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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
PARALELISMO EN EL PLANO
Introducción
Veamos cómo pueden estar situadas dos rectas distintas en el espacio. Fijándonos en la
figura, observamos:
(1) Dos rectas que no se intersecan y que no son coplanarias, por ejemplo las rectas r1 y
r3; en este caso se dice que las rectas se cruzan.
(2) Dos rectas que se cortan en un punto, son coplanarias. Por ejemplo r1 y r2; se dice
que las rectas son secantes.
(3) Dos rectas que no tienen ningún punto en común y son coplanarias: r2 y r3, por
ejemplo; en este caso se dice que las rectas son paralelas.
Definiciones 1.-Dos rectas se cruzan si no son coplanarias.
-Dos rectas distintas son paralelas si son coplanarias y no se cortan.
-Si r1 y r2 son paralelas, lo indicaremos r1 || r2.
-Si dos segmentos pertenecen a rectas paralelas, diremos que son paralelos.
(Como ejercicio, definir: semirrectas paralelas, semirrecta y recta paralelas, etc.)
Tª.1.- Dos rectas paralelas determinan un único plano.
Prueba:
Si r1 || r2, sabemos por la definición que están en un plano α. Veamos que no pertenecen
a ningún otro. Sea P ∈ r2, considerando el punto P y la recta r1, existe un único plano que
contiene a ambos. Por tanto existe solamente un plano que contiene a r1 y a r2, debido a
que todo plano que contiene a r2, contiene a P.
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C. Penalva; G. Torregrosa
De la definición de rectas paralelas, parece que para averiguar si dos rectas son
paralelas, tendríamos que prolongarlas indefinidamente. Por este motivo vemos los
teoremas que siguen, que nos van a permitir asegurar el paralelismo de dos rectas de
una forma más "cómoda".
Tª.2.- En un plano, si dos rectas son perpendiculares a una tercera recta, entonces son
paralelas.
Prueba:
Sean r1 y r2 dos rectas perpendiculares a r, veamos que r1 || r2. Sea r1 ∩ r = {P} y r2 ∩ r =
{Q}. Por hipótesis, r1 y r2 son coplanarias. Demostremos ahora que su intersección es
vacía.
Supongamos que r1 ∩ r2 = {M}. Entonces por el punto M existirían dos perpendiculares, r1
y r2 a r. Pero vimos que la perpendicular a una recta por un punto es única.
Veamos ahora la existencia de paralelas.
Tª.3.- Existencia de paralelas
Sea P un punto exterior a una recta r, entonces existe al menos una recta que pasa por
P, paralela a r.
Prueba:
Dada la recta r y el punto P, sabemos que existe la recta s que pasa por P y es
perpendicular a r.
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C. Penalva; G. Torregrosa
Sea t la recta que pasa por P y es perpendicular a s (en el plano que contiene a r y a P).
Entonces por el teorema anterior: t || r.
Parece lógico probar ahora que: por un punto exterior a una recta, existe una única
paralela.
Esta proposición es uno de los postulados de Euclides, que aparece en su obra
"Elementos", escrita 300 años a.C. A lo largo del tiempo, los matemáticos supusieron que
era un teorema, finalmente en el siglo XIX, se descubrió que el axioma de las paralelas
no podía probarse a partir de otros axiomas, (de hecho, negando este axioma surgen
otras geometrías). Nosotros volveremos a esta cuestión más adelante.
Estudiemos ahora el concepto de recta transversal:
Def.2.- Una transversal a dos rectas r1 y r2 coplanarias es una recta s que las interseca en
dos puntos diferentes.
Observemos que las rectas cortadas por la transversal pueden ser o no paralelas.
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Def.3.- Dadas dos rectas r1 y r2, cortadas por una transversal s en los puntos P y Q
respectivamente, consideremos los puntos A ∈ r1 y B ∈ r2, tales que A y B están en lados
opuestos respecto de la recta s. Entonces a los ángulos ^APQ y ^PQB los llamamos
ángulos alternos internos.
Tª.4.- Si dos rectas se cortan por una transversal, y un par de ángulos alternos internos
son congruentes, entonces el otro par de ángulos alternos internos también son
congruentes.
Prueba:
α’
β
β’
α
Veamos que si ^α ≡ ^α’, entonces ^β ≡ ^β'.
Sabemos que ^α’ ≡ ^1, por opuestos por el vértice, luego ^1 ≡ ^α. Pero ^β' y ^2 son
adyacentes de congruentes, luego ^β' ≡ ^2. Además, ^2 ≡ ^β por opuestos por el vértice,
por tanto ^β ≡ ^β'.
Damos a continuación una generalización del teorema 2:
Tª.5.- de los ángulos alternos internos
Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si un par de ángulos alternos internos son
congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.
Prueba:
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C. Penalva; G. Torregrosa
Sean r1 y r2 las dos rectas cortadas por la transversal s, y sean P y Q los puntos de
intersección. Entonces por el teorema anterior si un par de ángulos alternos internos son
congruentes, el otro par de ángulos alternos internos también son congruentes.
Veamos que r1 y r2 son paralelas.
Supongamos que r1 ∩ r2 = {A}.
Consideremos un punto B perteneciente a la semirrecta opuesta de PA. Tenemos que
^BPQ es un ángulo exterior de ∴APQ, entonces por el teorema del ángulo exterior: ^BPQ
> ^PQA, lo cual es una contradicción, ya que estos ángulos forman un par de ángulos
alternos internos y por hipótesis son congruentes.
Por tanto r1 y r2 no se cortan, es decir r1 ⎢⎢r2.
Hemos visto que, a partir de la congruencia de los ángulos alternos internos, se puede
determinar el paralelismo de rectas.
Veamos que esto también es posible, a partir de la congruencia de otros pares de
ángulos, que serán:
- Ángulos alternos internos: 3 y 6; 4 y 5.
- Ángulos correspondientes: 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8.
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- Ángulos interiores en el mismo lado de la transversal: 3 y 5; 4 y 6.
Def.4.- Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si ^α y ^β son ángulos opuestos
por el vértice y ^β y ^γ son ángulos alternos internos, entonces se dice que ^α y ^γ son
ángulos correspondientes.
Es decir, ángulos correspondientes son los que están a un mismo lado de la transversal
(colaterales), y son uno interno y otro externo.
Def.5.- Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si ^α y ^β son ángulos alternos
internos, ^γ y ^δ también son ángulos alternos internos y ^α y ^γ son adyacentes,
entonces ^α y ^δ son ángulos internos en el mismo lado de la transversal, diremos que
son ángulos colaterales internos.
Tª 6.- Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si un par de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces un par de ángulos alternos internos son
congruentes.
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Prueba:
Es evidente, puesto que por ángulos opuestos por el vértice tenemos que ^α ≡ ^γ, luego
^γ y ^β son ángulos alternos internos congruentes.
Tª.7.- Teorema de los ángulos correspondientes
Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si un par de ángulos correspondientes
son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Prueba:
Sean ^α y ^β ángulos correspondientes congruentes, sabemos por el teorema 6 que
existe un par de ángulos alternos internos congruentes y entonces, por el teorema 5, las
rectas son paralelas.
Tª.8.- Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si un par de ángulos colaterales
internos son suplementarios, las rectas son paralelas.
Prueba: inmediata.
Los recíprocos de los teoremas que caracterizan el paralelismo de las rectas no tienen
por qué ser ciertos. Es decir, para poder afirmar que: si dos rectas paralelas son cortadas
por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes, los ángulos
correspondientes son congruentes y los ángulos colaterales internos son suplementarios,
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C. Penalva; G. Torregrosa
necesitamos demostrar la unicidad de la paralela, que se establece en el axioma del
paralelismo, que vemos a continuación.
Mediante el teorema de existencia de paralelas, sabemos que dado un punto exterior a
una recta, existe una recta paralela a la dada y que contiene al punto. Intuitivamente
"vemos" que esta paralela es única. Esto lo enunciamos mediante el siguiente
Ax.20.- Axioma del paralelismo
Dados una recta r y un punto P exterior a la recta, existe una única recta que pasa por P y
es paralela a r.
Ahora ya podemos establecer los recíprocos de los teoremas anteriores:
Tª.9.- Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos
alternos internos son congruentes.
Prueba:
Supongamos que siendo r1 ⎢⎢ r2 y s una transversal a r1 y r2, ^α y ^β no son congruentes.
Consideremos el ángulo ^α y la semirrecta QP, entonces sabemos que existe una única
semirrecta QA tal que ^AQP ≡ ^α. Sea r la recta que contiene QA, r ≠ r2.
Puesto que tenemos ángulos alternos internos congruentes, r1 ⎢⎢ r, contradicción con el
axioma del paralelismo, puesto que por el punto Q existen dos paralelas a r1.
Corolario 9.1.- Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, cada par de
ángulos correspondientes son congruentes.
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Prueba: inmediata.
Corolario 9.2.- Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos
colaterales internos son suplementarios.
Prueba: inmediata.
Tª.10.- En un plano π, si una recta interseca a una de dos rectas paralelas, en un único
punto, entonces interseca también a la otra.
Prueba:
Si r no cortase a r2 ⇒ r ⎢⎢ r2. Por el punto {P} = r ∩ r1, P ∉ r2 , tendríamos dos paralelas a
r 2.
Tª.11.- En un plano π, si dos rectas r1 y r2 son paralelas y r2 es paralela a r3, entonces r1 y
r3 son paralelas.
Prueba: inmediata.
Tª.12.- En un plano π, si dos rectas r1 y r2 son paralelas y r1 es perpendicular a la recta s,
entonces r2 y s son perpendiculares.
Prueba:
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
r1 ⎢⎢ r2 ⇒ ^α ≡ ^δ y ^β ≡ ^γ.
R1 es perpendicular a s ⇒ ^α ≡ ^β ⇒ ^δ ≡ ^γ.
Como ^δ y ^γ son adyacentes, tenemos que ^δ y ^γ son rectos ⇒ las rectas s y r2 son
perpendiculares.
PARALELISMO APLICADO A TRIÁNGULOS
Tª.13.- En cualquier triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180°.
Prueba:
Dado ∴ABC, trazamos por B la paralela a AC, sea ésta r. B1 y ^A son alternos internos
(¿) luego ^B1 ≡ ^A. Por la misma razón ^B2 ≡ ^C.
Tenemos pues m(^ABP) = m(^B) + m(^B2 ) ⇒ m(^B1 ) + m(^ABP) = m(^B1 ) + m(^B) +
m(^B2 ) = 180°. Luego se verifica:
m(^A) + m(^B) + m(^C) = 180°.
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C. Penalva; G. Torregrosa
Corolario 13.1.- Dada una correspondencia entre dos triángulos, si dos pares de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces el tercer par de ángulos correspondientes
son también congruentes.
Prueba: inmediata
Corolario 13.2.- Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
Prueba: inmediata
Corolario 13.3.- En cualquier triángulo, la medida de un ángulo exterior, es igual a la
suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.
Prueba: inmediata
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CUADRILÁTEROS
Introducción
A partir de la idea intuitiva que todos tenemos sobre el concepto de cuadrilátero, vamos a
tratar de formalizar convenientemente dicho concepto.
A continuación veremos distintas definiciones que podemos utilizar alternativamente,
según sea el propósito de nuestro estudio. Es importante darse cuenta de las ventajas e
inconvenientes que cada una de ellas implica a la hora de presentar el tema a nuestros
alumnos. Parece claro que, para los primeros niveles, la más adecuada es la más
intuitiva. Pero conviene tener presente que, generalmente, tenemos que generalizar el
estudio de los polígonos, y por tanto sería deseable dar una definición menos intuitiva,
más compleja, pero de gran ayuda en la generalización.
Def.1.- Dos triángulos se dicen consecutivos si su intersección es un lado.
Def.2.- Dados dos triángulos consecutivos, coplanarios y tales que tres vértices
cualesquiera de ellos no están alineados, a la figura unión de dichos triángulos la
llamamos cuadrilátero.
Los puntos A, B, C y D, se llaman vértices del cuadrilátero.
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Los ángulos ^BAD, ^ABC, ^BCD y ^CDA, se llaman ángulos del cuadrilátero
(exactamente serían la intersección de cada ángulo con la figura), y los denotamos con
^A, ^B, ^C y ^D, respectivamente.
Los segmentos AB , BC , CD , y DA , se llaman lados del cuadrilátero.
El perímetro de un cuadrilátero es la suma de las longitudes de sus lados.
Un cuadrilátero lo indicaremos por ABCD, siendo A, B, C y D, sus vértices.
Nota.- Observamos que con esta definición no son cuadrilátero:
Def.3.- Diremos que un cuadrilátero es convexo, si es una figura convexa.
En el caso en que estemos interesados en el estudio de cuadriláteros convexos
exclusivamente, podríamos dar como definición:
"Dados cuatro puntos coplanarios tales que se han podido ordenar, y tres consecutivos
cualesquiera no estén alineados, y las rectas determinadas por cada dos puntos
consecutivos, dejan en un mismo semiplano a los otros dos puntos restantes, llamamos
cuadrilátero convexo al conjunto de puntos comunes a todos estos semiplanos.
Nota.- Esta definición de apariencia más compleja, sin embargo es fácilmente
generalizable.
Def.4.- Dos lados de un cuadrilátero son opuestos si no se intersecan.
Dos ángulos de un cuadrilátero son opuestos si no tienen un lado común.
Dos lados de un cuadrilátero son consecutivos si tienen un vértice común.
Dos ángulos de un cuadrilátero son consecutivos si tienen un lado del cuadrilátero
común.
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Las diagonales de un cuadrilátero son los segmentos que unen dos vértices no
consecutivos del mismo.
A continuación damos una clasificación de los cuadriláteros en: paralelogramos y no
paralelogramos.
Def.5.- Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos
paralelos.
Un cuadrilátero no paralelogramo notable es:
Def.6.- Un trapecio es un cuadrilátero que tiene uno y solo un par de lados opuestos
paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio.
Nota.- Observamos que, según la definición, un paralelogramo no es un trapecio.
Def.7.- El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio
se llama mediana.
Def.8.- La altura de un trapecio es el segmento que va desde uno de sus lados paralelos,
perpendicularmente al otro lado paralelo.
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Def.9.- Un trapecio se dice que es isósceles si sus lados no paralelos son congruentes.
Vamos a estudiar propiedades de los paralelogramos:
Tª.1.- Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.
Prueba:
Si ABCD es un paralelogramo, entonces ∴ABD ≡ ∴CDB.
Es evidente que por ser BC ⎢⎢ AD , tenemos ángulos alternos internos congruentes.
Análogamente, como AB ⎢⎢ DC , también son congruentes los ángulos ^ABD y ^BDC.
Luego aplicando ALA, los triángulos son congruentes.
Corolarios.-
1.- En un paralelogramo, dos lados opuestos cualesquiera son congruentes.
(demostración evidente)
2.- En un paralelogramo, dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.
(demostración evidente)
3.- En un paralelogramo, dos ángulos consecutivos cualesquiera son suplementarios.
(demostración evidente)
4.- Si dos rectas son paralelas, los puntos de una de las rectas equidistan de la otra recta.
Prueba:
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Sabemos que d(P,r2) es la longitud del segmento PP' , siendo P' la intersección de r2 con
la recta perpendicular a r2 trazada por P.
Análogamente d(Q,r2 ). Pero si PP' ⊥ r2 y QQ' ⊥ r2, entonces PP' ⎢⎢ QQ' , luego PQQ'P'
es un paralelogramo. Aplicando ahora el teorema 1 tenemos probado el corolario.
Este corolario nos dice
Def.10.- La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de un punto de una de
ellas a la otra.
Ejercicio.- Analizar la definición de altura de un trapecio.
Tª.2.- Cada diagonal de un paralelogramo corta a la otra en un punto equidistante de sus
extremos. (Obsérvese que las respectivas mitades de cada diagonal no tienen por qué
ser congruentes)
Prueba:
Sabemos por los teoremas de incidencia vistos anteriormente que toda semirrecta de
origen B, interior a ^B corta a un segmento de extremos en los lados de ^B, como es en
este caso AC . Luego aplicando ALA a los triángulos ∴AOD y ∴COB, resulta que ∴AOD
≡ ∴COB ⇒ OB ≡ OD , y AO ≡ CO .
Def.11.- El punto intersección de las diagonales de un paralelogramo se llama centro del
paralelogramo.
PARALELOGRAMOS PARTICULARES:
Def.12.- Un rombo es un paralelogramo que tiene los cuatro lados congruentes.
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Def.13.- Un rectángulo es un paralelogramo que tiene un ángulo recto.
Def.14.- Un cuadrado es un rectángulo que tiene los cuatro lados congruentes.
Justifiquemos las definiciones anteriores:
Tª.3.- Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces tiene los cuatro ángulos rectos.
Prueba: inmediata por los corolarios 2 y 3 del teorema 1.
A continuación vemos una caracterización del rombo:
Tª.4.- Las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente.
Prueba:
Ya sabemos que se cortan en su punto medio (?), y son ⊥ teniendo en cuenta que si dos
puntos de r equidistan de A y B, entonces r es la mediatriz de AB .
Recíprocamente:
Tª.5.- Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan perpendicularmente por su punto
medio, entonces el cuadrilátero es un rombo.
Nota.- La condición de cortarse por su punto medio es indispensable, pues la "cometa" no
es rombo y sus diagonales se cortan perpendicularmente.
Prueba: es inmediata usando la congruencia LAL.
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Hasta ahora, hemos visto propiedades que verifican los paralelogramos, veamos ahora
condiciones que ha de verificar un cuadrilátero para que podamos asegurar que es un
paralelogramo.
Tª.6.- Si un cuadrilátero tiene los dos pares de lados opuestos congruentes, es un
paralelogramo.
Prueba: inmediata.
Tª.7.- Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el
cuadrilátero es un paralelogramo.
Prueba: inmediata.
Tª.8.- Si cada diagonal de un cuadrilátero corta a la otra en su punto medio, el
cuadrilátero es un paralelogramo.
Prueba: inmediata.
Ejercicio.- Demostrar el teorema 5 usando el teorema 8.
A partir de los resultados sobre cuadriláteros, podemos obtener algunos resultados
notables referidos a triángulos en general y particularmente a triángulos rectángulos.
Tª.9.- De la paralela media
El segmento de extremos los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al
tercer lado y mide la mitad de su longitud.
Prueba:
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Dado el triángulo ∴ABC, sean D y E los puntos medios de AB y BC respectivamente.
Veamos que entonces DE ⎢⎢ AC y d(D,E) = d(A,C) / 2.
Consideremos la semirrecta opuesta a la ED, en ésta tomamos F tal que EF ≡ DE, y
trazamos FC.
Tenemos que : ^BED ≡ ^FEC por opuestos por el vértice; luego aplicando LAL se deduce
que ∴BED ≡ ∴CEF ⇒ FC ≡ AD y ^FCE ≡ ^DBE. Luego por ángulos alternos internos
congruentes deducimos que AB ⎢⎢ CF.
En el cuadrilátero ADFC tenemos dos lados AD y FC paralelos y congruentes ⇒ ADFC
es un paralelogramo ⇒ DE ⎢⎢ AC.
También se verifica que en un paralelogramo los lados opuestos son congruentes ⇒ AC
≡ DF. Pero d(D,F) = 2d(D,E), luego d(D,E) = d(A,C) / 2.
Tª.10.- La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es
igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.
Prueba:
Dado el triángulo ∴ABC, recto en ^A, sea M el punto medio de la hipotenusa, AM es la
mediana relativa a la hipotenusa. Entonces veamos que d(A,M) = d(B,C) / 2.
Por B trazamos la paralela a AC, y por C trazamos la paralela a AB que se cortan en D,
pues en caso de no cortarse, tendríamos que son paralelas y como BD ⎢⎢ AC, y también
DC ⎢⎢ AB, entonces serían paralelas AB y AC ⇒ contradicción.
Tenemos pues que ABCD es un paralelogramo (rectángulo o cuadrado), y en un
paralelogramo cada diagonal corta a la otra en su punto medio, luego M ∈ AD ⇒
AM ⊂ AD y AM ≡ MD .
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Considerando los triángulos ∴BDC y ∴ACD, rectos en ^D y ^C respectivamente,
tenemos
que
(∗)
BC ≡ AD ⇒
BC ≡ 2BM ≡ 2 AM ⇒ d(A,M) =
d(B, C) d( A, D)
=
2
2
⇒
BM ≡ AM
y
como
d(B, C)
2
(∗) En general, las diagonales de un rectángulo son congruentes y por tanto también sus
mitades.
Tª.11.- Teorema del triángulo 30-60-90
Si en un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide 30°, entonces la longitud del lado
opuesto es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.
Prueba:
Dado el triángulo ∴ABC, recto en ^A, y m(^B) = 30° , sea M el punto medio de BC ,
sabemos que AM ≡ BM ≡ MC .
En el triángulo ∴AMC tenemos que AM ≡ MC ⇒ el triángulo es isósceles ⇒ ^MAC ≡ 60° y
^β ≡ 60° ⇒ ∴AMC es equiángulo y por tanto equilátero.
Luego AM ≡ MC ≡ AC ⇒ d( A, C) =
d(B, C)
.
2
Recíprocamente, es inmediato probar:
Tª.12.- Si la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es la mitad de la longitud de
la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto mide 30°.
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
SEGMENTOS INTERCEPTADOS POR RECTAS PARALELAS
Def.13.- Dadas las rectas paralelas r1 y r2, si una transversal las interseca en A y B
respectivamente, entonces decimos que r1 y r2 interceptan (o determinan) el segmento
AB en la transversal.
Supongamos que dadas tres rectas paralelas r1, r2 y r3, son cortadas por una transversal
en los puntos A, B y C respectivamente, si AB ≡ BC , entonces decimos que las tres
rectas interceptan segmentos congruentes en la transversal.
Veamos a continuación que si tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes
en una transversal, entonces interceptan segmentos congruentes en cualquier
transversal.
Primero veamos:
Tª.13.- Si tres rectas paralelas interceptan segmentos congruentes en una transversal s,
entonces interceptan segmentos congruentes en toda transversal t que sea paralela a s.
Prueba:
Sean las rectas paralelas r1, r2y r3, y sean A, B y C los puntos de intersección con s
respectivamente. Sea t una paralela a s, y sean D, E y F los puntos de intersección con
las rectas paralelas respectivamente.
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Entonces:
ADEB es un paralelogramo ⇒ AB ≡ DE.
BEFC es un paralelogramo ⇒ BC ≡ EF
Por hipótesis AB ≡ BC, luego DE ≡ EF.
Tª.14.- Si tres rectas paralelas interceptan segmentos congruentes en una transversal,
entonces interceptan segmentos congruentes en cualquier transversal.
Prueba:
Sean r1 ⎢⎢r2 ⎢⎢r3, y s1 ,s2 transversales a ellas, si AB ≡ BC, veamos que DE ≡ EF.
Suponemos que s1 y s2 no son paralelas, si fuesen paralelas ya estaría probado por el
teorema anterior. Sea s3 la paralela a s1 por el punto E, sabemos que GE ≡ EH, y además
^GDE ≡ ^EFH y ^DGE ≡ ^EHF, entonces ∴DEG ≡ ∴FEH ⇒ DE ≡ EF.
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Corolario 1.- Si más de tres rectas paralelas interceptan segmentos congruentes en una
transversal, entonces interceptan segmentos congruentes en cualquier otra transversal.
Es decir, si A1 A2 ≡ A2 A3 ≡ ..., se deduce que B1 B2 ≡ B2 B3 ≡ ...
Se prueba aplicando sucesivamente el teorema anterior.
Def.14.- Decimos que dos o más rectas son concurrentes, si existe un punto común a
todas ellas. El punto común se llama punto de concurrencia.
Def.15.- Al conjunto de rectas de un plano concurrentes en un punto se le llama haz de
rectas.
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Tª.15.- En todo triángulo, las medianas son concurrentes, y su punto de concurrencia
dista las dos terceras partes de la longitud de cada mediana, del vértice al lado opuesto.
Prueba:
Dado el triángulo ∴ABC, sean M, N y P los puntos medios respectivos de los lados AC,
AB y BC.
Veamos que las medianas AP, BM y CN son concurrentes en un punto G tal que:
d(C,G) = 2/3 d(C,N);d(A,G) = 2/3 d(A,P) y d(B,G) = 2/3 d(B,M).
1) Consideremos las rectas r1, r2, r3, r4 y r5, paralelas a AP y que interceptan en BC cuatro
segmentos congruentes.
2) Puesto que r1, r2, r3, r4 y r5 dividen a BC en cuatro segmentos congruentes, r3, r4 y r5
dividen a PC en dos segmentos congruentes, entonces por el teorema anterior: r3, r4 y r5
dividen a AC en dos segmentos congruentes ⇒ r4 corta a AC en el punto M.
3) Ahora bien, r1, r2, r3, y r4 dividen a BQ en tres segmentos congruentes, luego r1, r2, r3, y
r4 dividen a BM en tres segmentos congruentes, luego d(G,B) = 2/3 d(B,M).
4) Por tanto tenemos que BM y AP se cortan en un punto G tal que d(G,B) = 2/3 d(B,M).
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Apuntes de Geometría
C. Penalva; G. Torregrosa
Utilizando el mismo razonamiento, trazamos rectas paralelas a CN y tenemos:
5) Las medianas BM y CN se cortan en el punto G' tal que d(B,G') = 2/3 d(B,M).
Ahora bien, por el teorema del punto fijo sabemos que G ≡ G', luego las tres medianas se
cortan en un punto G tal que d(B,G) = 2/3 d(B,M).
Falta probar que d(C,G) = 2/3 d(C,N) y d(A,G) = 2/3 d(A,P). Para ello trazamos paralelas
a AC, de forma que dividan a BC en seis segmentos congruentes, quedando por tanto
divididos en seis segmentos congruentes AB y BM; luego las rectas dividen a AP y CN en
tres segmentos congruentes, siendo G un punto tal que verifica lo que queremos probar.
Def.16.- El punto de intersección de las tres medianas es el centro de gravedad del
triángulo. Este punto se llama baricentro.
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