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Expresiones algebraicas
¡Hey muchachos! ... y aquí está el reto de
la presente semana.
Coge una hoja de papel como la figura, y
usando una tijera hacer un agujero dentro
de la hoja, que sea más grande que la
hoja.
... Imposible ?? ...
¡¡ Inténtalo y verás que sí es posible!!
abías que, estudiar el ÁLGEBRA, es estudiar
una de las partes más importantes de las
Ciencias Matemáticas, cuyo desarrollo a lo largo
de toda la historia, ha permitido un crecimiento
científico y tecnológico en beneficio para toda la
humanidad.
S
Sería pues conveniente hacer una remembranza
breve de todo lo acontecido durante el desarrollo
matemático mundial.
• ÉPOCA GRIEGA: (Siglos VIII a.C. - VI d.C.)
S e s i en t a n l a s b a se s fu n d ame n ta l e s d e l a
Ar it mé tic a y Geo me trí a, d est ac an : T ha le s,
P it á g or a s , P l at ó n , A r is t ó te l e s, E uc l í de s ,
Arquímedes, Herón, etc.
Pitág oras
“Considerado el primer
matemático, Pitágoras
fundó un movimiento en
el sur de la actual Italia,
en el siglo VI a.C., que
enfatizó el estudio de
las matemáticas con el
f in d e i n te n t ar c omprender todas las rel a ci o n es d el mun d o
natural. Sus seguidores, llamados pitagóricos, fueron los
primeros en formular la teoría que decía que la Tierra es
una esfera que gira en torno al Sol”.
• ÉPOCA ARÁBIGA: (Siglos VII a XII d.C.)
Se da inicio, de lo que hoy conocemos como
"Álgebra" debido a los trabajos realizados por
Muhammed ibn musa Al-Kherizmi; Al Karchi; Omar
Khayyam, etc.
• ÉPOCA DEL RENACIMIENTO: (Europa, siglos
XII a XVI d.C.)
En base a lo desarrollado por los matemáticos
á ra b e s, e l Á l g eb r a a l c an z a u n gr a d o d e
desarrollo muy alto. Se investigan las ecuaciones
de tercer y cuarto grado. Nace la Trigonometría.
Destacan Nicolo Fontana, Girolamo Cardano,
Francois Viette, etc.
• ÉPOCA MODERNA: (Siglos XVII - XIX d.C.)
La Matemática se desarrolla de una manera
v e rt i g in o s a, d e t a l f o rma qu e es n ec e s ar i o
explorar nuevos campos y espacios. Se crea el
Análisis Matemático y el Cálculo Infinitesimal.
Destacan: Isaac Newton, Gottfried Leibnitz, Blas
Pascal, John Neper, Jacques Bernoulli, Brook
Taylor, Leonard Euler, Galois, Lagrange, etc.
Gottfried Wilhelm Leibnitz
“Leibnitz está considerado uno
de los mayores intelectuales del
s i gl o XV I I . No e n va n o , s u
a ct iv i da d a ba rcó c i en c ia s y
disciplinas tan dispares como
las Matemáticas (enumeró los
principios fundamentales del
Cá lc u l o i n fi n i te s i ma l ), l a
F i lo s o fí a (d e s a rro l la n d o e l
concepto de mónadas), la Teología, el Derecho, la
Política y la Filología, entre otras muchas.”
AÑO
• ÉPOCA CONTEMPORÁNEA: (Siglos XIX hasta
nuestros días)
Augustin L. Cauchy
Augustin L. Cauchy fue uno de
los analistas matemáticos del
siglo XIX que basaron su visión
d el c ál c u lo e n c a nt i d ad e s
f in i t as , es t a bl e c ie n d o e l
concepto de límite. En Física
contribuyó al desarrollo de la
Óp t ic a y la Te orí a d e l a
elasticidad.
Se crea el Álgebra moderna (Teoría de grupos),
el Análisis experimenta un gran desarrollo, nacen
l as Geo me tr í a s n o e u c li d i an a s . De st a c an :
Evariste Galois, Gauss, Riemman, Poincaré,
L ob a c he v s ky, Ag u s tí n Ca u c hy, La p l ac e ,
Weiestrass, Leopoldo de Kronecker, Richard
Dedekind, George Cantor, etc.
Co mo v er á s , l a M a t emá t i ca e n g e ne r a l h a
experimentado una constante evolución que llega
hasta nuestros días y se proyecta a un futuro
promisorio.
Es nuestro deber mantener el nivel alcanzado y
poder aplicar estos conocimientos a nuestra vida
cotidiana.
¡¡ Y ahora sí, empezemos el año 2005!!
Término algebraico
Expresión algebraica
Es una expresión matemática que consta únicamente
de tres partes: coeficiente, variable(s) y exponentes.
Es la reunión finita de términos algebraicos mediante
las operaciones aritméticas básicas.
Ejemplos:
Ejemplos:
exponentes
5
•
-2
2
x5
 7a 8 b 3
7 
x a
•
coeficiente
variables
• x + 2x + 3x + 4x
1
5
3
2
3 m.z.x
variables
2
•
exponentes
•
x + 2x + 3x + 4x + ...
Esta no
es una
expresión algebraica
¿Por qué?
coeficiente
Problemas para la clase
2.
BLOQUE I
1.
Efectuar en cada caso:
Efectuar en cada caso:
a) x + x + x =
a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =
b) 7x + 3x + 9x =
b) 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 =
c) x2 + x2 + x2 =

3 
 ... 3 
c) 3
d) 5x2 + 3x2 + 8x2 =
20 veces
d) 7

7 
 ... 7 
e) 10z5 + 7z5 + 9z5 =
f) x + 3y + 5x + 2y =
40 veces
g) x + 2y + 3z + 4x + 5y + 6z =
3.
Reducir:
11. Simplificar la siguiente expresión:
5(a - 1) + 6(a - 1) + 11
a) 5a
d) 30a
4.
b) 6a
e) 31a
c) 11a
a) 9x
d) 18
a) 1
d) 4
b) 15x
e) 15x + 4
c) -14
c) 3
6mu + 5ma - 5mu - 4ma
a) mu + ma
c) mu + 3ma
e) 0
Señalar el coeficiente del resultado, al simplificar:
a) 12m5
d) 732
BLOQUEII
Cuál es el coeficiente, al reducir:
a) 10a4
d) 4
+
9a4
b) 10
e) 25
b) 2mu - ma
d) 3mu - 2ma
c) 21m5
b) 5
e) 12
2a4
7.
b) 2
e) 5
12. Efectuar:
7m5 + 3m5 + 2m5
6.
5(x  5)  3(x  3)  8x
Reducir:
4(x - 1) + 5(x - 2) + 6(x + 3)
5.
4
-
7a4
+
1.
6a4
Reducir:
x
 x
... 
x  (x  x  ...  x)  (x  x  ...  x)
 
c) 13a4
48 sumandos
a) x
d) 4x
Simplificar:
27 sumandos
20 sumandos
b) 2x
e) 5x
c) 3x
a + b + c + 2a + 3b + 4c - 5c - 4b
a) a
d) 4a
8.
b) 2a
e) 3b
c) 3a
2.
3x
 3x
 ...  
3x  (2x  2x  ...  2x)



20 sumandos
Efectuar:
2a + 3b + 4a + 5b + 6a + 7b
a) 12a
c) 12a + 15b
e) a + b
9.
Simplificar:
a) x
d) 4x
b) 15b
d) 27ab
3.
Calcular el valor de:
b) 2x
e) 5x
2x
 2x
 ...  2x
(3x  3x
 ...  3x)
(9x  
9x
 ...  9x)


 

  

5

5 
 ... 
5  
3 
3
 ... 
 3 2
a) 11
d) 14
b) 12
e) 15
c) 3x
Reduce la siguiente expresión:
15 veces
30 sumandos
29 sumandos
a) 100x
d) 0
16 sumandos
20 veces
b) 1
e) 90x
c) x
c) 13
4.
Realizar las operaciones:
7x
 7x
 ...  7x
 3x  ...  3x)


 (3x

10. Calcular:
50 veces

2 
 ... 2
3

3 
 ... 3  2
100 veces
a) 16
d) 19
10 sumandos
b) 17
e) 20
12 sumandos
c) 18
a) 10x
d) 40x
b) 20x
e) 50x
110 veces
c) 30x
5.
Efectuar la siguiente operación:
8. Reducir:
x + 2x + 3x + 4x + ... + 9x + 10x
a) 48x
d) 55x
6.
b) 55
e) 0
2(x + 3) + 4(x + 5) - 6(x - 7)
c) 48
Efectuar:
a) 42
d) 68
b) 48
e) 70
9. Simplificar:
abc + 2abc + 3abc + ... + 12abc
a) 78abc
d) 55abc
7.
b) abc
e) 1
7x + 8x + 9(2 - 3x) + 12x
c) 0
Simplificar la expresión:
a) 18
d) -54x
b) -18
e) 18x
c) 54x
10.Reducir:
3(2x + 1) + 4(3x + 2) + 5(6x - 3) + 48(1 - x)
x + 3x + 5x + 7x + 9x + 11x - (x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x + 7x + 8x)
a) 36x
d) 1
c) 20
b) 10x
e) 0
c) 12x
a) 11
d) 48
b) -15
e) 44
c) - 4
Autoevaluación
1.
Coloca las partes del siguiente término algebraico:
7
3 2 x .y
4.
5(x - 3) + 2(9 - x) - 3(x - 1)
5
2
a) 2
d) 8
5.
2.
1
a) x2
d) 4x2
¿cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. 4 y 2 son los coeficientes
II. 7 es el coeficiente
III. "x" e "y" son las variables
a) I
d) I y II
b) II y III
e) III
c) I y III
Calcular el valor de:
3

3 
 ... 
31

1
 ...

1


20 veces
a) 9
d) 3
b) 7
e) 1
b) 4
e) 10
21 veces
c) 5
c) 6
Reducir:
Dado el siguiente término:
-7x4y2
3.
Reducir:
0
x
2-
27(2 - x 2) + 6(9 - 6x 2)
b) 2x2
e) 5x2
c) 3x2