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Clase 27 – Aplicación: Graficación de ecuaciones cuadráticas en 2D
Álgebra Lineal
Código 1000 003
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Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Formas cuadráticas
Definición 1 Supongamos que A es una matriz simétrica n × n. La función f : Rn → R definida por
f (x) = x T Ax
es llamada una forma cuadrátrica. Nota: Aquı́ vemos al vector x como un vector columna.
Ejemplo: Supongamos que A es la matriz simétrica
A=
5
−3/2
−3/2
2
.
Entonces la forma cuadrática asociada a A es
f ( x, y) =
x y
5
−3/2
−3/2
2
x
y
= 5x2 − 3xy + 2y2 .
Ejemplo: Supongamos que B es la matriz

1 0 1
B =  0 2 0 .
1 0 −1

Entonces la forma cuadrática asociada a B es la función
 

x
1 0 1



y  = x2 + 2y2 − z2 + 2xz.
0 2 0
g( x, y, z) = x y z
z
1 0 −1
En general una forma cuadrática en las variables x, y es una función de la forma
f ( x, y) = ax2 + by2 + cxy.
Esta forma cuadrática puede escribirse en la forma matricial f ( x, y) =
A=
a c/2
c/2 b
x T Ax
donde x =
x
y
y
.
De la misma manera una forma cuadrática en las variables x, y, z es una función de la forma
f ( x, y, z) = ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + f yz.


x
Esta forma cuadrática puede escribirse en la forma matricial f ( x, y, z) = x T Ax donde x =  y  y
z


a
d/2 e/2
b
f /2  .
A =  d/2
e/2 f /2
c
En general si A es una matriz simétrica n × n cuya entrada i, j denotamos por ai,j , entonces la forma cuadrática
asociada a A está dada por:
f (x) = x T Ax = a11 x12 + · · · + ann xn2 + ∑ 2aij xi x j .
i< j
1
Teorema 2 Después de un cambio de variables apropiado, toda forma cuadrática se puede escribir sin términos cruzados.
Prueba. Sea A la matriz asociada a la forma cuadrática, es decir, la forma cuadrática es de la forma f (x) = x T Ax.
Como la matriz A es simétrica entonces es diagonalizable ortogonalmente. Esto significa que podemos encontrar
una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que
A = QDQ T .
Si hacemos el cambio de variables y = Q T x, entonces y T = x T Q. Ası́ obtenemos
x T Ax = x T QDQ T x = y T Dy.
Si λ1 , . . . , λn son las entradas de la diagonal principal de la matriz D y y T = [y1 , y2 , . . . , yn ], entonces en las variables
y1 , . . . , yn la forma cuadrática se ve de la forma
x T Ax = y T Dy = λ1 y21 + · · · + λn y2n .
Nota: Si la matriz Q del teorema anterior es tal que det( Q) = 1, entonces el cambio de variables y T = x T Q corresponde a una rotación en Rn
Ejemplo. Re-escriba la forma cuadrática f ( x1 , x2 ) = 5x12 + 4x1 x2 + 2x22 sin términos cruzados.
En este caso la matriz correspondiente es la matriz
5 2
A=
2 2
El polinomio caracterı́stico de A es p(λ) = (5 − λ)(2 − λ) − 4 = (λ − 6)(λ − 1). Luego, los valores propios de A
son λ1 = 1 y λ2 = 6. Los correspondientes espacios propios son:
1
2
E1 = gen
y E6 = gen
.
−2
1
Por lo tanto se obtiene que A = QDQ T , donde
"
Q=
√1
5
− √25
√2
5
√1
5
#
yD=
1 0
0 6
.
Usando el cambio de variables y = Q T x la forma cuadrática se transforma en f (y1 , y2 ) = y21 + 6y22
la cual no tiene términos cruzados.
2
Graficación de ecuaciones cuadráticas en 2D
Una aplicación importante de la diagonalización ortogonal de matrices simétricas es la identificación de curvas
cuadráticas en R2 .
Ejemplo. Identifique y grafique la curva dada por la ecuación
5x2 + 4xy + 2y2 = 6.
Para empezar notemos que el lado izquierdo de la anterior ecuación es una forma cuadrática, es decir, 5x2 + 4xy + 2y2
es una forma cuadrática. La matriz asociada a esta forma cuadrática es
5 2
A=
.
2 2
2
Los valores propios de A son λ1 = 1 y λ2 = 6. Los correspondientes espacios propios son:
1
2
.
E1 = gen
y E6 = gen
−2
1
Por lo tanto se obtiene que A = QDQ T , donde
"
√1
5
− √25
Q=
Hagamos el cambio de variables
x0
y0
=
QT
x0
y0
x
y
√2
5
√1
5
#
1 0
0 6
yD=
.
, es decir,
√1
5
− √25
"
=
√2
5
√1
5
#
x0
y0
x
y
.
Por lo tanto
2
2
5x + 4xy + 2y =
x y
5 −2
2 2
x
y
=
1 0
0 6
x0
y0
= ( x 0 )2 + 6( y 0 )2 .
Esto significa que la ecuación 5x2 + 4xy + 2y2 = 6 en las variables x 0 , y0 se convierte en ( x 0 )2 + 6(y0 )2 = 6, es decir,
( x 0 )2
+ (y0 )2 = 1.
6
0 0
Esta ecuación es la ecuación de una elipse escrita en la forma
en
los
0estándar
las variables x , y . Paraencontrar
ejes
x
x
x
x0
T
de esta elipse en las variables x, y debemos recordar que
=Q
, equivalentemente
=Q
.
y0
y
y
y0
En las coordenadas x, y el eje x 0 está generado por
" √1 #
1
5
q1 = Q
=
0
− √25
y el eje y0 está generado por
q2 = Q
0
1
"
=
√2
5
√1
5
#
.
y
2
1
x
−2
−1
1
2
−1
−2
3
Clasificación de formas cuadráticas
Las formas cuadáticas se puede clasificar de acuerdo con los posibles valores que estas toman. Más precisamente
tenemos la siguiente definición.
3
Definición 3 Sea A una matriz simétrica n × n. Sea f (x) = x T Ax la forma cuadrática correspondiente. Entonces:
1. Decimos que f es definida positiva si f (x) > 0 para todo x 6= 0.
2. Decimos que f es definida semi-positiva si f (x) ≥ 0 para todo x.
3. Decimos que f es definida negativa si f (x) < 0 para todo x 6= 0.
4. Decimos que f es definida semi-negativa si f (x) ≤ 0 para todo x.
5. Decimos que f es indefinida si f (x) toma valores positivos y negativos.
Esta clasificación de las formas cuadráticas se puede determinar a partir de los valores propios de la matriz A. Para esto
tenemos el siguiente teorema.
Teorema 4 Supongamos f (x) = x T Ax es una forma cuadrática con A una matriz simétrica n × n. Sean λ1 , . . . , λn los valores
propios de A. Entonces:
1. f es definida positiva si y sólo si λ1 , . . . , λn > 0.
2. f es definida semi-positiva si y sólo si λ1 , . . . , λn ≥ 0.
3. f es definida negativa si y sólo si λ1 , . . . , λn < 0.
4. f es definida semi-negativa si y sólo si λ1 , . . . , λn ≤ 0.
5. f es indefinida si y sólo si A tiene valores propios positivos y negativos.
Ejemplo: Consideremos la forma cuadrática f ( x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2 . La matriz asociada a esta forma cuadrática
es
5 2
A=
.
2 2
Los valores propios de A son λ1 = 1 y λ2 = 6. Por lo tanto f es una forma definida positiva.
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