Download unidad n° 1 : fraccionemos el álgebra

Área de Texto San Mateo 2º Medio
1
PROGRAMACIÓN DEL ALUMNO.
SECTOR DE FORMACIÓN
MATEMÁTICA
ÁREA TEMÁTICA
MATEMÁTICA
NIVEL
SEGUNDO AÑO MEDIO
PROFESOR
MARCIA MEDINA TORRES
UNIDAD DIDÁCTICA No 2
FRACCIONEMOS EL ALGEBRA
TIEMPO
30 a 35 hrs
APRENDIZAJES ESPERADOS :
Los alumnos :
1. Generalizan la simplificación de fracciones aritmética a fracciones algebraicas.
2. Deducen la importancia de la factorización al simplificar fracciones algebraicas.
3. Relacionan la operatoria con fracciones y las operatorias con expresiones
fracccionarias.
4. Amplian la resolución de ecuaciones enteras a ecuaciones fraccionarias.
5. Resuelven problemas que involucren ecuaciones fraccionarias.
6. Generalizan la división aritmética a división de polinomios cualesquiera.
7. Aplican correctamente el teorema del resto.
8. Diferencian la división sintética de polinomios con la división tradicional.
ACTIVIDADES SUGERIDAS :









Recuerdan la simplificación de fracciones aritmética.
Comparan la operatoria aritmética con la algebraica.
Desarrollan los ejercicios propuestos en el texto San Mateo.
Aplican la división aritmética a la división de polinomios dados.
Establecen similitudes entre la división aritmética y la división de polinomios.
Reconocen el teorema del resto.
Aplican correctamente el teorema del resto
Identifican la división sintética entre polinomios
Establecen diferencias entre la división sintética de polinomios con la división
tradicional
 Identifican las diferencias, ventajas y desventajas entre los métodos de división de
polinomios aprendidos.
 Aplican el método de división sintética en la división de polinomios
 Reflexionan sobre cómo se amplia el estudio de la matemática.
 Desarrollan un control formativo como autoevaluación de conocimientos.
 Consultan libros : - Álgebra de Baldor Capítulo V, pág 79 – 93 y Capítulo VII
pág112 – 121.
- Matemática I . Edit. Santillana
- Álgebra y Geometría I , Santillana , Capítulo V , pág 113 – 118
- Álgebra, Pröschle Capítulos IV , pág 85 – 88 , 99 – 100
CONTENIDOS:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Fracciones algebraicas.
Adición y sustracción de fracciones algebraicas.
Multiplicación de fracciones algebraicas.
Ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicos.
Resolución de problemas como aplicación de las ecuaciones fraccionarias.
Análisis de la pertinencia de las soluciones al resolver problemas.
División de polinomios.
Teorema del resto.
División sintética entre polinomios.
EVALUACIÓN :
Se realizará la siguiente forma de evaluación :
1. del trabajo individual
2. del trabajo en equipo
3. de la aplicación de los contenidos y problemas propuestos en texto San Mateo y libros
4. del desarrollo ordenado de la guía de trabajo en el cuaderno
5. de las actitudes frente al proceso de enseñanza – aprendizaje
Área de Texto San Mateo 2º Medio
2
UNIDAD N° 1 : FRACCIONEMOS EL ÁLGEBRA
Antes de
comenzar la
unidad deseo
proponerte lo
siguiente...
LAS
FRACCIONES
EN
LENGUAJE
1. Plantea varios casos
de cómo se realiza
la división
aritmética.
2. Recuerda los
diferentes tipos de
factorización.
3. Repasa la operatoria
aritmética de
fracciones.
ALGEBRAICO
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA:
El matemático y filósofo francés René Descartes
(1596 – 1650) fue el primero que aplicó los
conocimientos algebraicos a la Geometría, creando la
Geometría Analítica. Descartes ha sido considerado el
primer filósofo de la Edad Moderna debido sobre todo
a su sistematización del método científico.
Se ve interesante el tema...
Ahora voy a investigar de
que trata esto para luego aplicar lo
que haya aprendido.
Pone cuidado al cómo se puede ir generalizando cada
operación aritmética y te darás cuenta que no es tan
complicado realizar las cuatro operaciones básicas con
fracciones en que los denominadores sean algebraicos.
3
Área de Texto San Mateo 2º Medio
ADICION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
CON IGUAL DENOMINADOR :
SE PROCEDE DE IGUAL MANERA QUE CON LAS FRACCIONES ARITMETICAS , ES
DECIR CONSERVANDO EL DENOMINADOR Y SUMANDO LOS NUMERADORES
( CUIDADO CUANDO PRECEDE UN SIGNO NEGATIVO)
9a
1.

2
a  3a  4
2a  5
2
a  3a  4

2.
2
a
a8
1

a2
a2
3.
x4
5.
2
x  2x  3

4.
x2  3x
2
x  2x  3

7  2x2
2
x  2x  3
5a2
a2  20ab  25b2


2a  5b
2a  5b
x3
9

1 
x2 x2

CON DISTINTO DENOMINADOR :
1 1 1 bc  ac  ab
  
a b c
abc
EJEMPLO 1 :
6.
3a  2b a  b 4a  4b



2
3
6
8.
x  6 2x  5


8x
12x
EJEMPLO 2 :
7.
m  2 3m  1


2m
5m
1(x  5)  2(x  3)  (x  1)
1
2
x 1


 2

(x  3)(x  5)
x  3 x  5 x  2x  15
x  5  2x  6  x  1
2x

(x  3)(x  5)
(x  3)(x  5)
7
 a1 
2a  3
9.
11.
5x  4 3x  2 x2  x  16

 2

x 2
x 3
x  5x  6
13. 1 
15.
12.
a

ab
2
2
x  10x  24
14.

9
2
6
10.
x  3x  18

4x  5
2
x  x  12
Ahora vamos a
la acciOn

x
2

7
5


2x 3x
p 1
2
p  p  12

2
2
p  5p  24
x 1
x
6x  1

 2

x 3 x 3 x 9

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4
EJERCICIOS MIXTOS
16.
1  
1

1  2    a   
a
a  

17.
2  
2 

 x 
  1 

3x  1  
3x  1 

18.
1   a 4
 1
 a  4  a  4    4  a  

 

19.
 a2  1   a2  7a  10   a2  5 




 a2  3a  2   a2  4a  5   2 

 
 

20.
 3a 2b   2 3 


     
 2b 3a   a b 
21.
2
7
3
  1

cxy   
xy  
 axy  bxy 
4
5
10
20

 

22.
1
1
a1

a
a2

a  1 a2  1
ECUACIONES
ECUACIONES
FRACCIONARIAS :
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al
matemático francés, aunque nacido en Italia, Joseph Luis Lagrange (1736 – 1813).
Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época aunque también destacó
por otras disciplinas. Su mayor aportación al álgebra es su famosa memoria “sobre
la resolución de las ecuaciones numéricas” , escrita en 1767.
Para resolver las ecuaciones fraccionarias es conveniente aplicar la siguiente
propiedad :
x y
z


a a a
Ejemplo 1 :
Resolver
El mínimo común múltiplo es :
que debemos formar , así :

x+y=z
2x
5
2
x 1
2x
2x(x + 1)
y éste es el denominador común
2x
2x
2x  (x  1)
5 (x  1)

2


x  1 2x
2x  (x  1) 2x (x  1)
así, resulta que :
entonces
es decir
Ejemplo 2 :
4x2 = 4x(x + 1) – 5(x + 1)
4x2 = 4x2 + 4x – 5x – 5
x = -5
3x  1 x  9

1
se factoriza el 2ª denominador
2x  3 4 x  6
3x  1
x9
/·2(2x-3)

1
2x  3 2(2x  3)
2(3x-1)-(x+9) = 2(2x-3)
6x - 2 - x - 9 = 4x - 6
Área de Texto San Mateo 2º Medio
x
=
5
5
EJERCICIOS
23.
5
7

x  3 2x  3
24.
x
5
5
3
 

x  1 8 2x  1 4
25.
2
6x  5
3


2
4x  5 16x  25 4x  5
26.
5
4
12x  6


2x  1 x  1 2x2  x  1
28.
1 1
3

11 
3 x 
x
1 1
8

11 
3 x
x
30.
x
32.
ax  b2 ab  x  b2


a
a
b
a
27.
29.
31.
1
1
1

x 2x
3
x a x b

2
b
a
x  a x  3b 3a  13b


2b
3a
6b
x
b
a
Es hora de Aplicar lo que
haz aprendido
PROBLEMAS CON ENUNCIADO.
33. Si se beben tres tazas de leche (250cc) de una caja de 1,5 litros, y suponiendo
que esta al máximo de su capacidad ¿cuánta leche queda en la caja?.
34. Ángela y Roberto tienen un cuaderno de 120 hojas. Ángela ha gastado dos
terceras partes del suyo y Roberto, tres quintas partes. ¿Cuántas hojas ha
gastado cada uno? ¿A quién le quedan más hojas en blanco?
35. En una bandeja de cubitos de hielo, Andrea ha preparado helados. Invita a sus
amigos y se beben la mitad de la bandeja. En la cena ella se toma 1/3 de los
que le quedaban y guarda en le refrigerador los 6 que han sobrado. ¿Cuántos
helados preparó Andrea?
36. Una piscina se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de
agua por minuto. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse la piscina si el grifo
arroja 360 litros por minuto?
37. En una familia trabajan el padre , la madre, el hijo mayor, ganando
2
conjuntamente $720.000. La ganancia de la madre es igual a los
del padre y
3
1
la del hijo es
de la de su madre. ¿Cuánto gana cada uno?
2
38. José desea que el promedio de tres evaluaciones de en la asignatura de
Matemática sea un 6,5. Si se ha sacado un 5,8 en la primera evaluación y un
6,7 en la segunda, ¿Qué nota deberá obtener en la tercera para alcanzar ese
promedio?.
6
Área de Texto San Mateo 2º Medio
39. Plantea y resuelve el epitafio de Diofanto:
“Caminante, aquí fueron enterrados los restos de Diofanto: es él quien con esta
sorprendente distribución te dice el número de años que vivió:
Su juventud ocupó la sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla
se cubrió de vello.
Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y su primogénito
nació cinco años después.
Al alcanzar éste la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte
desgraciada.
Su padre tuvo que sobrevivirlo llorándolo durante cuatro años más.
Con esta información deduce su edad”
40. El curso de Ignacio quiere juntar dinero para ayudar a su Colegio en la compra
de computadores. Tienen la idea de hacer un periódico semanal. Averiguaron
que si se hecen “n” periódicos, el costo por cada uno viene dado por la
fórmula:
10.000 

C  2   40 

n


¿ Cuál es el costo de cada periódico si deciden imprimir 500 ejemplares ?
¿ Cuántos ejemplares debieran imprimir para que el costo fuera menor que $100
?
¿ Cuánto ejemplares debieran imprimir para que el costo sea $ 84 ?
Si deciden hacer un tiraje de 500 ejemplares durante 8 semanas , ¿ a cuánto
debieran vender cada periódico para ganar $ 360.000 ?
p
; ¿ qué variaciones en “p” y “q” permiten duplicar “a” ?
q
Indicar por lo menos tres.
41. Considerar
a=
a
, los tres valores se duplican ¿qué variación experimenta
bc
el valor de la fracción y en cuánto ?
42. En la expresión
43. Dada la solución de una ecuación es
ó
x=
3m
5b
. ¿ Para qué valores de “m”
“b” esta solución no existe ?
44. La solución de una ecuación es
que
x =
3ab
. Señalar las condiciones para
a  2b
esta solución exista.
45. Observa en la recta siguiente las ubicaciones relativas de a , b , c , d , e
-3 -2 -1 0 1
2
3
a
b
c
e
d
Determinar, en consecuencia, si las siguientes expresiones son mayores o
ea
de
c
menores que cero:
a – b , ab ,
,
,
cb
b
ab  a
46. Despeja la letra indicada en cada ejercicio
a  arn
i)
a,
si S 
1r
ii)
f,
si
M
L
F
 25

 1

f


Aplicación a la Física:
47. En el río Calle Calle arriendan botes a remo durante la temporada estival. Juan
recorre 18 kilómetros en 1,8 horas y puede remar 24km/h en aguas tranquilas
Área de Texto San Mateo 2º Medio
7
(sin corriente). Calcula la velocidad de la corriente de Calle Calle. Recuerda que
velocidad 
dis tan cia .
tiempo
Reflexiona acerca de la importancia de la matemática en chile:
Forma un grupo de cuatro compañeros, lee y comenta las siguientes
afirmaciones:
-
Es necesario que Chile posea un buen nivel de las llamadas ciencias duras
para que progrese en la tecnología y en lo social?.
-
Como la tecnología se compra , el desarrollo de la ciencia pasa a segundo
plano.
-
No se justifica gastar mucho dinero en ciencia cuando en el mundo son
millones los que se mueren de hambre y viven en la extrema pobreza.
¿Estás de acuerdo o en desacuerdocon estas afirmaciones? Fundamenta y
compara con el resto de los grupos.
A partir de esta discusión en el curso, elaboren, en tu grupo, preguntas de
entrevista para planteárselas a un :
a)
b)
c)
d)
Matemático,
Físico
que no sean profesores del Colegio San Mateo.
Filósofo
Una “persona en la calle”
Estoy preperado
para realizar mi
primer Control
Formativo
Área de Texto San Mateo 2º Medio
CONTROL
FORMATIVO
8
1
Calcula y simplifica la expresión resultante (elige 4) :
1 5
1
  
2 6 2
1.
=
1 1 1
  
4 3 2
3. m – 1 – m  5
m-5
5.
2.
4.

2 

 p  q  q  :  1


p - q 


q
pq

 

6.
2
2
6x  ax  2a
xa
2x  a

:

2
2
2
2
ax  a
9x  4a
3ax  2a
1
xx
2

1
x  x2
a
x
x
a
x
1
a


Elige y resuelve 3 de las siguientes ecuaciones:
7.
1
1
x  5  -x
3
3
8.
9.
x -m
n
10.
11.
x  2a
2b  x
n- x
m
-2 

x  2a
2b  x

1
3x - 3
30
x9
1
1

4x  4
12x - 12


5
x 3
4ab
2
2
4b  x
Problemas texto; elige y resuelve 3:
12. La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a los
3 del menor. ¿Cuáles son los números?.
8
13. Vendí mi computador en $400000 más la tercera parte de lo que pagué por
él y en esta operación gané $100000. ¿Cuánto me había costado?
14. Si x es el precio de un kilo de peras. ¿Cuánto valdrá el kilógramo si el
nuevo precio es su tercera parte más $ 125?
15. Juan demora 5 horas en hacer cierto trabajo mientras que su amigo René lo
puede hacer en 3,5 horas. ¿En cuánto tiempo lo harían si trabajan juntos?.
16. Manuel salió de la ciudad en su auto. Una hora más tarde Pablo partió en la
5
misma dirección manteniendo una velocidad
veces la de Manuel, a
4
quien alcanzó después de recorrer 210 km. Determina las velocidades.
9
Área de Texto San Mateo 2º Medio
DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA:
Los árabes contribuyeron poderosamente a la sistematiza del álgebra. El
matemático
Al-Hwarizmi, de la escuela de Bagdad, fue el autor del primer libro
sobre esta disciplina en el siglo IX (d.C.). Esta obra, conservada solamente en
lengua latina con el título de “Algorithmi de numero indorum”, fue fundamental
para la adopción y popularización en la Europa cristiana de nuestro actual sistema
numérico. Escribió otros libros, uno de los cuales dio nombre a esta ciencia. AlHwarizmi trabajó también la teoría de ecuaciones de segundo grado y fue autor de
unas tablas astronómicas.
Por su parte, el matemática sirio Al-Batani también aplicó el
Esto es parte del
Álgebra a la resolución de problemas de Astronomía.
Al dividir polinomios se sigue la misma idea de una división
aritmética común y corriente, es decir:
142 : 3 = 47
(-) 12
hace uso de
22
tu
(-) 21
experiencia
1
Así
142 = 3  47 + 1
pasado pero muy útil
en el presente y futuro,
lo importante es saber
aplicarlo
Ejemplo :
0
(-)
0
(-)
0
Así
6x4 + 7x3 + 6x2 + 32x – 7 : 3x2 + 5x – 2 = 2x2 – x + 5
(-) 6x4 + 10x3 – 4x2
- 3x3 + 10x2 + 32x – 7
3
- 3x – 5x2 + 2x
15x2 + 30x – 7
2
15x + 25x - 10
5x + 3
6x4 + 7x3 + 6x2 + 32x – 7
Dividendo
=
=
Busca tu
camino
(3x2 + 5x – 2)  (2x2 – x + 5) + 5x + 3
Divisor

Cuociente
+
Resto
NOTA :
Recuerda que cuando el resto es cero se dice que el polinomio
Dividendo es divisible por el polinomio Divisor y que tanto el polinomio Divisor
como el Cuociente son factores del Dividendo.
EJERCICIOS
Realiza la división entre la primera expresión y la segunda :
47. 2x2 – 7x + 6
,x–2
48. 3y3 – y2 + 7y + 6
, y2 – y + 3
49. 6x4 – 7x3 – 15x2 + 2x + 2
, 3x + 1
50. 2x3 + 3x2 – 6x – 8
, x2 – 3
¿ Qué puedes concluir de la división de polinomios ?
Área de Texto San Mateo 2º Medio
10
¿ De qué manera puedes relacionar la división aritmética común de la algebraica ?
DIVISIÓN SINTÉTICA.
TEOREMA DEL RESTO Y DEL FACTOR.
TEOREMA 1 :
Ejemplo :
Si el polinomio p(x) se divide por el binomio x – r , siendo “r”
una constante independiente de “x” , el resto es igual a p(r).
Sin realizar la división, calcular el resto que se obtiene al dividir
P(x) = x4 + 5x3 + 5x2 – 4x – 7
por
x+3
En efecto, según el teorema 1 , el resto es igual a p(-3) .
Así
p(-3) = (-3)4 + 5(-3)3 + 5(-3)2 - 4(-3) – 7
= 81 – 135 + 45 + 12 – 7
= -4
Luego el resto de la división sería
-4 .
TEOREMA 2 : Si en el polinomio p(x) ocurre que
es un factor del polinomio p(x) .
Ejemplo :
Demostrar que
20
En efecto, como
entonces
x–5
p( r ) = 0 , entonces
es un factor del polinomio
x–r
p(x) = x3 – 8x2 + 19x –
p(5) = 53 – 8  52 + 19  5 – 20
= 125 – 200 + 95 – 20
=0
x–5
es un factor del polinomio
x3 – 8x2 + 19x – 20
EJERCICIOS.
Usando el teorema del resto y del factor calcula el resto de la división e
indica si el binomio dado es factor del polinomio dado :
51.
x–1
;
p(x) = x3 + 2x2 – 4x + 1
52.
x+2
;
p(x) = x4 – 3x3 – 2x2 + 5x – 9
53.
x+3
;
p(x) = x5 + 4x4 – 7x2 + 5x – 3
54.
x–2
;
p(x) = x6 – 5x5 + 3x3 – x2 + 7
DIVISIÓN SINTÉTICA .
Permite dividir un polinomio
rápida.
p(x) entre el binomio
Explicaremos el método mediante un ejemplo
:
Dividir
x–2
Se anota
3x3 – 4x2 – 2x – 7
3
-4
6
entre
-2
4
-7
4
2
x - r
de una forma más
11
Área de Texto San Mateo 2º Medio
3
2
2
-3
La regla es la siguiente :
Para dividir un polinomio
p(x)
entre
x – r , se procede como sigue :
-
En la primera línea se escriben en orden los coeficientes del polinomio p(x) ,
y el número “r” separado y a la derecha.
-
Si alguna potencia de “x” no aparece en p(x)
como cero.
-
Se escribe el primer coeficiente de p(x) como primer término de la tercera
línea y se multiplica por “r”, escribiendo el producto en la segunda línea y
debajo del segundo coeficiente de p(x), y se suman estos valores.
-
Se multiplica esta suma por “r” y se coloca el producto debajo del tercer
coeficiente de p(x), y se suman estos valores.
-
Se continúa de esta manera hasta finalizar con todos los coeficientes.
-
El último número de la tercera línea es el resto
-
Los números anteriores son los coeficientes del cuociente correspondientes a
potencias descendentes de “x”.
su coeficiente se escribe
Ejemplo :
Hallar el cuociente y el resto de la división de 2x4 + 3x3 – x – 3
por x + 2
Según la regla anterior, resulta :
2
3
-4
0
2
-1
-4
2
-1
2
-5
-3
10
-2
7
Por lo tanto, el cuociente es
2x 3 – x2 + 2x – 5
y el resto es
7 , es decir
ocurre
2x4 + 3x3 – x – 3 = (x + 2)  (2x3 – x2 + 2x – 5) + 7
EJERCICIOS.
Usando la división sintética obtiene el cuociente y el resto en cada caso :
55.
x3 + 4x2 + 7x – 2
:
56.
x6 – x4 + x2 – 2
57.
2x5 – 14x3 + 8x2 + 7 : x + 3
58.
4x4 – 3x2 + 3x + 7 : x +
:
x+2
x–1
1
2
Área de Texto San Mateo 2º Medio
CONTROL
FORMATIVO
12
2
Realiza las siguientes divisiones y escribe en la forma
DIVIDENDO = DIVISOR · CUOCIENTE + RESTO
1.
x2 + 7x + 12 : x + 3 =
2. y4 + 4y3 + 2y2 – 4y + 1 : y2 + 2y – 1 =
3.
x6 – 1 : x – 1 =
4. 3x2 + 14xy + 25y2 : x – 3y =
5.
343y3 + x3 : x + 7y =
6. 10 – x2 + 6x3 – 27x : 3x – 5 =
Determina si x – 2 es un factor de algún polinomio del siguiente cuadro, en caso
de que lo sea, encuentra, además, el otro factor:
polinomio
7.
x2 – x – 6
8.
x2 – 5x + 6
9.
x3 – 4x2 + 6x – 4
10.
x3 + 2x2 – 7x + 4
Encuentra el valor de k
Verdadero o falso
factores
para que se cumplan las siguientes condiciones:
11.
Para que x – 4 sea factor de x2 – 6x + k
12.
Para que al dividir 2t3 + 3t2 – kt + 10 por t – 2 el residuo sea cero
Problema
13.
Si se divide 718 entre cierto número, el cuociente es 59 y el residuo es 10
hallar el número
Área de Texto San Mateo 2º Medio
13