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Ajuste estacional e inferencia econométrica: efectos sobre el
funcionamiento de los contrastes de integrabilidad y de cointegración.
Tomás del Barrio Castro
Manuel Artís Ortuño
Dpto. Econometría, Estadística y Economía Española.
Grupo de Análisis Cuantitativo Regional AQR.
Universidad de Barcelona
1
1.-
Introducción.
El objetivo del presente trabajo consiste en realizar una revisión de los efectos sobre el
funcionamiento de los contrastes de raíces unitarias y cointegración cuando se utilizan
series ajustadas de estacionalidad en lugar de las series originales.
Para alcanzar este objetivo se ha estructurado el trabajo de la forma siguiente, en lo que
resta de este apartado se acotarán
los procedimientos de ajuste estacional y los
contrastes que serán objeto de análisis. En el segundo apartado se realizará una revisión
de la literatura dedicada a los efectos del ajuste estacional sobre los contrastes de raíces
unitarias y de estacionariedad, que se complementa con un análisis comparativo de los
efectos negativos de
los distintos procedimientos sobre los contrastes analizados. En el
tercer apartado se hace lo propio para los contrastes de cointegración. Finalmente en el
último apartado se recoger las principales conclusiones.
Los procedimientos de ajuste estacional en los que nos centraremos en este trabajo son
el influyente X-11, el basado en modelos ARIMA (AMB) implementado en el popular
TRAMO/SEATS (utilizado por EUROSTAT) y finalmente el filtro de líneas aéreas
modificado (LAM)1 . El procedimiento X-11 y sus posteriores variantes son los
procedimientos de ajuste estacional más ampliamente difundidos a nivel internacional y
el más importante de entre los empiricistas. De entre los procedimientos basados en
modelos el AMB es el que ha alcanzado una mayor difusión en los ámbitos académicos
e institucionales y finalmente el LAM fue utilizado inicialmente en la elaboración de
Contabilidad Nacional Trimestral del I.N.E..
En cuanto a los contrastes de raíces unitarias y estacionariedad que serán examinados en
el siguiente apartado son los contrastes de Dickey-Fuller Ampliado (1981) (ADF)
Phillips y Perron (1988) (PP) y Kiatkowski, Phillips, Schimidt y Shin (1992) (KPSS).
Mientras que en el tercer apartado se analizarán los contrastes de Dickey-Fuller
Ampliado (ADFRC) Phillips y Perron (PPRC) sobre los residuos de cointegración,
1
Por motivos de espacio no se realizará en este trabajo una descripción de los procedimientos analizados.
Aunque en Ghysels y Osborn (2001) se puede encontrar una muy buena revisión de los procedimientos
X-11 y AMB y los principales aspectos del filtro LAM quedan recogidos en I.N.E. (1993).
2
Leybourne y McCabe (1993) (LM) y de razón de verosimilitud de Johansen (1991)
(SJ).
2.-
Efectos sobre los contrastes de raíces unitarias y estacionariedad.
La contribución más relevante realizada en la literatura sobre los efectos negativos del
ajuste estacional en los contrastes de raíces unitarias ha sido la de Ghysels y Perron
(1993), en este trabajo se analizaron los efectos del procedimiento X-11 y de su
aproximación lineal sobre las siguientes autorregresiones:
xt = ρ xt −1 + ε t
(1.a)
k
x t = ρ xt −1 + ∑ c j ∆x t − j + εt
(1.b)
j =1
En las que se basan los tests de raíces unitarias.
El principal resultado que se alcanzó consistía en que la aproximación lineal del filtro X-11
no tiene ningún efecto en cuanto a la sesgadez del estimador M.C.O. de ρ a nivel asintótico
bajo la hipótesis nula (Ho : ρ=1 ⇒ xt ~I(1)) de los contrastes de raíces unitarias, esto es ante
la existencia de una raíz unitaria en la frecuencia cero, pero bajo la hipótesis alternativa
(Ha: ρ<1 ⇒ xt ~I(0)), el estimador de ρ en la regresión auxiliar anterior es asintóticamente
sesgado. Por otro lado, mediante un estudio de Monte-Carlo mostraron que los tests ADF y
PP cuando se trabaja con las series filtradas tienen una potencia muy baja, lo que provoca
que bajo la Ha:xt ~I(0) se llegue a no rechazar la Ho de que la serie es I(1). Esto es, se
estaría determinando un orden de integrabilidad en la frecuencia cero de la serie filtrada
superior al de la serie original.
Con posterioridad los resultados del trabajo de Ghysels y Perron han sido extendidos a los
procedimientos AMB y LAM y al contraste de estacionariedad (KPSS) en los trabajos de
Barrio et alt. (2001) y Barrio y et alt. (2002).
El planteamiento anterior puede ser complementado por la aportación de Ghysels y
Lieberman (1996), que propusieron un procedimiento alternativo a la utilización de
ejercicios de simulación para la valoración de los efectos del filtrado sobre el
funcionamiento de los contrates de raíces unitarias para muestras pequeñas mediante
3
cálculos analíticos utilizando el método de Laplace. Estos autores mostraron como
mediante la aproximación de Laplace es posible encontrar un balance adecuado entre la
simplicidad de los cálculos y la acuracidad de la aproximación en los resultados obtenidos,
que permite describir los efectos de filtrado en términos del sesgo y de error cuadrático
medio de forma muy satisfactoria.
Por último, en el trabajo de Maravall (1996) se afirma que cualquier procedimiento que
cumpla el requisito canónico, provocará que las estimaciones de los componentes no
observables tengan la raíz unitaria L=-1, de forma tal que presentará un proceso de medias
móviles no invertible en la representación ARIMA del proceso generador de datos. Por lo
tanto las series filtradas no tendrán una representación autorregresiva convergente y la
estimación de autorregresiones o de modelos vectoriales autorregresivos (VAR), no es
adecuada en este tipo de series.
Tabla 1
(1 − Φ L )(1 − φ L)x = (1 − θ L )(1 − Θ L )u
12
1
12
1
t
1
φ
DGP
1
2
3
4
5
6
7
8
1
0,5
0,5
0,8
0,8
0,8
1
1
1
Φ1
1
θ
1
t
u t ∼ N (0,1)
Θ1
0,5
0
0
0,5 -0,5
0
0,5
0
0
0,5 0,5
0
0,5 -0,5
0
0,5
0 -0,5
0,5 -0,5 -0,5
0,5 0,5 -0,5
Hasta el momento no se ha realizado un análisis comparativo de los resultados obtenidos
por los tres procedimientos, a este propósito destinaremos el resto del apartado. En primer
lugar se realizará el análisis comparativo sobre el sesgo asíntótico en la estimación de ρ
para los tres procedimientos y a continuación se mostraran mediante los resultados de un
ejercicio de simulación los efectos del ajuste estacional sobre la potencia y tamaño de los
contrastes de raíces unitarias y de estacionariedad de los tres procedimientos analizados.
Tal como se desprende de la expresión del sesgo asintótico de ρ en (1.a) y (1.b) recogidas
en Ghysels y Perron (1993) y Barrio et alt (2002), este depende de la función de
autocovarianzas de las series originales y de los coeficientes de los filtros utilizados, por lo
tanto el sesgo dependerá en cada caso del proceso generador de los datos (PGD) de la serie
4
original. Por ello se han calculado estos sesgos para los 5 primeros PGD de la tabla 1 que
se recogen en la tabla 2.
Tabla 2
PGD SESGO(0) SESGO(4) SESGO(8) SESGO(12)
X-11
1
0.2013
0.2736
0.3666
0.3670
2
0.1242
0.1918
0.2544
0.3522
3
0.1460
0.1561
0.1599
0.1280
4
0.3336
0.2943
0.3147
0.1338
5
0.0920
0.1144
0.1124
0.2140
AMB
1
0.5561
0.5506
0.5180
0.2274
2
0.3416
0.3924
0.3504
0.1702
3
0.2316
0.2138
0.1699
0.0944
4
0.6262
0.4252
0.3516
0.1635
5
0.1486
0.1572
0.1187
0.0790
LAM
1
0.4799
0.4943
0.4732
0.1970
2
0.2662
0.3368
0.3069
0.1408
3
0.1753
0.1698
0.1352
0.0702
4
0.5668
0.3792
0.3145
0.1376
5
0.0927
0.1135
0.0846
0.0552
La tabla 2 se encuentra organizada en tres paneles en cada uno de ellos se muestran los
resultados correspondientes al sesgo asintótico en la estimación de ρ al utilizar cada uno
de los procedimientos analizados. En la segunda columna se recoge el sesgo en la
ecuación (1.a) y en las tres siguientes los correspondientes a la ecuación (1.b) cuando se
incluyen 4, 8 y 12 retardos de la primera diferencia de la endógena (es decir, con k = 4,
8 y 12). En los tres casos se puede apreciar como los sesgos obtenidos en la estimación
de ρ para los cinco PGD’s son siempre de cierta relevancia y positivos. Por lo tanto
tendentes
a
sobreestimar
el
valor
de
parámetro
poblacional
de
interés
independientemente del número de retardos incluidos en la regresión auxiliar. Para los
procedimientos AMB y LAM se observa que a medida que se incrementa el número de
retardos la importancia del sesgo tiende a disminuir, aunque en el mejor de los casos no
se consigue que el sesgo quede por debajo de 0.05. Los resultados recogidos en esta
tabla son coherentes con los que se obtienen en los ejercicios de simulación.
En segundo lugar se ha realizado un ejercicio simulación para medir los efectos sobre la
potencia y tamaño de los contrastes ADF, PP y KPSS cuando se utilizan series filtradas por
5
los tres procedimientos analizados. El conjunto de PGD’s con los que se ha trabajado son
los recogidos en la tabla 1. Para las simulaciones se han trabajado con 100 observaciones a
las que se han añadido 200 observaciones adicionales al comienzo y al final de la muestra
para suplir el coste informativo de los procedimientos de ajuste estacional, así como para
evitar efectos perniciosos de los filtros al principio y final de la muestra. El número de
replicas utilizadas ha sido de 5000 y se ha utilizado el 5% con nivel de significación
nominal. El número de retardos a incluir en las regresiones auxiliares del contraste ADF,
así como la amplitud de la ventana espectral en los contrastes PP y KPSS ha sido
determinado en cada réplica utilizando el procedimiento propuesto por Ng y Perron
(1995).
Los resultados están recogidos en las tabla 3. La tabla tiene cuatro partes, en la primera
parte se presentan los resultados obtenidos para las series originales como punto de
referencia para las comparaciones. Y, en las partes segunda, tercera y cuarta los resultados
correspondientes a la potencia y tamaño de los contrastes ADF, PP y KPSS al utilizar los
procedimientos X-11, AMB y LAM respectivamente.
Los PGD’s del 1 al 5 son estacionarios por lo tanto estaremos bajo la hipótesis alternativa
de los contrastes ADF y PP y mediremos su potencia, mientras que para el caso del
contraste KPSS estaremos bajo la hipótesis nula y mediremos el tamaño. Finalmente los
PGS’s del 6 al 8 son integrados por lo que nos encontraremos en la situación contraria.
En términos generales se puede apreciar como era de esperar que las distorsiones en el
funcionamiento de los contrastes se centraran en los PGD’s del 1 al 5, es decir, cuando
existe un sesgo asintótico en la estimación de ρ.
Centrándonos en las distorsiones de los PGD’s 1 a 5 se observa como estas son de cierta
entidad incluso en el caso del X-11, que es el procedimiento para el cual las distorsiones
observadas son de menor intensidad.
Si analizamos los resultados de forma más detallada se aprecia que cuando se utiliza el
procedimiento X-11, para filtrar los datos, la potencia del ADF es entre 0 y 0.06 puntos
inferior que cuando no se filtran los datos, la del PP es entre 0 y 0.23 puntos inferior y
finalmente el tamaño del KPSS es entre 0.24 y 0.49 puntos superior. Cuando el
6
procedimiento utilizado es el AMB, la potencia del ADF es entre 0.2 y 0.63 puntos
inferior, la del PP es entre 0.72 y 0.9 puntos inferior y el tamaño KPSS es entre 0.19 y 0.26
puntos superior al obtenido con los datos sin filtrar. Finalmente con el procedimiento
LAM, la potencia del ADF es entre 0.26 y 0.55 puntos inferior, la del PP es entre 0.47 y
0.73 puntos inferior y el tamaño del KPSS es entre 0.18 y 0.23 puntos superior a la
obtenida con los datos originales.
Tabla 3
PGD ADF
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
PP
KPSS ADF
PP
KPSS
SIN FILTRAR
AMB
0.874 1.000 0.203 0.246 0.109 0.469
0.757 0.999 0.216 0.277 0.100 0.479
0.641 0.964 0.279 0.255 0.090 0.486
0.777 1.000 0.272 0.183 0.095 0.467
0.510 0.816 0.292 0.314 0.097 0.517
0.103 0.101 0.912 0.060 0.058 0.737
0.107 0.104 0.905 0.057 0.061 0.764
0.095 0.088 0.903 0.070 0.059 0.730
X-11
LAM
0.854 1.000 0.507 0.324 0.525 0.407
0.757 0.993 0.459 0.299 0.524 0.362
0.639 0.779 0.771 0.296 0.237 0.507
0.720 0.999 0.614 0.261 0.268 0.507
0.493 0.576 0.661 0.242 0.230 0.457
0.106 0.129 0.941 0.115 0.134 0.868
0.096 0.133 0.931 0.104 0.135 0.855
0.103 0.100 0.932 0.118 0.134 0.886
Por lo tanto se puede concluir que los contrastes ADF, PP y KPSS se ven claramente
afectados en su funcionamiento al utilizar series filtradas, siendo relativamente elevada la
posibilidad de determinar un orden de integrabilidad superior para la serie filtrada que para
la serie original.
3.-
Efectos sobre los contrastes de cointegración.
El trabajo más influyente en el entorno de los efectos del ajuste estacional sobre la
relaciones a lago plazo o de cointegración entre variables ha sido el de Ericsson, Hendry
y Tran (1994) que se centra principalmente en las posibles alteraciones del proceso de
7
filtrado sobre los parámetros de cointegración, es decir, se analiza si el vector de
cointegración asociado a un conjunto de variables se ve afectado al plantear la misma
relación a largo plazo entre las variables filtradas.
La principal conclusión obtenida por Ericsson, Hendry y Tran (1994) es que si el
procedimiento de ajuste estacional puede ser expresado como un filtro simétrico en el
operador de retardos y adelantos y si la suma de sus coeficientes es igual a 1 (esto es
f(L)=f(-L) y f(1)=1), entonces el filtrado no afecta la inferencia en la frecuencia cero, al
menos a nivel asintótico. Por lo tanto estos autores llegan a conclusiones similares a las
que en su tiempo alcanzaron por separado Sims (1975) y Wallis (1974). Además al
igual que Ghysels y Perron (1993) para el caso de los tests de raíces unitarias, muestran
como los contrastes de cointegración son invariantes ante el filtrado, es decir, que la
distribución asintótica de los contrastes no se ve afectada.
El planteamiento de Ericsson, Hendry y Tran (1994) es útil, siempre que se pueda llegar
a asumir que los procedimientos de ajuste estacional, pueden llegar a ser sintetizados en
un filtro lineal y simétrico f(L) que cumpla las condiciones citadas con anterioridad. El
núcleo del proceso seguido en el procedimiento X-11, para obtener la serie ajustada de
estacionalidad suponiendo un esquema aditivo, puede ser aproximado por un filtro
lineal y simétrico, pero el proceso completo en el cual se depurar los valores extremos,
etc…evidencia importantes indicios de no linealidad tal y como muestran Ghysels,
Granger y Siklos (1996). Por lo que respecta al procedimiento AMB, el filtro de Wiener
–Kolgomorov utilizado puede ser expresado como un filtro lineal y simétrico, pero de
infinitos términos, al ser el resultado del cociente entre filtros en el operador de retardos
y adelantos. Finalmente las dos partes de filtro LAM, son cocientes entre filtros en el
operador de retardos únicamente, por lo tanto, el resultado de dicho cociente es un filtro
infinito en el operador de retardos.
Para finalizar con el trabajo de Ericson, Hendry y Tran (1994) es preciso tener presente
que los resultados del trabajo son válidos asintóticamente, pero en la práctica es
evidente que el proceso de filtrado afectará de forma importante el funcionamiento de
los contrastes de cointegración, tal y como se recoge en el trabajo de Barrio et alt
(1999). En el anterior trabajo se extiende los resultados recogidos en Barrio et alt (2001)
para los contrastes de raíces unitarias al caso de los contrastes de cointegración ADFRC,
8
PPRC y LM, cuando las series de un modelo de regresión lineal simple eran filtradas
por
los procedimientos AMB y LAM. Apreciándose como el proceso de filtrado
provoca importantes distorsiones en la potencia de los contrastes ADFRC y PPRC y de
tamaño en el contraste LM.
Al igual que en el apartado anterior al no existir un estudio comparativo completo para
muestras pequeñas correspondiente los efectos de los tres procedimientos de ajuste
estacional sobre los contrastes de cointegración, se ha optado por incluir en lo que resta
de este apartado los resultados de un ejercicio de simulación consistente en generar una
relación a largo plazo entre dos series según el esquema recogido en la tabla 4 y
comparar el funcionamiento de los contrastes ADFRC, PPRC, LM y SJ cuando las
series son filtradas con los procedimientos X-11, AMB y LAM.
Tabla 4
et ∼ N (0,1)
yt = 2 + 1 * xt + et
(1 − Φ L )(1 − φ L)x = (1 − θ L )(1 − Θ L )u
12
1
12
1
t
DGP
1
φ
1
Φ1
1
θ
1
1
1 0,5
0
2
1 0,5 -0,5
3 0,5
1
0
4 0,5
1 0,5
5 0,5
1 -0,5
t
u t ∼ N (0,1)
Θ1
0
0
0
0
0
Tal y como se puede apreciar en la tabla 4 al estar integradas ambas series y ser los
residuos de la relación a largo plazo un ruido blanco, estamos bajo la hipótesis
alternativa de los contrastes ADFRC, PPRC y SJ, y bajo la nula del contraste LM, por lo
tanto para los primeros mediremos la potencia y para el último mediremos el tamaño. El
número de replicas, el tamaño muestral y el nivel de significación nominal son idénticos
en este ejercicio a los que se utilizaron en el del apartado anterior. Para la determinación
del número de retardos y la amplitud de la ventana espectral también se ha usado el
procedimiento de Ng y Perron. Los resultados se encuentran recogidos en la tabla 5.
Esta tabla esta organizada en cuatro partes, en la primera se muestra los resultados
obtenidos con las series sin filtras y en las tres siguientes los resultados obtenidos al
filtrar las series con los procedimientos X-11, AMB y LAM, respectivamente.
9
Tabla 5
PGD ADFRC PPRC LM
SIN FILTRAR
1 0.9680
1 0.0370
2
0.967
1 0.047
3
0.951
1 0.133
4
0.958
1 0.131
5
0.957
1 0.127
X-11
1 0.9048
1 0.0564
2
0.905
1 0.063
3
0.893
1 0.132
4
0.899
1 0.153
5
0.903
1 0.119
AMB
1 0.5766 0.0310 0.0954
2 0.2384 0.4606 0.2012
3 0.1188 0.0072 0.1984
4 0.0396 0.0050 0.2076
5 0.3092 0.0092 0.2548
LAM
1 0.2100 0.0188 0.1246
2
0.199 0.016 0.126
3
0.165 0.018 0.195
4
0.19 0.016 0.191
5
0.17 0.015 0.197
SJ
0.7968
0.785
0.991
0.995
0.99
0.7448
0.726
0.795
0.882
0.81
0.3794
0.2104
0.1964
0.1846
0.1802
0.2300
0.305
0.096
0.106
0.109
Al analizar los resultados obtenidos se puede apreciar que en términos generales se
cumple lo ya anticipado con anterioridad, es decir, que el filtrado afecta al
funcionamiento de los contrastes de cointegración. Aunque si analizamos los resultados
de forma detallada se puede constatar como estos efectos negativos son de gran
intensidad cuando utilizamos los procedimientos AMB y LAM y prácticamente
inexistentes al utilizar el X-11. Esto es debido, a que en el ejercicio de simulación
desarrollado no se ha utilizado el procedimiento completo del X-11, sino únicamente el
núcleo de dicho procedimiento, que tal y como comentamos con anterioridad queda
resumido en un filtro lineal y simétrico en el operador de retardos y adelantos.
En cuanto al funcionamiento de los contrastes cuando se utiliza el procedimiento AMB,
la potencia del contraste ADFRC es entre 0.39 y 0.91 puntos inferior a la obtenida con
las series sin filtrar, la del contraste PPRC es entre 0.54 y 0.99 puntos inferior y la del
10
SJ es entre 0.42 y 0.81 puntos inferior, en cuanto al tamaño del contraste LM es entre
0.06 y 0.81 puntos superior. Por lo que respecta al procedimiento LAM, la potencia del
ADFRC es alrededor de 0.77 puntos inferior, la del PPRC es alrededor de 0.98 puntos
inferior, la del SJ es entre 0.47 y 0.89 puntos inferior y finalmente el tamaño del LM es
entre 0.06 y 0.13 puntos superior que cuando se trabaja con las series originales.
4.-
Conclusiones.
Tal y como se desprende de la revisión realizada y de los resultados de las simulaciones
recogidos en los apartados segundo y tercero, se puede llegar a la conclusión de que el
filtrado de las series, para obtener unos datos ajustados de estacionalidad, con la
esperanza de simplificar la información, por lo que respecta a los contrastes de raíces
unitarias y cointegración, lejos de simplificar los resultados obtenidos, repercute en
serios problemas en el funcionamiento de los contrastes más utilizados en la práctica.
Las distorsiones observadas en los contrastes de raíces unitarias son tendentes
determinar un orden de integrabilidad superior en la frecuencia cero de las series
filtradas al que realmente poseen las series originales. Lo que nos puede hacer pensar
que una variable económica posee una tendencia estocástica (Difference-Stationary) si
analizamos los datos ajustados de estacionalidad cuando realmente la serie original es
estacionario en varianza ((Trend-Stationary).
Por
lo que respecta a las distorsiones sobre el funcionamiento de los contrastes de
cointegración estas son tendentes a determinar que entre un conjunto de variables no
existe una relación a largo cuando si se utilizan datos ajustados de estacionalidad
cuando en realidad entre las variables originales si que se da una relación a largo plazo.
11
5.-
Bibliografía.
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