Download tema 1 construcciones geométricas básicas

BACHILLERATO
Dibujo Técnico
Julián García Iraola
Departamento de
Artes Plásticas
y Dibujo
INTRODUCCIÓN AL DIBUJO TÉCNICO.
El dibujo técnico surge en la cultura universal como un medio de expresión y comunicación indispensable,
tanto para el desarrollo de procesos de investigación sobre las formas, como para la comprensión gráfica de
bocetos y proyectos tecnológicos y artísticos, en el que el último fin sea la creación de productos que puedan
tener un valor utilitario, artístico, o ambos a la vez. La función esencial de estos proyectos consiste en ayudar a
formalizar y visualizar lo que se está diseñando o creando y contribuye a proporcionar desde una primera
concreción de posibles soluciones hasta la ultima fase del desarrollo donde se presentan los resultados en
dibujos definitivamente acabados.
Como lenguaje visual es necesario el conocimiento de los diferentes códigos y signos que forman el conjunto de
convencionalismos que están recogidos en las normas para el dibujo técnico, que se establecen en un ámbito
nacional e internacional. El conocer esta normativa y saber utilizarla favorece la comprensión y utilización de
este lenguaje como medio de comunicación en todo el mundo.
Hay que conocer también los diferentes materiales e instrumentos técnicos para ejecutar este lenguaje tan
preciso.
La asignatura favorece la capacidad de abstracción para la comprensión de numerosos trazados y
convencionalismos, ayuda a la elaboración de las diferentes técnicas de representación así como favorece el
desarrollo de diferentes capacidades y valores, como la limpieza, el orden, la precisión, la planificación, el
trabajo en grupo, etc., lo que la convierte en una valiosa ayuda formativa de carácter general.
También pretende conectar adecuadamente con cualquier estudio superior, bien sea profesional o de tipo
universitario, relacionados con disciplinas como la arquitectura, ingeniería o las Bellas Artes.
Aunque esta es una asignatura eminentemente práctica no falta por ello la base de un profundo estudio teórico.
Así en la programación la teoría se encuentra acompañada en todo momento por un número significativo de
ejercicios.
El bloque de normalización podría hacer pensar exclusivamente en el aspecto eminentemente técnico y
riguroso que la “Norma” exige. Esto es necesario y se ha llevado a cabo, pero sin descuidar en ningún momento
la faceta artístico-creativa ya que no debe olvidarse la estrecha relación que siempre ha habido entre la ciencia
y el arte.
Los contenidos del primer curso deben plantearse a un nivel de formación base, que sirva de preparación y
que permita asimilar los contenidos de mayor nivel en el dibujo técnico de segundo curso. Se pretende también
desarrollar y potenciar las habilidades manuales, así como la organización, correcta presentación de los
proyectos o trabajos, la exactitud y precisión en los trazados gráficos de los ejercicios y la comprensión
conceptual y demostración teórica en la resolución de problemas.
Para el segundo curso se profundiza en los conocimientos, las construcciones, estudios geométricos y
técnicos, para una preparación más exhaustiva y para que sirva, como se refiere el currículo oficial de la
Comunidad Valenciana, para el desarrollo de las tres funciones básicas del bachillerato: función formativa,
propedéutica y orientadora.
BIBLIOGRAFÍA.
-
“Estética de las proporciones en la naturaleza y en las bellas artes”. Matila Ghyka. Editorial Poseidón.
-
“Dibujo técnico. Pruebas de acceso a la universidad”. Eloy Sentana y Manuel Serrano. Departamento de Expresión. Universidad
de Alicante.
-
“Dibujo técnico”. Angel Gutiérrez y varios autores. Editorial Anaya (Manuales de orientación universitaria).
-
“Dibujo técnico. COU, selectividad, LOGSE”. Idelfonso García y José Manuel Hernández. Editorial Edinumen
-
“Curso de Dibujo geométrico y de croquización”. F. Javier Rodríguez y Víctor Alvarez. Editorial Donostierra.
Libros de texto utilizados en Bachillerato.
“Dibujo técnico 1”
“Dibujo técnico 2”.Bachillerato. Eugenio Bargueño. Editorial Mc Grau hill.
“Dibujo técnico I y II” Editorial SM.
ENLACES de páginas webs donde hay información sobre DIBUJO TÉCNICO:
-
http://trazoide.com/
www.tododibujo.com/
www.dibujotecnico.com/index.asp
www.miajas.com/
http://platea.pntic.mec.es/mperez/ejer1.htm
http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemaslistar.asp?idAsignatura=5
www.uib.es/ca/infsobre/estudis/primer_segon/acces/pau/examens.htm
www10.gencat.net/dursi/ca/un/pau_examens.htm
www.usal.es/~gesacad/web-acceso/Examen04/Examen04.html
http://www.cnice.mec.es/profesores/bachillerato/dibujo_tecnico/
http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/108d/index.html
http://almez.pntic.mec.es/~ssar0003/
http://www.editecnicas.net/
http://www.monografias.com/trabajos22/preparador-dibujo-tecnico/preparador-dibujo-tecnico.shtml
http://www.ua.es/es/estudios/acceso/logse/curriculo.html ( exámenes de selectividad universidad alicante.)
http://www.educared.org/global/educared/?idAsignatura=5&idProblema=738&titulo=Tres%2520vistas%2520de%2520una%2520p
iezahttp://www.educacionplastica.net/vistas.htm
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/anguloscircun.htm
- CURRICULO OFICIAL DE BACHILLERATO COMUNIDAD VALENCIANA
DIBUJO TÉCNICO http://www.docv.gva.es/datos/2008/07/15/pdf/2008_8761.pdf
JULIO 2015: http://bibliotecacefirevalencia.blogspot.com.es/2015/06/decreto-872015-por-el-que-establece-el.html
SI PIENSAS QUE HAY UNA PÁGINA WEB O HAS ENCONTRADO UN ENLACE O MATERIAL SOBRE DIBUJO TÉCNICO
INTERESANTE, POR FAVOR AÑÁDELO A LA LISTA ENVIANDONOS EL ENLACE.
-
PAGINA WEB DEL CENTRO: iesnouderramador.edu.gva.es/
PÁGINA DE DIBUJO TÉCNICO DEL CENTRO: iesnouderramador.edu.gva.es/dibujo/
CRITEROS DE EVALUACIÓN Y CALIFICACIÓN.
DIBUJO TÉCNICO
1º y 2º DE BACHILLERATO.
Departamento de Artes Plásticas y Dibujo.
Los criterios de evaluación y de calificación serán los siguientes:
1. Realización de trabajos diarios propuestos para trabajar en el aula o en casa según los criterios de resolución y de
presentación del departamento.
- Ejercicios y láminas diarias de la evaluación. Comprensión y puesta en práctica de los conceptos explicados en
clase, limpieza en la realización de los trabajos, correcta utilización de materiales y técnicas, organización, precisión,
limpieza y correcta presentación de los mismos.
2. Exámenes y pruebas teórico-prácticas a lo largo de la evaluación de los temas trabajados.
3. Procedimientos: consecución lógica, análisis y desarrollo ordenado, resolución de problemas, utilización correcta
de materiales y técnicas, etc.
4. Actitud. Interés, esfuerzo, correcta presentación en tiempos, orden y limpieza, etc.
Mediante los ejercicios diarios se evalúa el trabajo diario y la adquisición de conocimientos y praxis de forma
continuada, resolviendo problemas y dudas que puedan surgir. Se pule la forma gráfica de resolución de ejercicios.
Con la carpeta final de trabajos se evalúa la progresión del alumno, su evolución, madurez y su interés por mejorar.
Mediante los exámenes se evalúa y califica la adquisición de conocimientos y la puesta en práctica
de los procedimientos, así como la adecuación para la resolución de ejercicios prácticos y en un tiempo determinado.
Los trabajos propuestos se entregarán en el periodo de tiempo acordado. Fuera de ese tiempo no se
calificarán o se hará con la nota mínima. Todos los trabajos propuestos durante la evaluación se entregarán al final
de ésta en una carpeta de trabajos para una evaluación global de la evaluación (consecución de objetivos mínimos,
evolución, etc.)
Para la calificación del alumno se tendrá en cuenta los siguientes parámetros:
1º de BACHILLERATO:
-
40% de la nota para los trabajos diarios, ejercicios y láminas de la evaluación.
-
50% de la nota para los exámenes y controles periódicos de la evaluación.
-
10 % para la actitud demostrada en la asignatura, referida a interés y esfuerzo realizado, trabajo diario,
voluntad de mejora, etc.
2º de BACHILLERATO.
-
30% de la nota para los trabajos diarios, ejercicios y láminas de la evaluación.
-
60% de la nota para los exámenes y controles periódicos de la evaluación.
10 % para la actitud demostrada en la asignatura, referida a interés y esfuerzo realizado, trabajo diario,
voluntad de mejora, etc.
Para realizar la media numérica el alumno deberá obtener, en los diferentes apartados de
evaluación (trabajos diarios, exámenes y actitudes), al mínimo un 5 sobre 10 en cada apartado. (No se aprobará y
no se aprueban una parte)
Cuando la media numérica, si tuviera decimales, no alcance el número entero posterior la nota sería
el inmediatamente inferior. Es decir si un alumno obtuviera un 4.75 en la media de todos los apartados como
nota final, la calificación sería 4.
Los alumnos que no aprueben la evaluación podrán presentarse a las pruebas específicas para ello,
como recuperación de la evaluación, realizando un examen extraordinario y presentando los trabajos y ejercicios que
faltaran en su día o mejorándolos.
Para la nota final de la asignatura, deberán estar aprobadas las tres evaluaciones del curso. De no
ser así, habrá al final del curso una prueba extraordinaria para aprobar únicamente la evaluación suspendida.
En el caso de que el alumno no aprobara la asignatura en mayo, éste podrá presentarse en las
pruebas extraordinarias de junio con el temario o programación de las tres evaluaciones, sin necesidad de presentar
láminas o trabajos adicionales si el profesor que imparte la asignatura no lo estima oportuno.
MATERIALES UTILIZADOS EN DIBUJO TÉCNICO
Mesa dibujo técnico o tablero con regla (paralex)
- Papeles:
o Blanco, de alto gramaje y consistente (los hay especiales para dibujo técnico)
o Translúcido: poliéster, acetato, vegetal.
o Milimetrado (opaco o transparente) para croquis, gráficos, esquemas acotados.
- Útiles de trazado:
o Lápices: clasificados según la dureza del grafito:
B = black = negro y blando
H = hard = gris y duro
También se clasifican por número: 1,2,3,4 + número + grado de dureza.
Ejemplo: 3H = duro (+gris y poco graso) para dibujo técnico
HB = semiduro (oscuro y graso) utilización normal
2B= blando (muy graso y negro) para dibujo artístico.
o Portaminas. De 0,5 a 2 mm. También están clasificadas las minas como los grafitos de lápices. Hay
minas de colores.
o Estilógrafo: Para dibujar a tinta. Puntas de 0,18 a 2 mm.
o Rotuladores desechables. Los típicos que simulan estilógrafos pero con menos precisión. La
punta se deforma con el tiempo o si se maltrata.
- Reglas:
o Escuadra.
o Cartabón. Tanto la escuadra y el cartabón, tienen unas formas características y unos ángulos
específicos cada una de ellas. Los ángulos y la forma de utilizarla vienen explicadas en fotocopia
aparte.
o Regla milimetrada
o Párales.
o Tecnígrafo.
o Plantilla de curvas: burmester, círculos, elipses, cintas flexibles, bigoteras, plantillas para rotular de
diferentes milímetros, semicírculo o transportador,…
- Compases.
o Se utiliza para trazar arcos y circunferencias. Los más comunes son los que se utilizan para medir,
que tienen dos puntas metálicas; y los que sirven para dibujar, con una punta metálica en uno de los
extremos, que permite apoyar el compás sobre el papel y un portaminas en el otro para dibujar. La
aguja del compás ha de ser ligeramente más larga que la mina de grafito. La mina se coloca sin
afilar para una vez fijada se lija hacia el exterior del compás. Tanto la aguja, como la mina o el
rotulador, han de estar perpendiculares al papel mientras se dibuja.
- Goma de borrar: blanca, de nata.
- Sacapuntas y afiladores.
- Tramas, letras y números, flechas, etc.
- Nosotros utilizaremos una carpeta de cartulina para guardar nuestros trabajos.
MATERIALES UTILIZADOS EN DIBUJO TÉCNICO
Mesa de dibujo técnico y paralex
Escalímetros y plantillas de letras.
Paralex casero
Cuchillas, rotuladores y estilógrafos
Reglas y plantillas: escuadra, cartabón, bigotera,
plantilla de curvas
Plantillas de letras, círculos, curvas y elipses.
NOMENCLATURA LÁPICES GRAFITO
LÁPIZ
DUREZA
8B,7B
6B
5B,4B
3B
2B, B
HB
F-H
2H, 3H
4H, 5H
EXTRA
BLANDA
MUY
BLANDA
SOMBREAR.
DIBUJO ARTÍSTICO
APLICACIÓN
BLANDA
DIBUJOS, ESCRITURA
CROQUIS
DIBUJO ARQUITECTURA
DUROS O DIBUJOS TÉCNICOS
MUY
CARTOGRAFÍA
DUROS
PLANOS
medidores de curvas y
LÁPICES
Cómo sacar punta a un compás o lápiz
Compases
RELACIÓN
DE NUMERACIÓN
2B
B
HB
2H
4H
0
1
2
4
6
DIBUJO TÉCNICO
BACHILLERATO
TEMA 1. Construcciones geométricas
básicas.
Departamento de Artes Plásticas
y Dibujo
o1
P
O
O
O
O
tg
o3
o2
o1 circunferencia secante
o2 circunferencia tangente
o3 circunferencia exterior
b ángulo inscrito
d ángulo central
o1
a ángulo exterior
d w ángulo central
a
O
b
tg
o3
O
b=d/2
d
o2
o1 circunferencia interior
o2 circunferencia tangente exterior
o3 circunferencia tangente interior
w
O
d
a= d-w
2
A
si d = 180 entonces b = 90
B
ARCO CAPAZ
3
2
1
M
1
2
3
N
ARCO CAPAZ de 90º
Polígono INSCRITO
Polígono CIRCUNSCRITO
TEOREMA THALES
A
A
r
r
P
PARALELA a una recta r
por un punto A exterior
PERPENDICULAR por el
Extremo de una semirrecta
PERPENDICULAR a una recta r
por un punto P de r
PERPENDICULAR a una recta r
por un punto A exterior
r
M
N
t
BISECTRIZ de un ANGULO
BISECTRIZ de un ANGULO
POLÍGONO IRREGULAR
MEDIATRIZ de un SEGMENTO
POLÍGONO REGULAR
POLÍGONO EXTRELLADO
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
REPASO GEOMETRÍA PLANA
DIAGONALES de un polígono
APONEMA de un polígono
Curso
Nota
Departamento de
Artes Plásticas
Según sus lados
C
b
a
A
b
a
b
a
c
B
c
c
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
TRIÁNGULO ESCALENO
TRIÁNGULO ISÓSCELES
a=b=c
a=b=c
a=b=c
Según sus ángulos
B
A
C
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
A
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
a b c < 90º
A
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
a > 90º
a=90º
circunferencias EXINSCRITAS
Puntos y rectas NOTABLES de un triángulo
O
b
m
a = ALTURAS
O = ORTOCENTRO
d
I
B
a
m = MEDIANAS
B = BARICENTRO
b = BISECTRICES
I = INCENTRO
circunferencia inscrita
C
d = MEDIATRICES
C = CIRCUNCENTRO
circunferencia circunscrita
CUADRILÁTEROS
CUADRADO
RECTÁNGULO
TRAPECIO
ROMBO
POLIGONOS REGULARES
ROMBOIDE
TRAPEZOIDE
TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
CUADRADO
HEPTÁGONO
OCTÓGONO
D
C
E
L
A
B
HEXÁGONO
PENTÁGONO
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
REPASO GEOMETRÍA PLANA
Curso
Nota
Departamento de
Artes Plásticas
TEMA 1. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS.
Ideas:
Los elementos que vamos a ver durante todo el curso son objetos que se distribuyen a lo largo de un plano con
diferentes objetivos: representar la realidad del espacio en dos dimensiones o bien representar las tres dimensiones.
Todas estas representaciones o dibujos están bajo ciertos condicionantes muy importantes: primero han de ser muy
precisos para que sean realmente útiles. Segundo, han de seguir una Norma, es decir un acuerdo internacional
para que en todas partes sea igual. Hay que tener en cuenta que el dibujo técnico es un lenguaje gráfico universal y
como medio de expresión se tiene que entender por todos los que participen en este lenguaje. Por todo ello el
resultado de nuestro trabajo ha de ser CLARO y LIMPIO, que no ofrezca confusión ni que hayan elementos que
nos puedan distraer. Todos los datos han de ser rigurosos y ofrecernos toda la información necesaria.
Los elementos que antes mencionábamos y en lo que está basado el dibujo técnico son, por orden de simpleza:
EL PUNTO: El punto en realidad sólamente existe como idea
filosófica, puesto que realmente no existe: no tiene dimensiones.
Sin embargo nosotros lo vamos a utilizar mucho.
La forma más usual de representar El punto será como una mancha
muy pequeña, redonda y rellena o bien como la intersección de dos
rectas también pequeñas.
Se se nombra con letras mayúsculas, A, B, C, M, N, O. P,......
Un punto en el plano, es un punto PROPIO. Un punto en el infinito será
un punto IMPROPIO.
LA LÍNEA: La línea solamente exíste a medias, un poco también como
idea filosófica pero que también se utiliza bastante: solamente tiene
una dimensión (1d): la longitud. Por lo tanto se puede medir su
longitud.
La forma de representar la línea se mediante la consecución de
multitud de puntos muy juntos y alineados: la línea es una consecución
alineada de puntos. Puesto que la linea está compuesta por un punto
detrás del otro, cuando dos línea se cortan, su intersección,
obviamente, será un punto.
Las líneas pueden ser: curvas, rectas, quebradas, mixtas.
Hay una línea recta cuando se unen dos puntos en su mínima
distancia.
No tienen principio ni final; el inicio y el final de una recta estará en el
infinito, en un punto impropio.
La forma de denominar a una recta es con letras minúsculas,
normalmente consonantes: r, s, t, u , v, etc.
Cuando un recta tiene un inicio en el plano y el final en el infinito se
llama semirecta.
Cuando se acota una recta por medio de dos puntos el resultado se
llama SEGMENTO. Los segmento más normales que vamos a utilizar
son los segmento rectos. Los segmentos se denominan con los
nombres de los puntos que acotan dicho segmento: AB. MN, PQ,.
También se pueden nombrar con una letra minúscula.
Según la disposicion espacial en el plano y el ángulo que forman con
otras rectas tenemos la siguiente clasificación:
A
dos puntos
P
linea recta
linea curva
s
linea quebrada
t
linea mixta
u
A
Segmento MN
Perpendiculares
Paralelas
Forman 90º entre sí.
Segmento AB
B
M
Horizontal
r
tipos de líneas
No se cortan nunca y si lo hacen
es en un punto Impropio
P
N
Semirecta
EL PLANO: El plano existe a medias puesto que solamente tiene dos
dimensiones (2D): el ancho y el alto.
A los planos los llamamos por medio de letras griegas: a, b,w, etc.
Los planos también son infinitos y los acotamos por donde a nosotros
nos conviene. Un plano se puede definir como la intersección de tres
rectas entre sí. Dos planos pueden cortarse. La intersección de dos
planos que se cortan es una recta. Los planos también se
representan mediante las rectas que forman en las intersecciones de
otros planos.
Todo lo estudiado en este tema serán las construcciones geométricas
que precisamente solamente tienen dos dimensiones y se
representan precisamente en un plano (que se puede considerar
nuestras láminas de dibujo).
EL VOLUMEN: Cuando trabajamos con tres dimensiones (3D),
estamos ante el volumen o el espacio. Una figura con volumen tiene
ancho, alto y profundo y ocupa un lugar en el espacio. El espacio y el
volumen se pueden representar en el plano mediante los diferentes
SISTEMAS DE REPRESENTACION que estudiaremos en temas
posteriores.
Plano alfa
a
r
t
s
Hexaedro o cubo
Ancho
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS.
Para la correcta realización de los diferentes trazados geométricos
necesitamos saber el manejo preciso de todos los instrumentos de
dibujo: escuadra y cartabón, compás, lápices, transportador de
ángulos, etc. Además se necesita una cierta actitud como limpieza,
orden, precisión, claridad, ...
En todo trazado geométrico distinguiremos siempre tres fases de
realización:
1.- El conocimiento de los datos previos.
2.- Las operaciones gráficas.
3.- El resultado final.
En la representación gráfica (dibujo) diferenciaremos cada una de
estas fases del proceso por el grosor y la visualización del trazado de
las líneas: los datos de partida y las líneas auxiliares que nos ayudan
a construir irán en línea muy fina y en un tono muy claro; los datos o
elementos importantes irán en líneas de grosor medio o tono medio;
el resultado final irá en línea gruesa y en un tono oscuro. Para ello
utilizaremos un lápiz de grafito duro, como puede ser el 4H, siempre
sin apretar y con suavidad, afilado y marcando más fuerte el
resultado.
Primeras construcciones: PARALELAS con las reglas.
Las rectas paralelas NUNCA se cortan.
Para empezar construiremos paralelas con la escuadra y el cartabón.
Mira atentamente el gráfico donde se explica como utilizar las reglas
para hacer paralelas horizontales, verticales y diagonales, así como
los ángulos que se pueden construir con ellas.
Angulo: 90º
Angulo: 45º
Angulo: 90º
Angulo: 45º
ESCUADRA
Angulo: 60º
Angulo: 30º
CARTABÓN
Para dibujar utilizaremos un lápiz
afilado, fino y de dureza alta: un
4H o bien portaminas de 0,5 mm.
Dat os: fi no y gris medi o.
Construcciones: fino y claro
Resultados: más oscuro y grueso
Tanto el lápiz como el compás
han de estar siempre bien afilados
papel de lija
Método para coger bien las reglas
Lámina nº 1: PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS
REALIZACIÓN: Dividir la lámina en cuatro partes iguales.
En la primera parte dibujar paralelas horizontales a 0,5 cm de distancia.
Dibujar una diagonal que forme con la horizontal 75º.
En la segunda parte dibujar paralelas verticales a 0,5 cm de distancia.
Dibujar una diagonal que forme con la horizontal 30º
En la tercera parte dibujar diagonales paralelas a 0,5 cm de distancia.
Dibujar una diagonal que forme con las paralelas 90º
En la cuarta parte dibujar paralelas con un ángulo de 60º con la horizontal, con 0,5 cm de
distancia entre ellas. Después dibujar perpendiculares a las primeras a la misma distancia: es decir, como
resultado quedarán cuadrados con una inclinación de 60º.
LA LÁMINA SE REALIZA CON LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN. Hay que disponer las dos reglas como hemos
explicado en clase
75º
60º
90º
Fecha
30º
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
45º
Curso
Nota
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS
REALIZACIÓN del CASILLERO para anotar los DATOS de la LÁMINA y del AUTOR:
Se realizará un casillero con dos rectas paralelas horizontales a 1 cm de separación entre ellas. Dentro del margen.
Dibujar dos paralelas verticales a 30 mm. de los márgenes derecho e izquierdo respectivamente.
El casillero se realizará a lápiz 2H o 4H sin apretar y los datos se escribirán en MAYÚSCULAS y con letra pequeña.
3 cm
3 cm
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
Nº de lámina
Título de lámina
Nota
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS
horizontal
45º
45º
90º
1
vertical
1
2
2
3
3
45º 135º
75º-105º
1
90º
1
45º
45º
135º
90º
45º
2
45º
75º
90º
45º
45º
45º
90º
2
45º
60º-120º
45º
105º
3
120º
60º
120º
105º
150º-30º
cuadrado
45º
90º
1
45º
150º
150º
30º
2
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
GB 02
Departamento de
Artes Plásticas
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS
Curso:
Nota:
horizontal
45º
45º
90º
1
vertical
1
2
2
3
3
45º 135º
75º-105º
1
90º
1
45º
45º
135º
90º
45º
2
45º
75º
90º
45º
45º
45º
90º
2
45º
60º-120º
45º
105º
3
120º
60º
120º
105º
150º-30º
cuadrado
45º
90º
1
45º
150º
150º
30º
2
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
GB 02
Departamento de
Artes Plásticas
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS
Curso:
Nota:
Lámina nº 2: PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS
REALIZACIÓN: 1º
Dibujar la figura propuesta con la escuadra y cartabón. Empezar dibujando una recta
horizontal, la que está más abajo, donde estén las medidas inferiores. 2º Poner las medidas de 20 y 70 (en las
medidas de 70, están las de 20 y 30, hasta 70 faltará en medio la medida:...). Seguir con las verticales y
perpendiculares exteriores. 3º Con la escuadra poner la medida de 45º, complementaria de 135º y con el cartabón
el ángulo de 60º. De esta forma dibujar toda la figura. El centro de la circunferencia estará en la mediatriz (centro)
de la paralela horizontal que parte de la medida 20 superior. Una vez acabada la pieza, realizar las paralelas a 0,5
cm. Ten en cuenta todas las medidas dadas con las cotas.
En la parte inferior de la lámina, realizar una composición con paralelas como los ejemplos dados. Puedes copiar
una de las propuestas o bien inventarte una original. Puedes colorear el resultado.
Realiza la siguiente figura con la escuadra y cartabón, según las cotas y los ángulos dados.
20 mm.
20 mm.
20 mm.
30 mm.
70 mm.
Elige una figura de las de abajo, o bien diseña tu una nueva. Ten en cuenta las paralelas.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Curso
Nota
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II
Lámina Nº 2: PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II. FIGURAS
MATERIALES: Lápiz grafito 4H. Escuadra y cartabón. Láminas de dibujo técnico.
REALIZACIÓN: sesiones de 30 minutos cada figura.
ENUNCIADO Y PASOS: 1º Dibujar la figura propuesta con la escuadra y cartabón, según las cotas y los
ángulos dados.
1.- Dibujar una línea recta en la base del recuadro
donde se va a ralizar el diseño.
En la línea recta se marcan las medidas principales:
30mm. y tres de 20 mm.
2.- Dibujar los ángulos con la escuadra y el cartabón.
Desde el punto indicado del vértice del ángulo poner
el ángulo de 60º con el cartabón. El ángulo de 135º
puede realizarse con la combinación de las reglas o
bien con el ángulo suplementario: 45º con la
escuadra.
135º
90º
45º
20 mm.
20 mm.
20 mm.
30 mm.
3.- Realizar la verticales y paralelas por las zonas
marcadas.
4.- Marcar las cotas verticales 50 mm, 20 mm, 16 mm.
5.- Marcar los ángulos en los vértices indicados
como en el punto 2.
60º
90º
45º
20 mm.
45º
45º
20 mm.
20 mm.
30 mm.
6.- Unir los extremos superiores, los puntos A y B.
Hallar el punto medio con la mediatriz de AB.
Dibujar un arco de circunferencia de diámetro AB
A
B
7. Realizar paralelas a 0,5 cm en el interior de toda
la figura.
8. Dibujar las circunferencias con los radios marcados.
9. Repasar más oscuro o a color la figura completa.
Para realizar la SEGUNDA figura, elegir UNA, la que más
te guste o diseña tú una nueva. Se trata de que utilices
la escuadra y el cartabón para realizar horizontales,
verticales y oblicuas, paralelas, perpendiculares y
diagonales.
La figura puede decorarse en blanco y negro, con manchas
negras o bien pintarlos y realizar una decoración en color.
LÁMINAS DE DIBUJO TÉCNICO:
Lámina nº 3: PARALELAS Y PERPENDICULARES III.
Con compás
Suma los siguientes segmentos
Datos:
Para la realización de las siguientes construcciones hay que tener en
A
cuenta todo los visto anteriormente y seguir los pasos meticulosamente.
1.- Suma de segmentos. Los segmentos se pueden medir. Es la
B
B
C
Realización:
distancia que hay de un punto de un extremo al otro extremo. Esa
distancia puede ser métrica (en cm, mm, etc.) o bien solamente gráfica
C
A
B
Resultado
(la distancia que se puede medir mediante el compás).
Para realizar este ejercicio se utilizará el compás y se sumaran las
distancias gráficas.
Resta los siguientes segmentos
Datos:
A
B
2.-Resta de segmentos: El ejercicio es igual que el anterior pero en
este caso se resta a la primera distancia la segunda distancia con el
compás.
A
C
Realización:
Resultado
A
B
C
3.-Multiplicar un segmento: Como en matemáticas, se suman
consecutivamente las unidades tantas veces como se quiera
multiplicar.
Multiplica el siguiente segmento
por 3.
B
A
4.- Dividir un segmento por 2 (MEDIATRIZ de un segmento)
Para realizar una mediatriz de un segmento se pone el compás en un
extremo del segmento y se abre éste un poco más de la mitad del
segmento. Se traza una semicircunferencia. Estos mismos pasos se
B
A
Divide el segmento MN por 2
(MEDIATRIZ de MN)
realizan en el otro extremo del segmento.
La mediatriz es el primer elemento complejo de geometría y se utiliza
muchísimo en dibujo. La característica geométrica de la mediatriz es
que si de cualquier punto de ella lo unimos a los extremos del segmento
la distancia del punto a un extremo y al otro es la misma.
M
N
LUGAR GEOMÉTRICO: Un lugar geométrico es cuando hay una
agrupación de puntos que tienen en común alguna ley matemática o
geométrica. Lugar geométrico son: la mediatriz, la bisectriz, la
circunferencia, la potencia de un punto, el arco capaz, etc. Ejemplo:
La MEDIATRIZ es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que
unidos a los extremos de un segmento son equidistantes.
5.- Dividir un segmento en partes iguales. (Teorema de Thales).
Para dividir un segmento en cualquier número de partes iguales hemos
División de un segmento en partes
iguales.
(TEOREMA DE THALES)
c
de dibujar una recta por el extremo del segmento. La distancia y el
b
ángulo pueden ser cualquiera. En esa recta y con el compás, poner la
a
misma medida tantas veces como queramos dividir el segmento (ver
suma de segmentos). Con la última medida: unirla con una recta al otro
M
a´
b´
c´
a´
b´
c´
N
extremo del segmento. Por último dibujar paralelas a esta última recta.
M
TEOREMA DE THALES: Si un haz de rectas paralelas son cortadas por
dos recta no paralelas (que se corten entre sí) todos los segmentos
Relación de proporcionalidad:
resultantes son PROPORCIONALES. Esta es una proporcion directa:
varian de tal forma que se razón permanece constante. a/b=c/d=p/q= k
(se verá más adelante en la PROPORCIONALIDAD DIRECTA).
N
a
b
c
=
=
a´
b´
c´
División de un segmento en partes
proporcionales.
6.- Dividir un segmento en partes proporcionales. (Teorema de
Thales).
Segmentos dados
Para dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos
dados hemos de actuar igual que con el ejercicio 5: hemos de dibujar
a
A
B
B
b
C
c
C
c
D
una recta por el extremo del segmento. La distancia y el ángulo pueden
ser cualquiera. En esa recta y con el compás, poner las medidas de los
Ejercicio
b
segmentos dados (se hace con el compás). Con la última medida del
último segmento: unirla con una recta al otro extremo del segmento. Por
a
b
c
=
=
a´
b´
c´
a
último dibujar paralelas a esta última recta por los extremos de los
M
a´
N
c´
b´
segmentos dados.
Poner el compás en el extremo de la semirrecta (A). Abrir el compás
Perpendicular a
una semirecta.
P
7.- Levantar una perpendicular por el extremo de una semirrecta:
N
O
con una medida cualquiera. Dibujar una semicircunferencia. Donde la
semicircunferencia corta a la semirrecta, punto M, poner el compás, y
r
A
M
sin mover la anchura, dibujar otro arco que corte al primero en N.
Igualmente, desde N, dibujar otro arco que vaya desde el extremo de la
semirrecta. Cortará al primer arco en O. Desde O, dibujar otro arco
hasta que corte en P. Se unen P y A con una recta.
8.-Dibujar una perpendicular a la recta s por un punto de la recta
dado P.
Se pone el compás en P y se abre con una distancia cualquiera.
Se dibuja un arco de circunferencia que corte a s en dos partes.
M y N son dos puntos que equidistan de P, luego P es el centro de un
segmento formado por M y N. Para hallar la perpendicular se dibuja la
mediatriz de MN.
9.- Dibujar una perpendicular a la recta t por un punto exterior a la recta
dado P.
El ejercicio es idéntico al primero, pero en este caso el punto P está
P
fuera de la recta.
t
10.- Dibujar una recta paralela a otra y que pase por un punto.
Dada la recta u y el punto P, exterior a ella.
Dibujar un arco de circunferencia, con centro en P y que corte a u, con
M
N
un radio cualquiera. Este arco corta a u en M. Desde M dibujar el mismo
arco, esta vez que pase por P, cortará a u en N. Con el compás se mide
la distancia que hay de N a P y trasladar esa distancia desde M hasta
que corte al arco que pasa por M = O. Unir O y P mediante una recta.
TEORÍA DE LAS PARALELAS: Cuando un par de rectas paralelas son
cortadas por un haz de rectas también paralelas, los segmentos
producidos son IGUALES y los ángulos también.
a=b=c=d
a
a
b
c
b
d
En un trapecio la base menor es igual que
el producido por dos lados paralelos desde
uno de sus vértices.
LÁMINAS DE DIBUJO TÉCNICO:
Lámina nº 4: ÁNGULOS
Un ángulo se forma cuando dos rectas se cortan. El punto de
intersección es el vértice y las rectas los lados de los ángulos que se
90º
180º
recto
llano
forman. Se puede decir que un ángulo es la parte del plano limitada
por dos semirectas, llamadas lados, que parten de un mismo punto,
llamado vértice.
Los ángulos se nombran con letras griegas a, b, c, minúsculas o con la
misma letra que su vértice (que es un punto).
Los ángulos se miden en grados, con un transportador. Cada grado
tiene 60 minutos y cada minuto 60 segundos.
- Cuando un ángulo mide 90º se llama ángulo recto.
- Si mide 180º, ángulo llano.
-Los ángulo de menos de 90º se llaman agudos y los que tienen más
de 90º obtusos.
-Dos ángulos son complementarios, si su suma es un ángulo recto y
>90º
<90º
Agudo
Obtuso
a
b
b
a
Suplementarios
Complementarios
se llaman suplementarios si su suma es un ángulo llano.
-Cuando una recta corta a otras dos paralelas forman ángulos con las
siguientes propiedades: Todos los ángulos a y los b son iguales.
Observar en los otros dibujos como coinciden los ángulos en
a
b a
b
b a
a b
determinadas figuras geométricas.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: La bisectriz es una recta que divide a
un ángulo en dos partes iguales. Es el Lugar Geométrico de los
ángulo.
Para dibujarla se traza un arco con centro en V que corte a los lados
en los puntos M y N.
a
a
puntos del plano que equidistan de dos rectas llamadas lados del
b
a
a
La bisectriz coincide con la mediatriz del
segmento MN.
Para trazar la bisectriz de dos rectas que no se cortan en el papel: 1.
b
a
a
b
b
Se traza la bisectriz de dos rectas paralelas a los lados del ángulo a
igual distancia.
2. También se puede hacer cortando con una recta los dos lados del
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
ángulo y trazando las bisectrices de los ángulos que forman.
M
Para trazar ángulos con las reglas ya se ha visto en el primer ejercicio
o lámina.
Para trazar ángulos con el compás:
- ángulos de 90º, vistos en la lámina anterior.
-Para un ángulo de 45: trazar la bisectriz del de 90º
-ángulo de 60º: dibujar un triángulo equilátero, trazando dos arcos con
V
N
el mismo radio y con centro en V y P.
V
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO CUANDO LOS LADOS NO SE CORTAN EN EL PAPEL
19
Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos
60º35´42´´
a
b
105º
6O º
Ángulo AGUDO
90º
180º
90º
90º
ADYACENTE Y/O
CONSECUTIVO
b
= 90º
Ángulo OBTUSO
Ángulo RECTO
Ángulo LLANO
b
a
a
90º
COMPLEMENTARIOS
SUPLEMENTARIOS
Construcción de ángulos con la escuadra y el cartabón.
Ángulos de las
reglas
90º
135º
90º
90º
90º
45º
45º
60º
45º
30º
Escuadra
45º
45º
Cartabón
45º
45º
45º
135º
75º
165º
15º
90º
Algunos ángulos se
pueden construir con el
ángulo suplementario.
150º
45º
150º
105º
30º
Ángulos de la circunferencia
Ángulo Inscrito
Ángulo Central
45º
60º 120º
120º
120º
Ángulo Seminscrito
a = w = 90º
b =180º
Ángulo Exterior
Ángulo Exterior
V
Ángulo Interior
V
Tg
a
a
o
b
g
w
o
b
a = b/2
a = b/2
b
g
b
a = b/2
g
b
a = (b-g)/2
a = (b-g)/2
a = (b-g)/2
El ángulo inscrito siempre es la mitad del ángulo central, por eso cualquier punto de la semicircunferencia es un ángulo de 90º con respecto
al diámetro de la misma.
Opuestos por el vértice
Correspondencia de
ángulos cuando dos
rectas paralelas son
cortadas por otra
recta cualquiera.
6
4
Polígono convexo
A
3
E E´
B
1
2
Alternos:1-2,3-4, ...
correspondientes:
2-5, 3-8, ...
Polígono cóncavo.
5
A
Suma de ángulos
de un triángulo:180º
F
Ángulos de lados paralelos
C
D
A,B,C,..interiores de un
polígono. E´ exterior.
8
7
BISECTRIZ de un ángulo
División de un ángulo en dos
partes iguales.
División de un ángulo
en partes iguales
30º
= 180º
A es cóncavo
D convexo.
Ángulos de un trapecio
isósceles
Ángulos de lados
perpendiculares
r
D
Suma de ángulos
de un cuadrilátero:
360º.
90º
= 180º
Ejemplo: si mide 75º entonces 75º+75º=150º
¿cuánto mide ?. 360º-150º=210º/2=105º.
30º
90º
Bisectriz cuando el vértice
está fuera del papel.
r
t
Ángulos iguales
a
a
o
A
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
o
b
B
Arco Capaz.
t
w
a
o
Arco Capaz de 90º
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
Resumen recordatorio de ÁNGULOS
23
Lámina Nº 4: ÁNGULOS CON EL COMPÁS.
MATERIALES: Lápiz grafito 4H. Escuadra y cartabón. Láminas de dibujo técnico.
La lámina se deberá realizar en una sesión de 55 minutos..
EJERCICIOS:
1.- Construir un ángulo con el semicírculo que sea de 60º y otro de 120º
2.- Medir con el transportador de ángulos los cuatro ángulos dibujados en la ficha.
3.- Dibujar la BISECTRIZ del ángulo dado.
4.- Dividir un ángulo el ángulo de 90º dado en tres partes iguales.
5.- Sumar los ángulos a y b dados.
6. Construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º30´, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º,105º, 120º, 135º.
BISECTRIZ de un ángulo.
1. Lo primero que debemos hacer es un ARCO con
centro en el vértice V y radio cualquiera. Este arco
cortará a los lados del ángulo en dos punto P y Q.
2. Desde P y desde Q dibujar dos arcos con el mismo
radio.
3. Estos arcos se cortarán entre sí en F.
4. Unir F con V y marcar más oscuro o en color.
1.- BISECTRIZ de un ángulo
División de un ángulo en dos
partes iguales.
P
F
V
Dividir un ángulo recto en tres partes iguales.
Q
2.- Dividir un ángulo de 90º en tres partes iguales con el compás
Un ángulo recto es de 90º. Dividir un ángulo de 90º en
tres partes iguales saldría a 30º cada uno. El ejercicio
consiste en realizar ángulo de 60º.
Pasos: 1. Dibujar un arco cualquiera que corte a los
lados del ángulo en los punto M y N
2. Con el mismo radio que el arco anterior poner el
compás en M y en N y dibujar dos arcos iguales que
cortarán al primero en los puntos P y Q.
3. Unir V con P y con Q.
M
30
P
30
Q
30
90
V
N
3.- Suma los siguientes angulos a y b
Sumar o restar ángulos.
En este ejercicio sumaremos dos ángulos a y b, que
serán trasladados y se pondrán uno después de otro.
1. Dibujar una recta cualquiera en el lugar que nos
interese. Poner un punto que será el vértice V.
(si ya están puestos estos datos realizarlo desde allí)
2. Dibujar un arco IGUAL para los dos ángulos a y b
y dibujarlo igualmente desde V.
3. Con el compás medir el arco a y ponerlo a partir de M.
4. Medir con el compás el arco b y ponerlo a partir de N.
5. Desde P, dibujar una recta hasta V.
6. Marcar más oscuro o en color el ángulo resultante.
b
a
V
V
P
a
a+ b
N
b
V
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
OPERACIONES CON ANGULOS.
M
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
Lámina Nº 4: ÁNGULOS CON EL COMPÁS.
6. Construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º30´, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º,105º, 120º, 135º.
La construcción de ángulos con el compás está basado en la geometría. Algunos los hemos visto ya como es el
de 90º (perpendicular a una recta con el compás), el de 45º (bisectriz de 90º), 22º 30´ (bisectriz de 45º) y otros
están basados en la costrucción de triángulos, por ejemplo los relacionados con ángulos de 60º (la mitad 30º,
la mitad de 30º, 15º, etc.). Un triángulo equilátero (tiene los tres lados iguales y por lo tanto los tres ángulos
iguales) tiene tres ángulos de 60º, puesto que 60º x 3 = 180º, que es la suma de los ángulos de los triángulos.
Los demás ángulos como 75º, 135º, etc. están basados en la suma de diferentes ángulos o en ángulos complementarios o suplementarios. Ejemplo: 75º = 45º + 30º, para construir un ángulo de 75º hay que sumar un
ángulo de 45º y otro de 30º.
ÁNGULO DE 60º y de 120º
1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados
1. Como hemos dicho anteriormente un ángulo de 60º es el de un
triángulo equilátero, por lo tanto la solución estará en construir uno,
de las medidas del lado que queramos.
2. Dibujar una recta cualquiera como base.
3. Poner el compás donde queramos de la recta, por ejemplo A.
4. Abrir el compás con un radio aleatorio, por ejemplo hasta B.
5. Trazar un arco. Sin mover el radio poner el compás en B y
trazar otro arco (de radio BA).
6. Unir A con P, punto donde se cruzan los dos arcos.
7. Señalar mediante un arco más pequeño el ángulo de 60º.
P
A
- El ángulo de 120º será el suplementario de 60º. Es decir, la recta
es un ángulo llano de 180º, si construimos unos de 60º, lo que nos
queda será un ángulo de 120º; 60º + 120º = 180º.
ÁNGULO DE 30º, de 15º y de 150º.
1. El ángulo de 30º es la mitad de 60º. Por lo tanto para construir
uno habrá que trazar la BISECTRIZ de un ángulo de 60º.
2. Sobre una recta cualquiera como base construir un ángulo de 60º
y trazarle posteriormente la bisectriz.
3. Si a este ángulo de 30º construido le trazamos la bisectriz igualmente obtendremos dos ángulos de 15º.
4. El ángulo SUPLEMENTARIO de 30º es el de 150º.
6O º
120º
B
2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados. Ángulo de 150º.
150º
30º
165º
15º
Una vez construido el de 30º
ÁNGULO DE 90º y de 45º.
3.- ÁNGULO DE 90º, de 45º y de 135º grados
1. Para construir el ángulo de 90º, realizar el ejercicio nº 7 de la
lámina de “Paralelas y perpendiculares con el compás” visto
anteriormente.
2. Para construir el ángulo de 45º, hallar o dibujar la BISECTRIZ del
ángulo de 90º.
3. El ángulo 22º30' es la bisectriz de 45º.
4. El ángulo 135º es el suplementario de 45º.
90º
135º
ÁNGULO DE 75º.
1. Para realizar el ángulo de 75º tienes dos opciones: a) Suma los
ángulos de 30º + 45º construidos anteriormente con el procedimiento aprendido en la ficha. b) De un ángulo de 90º divídelo en
tres partes, como en el ejercicio 2 de la página anterior y dibuja
la bisectriz de uno de los ángulos de 30º resultantes. Suma
entonces 15º (bisectriz de 30º) + 60º (30º + 30º)
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
OPERACIONES CON ANGULOS.
45º
ÁNGULO DE 105º.
1. También tienes dos opciones: una es que
sumes los ángulos 45º + 60º, y la otra opción
es que dibujes un ángulo de 75º, el ángulo
suplementario es el de 105º buscado.
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
Lámina nº 4: ANGULOS CON EL COMPÁS.
EJERCICIOS:
1.- Construir un ángulo con el semicírculo que sea de 60º y otro de 120º
2.- Medir con el transportador de ángulos los cuatro ángulos dibujados en la ficha.
3.- Dibujar la BISECTRIZ del ángulo dado.
4.- Dividir un ángulo el ángulo de 90º dado en tres partes iguales.
5.- Sumar los ángulos a y b dados.
6. Construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º30´, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º,105º, 120º, 135º.
Mide los siguientes angulos con el transportador
Construcción de un ÁNGULO DE 6Oº con el semicirculo
90
ANGULOS CONSTRUIDOS CON EL COMPÁS
2.- Dividir un angulo de 90º con el compás
3.- Suma y resta de angulos
1.- BISECTRIZ de un ángulo
b
a
30
30
a+ b
a
b
30
90
CONSTRUIR LOS SIGUIENTES ÁNGULOS CON EL COMPAS
1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados
15º, 22º30´ ,30º ,45º , 60º , 75º , 90º , 120º y 135º
2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados
90º
6O º
120º
3.- ÁNGULO DE 90º grados
30º
4.- ÁNGULO DE 45º grados
5.- ÁNGULO DE 45º + 30º = 75º
6.- ÁNGULO DE 105º
105
75
45
45
6O
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
ÁNGULOS CON EL COMPÁS
22
ARCO CAPAZ de un segmento dado
Es el LUGAR GEOMÉTRICO de todos los puntos del plano
desde los cuales se ve un segmento bajo un mismo ángulo.
Dados el segmento AB y el ángulo a, se pide trazar el ARCO
CAPAZ de dicho ángulo.
o
1.- Se traza la mediatriz del segmento AB
2.- Por uno de los extremos, por ejemplo A, se construye el A
ángulo dado (hacerlo hacia la parte inferior).
3.- Por el extremo A trazar una perpendicular al lado del ángulo
anteriormente construido. ( Para evitar el paso 3, en el paso 2 se
puede dibujar directamente el ángulo complementario b (90-a=b)
al dado en el ejercicio. Ojo no confundirse más tarde al recordar el
ejercicio) En todo caso, el lado del ángulo cortará a la mediatriz
de AB en el punto O.
4.- Trazar por O un arco que pase por A y B. Dicho arco es el
ARCO CAPAZ de AB con ángulo a. Comprobar que cualquier
punto de dicho arco es el vértice del ángulo a cuyos lados pasan
por A y B
90º-a
B
a
90º
El segmento AB siempre tendrá dos arcos capaces simétricos del
mismo ángulo.
HALLAR UN ÚNICO PUNTO EN EL PLANO DESDE EL QUE SE VEAN DOS SEGMENTO BAJO
DOS ÁNGULOS DADOS RESPECTIVAMENTE.
Los dos segmentos son AB y BC
Los ángulos son: El segmento AB se ve bajo el ángulo a y el segmento BC se ve bajo el ángulo b.
1.- Se dibuja el arco capaz de a respecto a AB, como se ha explicado anteriormente en ARCO
CAPAZ. El centro es O1
2.- Se dibujo el arco capaz de b respecto a BC, cuyo centro es O2
2.- El punto P de intersección de los dos arcos capaces es el punto buscado, desde el que se ven
los segmentos bajo los ángulos dados.
P
o1
A
B
a
POTENCIA
POTENCIA de un punto con respecto a una CIRCUNFERENCIA
Se denomina POTENCIA del punto P respecto a la circunferencia O,
al producto de las distancias PA y PB.
Si por el punto P trazamos rectas secantes o tangentes a la
circunferencia O se cumple que:
D
B
C
O
2
POTENCIA= PA x PB = PC x PD = PE x PE (PE ) = constante
La potencia es por tanto el cuadrado del segmento tangente PE
A
2
E
Si el punto P es interior a la circunferencia, la potencia será negativa.
P
Mirar la aplicación de la potencia en resolución de determinados
ejercicios de geometría, sobre todo para resolver ejercicios de
tangencias.
EJE RADICAL.
El eje radical es el LUGAR GEOMÉTRICO de los puntos del plano que tienen la misma potencia con respecto a dos
circunferencias.
figura 1
MA x MB = MC x MD
Tanto si se trata de circunferencias secantes, tangentes, interiores o exteriores, el eje es perpendicular a la recta que
que une sus centros.
EJE RADICAL de las dos circunferencias
tangentes: perpendicular a la unión de los
centros por el punto de tangencia
Hallar el EJE RADICAL de las dos circunferencias
exteriores
figura 1
M
A
caso 2: interiores
caso 1: exteriores
C
o
B
o´
o
D
o
o´
o´
EJE RADICAL de las dos circunferencias
secantes: unir los puntos de intersección
EJE RADICAL de las dos
circunferencias interiores
CENTRO RADICAL de tres cirunferecias
Dibujar Ejes radicales de circunferencias
de 2 en 2. La intersección de dos ejes
radicales = C
o
o´
o´
o´
C
o
o
o´´
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
POTENCIA - EJE RADICAL.
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
RECTIFICACIÓN DE CIRCUNFERENCIAS
Rectificar un arco de circunferencia es hallar el segmento recto cuya longitud sea igual a la del arco o circunferencia
dadas.
De esta manera podremos decir que la longitud de una circunferencia se rige por su ecuación matemática p.2r
- Rectificación de una circunferencia.
La longitud de una circunferencia es aproximadamente igual a tres veces
el diámetro más una séptima parte del mismo. 3d+1/7d.
1. Se traza un diámetro cualquiera AB y se divide por el teorema de tales
en siete partes iguales.
2. Sobre una recta r y a partir de un punto (P) se lleva tres veces el diametro más una de las siete partes en que se ha dividido. El segmento PQ
es la rectificación de la circunferencia.
1
P
3
o
4
5
6
1/7
2pr
d1
2
d
7
d2
1/7
d3
Q
- Rectificación de una semicircunferencia.
La rectificación de la semicircunferencia es la suma del cuadrado y del triángulo equilátero inscritos en la circunferencia.
B
1. Se dibujan dos diámetros perpendiculares entre sí.
2. Se inscribe un cuadrado. El lado del cuadrado es AC
3. Se incribe un triángulo equilátero. El lado del triángulo es AE.
E
4. Se llevan dichas medidas sobre una recta (son los arcos trazados).
pr
o
D
C
pr
- Rectificación de un arco de 90º.
1. Con centro en los extremos A y B de un diámetro se describen
dos arcos del mismo radio que la circunferencia hasta cortar
a ésta en C y D.
pr /2
2. Con centro en A y radio AD, y con centro en B y radio BC
se trazan dos arcos que se cortan en el punto E
3. Por último, con centro en C y radio CE se describe otro arco
que corta a la circunferencia en el punto F. El segmento AF
es la rectificación del arco de 90º.
También se puede utilizar el procedimiento de la rectificación
de un arco, explicado más adelante.
A
A
C
pr/2
E
o
F
D
B
- Rectificación de un arco menor de 90º, AB.
1. Por el punto A uno de los extremos del arco, se traza el diámetro
AC y la recta r tangente al arco.
2. Se divide el radio OC en cuatro partes iguales, y haciendo centro
en el punto C y tomando como radio tres de esas cuatro partes, se
describe un arco hasta cortar a la prolongación del diámetro en el
punto D.
3. Se une el punto D con el otro extremo B del arco hasta cortar a la
recta tangente r en el punto E. El segmento AE es la rectificación
del arco AB.
r
B
a
D
r 3/4
1
2
3
4
C
O
Curiosidad: Si quieres saber la longitud de un arco de circunferencia
de modo matemático debes de aplicar la siguiente fórmula:
2pr.a
360
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
RECTIFICACIÓN DE CIRCUNFERENCIAS
E
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
A