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MATEMÁTICA
Trigonometría
Guía Nº 5
APELLIDO:
Prof. Karina G. Rizzo
2. Consideremos el triángulo abc rectángulo en b .
a) completa:
 la hipotenusa es ac
 los catetos son ab y bc
c
a
b) teniendo en cuenta el ángulo a , tacha lo que no corresponda:
 el cateto cb es
cateto opuesto
 el cateto ab es
cateto adyacente
b
cateto opuesto
cateto adyacente
c) Construye en tu carpeta el triáng. abc y traza ed // cb queda así formado el triáng. ade donde
la hipotenusa es ae y, con respecto al ángulo a , el cateto adyacente es ad
y el cateto
opuesto es ed
c
e
ab = 6cm
cb = 8cm
ac = 10cm
ad = 4cm
ed = 5,3cm
ae = 6,6cm
a
d
b
d) Comprueba, en tu carpeta, que los triángulos ade y abc son semejantes.


a
b = d̂
ángulo común
ángulos correspondientes entre ed // cb
 ade ~ abc (A.A)
Proporcionalidad de sus lados:
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ed ae ad


cb ac ab
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1
ed ae
; realiza el pasaje de términos

cb ac
para que en la primera razón aparezcan los lados del triángulo ade y, en la segunda razón, los del
ed cb
triáng. abc :

ae ac
e) Transcribe la igualdad entre las dos primeras razones
Observa que, con respecto al ángulo a , ambas razones son el cociente entre el cateto opuesto y
la hipotenusa de los triángulos ade y abc respectivamente.
f) Verifica esa igualdad midiendo con precisión y realizando los cocientes indicados.
ed 5,3

 0,8
ae 6,6
cb 8
  0,8
ac 10
g) Si tuviéramos otros triángulos semejantes al dado, ¿cómo resultarían las razones entre el cateto
opuesto y la hipotenusa de cada uno de esos triángulos? iguales ¿por qué? ¿cómo son los lados
de todo par de triángulos semejantes? proporcionales . Es decir que la razón entre el cateto
opuesto y la hipotenusa es constante. A ese valor constante se lo denomina seno del ángulo a .
h) DEFINICIÓN: se llama seno de un ángulo a la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa
sen a =
cateto opuesto
hipotenusa
3. Observa la proporción del punto 2.d) y completa:
ad ae

ab ac
a) Realiza el pasaje de términos para que en la primera razón aparezcan los lados del triángulo ade
ad ab

y, en la segunda razón, los del triáng. abc :
ae ac
Observa que, con respecto al ángulo a , ambas razones son el cociente entre el cateto adyacente
y la hipotenusa de los triángulos ade y abc respectivamente.
b) Verifica esa igualdad midiendo con precisión y realizando los cocientes indicados.
ad
4

 0,6
ae 6,6
ab 6
  0,6
ac 10
c) Si tuviéramos otros triángulos semejantes al dado, ¿cómo resultarían las razones entre el cateto
adyacente y la hipotenusa de cada uno de esos triángulos? iguales ¿por qué? porque los
lados son proporcionales . Es decir que la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa es
constante. A ese valor constante se lo denomina coseno del ángulo a .
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d) DEFINICIÓN: se llama coseno de un ángulo a la razón entre el cateto adyacente y
la hipotenusa
cateto adyacente
hipotenusa
cos a =
4. Observa la proporción del punto 2.d) y completa:
ed ad

cb ab
a) Realiza el pasaje de términos para que en la primera razón aparezcan los lados del triángulo ade
ed cb
y, en la segunda razón, los del triáng. abc :

ad ab
Observa que, con respecto al ángulo a , ambas razones son el cociente entre el cateto opuesto
y el cateto adyacente de los triángulos ade y abc respectivamente.
b) Verifica esa igualdad midiendo con precisión y realizando los cocientes indicados.
ed 5,3

 1,3
4
ad
cb 8
  1,3
ab 6
c) Si tuviéramos otros triángulos semejantes al dado, ¿cómo resultarían las razones entre el cateto
opuesto y el cateto adyacente de cada uno de esos triángulos? iguales
¿por qué? porque
los lados son proporcionales . Es decir que la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente
es constante. A ese valor constante se lo denomina tangente del ángulo a .
d) DEFINICIÓN: se llama tangente de un ángulo a la razón entre el cateto opuesto
cateto adyacente
tg a =
y el
cateto opuesto
cateto adyacente
5. Resumiendo:
sen a =
cateto opuesto
hipotenusa
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cos a =
cateto adyacente
hipotenusa
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tg a =
cateto opuesto
cateto adyacente
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6. Construye un triángulo rectángulo (como el del ejercicio 1.) tal que a = 600.
 Se construye el triángulo comenzando con la base ab de cualquier medida ( por ejemplo
ab =5cm ). Luego se marcan, en los extremos de ese segmento, los ángulos a = 60º y
b = 90º . Se prolongan los lados hasta que se cortan en c.
Mide sus lados y calcula el valor del sen a , cos a y tg a .
ab =5cm
cb = 8,6cm
ac = 9,9cm
sen 60º =
cateto opuesto cb 8,6

 0,86…

hipotenusa
ac 9,9
cos 60º =
cateto adyacente ab
5


 0,5
hipotenusa
ac 9,9
tg 60º=
cateto opuesto
cb 8,6


 1,7….
cateto adyacente ab 5
7. Completa y calcula la razón correspondiente en cada caso

cateto opuesto 12
=
 0,8
15
hipotenusa
cateto adyacente 9
cos  =
=
 0,6
15
hipotenusa
cateto opuesto
12
tg  =
=
 1,33333…
cateto adyacente 9
sen  =
15cm
9cm
12cm
7cm

8,06cm
cateto opuesto
4
=
 0,49627…
8,06
hipotenusa
cateto adyacente
7
cos  =
=
 0,86848…
8,06
hipotenusa
cateto opuesto
4
tg  =
=
 0,57142…
cateto adyacente 7
sen  =
4cm
 IMPORTANTE : cuando se trabaja con funciones trigonométricas, la cantidad mínima de
decimales es CINCO
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USO DE LA CALCULADORA :
 Primero hay que comprobar que esté en sistema sexagesimal. Se observa en la pantalla (en
algunos de los bordes de arriba o abajo) la abreviatura DEG o D
 Las teclas correspondientes a las funciones trigonométricas son :
Seno : sin
Coseno : cos
Tangente : tan
 La tecla correspondiente a “ grados” “minutos” “segundos” es : º ‘ “
8. Hallar con la calculadora: sen 50º, cos 30º, tg 60º,
sen 45º25’12’’, cos 70º34’27’’, tg 11º7’20’’.
sen 34º56’,
tg 45º 6’,
cos 32º45’,
sen 50º = 0,76604
 Para calcular el sen 50º procedemos de la siguiente manera :





presionamos la tecla sin
anotamos la medida del ángulo : 50
presionamos la tecla º ‘ “
presionamos la tecla =
se lee en la pantalla el resultado : 0,76604
cos 30º = 0,86602
 Para calcular el cos 30º procedemos de la siguiente manera :





presionamos la tecla cos
anotamos la medida del ángulo : 30
presionamos la tecla º ‘ “
presionamos la tecla =
se lee en la pantalla el resultado : 0,86602
tg 60º = 1,73205
 Para calcular la tg 60º procedemos de la siguiente manera :





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presionamos la tecla tan
anotamos la medida del ángulo : 60
presionamos la tecla º ‘ “
presionamos la tecla =
se lee en la pantalla el resultado : 1,73205
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sen 34º56’ = 0,57262
 Para calcular el sen 34º56’ procedemos de la siguiente manera :







presionamos la tecla sin
anotamos los grados del ángulo : 34
presionamos la tecla º ‘ “
anotamos los minutos del ángulo : 56
presionamos la tecla º ‘ “
presionamos la tecla =
se lee en la pantalla el resultado : 0,57262
sen 45º25’12’’ = 0,71227
 Para calcular el sen 45º25’12’’ procedemos de la siguiente manera :









presionamos la tecla sin
anotamos los grados del ángulo : 45
presionamos la tecla º ‘ “
anotamos los minutos del ángulo : 25
presionamos la tecla º ‘ “
anotamos los segundos del ángulo : 12
presionamos la tecla º ‘ “
presionamos la tecla =
se lee en la pantalla el resultado : 0,71227
 Trabajamos de la misma manera con las funciones restantes
9. Resolver los siguientes triángulos rectángulos en a utilizando solamente estos datos:
 Resolver un triángulo significa calcular todos sus lados y todos sus ángulos que faltan.
 Como se pide utilizar solamente los datos, dicho cálculo se debe hacer a partir de la
información dada
 Realizar el dibujo para hacer un razonamiento correcto
a) bc = 25,4 m y b = 63º 38’ 42”
Datos : bc y b
b
Debemos calcular : ab , ac y ĉ
x
a
c
y
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 Recordamos que hay que trabajar usando solamente los datos (en este caso bc y b ) , por lo
tanto, para cada planteo, el ángulo b será nuestro ángulo de referencia y bc es la
hipotenusa (pues el ángulo recto es â )
Cálculo de ab = x :
 Respecto de b , ab es el cateto adyacente ; el otro dato es bc (hipotenusa) . La función
trigonomérica que relaciona el cateto adyacente con la hipotenusa es el COSENO. Entonces
planteamos :
cateto adyacente
ab
cos b̂ =
=
hipotenusa
bc
 Reemplazamos :
x
cos 63º 38’ 42” =
25,4
 Con la calculadora resolvemos cos 63º 38’ 42” = 0,44393 y reemplazamos
0,44393 =
x
25,4
 Resolvemos la ecuación
x = ab = 11,27582 m
Cálculo de ac = y :
Respecto de b , ac es el cateto opuesto ; el otro dato es bc (hipotenusa) . La
función trigonomérica que relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa es el SENO.
Entonces planteamos :
cateto opuesto
ac
=
sen b̂ =
hipotenusa
bc
 Reemplazamos :
y
sen 63º 38’ 42” =
25,4

 Con la calculadora resolvemos sen 63º 38’ 42” = 0,89606 y reemplazamos
0,89606 =
y
25,4
 Resolvemos la ecuación
y = ab = 22,75992 m
Cálculo de ĉ :
 Como â = 90º , b = 63º 38’ 42” , planteamos :
â + b + ĉ = 180º
 Reemplazamos y resolvemos
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10. Para determinar la altura de un poste, un observador se coloca a 3,5 m de su pie y ve al poste
bajo un ángulo de 53º 20’ 15”. ¿Cuál es la altura del poste?
 Como en toda situación problemática, realizar el dibujo para hacer una interpretación y
razonamiento correctos
 Respecto del ángulo  , la altura
del poste (x) es el cateto opuesto y,
la distancia desde el poste hasta el
observador (3,5 m) es el cateto
adyacente.
 La función trigonométrica que
relaciona el cateto opuesto con el
adyacente es la TANGENTE
̂ = 53º 20’ 15”
POSTE
xm
OBSERVADOR
3,5 m
 Planteamos : tg ̂ =
cateto opuesto
cateto adyacente
 Reemplazamos : tg 53º 20’ 15” =
x
3,5
 Con la calculadora resolvemos tg 53º 20’ 15” = 1,34343 y reemplazamos
1,34343 =
x
3,5
 Resolvemos la ecuación
x = altura del poste = 4,70202 m
11.
TORRE
̂ = 20º
62 m
 Respecto del ángulo  , la altura de la
torre (62 m) es el cateto opuesto y, la
sombra (x m) es el cateto adyacente.
 La función trigonométrica que relaciona
el cateto opuesto con el adyacente es la
TANGENTE
SOMBRA = x m
12. Hallar x sabiendo que: sen x = 0,5 ; cos x = 0,894 ; tg x = 2,345 ; cos x = 0,342 ; sen x = 0,2
tg x = 1,264 ; sen x = 0,866 ; cos x = 0,866 ; tg x = 1
 En este caso, debemos hallar la medida del ángulo teniendo como dato, el valor de la
función trigonométrica (situación contraria a la del ejerc. Nº 8)
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 Para calcular x̂ , siendo el sen x = 0,5 , procedemos de la siguiente manera :





presionamos la tecla SHIFT
presionamos la tecla sin
anotamos el valor de la función trigonométrica : 0,5
presionamos la tecla =
se lee en la pantalla el resultado : 30
 x̂ = 30º
 Para calcular x̂ , siendo cos x = 0,894 , procedemos de la siguiente manera :







presionamos la tecla SHIFT
presionamos la tecla cos
anotamos el valor de la función trigonométrica : 0,894
presionamos la tecla =
se lee en la pantalla : 26,61972954
presionamos la tecla º ‘ “
se lee en la pantalla : 26º 37º 11,03
 x̂ = 26º 37’ 11’’
13. Hallar los ángulos  y  de los triángulos del ejercicio nº 7.
 En el ejerc. Nº 7 tenemos las medidas de todos los lados del triángulo. Por lo tanto, se puede
trabajar con cualquier función trigonométrica
Cálculo de ̂ :
sen ̂ = 0,49627…
resolvemos con la calculadora : ̂ = 29º 45’ 13’’
 Lo mismo para ˆ
14. Resolver los siguientes triángulos rectángulos en a utilizando solamente estos datos:
a) bc = 49 cm y ac = 30 cm
 Recordamos que hay que trabajar usando solamente los datos
(en este caso bc y ac )
b
x
49cm
a
c
30cm
Cálculo de ab = x
 Como los datos son bc y ac , se aplica directamente el teorema de Pitágoras
 Planteamos :
H2 = C2 + C’2
 Reemplazamos : 492 = 302 + x2
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 Resolvemos :
x = ab = 38,74274 cm
Cálculo de b̂ :
 Respecto de b̂ , bc es la hipotenusa y ac es el cateto opuesto. La función trigonométrica que
relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa es el SENO. Entonces planteamos :
ac
bc
30
 Reemplazamos : sen b̂ =
49
 Resolvemos :
sen b̂ = 0,61224…. (recordar que se trabaja con un mínimo de 5 decimales)
 Utilizamos la calculadora como en el ejerc. Nº 12 para obtener la medida del ángulo:
sen b̂ =
b̂ = 37º 45’ 7’’
Cálculo de ĉ :
 Respecto de ĉ , bc es la hipotenusa y ac es el cateto adyacente. La función trigonométrica
que relaciona el cateto adyacente con la hipotenusa es el COSENO. Entonces planteamos :
ac
cos ĉ =
bc
30
 Reemplazamos : cos ĉ =
49
 Resolvemos :
cos ĉ = 0,61224…. (recordar que se trabaja con un mínimo de 5 decimales)
 Utilizamos la calculadora como en el ejerc. Nº 12 para obtener la medida del ángulo:
ĉ = 52º 14’ 54’’
15. Calcular el ángulo que forma con el suelo una rampa de 6 m de largo y que llega a una altura de
1,5 m.
rampa = 6 m
altura = 1,5 m
ángulo = x
 Para calcular el ángulo, los datos son : la altura = 1,5 m = cateto opuesto y
el largo de la rampa = 6 m = hipotenusa
1,5
6
 Resolvemos : sen x = 0,25
 Planteamos :
sen x =
 Calculamos el ángulo : ángulo de la rampa = x = 14º 28’ 39’’
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16.
escalera
pared
altura pared = x
longitud escalera = y
70 º
2m
17.
acantilado
altura del acantilado = x
68º
20 m
18.
 Mismo razonamiento que el ejerc. Nº16.
19. a) ¿cuánto mide el ángulo que forma la cinta con la horizontal?
1er. nivel
1er. nivel
escalera
rampa
14cm

planta baja

38cm
 = ángulo que forma la escalera con el piso = ángulo que forma la cinta con el piso
b) ¿qué distancia recorre una persona ubicada sobre esa cinta?
 En este caso hay que calcular el largo de la rampa
20.
 Para calcular el perímetro y la superficie, necesitamos
averiguar primero la medida de la base y altura del
rectángulo
7,42 cm
altura
54º
base
21.
 Iguales a los ejerc. 9 y 14.
22.
altura = 2,85 m
escalera = x m
58º 1’
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23.
 Mismo razonamiento que el ejerc. 20.
24.
varilla = 90 cm
67º 45’ 20’’
sombra = x cm
25.
b
b 25º 42’ 11’’
a
r
c
30cm
r
c
br = 15cm
 Recordar la propiedad de las
diagonales del rombo
bc es la hipotenusa del triángulo y,

a la vez, es el lado del rombo (todos
los lados del rombo son iguales)

rc es el cateto opuesto al ángulo b̂
y también es la mitad de ac
d

ac =
rc . 2
26.
 “pendiente” o “inclinación” son sinónimos de “tangente”
 el ángulo de referencia  es el que forma el techo con la línea de la horizontal (paralela al
piso)
techo

es decir que : el cateto opuesto = altura
el cateto adyacente = base
Completa el siguiente cuadro:
tipo de techo porcentaje mínimo de inclinación
chapa
15%
teja española
30%
teja francesa
45%
base
3m
3m
3m
altura
0,45m
Ángulo de inclinación
8º 31’ 50’’
 Ejemplo para completar el cuadro:
TECHO DE CHAPA:
 pendiente = 15 % = tangente
 base = 3 m
 altura = x m
tg  =
cat.opuesto
altura 15


= 0,15
cat.adyacente base 100
x
 0,15
3
 resolvemos la ecuación para calcular la altura : x = altura = 0,45m

 calculamos el ángulo sabiendo que : tg  = 0,15   = 8º 31’ 50’’
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27.
cumbrera = x m

pared = 2,60m
 = ángulo de inclinación del techo
4m
28.
piso = 50 m

 = ángulo de inclinación del caño
x cm
caño
29.
rampa
altura = 15 cm
base = x cm
30.
escalera

altura = 2,50 m
 = ángulo de inclinación
base = 1,30 m
31.
 Tener en cuenta que :
“alzada” = altura del escalón
“pedada” = largo o base del escalón
 Mismo razonamiento que el ejerc. 19
30.
a)
Escalera 1
Escalera 2
Escalera 3
alzada
16,5cm
18cm
15,5cm
pedada
32cm
27,5cm
34cm
pendiente
0,51562
0,65454
0,45588
porcentaje
51%
65%
45%
ángulo
27º16’36’’
33º12’23’’
24º30’26’’
b) ¿Cuál de las escaleras resulta más cómoda? La escalera 3.
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