Download ¿Por qué las diagonales de un polígono convexo de n lados es ?

¿Por qué las diagonales de un polígono convexo de
n−3
n
?
2
n
lados es
Podemos pensar en resolver este problema usando el concepto de combinación1 sobre todo por el hecho
que cualquier segmento AB es idéntico (y por lo tanto no debe contabilizarse dos veces) al segmento
BA, esto es, el orden no importa puesto que ambas expresiones emplean los mismos puntos A y B. Es
importante aclarar de inicio que consideramos a un polígono convexo2 sobre todo por el hecho de que
se entiende que los vértices que lo conforman no son colineales entre sí.
Con base en lo anterior podemos comenzar con el siguiente razonamiento:
1) La cantidad de segmentos que se forman al unir los n vértices de un polígono convexo es
n!
n!
nn−1n−2! n n−1 n2−n
C
=
!=
=
=
=
(I)
n 2
n−2 2! n−2 !
2! n−2!
2
2
2) La cantidad registrada en (I) contiene tanto la cantidad de lados (L) como la cantidad de
diagonales (D) que conforman el polígono.
n 2−n
n2−n
DL=
 D=
−L
2
2
(II)
3) En un polígono de n vértices hay n lados. En consecuencia se entiende que:
n=L
(III)
4) Al sustituir en (III) en (II) obtenemos:
D=
n2−n
n 2−n−2n n2−3n
−n=
=
2
2
2
1Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (con n menor a m) a todas las
agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que (i) cada agrupación está
formada por n elementos distintos entre sí y (ii) dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en
un elemento , sin tener en cuenta el orden. (Extraído el 8 de abril de 2010 de
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/combina.htm).
2 Un polígono convexo es un polígono en el que todos los ángulos interiores miden menos de 180
grados ó π radianes y todas sus diagonales son interiores. (Extraído el 8 de abril de 2010 de
http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_convexo)