Download Modelo de equilibrio general dinbmico

Modelo de equilibrio general dinámico
Laura D’Amato
UBA j FCE
UBA j FCE
Septiembre 2011
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Modelo de equilibrio general dinámico
Ramsey (1928) es el modelo básico sobre el que se desarrollan
los modelos de ciclo real y modelos neokeynesianos
Referencias:
Wickens (2008) cap. 2, Barro y Sala-i-Martin (2004), cap2.
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
La economía centralizada
Nivel de producto óptimo
Asignación entre consumo presente y futuro
Un plani…cador central que decide en base a las preferencias de
la sociedad
Agentes homogéneos ! agente representativo ! consistencia
en las expectativas
Población constante N
Economía cerrada
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
El modelo
El producto yt puede destinarse a consumo e inversión
yt = ct + it
(1)
El ahorro se destina a bienes de inversión
La ecuación (2) describe la ley de movimiento del capital: la
variación neta del stock de capital iguala a la inversión neta de
depreciación del capital
∆k t = it
δk t
(2)
El producto se genera utilizando capital
yt = F (k t )
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
(3)
UBA j FCE
El modelo
La función de producción F (k t ) describe la tecnología, que
tiene las siguientes propiedades:
F > 0, F 0 > 0 y F 00
0
y cumple las condiciones de Inada (1964)1
lim F 0 (k ) = ∞ y lim F 0 (k ) = 0
k !0
k!∞
Usando (1) y (2)
La asignación entre cantidades (producto real) y nivel de precios
dependiente del comportamiento de la oferta
1 En
el origen hay ganancias in…nitas en términos de producto de aumentar el
stock de capital. A medida que el stock de capital aumenta, dichas ganancias
caen y eventualmente tienden a cero.
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
El modelo
Combinando las tres ecuaciones, llegamos a la restricción de
recursos de la economía:
F (k t ) = ct + ∆k t+1 + δk t
Dado un stock inicial de capital, k t (dotación), la economía
debe elegir su nivel preferido de consumo en el período t, ct , y
stock de capital que llevará al comienzo del período t + 1, k t+1 .
Se puede mostrar que esto es equivalente a elegir el consumo
para los períodos t, t + 1, t + 2, . . .,etc, con los niveles preferidos de capital, producto, inversión y ahorro de cada período
resultantes del modelo.
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
El modelo
El siguiente paso es especi…ca las preferencias de los agentes
en esa economía: ¿qué es lo que intenta maximizar el agente
representativo sujeto a la restricción?
Alugnas opciones potenciales:
producto
consumo
utilidad derivada del consumo
considerándolos tanto para el período actual como en un horizonte de largo plazo.
También vamos a estar interesados en saber si una elección
particular para el período corriente es sostenible de aquí en
adelante - existencia y estabilidad del equilibrio en la economía.
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Solución del modelo
Vamos a considerar 2 soluciones
Regla dorada (“golden rule”)
“Solución óptima”
Ambas asumen que el objetivo de la economía (del agente representativo o del plani…cador central) es maximizar el consumo,
o la utilidad derivada del consumo
La diferencia está en las actitudes hacia el futuro: En la regla
de oro no se descuenta el futuro, mientras que en la solución
óptima sí
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Solución Golden Rule
ct = F (k t )
k t +1 + ( 1
c = F (k)
δ) k t
δk
el problema: elegir k para maximizar c
las CPO
∂c
= F 0 (k)
∂k
∂2 c
= F 00 (k)
∂k2
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
δ=0
0
UBA j FCE
Producto marginal del capital
Fuente: Wickens (2008)
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Producción, consumo e inversión totales
Fuente: Wickens (2008)
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Producto Neto
Fuente: Wickens (2008)
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
solución óptima
Suponemos ahora que la economía valora más el consumo hoy
que el consumo futuro
En particular, suponemos que el objetivo de los agentes es maximizar el valor presente de la utilidad presente y futura
∞
max Vt =
ct+s ,k t+s
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
∑ βs U ( ct+s )
s =0
UBA j FCE
El lagrangiano del problema es
∞
Lt =
∑ f βs U ( ct+s ) + λt+s [ F ( k t+s )
ct+s
k t + s +1 + ( 1
δ) k t+s ]g
s =0
las CPO
∂Lt
∂ct+s
= βs U 0 ( ct+s )
∂Lt
∂k t+s
= λt+s F 0 ( k t+s ) + 1
∂Lt
∂λt+s
= F ( k t+s )
λt+s = 0,
ct+s
δ
s
λt+s
k t + s +1 + ( 1
0
1
= 0,
δ ) k t+s = 0
(4)
s > 0(5)
(6)
y necesitamos imponer la condición de transversalidad
lim βs U 0 (ct+s ) k t+s = 0
s!∞
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
de (4) podemos obtener el multiplicador de Lagrange. y sustituyendo λt+s y λt+s 1 en (5) obtenemos
βs U 0 ( ct+s ) F 0 ( k t+s ) + 1
para s = 1
β
δ = βs
1
U 0 ( ct+s
U 0 ( c t +1 ) 0
F ( k t +1 ) + 1
U 0 (ct )
1) ,
δ =1
s>0
(7)
conocida como la ecuación de Euler.
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Interpretación de la ecuación de Euler
Podemos pensar el problema para una economía que vive dos períodos t y t + 1
Nos preguntamos: Cuánto debe incrementarse en consumo en t + 1
frente a una reducción in…nitesimal en el consumo en t, de modo
que Vt se mantenga constante
Vt = U (Ct ) + βU (Ct+1 )
diferenciando Vt
0 = dVt = dUt + βdUt+1 = U 0 (Ct ) dct + βU 0 (Ct+1 ) dct+1
dct+1 =
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
U 0 (Ct )
dct
βU 0 (Ct+1 )
UBA j FCE
Interpretación de la ecuación de Euler
como la restricción de recursos se tiene que satisfacer en todo período,
tenemos en t y t + 1
F 0 (k t ) dk t = dct + dk t+1
(1
F 0 (k t+1 ) dk t+1 = dct+1 + dk t+2
δ) dk t
(1
δ) dk t+1
Notamos que k t está dado y de t + 1 en adelante el stock de capital
es 0 y no cambia. Entonces, dk t = dk t+2 = 0. Podemos reescribir
las restricciones de recursos como
0 = dct + dk t+1
F 0 (k t+1 ) dk t+1 = dct+1
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
(1
δ) dk t+1
UBA j FCE
Interpretación de la ecuación de Euler
eliminando dk t+1 de las 2 ecuaciones anteriores obtenemos
dct+1 =
F 0 ( k t +1 ) + 1
δ dct
El producto no consumido en t permite incrementar el producto en
t + 1 en [ F 0 (k t+1 )] dct
y ese incremento va a consumo en t + 1 además del capital no
depreciado (1 δ) dct
La utilidad descontada de este consumo adicional es
βU 0 (ct+1 ) dct+1 =
βU 0 (ct+1 ) F 0 (k t+1 ) + 1
δ dct
que para mantener Vt constante, debe ser igual a la pérdida de
utilidad que genera en el período t la reducción del consumo en dct .
Es decir
U 0 (ct ) dct = βU 0 (ct+1 ) F 0 (k t+1 ) + 1
δ dct
Cancelando en ambos miembros dct obtenemos la ecuación de Euler
UBA j FCE
nuevamente (7)
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
La restricción de recursos intertemporal
Combinando las restricciones de recursos de los períodos t y t + 1
(eliminando k t+1 ) se obtiene la restricción de recursos intertemporal
de dos períodos (o RRI)
c t +1 = F ( k t +1 )
k t +2 + ( 1
δ ) k t +1
= F [ F ( k t ) c t + (1 δ ) k t ] k t +2 + . . .
. . . + (1 δ ) [ F ( k t ) c t + (1 δ ) k t ]
que nos da una relación cóncava entre ct y ct+1
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
La restricción de recursos intertemporal
La pendiente de una tangente a la RRI es
∂ct+1
=
∂ct
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
F 0 ( k t +1 ) + 1
δ
UBA j FCE
Solución Grá…ca
dct+1
dct
= F 0 ( k t +1 ) + 1
δ = 1 + r t +1 =
V const
∂ct+1
∂ct
FPPI
Solución grá…ca basada en la FPP intertemporal.
Fuente: Wickens (2008)
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Las propiedades del equilibrio de largo plazo
El equilibrio de largo plazo es una solución estática
En ausencia de shocks el sistema permanece en ese equilibrio
y esto implica:
ct = c , k t = k , ∆ct = 0, y ∆k t = 0 para todo t.
La Ecuación de Euler se puede escribir como
βU 0 (c ) 0
F (k ) + 1
U 0 (c )
δ =1
lo cual implica
F 0 (k ) =
1
+δ
β
1 = δ+θ
La solución es diferente de la regla dorada, donde F 0 (k ) = δ.
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Capital óptimo en el largo plazo
Fuente: Wickens (2008)
El nivel óptimo de capital es menor que el de la regla dorada: utilidad
futura se descuenta a la tasa θ > 0
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
La solución se obtiene donde la pendiente es tangente a la función
de producción δ + θ. Como la tangente debe ser más pronunciada
que la regla de oro, esto implica que el nivel óptimo de capital debe
ser inferior. Esto conduce también a un nivel de consumo menor.
Entonces c < c# y k < k# .
Consumo óptimo en el largo plazo
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Función de utilidad CES (constant elasticity of subtitution)
Damos una forma especí…ca a las funciones de utilidad y producción:
CES y Cobb Douglas
U (c) =
c1
σ
1
1 σ
con U 0 = c σ
U 00
σ = c 0 es el coe…ciente de aversión relativa al riesgo o elasU
ticidad de la utilidad marginal, que es constante para esta forma
funcional
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Función de utilidad CES (constant elasticity of subtitution)
La elasticidad de la utilidad marginal nos da el valor de la pendiente
de la curva de indiferencia en respuesta a un cambio en el ratio de
consumo ctc+t 1
Su inversa es la elasticidad de sustitución intertemporal ρ
ρ=
c
U 00
U0
1
Notar: Cuánto más grande es ρ o lo que es igua, más pequeña es
σ, más rápida es la caída en la utilidad marginal en respuesta a
aumentos en el consumo y por lo tanto, menos dispuestos van a
estar los agentes a desviarse de un patrón de consumo en el tiempo.
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Entonces, dando una forma CES a la función de utilidad y asumiendo
una función de producción Cobb Douglas
yt = Akαt
La ecuación de Euler se puede escribir como
β
U 0 ( c t +1 ) 0
F (k ) + 1
U 0 (ct )
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
δ =β
c t +1
ct
σ
h
(1 α )
αAk t+1
+1
i
δ =1
UBA j FCE
el nivel de capital de estado estacionario es
k =
αA
δ+θ
1/(1 α)
y el nivel de consumo de estado estacionario
c
= Ak
=
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
α
A
δ+θ
δk
1 α
(1
α) δ + θ
αα
UBA j FCE
Consumo Óptimo Comparado
Fuente: Wickens (2008)
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Dinámica de la solución óptima
Las dos ecuaciones que describen la solución óptima para cada t son
la ecuación de Euler y la restricción de recursos
β
U 0 ( c t +1 ) 0
F (k ) + 1
U 0 (ct )
∆k t+1 = F (k t )
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
δk t
δ =1
ct
(8)
UBA j FCE
Dinámica de la solución óptima
Como son dos ecuaciones no lineales se puede considerar una solución local (en el entorno del equilibrio) linealizando la ecuación de
Euler mediante una expansión de Taylor
U 0 (ct+1 ) ' U 0 (ct ) + ∆ct+1 U 00 (ct )
U 0 ( c t +1 )
U 00
'
1
+
∆ct+1 ,
U 0 (ct )
U0
U 00
U0
0
y
∆ct+1 =
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
U0
1
U 00
β [ F0
1
( k t +1 ) + 1
δ]
(9)
UBA j FCE
De ese modo tenemos dos ecuaciones que determinan el cambio en
el consumo (9) y el cambio en el capital (8)
La …gura describe la dinámica del consumo
Dinámica del Consumo
Fuente: Wickens (2008)
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
y la dninámica del capital
Dinámica del Capital
Fuente: Wickens (2008)
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE
Combinamos los grá…cos anteriores
Diagrama de Fases
El punto B es la solución de largo plazo y sólo los puntos en la
línea SS el saddle path, son alcanzables
Fuente: Wickens (2008)
Laura D’Amato
Modelo de equilibrio general dinámico
UBA j FCE