Download GTD de un agujero negro cargado con fuente no lineal

GTD de un agujero negro con fuente
electromagnética no lineal*
Gustavo Arciniega · Alberto Sánchez · Cuernavaca · 2014
* arxiv: 1404.6319
Motivación
Transición de fase en AdS-BH (Hawking-Page)
Correspondencia AdS/CFT
Maxwell no lineal en la vecindad de la fuente (estrellas de neutrones o BH)
Formulaciones geométricas a la termodinánmica (GTD, Winhold, Ruppeiner)
Geometrotermodinánica
- Espacio fase
Variedad de contacto T
dim(T )= (2n + 1) con coordenadas {Z A }A=1,...,2n+1 ≡ {Φ, E a , I a }a=1,...,n
1–forma de contacto Θ tal que Θ ∧ (dΘ)n 6= 0
Métrica G = GAB dZ A dZ B
Geometrotermodinánica
- Espacio fase T
- Espacio de estados de equilibrio
Variedad Riemanniana E definida por el encaje ϕ : E −→ T
dim(E )= n
Métrica g = gab dE a dE b dada por g = ϕ ∗ (G)
ϕ : (E a ) −→ (Φ , E a , I a )
Φ(E a )
tal que
ϕ ∗ (Θ) = ϕ ∗ (dΦ − δab I a dE b ) = 0
(1)
(2)
Geometrotermodinánica
- Espacio fase T
- Espacio de estados de equilibrio E
- G invariante de Legendre
{Φ, E a , I a } → {Φ̃, Ẽ a , Ĩ a },
a
Φ = Φ̃ − Ẽa Ĩ ,
a
a
E = −Ĩ ,
(3)
a
I = Ẽ
a
(4)
Geometrotermodinánica
· Curvatura ⇔ Interacción
· Singularidad ⇔ Transición de fase
· Geodésicas ⇔ Procesos cuasi-estáticos
GTD de Agujeros Negros
G = Θ2 + (δabE aI b)(ηcd dE c dI d ) ,
(5)
δab = diag(1, 1, . . . , 1), ηab = diag(−1, 1, . . . , 1)
Θ = dΦ − δab I a dE b
∂Φ
= Ia ,
∂ Ea
dΦ = Ia dE a .
(6)
GTD de Agujeros Negros
G = Θ2 + (δabE aI b)(ηcd dE c dI d ) ,
∂ Φ 2Φ
∂
gGTD = ϕ ∗(G) = E c c ηabδ bc c d dE adE d .
∂E
∂E ∂E
BH con fuente de Maxwell no lineal (PMI)
1
S=−
16π
Z
√
n(n
−
1)
d n+1 x −g R +
+ (−Fµν F µν )s + SGH
2
l
M
dr
+ r 2 dΩ2 n−3
f (r)
h
i
(n−1)(2s−n)2 q2 s
2
(2s − 1) (n−2)(2s−1)2
ds2 = −f (r)dt 2 +
2
r+
m
f (r) = 1 + 2 − n−2 +
l
r+
(n − 1)(n − 2s)r
+
2(ns−3s+1)
2s−1
.
BH con fuente de Maxwell no lineal (PMI)
i
h
(n−1)(2s−n)2 q2 s
2
(2s − 1) (n−2)(2s−1)2
2
r+
m
f (r) = 1 + 2 − n−2 +
l
r+
(n − 1)(n − 2s)r
+
2(ns−3s+1)
2s−1
.
16πM
,
(n − 1)ωn−1
"
# 1 "
#1
2s−2
2s−1
2
1
8π
n − 2 (2s − 1) 2s−1
q = √
Q 2s−1 .
n−1
n − 2s
2sωn−1
m =
(7)
(8)
BH con fuente de Maxwell no lineal (PMI)
h
i
(n−1)(2s−n)2 q2 s
2
(2s − 1) (n−2)(2s−1)2
2
r+
m
f (r) = 1 + 2 − n−2 +
.
2(ns−3s+1)
l
r+
(n − 1)(n − 2s)r+ 2s−1
s
n−1
A=−
qr (2s−n)/(2s−1)dt
2(n − 2)
Termodinámica del BH-PMI
dM = TdS + ΦdQ , Primera Ley
ωn−1 r+ n−1
S=
,
4
ωn−1 = (2π n/2 )/Γ(n/2),
T=
∂M
,
∂S
Φ=
∂M
.
∂Q
Termodinámica del BH-PMI
Criterio de Ehrenfest
Transiciones de fase de primer y segundo orden
G = T M − ΦQ, Energía libre de Gibbs
2
∂G
→ ∞ Primer orden. Si ∂∂ XG2 → ∞ Segundo orden.
!
2
∂ G
(∂ M/∂ S)Q
CQ = −T
.
=
∂T2
(∂ 2 M/∂ S 2 )Q
Si ∂ X
Q
Termodinámica del BH-PMI
Capacidad Calorífica CQ
l = 1,
Q = 1,
s = 5/2
n=4
GTD del BH-PMI
Φ = M y E a = {S, Q}
g
GTD
∂M
∂ M ∂ 2 M 2 ∂ 2 M 2 = S
+Q
−
dS +
dQ .
∂S
∂Q
∂ S2
∂ Q2
⇒ RGTD
GTD del BH-PMI
Escalar de curvatura RGTD
l = 1,
Q = 1,
s = 5/2
n=6
GTD del BH-PMI
f =S
∂M
∂M
+Q
=0
∂S
∂Q
GTD del BH-PMI
Q=1, l=8, s=1, n=3.
Weinhold del BH-PMI
gW =
∂ 2M
∂ 2M 2
∂ 2M 2
dS
+
2
dSdQ
+
dQ .
∂ S2
∂ S∂ Q
∂ Q2
l = 1,
Q = 8,
s = 5/2
n=4
Conclusiones
Se analizó la estructura geométrica del espacio de equilibrio de un Agujero Negro con fuente
PMI.
Se analizaron los puntos de transición de fase de segundo orden.
Se comprobó que las transiciones de fase de segundo orden corresponden con los puntos donde
RGTD diverge.
Se analizaron los puntos divergentes de RW y se comprobó que no coinciden con la
termodinámica de BH. Requiere de la invariancia de Legendre.
Se realizó el análisis considerando a la constante cosmológica (no se presentó aquí)
La GTD es un formalismo apropiado para reproducir las transiciones de fase de los Agujeros
Negros.