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Modelo de equilibrio general dinámico Laura D’Amato UBA j FCE UBA j FCE Septiembre 2011 Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Modelo de equilibrio general dinámico Ramsey (1928) es el modelo básico sobre el que se desarrollan los modelos de ciclo real y modelos neokeynesianos Referencias: Wickens (2008) cap. 2, Barro y Sala-i-Martin (2004), cap2. Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE La economía centralizada Nivel de producto óptimo Asignación entre consumo presente y futuro Un plani…cador central que decide en base a las preferencias de la sociedad Agentes homogéneos ! agente representativo ! consistencia en las expectativas Población constante N Economía cerrada Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE El modelo El producto yt puede destinarse a consumo e inversión yt = ct + it (1) El ahorro se destina a bienes de inversión La ecuación (2) describe la ley de movimiento del capital: la variación neta del stock de capital iguala a la inversión neta de depreciación del capital ∆k t = it δk t (2) El producto se genera utilizando capital yt = F (k t ) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico (3) UBA j FCE El modelo La función de producción F (k t ) describe la tecnología, que tiene las siguientes propiedades: F > 0, F 0 > 0 y F 00 0 y cumple las condiciones de Inada (1964)1 lim F 0 (k ) = ∞ y lim F 0 (k ) = 0 k !0 k!∞ Usando (1) y (2) La asignación entre cantidades (producto real) y nivel de precios dependiente del comportamiento de la oferta 1 En el origen hay ganancias in…nitas en términos de producto de aumentar el stock de capital. A medida que el stock de capital aumenta, dichas ganancias caen y eventualmente tienden a cero. Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE El modelo Combinando las tres ecuaciones, llegamos a la restricción de recursos de la economía: F (k t ) = ct + ∆k t+1 + δk t Dado un stock inicial de capital, k t (dotación), la economía debe elegir su nivel preferido de consumo en el período t, ct , y stock de capital que llevará al comienzo del período t + 1, k t+1 . Se puede mostrar que esto es equivalente a elegir el consumo para los períodos t, t + 1, t + 2, . . .,etc, con los niveles preferidos de capital, producto, inversión y ahorro de cada período resultantes del modelo. Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE El modelo El siguiente paso es especi…ca las preferencias de los agentes en esa economía: ¿qué es lo que intenta maximizar el agente representativo sujeto a la restricción? Alugnas opciones potenciales: producto consumo utilidad derivada del consumo considerándolos tanto para el período actual como en un horizonte de largo plazo. También vamos a estar interesados en saber si una elección particular para el período corriente es sostenible de aquí en adelante - existencia y estabilidad del equilibrio en la economía. Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Solución del modelo Vamos a considerar 2 soluciones Regla dorada (“golden rule”) “Solución óptima” Ambas asumen que el objetivo de la economía (del agente representativo o del plani…cador central) es maximizar el consumo, o la utilidad derivada del consumo La diferencia está en las actitudes hacia el futuro: En la regla de oro no se descuenta el futuro, mientras que en la solución óptima sí Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Solución Golden Rule ct = F (k t ) k t +1 + ( 1 c = F (k) δ) k t δk el problema: elegir k para maximizar c las CPO ∂c = F 0 (k) ∂k ∂2 c = F 00 (k) ∂k2 Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico δ=0 0 UBA j FCE Producto marginal del capital Fuente: Wickens (2008) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Producción, consumo e inversión totales Fuente: Wickens (2008) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Producto Neto Fuente: Wickens (2008) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE solución óptima Suponemos ahora que la economía valora más el consumo hoy que el consumo futuro En particular, suponemos que el objetivo de los agentes es maximizar el valor presente de la utilidad presente y futura ∞ max Vt = ct+s ,k t+s Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico ∑ βs U ( ct+s ) s =0 UBA j FCE El lagrangiano del problema es ∞ Lt = ∑ f βs U ( ct+s ) + λt+s [ F ( k t+s ) ct+s k t + s +1 + ( 1 δ) k t+s ]g s =0 las CPO ∂Lt ∂ct+s = βs U 0 ( ct+s ) ∂Lt ∂k t+s = λt+s F 0 ( k t+s ) + 1 ∂Lt ∂λt+s = F ( k t+s ) λt+s = 0, ct+s δ s λt+s k t + s +1 + ( 1 0 1 = 0, δ ) k t+s = 0 (4) s > 0(5) (6) y necesitamos imponer la condición de transversalidad lim βs U 0 (ct+s ) k t+s = 0 s!∞ Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE de (4) podemos obtener el multiplicador de Lagrange. y sustituyendo λt+s y λt+s 1 en (5) obtenemos βs U 0 ( ct+s ) F 0 ( k t+s ) + 1 para s = 1 β δ = βs 1 U 0 ( ct+s U 0 ( c t +1 ) 0 F ( k t +1 ) + 1 U 0 (ct ) 1) , δ =1 s>0 (7) conocida como la ecuación de Euler. Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Interpretación de la ecuación de Euler Podemos pensar el problema para una economía que vive dos períodos t y t + 1 Nos preguntamos: Cuánto debe incrementarse en consumo en t + 1 frente a una reducción in…nitesimal en el consumo en t, de modo que Vt se mantenga constante Vt = U (Ct ) + βU (Ct+1 ) diferenciando Vt 0 = dVt = dUt + βdUt+1 = U 0 (Ct ) dct + βU 0 (Ct+1 ) dct+1 dct+1 = Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico U 0 (Ct ) dct βU 0 (Ct+1 ) UBA j FCE Interpretación de la ecuación de Euler como la restricción de recursos se tiene que satisfacer en todo período, tenemos en t y t + 1 F 0 (k t ) dk t = dct + dk t+1 (1 F 0 (k t+1 ) dk t+1 = dct+1 + dk t+2 δ) dk t (1 δ) dk t+1 Notamos que k t está dado y de t + 1 en adelante el stock de capital es 0 y no cambia. Entonces, dk t = dk t+2 = 0. Podemos reescribir las restricciones de recursos como 0 = dct + dk t+1 F 0 (k t+1 ) dk t+1 = dct+1 Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico (1 δ) dk t+1 UBA j FCE Interpretación de la ecuación de Euler eliminando dk t+1 de las 2 ecuaciones anteriores obtenemos dct+1 = F 0 ( k t +1 ) + 1 δ dct El producto no consumido en t permite incrementar el producto en t + 1 en [ F 0 (k t+1 )] dct y ese incremento va a consumo en t + 1 además del capital no depreciado (1 δ) dct La utilidad descontada de este consumo adicional es βU 0 (ct+1 ) dct+1 = βU 0 (ct+1 ) F 0 (k t+1 ) + 1 δ dct que para mantener Vt constante, debe ser igual a la pérdida de utilidad que genera en el período t la reducción del consumo en dct . Es decir U 0 (ct ) dct = βU 0 (ct+1 ) F 0 (k t+1 ) + 1 δ dct Cancelando en ambos miembros dct obtenemos la ecuación de Euler UBA j FCE nuevamente (7) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico La restricción de recursos intertemporal Combinando las restricciones de recursos de los períodos t y t + 1 (eliminando k t+1 ) se obtiene la restricción de recursos intertemporal de dos períodos (o RRI) c t +1 = F ( k t +1 ) k t +2 + ( 1 δ ) k t +1 = F [ F ( k t ) c t + (1 δ ) k t ] k t +2 + . . . . . . + (1 δ ) [ F ( k t ) c t + (1 δ ) k t ] que nos da una relación cóncava entre ct y ct+1 Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE La restricción de recursos intertemporal La pendiente de una tangente a la RRI es ∂ct+1 = ∂ct Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico F 0 ( k t +1 ) + 1 δ UBA j FCE Solución Grá…ca dct+1 dct = F 0 ( k t +1 ) + 1 δ = 1 + r t +1 = V const ∂ct+1 ∂ct FPPI Solución grá…ca basada en la FPP intertemporal. Fuente: Wickens (2008) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Las propiedades del equilibrio de largo plazo El equilibrio de largo plazo es una solución estática En ausencia de shocks el sistema permanece en ese equilibrio y esto implica: ct = c , k t = k , ∆ct = 0, y ∆k t = 0 para todo t. La Ecuación de Euler se puede escribir como βU 0 (c ) 0 F (k ) + 1 U 0 (c ) δ =1 lo cual implica F 0 (k ) = 1 +δ β 1 = δ+θ La solución es diferente de la regla dorada, donde F 0 (k ) = δ. Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Capital óptimo en el largo plazo Fuente: Wickens (2008) El nivel óptimo de capital es menor que el de la regla dorada: utilidad futura se descuenta a la tasa θ > 0 Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE La solución se obtiene donde la pendiente es tangente a la función de producción δ + θ. Como la tangente debe ser más pronunciada que la regla de oro, esto implica que el nivel óptimo de capital debe ser inferior. Esto conduce también a un nivel de consumo menor. Entonces c < c# y k < k# . Consumo óptimo en el largo plazo Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Función de utilidad CES (constant elasticity of subtitution) Damos una forma especí…ca a las funciones de utilidad y producción: CES y Cobb Douglas U (c) = c1 σ 1 1 σ con U 0 = c σ U 00 σ = c 0 es el coe…ciente de aversión relativa al riesgo o elasU ticidad de la utilidad marginal, que es constante para esta forma funcional Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Función de utilidad CES (constant elasticity of subtitution) La elasticidad de la utilidad marginal nos da el valor de la pendiente de la curva de indiferencia en respuesta a un cambio en el ratio de consumo ctc+t 1 Su inversa es la elasticidad de sustitución intertemporal ρ ρ= c U 00 U0 1 Notar: Cuánto más grande es ρ o lo que es igua, más pequeña es σ, más rápida es la caída en la utilidad marginal en respuesta a aumentos en el consumo y por lo tanto, menos dispuestos van a estar los agentes a desviarse de un patrón de consumo en el tiempo. Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Entonces, dando una forma CES a la función de utilidad y asumiendo una función de producción Cobb Douglas yt = Akαt La ecuación de Euler se puede escribir como β U 0 ( c t +1 ) 0 F (k ) + 1 U 0 (ct ) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico δ =β c t +1 ct σ h (1 α ) αAk t+1 +1 i δ =1 UBA j FCE el nivel de capital de estado estacionario es k = αA δ+θ 1/(1 α) y el nivel de consumo de estado estacionario c = Ak = Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico α A δ+θ δk 1 α (1 α) δ + θ αα UBA j FCE Consumo Óptimo Comparado Fuente: Wickens (2008) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Dinámica de la solución óptima Las dos ecuaciones que describen la solución óptima para cada t son la ecuación de Euler y la restricción de recursos β U 0 ( c t +1 ) 0 F (k ) + 1 U 0 (ct ) ∆k t+1 = F (k t ) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico δk t δ =1 ct (8) UBA j FCE Dinámica de la solución óptima Como son dos ecuaciones no lineales se puede considerar una solución local (en el entorno del equilibrio) linealizando la ecuación de Euler mediante una expansión de Taylor U 0 (ct+1 ) ' U 0 (ct ) + ∆ct+1 U 00 (ct ) U 0 ( c t +1 ) U 00 ' 1 + ∆ct+1 , U 0 (ct ) U0 U 00 U0 0 y ∆ct+1 = Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico U0 1 U 00 β [ F0 1 ( k t +1 ) + 1 δ] (9) UBA j FCE De ese modo tenemos dos ecuaciones que determinan el cambio en el consumo (9) y el cambio en el capital (8) La …gura describe la dinámica del consumo Dinámica del Consumo Fuente: Wickens (2008) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE y la dninámica del capital Dinámica del Capital Fuente: Wickens (2008) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE Combinamos los grá…cos anteriores Diagrama de Fases El punto B es la solución de largo plazo y sólo los puntos en la línea SS el saddle path, son alcanzables Fuente: Wickens (2008) Laura D’Amato Modelo de equilibrio general dinámico UBA j FCE