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Ingeniería Civil Industrial
Estadística Aplicada 1
Facultad de Ingeniería y Ciencias Geológicas / Escuela de Ingeniería
2° Semestre 2012
Ayudantía N°3
1.
Oscar ha perdido su perro en el bosque A (con probabilidad 40%) o en el bosque B (con probabilidad
60%), y para encontrarlo Oscar ha pedido ayuda a su amigo Miguel.
Si el perro se encuentra vivo y aún no ha sido encontrado al -ésimo día de la búsqueda, morirá esa
noche con probabilidad
. Si el perro está en A (ya sea vivo o muerto) y una persona gasta un día en
buscarlo en el bosque A, la probabilidad de que lo encuentre ese día es 25%. De forma similar, si el
perro está en B y se gasta un día buscándolo ahí, la persona lo encontrará ese día con probabilidad 15%.
El perro no puede ir de un bosque a otro. El par de amigos puede buscar sólo con luz de día, y pueden
moverse de un bosque a otro sólo durante la noche.
a) ¿Cómo, Oscar y Miguel, debieran organizar la búsqueda para maximizar la probabilidad de
encontrar al perro el primer día?
b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al perro muerto el segundo día?
2.
Un inversionista tiene la posibilidad de invertir en dos tipos de acciones A1 y A2. Si invierte en A1 tiene
una probabilidad de 0,6 de obtener 16 millones de beneficio y si invierte en A2 tiene una probabilidad
de 0,8 de conseguir 12 millones. Si en tal inversión obtiene beneficios está dispuesto a volver a invertir
en el mismo tipo de acción. En cambio, si no obtiene beneficios invertirá en el otro tipo. Si al invertir la
primera vez la elección la hace de forma aleatoria:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga beneficio la segunda vez que invierte?
b) Si finalmente obtiene beneficios, ¿cuál es la probabilidad de que la primera inversión la hubiera
efectuado en A1?
3.
Dell Inc. fabrica chips con un porcentaje de defectuosos del 5%, poniéndolos a la venta en paquetes de
5 unidades. Una empresa ilegal vende imitaciones indistinguibles del mismo chip, con un porcentaje de
defectuosos del 50% y los comercializa en el mismo envase de 5 unidades que utiliza Dell Inc. Teniendo
en cuenta que el 10% de los chips vendidos son ilegales, ¿cuál es la probabilidad de que un paquete que
contiene 2 chips defectuosos sea ilegal?
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Solución:
PROBLEMA 1
a) En primer lugar definimos los eventos:
A: {perro se pierde en el bosque A}
B: {perro se pierde en el bosque B}
Mn: {perro muere en la n-ésima noche}
Vn: {perro está vivo en el n-ésimo día}
En: {encontrar perro al n-esimo día}
ME: {Miguel encuentra el perro}
OE: {Oscar encuentra el perro}
BA: {buscar el perro en el bosque A}
BB: {buscar el perro en el bosque B}
Luego, los datos que se entregan en el problema son:
= 0,4; = 0,6; | ∩ =
= 0,15
; | ∩ = 0,25; | ∩ +2
Ahora bien, las posibilidades de búsqueda de Miguel y Oscar son 4:
1.
2.
3.
4.
Miguel busca al perro en el bosque A y Oscar también.
Miguel busca al perro en el bosque A, mientras Oscar lo hace en el bosque B.
Miguel busca al perro en el bosque B, mientras Oscar lo hace en el bosque A.
Miguel busca al perro en el bosque B y Oscar también.
Así, se cuantifica la probabilidad de que Miguel y/o Oscar encuentren al perro durante el primer
día de búsqueda:
Caso 1: Miguel busca al perro en el bosque A y Oscar también.
Lo que se pide es: ∪ % = 1 − ∪ % ≝ 1 − ∩ % ≝ 1 − ×
% donde:
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= | ∩ × | × + | ∩ × | × = 0,75 × 1 × 0,4 + 1 × 1 × 0,6 = 0,3 + 0,6 = 0,9
% = % | ∩ × | × + % | ∩ × | × = 0,75 × 1 × 0,4 + 1 × 1 × 0,6 = 0,3 + 0,6 = 0,9
Con lo cual ∪ % = 1 − × % = 1 − 0,9 × 0,9 = 1 − 0,81 = 0,19.
Caso 2: Miguel busca al perro en el bosque A, mientras Oscar lo hace en el bosque B.
Lo que se pide es: ∪ % = 1 − ∪ % ≝ 1 − ∩ % ≝ 1 − ×
% donde:
= | ∩ × | × + | ∩ × | × = 0,75 × 1 × 0,4 + 1 × 1 × 0,6 = 0,3 + 0,6 = 0,9
% = % | ∩ × | × + % | ∩ × | × = 1 × 1 × 0,4 + 0,85 × 1 × 0,6 = 0,4 + 0,51 = 0,91
Con lo cual ∪ % = 1 − × % = 1 − 0,9 × 0,91 = 1 − 0,819 = 0,181.
Caso 3: Miguel busca al perro en el bosque B, mientras Oscar lo hace en el bosque A.
Lo que se pide es: ∪ % = 1 − ∪ % ≝ 1 − ∩ % ≝ 1 − ×
% donde:
= | ∩ × | × + | ∩ × | × = 1 × 1 × 0,4 + 0,85 × 1 × 0,6 = 0,4 + 0,51 = 0,91
% = % | ∩ × | × + % | ∩ × | × = 0,75 × 1 × 0,4 + 1 × 1 × 0,6 = 0,3 + 0,6 = 0,9
Con lo cual ∪ % = 1 − × % = 1 − 0,91 × 0,9 = 1 − 0,819 = 0,181.
Caso 4: Miguel busca al perro en el bosque B y Oscar también.
Lo que se pide es: ∪ % = 1 − ∪ % ≝ 1 − ∩ % ≝ 1 − ×
% donde:
= | ∩ × | × + | ∩ × | × = 1 × 1 × 0,4 + 0,85 × 1 × 0,6 = 0,4 + 0,51 = 0,91
% = % | ∩ × | × + % | ∩ × | × = 1 × 1 × 0,4 + 0,85 × 1 × 0,6 = 0,4 + 0,51 = 0,91
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Con lo cual ∪ % = 1 − × % = 1 − 0,91 × 0,91 = 1 − 0,8281 = 0,1719.
b) En primer lugar asumimos que la probabilidad de buscar tanto en el bosque A como en el B,
son iguales tanto para Miguel como para Oscar, vale decir: = = 0,5.
Lo que se pide calcular es: ∩ ∩ ≝ | ∩ × ( | × , donde:
= | ∩ × | × + | ∩ × | × + | ∩ × | × + | ∩ × | × = 0,75 × 0,5 × 0,4 + 1 × 0,5 × 0,4 + 1 × 0,5 × 0,6 + 0,85 × 0,5 × 0,6
181
=
= 0,905
200
( . = = /
. ∩ ≝ = | ∩ × | × + | ∩ × | × + | ∩ × | × + | ∩ × | × = 0,25 × 0,5 × 0,4 + 0 × 0,5 × 0,4 + 0 × 0,5 × 0,6 + 0,15 × 0,5 × 0,6
19
=
= 0,095
200
0
2
/.3/0
Así: ∩ ∩ ≝ | ∩ × ( . × =
× ×
=
≅
11
0,02866
/
11
1.111
Como cada persona (Oscar y Miguel) buscan de forma independiente, se tiene que:
∪ % = + % − ∩ % = + % − × %
3.439
3.439
3.439
3.439
=
+
−
×
≅ 0,0565
120.000 120.000 120.000 120.000
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PROBLEMA 2
Eventos:
56 : 89:;<=9<;>??@@9ó9>?B − éD9E?:;FG, 9 = 1,2,B = 1,2
%6 : 8HI=;;<I;;J9@9HD>?B − éD9E?:;FKL;D;9:9;<=;G,B = 1,2
Datos:
5 = 5 = 0,5 = 50%
%6 .56 = 0,6
%6 .56 = 0,8
N B = 1,2
a)
La probabilidad pedida es:
% = % |55 + % |5 5 donde:
5 = %|5 5 + % .5 5 = 0,6 ∙ 0,5 + 0,2 ∙ 0,5 = 0,4
5 = % .5 5 + %|5 5 = 0,4 ∙ 0,5 + 0,8 ∙ 0,5 = 0,6
Luego:
% = %|5 5 + %|5 5 = 0,6 ∙ 0,4 + 0,8 ∙ 0,6 = 0,72
b)
La probabilidad pedida es:
5|% ∪ % =
5 ∩ % ∪ % % ∪ % donde:
% ∪ % = % + % − % ∩ % y
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% = % |55 + %|5 5 = 0,6 ∙ 0,5 + 0,8 ∙ 0,5 = 0,7
% ∩ % = %|5 ∩ % ∩ 5 ∙ 5 |% ∩ 5 ∙ % |5 ∙ 5 +%|5 ∩ % ∩ 5 ∙ 5 |% ∩ 5 ∙ %|5 ∙ 5 = 0,6 ∙ 1 ∙ 0,6 ∙ 0,5 + 0,8 ∙ 1 ∙ 0,8 ∙ 0,5 = 0,18 + 0,32 = 0,5
⇒ % ∪ % = % + % − % ∩ % = 0,7 + 0,72 − 0,5 = 0,92
Por otra parte:
5 ∩ % ∪ % = 5 ∩ % ∪ 5 ∩ % = 5 ∩ % + 5 ∩
% − 5 ∩ % ∩ % donde:
5 ∩ % = %|5 5 = 0,6 ∙ 0,5 = 0,3
5 ∩ % = % |55 = 0,6 ∙ 1 ∙ 0,6 + 0,8 ∙ 1 ∙ 0,4 ∙ 0,5 = 0,34
5 ∩ % ∩ % = %|5 ∩ % ∩ 5 ∙ 5 |% ∩ 5 ∙ %|5 ∙
5 = 0,6 ∙ 1 ∙ 0,6 ∙ 0,5 = 0,18
⇒ 5 ∩ % ∪ % = 0,3 + 0,34 − 0,18 = 0,46
Con lo cual, finalmente obtenemos que la probabilidad pedida es:
5|% ∪ % =
5 ∩ % ∪ % 0,46
=
= 0,5
0,92
% ∪ % 6
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PROBLEMA 3
Definiremos primeramente los eventos:
A={Hay dos chips defectuosos en un paquete de 5 unidades}
B ={El paquete es fabricado por Dell Inc.}
C ={El paquete es fabricado en forma ilegal}
Luego la probabilidad pedida es:
P( A ∩ C )
P ( A | C ) ⋅ P (C )
P(C | A) =
=
P( A)
P( A | B) ⋅ P( B ) + P( A | C ) ⋅ P(C )
La probabilidad de que haya 2 chips defectuosos en un paquete ilegal es:
5
P( A | C ) =   ⋅ 0,52 ⋅ (1 − 0,5)3
 2
5
Donde   representa el número de posibles reordenaciones de los chips defectuosos dentro de la caja.
 2
(Notemos que el interés del experimento recae en la naturaleza del chip, es decir, importa si es o no
defectuoso, y no importa el orden en que estos salgan).
De forma similar la probabilidad de que hayan 2 defectuosos en un paquete de Dell Inc. es:
5
P( A | B) =   ⋅ 0, 052 ⋅ 0,953
 2
Además del enunciado se extra que P (C ) = 0,10 y P ( B) = 0,90.
Por lo tanto la probabilidad buscada es:
5  5
  0,5 ⋅ 0,10
2
P(C | A) =
= 0, 618
5 
5 5
2
3
  0, 05 ⋅ 0,95 ⋅ 0,9 +   0,5 ⋅ 0,10
2
 2
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