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Tema 3.
El modelo neoclásico de
crecimiento:
el modelo de Solow-Swan
Esquema
• Introducción
• El modelo neoclásico SIN progreso tecnológico
– La ecuación fundamental del modelo neoclásico
– El estado estacionario
– Transición al estado estacionario y tasas de crecimiento a
lo largo del tiempo
– Una ilustración del funcionamiento del modelo
– Distintas políticas de crecimiento recomendadas por el
Banco Mundial
– El modelo neoclásico como teoría de las diferencias de
niveles de renta y de tasas relativas de crecimiento
Esquema
• El modelo neoclásico CON progreso tecnológico
–
–
–
–
La representación de la tecnología
La ecuación fundamental del modelo
La velocidad de convergencia
La hipótesis de convergencia
• Ampliaciones del modelo neoclásico: capital humano
– El modelo de Mankiw, Romer y Weil
– ¿Cómo se mide el capital humano?
– ¿Qué parte de las diferencias de renta se debe a las
diferencias de educación entre los países?
Introducción
Uno de los hechos del crecimiento económico: la renta per capita
crece a lo largo del tiempo. ¿A qué se debe este crecimiento? ¿Por
qué aumenta con el paso del tiempo la renta per capita ?
– La primera respuesta la tenemos en la función de producción
agregada:
Dada la función de producción agregada: Y=F(K,L),
[FK>0; FL>0, FKK<0; FLL<0, Fkl>0] y rendimientos de escala
constantes, podemos expresar esta función de forma intensiva:
y=f(k) donde y=Y/L , k=K/L.
Observamos que la renta per capita aumenta debido a incrementos
del capital por trabajador. Pero dado que hay rendimientos
decrecientes del capital, la acumulación del capital no podrá
garantizar el crecimiento per capita de forma indefinida.
– Para que el crecimiento de la renta per capita sea continuado
deben producirse mejoras en la tecnología.
y
y = f(k)
Acumulación del
capital por trabajador
k
y
y = f(k)’
y = f(k)
Mejora en la tecnología
k
Ideas fundamentales del modelo de Solow-Swan
• Solow muestra que la acumulación de capital físico no puede
mantener por sí sola el crecimiento. Dados los rendimientos
decrecientes del capital, para mantener un aumento constante de
la producción por trabajador es necesario aumentar cada vez mas
el capital por trabajador. Llega un momento en el que la sociedad
no está dispuesta a ahorrar más (una proporción mayor de la
renta) e invertir lo suficiente para mantener el crecimiento del
capital: en ese momento y deja de crecer.
• Solow muestra que, como la acumulación de capital no puede
mantener el crecimiento económico de forma indefinida, el
progreso tecnológico es la fuerza motriz del crecimiento
económico.
• Residuo de Solow: componente del crecimiento no explicado por
la acumulación del capital ni por el crecimiento de la fuerza de
trabajo.
El modelo neoclásico
SIN progreso tecnológico
Objetivo: explicar el papel de la acumulación del capital
i La cantidad de capital determina la cantidad de producción que
puede obtenerse.
h La cantidad de producción determina el nivel de ahorro y de
inversión y, por lo tanto, el grado de acumulación de capital.
El
Elcapital,
capital,la
laproducción
producciónyyel
elahorro/la
ahorro/lainversión
inversión
Stock de
capital
Variación de
stock de
capital
Producción/renta
Ahorro/inversión
Supuestos tecnológicos (condiciones de Inada):
• Función de producción agregada continua, con rendimientos
constantes a escala:
Y = F(K,L)
• Función de producción en forma intensiva:
y = f (k) donde y=Y/L y k=K/L
• El producto marginal del capital es positivo para todos los
valores de k:
f´ (k) > 0 para todo k
• El producto marginal del capital disminuye cuando el capital
por trabajador aumenta:
f´´(k) < 0 para todo k
• Cuando k tiende a infinito, el producto marginal
del capital tiende a cero. Y cuando k tiende a cero,
el producto marginal del capital tiende a infinito:
lim f ' (k ) = 0
k →∞
lim f ' (k ) = ∞
k →0
• Si no se utiliza capital, la producción será nula, y
un valor infinitamente elevado del capital por
trabajador se asocia a una producción por
trabajador infinitamente grande:
f ( 0) = 0
f (∞ ) = ∞
La función de producción neoclásica de forma intensiva
y = f(k)
y
∂y
= PMg K = r
∂k
•Productividad marginal decreciente
•Sustituibilidad entre los factores
•Relación Técnica de Sustitución (RTS)
decreciente (sustituibilidad entre los
factores a tasas marginales decrecientes)
k
Otros supuestos:
• La tasa de ahorro (bruto) es una proporción s del producto final:
S = sY, 0 < s < 1
• La depreciación del capital es constante e igual a
δK, 0 < δ < 1
• La tasa de crecimiento de la población n es constante y exógena
y el crecimiento del empleo es igual al crecimiento de la
población:
.
dL 1 L
= =n
dt L L
Las tasas de ahorro, de depreciación del capital y de crecimiento
de la población (s, δ y n) son constantes y exógenas.
• Mercados de capital y trabajo perfectamente competitivos.
Obtención de la senda de expansión de la economía
• ¿Cómo evoluciona el stock de capital? La acumulación del
stock de capital depende de la inversión.
• La identidad S≡IB determina el equilibrio en una
economía, a partir del cual podemos obtener la evolución
del stock de capital:
•
dK
IN =
= K = IB − δ K = S − δ K = sY − δ K
dt
dK •
= K = sY − δK
dt
Ecuación de acumulación del
stock de capital
• Partiendo de la ecuación de acumulación del stock de
capital, obtenemos la tasa de crecimiento del stock de
capital:
•
K = sY − δK
dK 1
Y
Y L
1
f (k )
= s −δ = s
− δ = sy − δ = s
−δ
dt K
K
LK
k
k
• Partiendo de que k=K/L, obtenemos la tasa de crecimiento
de la relación capital-trabajo
dk 1 dK 1 dL 1
f (k )
=
−
=s
−δ − n
k
dt k dt K dt L
dk
k=
= sf (k ) − (δ + n)k
dt
•
Ecuación
fundamental del
modelo neoclásico
Interpretación de la ecuación fundamental del modelo:
• El aumento de capital per capita es igual a la diferencia
de dos funciones:
– sf(k), curva de ahorro: refleja la cantidad de ahorro per capita
disponible para la inversión. Si aumenta el ahorro por
trabajador, aumenta la acumulación de capital por trabajador
(“profundización del capital”).
– (n+δ)k, curva de depreciación: es la inversión bruta per capita
necesaria para que la relación capital-trabajo se mantenga
constante, dada la tasa de depreciación del capital y el
crecimiento del empleo (“ampliación del capital”).
• Como f(0)=0, entonces sf(k) = (n+δ)k en el punto k=0.
• Las condiciones de Inada implican que:
– si k=0, f’(k) es muy grande (tiende a infinito) y, por tanto, la
curva sf(k) tiene una pendiente mayor que la curva (n+δ)k.
– f’(k) tiende a cero a medida que k aumenta, luego a partir de
un punto la pendiente de la curva sf(k) es menor que la
pendiente de (n+δ)k , con lo que la curva sf(k) se hace más
plana que la curva (n+δ)k y ambas terminan por cortarse.
• f’’(k) <0 implica que ambas curvas se cruzan en un
solo punto (ignorando el origen).
• Sea k* el punto en el que estas curvas se cruzan, es
decir, en el que se cumple que: sf(k) = (n+δ)k Æ éste
es el estado estacionario.
y
y*
y = f(k)
(n+δ)k
A
y1
AB:
consumo
sf(k)
B
Profundización del capital
B k1:
ahorro e
inversión
bruta
k1
k
k*
El estado estacionario:
Definición: aquella situación en la que todas las variables crecen a
una tasa constante o no crecen (trayectoria de crecimiento
sostenido).
El valor de k en el estado estacionario es tal que la cantidad de
ahorro es la suficiente para cubrir la depreciación y el crecimiento
•
de la población. Es decir, aquel en que k = 0
•
k = sf (k * ) − (δ + n)k * = 0
sf (k ) = (δ + n)k
*
*
k
s
=
*
f (k ) δ + n
*
¿Qué
¿Qué sucede
sucede con
con las
las variables
variables del
del modelo
modelo
cuando
cuando k=k*,
k=k*, es
es decir
decir cuando
cuando la
la economía
economía
se
se encuentra
encuentra en
en el
el estado
estado estacionario?
estacionario?
• Si la economía está en estado estacionario se cumple que
sf(k) = (n+δ)k, entonces:
•
k = 0
• Si la relación capital-trabajo no aumenta, en el siguiente
instante k seguirá siendo k* y en ese punto se cumple otra
vez que sf(k) = (n+δ)k• y de nuevo
k = 0
• Y así indefinidamente.
• El stock de capital per capita que tiene esta propiedad (k*)
se llama stock de capital per capita de estado estacionario.
Se ahorra y se
invierte una
cantidad constante s
del total de la
cantidad producida
Esta inversión se utiliza
aumentar el stock de capital,
mantener el capital por
trabajador y reemplazar el
capital depreciado
Una vez remplazado el
capital depreciado no
quedan recursos para
incrementar k por lo que
este permanece en su
valor k*
Cuando la economía tiene un
stock de capital k*, la cantidad
producida es f(k*), y si se ahorra
s de dicha cantidad se obtiene
una cantidad de inversión que es
justamente la necesaria para
reemplazar el capital depreciado
y para mantener la relación K/L
Conclusión: la economía no es capaz de aumentar el stock de
capital-per capita y permanece así indefinidamente
• En el estado estacionario las variables en términos per capita
tienen siempre el mismo valor:
– Como el stock de capital per capita en el estado estacionario es
constante, el producto per capita que es función de k también es
constante Æ la tasa de crecimiento de y es cero.
– Dado que el consumo per capita es una fracción de y, también se debe
cumplir que el consumo en el estado estacionario sea constante y su
tasa de crecimiento sea cero.
• Puesto que las variables per capita son constantes en el largo
plazo, sus correspondiente valores agregados crecen al mismo
ritmo que la población. Esto se puede ver utilizando la
definición de variable per capita.
Por ejemplo: K=kL. Tomando logaritmos:
logK=logk+logL,
.
.
K
L
Derivando respecto del tiempo, tenemos que:
= 0+ = n
K
L
gK= gY = gC = n
¿Es
¿Esestable
estableelelestado
estadoestacionario?
estacionario?
•Si sf(k) > (n+δ)k
la relación capital-trabajo aumenta
Inversión/trabajador > Depreciación/ trabajador
capital/trabajador aumenta
•Si sf(k) < (n+δ)k
la relación capital-trabajo disminuye
Inversión/ trabajador < Depreciación/ trabajador
capital/ trabajador disminuye
•Si sf(k) = (n+δ)k
k e y se mantienen constantes
Inversión/ trabajador = Depreciación/ trabajador
capital/ trabajador permanece constante
EQUILIBRIO A LARGO PLAZO
(n+δ)k
y
Estado estacionario
sf(k) < (n+δ)k
sy
Profundización del capital
sf(k) > (n+δ)k
k
k*
• En conclusión, la acumulación de capital no es suficiente
para mantener una tasa de crecimiento sostenido per
capita, siendo la renta per capita constante a largo plazo
(en ausencia de progreso tecnológico).
Producción por trabajador, y
(Sin progreso tecnológico)
y*
Correspondiente a una tasa de ahorro s
t
Tiempo
Comportamiento de las tasas de
crecimiento a lo largo del tiempo
• Sabemos que gK = gY = gC = n
• Luego estudiando la tasa de crecimiento del
capital, conoceremos como se comporta la tasa de
crecimiento de la renta per capita y la del
consumo per capita:
•
• A)
k = sf ( k ) − (δ + n)k
•
• B)
k
f (k )
=s
− (δ + n)
k
k
(n+δ)k
y
Estado estacionario
•
k =0
sy
0
k
k*
•
k >0
0
k0
•
k*
k <0
•
k = sf ( k ) − (δ + n)k
k1
k
•
k
f (k )
=s
− (δ + n)
k
k
Curva de ahorro
Curva de
depreciación
Curva de ahorro:
•Decreciente para todo k
•Tiende a infinito cuando k
tiende a 0
•Tiende a cero cuando k
tiende a infinito
Tasa de crecimiento:
distancia entre las dos
Curva de depreciación
(n+δ)
Curva de ahorro
k0
k*
k
Las dos curvas se
cruzan una sola
vez: el estado
estacionario existe
y es único
•La tasa de crecimiento es positiva para valores de k inferiores a k* y
negativa para valores superiores a k*
•La tasa de crecimiento es mayor cuanto más por debajo está la
economía del estado estacionario
•Si la economía tiene un capital inicial k0 inferior a k*, la tasa de
crecimiento del capital al principio es grande y luego va descendiendo
según se aproxima la economía al estado estacionario, en donde la tasa
de crecimiento es cero.
•Comportamiento simétrico para un k inicial superior a k*
•
k
f (k )
=s
− (δ + n)
k
k
(n+δ)
k0
k*
k
¿Por qué se produce una caída en la tasa de crecimiento
a lo largo de la transición al estado estacionario?
Porque los rendimientos del capital son decrecientes
Cada unidad
adicional de capital
genera un nivel de
producción menor
Se ahorra y se invierte una
proporción constante de la renta, lo
que hace que los incrementos en el
stock de capital sean cada vez
menores y se aproximen a cero si el
stock de capital es muy grande
La economía
permanece en esta
situación para
siempre
Antes de llegar a ese extremo se alcanza
un punto en el que los incrementos en el
stock de capital cubren la depreciación,
siendo este aumento suficiente para
mantener el nivel de capital per capita
constante.
Una ilustración del funcionamiento del
modelo neoclásico
Supongamos una economía que se
encuentra en estado estacionario y
experimenta un shock: un aumento
permanente en la tasa de ahorro.
Efectos
Efectosde
dediferentes
diferentestasas
tasasde
deahorro
ahorro
Depreciación por trabajador
Producción por trabajador
f(k)
D
Producción por trabajador, y
y1
y0
B
E
Inversión
s1 f (k)
donde s1 > s0
c
Inversión
s0 f(k)
A
k0
k1
Capital por trabajador, k
Efectos
Efectosde
dediferentes
diferentestasas
tasasde
deahorro
ahorro
En el estado estacionario, los países con una tasa de ahorro superior
disfrutarán de una renta per capita mayor
Producción por trabajador, y
(Sin progreso tecnológico)
Correspondiente a una tasa de ahorro s1 > s0
y1
y0
Correspondiente a una tasa de ahorro s0
t
Tiempo
Calcular
Calcularla
larespuesta
respuestacon
conun
unejemplo
ejemploconcreto
concreto
Suponga:
Y =
Y
=
L
K
K
L
L
L
(Tanto rendimientos constantes
de escala como rendimientos
decrecientes del capital o del
trabajo, siendo la población
constante Æ n=0)
=
K
=
L
K
L
Y
=
L
Repaso:
K
L
K t +1 K t
⎛ Kt
−
= sf ⎜
L
L
⎝ L
⎛ Kt
Sustituya f ⎜
⎝ L
⎞
⎟ por
⎠
Kt
⎞
⎟ −δ
L
⎠
K
L
K t +1 K t
Kt
Kt
−
=s
−δ
L
L
L
L
Los
Losefectos
efectosde
dela
latasa
tasade
deahorro
ahorroen
enla
laproducción
producciónen
enel
el
estado
estadoestacionario
estacionario
K t +1 K t
Kt
Kt
−
=s
−δ
L
L
L
L
En el estado estacionario
K
L
es constante y el primer
miembro de la ecuación igual a 0. Luego:
s
K
L
= δ
K
L
Los
Losefectos
efectosde
dela
latasa
tasade
deahorro
ahorroen
enla
laproducción
producciónen
enel
el
estado
estadoestacionario
estacionario
K
s
L
K
=δ
L
⎛K
s
= δ ⎜⎜
L
⎝ L
2
K
Eleve al cuadrado ambos miembros:
2
K ⎛s⎞
=⎜ ⎟
L ⎝δ ⎠
2
⎞
⎟⎟
⎠
2
K
Divida por
y reorganice:
L
Los
Losefectos
efectosde
dela
latasa
tasade
deahorro
ahorroen
enla
laproducción
producciónen
enel
el
estado
estadoestacionario
estacionario
La producción/trabajador en el estado estacionario:
Y
=
L
K
=
L
2
s
⎛ s ⎞
=
⎜ ⎟
δ
⎝δ ⎠
Observación:
Observación:
Un aumento de la tasa de ahorro y una reducción
de la tasa de depreciación provocan ambos un
incremento de K y Y a largo plazo.
L
L
Los
Losefectos
efectosde
dela
latasa
tasade
deahorro
ahorroen
enla
laproducción
producciónen
enel
el
estado
estadoestacionario
estacionario
Suponga:
δ = 10% y s = 10%;
En estado estacionario
K Y
= =1
L L
δ = 10% y s = 20%
En estado estacionario
K
Y
= 4;
=2
L
L
Una duplicación de la tasa de ahorro, duplica la
producción de estado estacionario. Se trata de un
gran efecto.
Efectos
Efectosdinámicos
dinámicosde
deun
unaumento
aumentode
dela
latasa
tasade
deahorro
ahorro
Suponga:
•La tasa de ahorro siempre ha sido igual a 0,1.
•Entonces la tasa de ahorro aumenta a 0,2 y se
mantiene en este valor indefinidamente.
Entonces:
K0
= (0,1/ 0,1)2 = 12 = 1
L
K0
K0
K1 K 0
−
=s
−δ
L
L
L
L
Efectos
Efectosdinámicos
dinámicosde
deun
unaumento
aumentode
dela
latasa
tasade
deahorro
ahorro
(K1 / L )− 1 = [(0,2)(
1)] − [(0,1)1]=0,1
K1
= 1,1
L
Continuando así sucesivamente todos los años.
Efectos
Efectosdinámicos
dinámicosde
deun
unaumento
aumentode
dela
latasa
tasade
deahorro
ahorro
(a) Efecto en el nivel de producción por trabajador
Producción por trabajador, Y/L
2,00
1,75
1,50
1,25
1,00
Años
Tasa de crecimiento de la producción por trabajador, %
Efectos
Efectosdinámicos
dinámicosde
deun
unaumento
aumentode
dela
latasa
tasade
deahorro
ahorro
(b) Efecto en el crecimiento de la producción
Años
Dos políticas que recomienda el
Banco Mundial a los países pobres
(basadas en el modelo neoclásico)
• Aumento de la tasa de ahorro e
inversión
• Disminución del crecimiento de la
población
No se pueden generar aumentos permanentes de renta per capita
a largo plazo con políticas de ahorro e inversión
•Un aumento de s genera crecimiento a corto plazo y aumenta el stock de capital per
capita en el estado estacionario pero no aumenta la tasa de crecimiento a largo
plazo, que será cero en el nuevo estado estacionario. No puede aumentarse el
crecimiento con aumentos sucesivos de la tasa de ahorro. Límite: la tasa de ahorro
igual a 1. En ese momento la economía converge a un estado estacionario del que
no se puede escapar.
•Aumenta la renta per capita a largo
plazo, pero hay que tener en cuenta la
paciencia o impaciencia de los
individuos y la ineficiencia (regla de oro
Æ más adelante)
Tasa de
crecimiento
inicial
(n+δ)
k*
k**
k
Un aumento en el crecimiento de la población
(n’+δ)k
(n+δ)k
y
sy
k**
k*
k
No se pueden generar aumentos permanentes de renta per
capita a largo plazo con descensos permanentes de la tasa de
crecimiento de la población
•Una reducción de n implica tasas
de crecimiento positivas en el
momento inicial, pero a medida
que el capital aumenta la tasa de
crecimiento disminuye y la
economía llega finalmente al
estado estacionario, donde la tasa
de crecimiento es nula.
Tasa de
crecimiento
inicial
(n+δ)
•No pueden generarse tasas de
crecimiento a largo plazo a base de
reducciones sucesivas de n ya que
la población podría extinguirse
(envejecimiento).
(n’+δ)
k*
k**
k
•Es probable que el deseo de las
familias no sea tener pocos hijos, lo
que pone en cuestión la
optimalidad de estas políticas
El modelo neoclásico como teoría de las
diferencias de renta y de las tasas de crecimiento
• Sabemos que en estado estacionario:
•
k = sf (k *) − (δ + n)k * = 0
• Supongamos que la función de producción intensiva
es y=kα. Entonces:
α
s ( k *) = (δ + n)k *
• Despejando: k * = ⎛⎜ s ⎞⎟
⎝δ + n⎠
1
1−α
α
1−α
s ⎞
⎛
Æ y* = ⎜
⎟
⎝δ +n⎠
El modelo neoclásico como teoría de las diferencias de los
niveles de renta
• Consideremos dos países que representamos por medio de i
y de j (suponemos que ambos están en estado estacionario)
:
α
α
⎛ s ⎞1−α
⎛ s ⎞1−α
⎜ j ⎟
i
⎜
⎟
y *= ⎜
y *=
j ⎜ δ + n ⎟⎟
i ⎜δ + n ⎟
⎝ i i⎠
⎝ j j⎠
• Supongamos que ambos tienen las mismas tasas de
depreciación y de crecimiento de la población.
α
Entonces:
1−α
y * ⎛⎜ s ⎞⎟
i = i
y * ⎜⎜ s ⎟⎟
j
⎝ j⎠
• Predicciones cuantitativas:
1
2
1
y * ⎛ 0,20 ⎞
i =⎜
⎟ = 42 = 2
y * ⎝ 0,05 ⎠
j
• Supongamos ahora que ambos tienen las mismas tasas de
depreciación y de ahorro.
α
Entonces:
y * ⎛δ +n ⎞1−α
j⎟
i =⎜
y * ⎜ δ +n ⎟
j ⎝
i⎠
• Predicciones cuantitativas:
1
2
y * ⎛ 0,05 + 0,04 ⎞
i =⎜
⎟ ≈ 1,34
y * ⎝ 0,05 + 0,00 ⎠
j
• Resultado: las diferencias de renta entre los países que
predice el modelo son menores que las diferencias
observadas en la realidad. ¿Causas? Hay otros elementos que
influyen en la renta de los países que no están incluidos en el
modelo y puede que los países no se encuentren en su estado
estacionario.
El modelo neoclásico como teoría de las diferencias de las
tasas de crecimiento de la renta
• No da una explicación completa a las tasas
de crecimiento, ya que una vez que un país
alcanza el estado estacionario ya no crece
más.
• Pero sí puede decir algo sobre las tasas
relativas de crecimiento: ¿por qué unos
países crecen más deprisa que otros? La
clave es analizarlos fuera del estado
estacionario Æ convergencia.
• Predicciones:
– Si dos países tienen la misma tasa de inversión pero
diferentes niveles de renta, el que tenga menos renta
crecerá más.
– Si dos países tienen el mismo nivel de renta pero
diferentes tasas de inversión, el que tenga la tasa de
inversión más elevada crecerá más.
– Un país que eleve su tasa de inversión aumentará su
tasa de crecimiento de la renta.
• Esto se cumplirá si no existe ninguna otra
diferencia entre los países en cuanto a su nivel de
productividad o de los otros determinantes del
estado estacionario.
Conclusiones del modelo neoclásico sin
progreso tecnológico
• Si la función de producción es neoclásica, no
solamente existe un punto en el que la economía deja
de crecer, sino que además la economía se acerca a
este punto Æ a largo plazo, la economía deja de
crecer.
• Esto significa que el crecimiento a largo plazo no se
puede alcanzar invirtiendo una fracción constante de
la producción.
• Este resultado no concuerda con la realidad, ya que la
experiencia de muchos países que han crecido en los
últimos 200 años muestra que es posible crecer a
largo plazo.
El modelo neoclásico
CON progreso tecnológico
El
Elprogreso
progresotecnológico
tecnológicoyyla
lafunción
funciónde
deproducción
producción
Las
Lasdimensiones
dimensionesdel
delprogreso
progresotecnológico
tecnológico
Mayor producción con unas cantidades dadas de capital y trabajo
Mejores productos
Nuevos productos
Más tipos de productos
Definición:
Todo aquello que permite que con la misma cantidad de factores
productivos se pueda obtener mayor cantidad de producción (si
pensamos en la producción como el conjunto de servicios
subyacentes que prestan los bienes producidos en la economía) Æ
todo lo que desplaza la función de producción hacia arriba.
Representación del progreso tecnológico
•Progreso tecnológico incorporado: se produce cuando se renuevan
los factores productivos
•Progreso tecnológico no incorporado: se produce con el simple
paso del tiempo
Y = F ( K , L, A)
+, +, +
Dados K y L, una mejora del estado
de la tecnología (A) genera un
aumento de la producción (Y).
*Progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod Y=F(K,AL)
*Progreso tecnológico neutral en el sentido de Solow: Y=F(AK,L)
*Progreso tecnológico neutral en el sentido de Hicks: Y=AF(K,L)
Ejemplo: función de producción Cobb-Douglas
Y = F ( K , L) = K α L1−α
Progreso tecnológico neutral según Harrod (aumenta la
eficiencia del trabajo)
α
1−α
Y = K ( AL)
Progreso tecnológico neutral según Solow (aumenta la
eficiencia del capital)
α 1−α
Y = ( AK ) L
Progreso tecnológico neutral según Hicks (aumenta tanto la
eficiencia del trabajo como la del capital)
Y = AK α L1−α
Interpretación de una representación de la tecnología
que aumenta la eficiencia del trabajo
Y = F ( K , AL )
Siendo L^≡≡AL el trabajo en unidades de eficiencia o el “trabajo
efectivo”
Dos interpretaciones:
•Dado K, el progreso tecnológico reduce el número de
trabajadores necesarios para conseguir una determinada
cantidad de producción (Y).
• Dado K, el progreso tecnológico aumenta AL (es como si la
economía tuviera más trabajadores).
•Nota: La existencia de estado estacionario con el modelo de
Solow sólo es compatible con el progreso tecnológico neutral en
el sentido de Harrod.
Supuesto del modelo neoclásico: el progreso tecnológico A crece
a una tasa constante (gA).
•
dA 1 A
= = gA ⇔ A = A0 e gt
dt A A
Por lo tanto, las tasas de ahorro, de depreciación del capital, de
crecimiento de la población y del progreso tecnológico (s, δ, n y
gA) son constantes y exógenas. La tasa de crecimiento del trabajo
efectivo (AL) es gA+n.
Nota: que la tecnología sea exógena quiere decir que la tecnología
aumenta sin necesidad de que ningún miembro de la economía
dedique esfuerzos o recursos para que ésta aumente.
• Función de producción en unidades de eficiencia del
trabajo:
^
F ( K , L)
^
L
^
^
^
K L
= F ( ^ , ^ ) = F (k ,1) = f (k )
L L
• Ecuación de acumulación:
•
K = sY − δK
• Dividimos por K y multiplicamos y dividimos el primer
término de la derecha por AL:
•
^
^ 1
K
Y
Y AL
f (k )
= s −δ = s
−δ = s y ^ −δ = s ^ −δ
K
K
AL K
k
k
• Ahora obtenemos la tasa de crecimiento de la relación
capital-trabajo efectivo (k^=K/AL, y^=Y/AL):
^
^
dk 1 dK 1 dL 1 dA 1
f (k )
=
−
−
= s ^ − (δ + n + gA)
^
dt k dt K dt L dt A
k
^
^
^
dk
= sf (k ) − (δ + n + gA) k
dt
Ecuación fundamental
del modelo neoclásico
con progreso tecnológico
Interpretación de la ecuación fundamental
• El stock de capital en unidades de eficiencia es la
diferencia entre dos términos:
– sf(k^) es la inversión realizada por unidad de trabajo
efectivo
– (n+gA+δ)k^ es la depreciación o inversión de
reposición. Hay dos razones por las que se necesita un
determinado nivel de inversión para evitar que k
disminuya:
• El capital se deprecia
• La cantidad de trabajo efectivo crece a una tasa (n+gA) de
manera que la inversión necesaria para mantener el stock de
capital en unidades de eficiencia (k^) debe ser igual a (n+gA)
y^
(n+δ+gA) k^
Estado estacionario
sf(k^) < (n+δ+gA)k^
sy^ *
sy^
sf(k^) > (n+δ+gA)k^
k^
k^*
Estado estacionario
• Existe un único stock de capital (k^) de estado estacionario
constante k^ * y la tasa de crecimiento de dicho stock de capital
es cero:
gk^= 0
• En el estado estacionario el producto por unidad de trabajo
eficiente y^ * también es constante y su tasa de crecimiento es
cero: gy^=
0
• El consumo por unidad eficiente de trabajo es constante c^* y
su tasa de crecimiento es cero: gc^=
0
• Luego en el estado estacionario, las variables fundamentales
para el modelo en unidades de eficiencia crecen a una tasa
igual a cero (PERMANECEN CONSTANTES):
gk^= gy^ = gc^ = 0
Si conocemos cómo crece en el estado estacionario el
stock de capital per capita, es posible conocer cómo
crece la renta per capita y el consumo per capita:
Dado que por definición:
Entonces:
Llegamos a:
k^=K/AL
k^=k/A
k= Ak^
Tenemos que la tasa de crecimiento del stock de capital
per capita será: gk=gA+0=gA
De la misma manera, la renta per capita crece a una tasa
igual a gA y el consumo per capita crece a una tasa igual
a gA. Es decir, las variables en términos por trabajador
crecen a la tasa de progreso tecnológico:
gk= gy= gc= gA
Si representamos la producción per capita en una escala logarítmica,
obtenemos una línea recta cuya pendiente corresponde a la tasa de
progreso técnico y cuya abscisa es el nivel de renta inicial. Dos países
iguales que difieran sólo en gA se encontrarán en dos rectas distintas.
(Con progreso tecnológico)
Log de producción por trabajador, y
•
Pendiente: gA
Correspondiente a una tasa de ahorro s
Tiempo
También es posible conocer cómo crece la producción y
el capital total:
Dado que por definición:
y^=Y/AL
Y que en el estado estacionario y^ es constante, entonces
la producción debe crecer a la misma tasa que el trabajo
efectivo: gY=gA+n
Y lo mismo sucede con el capital. Luego, tanto la
producción total como el capital total y el trabajo
efectivo crecen a la misma tasa:
gK = gY = gA+ n
Dinámica del ajuste
•Si k^< k^*, la inversión es superior a la de
reposición, de modo que k^ está creciendo
•Si k^> k^*, la inversión es inferior a la de
reposición, de modo que k^ está descendiendo
•Si k^=k^* la inversión es igual a la de
reposición y k no crece
Por lo tanto, independientemente de cual sea su
posición inicial, k^ converge a k^*
•
Dinámica de k ^ en el modelo de Solow
k^
•
k^ > 0
0
•
k^ < 0
k^0
k^ *
k^ 1
k^
^
^
d k 1 sf (k )
= ^ − (δ + n + gA)
^
dt k
k
Tasa de crecimiento del
stock de capital en
unidades de eficiencia:
distancia entre las dos
curvas
Curva de depreciación
(n+δ+gA)
Curva de ahorro
k^0
k^*
k^
Conclusiones del modelo neoclásico con
progreso tecnológico
• El modelo recurre a las diferencias en las tasas de
ahorro (inversión) y en las tasas de crecimiento de
la población y de la tecnología para explicar las
diferencias en la producción per capita entre los
países: un país es más rico que otro porque tiene
una tasa de ahorro mayor, una tasa de crecimiento
de la población inferior y/o un progreso técnico
más elevado. Los dos primeros elementos
permiten acumular más capital por trabajador,
mientras que el tercero permite que la misma
cantidad de factores produzca más. Todo ello
eleva la productividad del trabajo.
• Las diferencias en las tasas de
crecimiento entre países pueden explicarse
por diferencias (sin modelar) en el progreso
técnico y/o recurriendo a la dinámica de
transición (los países se encuentran en
distintas fases en su camino hacia el mismo
estado estacionario o tienen distintos
estados estacionarios) Æ convergencia.
• La economía sólo puede tener crecimiento
económico sostenido a largo plazo si la
tecnología crece. Pero ¿cómo puede mantenerse y
aumentar la tasa de crecimiento de la tecnología?
El problema es que el progreso técnico en el
modelo es exógeno, está dado, es decir, no surge
de la inversión en I+D de las empresas ni del
esfuerzo investigador de la sociedad, y no se
explica de dónde surge: el progreso técnico
aumenta constantemente pero no se explica porqué
ni cómo.
• Pero es que además el progreso técnico debe ser
exógeno (para ser incorporado al modelo).
Un problema grave : el progreso tecnológico DEBE ser
exógeno
• Una de las características de la función de producción neoclásica
es que presenta rendimientos constantes de escala en los factores
rivales Æ según el teorema de Euler, se cumple que:
∂F
∂F
+L
F ( K , L, A) = K
∂K
∂L
• Dado que otro de los postulados neoclásicos es que se supone
competencia perfecta, sabemos que:
F ( K , L, A) = rK + wL
• Esto significa que una vez que paga el salario al trabajo y la renta
al capital el producto de la economía se acaba: no queda nada
para financiar el progreso tecnológico Æ ES NECESARIO
suponer que el progreso tecnológico es exógeno.
• Recomendación: si se quiere construir un modelo que
explique el crecimiento a largo plazo, deben
abandonarse algunos de los supuestos neoclásicos (la
función de producción no presenta rendimientos
constantes de escala, no hay competencia perfecta, el
progreso tecnológico no es exógeno o algún otro
supuesto).
A pesar de no ser una teoría satisfactoria del crecimiento a
largo plazo, el modelo neoclásico ofrece unas
explicaciones interesantes de la transición al estado
estacionario:
– ¿Cuál es la rapidez con que la economía evoluciona durante la
transición hacia el estado estacionario?
– ¿Se produce una convergencia entre economías con diferentes
características?
La velocidad de convergencia al estado estacionario
Definimos la velocidad de convergencia como el
cambio en la tasa de crecimiento cuando el capital
aumenta un 1 por ciento. Dos formas de obtenerla:
* Primera
•
k
f (k )
=s
− (δ + n)
k
k
Si f (k ) = Ak
α
g k = sAk α −1 − (δ + n)
Como Akα-1 puede escribirse como Ae(α-1)log(k):
g k = sAe (α −1) log( k ) − (δ + n)
Derivando esta expresión con respecto a log(k):
[
]
∂g k *
v* ≡
= − sAe (α −1) log( k ) (α − 1) = (1 − α ) sAk (α −1)
∂ ln(k )
Como sabemos que en el estado estacionario:
sA(k *)
(α −1)
=δ +n
Entonces, la velocidad de convergencia disminuye a lo
largo de la transición hasta alcanzar el valor
∂g k *
v* ≡
= (1 − α )(δ + n)
∂ ln(k *)
• Nota: si consideramos el progreso tecnológico, la
velocidad de convergencia sería:
∂g k *
v* ≡
= (1 − α )(δ + n + g )
∂ ln(k *)
* Segunda
•
f (k )
k
=s
− (δ + n)
k
k
Si f (k ) = Ak α
g k = sAk α −1 − (δ + n)
Sabemos que xα-1 = e-(1-α) ln x y mediante una
aproximación de Taylor de primer orden alrededor
de ln k* tenemos:
g k = −(1 − α ) sAe − (1−α ) ln( k *) [ln(k ) − ln(k *)]
Sabemos que en el estado estacionario:
sAe
− (1−α ) ln( k *)
=δ +n
Por lo que tenemos que:
g k = −(1 − α )(δ + n)[ln(k ) − ln(k *)]
• La velocidad de convergencia es la parte de la distancia
entre la situación de la economía y el estado estacionario
(ln k-ln k*) que se recorre en cada unidad de tiempo:
g k = −(1 − α )(δ + n)[ln(k ) − ln(k *)]
∂g k *
v* ≡
= (1 − α )(δ + n)
∂ ln(k *)
• El tiempo que tarda la economía en llegar al estado
estacionario es:
k * = k0e
gkt
ln k * − ln k0
1
=
⇒ ln k * = g k t + ln k0 ⇒ t =
gk
(1 − α )(δ + n)
• Luego cuanto mayor sea δ y n y cuanto menor sea α más
rápido será el proceso de convergencia al estado
estacionario
• La velocidad de convergencia que predice el modelo
para los países industrializados se sitúa en torno al 8 por
ciento anual. Esto implica que la mitad de la distancia
existente entre k0 y k* desaparece en unos nueve años.
• Cuando la participación del capital tiene en cuenta una
definición más amplia (incluyendo el capital humano), es
decir, con un α=0,80, la velocidad de convergencia se
sitúa en 2,2 por ciento. En este caso, la mitad de la
distancia existente entre k0 y k* se cubriría en 32 años.
Hipótesis de la convergencia absoluta y condicional
• En el modelo neoclásico, la tasa de crecimiento de una
economía es decreciente: si las economías se diferenciasen
únicamente en el stock de capital por trabajador, deberíamos
observar que los países pobres tienen mayores tasas de
crecimiento que los ricos. Según la ecuación fundamental, la
tasa de crecimiento de k que está inversamente relacionada
con k:
•
k
f (k )
=s
− (δ + n )
k
k
• Puesto que la tasa de crecimiento de la renta per capita es
proporcional a la tasa de crecimiento del capital per capita,
el modelo predice una relación negativa entre su renta inicial
y su tasa de crecimiento, lo que se conoce como hipótesis de
convergencia.
• El modelo sólo predice la existencia de una relación negativa
entre la renta inicial y la tasa de crecimiento en el caso en el que
la única diferencia entre los países sea el stock de capital inicial.
• Si los países difieren en n, s o δ, el modelo no predice que los
países más pobres tengan tasas de crecimiento superiores y, por
tanto, no predice que vaya a haber convergencia.
• En este caso podemos hablar de convergencia condicional: la
tasa de crecimiento de una economía está directamente
relacionada con la distancia a la que se sitúa de su estado
estacionario:
g k = −(1 − α )(δ + n)[ln(k ) − ln(k *)]
Ædado el estado estacionario, cuanto mayor sea el nivel de ln k
menor será la tasa de crecimiento
Como los estados estacionarios pueden variar de unos países a
otros, no es necesario que los países converjan uno con otro: el
modelo predice convergencia después de tener en cuenta los
elementos determinantes del estado estacionario.
Extensiones del modelo de Solow
•Varios factores productivos acumulables
•Movilidad internacional del capital
•Migraciones
•Recursos naturales y crecimiento económico
Varios factores productivos
acumulables: el papel del
capital humano
(Mankiw, Romer y Weil, 1992)
Supongamos
•Tres factores de producción: capital físico, capital humano y
trabajo
•Una función de producción neoclásica (Cobb-Douglas por
simplicidad):
α
β
Yt = K t H t ( At Lt )1−α − β ,0 < α , β , α + β < 1
•Inversión en bienes de equipo: SKt=sKYt, 0<sK<1
•Inversión en educación: SHt=sHYt, 0<sH<1
•Depreciación del capital físico: δKKt, 0<δK<1
•Depreciación del capital humano: δHHt, 0<δH<1
.
•Tasa de crecimiento de la población dL 1 = L = n
dt L
L
.
•Crecimiento de la productividad de los factores: dA 1 = A = g
dt A
A
A
• Definimos, las variables en términos per capita y
en unidades de eficiencia
Yt ^
Kt ^
Ht
yt =
,kt =
, ht =
At Lt
At Lt
At L
^
• Y por tanto la función de producción puede
escribirse como:
^
^
Yt
α
β
yt =
= k t ht
At Lt
^
• La inversión en cada uno de los factores de
producción acumulables nos permite calcular las
tasas de crecimiento de esos factores:
^
^ β
dK t 1
Yt
Yt At Lt
α −1
= sK
− δ K = sK
− δ K = sK k t ht − δ K
At Lt K t
dt K t
Kt
^
^
Yt At Lt
Yt
dH t 1
α
β −1
= sH
− δ H = sH
− δ H = sH k t ht − δ H
At Lt H t
Ht
dt H t
• Las tasas de crecimiento de la relación capitaltrabajo y del capital humano per capita en
unidades de eficiencia son:
^
^
^
d kt 1 dK t 1 dLt 1 dAt 1
α −1
β
=
−
−
= s K k t h t − (δ K + n + gA)
^
dt k
dt K t dt Lt dt At
t
^
^
^
d ht 1 dH t 1 dLt 1 dAt 1
α
β −1
=
−
−
=
s
k
h
− (δ H + n + gA)
t
H t
^
dt h
dt H t dt Lt dt At
t
Estas dos ecuaciones diferenciales son muy similares a
las obtenidas a lo largo de este capítulo y siguiendo los
mismos pasos puede probarse que existe una senda de
crecimiento equilibrado o estado estacionario en el
cual se cumple que:
• La relación capital-trabajo, el capital humano per
capita y el producto per capita en unidades de
eficiencia son constantes y dependen:
• Positivamente de las tasas de ahorro, sK y sH,
• Negativamente de las tasas de depreciación, δK y δH, de la
tasa de crecimiento de la población, n, y de la tasa de
crecimiento de la productividad de los factores, gA.
⎛ 1− β β ⎞ 1/(1−α − β ) ^
⎛ α 1−α ⎞ 1/(1−α − β )
⎜ sK sH ⎟
⎜ sK sH
⎟
k*= ⎜
h* = ⎜
⎟
⎟
⎜ δ K + n + gA ⎟
⎜ δ H + n + gA ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
^
• Las tasas de crecimiento del producto, del capital
físico y del capital humano son iguales a n+gA y, por
consiguiente, las tasas de crecimiento del producto per
capita, del capital físico por trabajador y del capital
humano per capita son iguales a la tasa de crecimiento
de la productividad de los factores, gA.
• Este modelo ampliado es una forma de argumentar que
la participación del capital relevante es mayor que la
participación del capital físico: es lo que se requiere
para que los datos apoyen empíricamente la hipótesis
de la convergencia y el modelo neoclásico.
• Una forma alternativa de introducir el capital
humano en el modelo es suponer que, en vez de
acumularse de la misma forma que el capital
físico (y, por tanto, medirse en unidades de
producción), se acumula mediante el tiempo
que las personas dedican a acumular
habilidades (y, por tanto, se mide en años) Æ
véase Lucas (1988).
¿Cómo se mide el capital humano?
• Un posible método se explica en el libro de
Weil (2006), capítulo 6.
• Consiste en utilizar información sobre:
– Distribución de la población según años de
estudio (niveles de estudio).
– Salario de las personas de cada nivel de
estudios en relación con el de los trabajadores
que no tienen estudios.
¿Qué parte de las diferencias de renta
entre países se debe a diferencias en la
educación?
• Supongamos que la función de producción es:
α
1−α
Y = AK (hL)
• h representa la cantidad de trabajo por trabajador y
está relacionada con el nivel de educación:
1−α
α 1−α
Y = h AK L
• En estado estacionario:
1
1−α
α
1−α
⎛ s ⎞
y* = (h A) ⎜
⎟
⎝δ +n⎠
1−α
α
⎡ 1
⎤
1
−
α
s ⎞ ⎥
1−α ⎛
⎢
=h A ⎜
⎟
⎢
⎝δ +n ⎠ ⎥
⎣
⎦
• Consideremos dos países y supongamos que ambos tienen
las mismas tasas de inversión, depreciación, crecimiento de
la población y los mismos niveles de productividad.
Entonces:
y * ⎛⎜ h ⎞⎟
i = i
y * ⎜⎜ h ⎟⎟
j
⎝ j⎠
• Utilizamos el nivel medio de estudios de cada país para
construir una medida de h en relación con un país que no
tiene ningún nivel de estudios.
• Supongamos que el país i tiene un nivel medio de estudios
de 12 años y el país j de 2 años. Llamemos ho al nivel de
trabajo por trabajador en un país que no tiene ningún nivel
de estudios:
hi = (1,134) 4 ·(1,101) 4 ·(1,068) 4 ·h0 = 3,16·h0
h j = (1,134) 2 ·h0 = 1,29·h0
• Predicciones cuantitativas (el país i tienen un nivel medio de
estudios de 12 años y el país j de 2 años):
y * ⎛ 3,16·h
i =⎜
0
y * ⎜⎝ 1,29·h0
j
⎞
⎟⎟ = 2,47
⎠