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Tema 5. Régimen Permanente Senoidal
Sistemas y Circuitos
5.1 Respuesta SLIT a exponenciales complejas
‰ Analicemos la respuesta de los SLIT ante
exponenciales complejas
•
Tiempo continuo:
x(t ) = e
st
s = σ + jω ∈C
SLIT
h(t )
∞
y(t ) = x(t )* h(t ) = e * h(t ) = ∫ e
st
−∞
∞
⎡
= ∫ h(τ )e− sτ dτ ⎤ est
⎢⎣ −∞
⎥⎦
= H ( s)est , donde H (s) ∈C
s ( t −τ )
h(τ )dτ
− Conclusiones:
1. ante una exponencial compleja est, un sistema lineal invariante en
el tiempo responde con la misma exponencial compleja escalada
(multiplicada por el número complejo H(s) ∈C).
2. La función H(s) ∈C depende de la respuesta impulsional, h(t), del
sistema.
5.1 Respuesta SLIT a exponenciales complejas
‰ Analicemos la respuesta de los SLIT ante
exponenciales complejas
•
Tiempo discreto:
x[n] = z n
z = re jω ∈C
SLIT
h[n]
y[n] = x[n]* h[n] = z n * h[n] =
∞
∑
z n−k h[k ]
k =−∞
⎡ ∞
−k ⎤ n
= ⎢ ∑ h[k ]z ⎥ z
⎣ k =−∞
⎦
= H ( z ) z n , donde H ( z ) ∈C
− Conclusiones:
1. ante una exponencial compleja zn, un sistema lineal invariante en
el tiempo responde con la misma exponencial compleja escalada
(multiplicada por el número complejo H(z) ∈C).
2. La función H(z) ∈C depende de la respuesta impulsiva, h[n], del
sistema.
5.2 Análisis de circuitos en régimen sinusoidal
‰ En régimen permanente senoidal, los circuitos RLC se comportan de
forma lineal
• Pueden modificar la amplitud y la fase de la tensión (corriente) de entrada.
• No modifican la frecuencia.
• Superposición de tensiones (corrientes) sinusoidales.
e jω t
vI (t ) = VI cos(ωt + θ I )
SLIT
H ( jω )e jω t
h(t )
vO (t ) = VO cos(ωt + θO )
‰ Para representar matemáticamente estos cambios se emplean los
números complejos (fasores).
Si vI (t ) = VI cos(ωt + θ I ) → VI = VI e jθ I ∈C
• Importante: el fasor es un número complejo asociado a magnitudes
sinusoidales que no contiene información sobre su frecuencia.
5.2 Análisis de circuitos en régimen sinusoidal
‰Representación gráfica de Fasores
e jω t
vI (t ) = VI cos(ωt + θ I )
SLIT
H ( jω )e jω t
h(t )
vO (t ) = VO cos(ωt + θO )
Si vI (t ) = VI cos(ωt + θ I ) → VI = VI e jθ I
j
Suma de Fasores
Im {•}
Im {•}
VI
−1
−j
VI
θI
1
Re {•}
V1
V2
Re {•}
V1 + V2
5.2 Análisis de circuitos en régimen sinusoidal
‰Ejemplo 9.5 (Nilsson): Suma de Fasores
y1 (t ) = 20 cos(ωt + 30º ) → Y1 = 20e j 30º = 10
(
3+ j
(
)
y2 (t ) = 40sin(ωt + 30º ) → Y2 = 40e − j 60º = 20 1 − j 3
sin( x) = cos( x − π / 2)
)
Im {•}
20
− j 24.64
Y1 + Y2 = 20e j 30º + 40e − j 60º
Y1
37.32
Re {•}
Y2
Y1 + Y2
= 37.32 − j 24.64 = 40.64e − j 33.43º
y1 (t ) + y2 (t ) = 40.64 cos(ωt − 33.43º )
5.3 Elementos pasivos en régimen sinusoidal
‰Resistencias (ley de Ohm)
+
i (t )
v(t ) = Ri (t )
v(t )
Corriente y tensión en fase
250
R
200
150
−
100
v(t ) = 220 cos(2π 50t ) V
R = 10Ω
i (t ) = 22 cos(2π 50t ) A
50
0
-50
-100
-150
-200
• Fasores
V = Vm ∠ 0º = 220∠ 0º V
-250
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Vm
I=
∠0º = 22∠ 0º A.
R
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
V = RI
0.1
5.3 Elementos pasivos en régimen sinusoidal
‰Condensadores
v(t )
+
i(t )
−
• Ejemplo
dv(t )
1 t
i (t ) = C
v(t ) = ∫ i (τ )dτ + v(t0 )
dt
C t0
C
C = 1 mF
v(t ) = Vm cos(ωt + θV ) V
= 220 2 cos(2π 50t ) V
C = 1 mF
π⎞
⎛
i(t ) = ωCVm cos ⎜ ωt + θV + ⎟ A
2⎠
⎝
= −22 2π sin ( 2π 50t ) A
• Fasores
V = Vm ∠θV V
I = ωCVm ∠θV +90º A
La corriente adelanta a la tensión
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
-400
0
0.01
0.02
0.03
0.04
I = jωCV
0.05
0.06
0.07
0.08
1
V=
I
jωC
0.09
0.1
5.3 Elementos pasivos en régimen sinusoidal
‰Bobinas
+
v(t )
• Ejemplo
i (t )
L
di (t )
1 t
v(t ) = L
i (t ) = ∫ v(τ )dτ + i (t0 )
dt
L t0
−
La tensión adelanta a la corriente
L = 10 mH
v(t ) = Vm cos(ωt + θV ) V
= 220cos(2π 50t ) V
Vm
π⎞
⎛
cos ⎜ ωt + θV − ⎟ A
i(t ) =
2⎠
ωL ⎝
220
sin(2π 50t ) A
=
π
• Fasores
V = Vm ∠θV
1
V I=
Vm ∠θV −90º A
ωL
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
0
0.01
0.02
0.03
0.04
j
I=−
V
ωL
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
V = jω LI
0.1
5.4 Impedancia
‰ Impedancia: cociente entre los fasores de tensión y corriente
•
Resistencia
+
Bobina
i (t ) → I
v(t ) → V
+
V
R
Condensador
+
I
V
L
V
Z R = = R (ohmios)
I
V
Z L = = jω L (ohmios)
I
‰ Reactancia
• Parte imaginaria de la impedancia:
‰ Admitancia
Z = R + jX
1
Y = (Siemens)
Z
C
−
−
−
I
ZC =
V
1
=
(ohmios)
I
jωC
Elemento
Resistencia
Reactancia
Resistor
R
0
Bobina
0
ωL
Condensador
0
−1
ωC
5.4 Impedancia
‰Comportamiento con la frecuencia
• Bobinas
Condensadores
+
v(t )
i(t )
+
v(t )
L
−
v(t ) = L
di (t )
→
dt
−
V = jω LI
Si ω = 0 ⇒ v(t ) = 0 ⇔ cortocircuito
Si ω → ∞ ⇒ i(t ) = 0 ⇔ circuito abierto
circuito abierto
Z (Ω)
circuito abierto
ZR = R
ZC =
cortocircuito
C
1
dv(t )
I
→ V=
i (t ) = C
dt
jωC
Si ω = 0 ⇒ i (t ) = 0 ⇔ circuito abierto
Si ω → ∞ ⇒ v(t ) = 0 ⇔ cortocircuito
Z L = jω L
0
i(t )
1
jωC
cortocircuito
ω
5.4 Impedancia
‰Ley de corrientes (y voltajes) de Kirchhoff
ia (t ) ib (t )
Fasor
id (t )
ic (t )
Ia
Ic
Ib
Id
‰Agrupación de impedancias
• Impedancias en serie
Impedancias en paralelo
Ι
+
Z2 =
Z1 = R
VR
− +
1
jωC
VC
−
V = VR + VC
⎛ 1 ⎞
V = RI + ⎜
⎟ I = Z eq I
⎝ jωC ⎠
1
Z eq = Z1 + Z 2 = R +
jωC
Z1 = jω L
Z2 =
1
jωC
Z1Z 2
jω L
=
Z eq =
Z1 + Z 2 1 − ω 2 LC
5.5 Métodos de Análisis
‰Tensiones en nodos
‰Corrientes en mallas
5.6 Transformación de generadores
‰Generador de tensión en serie con impedancia es
equivalente a generador de corriente en paralelo
con la misma impedancia
• Ejemplo
5.7 Equivalente Thèvenin y Norton
‰ Cálculo del equivalente de
Thèvenin respecto a los
terminales a y b
1. Tensión en circuito abierto:
Vab=VTH
2. Corriente en cortocircuito ISC
3. Impedancia de Thévenin ZTH = Vab
I SC
‰ Ejemplo
5.8 Superposición
‰ Linealidad en circuitos
• Régimen transitorio (entradas de tipo escalón, pulso)
− Los circuitos con resistencias, bobinas y/o condensadores, estos últimos
en reposo (condiciones auxiliares nulas) son lineales.
• Régimen permanente (senoidal y continuo (ω=0 rad/seg))
− los circuitos con resistencias, bobinas y/o condensadores son lineales
‰ Por ello, cuando un circuito en régimen permanente
senoidal tenga dos o más generadores, se puede emplear
SUPERPOSICIÓN para analizarlo.
• Obligatorio en circuitos con dos (o más) generadores de DISTINTA
frecuencia
i (t )
5.8 Superposición
‰Linealidad en circuitos
Z C (ω ) =
Anulamos el generador de 90 Hz .→ 0 V ⇔ cortocircuito
1
Z C ( f1 ) =
j 2πf1C
1
Z C (60 Hz) =
= − j 2.6kΩ
j 2π 60 ×10 −6
1
jωC
Anulamos el generador de 60 Hz → 0 V ⇔ cortocircuito
ZC ( f 2 ) =
Z C (90 Hz) =
1
j 2πf 2C
1
= − j1.7 kΩ
j 2π 90 × 10 −6
5.8 Superposición
‰Linealidad en circuitos
Anulamos el generador de 90 Hz .→ 0 V ⇔ cortocircuito
ZC ( f 2 ) =
Z C (60 Hz) =
1
j 2π f 2C
1
= − j 2.6kΩ
j 2π 60 ×10 −6
i1 (t ) = I1 cos ( 2π 60t + ∠I1 ) A
i1 (t ) = 1.46 × 10−3 cos ( 2π 60t + 49, 76º ) A
5.8 Superposición
‰ Linealidad en circuitos
Anulamos el generador de 60 Hz → 0 V ⇔ cortocircuito
I1′ =
5
mA.
2.2 − j1.7
Z C (90 Hz) =
(
1
= − j1.7 kΩ
j 2π 90 ×10 −6
)
i1′ (t ) = I1′ cos 2π 90t + ∠I1′ A = 1.79 × 10−3 cos ( 2π 90t + 37, 69º ) A
(
)
i (t ) = I1 cos ( 2π 60t + ∠I1 ) A + I1′ cos 2π 90t + ∠I1′ A