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Dinámica del equilibrio. Externalidades de red
Dinámica del equilibrio general. Procesos de tanteo. Teorema de Debreu-Mantel-Sonnenschein
Axioma Débil de la Preferencia Revelada. Procesos de no tanteo. Externalidades de red y su
dinámica.
Hemos visto que, bajo condiciones plausibles de comportamiento de los agentes (consumidores
y empresas) siempre es posible esperar que exista un sistema de precios (entendido como un
vector) que iguala a la demanda de cada bien con la oferta en ese mercado. Pero hasta el
momento, no tenemos garantía de que la economía opere en ese punto de "equilibrio". ¿Qué
fuerzas hacen que los precios se muevan hacia un vector de precios de equilibrio?
El problema más importante está relacionado con la idea de competencia y de ajuste de los
precios. Si todos los agentes económicos consideran a los precios como dados y por
consiguiente, fuera de su control ¿cómo se pueden mover los precios? ¿Quién los ajusta? Este
quid ha llevado a la construcción de una elaborada mitología que postula la existencia de un
"subastador walrasiano" cuya única función es buscar un sistema de precios de equilibrio. Según
esta construcción, un mercado competitivo funcionaría de la siguiente manera. En el momento 0
el subastador walrasiano comunica algún sistema de precios. Todos los agentes determinan sus
demandas y ofertas de bienes (¡corrientes y futuros!) a estos precios. El subastador examina el
vector agregado de exceso de demanda, ajustando los precios según alguna regla,
presumiblemente aumentando el precio de los bienes para los que se registra un exceso de
demanda y bajando el precio de los bienes para los que hay exceso de oferta. Este proceso
continúa hasta que se obtiene un vector de precios de equilibrio. En este punto, se realizan todas
las transacciones (incluyendo las transacciones sobre contratos futuros). La economía procede a
operar luego a lo largo del tiempo, cumpliendo cada agente con los contratos suscriptos.
Este es un modelo bastante irreal pero la idea de que los precios se mueven en dirección del
exceso de demanda parece plausible. ¿Bajo qué condiciones este tipo de proceso lleva al
equilibrio?
Procesos de tanteo
Supondremos que los precios se ajustan según la regla siguiente, que es llamada comúnmente la
ley de la oferta y la demanda: los precios de aquellos bienes que tienen un exceso de
demanda positivo aumentan, mientras que los de aquellos bienes con exceso de demanda
negativo bajan.
Recordemos que denominamos exceso de demanda a la diferencia entre la demanda total
existente por un bien a precios determinados para todos los bienes, y la oferta existente a esos
mismos precios. Un exceso de demanda negativo es, simplemente, un exceso de oferta sobre la
demanda.
Un razonamiento formal será útil en este punto. Denotamos como p al vector de k precios de los
bienes, y como z(p) al vector de demandas excedentes, mercado por mercado. Una forma
particular que podría adoptar la ley de la oferta y la demanda es entonces la siguiente:
dp/dt = z(p)
es decir, que el cambio del precio en cada mercado es directamente proporcional (con
proporción igual a 1) a la diferencia entre la demanda y la oferta en ese mercado.
Consideremos ahora la ley de Walras, que en nuestro contexto establece que el valor del vector
de exceso de demanda es nulo. Es decir p z(p)=0 ó Σpi(t)zi(p(t))=0 . Al vector z(p) lo
llamaremos el exceso de demanda de la economía. Esta ley introduce un requerimiento muy
conveniente. Para ello, definamos la norma del vector de precios de la siguiente manera:
N=Σ pi2
es decir, es la suma de los cuadrados de los precios (y por consiguiente es siempre positiva o
nula). Como los precios van a estar cambiando en el tiempo, podemos calcular su cambio de la
manera siguiente:
d/dt Σ pi2(t) = Σ2pi(t) [dpi(t)/dt] = 2 Σpi(t) zi(p(t))=0 por la ley de Walras.
Luego, la ley de Walras requiere que la norma de los precios no cambie cuando los precios son
ajustados.
Ahora bien, como fue demostrado por Debreu, Mantel y Sonnenschein, cualquier función de
exceso de demanda que sea continua, que satisfaga la ley de Walras, puede ser la función de
exceso de demanda de alguna economía. Este resultado es conocido como el teorema de
Debreu-Mantel-Sonnenschein. Lo que nos dice este resultado es que las hipótesis de que los
consumidores maximizan su utilidad y de que las empresas maximizan sus beneficios no ponen
restricciones sobre la demanda agregada, y por consiguiente se necesitan hipótesis más
específicas sobre las funciones de demanda para obtener un resultado dinámico.
Una de estas hipótesis posibles es que la demanda agregada satisface al Axioma Débil de
Preferencia Revelada. Esta condición establece que si px(p)≥px(p*) donde p y p* son vectores
de precio cualesquiera, entonces p*x(p)>p*x(p*). En palabras, si los consumidores eligieron la
demanda x(p) cuando estaban vigentes los precios p, el gasto realizado cuando los precios
cambian a p* debe ser necesariamente inferior al gasto realizado en la canasta x(p) evaluado a
estos nuevos precios p*. Esta condición, como vale para todos los sistemas de precio
(recuérdese que p y p*son cualesquiera) debe cumplirse también cuando p* es el sistema de
precios de equilibrio.
Es fácil verificar que también se debe cumplir la condición para la demanda excedente, es decir
que si pz(p)≥pz(p*) entonces
[1] p*z(p)>p*z(p*).
Ahora, observemos que la ley de Walras requiere que pz(p)=0 y, en equilibrio, se requiere que
pz(p*)=0. Por lo tanto, se deduce de [1] que p*z(p) >0 para todos los sistemas de precio p*≠p.
Volvamos ahora al comportamiento dinámico de la economía. Supongamos que definimos una
"distancia" entre los sistemas de precio, adoptando la siguiente definición de distancia:
D(p) = ∑[(pi-pi*)2]
Vamos a calcular ahora cómo cambia esta distancia a medida que pasa el tiempo:
Dinámica del equilibrio. Externalidades
p. 3
dD(p)/dt = ∑2(pi-pi*) (dpi(t)/dt) =2 ∑(pi-pi*)zi(p)
(reemplazando por las ecuaciones dinámicas del modelo de tanteo), y
=2∑ (pi zi(p) – pi* zi(p)) = 0 – 2 p*z(p) <0
(por la ley de Walras). Luego, la distancia tiende a decrecer en forma permanente a medida que
el tiempo transcurre. Esto significa que la situación de equilibrio es estable 1 cuando se cumple
el Axioma Débil de la Preferencia Revelada.
Estas situaciones tienen sentido cuando no se realiza ninguna transacción hasta que se alcance
un equilibrio del mercado, o cuando los bienes no pueden ser almacenados de manera que los
consumidores tienen en cada momento la misma dotación. Si los bienes pueden ser
almacenados, la dotación de los consumidores va a cambiar a través del tiempo y esto afectará al
comportamiento de la demanda. Modelos de este tipo son llamados modelos de no tanteo. El
quid de estos procesos es la evolución de las dotaciones de los consumidores. En el primer caso
o proceso de Edgeworth se supone que al comerciarse los bienes la utilidad de los
consumidores va registrando un incremento continuo. Esto está basado en que los consumidores
no comerciarán a menos que mejoren su bienestar. Este modelo se caracteriza por un proceso
estable en el tiempo.
Otra especificación posible es el llamado proceso de Hahn. En este caso, la regla de
comercialización es tal que no hay bienes tales que algunos agentes tengan exceso de demanda y
otros exceso de oferta. Por consiguiente, un bien que se encuentra en exceso de demanda para un
agente también se encuentra en exceso de demanda agregada. También el proceso dinámico de
este sistema conduce al equilibrio.
Externalidades de red
Este tipo de externalidades se ha vuelto muy importante en años recientes, razón por la que será
estudiado con cierto detenimiento. Una red es un conjunto de nodos conectados por arcos
vinculantes. Un caso típico es provisto por los mercados de industria de alta tecnología. Tómese
por ejemplo el caso de software de productividad como los procesadores de texto. Si uno está
considerando la posibilidad de aprender un procesador de texto, es natural utilizar uno con la
mayor participación en el mercado, dado que esto permitirá realizar intercambios de archivos
con otros usuarios, será más fácil trabajar en documentos con múltiples autores y más fácil
hallar una solución al enfrentarse a un problema. Esto conduce a casos interesantes de "feedback
positivo" en que más ventas conducen a costos unitarios más reducidos y más atracción a nuevos
clientes. Una vez que una firma estableció una dominación del mercado con un producto
particular puede ser muy difícil desalojarla de ese lugar.
Supóngase que hay 1000 personas en un mercado de un bien, e indicamos a la gente mediante el
subíndice y= 1, ..., 1000. Imaginemos que y mide el precio de reserva del bien para la persona y.
Luego, si el precio del bien es p, el número de gente que piensa que el bien vale al menos p es
1
En términos técnicos, la función de distancia utilizada es lo que se llama una función de Liapunov.
Dinámica del equilibrio. Externalidades
p. 4
1000-p. Por ejemplo, si el precio del bien es $200, hay 800 personas que pagarían al menos
$200 por el bien, de manera que la cantidad total vendida sería 800. Esto corresponde a una
curva ordinaria de demanda, con pendiente negativa.
Ahora supongamos que el bien tiene externalidades de red, como una máquina de fax o un
teléfono. Supongamos que la valoración del bien para la persona y es yn donde n es el número de
gente que ya está consumiendo el bien (o número de gente conectada a la red). Cuanto más
gente hay que consume el bien, tanto más cada persona está dispuesta a pagar para adquirirlo.
Bajo estas condiciones, si el precio es p, hay alguien que está indiferente entre comprarlo y no
comprarlo. Indiquemos mediante ỹ el índice del individuo marginal. Por definición está
indiferente entre comprarlo y no comprarlo, por lo que su disposición a pagar por el mismo es
igual a su precio:
p=ỹn.
Toda persona con una disposición mayor que ỹ lo querrá adquirir. Luego, la cantidad de gente
que quiere adquirir el bien es
n=1000-ỹ.
De modo que tenemos
n=1000-ỹ = 1000-(p/n) ►n2-1000n=-p►p=n(1000-n) ► p=1000n-n2
que es una relación entre el precio del bien y la cantidad de usuarios. Es en cierta forma una
curva de demanda. Si hay n personas dispuestas a adquirir el bien, la disposición a pagar del
individuo marginal es la altura de la curva. Tiene la forma de una parábola. Su máximo se
alcanza en n=500 al que corresponde una disposición máxima de 250.000 pesos. La disposición
será positiva siempre que n<1000. Es, en cierto sentido, una curva de demanda atípica.
Disposición al pago
Oferta
Tamaño de la red
Veamos ahora la oferta, suponiendo que el bien puede ser producido mediante tecnologías con
rendimientos constantes a escala. Nótese que hay tres intersecciones posibles entre oferta y
demanda. Hay un nivel de equilibrio bajo donde n*=0. En este caso, nadie se conecta a la red y
por consiguiente nadie quiere pagar nada por consumir el bien.
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En el segundo equilibrio tenemos una situación intermedia, con una cantidad positiva pero
pequeña de consumidores donde cada uno piensa que la red no será demasiado grande, de modo
que no está dispuesto a pagar demasiado por conectarse – y por lo tanto la red no es grande. El
último equilibrio se caracteriza por un elevado número de gente conectada. En este caso, el
precio es bajo porque la persona marginal no lo valora demasiado, aunque el mercado es muy
amplio.
Hasta este punto el modelo no da ninguna razón para elegir entre uno de los equilibrios. Sin
embargo, podemos agregar un proceso de ajuste que localizará el equilibrio al que es más
probable llegar. Se introduce el siguiente esquema dinámico: cuando la gente valora el bien en
más que el costo, se expande el tamaño del mercado, mientras que si la disposición al pago es
inferior, el mercado se contrae. Geométricamente esto significa que, cuando la curva de
demanda está por encima de la oferta, la cantidad se expande mientras que, en el caso contrario,
la cantidad se contrae. Esto es ilustrado por las flechas del diagrama. Ahora es evidente que el
bajo nivel de equilibrio y el alto nivel de equilibrio son estables, mientras que el nivel
intermedio es inestable. Por consiguiente, es improbable que el punto final se alcance al nivel
intermedio.
¿Cuál de los otros equilibrios estables se realizará? Pensemos en niveles de costo que caen en el
tiempo debido al progreso tecnológico (por ejemplo, fax, DVD, redes de computadoras, etc.).
Cuando el costo medio es elevado hay un único equilibrio estable (cero). Cuando el costo medio
desciende lo suficiente, habrá dos equilibrios estables. A medida que el sistema tiene costos
medios más reducidos, introduzcamos ahora cierta variabilidad en el número de usuarios aldedor
de n*=0. Cuando los costos caen, resulta que en forma creciente estas perturbaciones empujarán
al sistema más allá del equilibrio inestable. Cuando esto suceda, el sistema será empujado hacia
el equilibrio de alto nivel. Un ejemplo posible es el que resulta en el gráfico siguiente.
Tamaño de la red
Tiempo
Cuando se alcanza una "masa crítica" la red se expande en forma acentuada. Este
comportamiento puede ser ejemplificado por el del precio y el número de equipos de fax
vendidos en los últimos años. En los años ochenta, su precio cayó en forma significativa y la
demanda explotó en forma repentina.
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Bibliografía
Varian H. R. Análisis Microeconómico, Cap. 21
Varian H. R. Microeconomía intermedia, Cap. 32
Shapiro C. and Varian H. R. Network Effects http://www.inforules.com/models/m-net.pdf.pdf