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Economic Growth:
An R&D Model of
Expanding Varieties
Agentes
‡
Productores de Bienes Finales
‡
Firmas encargadas de llevar a cabo el
proceso de I&D para inventar nuevos
productos (insumos intermedios)
‡
Consumidores
Productores de Bienes Finales:
1−α
Y = AL
N
∑(X
j =1
α
j
)
Los productores se enfrentan a mercados
competitivos de los factores y de los productos
finales.
Las unidades de bienes finales pueden ser
destinadas a consumo, producción de insumos
intermedios, e invención de nuevos bienes
intermedios (expansión de N)
Problema del productor de bienes
finales:
N
‡
Max
Y − wL − ∑ Pj X j
j =1
‡
Demanda del bien j:
‡
Y 
w = (1 − α ) ⋅  
L
 Aα 

Xj =L 
 P 
 j 
1
(1−α )
Firmas de I&D: enfrentan un
proceso de decisión en dos etapas:
• Deciden si es conveniente dedicar recursos a la
invención de un nuevo producto. Las firmas
destinarán recursos a I&D si el valor presente neto
de los beneficios futuros esperados es al menos tan
grande como el gasto en I&D.
• Una vez que han realizado el esfuerzo en I&D,
deciden a qué precio venderán el producto a los
productores de bienes finales.
‡
Consideraremos un marco institucional en el
cual el inventor de un bien intermedio retiene
el monopolio perpetuo sobre la producción y
venta del bien que ha inventado (patente
perpetua).
‡
El valor presente neto de los retornos a la
invención del bien j será:
V (t ) = ∫
∞
t
v
∫
π j (v ) ⋅ e t
− r (ω ) dω
dv
PASO 2: Determinación del precio del insumo
una vez inventado
Asumiremos que, una vez inventados, el costo
marginal del bien intermedio es constante y
normalizado a 1. Entonces:
π j (v) = [Pj (v) − 1]⋅ X j (v)
y tomaremos la función de demanda para el productor
de bienes finales,
 Aα 

X j (v ) = L ⋅ 
 P (v ) 
 j 
1
(1−α )
Para determinar el precio final el productor de I&D
resolverá:
 Aα 

max π j (v) = Pj (v) − 1 ⋅ L ⋅ 
 P (v ) 
Pj ( v )
 j 
[
]
Resolviendo, se llega a:
Pj (v) = P =
1
α
>1
1
(1−α )
El precio es mayor que el costo marginal (resultado
del monopolio en la producción y comercialización)
El precio es el mismo para todos los bienes
intermedios
todos los bienes intermedios
entran simétricamente en la función de producción
de bienes finales
1−α
Y = AL
N
∑(X
j =1
α
j
1−α
α
) = AL NX j
Xj = A
1−α
1
(1−α )
α
α
2
(1−α )
Y = AL X j N = A
L
1
(1−α )
α
2α
(1−α )
LN
Mediante un par de sustituciones, llegamos a la
función de beneficios:
π j (v) = π = LA
1
(1−α )
1−α 
⋅
 ⋅α
 α 
2
(1−α )
Y finalmente a la función de valor presente neto
de los beneficios del inventor en el momento t
V (t ) = LA
1
(1−α )
1−α 
⋅
 ⋅α
 α 
2
(1−α )
⋅∫
∞
t
v
∫
e t
− r (ω ) dω
dv
PASO 1: La decisión de entrar en el negocio de
I&D
η
‡
El costo de I&D es fijo e igual a
‡
Condición de libre entrada (free-entry
condition):
V (t ) = η
‡
Diferenciando la condición de libre entrada con
respecto al tiempo obtenemos:
V&(t )
+
r (t ) =
V (t ) V (t )
π
‡
La condición de libre entrada implica
π L
r (t ) = r = = ⋅ A
η η
‡
1
(1−α )
V&(t ) = 0
1−α 
⋅
 ⋅α
 α 
2
(1−α )
implica que η es el valor de
mercado de una firma que posee los derechos
para producir un bien intermedio. El valor de
mercado agregado para todas las firmas de I&D
será ηN
V (t ) = η
Problema de las familias:
‡
Las familias maximizan su utilidad sobre un
horizonte temporal infinito:
U =∫
∞
0
1−θ
 c − 1  − ρt

 ⋅ e dt
 1−θ 
La restricción presupuestaria agregada de las
familias es:
a&= wL + r ⋅ a − C
‡
El Hamiltoniano de este problema será:
 c1−θ − 1  − ρt
 ⋅ e + λ (t )( w + r ⋅ a − c)
H = 
 1−θ 
‡
De las condiciones de primer orden se desprende
la ecuación de Euler:
c& 1
= ⋅ (r − ρ )
c θ
Equilibrio General
r=
L
η
⋅A
1
(1−α )
c& 1  L
= ⋅ ⋅ A
c θ η
1
(1−α )
1−α 
⋅
 ⋅α
 α 
2
(1−α )
1−α 
⋅
 ⋅α
 α 
2
(1−α )

− ρ

El problema del Planificador Social
U =∫
max
∞
0
 c1−θ − 1  − ρt

 ⋅ e dt
 1−θ 
sujeto a
1−α
Y = AL N
1−α
X = C + ηN&⋅ + X
α
 c1−θ − 1  − ρt
1
1−α
1−α
α


H =
⋅ e + λ (t ) ⋅ ( AL N X + Lc − X )

η
 1−θ 
De la solución del Hamiltoniano se desprende:
 c&
 
c
X
SP
=A
SP
1
(1−α )
1
1


1 L (1−α )  1 − α  (1−α )
= ⋅ ⋅ A
⋅
− ρ
 ⋅α
θ η
 α 

α
1
(1−α )
LN
Y
SP
=A
1
(1−α )
α
α
(1−α )
LN
Comparación de los resultados de la
economía descentralizada y del
planificador social
r
SP
=
L
η
⋅A
1
(1−α )
1−α 
⋅
 ⋅α
 α 
r
MK
 c&
 
c
SP
=
L
η
1
(1−α )
⋅A
>
1
(1−α )
 c&
> 
c
MK
1−α 
⋅
 ⋅α
 α 
2
(1−α )
Comparación de los resultados de la
economía descentralizada y del
planificador social
X
Y
SP
SP
=A
=A
1
(1−α )
1
(1−α )
α
α
1
(1−α )
α
(1−α )
LN > X
LN > Y
MK
MK
=A
=A
1
(1−α )
1
(1−α )
α
α
2
(1−α )
2α
(1−α )
LN
LN
Posibles soluciones para alcanzar el
óptimo social
‡
Subsidios a las compras de bienes
intermedios
‡
Subsidios a la producción de bienes finales
‡
Subsidios a la investigación