Download Elementos geométricos del plano

Matemáticas II
CEPA ”Carmen Conde Abellán”
Elementos básicos de
geometría plana
Melilla
Punto, recta y plano.
Si observamos la clase donde estamos, vemos que todos los objetos que nos rodean
ocupan un lugar en el espacio. Algunos tienen 3 dimensiones (ancho, alto y largo), pero
otros, sólo tienen dos.
La geometría plana es la parte de la geometría (y de las matemáticas que estudia las
propiedades de las figuras. Los 3 elementos básicos de la geometría son: El punto, La
recta y el plano.
¾ El punto.
La verdad es que el punto no tiene una definición muy exacta, Para hacer nos una idea,
podemos para representar un punto, realizar dos pequeños trazos que se cortan, un
pequeño círculo y simbolizarlo con las letras mayúsculas; A, B, C…El punto no tiene
dimensión: ni largo, ni ancho ni largo.
.B
A
¾ La Recta:
Una recta es una línea, pero una línea muy especial. Para hacernos una idea es como si
tensáramos un hilo. Podrás imaginar que la recta. Cuando nos ponemos a trazarla parece
que no tiene fin; es así, es ilimitada, tiene infinitos puntos, por ello, lo que realmente
representamos es una parte de la recta y la vamos a simbolizar con letras minúsculas
( para diferenciarlas de los puntos). Recuerda que las rectas sólo tienen una dimensión:
EL LARGO.
r
¿Qué debemos saber de las rectas?
- Por un punto pasan infinitas rectas
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3er Tema 2º Curso
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- Por dos puntos pasan solamente una recta
Tipos de Rectas
a. Rectas Secantes. Son aquellas que se cortan en un punto:
b. Rectas paralelas: Nunca se cortan, así que no tienen ningún punto en común
c. Rectas coincidentes: Cuando todos los puntos son comunes, es decir, las dos
rectas coinciden
d. Rectas perpendiculares: son las que forman un ángulo de 90º.
e. Semirrecta: Una semirrecta es cada una de las partes en las que un punto
divide a una recta
f. Segmento: Es la parte de una recta comprendida entre dos puntos.
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-
El punto medio de un segmento es aquel que lo divide en dos partes iguales:
-
A la recta que es perpendicular a un segmento y que pasa por su punto medio, la
llamamos mediatriz
-
Como dividimos un segmento en partes iguales.
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¾ El plano:
La superficie la vamos a definir como lo “que queda encerrado en el interior de una
línea. Si esas líneas son rectas, la superficie recibe el nombre de cara plana ( o polígono)
Así que una superficie ilimitada recibe el nombre de plano. Para hacerte una idea de
un plano o superficie ilimitada, imagínate un barco en alta mar. La superficie del mar no
tiene fin
Los ángulos y su medida
A. DEFINICIÓN:
Vamos a definir un ángulo como la región del plano que existe entre dos semirrectas
que se cortan en un punto
B. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Lo vamos a hacer según dos criterios.
Según la posición de esas semirrectas:
Nulo: Angulo formado
Por dos rectas coincidentes
Recto: formado por dos
semirrectas coincidentes.90º
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Llano: dos semirrectas opuestas
(Mira, son dos rectos) :180º
Completo. Dos semirrectas
coincidentes.360º
Según su abertura:
Agudo: abertura inferior a un
Ángulo recto ( menos de 90º)
Obtuso: Abertura mayor que
la de un recto( mayor de 90º)
Dos ángulos, son complementarios,
cuando los dos suman 90º, es decir,
forman un ángulo recto
Dos ángulos son suplementarios,
cuando los dos suman 180º, es decir,
forman un ángulo llano:
¿Y si trabajamos con muchos ángulos?...
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Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante.
En la figura podemos ver dos líneas paralelas, la línea “a” y la línea “b”, cruzadas por
una línea “m” llamada transversal o línea secante. Llamaremos ángulos internos a al
ángulo 3,4,5 y 6, ya que quedan “atrapados, dentro” de las paralelas; los ángulos 1,2,7 y
8, serán llamados ángulos externos . Observa que, el cruce en la línea “a” es idéntico al
cruce en la línea “b”, dado que estas líneas son paralelas. Así que el ángulo 1 es
correspondiente con el ángulo 5, por estar en posiciones semejantes. Y lo mismo sucede
para el 2 y el 6. Así que estos pares de ángulos son iguales . Tú podrás localizar pares de
ángulos iguales.
Bisectriz de un ángulo. Es una recta que divide un ángulo en dos partes
iguales
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C: MEDICIÓN DE ÁNGULOS
a. Cuando un ángulo es trazado con una “vuelta completa” estaremos hablando de un
ángulo de 360°; observa como se describe una circunferencia.
Se define, como un grado , aquella parte que resulte de dividir a la circunferencia en
360 partes iguales; es decir cada una de estas partes mide un grado. Si, una de estas
partes es divididita en 60 partes iguales, a cada una de estas se le dirá “un minuto ”.
Por si fuera poco, si cada una de estas partes, un minuto, fueran divididas en 60 partes
iguales, a estas pequeñas partes se les llama “ segundos”. Este sistema se denomina
SEXAGESIMAL
Resumiendo , tenemos las definiciones siguientes, en una tabla de equivalencias:
UNIDAD DE MEDIDA
Un grado
Un minuto
Un segundo
SIMBOLO
1°
1'
1 ''
EQUIVALENCIA
60 minutos
60 segundos
EJEMPLO. Así, si medimos un ángulo y nos resulta una cantidad “no entera”,
estaremos hablando de un ángulo que Bien pudiera ser el siguiente: 34°25’17’’, que se
lee como “treinta y cuatro grados con veinticinco minutos y diecisiete segundos.
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Aquí mismo, vamos a hacer la conversión de grados sexagesimales a los centesimales,
que es como nos lo da la calculadora…..
34°25'17''=
Y ahora, al contrario vamos a pasar 35º,75 a sexagesimales
b. Sumas y restas de ángulos en el sistema sexagesimal:
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Ejercicios de repaso:
1.-Refiriéndonos a la figura, para las próximas preguntas selecciona la respuesta
que consideres correcta:
son ángulos:
• i. Decir si los ángulos
a) suplementarios
b) complementarios
c) opuestos por el vértice
d) par de ángulos lineales
• ii. Los ángulos
son.
a) suplementarios
b) complementarios
c) ángulos adjuntos
d) par de ángulos lineales
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• El ángulo
es igual a:
a) x°
c) (180-x)°
• Si el ángulo
90°+ x°
(90-x)°
determina cuál es el valor del ángulo
a) 35°
90°+ 65°
c) (90+35)°
(90-x)°
.
2.- Para la figura responde a las siguientes preguntas:
• i. ¿Qué valor de x° hace que AB sea un ángulo llano ( de 180°)
• ii. ¿Si el ángulo
fuera de 90°, qué valor debería tener el ángulo
4.- En la figura determina el valor del ángulo
.
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.
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a) 36°
b) 72°
c)108°
c) 144°
5.- En base a la figura, determina el valor de la X. Considera que el ángulo
es un ángulo llano.
6.- Realiza las transformaciones de los ángulos siguientes según se te pida:
35°30'45''
60°45'40''
Convertir a sistema sexagesimal
Convertir a sistema sexagesimal
Convertir a sistema decimal
Convertir a sistema decimal
38.25°
45.50°
7.- Son dos características de la línea:
a).- Es una sucesión finita de puntos, tiene longitud y anchura.
b).-Es una sucesión finita de puntos, tiene longitud pero no anchura.
c).-Es una sucesión finita de puntos, con longitud y anchura.
d).-Es una sucesión finita de puntos, tiene longitud pero no anchura.
8.- El ángulo cuya medida es 235° es un ángulo:
a).-Recto
b).-completo
C.-Cóncavo
d).-Obtuso
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9.- ¿Qué ángulo forman dos rectas perpendiculares?
a).- Agudo
b).- Recto
c).- Llano
d).- Perigonal
10.- Convertir 64°23'12'' a grados en sistema decimal.
a).- 64.380°
b).- 64.3866°
c).- 64.390°
d).- 64.3833°
11.- Convertir 237.7756° a sistema sexagesimal.
a).- 237°46.536'
b).- 237°32'46''
c).- 237°46'32''
d).- 237°46.536'
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