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Matemáticas II
CEPA ”Carmen Conde Abellán”
Las Figuras Planas
Melilla
Los polígonos
¿Te has fijado alguna vez en el metro
que usan los carpinteros? Está formado
por segmentos de madera que se pliegan
con facilidad. Este instrumento tiene
forma de línea poligonal. Una línea
poligonal es una serie de segmentos
unidos que no se cortan, salvo que el
origen del primero coincida con el
extremo del último, en cuyo caso
decimos que la línea poligonal es
cerrada.
Poligonal abierta
Poligonal cerrada
El Polígono.
El polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los
elementos principales de cualquier polígono son los siguientes:
Vértice
Ángulo
Diagonal
Lado
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Matemáticas II
Los lados son los segmentos que limitan el polígono
Vértices, son los puntos del polígono donde se cortan los lados
La diagonales son líneas que unen vértices no consecutivos de un polígono
Ángulos, como sabes, son las porciones de plano que quedan entre dos lados
que se cortan
5. Y por fin se define PERÍMETRO, como la suma de las longitudes de todos
los lados de un polígono.
Clasificación de los polígonos
Existen diversas clasificaciones de polígonos:
Además de los polígonos que observas en la tabla, existen muchos otros que tienen
un mayor número de lados y ángulos. Algunos de ellos son: el hexágono( 6 lados), el
heptágono( 7 lados), el octógono( 8 lados), etc.
Según la igualdad de lados y ángulos clasificamos los polígonos en:
• Polígonos regulares: Tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales.
• Polígonos irregulares: Tienen al menos un lado o un ángulo distinto al resto.
Además de los elementos comunes a cualquier polígono, existen otros exclusivos de los
polígonos regulares.
Radio de la
circunferencia
Polígono inscrito
circunscrita
Ángulo central
Centro
Circunferencia
circunscrita
Apotema
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1. Circunferencia circunscrita. Es una circunferencia que tiene su centro en
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O y que pasa por los vértices del polígono
Centro. Punto que equidista de los vértices
Radio. Cualquier segmento que una el centro con un vértice
Apotema. Cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un
lado
Ángulo central. Cualquier ángulo que quede entre dos radios
El triángulo
El triángulo es el polígono más sencillo: tiene
tres lados y tres ángulos
Clasificación
Los triángulos pueden clasificarse según dos criterios: la medida de sus ángulos y
la medida de sus lados. En el siguiente cuadro puedes observar los distintos tipos
de triángulos:
Estas dos clasificaciones no son excluyentes, es decir, que un triángulo puede ser a la
vez acutángulo e isósceles; o puede ser escaleno y a la vez obtusángulo, etc.
Medida de los ángulos de un triángulo
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Imagina que te preguntaran la medida de uno de los ángulos de un triángulo a
partir del valor de los otros dos. Para responder a esa pregunta necesitarías saber cuánto
mide la suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera. Y eso es 180º
A
A+B+C= 180º
B
C
Elementos principales de un triángulo
1. Mediatriz y circuncentro.
El punto donde se cortan las
tres mediatrices de un
triángulo se llama
circuncentro. Este punto:
• Equidista de los vértices
del triángulo.
• Es el centro de una
circunferencia que pasa por
los tres vértices
llamada
circunferencia
circunscrita.
2. Bisectriz e Incentro
El punto donde se cortan las
tres bisectrices de un
triángulo se llama incentro.
Este punto:
• Equidista de los lados del
triángulo.
• Es el centro de una
circunferencia tangente a los
tres lados
llamada
circunferencia
inscrita.
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3. Medianas y Baricentro
El equilibrista es capaz de mantener los platos
sin que se le caigan porque conoce las
propiedades del centro de gravedad o
baricentro del triángulo.
Si estuvieras en su situación necesitarías saber
el lugar del triángulo en el que se encuentra el
baricentro; para ello deberías trazar primero
las tres medianas del triángulo.
El punto donde se cortan las
tres medianas se llama
baricentro. La distancia del
baricentro a un vértice es el
doble que su distancia al
punto medio del lado
opuesto.
4. Alturas y ortocentro de un Triángulo
También podrías comprobar
que en un triángulo
obtusángulo, una de las
alturas caería fuera del
triángulo. El punto donde se
cortan las tres alturas de un
triángulo es el ortocentro
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El teorema de Pitágoras
Pitágoras fue un filósofo, físico, astrónomo y matemático griego. Cuando estuvo en
Egipto descubrió que los albañiles egipcios realizaban obras perfectas, con ángulos
rectos perfectos, utilizando unas cuerdas de longitud de 12 unidades. Las cuerdas tenían
una señal a la distancia de 3 unidades desde el inicio y siete del inicio. O sea se lograba
medir con ellas longitudes de 3, 4 y 5 unidades Si median un triangulo estirando la
cuerda de lados 3,4 y 5unidades, el ángulo formado entre los lados de longitudes 3 y 4
medía exactamente 90º. Incluso en nuestros días muchos albañiles que no han estudiado
a Pitágoras usan pequeños tableros con longitudes estándar que les ayudan a alinear las
esquinas. ¡se formaba un triángulo rectángulo!
En realidad, los egipcios utilizaban una propiedad muy
importante de los triángulos rectángulos:
Esta propiedad recibe el nombre de teorema de Pitágoras.
En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a2 + b2 = c2
Los Cuadriláteros
De los cuadriláteros vamos a decir que son polígonos de 4 lados y vamos a clasificarlos
en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES
1. Paralelogramos
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tienen sus lados opuestos, paralelos e iguales.
Los paralelogramos son el Cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide. En el
siguiente cuadro, los verás definidos
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Cuadrado
Rombo
4 lados iguales y
ningún ángulo recto
4 lados iguales y 4
ángulos rectos
Rectángulo
Romboide
Dos lados iguales y
paralelos y 4
ángulos rectos
Lados y ángulos
iguales, dos a dos
2. Trapecios y trapezoides
Los trapecios sólo tienen dos lados paralelos y los trapezoides, ninguno
Trapecio
rectángulo
Trapecio
escaleno
Tiene dos ángulos
rectos
4 ángulos y 4 lados
desiguales
Trapecio
Isósceles
Trapezoide
Ángulos iguales dos
a dos. Los lados no
paralelos son
iguales
No hay lados
paralelos
¿Qué es el área de un polígono?
Laura y Javier están poniendo los azulejos
de su cocina. ¿Quién ha cubierto más pared?
Las dos superficies cubiertas tienen formas
diferentes. Para saber cuál de las dos es
mayor utilizamos un cuadrado como
unidad de medida; por ejemplo, un
azulejo.
Por tanto, Laura lleva más pared cubierta.
Para calcular el área de una superficie
debemos compararla con otra que elegimos
como superficie unidad, y averiguar el
número de unidades que contiene
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Área del rectángulo y del cuadrado
Teniendo en cuenta la definición que hemos visto para el área de una figura,
podemos aplicarla a figuras sencillas y obtener expresiones generales para el área de
cada una de ellas.
El área del rectángulo es igual al producto de su base por
sus alturas expresadas en la misma unidad.
El área del cuadrado es igual al producto del lado por sí
mismo, es decir, es igual al lado elevado al cuadrado.
Área del Triángulo
Una vez que conocemos el área de un rectángulo, podemos deducir fácilmente el área
de otras figuras como el triángulo, el paralelogramo, etc.
El área del triángulo es igual a la mitad del producto de la base y de la altura,
expresadas en la misma unidad:
Área de un paralelogramo
También podemos deducir la expresión del área del paralelogramo a partir del área del
rectángulo: El área del paralegramo es igual a la base por la altura, expresadas en la
misma unidad.
h
b
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Área de un polígono regular
A partir de la expresión del área del triángulo podemos obtener el área de
cualquier polígono regular.
p= perímetro
a= apotema
La circunferencia y el círculo
Ojo, no es lo mismo la circunferencia que el
círculo. La circunferencia es LA LINEA curva y
cerrada, cuyos puntos están a la misma distancia del
centro, y el CIRCULO, el espacio que queda
dentro de la circunferencia. Por lo tanto cuando
hablemos de área, lo hacemos del área del círculo y
no de la circunferencia, ¿vale?
Elementos del círculo
Puntos
Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual
equidistan todos los puntos de esta.
Rectas y segmentos
Radio: es el segmento que une el centro y un punto de la circunferencia perimetral.
Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro y divide al círculo dos
semicírculos; es la mayor de las cuerdas de la circunferencia perimetral.
Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.
Recta secante: es la recta que corta al círculo en dos partes de diferente área.
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Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al
radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
Área de un círculo y perímetro o longitud de una
circunferencia
L = 2×π × r
Longitud o
perímetro
A = π × r2
Área