uno de los elementos constitutivos posee un cierto grado de independencia con respecto a los otros, por lo que retirar un elemento no afecta significativamente el comportamiento del sistema (aunque reduce la complicación que lo caracteriza). En un mundo complejo los elementos constitutivos son interdependientes. La complejidad surge debido a las interdependencias. Retirar un elemento en un mundo complejo destruye el comportamiento del sistema a un nivel que va más allá de lo que está embebido en el elemento removido. JCMG - 2013 240 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN La complejidad es una propiedad profunda de un sistema, no ası́ la complicación. Los mundos complicados son reducibles, pero no los complejos. Aunque los sistemas complejos pueden ser frágiles también pueden exhibir un grado inusual de robustez a cambios no demasiado radicales en sus componentes. En muchos sistemas complejos el comportamiento emerge de las actividades de los componentes de bajo nivel. La emergencia es el resultado de una fuerza de organización muy poderosa que sobrepasa a los cambios en los componentes. JCMG - 2013 241 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN B. Complejidad y Emergencia Las caracterı́sticas innatas de muchos sistemas sociales los lleva a producir complejidad. Los agentes sociales interactúan entre sı́ vı́a conexiones. Las conexiones pueden ser relativamente simples y estables, tales como las que mantienen unida a una familia, o complejas y cambiantes, tales como las que ligan a los agentes de bolsa con el mercado financiero. Los agentes sociales son capaces de cambiar vı́a deliberaciones (no necesariamente brillantes) acerca del mundo en el que habitan. JCMG - 2013 242 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Los agentes sociales deben tomar decisiones continuamente, ya sea por cognición directa o basadas en información heurı́stica (pero no inmutable) acerca de sus actos. Lo más notable de los agentes sociales es lo rápido que las conexion y los cambios llevan a la complejidad. Los agentes sociales deben predecir y reaccionar a las acciones y predicciones de otros agentes. N OTA 48 Las dinámicas de los sistemas sociales son regidas por expectativas retroalimentadas. JCMG - 2013 243 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Las variadas conexiones que caracterizan a los sistemas sociales exacerban los acciones de predicción y reacción conforme los agentes se acoplan más y más. N OTA 49 La interdependencia de los agentes sociales que forman un cierto sistema social lleva a que en las acciones de los agentes dominen las no linealidades (la heterogeneidad), lo que dificulta descomponer al sistema. El resultado de todo esto es la complejidad. Las dinámicas de muchos sistemas emergen de la complejidad resultante de la riqueza de las interconexiones. JCMG - 2013 244 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Un ejemplo ilustrativo Ejemplo 6 (Ovaciones de pie) En las ovaciones de pie olas de miembros de la audiencia se ponen de pie para reconocer un desempeño particularmente bueno y al parecer surgen espontáneamente. N OTA 50 La construcción de un modelo particular de este fenómeno depende de los objetivos perseguidos y de las herramientas de modelado disponibles. Sin importar el tratamiento elegido la meta básica del modelado es simplificar el estudio del sistema descrito y mantener alguna habilidad para iluminar la realidad. JCMG - 2013 245 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN La pauta para construir un modelo pordrı́a ser la siguiente: Suponga que la audiencia está formada por N personas y que cada una de ellas recibe una señal que depende de la calidad del desempeño percibido q. Sea entonces si (q) la señal percibida por la i-ésima persona. Se puede suponer una forma funcional del proceso de señalización. Por ejemplo: si (q) = q + ei, donde ei es una variable aleatoria con media cero y desviación estándar igual a s. JCMG - 2013 246 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Para concluir el modelo se podrı́a formular la hipótesis de que en respuesta a la señal cada persona se pone de pie si y solamente si si (q) > T , donde T es algún umbral crı́tico tal que la gente se emociona por el desempeño, se pone de pie y aplaude. ¿Para qué podrı́a servir este modelo? Se podrı́a utilizar el modelo para predecir cuántas personas se pondrán de pie, ligando las propiedades clave del modelo (el umbral T , la calidad q e incluso la desviación estándar s ). Las predicciones podrı́an iluminar algunos aspectos de la realidad, pero fenómenos observados tales como las olas de ovaciones no podrı́an ser explicadas por este modelo en el que rige la homogeneidad. JCMG - 2013 247 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN ¿Cómo se podrı́a modificar el modelo para obtener más información sobre el fenómeno Por ejemplo: Se podrı́a agregar un parámetro a que proporcione el porcentaje de gente que responde al comportamiento de otros. Si el porcentaje del grupo inicial de gente que se pone de pie y ovaciona sobrepasa el porcentaje a, entonces todos se ponen de pie. N OTA 51 Sin embargo las ovaciones reales no se comportan de la manera extrema predecida por el modelo enriquecido, ya que es común que se presenten olas graduales de participación. JCMG - 2013 248 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN Se podrı́a extender el modelo matemático utilizando ideas provenientes de la teorı́a de los sistemas complejos, lo cual llevarı́a a utilizar cómputos indirectos en lugar de matemáticas directas. Se podrı́a empezar tomando en cuenta que la gente se se sienta en lugares fijos y que en general tiene conexiones especı́ficas con sus vecinos, ya que es frecuente que la gente asista a espectáculos con conocidos. N OTA 52 Tomar en cuenta en la descripción la ubicación de las personas y de que estén ubicadas cerca de conocidos pone en tela de juicio la hipótesis inicial de independencia de las señales. El lugar donde se encuentran los asistentes y cerca de quiénes se encuentran afecta la manera como reciben información. Se ha enriquecido con heterogeneidad al modelo. JCMG - 2013 249 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN El nuevo modelo posee una dinámica mucho más rica. En el primer modelo se alcanza un estado de equilibrio como consecuencia de dos decisiones: en la primera una cierta cantidad de personas se pone de pie y ovaciona y en la segunda el resto de la gente se pone de pie y ovaciona si el porcentaje inicial de los que ovaciona ha superado un cierto umbral. En el segundo modelo la situación ha cambiado. En el segundo modelo tı́picamente la primera ronda de gente ovacionando inducirá a otros a ovacionar y esto ocasionará que otros reaccionen; el sistema desplegará entonces cascadas de comportamientos. JCMG - 2013 250 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN N OTA 53 En el primer esquema de modelado se pueden utilizar herramientas matemáticas formales y estadı́sticas, mientras que el segundo esquema de modelado podrı́a requerir nuevas técnicas tales como modelos computacionales. La heterogeneidad es frecuentemente una fuerza clave que maneja a los sistemas sociales. En los sistemas complejos la diversidad de interacciones da lugar a comportamientos que se alejan del comportamiento promedio. El modelado matemático clásico tiende a favorecer tratamientos que privilegian la homogeneidad de los actores participantes. JCMG - 2013 251 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO C ONTROL GLOBAL V ÍA INTERVENCIONES LOCALES: Una de las caracterı́sticas más asombrosas de muchos sistemas sociales radica en que intervenciones locales son capaces de ejercer control global. Como un ejemplo considere el hecho de que un conjunto de mercados descentralizados orquesta las actividades de miles de millones de seres humanos a lo largo de los continentes y a lo largo de siglos. O bien el hecho de que hormonas en cantidades extremadamente pequeñas y actuando sobre sistemas corporales en extremo especf́ico regulan de manera global al organismo humano. JCMG - 2013 252 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C. Modelado Basado en Agentes Definición M ODELO BASADO EN AGENTES: Descripción computacional de un sistema social en términos de las interacciones entre sus agentes constitutivos. El modelado orientado a agentes se centra en el estudio de sistemas que poseen complejidad organizada. La complejidad desorganizada requiere herramientas de modelado de naturaleza esencialmente estadı́stica. En esta clase de sistemas las relaciones entre los agentes dan lugar a dinámicas de retroalimentación y a contingencias estructurales que impiden la cancelación de diferencias de comportamiento entre los agentes, dando lugar de hecho a dinámicas de reforzamiento de las diferencias. JCMG - 2013 253 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN El modelo basado en agentes procede con base en dos etapas: A BSTRACCI ÓN DEL COMPORTAMIENTO : Se abstrae el comportamiento de los agentes individuales en el sistema para obtener agentes simplificados. I NTERACCI ÓN CON BASE EN C ÓMPUTOS : Colecciones de los objetos basados en agentes son “resueltos” permitiendo que los objetos interactúen entre ellos por medio de cómputos. N OTA 54 Los modelos basados en agentes son en esencia programas de cómputo. JCMG - 2013 254 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN NetLogo' Ejemplo'de' plataforma'de' modelado' orientado'a' agentes' JCMG - 2013 255 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN D. ¿Hacia un tratamiento matemático? En términos teóricos todo programa de cómputo es la expresión de un proceso lógico. Todo proceso lógico puede ser expresado en términos algebraicos. Esto significa que es posible construir un tratamiento matemático analı́tico del modelado basado en agentes de sistemas sociales complejos. N OTA 55 Sin embargo la utilidad de tal tratamiento matemático es discutible. JCMG - 2013 256 MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN C OMENTARIO V ENTAJAS Y DESVENTAJAS: El modelado matemático se acomoda bien con sistemas homógeneos que poseen pocos elementos (de comportamiento no adaptable) o un número infinito de ellos, mientras que el modelado orientado a agentes se orienta a la descripción de sistemas con sistemas heterógeneos con números grandes pero finitos de elementos dotados de comportamiento adaptable. Los modelos matemáticos permite abordar el estudio de los sistemas desde una perspectiva analı́tica, mientras que esto no es todavı́a el caso en el enfoque computacional. JCMG - 2013 257