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Problemas de Microeconomía II
1) Optimización
1.1) Exponga el teorema de la envolvente. Aplicarlo al caso de una empresa que produce un único
bien utilizando dos factores productivos.
2)Teoría del consumo
2.1) A partir de la función de utilidad de dos bienes, exponer los problemas de optimización mediante
los cuales se determinan: a) las funciones de demanda de ambos bienes; b) la función de utilidad
indirecta; c) la función de gasto; d) las funciones de demanda compensadas de los bienes.
2.2) Dada la función de utilidad de dos bienes U(x, y)= x.y obtenga una expresión funcional para las
funciones de demanda ordinaria (marshallianas) de ambos bienes, las funciones de demanda
compensadas (hicksianas), la función de utilidad indirecta y la función de gasto.
2.3) Usando la ecuación de Slutsky, exprese la relación entre la oferta de trabajo de un consumidor, el
salario percibido por hora trabajada y su ingreso real. Identifique bajo qué condiciones una reducción
del salario puede conducir a un aumento de la cantidad de trabajo ofrecida.
2.4) Dada la función de utilidad (x1ρ+x2ρ)1/ρ encontrar la función de utilidad indirecta correspondiente.
Asimismo obtener las funciones de demanda mediante aplicación del teorema de Roy.
2.5) En una economía con dos bienes, suponer que un consumidor dispone de un ingreso limitado
para adquirirlos en mercados competitivos a precios p1 y p2 . Obtenga la ecuación de Slustky para el
primer bien. Qué propiedades tiene el término de sustitución?
2.6) Suponga que la función de utilidad de un consumidor es cuasi-lineal con la siguiente expresión:
U(x1, x2) = x1 + u(x2). Explique: “para una función de utilidad cuasi-lineal, la integral de la
demanda es esencialmente la función de la métrica monetaria de la utilidad” (Varian).
2.7) Deducir la ecuación de Slusky en la teoría del consumo. Demuéstrela para el caso de un
consumidor que adquiere dos bienes. Discuta qué interpretación cabe otorgar al término de
sustitución.
2.8) Se define a la forma de Gorman de una función de utilidad como el caso en que la utilidad
indirecta es representable como vj(p, yj) = cj(p)+d(p).yj . Demuestre: a) si todos los consumidores del
mercado tienen funciones de utilidad con esta propiedad, existe un consumidor representativo; b) si
existe un consumidor representativo, su función de utilidad debe tener la forma de Gorman.
3) Incertidumbre
3.1) A un inversor que tiene una riqueza inicial de 4 mil pesos, se le ocurre participar en la puesta en
marcha de un emprendimiento minero altamente riesgoso en un campo que le pertenece.
Dependiendo de que el resultado de la exploración resulte positivo acerca de la existencia de mineral
en la cuenca, el emprendimiento tiene dos resultados posibles equiprobables, uno de los cuales es la
extracción de mineral que a precios de mercado tiene un valor elevado, siendo la otra posibilidad que
el proyecto termine en un fracaso. Si el beneficio monetario en el primer caso podría ascender a la
suma de 12 mil pesos y en el segundo caso a cero, se pide determinar cuál es el valor monetario que,
como mínimo, exigiría el empresario para vender su participación. El inversor tiene intolerancia al
riesgo, y su función de utilidad de la riqueza es u(w)=√w.
3.2) Explique el concepto de riesgo moral aplicado a un mercado en que los consumidores enfrentan
incertidumbre sobre el valor de un activo.
4) Teoría de la oferta
4.1) Una firma adquiere dos insumos en cantidades X1 y X2 en mercados competitivos a precios w1 y
w2 y con esas cantidades produce un nivel de producto Y. Sabiendo que la función de costos totales
mínimos de la empresa es C = Y . (w1)α . (w2)1-α donde α es un parámetro positivo,
a) Deduzca la función de producción de esa firma en forma explícita.
b) Obtenga la función de demanda de cada insumo
c) Indique qué tipo de rendimientos a escala presenta la producción.
4.2) Sea una función de producción que responde a la siguiente definición: Γ(x1, x2) = (x1σ + x2σ) 1/σ.
Obtenga la función de costos asociada.
4.3) Demuestre que las curvas de costo medio de corto y largo plazo deben ser tangentes en un punto
de dichas curvas.
4.4) Obtenga analíticamente la derivada parcial de la producción neta de una empresa ( xi ) con
respecto al precio de un producto j ( pj ) pudiendo sea i igual o distinto de j . Explique por qué es de
esperar que se cumpla que en la teoría neoclásica de la producción predominen los efectos-sustitución
con relación a los efectos alternativos.
4.5) Una empresa competitiva tiene función de beneficios: B(w 1 ,w 2 )= Φ 1 ( w 1 ) + Φ 2 ( w 2 ). El
precio del producto es igual a 1.
a- ¿Qué puede decirse de la 1era y 2da derivada con respecto a los precios de los factores?
b- ¿ Cuál es el signo de la derivada de la demanda del factor 1 con respecto al factor 2?
c- Sea f (x, y) la función de producción que generó dicha función de beneficios. ¿Qué se puede decir
acerca de la función de producción?
4.6) Una firma tiene la función de producción y=x1.x2 . Si el costo mínimo de producción cuando los
precios de los insumos son w1 =w2 = 1 es igual a 4, determine cuál es el nivel de producción que le
corresponde. Discuta el cumplimiento de la condición de segundo orden.
4.7) Explique la distinción entre funciones de costo total de corto y largo plazo.
4.8) La función de producción de una empresa es f(x) = 20x –x2 y el precio del producto está
normalizado en p=1. Sea w el precio del insumo utilizado en cantidad x. Escriba la condición de
primer orden para la maximización del beneficio, la función de beneficio y la función de demanda del
factor.
4.9) C(w,y) es la función de costos totales de la empresa, w el vector de precios de los factores, y el
producto total, f(x) la función de producción, x el vector de insumos. Demostrar bajo qué condiciones
los siguientes conjuntos son iguales,
V(y) ≡{x | f(x) ≥ y}
Ve(y) ≡ {x | Σ wj xj ≥ C(w, y) }
4.10) Demuestre que para un monopolista que discrimina precios entre distintos mercados
(discriminación de tercer grado) los precios relativos fijados entre los distintos mercados son
inversamente proporcionales a la elasticidad de la demanda en esos mercados.
4.11) Una firma maximiza beneficios en condiciones competitivas, usando trabajo calificado (Lc) y
no calificado (Lnc). Cuando aumenta el precio del producto que vende, la firma contrata más
trabajadores calificados pero menos no calificados. Los trabajadores no calificados consiguen un
aumento de su salario en una mediación colectiva. Suponiendo que el resto de los precios está
constante, discuta qué sucederá con la cantidad demandada de trabajadores no calificados, y qué
sucederá con la cantidad producida (Varian)
4.12) Una empresa tiene dos instalaciones. En una produce de acuerdo con la función de costos
C 1 (Y 1 )= Y 12 /2 y en la otra C 2 (Y 2 )= Y 2 . ¿ Cuál es la función de costos de la empresa? (Varian)
4.13) La función de costos totales de una empresa es AY.(W1ξ+W2(1-ξ)) donde Y es el nivel de
producción y los precios de los factores son W1 y W2. Mediante la aplicación del lema de Shephard
obtenga las funciones de demanda de sus factores productivos.
4.14) Analizar: “Al obtenerse una solución de maximización de los beneficios se minimiza el costo
total de producción.”
5) Teoría de la inversión
5.1) Deduzca la condición de 1er orden que debe satisfacer un programa de renovación de máquinas
en una cadena óptima de reposición de capital.
5.2) Defina en qué consiste la evaluación de inversiones según el criterio del beneficio del primer
año.
5.3) Considere a un empresario que se dedica al proceso de añejamiento de vino del tipo punto input –
punto output. Su costo inicial para producir es de $20, el valor de las ventas del vino es I (t) = 100
t y el tipo de interés es 0.05. ¿Cuál es la duración óptima del periodo de inversión? Verifique el
cumplimiento de la condición de 2do orden.
5.4) Una compañía invierte $100,000 en un proyecto cuyo flujo de caja único es $150,000 dentro de 1
año. El beta del proyecto es 2.0, y el premio al riesgo del mercado (igual a la diferencia entre el
rendimiento de la cartera de mercado y la tasa libre de riesgo) es 8%. La tasa de interés libre de riesgo
es 6%. Utilice estos datos para encontrar el costo de oportunidad del capital y el valor presente del
proyecto.
5.5) Deduzca la condición de 1er orden que debe satisfacer un programa de renovación de máquinas
en una cadena óptima de reposición de capital. (Sugerencia: plantear el problema de reemplazo de
una sola máquina y luego plantear el problema de la cadena).
5.6) Considere el modelo biperiódico de Fisher-Hirshleifer que describe el proceso de inversión.
Explique cómo se determina el volumen óptimo de inversión cuando hay:
a) Costo marginal creciente del endeudamiento
b) Presencia de una no-convexidad de la función de producción.
5.7) Exponga el teorema de Arrow y Lind . Dé un ejemplo de su aplicación.
6) Análisis financiero
6.1) Demuestre la ecuación fundamental del modelo de los precios de los bienes de capital o CAPM.
Muestre que en equilibrio, el rendimiento de un activo de riesgo es independiente de su propia
varianza, interpretando esta propiedad.
6.2) Valuación de una perpetuidad. Explique la fórmula de valuación de una perpetuidad que paga K
pesos por año. ¿Qué implicancias aparecen cuando los pagos crecen a una tasa anual del g % en
perpetuidad?
6.3) Qué es una tasa de capitalización de mercado. ¿Cómo es calculada en general en el análisis
financiero?
6.4) Explique bajo qué condiciones es posible esperar que el rendimiento de los activos de una
empresa endeudada sea el mismo que una empresa cuyo capital está constituído exclusivamente por
aportes de los accionistas (teorema de Modigliani y Miller).
6.5) En un mercado existen 3 activos financieros, la rentabilidad esperada de cada uno es 3%, 6% y
8% respectivamente. Los rendimientos de los tres activos son independientes. La varianza de dichos
rendimientos es 10%, 25% y 30% respectivamente. Determinar la composición de la cartera
eficiente suponiendo un rendimiento esperado del 5%.
6.6) Una compañía invierte $100.000 en un proyecto cuyo flujo de caja único es $150.000 dentro de 1
año. El beta del proyecto es 2.0, y el premio al riesgo del mercado (que es igual a la diferencia entre
el rendimiento de la cartera de mercado y la tasa libre de riesgo) es 8%. La tasa de interés libre de
riesgo es 6%. Utilice el modelo CAPM para encontrar el costo de oportunidad del capital y el valor
presente del proyecto.
6.7) Defina la duration de un bono. Indique qué relación existe entre la duration y el precio de
mercado del bono.
6.8) “Todos los expertos en finanzas aceptan dos ideas básicas: 1) los inversores requieren un
rendimiento adicional por asumir riesgos, y 2) están básicamente preocupados por el riesgo que no
puede ser reducido mediante la diversificación.” Esta afirmación concluye el tratamiento de Brealey
y Myers sobre los modelos de precios de los activos de capital (CAPM) y de arbitraje de precios
(arbitrage pricing theory). Explique la afirmación en el marco de uno de los dos modelos.
6.9) Desarrolle el modelo de precios de los activos de capital. Obtenga la ecuación que relaciona el
rendimiento de la cartera con la tasa libre de riesgos, indicando bajo qué supuestos es válida esta
relación.
7) Estructura de mercados
7.1) En una industria hay dos firmas. Explique:
(a) Cuál es la elección óptima de cada firma cuando actúan como competidores de Cournot?
(b) Cómo se determina el equilibrio de Cournot.
(c) Cómo se determina el nivel de producto cartelizado de la industria.
(d) Cuál es el equilibrio de Stackelberg, si la firma 1 actúa como líder y la 2 como seguidor?
(e) Cuál es el nivel de producto de la industria bajo competencia perfecta?
(f) Explique el equilibrio del duopolio cuando las empresas utilizan los precios como variable
estratégica y los bienes producidos son heterogéneos.
7.2) Demuestre las propiedades que cumplen los precios de un monopolista que realiza
discriminación de precios de tercer grado.
7.3) Demuestre que cuando un monopolista discrimina precios entre consumidores bajo la forma de
discriminación de precios de segundo grado, el consumidor de bajo nivel de demanda paga su
disposición al pago, y el consumidor de alto nivel de demanda tiende a pagar el costo marginal de
producción.
7.4) Un duopolio con bienes heterogéneos tiene una curva de demanda inversa dirigida al productor 1
dada por p1=Ω1 - δ1 y1 – γ y2 (donde p1 es el precio recibido por el productor 1 cuando vende y1
unidades del bien y su competidor vende y2 unidades). Obtenga la función de reacción del productor:
a) en el contexto del duopolio de Cournot, y b) en el contexto de un duopolio de Bertrand.
7.5) Desarrolle el modelo de precios no lineales en el monopolio. Explique el concepto de autoselección.
7.6) Defina la estructura del juego conocido como Dilema de los Prisioneros. Muestre que tanto el
duopolio de Cournot como el de Bertrand dan lugar a un dilema de los prisioneros cuando son
planteados en términos de juegos de estrategia.
7.7) Explique el concepto de equilibrio en estrategias dominantes. Demuestre que un equilibrio en
estrategias dominantes constituye un equilibrio de Nash.
7.8) Equilibrio de colusión en el oligopolio. Exponga el rol que tienen las “estrategias de amenaza” de
los oligopolistas.
7.9) Considere el caso de una industria en la que hay 2 empresas, cada una de las cuales tiene costos
marginales nulos. La curva inversa de demanda a la cual se enfrenta esta industria es p(Y) = 100 – Y
donde Y = y1 + y2 es la producción total.
a) ¿Cuál es el nivel de producción de equilibrio competitivo?
b) ¿Cuál el nivel de producción de cada empresa correspondiente al equilibrio de Cournot?
c) ¿Cuál es la producción de la industria correspondiente al cartel?
d) Si la empresa 1 es líder y la 2 seguidora, calcule el nivel de producción de cada empresa
correspondiente al equilibrio de Stackelberg.
8) Equilibrio general competitivo y bienestar
8.1) Demostrar las siguientes proposiciones válidas en una economía competitiva:
(a) p (x(p) – y(p) –ω) = 0 (o “ley de Walras”)
(b) Si p* es un equilibrio walrasiano y la función de demanda excedente zj(p*) < 0 → p*j =0.
(c) Si todos los bienes son deseables y p* es un equilibrio walrasiano, entonces la función de
demanda excedente z(p*) = 0.Se define a un bien como “deseable” si pi=0 implica que su
demanda excedente zi(p) > 0 .
8.2) Demuestre un teorema de existencia de equilibrio general competitivo utilizando el teorema de
Brouwer de punto fijo.
8.3) Discuta la posibilidad de impulsar la creación de mercados de externalidades como una forma de
resolver el problema generado por los efectos externos.
8.4) Explique la condición de no arbitraje y aplique esa condición para demostrar que, en una
economía en que rige dicha condición, los precios de los activos satisfacen: p=πR donde π es el
vector de los precios de obligaciones Arrow-Debreu que pagan $1 si se verifica cierto estado y cero
en los otros estados, y R es una matriz de pagos de los activos.
8.5) Suponga que el subastador walrasiano aplica la regla de ajuste siguiente:
dp/dt = [Dz(p)]-1 z(p)
donde Dz(p) es la matriz constituída por las derivadas de la función de demanda excedente.
Demuestre que V(p)= -z(p)z(p) es una función de Lyapúnov del sistema dinámico.
8.6) Un proyecto pequeño genera un aumento de bienestar si el ingreso nacional (calculado a los
precios de la situación original) se incrementa. Muestre que esta afirmación puede ser derivada a
partir de las ecuaciones que definen a un óptimo primario o de bienestar del sistema económico.
8.7) ¿Qué es la composición orgánica del capital? Demuestre que si todas las industrias de la
economía tienen la misma composición orgánica del capital, los precios de equilibrio son
proporcionales a los valores de los bienes.
8.8) Para una economía que tiene la siguiente matriz de transacciones de insumo-producto:
┌0
│
└1
1/4┐
│
0┘
y un vector de coeficientes directos de trabajo igual a l = [2
1] se pide:
a) Determinar los valores de ambos bienes;
b) Obtener el producto de cada industria y la demanda total de trabajo cuando la demanda final
por el primer bien es igual a 1 y la del segundo bien igual a 2.
c) Escribir las condiciones de equilibrio para reproducción ampliada de la economía.
8.9) Demostrar que si en una economía con K mercados, en K-1 se registran condiciones de equilibrio
entre la oferta y la demanda, luego, si el precio del mercado restante es positivo, entonces también
debe verificarse en este mercado la mencionada igualdad.
8.10) Exponer la tesis de los dos teoremas básicos de la economía del bienestar. Analizar si es
relevante el supuesto de convexidad para ambos teoremas.
8.11) Exponer bajo qué condiciones es posible que el vector de precios de equilibrio de la economía
resulte independiente de las condiciones de demanda y de las dotaciones de los factores productivos.