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El modelo AK de crecimiento económico
Motivación
I
Para generar crecimiento sostenido debemos abandonar
alguno de los supuestos del modelo neoclásico:
1. Función de producción neoclásica:
I
Rendimientos decrecientes en capital y en trabajo,
I
Rendimientos constantes a escala,
I
Condiciones Inada.
2. Competencia perfecta.
I
La manera más sencilla de generar crecimiento sostenido es
tomar una función de producción lineal en capital:
Tecnología con rendimientos NO decrecientes en capital.
Tecnología AK
Yt = F (Kt ) = AKt .
I
Propiedades:
1. Rendimientos constantes a escala.
2. Rendimientos constantes en capital:
FK = A y FkK = 0.
3. No cumple condiciones Inada:
lim FK = A < ∞ y
K t >0
I
lim FK = A > 0.
K t >∞
Justi…cación
Usamos un concepto amplio de capital. (Volveremos sobre
este punto)
Modelo AK
I
Rebelo, S. (1991), "Long-run policy analysis and long-run
growth," Journal of Political Economy 99 (3), pp. 500-521.
I
Hipótesis:
I
La ausencia de rendimientos decrecientes permite que la renta
per cápita crezca de forma sostenida y, además, la tasa de
crecimiento a largo plazo depende de los fundamentos del
modelo (incluida la política económica).
Es decir, el crecimiento es endógeno.
I
Las diferencias en tasas de crecimiento entre países se explican
por diferencias en los fundamentos.
Supuestos básicos del modelo
I
Mantenemos los supuestos del modelo básico de Solow,
excepto la tecnología
I
Ingredientes básicos
1. Función de producción per cápita:
yt =
Yt
AKt
=
= Akt .
Lt
Lt
2. Ley de acumulación de capital:
kt = syt
(n + δ)kt .
Dinámica de equilibrio
I
Dado un stock inicial de capital K0 y un nivel inicial de la
población L0 , el equilibrio competitivo viene dado por la senda
temporal del stock de capital per cápita fkt g que satisface los
siguiente ecuación dinámica fundamental:
kt = sAkt
I
I
(n + δ)kt .
Las curvas de inversión bruta y depreciación efectiva son
ambas lineales. Por lo tanto:
I
Si sA > n + δ, entonces kt > 0 permanentemente.
I
Si sA < n + δ, entonces kt < 0 hasta que kt = 0.
I
Si sA = n + δ, entonces kt = 0 permanentemente.
Asumamos que sA > n + δ
Tasa de crecimiento
g =
I
kt
= sA
kt
(n + δ) > 0.
Conclusiones:
1. La economía está permanentemente en una senda de
crecimiento sostenido, i.e., la tasa de crecimiento es
constante en el tiempo.
2. Crecimiento endógeno sin necesidad de tener que introducir
ninguna variable que crezca continua y exógenamente.
3. La clave del resultado es que el producto marginal del capital
no disminuye a medida que aumenta el stock de capital.
sA
kt
kt
n +δ
k0
kt
Determinantes del crecimiento a largo plazo
La tasa de crecimiento de la renta per cápita:
g = sA
I
(n + δ ).
Cambios permanentes en los fundamentos tienen efectos
permanentes sobre el nivel y la tasa de crecimiento de la renta
per cápita:
1. La tasa de crecimiento g es creciente en la tasa de ahorro s y
en el nivel de la tecnología A.
2. La tasa de crecimiento g es decreciente en la tasa de
crecimiento de la población n y en la tasa de depreciación.
I
Los gobiernos pueden estimular el crecimiento con políticas
económicas que alteren los fundamentos: aumenten la tasa de
inversión o reduzcan el crecimiento de la población.
Valoración del modelo AK
I
Predice crecimiento sostenido y endógeno.
I
Carece de transición hacia la senda de crecimiento equilibrado.
I
No predice convergencia ni absoluta ni condicional entre
países.
I
Un shock en el stock de capital tiene efectos permanentes en
la renta per cápita al no alterarse transitoriamente la tasa de
crecimiento.
kt
Modelo AK y convergencia entre países
País A
País B
k0A
k0B
t =0
tiempo
kt
Shocks de capital en el Modelo AK
A
B
t =0
t =T
tiempo
kt
Shocks de capital en el modelo neoclásico
t =0
t =T
tiempo
Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes en
capital
I
La tecnología AK viola dos supuestos neoclásicos
1. Rendimientos decrecientes en capital,
2. Condiciones Inada.
I
¿Cuál de los dos supuestos es el que permite generar
crecimiento endógeno?
El no cumplimiento de las condiciones Inada.
Tecnología Sobelow
Yt = F (Kt , Lt ) = AKt + BKtα L1t
I
α
.
Propiedades:
1. Rendimientos constantes a escala.
2. Rendimientos decrecientes en capital y en trabajo.
3. No cumple condiciones Inada:
lim FK = ∞,
K t >0
lim FK = A > 0.
K t >∞
Supuestos básicos del modelo
I
Mantenemos los supuestos del modelo AK, excepto la
tecnología
I
Ingredientes básicos
1. Función de producción per cápita:
yt =
Yt
= Akt + Bktα .
Lt
2. Ley de acumulación de capital:
kt = syt
(n + δ)kt .
Dinámica de equilibrio (I)
I
Dado un stock inicial de capital K0 y un nivel inicial de la
población L0 , el equilibrio competitivo viene dado por la senda
temporal del stock de capital per cápita fkt g que satisface los
siguiente ecuación dinámica fundamental:
kt = s (Akt + Bktα )
I
(n + δ)kt .
Por lo tanto:
I
I
Si sA > n + δ, entonces la economía converge asintóticamente
a una senda con crecimiento sostenido del capital per cápita.
Si sA n + δ, entonces la economía converge a un estado
estacionario sin crecimiento sostenido del capital per cápita.
( n + δ ) kt
s ( Akt + Bktα )
( n + δ ) kt
k0
kt
Crecimiento económico del modelo
I
La tasa de crecimiento de la renta per cápita es
gt =
I
yt
kt
=
= s A + Bktα
yt
kt
(n + δ ).
Dado que
lim
kt >∞
I
1
A + Bktα
1
= A.
Entonces:
I
I
Si sA > n + δ, la tasa de crecimiento gt converge
asintóticamente a g = sA (n + δ) > 0.
Si sA n + δ, a tasa de crecimiento gt converge a g = 0,
que se corresponde con estado estacionario dado por
k =
sB
n + δ sA
1
1 α
.
(Estado estacionario de Solow cuando A = 0).
Caso SA > n + δ
s ( Akt + Bktα )
( n + δ ) kt
k0
kt
Tasa de crecimiento a
corto plazo (transición)
Tasa de crecimiento a
largo plazo (senda de
crecimiento equilibrado)
sA + Bktα −1
sA
gt
g*
n +δ
kt
kt
Caso SA < n + δ
( n + δ ) kt
s ( Akt + Bktα )
k0
k*
kt
Tasa de crecimiento a
corto plazo (transición)
Estado estacionario con
crecimiento nulo
gt
n +δ
sA + Bktα −1
sA
kt
k*
kt
Conclusiones
I
Podemos tener crecimiento sostenido y endógeno con
rendimientos decrecientes en capital
(Con transición y papel relevante del factor trabajo)
I
El factor determinante para que exista crecimiento endógeno
no es que la tecnología exhiba rendimientos no decrecientes en
capital sino que no se cumpla la condición Inada. Es decir,
que el producto marginal del capital esté acotado
inferiormente por un nivel lo su…cientemente alto por más que
se aumente el stock de capital.
Apéndice: La tecnología CES
n
Yt = A α (bKt )ψ + (1
α) [(1
β) Lt ]ψ
con α 2 (0, 1) , b 2 (0, 1) y ψ 2 ( ∞, 1)
I
I
I
En términos per cápita, tenemos que
h
yt = A α (bkt )ψ + (1 α) (1
β)
ψ
o ψ1
,
i ψ1
,
h
i1
yt
ψ ψ
ψ
ψ
= A αb + (1 α) (1 β) kt
.
kt
Observemos que si ψ 2 (0, 1), entonces
1
yt
lim
= Abα ψ .
kt >∞ kt
Por lo tanto, existirá crecimiento sostenido y endógeno si
1
Abα ψ > n + δ.
(En este caso también habrá dinámica de transición)