Download El modelo AK

El modelo AK
Irán Apolinar Peredo Cortes
Pablo Huerta Mendoza
Omar Salas Jácome
Mónica Diaz Serrano
Mariam Boza Peralta
13 de octubre de 2011
1.
E
Introducción
l modelo AK o de crecimiento endógeno surge da partir de explicar los determinantes
del crecimiento económico a largo plazo para lo cual debemos abandonar alguno de los supuestos del modelo neoclásico: este predice que solamente puede haber crecimiento a largo
plazo si existen mejoras tecnológicas, pero los supuestos neoclásicos no permiten introducir
el progreso tecnológico dentro del modelo por lo que este debe suponerse exógeno. La primera manera es desviarse de los supuestos neoclásicos es abandonar la función de producción
neoclásica. Vamos a mostrar que un simple cambio en la función de producción genera un
universo de nuevas predicciones y de recomendaciones de política económica, a la vez que
nos permite explicar el crecimiento a largo plazo. Suponemos que la función de producción
es lineal en el stock de capital, Y (t) = AK(t) (tecnología AK ).En principio esta función
de producción puede parecer descabellada puesto que ignora totalmente la existencia de
trabajo y todos sabemos que se necesitan trabajadores para producir bienes y servicios. Un
segundo análisis nos muestra como, teniendo en cuenta el concepto del capital humano no es
tan descabellado. Los trabajadores para que desempeñen un trabajo o para formarles, hay
que gastar una serie de recursos, en forma de comida, medicamentos, educación, etc. Dicho
de otro modo, el factor trabajo necesita inversión en el sentido de que debemos sacricar
consumo presente para aumentar la productividad de lo que llamamos trabajo.
Dentro de las principales propiedades de la función de se encuentra los rendimientos constantes a escala, los rendimientos positivos no decrecientes del capital y el incumplimiento de
la condición de Inada.
2.
Características del Modelo AK
• Este modelo es para una economía cerrada y sin gobierno, por lo que el ahorro bruto
debe ser igual a la inversión bruta. La inversión bruta, a su vez, es igual al aumento
neto del stock de capital más la depreciación total.
• En este modelo se postula la existencia de una función de producción que es lineal en el
único factor de producción, el capital; esto signica que se mantienen los rendimientos
constantes a escala.
1
• La tecnología presenta rendimientos constantes del capital.
• Una elasticidad de sustitución de los factores sucientemente alta puede contrarrestar
también el papel de los rendimientos decrecientes del capital y generar crecimiento
sostenido a lo largo del tiempo.
• La distinción entre las dinámicas de la transición y del estado de equilibrio desaparece.
• La economía permanece eternamente en transición, porque crece a un ritmo constante.
• Este tipo de modelos predice que los países crecen para siempre y la tasa de crecimiento
no depende del nivel de capital.
• No existe convergencia. Las disparidades de ingreso entre los países se mantendrían
para siempre.
• En este modelo nunca habrá ahorro excesivo, porque este permite crecer permanente-
mente más rápidamente.
• La elasticidad de la producción respecto al único factor acumulable es igual a uno y
su productividad marginal es constante A, por lo que se obtiene crecimiento a largo
plazo.
• El trabajo se asimila a capital humano, siendo por tanto acumulable considerándose
conjuntamente con el capital físico.
• La tasa de crecimiento diere del modelo neoclásico tradicional en el sentido que
presenta un valor positivo y constante.
• En este modelo sí existen consecuencias ante una alteración de forma exógena de alguno
de los parámetros del modelo, como por ejemplo, en la tasa de ahorro, dado que ahora
provoca un incremento de la tasa de crecimiento.
• La conclusión de Rebelo, es que los rendimientos crecientes no hacen falta para engen-
drar crecimiento endógeno, si bien, como en todos los modelos de crecimiento endógeno,
presenta al menos rendimientos constantes.
• Por otra parte, el modelo no predice el fenómeno de la convergencia, ya que las econo-
mías, por ejemplo, con mayores niveles de ahorro respecto a su producto (que puede
ser observado en las economías más ricas respecto a las más pobres en producto percápita) tenderán a crecer más, dado que A y s podrán ser mayores, si a eso agregamos
que n puede ser más pequeño en las economías ricas (menor explosión demográca).
3.
3.1.
El Modelo
El comportamiento de los hogares
Utilizamos una estructura similar al modelo de Ramsey, cada hogar representativo tiene una
función de utilidad instantánea u[c(·)], es decir la utilidad solo depende del consumo, al igual
que en modelo de Ramsey asumimos que tiene una forma funcional de tipo CRRA la cual
es una analogía de la función CES. La función objetivo a maximizar al igual que el citado
modelo será:
[ (1−θ)
]
∫ ∞
c
−1
−(ρ−n)t
U=
e
·
dt
(1)
1−θ
0
2
sujeta a la restricción
(2)
k̇ = f (k) − c − (n + δ)k
Donde f (k) es la función de producción en su forma intensiva, c es el el consumo percápita,
n es la tasa de crecimiento poblacional, δ es la la tasa de depreciación y k es el ratio capitaltrabajo. Al igual que el modelo de Ramsey asumimos que no existe un comportamiento de
tipo piramidal. La ecuación de Hamilton está dada por:
−(ρ−n)t
H=e
[
]
c(1−θ) − 1
·
− λ[f (k) − c − (n + δ)k]
1−θ
(3)
La solución del problema de maximización implica la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no lineales:
(4)
(5)
k̇ = (A − δ − n) · k − c
ċ = [(1/θ) · (A − δ − ρ)]c
El primer detalle sorprendente es que el crecimiento del consumo no depende no depende
del stock de capital percápita k:
(6)
c(t) = c(0) · e[(1/θ)·(A−δ−ρ)]t
Podemos decir ademas que la tasa de crecimiento del consumo en el tiempo γc = ċ/c > 0 si
A > ρ + δ . Por otra parte la tasa de crecimiento del capital γk esta dada por:
γk = k̇/k = (A − δ − n) − c/k
(7)
En el estado estacionario1 la tasa de crecimiento del capital percápita es constante lo cual
implica que el ratio consumo-capital percápita c/k también lo es.
4.
Transición Dinámica
Ahora pasaremos a analizar la tasa crecimiento del capital en el estado estacionario
a detalle. sustituyendo (10)en(8) tenemos que:
k̇ = (A − δ − n) · k − c(0) · e[(1/θ)·(A−δ−ρ)]t
(8)
La solución de dicha ecuación diferencial esta dada por:
k(t) = Φ · e(A−δ−n)t + [c(0)/β] · e(1/θ)·(A−δ−ρ)t
donde
β = (A − δ) · (θ − 1)/θ + ρ/θ − n
y
(9)
Φ = constante
De la ecuación (6)y(9)se deduce que en el modelo AK :
k̇
ċ
= = (A − δ − ρ)/θ
k
c
(10)
Dado que la función de producción es de tipo AK se deduce que ẏ/ẏ = ċ/c = k̇/k, es decir,
el modelo no tiene dinámica de transición. Las variables inician con k(0) = c(0) = βk(0)
1 Por
denición en el estado estacionario todas las variables del modelo crecen a tasas constantes.
3
Figura 1: Diagrama de Fase del modelo AK
e y(0) = Ak(0) y posteriormente crecen a una tasa (A − δ − ρ)/θ. En el modelo AK los
cambios en la tasa de crecimiento poblacional no afectan las tasas de crecimiento percápita
pero si tiene un efecto nivel en la evolución temporal de la variable consumo percápita (efecto
negativo). Variables como A, ρ y θ inuyen en los niveles y tasas de crecimiento de c y k. La
tasa de ahorro esta dada por:
[
A − ρ + θn + (1 − θ) · θ
s = (K̇ + δK)/Y = (1/A) · (k̇/k + n + δ) =
θA
]
(11)
Lo anterior implica que la tasa de ahorro permanece constante y depende a excepción de n
de los mismos parámetros de las tasas de crecimiento percápita.
4.1.
El diagrama de Fase.
Dado que A > δ + ρ, el crecimiento del consumo siempre es positivo y en consecuencia no
existe una posición para ċ = 0. Así pues, las echas de los diagramas de fase de la Figura
1 apuntan hacia arriba. Podemos utilizar la ecuación (4) para hallar la curva k̇ = 0 es una
recta que pasa por el origen y que tiene de pendiente A − δ − n Las echas a la derecha
de esta recta apuntan hacia la derecha y de igual forma las echas que están a la izquierda
hacia la izquierda. Se puede observar que la pendiente del sendero silla tiene pendiente
β = A − δ − n − γc la cual es inferior a la pendiente de la ecuación (4) cuando k̇ = 0.
5.
Alcances del modelo
AK
El modelo AK tiene una diferencia signicativa entre los modelos neoclásicos de crecimiento.
Los modelos de crecimiento endógenos radican en que la tasa de crecimiento en el estado
estacionario puede ser positiva aun cuando no se suponga que ninguna variable aumente a
una tasa exógena, como en el caso de la tecnología en los modelos neoclásicos.Los modelos
4
de crecimiento endógeno, la tasa de crecimiento del estado estacionario vienen determinada
por las decisiones que toman los individuos, es decir, por variables endógenas como la tasa de
ahorro y los gastos en investigación y desarrollo. En el modelo de crecimiento AK un aumento
exógeno de la tasa de ahorro provoca un incremento tanto de la tasa de crecimiento a corto
plazo como de la tasa de crecimiento de estado estacionario, pues ambas son similares. En el
modelo AK se postula que no hay una relación entre la tasa de crecimiento de la economía y
el nivel alcanzado por la renta nacional. No se predice convergencia ni condicional entre las
economías. Este hecho explica en parte la creciente atención que desde hace unas décadas
ha prestado la literatura del crecimiento económico a la hipótesis de convergencia, pues
éste es uno de los rasgos que distinguen a los nuevos modelos de crecimiento endógeno de
los modelos neoclásicos de corte tradicional2 La diferencia mas importante que este tipo de
modelos a los neoclásicos es que la tecnología AK predice que si el stock de capital disminuye
en forma coyuntural por una causa exógena, la economía no crecerá transitoriamente a un
ritmo mayor para volver a la trayectoria de acumulación anterior, si no que la tasa de
crecimiento continuará siendo la misma, de forma que la perdida experimentada se hará
permanente. El modelo AK no pretende ser realista, sino, simplemente, un instrumento
pedagógico, porque se trata del modelo más sencillo que permite abandonar el supuesto de
rendimientos decrecientes del factor productivo reproducible, esto es del capital, de modo
que se provoca un crecimiento endógeno, independiente de la tecnología y el trabajo ( el
cual no aparece en la función de producción); así el modelo es aplicable para desarrollarlo
sin necesidad de abandonar el supuesto de competencia perfecta. Lo que hará los demás
modelos de crecimiento endógeno es introducir dosis variables de realismo. Tanto el modelo
de Solow como en el de Ramsey y la tasa de crecimiento per cápita en estado estacionario es
igual a la tasa del progreso tecnológico, que se toma como exógena. Por ello, aunque estos
modelos ofrecen un marco de referencia interesante para estudiar la transición dinámica, no
son útiles cuando se trata de explicar el crecimiento a largo plazo de la renta per cápita.
Es preferible un contexto que contenga elementos propios de los modelos de crecimiento
endógeno.
6.
Diferencias del modelo
AK
• El modelo AK nos dice algunas cosas interesantes respecto a cuales son los determi-
nantes del crecimiento económico. Según este modelo las economías con mayor tasa de
ahorro van a crecer más a largo plazo. Así pues, según este modelo, las políticas económicas encaminadas a fomentar el ahorro tendrán efectos positivos sobre el crecimiento
a largo plazo de una economía. Igualmente, el modelo nos dice que economías con un
nivel de desarrollo tecnológico mayor A tenderán a crecer más a largo plazo que las
economías con menor desarrollo tecnológico. El tamaño de la población afecta negativamente a la tasa de crecimiento, luego, según este modelo las políticas económicas
encaminadas a controlar la natalidad tendrán efectos positivos sobre el crecimiento.
• En este modelo la economía carece de transición hacia el estado estacionario. Las
economías crecen siempre a una misma tasa, y eso con independencia del stock de
capital que tengan.
• Se observa también que en este modelo la tasa de crecimiento del PIB per cápita no
depende del stock de capital que tiene la economía. Ni depende tampoco del nivel de
2 Argandoña,
Ramírez Antonio, Gámez, Amian Consuelo, Macroecnomia Avanzada II, McGraw- Hill,
1997, España, pp. 357- 382.
5
renta. Esto implica que el modelo AK NO PREDICE CONVERGENCIA entre países.
Este modelo no nos dice, como lo hacía el modelo de Solow-Swan, que los países más
ricos, (con más capital), crecen menos que los países pobres (con menor capital).
• El modelo AK predice que los efectos de una recesión temporal serán permanentes.
• Con la tecnología AK , no puede haber demasiada inversión en el sentido de que la
economía no puede encontrarse en una zona dinámicamente ineciente.
6
ANEXO
VON NEUMANN (1937)
Nació el 28 de diciembre en 1903 en Budapest Hungría, murió en 8 de febrero de
1957 en Washington en EEUU. Finalizo sus estudios de química en 1926, aun el mismo año
se doctor en matemáticas por la universidad de Budapest, con una tesis sobre la teoría de
conjuntos, donde dio una denición de números ordinarios que es la que se usa hoy en día.
Fue el fundador de la teoría de juegos .A este personaje se le atribuye como el primero en
usar la teoría de AK por el entorno de sus conocimientos matemáticos en 1937 con este
método sobre para procesos de índole química-matematico.
PAUL ROMER
Este inuyente profesor de la Universidad de Stanford arma que un cambio histórico
respecto al concepto de crecimiento se ha producido en economía, al pasar de la preocupación por políticas de estabilización características de una sociedad que fabrica mercancías u
objetos físicos a otra basada en el conocimiento. Para él los activos intangibles han pasado
ha constituir la base de la riqueza. El crecimiento sostenible se asienta cada vez más en la
innovación y la existencia de un mercado competitivo. El modelo de AK de Romer toma
su nombre de la interacción entre innovación tecnológicas con sus efectos sobre el capital
humano y capital físico. En la década de los años 70 hasta la década de los anos 80, se había
generado un estancamiento en la teoría del crecimiento, debido a los modelos de crecimiento
con progreso tecnológico exógeno. Pero Romer en 1986 con su tesis doctoral, formula un
modelo de crecimiento en el que se busca hallar las causas y los orígenes del progreso tecnológico, para ello Romer considera explícitamente los rendimientos decrecientes del capital así
como las externalidades del capital. Con este articulo impulso a la literatura del crecimiento
económico, por que introdujo la función de producción con externalidades.
SERGIO REBELO
Sergio Rebelo nació en Viseu, Portugal, el 29 octubre, 1959. Sus áreas mayores de
investigación son Macroeconomía y la Finanzas Internacional. Él está actualmente el Banco
de Tokai el Profesor Distinguido de Finanzas Internacional en la Escuela de Kellogg de
Dirección, la Universidad Del noroeste. Él recibió la "Licenciatura.en la Economía de la
Universidad católica portuguesa, este propone un modelo simple de crecimiento endógeno.
En este modelo, los rendimientos de escala crecientes no son necesarios para generar un
proceso de crecimiento endógeno. En comparación al modelo de crecimiento exógeno en
donde la productividad marginal del factor acumulable se anula, aquí en Rebelo no existe
7
tal anulación, además, la elasticidad de la producción con respecto al factor acumulable
es igual a 1. Este supuesto hace posible obtener un crecimiento de largo plazo y permite
denir una función de producción la tecnología AK la cual es una solución al problema del
crecimiento bajo restricción de rendimientos constantes y de productividad marginal del
capital que no se anula. En la ecuación se dene el nivel de la tecnología o productividad
aparente del capital, K es el stock de capital. En pocas palabras podemos decir que a través
del modelo de Rebelo, es posible obtener un crecimiento en el largo plazo o un crecimiento
sostenido al conservar la hipótesis de competencia perfecta y al tener la igualdad entre la
tasa de crecimiento óptimo y la tasa de crecimiento del equilibrio competitivo. Para ello
basta eliminar el factor trabajo de la función de producción o considerar el trabajo como un
tipo de capital acumulable que se puede añadir al capital físico para formar el concepto de
capital global y de tener una elasticidad del producto respecto a K igual a 13
3 http://www.eumed.net/libros/2010d/761/BIOGRAFIA %20Rebelo %20Sergio %20Lucas %20Robert %20Romer %20Paul.htm
http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/301/30121202.pdf
8